Espaciotiempo de Minkowski

En la década de 1890, Hendrik Lorentz comenzó a desarrollar teorías de electrodinámica basadas en un éter luminífero omnipresente desacoplado de la materia. En una serie de artículos de 1892 a 1904, utilizó transformaciones que llegarían a llevar su nombre como ayudas matemáticas para analizar estas teorías. ^{[ 2 ]} Muchos otros físicos también participaron en el desarrollo y la comprensión de estas transformaciones. Minkowski estaba especialmente familiarizado con el trabajo de Henri Poincaré y, en particular, con su segundo artículo sobre relatividad de 1905. ^{[ 3 ] : 94} En ese artículo, Poincaré mostró ^{[ 4 ]} cómo, al tomar el tiempo como una cuarta coordenada imaginaria del espacio-tiempo ict , donde c es la velocidad de la luz e i es la unidad imaginaria , las transformaciones de Lorentz pueden visualizarse como rotaciones ordinarias de la esfera de cuatro dimensiones, ^{[ 5 ] : vi} donde el eje de rotación corresponde a la dirección del movimiento relativo entre los dos observadores y el ángulo de rotación está relacionado con su velocidad relativa.

Como parte de su análisis, Poincaré describió invariantes bajo la rotación, como la cantidad $${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2},}$$ donde el${\displaystyle x,y,z,t}$son diferencias entre puntos en el espacio de cuatro dimensiones, como distancias. (La suma de las tres primeras diferencias sería el cuadrado de la distancia euclidiana en el espacio 3; tales distancias son invariantes bajo rotación en el espacio 3). La rotación y el concepto de invariantes como distancias fueron elaborados por Minkowski, ^{[ 3 ]} en un artículo en alemán publicado en 1908 llamado "Las ecuaciones fundamentales para los procesos electromagnéticos en cuerpos en movimiento". ^{[ 6 ]} El artículo introdujo tensores a la representación matemática de la física y reformuló las ecuaciones de Maxwell como un conjunto simétrico de ecuaciones en las cuatro variables ( x , y , z , ict ) combinadas con variables vectoriales redefinidas para cantidades electromagnéticas. Pudo demostrar su invariancia bajo la transformación de Lorentz. ^{[ 3 ]} A partir de su reformulación, concluyó que el tiempo y el espacio deben tratarse por igual, y así surgió su concepto de eventos que tienen lugar en un continuo espacio-tiempo unificado de cuatro dimensiones .

En 1908, Minkowski presentó sus ideas en una conferencia en Colonia, Alemania, ante una audiencia internacional que incluía tanto a físicos como a matemáticos. ^{[ 7 ]} La conferencia se conoció como su conferencia de 1908 sobre "Espacio y Tiempo" y posteriormente se publicó en varias versiones. ^{[ 8 ]} Minkowski comenzó su conferencia con el que se convertiría en su comentario más famoso: ^{[ 3 ] : 97}

Las concepciones del espacio y el tiempo que deseo presentarles provienen de la física experimental, y ahí reside su fuerza. Son radicales. De ahora en adelante, el espacio y el tiempo, por sí solos, están condenados a desvanecerse en meras sombras, y solo una especie de unión entre ambos preservará una realidad independiente.

A pesar de su punto de partida en la física experimental, el resto de la conferencia de Minkowski hizo hincapié en las matemáticas. Subrayó las ventajas de la representación de coordenadas y velocidades mediante cuatro vectores . ^{[ 3 ] : 105} Introdujo el diagrama de Minkowski y lo utilizó para definir conceptos y demostrar propiedades de las transformaciones de Lorentz (por ejemplo, la contracción del tiempo y la longitud propios ), así como para proporcionar una interpretación geométrica a la generalización de la mecánica newtoniana a la mecánica relativista . El efecto fue posicionar las matemáticas como reveladoras de conceptos importantes de la realidad física, en lugar de simplemente como una herramienta conveniente. ^{[ 3 ]}

El producto escalar de dos vectores de tipo temporal u ₁ = ( t ₁ , x ₁ , y ₁ , z ₁ ) y u ₂ = ( t ₂ , x ₂ , y ₂ , z ₂ ) es $${\displaystyle \eta (u_{1},u_{2})=u_{1}\cdot u_{2}=c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}.}$$

Positividad del producto escalar : Una propiedad importante es que el producto escalar de dos vectores temporales con la misma dirección siempre es positivo. Esto se puede observar en la desigualdad de Cauchy-Schwarz inversa que se muestra a continuación. De ello se deduce que si el producto escalar de dos vectores es cero, entonces al menos uno de ellos debe ser espacial. El producto escalar de dos vectores espaciales puede ser positivo o negativo, como se puede apreciar al considerar el producto de dos vectores espaciales con componentes espaciales ortogonales y tiempos de signo diferente o igual.

Utilizando la propiedad de positividad de los vectores de tipo temporal, es fácil verificar que una suma lineal con coeficientes positivos de vectores de tipo temporal con direcciones similares también es de tipo temporal con direcciones similares (la suma permanece dentro del cono de luz debido a la convexidad).

La norma de un vector de tipo temporal u = ( ct , x , y , z ) se define como $${\displaystyle \left\|u\right\|={\sqrt {\eta (u,u)}}={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}}$$

La desigualdad de Cauchy inversa es otra consecuencia de la convexidad de cualquiera de los conos de luz. ^{[ 13 ]} Para dos vectores de tipo temporal distintos y de dirección similar, u ₁ y u _2, esta desigualdad es $${\displaystyle \eta (u_{1},u_{2})>\left\|u_{1}\right\|\left\|u_{2}\right\|}$$ o algebraicamente, $${\displaystyle c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}>{\sqrt {\left(c^{2}t_{1}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}-z_{1}^{2}\right)\left(c^{2}t_{2}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2}-z_{2}^{2}\right)}}}$$

A partir de esto, se puede apreciar la propiedad positiva del producto escalar.

Para dos vectores de tipo temporal con dirección similar u y w , la desigualdad es ^{[ 14 ].}$${\displaystyle \left\|u+w\right\|\geq \left\|u\right\|+\left\|w\right\|,}$$ donde la igualdad se cumple cuando los vectores son linealmente dependientes .

La demostración utiliza la definición algebraica con la desigualdad de Cauchy invertida: ^{[ 15 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|u+w\right\|^{2}&=\left\|u\right\|^{2}+2\left(u,w\right)+\left\|w\right\|^{2}\\[5mu]&\geq \left\|u\right\|^{2}+2\left\|u\right\|\left\|w\right\|+\left\|w\right\|^{2}=\left(\left\|u\right\|+\left\|w\right\|\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

El resultado se obtiene ahora tomando la raíz cuadrada en ambos lados.

En la práctica, no es necesario preocuparse por los espacios tangentes. La estructura de espacio vectorial del espaciotiempo de Minkowski permite la identificación canónica de vectores en espacios tangentes en puntos (eventos) con vectores (puntos, eventos) en el propio espaciotiempo de Minkowski. Véase, por ejemplo, Lee (2003 , Proposición 3.8) o Lee (2012 , Proposición 3.13). Estas identificaciones se realizan de forma rutinaria en matemáticas. Se pueden expresar formalmente en coordenadas cartesianas como ^{[ 16 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(x^{0},\,x^{1},\,x^{2},\,x^{3}\right)\ &\leftrightarrow \ \left.x^{0}\mathbf {e} _ {0}\right|_{p}+\left.x^{1}\mathbf {e} _{1}\right|_{p}+\left.x^{2}\mathbf {e} _{2}\right|_{p}+\left.x^{3}\mathbf {e} _{3}\right|_{p}\\&\leftrightarrow \ \left.x^{0}\mathbf {e} _{0}\right|_{q}+\left.x^{1}\mathbf {e} _{1}\right|_{q}+\left.x^{2}\mathbf {e} _{2}\right|_{q}+\left.x^{3}\mathbf {e} _{3}\right|_{q}\end{aligned}}}$$ con vectores base en los espacios tangentes definidos por $${\displaystyle \left.\mathbf {e} _{\mu }\right|_{p}=\left.{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\right|_{p}{\text{ o }}\mathbf {e} _{0}|_{p}=\left({\begin{matrix}1\\0\\0\\0\end{matrix}}\right){\text{, etc}}.}$$

Aquí, p y q son dos eventos cualesquiera, y la segunda identificación del vector base se denomina transporte paralelo . La primera identificación es la identificación canónica de vectores en el espacio tangente en cualquier punto con vectores en el espacio mismo. La aparición de vectores base en espacios tangentes como operadores diferenciales de primer orden se debe a esta identificación. Está motivada por la observación de que un vector tangente geométrico puede asociarse de manera biunívoca con un operador de derivada direccional en el conjunto de funciones suaves. Esto se eleva a una definición de vectores tangentes en variedades que no necesariamente están incrustadas en R ⁿ . Esta definición de vectores tangentes no es la única posible, ya que también se pueden usar n -tuplas ordinarias.

Para ciertos fines, es deseable identificar vectores tangentes en un punto p con vectores de desplazamiento en p' , lo cual, por supuesto, es admisible mediante la misma identificación canónica. ^{[ 17 ]} Las identificaciones de vectores mencionadas anteriormente en el contexto matemático se pueden encontrar, de manera similar, en un contexto más físico y explícitamente geométrico en Misner, Thorne y Wheeler (1973) . Estas identificaciones ofrecen diversos grados de sofisticación (y rigor) según la parte del material que se elija leer.

La signatura métrica se refiere al signo que produce el producto interno de Minkowski cuando se le proporcionan vectores base espaciales ( de tipo espacial , definidos más adelante) y temporales ( de tipo temporal ) como argumentos. Para una discusión más detallada sobre esta elección, teóricamente irrelevante pero prácticamente necesaria para la coherencia interna y la conveniencia, se aborda en el recuadro oculto a continuación. Véase también la página que trata sobre la convención de signos en Relatividad.

Matemáticamente, la forma bilineal está asociada a un tensor de tipo (0,2) en cada punto del espaciotiempo, denominado métrica de Minkowski . ^{[ nb 4 ]} La métrica de Minkowski, la forma bilineal y el producto interno de Minkowski son el mismo objeto: una función bilineal que acepta dos vectores (contravariantes) y devuelve un número real. En coordenadas, se trata de la matriz de 4×4 que representa la forma bilineal.

En comparación, en la relatividad general , una variedad lorentziana L también está equipada con un tensor métrico g , que es una forma bilineal simétrica no degenerada en el espacio tangente T _p L en cada punto p de L. En coordenadas, puede representarse mediante una matriz de 4×4 dependiendo de la posición espaciotemporal . El espaciotiempo de Minkowski es, por lo tanto, un caso especial relativamente simple de una variedad lorentziana . Su tensor métrico está en coordenadas con la misma matriz simétrica en cada punto de M , y sus argumentos pueden, como se indicó anteriormente, tomarse como vectores en el propio espaciotiempo.

Introduciendo más terminología (pero no más estructura), el espaciotiempo de Minkowski es, por lo tanto, un espacio pseudoeuclidiano con dimensión total n = 4 y signatura (1, 3) o (3, 1) . Los elementos del espaciotiempo de Minkowski se denominan eventos . El espaciotiempo de Minkowski se suele denotar R ^1,3 o R ^3,1 para enfatizar la signatura elegida, o simplemente M. Es un ejemplo de una variedad pseudoriemanniana .

Entonces, matemáticamente, la métrica es una forma bilineal en un espacio vectorial real abstracto de cuatro dimensiones V , es decir, $${\displaystyle \eta :V\times V\rightarrow \mathbf {R} }$$ donde η tiene signatura (+, -, -, -) , y la signatura es una propiedad invariante de coordenadas de η . El espacio de aplicaciones bilineales forma un espacio vectorial que puede identificarse con${\displaystyle M^{*}\otimes M^{*}}$y η pueden considerarse equivalentemente como un elemento de este espacio. Al elegir una base ortonormal${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$,${\displaystyle M:=(V,\eta )}$puede identificarse con el espacio${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}:=(\mathbf {R} ^{4},\eta _ {\mu \nu })}$. La notación tiene como objetivo enfatizar el hecho de que M y${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}}$No son solo espacios vectoriales, sino que además tienen una estructura añadida.${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(+1,-1,-1,-1)}$.

Un ejemplo interesante de coordenadas no inerciales para (parte del) espaciotiempo de Minkowski son las coordenadas de Born . Otro conjunto útil de coordenadas son las coordenadas del cono de luz .

El producto interno de Minkowski no es un producto interno , ya que tiene vectores nulos distintos de cero . Como no es una forma bilineal definida, se le llama indefinido .

La métrica de Minkowski η es el tensor métrico del espaciotiempo de Minkowski. Es una métrica pseudoeuclidiana o, más generalmente, una métrica pseudoriemanniana constante en coordenadas cartesianas. Como tal, es una forma bilineal simétrica no degenerada, un tensor de tipo (0, 2) . Acepta dos argumentos u _p , v _p , vectores en T _p M , p ∈ M , el espacio tangente en p en M . Debido a la identificación canónica mencionada anteriormente de T _p M con M mismo, acepta argumentos u , v con u y v en M .

Como convención de notación, los vectores v en M , llamados 4-vectores , se denotan en cursiva, y no, como es común en el contexto euclidiano, con v en negrita . Esto último generalmente se reserva para la parte de 3 -vectores (que se presentará más adelante) de un 4 -vector.

La definición ^{[ 18 ]}$${\displaystyle u\cdot v=\eta (u,\,v)}$$ produce una estructura similar a un producto interno en M , anteriormente y también en adelante, llamada producto interno de Minkowski , similar al producto interno euclidiano , pero describe una geometría diferente. También se le llama producto escalar relativista . Si los dos argumentos son los mismos, $${\displaystyle u\cdot u=\eta (u,u)\equiv \|u\|^{2}\equiv u^{2},}$$ La cantidad resultante se denominará norma de Minkowski al cuadrado . El producto interno de Minkowski satisface las siguientes propiedades.

Linealidad en el primer argumento

${\displaystyle \eta (au+v,\,w)=a\eta (u,\,w)+\eta (v,\,w),\quad \forall u,\,v\in M,\;\forall a\in \mathbb {R} }$

Simetría

${\displaystyle \eta (u,\,v)=\eta (v,\,u)}$

No degeneración

${\displaystyle \eta (u,\,v)=0,\;\forall v\in M\ \Rightarrow \ u=0}$

Las dos primeras condiciones implican bilinealidad.

La característica más importante del producto interno y la norma al cuadrado es que estas cantidades no se ven afectadas por las transformaciones de Lorentz . De hecho, puede considerarse la propiedad definitoria de una transformación de Lorentz, ya que conserva el producto interno (es decir, el valor de la forma bilineal correspondiente en dos vectores). Este enfoque se aplica de forma más general a todos los grupos clásicos definibles de esta manera en el grupo clásico . Allí, la matriz Φ es idéntica en el caso O(3, 1) (el grupo de Lorentz) a la matriz η que se mostrará a continuación.

El espaciotiempo de Minkowski se construye de tal manera que la velocidad de la luz sea la misma constante independientemente del sistema de referencia en el que se mida. Esta propiedad resulta de la relación del eje del tiempo con un eje del espacio. Dos eventos u y v son ortogonales cuando la forma bilineal es cero para ellos: η ( v , w ) = 0 .

Cuando tanto u como v son de tipo espacial, son perpendiculares ; pero si una es de tipo temporal y la otra de tipo espacial, la relación es de ortogonalidad hiperbólica . Esta relación se conserva al cambiar de sistema de referencias y, por consiguiente, el cálculo de la velocidad de la luz produce un resultado constante. El cambio de sistema de referencias se denomina transformación de Lorentz y, en matemáticas, es una rotación hiperbólica . Cada sistema de referencia se asocia con un ángulo hiperbólico , que es cero para el sistema de referencia en reposo en el espacio-tiempo de Minkowski. Dicho ángulo hiperbólico se ha denominado rapidez, ya que está asociado con la velocidad del sistema de referencia.

Del segundo postulado de la relatividad especial , junto con la homogeneidad del espaciotiempo y la isotropía del espacio, se deduce que el intervalo espaciotiempo entre dos eventos arbitrarios llamados 1 y 2 es: ^{[ 19 ]}$${\displaystyle c^{2}\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2}-\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}-\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}-\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}.}$$ Esta cantidad no se nombra de forma consistente en la literatura. A veces se hace referencia al intervalo como la raíz cuadrada del intervalo tal como se define aquí. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

La invariancia del intervalo bajo transformaciones de coordenadas entre sistemas de referencia inerciales se deriva de la invariancia de $${\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$$ siempre que las transformaciones sean lineales. Esta forma cuadrática se puede utilizar para definir una forma bilineal. $${\displaystyle u\cdot v=c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}}$$ a través de la identidad de polarización . Esta forma bilineal a su vez puede escribirse como $${\displaystyle u\cdot v=u^{\textsf {T}}\,[\eta ]\,v,}$$ donde [ η ] es un${\displaystyle 4\times 4}$matriz asociada con η . Aunque puede resultar confuso, es práctica común denotar [ η ] simplemente con η . La matriz se lee a partir de la forma bilineal explícita como $${\displaystyle \eta =\left({\begin{array}{r}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{array}}\right)\!,}$$ y la forma bilineal $${\displaystyle u\cdot v=\eta (u,v),}$$ Con la cual esta sección comenzó dando por sentada su existencia, ahora se identifica.

Para mayor claridad y brevedad, se adopta la signatura (− + + +) a continuación. Esta elección (o la otra posible) no tiene implicaciones físicas (conocidas). El grupo de simetría que preserva la forma bilineal con una elección de signatura es isomorfo (bajo la aplicación dada aquí ) al grupo de simetría que preserva la otra elección de signatura. Esto significa que ambas elecciones concuerdan con los dos postulados de la relatividad. Cambiar entre las dos convenciones es sencillo. Si el tensor métrico η se ha utilizado en una derivación, vuelva al punto más antiguo donde se usó, sustituya η por − η y retroceda hasta la fórmula deseada con la signatura métrica deseada.

Una base estándar u ortonormal para el espaciotiempo de Minkowski es un conjunto de cuatro vectores mutuamente ortogonales { e ₀ , e ₁ , e ₂ , e ₃ } tales que $${\displaystyle \eta (e_{0},e_{0})=-\eta (e_{1},e_{1})=-\eta (e_{2},e_{2})=-\eta (e_{3},e_{3})=1}$$ y para cuál$${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=0}$$cuando${\textstyle \mu \neq \nu \,.}$

Estas condiciones se pueden escribir de forma compacta en la forma $${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.}$$

En relación con una base estándar, las componentes de un vector ^v se escriben ( v₀ , v₁ , v₂ , ^v₃ ) ^, donde se utiliza la notación de Einstein para escribir v = vμeμ . La componente v₀ se denomina componente temporal de _v ^{, mientras que} las otras tres componentes se denominan componentes espaciales . Las componentes espaciales de un vector de 4 ^dimensiones v pueden identificarse con un vector de 3 _dimensiones v = ( v₁ _, v₂ , v₃ ₎ .

En términos de componentes, el producto interno de Minkowski entre dos vectores v y w viene dado por

$${\displaystyle \eta (v,w)=\eta _{\mu \nu }v^{\mu }w^{\nu }=v^{0}w_{0}+v^{1}w_{1}+v^{2}w_{2}+v^{3}w_{3}=v^{\mu }w_{\mu }=v_{\mu }w^{\mu },}$$ y $${\displaystyle \eta (v,v)=\eta _{\mu \nu }v^{\mu }v^{\nu }=v^{0}v_{0}+v^{1}v_{1}+v^{2}v_{2}+v^{3}v_{3}=v^{\mu }v_{\mu }.}$$

Aquí se utilizó la reducción de un índice con la métrica.

Existen muchas opciones posibles de base estándar que cumplen la condición.${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.}$Cualquier par de bases de este tipo están relacionadas de alguna manera por una transformación de Lorentz, ya sea por una matriz de cambio de base.${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }}$, una matriz real de 4 × 4 que satisface$${\displaystyle \Lambda _{\rho }^{\mu }\eta _{\mu \nu }\Lambda _{\sigma }^{\nu }=\eta _{\rho \sigma }.}$$ o Λ , una aplicación lineal en el espacio vectorial abstracto que satisface, para cualquier par de vectores u , v , $${\displaystyle \eta (\Lambda u,\Lambda v)=\eta (u,v).}$$

Entonces, si existen dos bases diferentes, { e ₀ , e ₁ , e ₂ , e ₃ } y { e ′ ₀ , e ′ ₁ , e ′ ₂ , e ′ ₃ } ,${\displaystyle e_{\mu }'=e_{\nu }\Lambda _{\mu }^{\nu }}$puede representarse como${\displaystyle e_{\mu }'=e_{\nu }\Lambda _{\mu }^{\nu }}$o${\displaystyle e_{\mu }'=\Lambda e_{\mu }}$. Si bien puede resultar tentador pensar en${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }}$y Λ como la misma cosa, matemáticamente son elementos de espacios diferentes y actúan sobre el espacio de bases estándar desde lados diferentes.

Subida y bajada de los índices

Técnicamente, una forma bilineal no degenerada proporciona una aplicación entre un espacio vectorial y su dual; en este contexto, la aplicación se establece entre los espacios tangentes de M y los espacios cotangentes de M. En un punto de M , los espacios tangente y cotangente son espacios vectoriales duales (por lo que la dimensión del espacio cotangente en un evento también es 4 ). Así como un producto interno auténtico en un espacio vectorial con un argumento fijo, según el teorema de representación de Riesz , puede expresarse como la acción de un funcional lineal sobre el espacio vectorial, lo mismo ocurre con el producto interno de Minkowski del espaciotiempo de Minkowski. ^{[ 23 ]}

Así, si v ^μ son las componentes de un vector en el espacio tangente, entonces η _μν v ^μ = v _ν son las componentes de un vector en el espacio cotangente (un funcional lineal). Debido a la identificación de vectores en espacios tangentes con vectores en M mismo, esto se ignora en su mayoría, y los vectores con índices más bajos se denominan vectores covariantes . En esta última interpretación, los vectores covariantes se identifican (casi siempre implícitamente) con vectores (funcionales lineales) en el dual del espaciotiempo de Minkowski. Los que tienen índices más altos son vectores contravariantes . De la misma manera, la inversa del mapeo de espacios tangentes a cotangentes, dada explícitamente por la inversa de η en representación matricial, puede usarse para definir la elevación de un índice . Las componentes de esta inversa se denotan η ^μν . Sucede que η ^μν = η _μν . Estas aplicaciones entre un espacio vectorial y su dual pueden denotarse η ^♭ (eta bemol) y η ^♯ (eta sostenido) por analogía musical. ^{[ 24 ]}

Los vectores contravariantes y covariantes son objetos geométricamente muy diferentes. Los primeros pueden y deben considerarse como flechas. Una función lineal se caracteriza por dos elementos: su núcleo , que es un hiperplano que pasa por el origen, y su norma. Geométricamente, los vectores covariantes deben verse como un conjunto de hiperplanos, con un espaciado que depende de la norma (a mayor valor, menor espaciado), y uno de ellos (el núcleo) pasa por el origen. El término matemático para un vector covariante es 1-covector o 1-forma (aunque este último suele reservarse para campos covectoriales ).

Una analogía cuántica explorada en la literatura es la de una onda de De Broglie (escalada por un factor de la constante reducida de Planck) asociada a un cuadrivector de momento para ilustrar cómo se podría imaginar una versión covariante de un vector contravariante. El producto interno de dos vectores contravariantes podría considerarse igualmente como la acción de la versión covariante de uno de ellos sobre la versión contravariante del otro. El producto interno es entonces cuántas veces la flecha atraviesa los planos. ^{[ 22 ]} La referencia matemática, Lee (2003 ) , ofrece la misma visión geométrica de estos objetos (pero no menciona ninguna perforación).

El tensor del campo electromagnético es una 2-forma diferencial , cuya descripción geométrica también se puede encontrar en MTW.

Por supuesto, se pueden ignorar por completo las perspectivas geométricas (como se hace, por ejemplo, en Weinberg (2002) y Landau y Lifshitz 2002 ) y proceder algebraicamente de forma puramente formal. La robustez demostrada del formalismo en sí, a veces denominada « gimnasia de índices» , garantiza que mover vectores y cambiar de vectores contravariantes a covariantes y viceversa (así como tensores de orden superior) sea matemáticamente correcto. Las expresiones incorrectas tienden a revelarse rápidamente.

Sean x , y ∈ M. Aquí,

1. x precede cronológicamente a y si y − x es una relación temporal dirigida hacia el futuro. Esta relación tiene la propiedad transitiva y, por lo tanto, se puede escribir x < y .
2. x precede causalmente a y si y − x es nulo dirigido al futuro o de tipo temporal dirigido al futuro. Da un orden parcial del espacio-tiempo y, por lo tanto, se puede escribir x ≤ y .

Supongamos que x ∈ M es de tipo temporal. Entonces, el hiperplano simultáneo para x es { y  : η ( x , y ) = 0} . Dado que este hiperplano varía a medida que x varía, existe una relatividad de la simultaneidad en el espaciotiempo de Minkowski.

El espaciotiempo de Minkowski complejizado se define como M _c = M ⊕ iM . ^{[ 26 ]} Su parte real es el espaciotiempo de Minkowski de cuadrivectores , como la cuadrivelocidad y el cuadrimomento , que son independientes de la orientación del espacio. La parte imaginaria, por otro lado, puede consistir en cuatro pseudovectores, como la velocidad angular y el momento magnético , que cambian de dirección con la orientación. Se introduce un pseudoescalar i , que también cambia de signo con la orientación. Por lo tanto, los elementos de M _c son independientes de la orientación.

La estructura tipo producto interno en M _c se define como u ⋅ v = η ( u , v ) para cualquier u , v ∈ M _c . Un espín puro relativista de un electrón o cualquier partícula de medio espín se describe por ρ ∈ M _c como ρ = u + is , donde u es la cuadrivelocidad de la partícula, que satisface u ² = 1 y s es el vector de espín 4D, ^{[ 27 ]} que también es el pseudovector de Pauli-Lubanski que satisface s ² = −1 y u ⋅ s = 0 .

El espaciotiempo de Minkowski se refiere a una formulación matemática en cuatro dimensiones. Sin embargo, las matemáticas pueden extenderse o simplificarse fácilmente para crear un espaciotiempo de Minkowski generalizado análogo en cualquier número de dimensiones. Si n ≥ 2 , el espaciotiempo de Minkowski n -dimensional es un espacio vectorial de dimensión real n en el que existe una métrica de Minkowski constante de signatura ( n − 1, 1) o (1, n − 1) . Estas generalizaciones se utilizan en teorías donde se supone que el espaciotiempo tiene más o menos de 4 dimensiones. La teoría de cuerdas y la teoría M son dos ejemplos donde n > 4. En la teoría de cuerdas aparecen teorías de campos conformes con 1 + 1 dimensiones de espaciotiempo.

El espacio de De Sitter puede formularse como una subvariedad del espaciotiempo generalizado de Minkowski, al igual que los espacios modelo de la geometría hiperbólica (véase más abajo).

Como espaciotiempo plano , las tres componentes espaciales del espaciotiempo de Minkowski siempre obedecen el teorema de Pitágoras . El espaciotiempo de Minkowski constituye una base adecuada para la relatividad especial, una buena descripción de sistemas físicos a distancias finitas en sistemas sin gravitación significativa . Sin embargo, para tener en cuenta la gravedad, los físicos utilizan la teoría de la relatividad general , formulada en la geometría diferencial de variedades diferenciales . Cuando esta geometría se utiliza como modelo de espaciotiempo, se la conoce como espaciotiempo curvo .

Incluso en el espaciotiempo curvo, el espaciotiempo de Minkowski sigue siendo una buena descripción en una región infinitesimal que rodea cualquier punto (salvo singularidades gravitacionales). ^{[ nb 5 ]} De forma más abstracta, se puede decir que, en presencia de gravedad, el espaciotiempo se describe mediante una variedad curva de 4 dimensiones cuyo espacio tangente a cualquier punto es un espaciotiempo de Minkowski de 4 dimensiones. Por lo tanto, la estructura del espaciotiempo de Minkowski sigue siendo esencial en la descripción de la relatividad general.

En la definición anterior${\displaystyle \iota$ :\mathbf {H} _{R}^{1(n)}\rightarrow \mathbf {M} ^{n+1}} es la aplicación de inclusión y el superíndice estrella denota el retroceso . El propósito actual es describir esta y otras operaciones similares como preparación para la demostración real de que${\displaystyle \mathbf {H} _{R}^{1(n)}}$En realidad es un espacio hiperbólico.

Para mostrar la métrica, es necesario retrocederla mediante una parametrización adecuada . Una parametrización de una subvariedad S de una variedad M es una aplicación U ⊂ R ^m → M cuyo rango es un subconjunto abierto de S. Si S tiene la misma dimensión que M , la parametrización es simplemente la inversa de una aplicación de coordenadas φ : M → U ⊂ R ^m . La parametrización que se debe usar es la inversa de la proyección estereográfica hiperbólica . Esto se ilustra en la figura de la derecha para n = 2. Resulta instructivo compararlo con la proyección estereográfica para esferas.

La proyección estereográfica σ : H ⁿ _R → R ⁿ y su inversa σ ⁻¹ : R ⁿ → H ⁿ _R están dadas por $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (\tau ,\mathbf {x} )=\mathbf {u} &={\frac {R\mathbf {x} }{R+\tau }},\\\sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau ,\mathbf {x} )&=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}\right),\end{aligned}}}$$ donde, por simplicidad, τ ≡ ct . Las ( τ , x ) son coordenadas en M ^{n +1} y las u son coordenadas en R ⁿ .

Uno tiene $${\displaystyle h_{R}^{1(n)}=\eta |_{\mathbf {H} _{R}^{1(n)}}=\left(dx^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(dx^{n}\right)^{2}-d\tau ^{2}}$$ y el mapa $${\displaystyle \sigma ^{-1}:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {H} _{R}^{1(n)};\quad \sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau (\mathbf {u} ),\,\mathbf {x} (\mathbf {u} ))=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},\,{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}\right).}$$

La métrica retraída se puede obtener mediante métodos sencillos de cálculo; $${\displaystyle \left.\left(\sigma ^{-1}\right)^{*}\eta \right|_{\mathbf {H} _{R}^{1(n)}}=\left(dx^{1}(\mathbf {u} )\right)^{2}+\cdots +\left(dx^{n}(\mathbf {u} )\right)^{2}-\left(d\tau (\mathbf {u} )\right)^{2}.}$$

Uno calcula según las reglas estándar para calcular diferenciales (aunque en realidad se están calculando las derivadas exteriores definidas rigurosamente), $${\displaystyle {\begin{aligned}dx^{1}(\mathbf {u} )&=d\left({\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)={\frac {\partial }{\partial u^{1}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{1}+\cdots +{\frac {\partial }{\partial u^{n}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{n}+{\frac {\partial }{\partial \tau }}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}d\tau ,\\&\ \ \vdots \\dx^{n}(\mathbf {u} )&=d\left({\frac {2R^{2}u^{n}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)=\cdots ,\\d\tau (\mathbf {u} )&=d\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)=\cdots ,\end{aligned}}}$$ y sustituye los resultados en el lado derecho. Esto produce $${\displaystyle \left(\sigma ^{-1}\right)^{*}h_{R}^{1(n)}={\frac {4R^{2}\left[\left(du^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(du^{n}\right)^{2}\right]}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}\equiv h_{R}^{2(n)}.}$$

Esta última ecuación muestra que la métrica en la bola es idéntica a la métrica riemanniana h ^{2( n )} _R en el modelo de la bola de Poincaré , otro modelo estándar de geometría hiperbólica.