levitación magnética

La estabilidad estática significa que cualquier pequeño desplazamiento que se aleje de un punto de equilibrio estable provoca una fuerza neta que lo empuja de vuelta al punto de equilibrio.

El teorema de Earnshaw demostró de forma concluyente que no es posible levitar de forma estable utilizando únicamente campos paramagnéticos macroscópicos y estáticos. Las fuerzas que actúan sobre cualquier objeto paramagnético en cualquier combinación de campos gravitatorios , electrostáticos y magnetostáticos harán que la posición del objeto sea, en el mejor de los casos, inestable a lo largo de al menos un eje, y puede estar en equilibrio inestable a lo largo de todos los ejes. Sin embargo, existen varias posibilidades para hacer viable la levitación, por ejemplo, el uso de estabilización electrónica o materiales diamagnéticos (ya que la permeabilidad magnética relativa es menor que uno ^{[ 5 ]} ); se puede demostrar que los materiales diamagnéticos son estables a lo largo de al menos un eje, y pueden ser estables a lo largo de todos los ejes. Los conductores pueden tener una permeabilidad relativa a campos magnéticos alternos inferior a uno, por lo que algunas configuraciones que utilizan electroimanes simples alimentados por corriente alterna son autoestables.

Cuando un sistema de levitación utiliza la retroalimentación negativa para mantener su equilibrio amortiguando cualquier oscilación que pueda producirse, ha alcanzado la estabilidad dinámica.

En el caso de un campo magnético estático, la fuerza magnética es conservativa y, por lo tanto, no presenta amortiguamiento intrínseco. En la práctica, muchos de los sistemas de levitación son marginalmente estables y, al considerar las no idealidades de los sistemas físicos, dan lugar a un amortiguamiento negativo. Este amortiguamiento negativo genera oscilaciones que crecen exponencialmente alrededor del punto de equilibrio inestable del campo magnético, lo que inevitablemente provoca que el objeto levitante sea expulsado del campo magnético. ^{[ 6 ]}

Por otro lado, la estabilidad dinámica se puede lograr haciendo girar un imán permanente con polos ligeramente desviados del plano de rotación (llamado inclinación) a velocidad constante dentro de un rango que pueda mantener otro imán dipolar en el aire. ^{[ 7 ] [ 1 ]}

Para que el sistema de levitación magnética sea estable, también se puede utilizar la retroalimentación negativa de un sistema de control externo para añadir amortiguación al sistema. Esto se puede lograr de varias maneras:

• Amortiguación mecánica externa (en el soporte), como amortiguadores , resistencia del aire , etc.
• Amortiguación por corrientes parásitas (metal conductor influenciado por el campo)
• amortiguadores de masa sintonizados en el objeto levitado
• electroimanes controlados por electrónica

Con una pequeña cantidad de restricción mecánica para lograr la estabilidad, conseguir la pseudolevitación es un proceso relativamente sencillo.

Si dos imanes están sujetos mecánicamente a lo largo de un solo eje, por ejemplo, y dispuestos de manera que se repelan fuertemente entre sí, esto provocará que uno de los imanes levite sobre el otro.

Otra geometría consiste en que los imanes se atraen, pero un elemento de tensión, como una cuerda o un cable, impide que se toquen.

Otro ejemplo es la centrífuga tipo Zippe, en la que un cilindro se suspende bajo un imán de atracción y se estabiliza mediante un cojinete de agujas desde abajo.

Otra configuración consiste en una matriz de imanes permanentes instalados en un perfil ferromagnético en forma de U y acoplados a un riel ferromagnético. El flujo magnético atraviesa el riel en una dirección transversal al primer eje y crea un bucle cerrado en el perfil en forma de U. Esta configuración genera un equilibrio estable a lo largo del primer eje que mantiene el riel centrado en el punto de cruce del flujo ( reluctancia magnética mínima ) y permite soportar una carga magnéticamente. En el otro eje, el sistema está restringido y centrado por medios mecánicos, como ruedas. ^{[ 8 ]}

La atracción de un imán de fuerza constante disminuye con la distancia y aumenta a distancias más cortas. Esto genera inestabilidad. Para un sistema estable, se requiere lo contrario: las variaciones respecto a una posición estable deben devolverlo a la posición objetivo.

Se puede lograr una levitación magnética estable midiendo la posición y la velocidad del objeto que se está levitando y utilizando un bucle de retroalimentación que ajusta continuamente uno o más electroimanes para corregir el movimiento del objeto, formando así un servomecanismo .

Muchos sistemas utilizan la atracción magnética para tirar hacia arriba en contra de la gravedad, ya que esto proporciona cierta estabilidad lateral inherente, pero otros utilizan una combinación de atracción magnética y repulsión magnética para empujar hacia arriba.

Ambos sistemas representan ejemplos de suspensión electromagnética (SEM). Un ejemplo muy sencillo son algunas demostraciones de levitación de mesa que utilizan este principio: el objeto corta un haz de luz o se emplea un sensor de efecto Hall para medir su posición. El electroimán se sitúa sobre el objeto que se levita; se apaga cuando el objeto se acerca demasiado y se vuelve a encender cuando se aleja. Este sistema tan simple no es muy robusto; existen sistemas de control mucho más eficaces, pero ilustra la idea básica.

Los trenes de levitación magnética EMS se basan en este tipo de levitación: el tren se desplaza alrededor de la vía y es impulsado hacia arriba desde abajo. Los servocontroles lo mantienen a una distancia constante y segura de la vía.

Estos sistemas funcionan debido a la repulsión que se produce por la ley de Lenz . Cuando un conductor se expone a un campo magnético variable en el tiempo, se generan corrientes eléctricas en el conductor que crean un campo magnético que produce un efecto repulsivo.

Este tipo de sistemas suelen mostrar una estabilidad inherente, aunque en ocasiones se requiere una amortiguación adicional.

Campos electromagnéticos oscilantes

Un conductor puede levitar sobre un electroimán (o viceversa) con una corriente alterna fluyendo a través de él. Esto provoca que cualquier conductor regular se comporte como un diamagneto, debido a las corrientes parásitas generadas en el conductor. ^{[ 11 ] [ 12 ]} Dado que las corrientes parásitas crean sus propios campos que se oponen al campo magnético, el objeto conductor es repelido por el electroimán, y la mayoría de las líneas de campo magnético ya no penetrarán en el objeto conductor.

Este efecto requiere materiales no ferromagnéticos pero altamente conductores, como el aluminio o el cobre, ya que los ferromagnéticos también son fuertemente atraídos por el electroimán (aunque a altas frecuencias el campo aún puede ser expulsado) y tienden a tener una mayor resistividad, lo que produce corrientes parásitas más bajas. Nuevamente, el hilo litz ofrece los mejores resultados.

Este efecto puede utilizarse para realizar trucos como hacer levitar una guía telefónica ocultando una placa de aluminio en su interior.

A altas frecuencias (unas pocas decenas de kilohercios aproximadamente) y potencias de kilovatios, pequeñas cantidades de metales pueden levitarse y fundirse mediante fusión por levitación sin riesgo de que el metal se contamine con el crisol. ^{[ 13 ]}

Una fuente de campo magnético oscilante que se utiliza es el motor de inducción lineal . Este puede emplearse tanto para levitar como para proporcionar propulsión.

El teorema de Earnshaw no se aplica a los diamagnetos . Estos se comportan de manera opuesta a los imanes normales debido a su permeabilidad relativa μ r < ₁ ( es decir, susceptibilidad magnética negativa ). La levitación diamagnética puede ser inherentemente estable.

Un imán permanente puede suspenderse de forma estable mediante diversas configuraciones de imanes permanentes fuertes y diamagnetos fuertes. Al utilizar imanes superconductores, la levitación de un imán permanente puede incluso estabilizarse por el pequeño diamagnetismo del agua en los dedos humanos. ^{[ 14 ]}

El diamagnetismo es la propiedad de un objeto que le permite generar un campo magnético opuesto a un campo magnético externo aplicado, lo que provoca que el material sea repelido por campos magnéticos. Los materiales diamagnéticos hacen que las líneas de flujo magnético se curven alejándose del material. Específicamente, un campo magnético externo altera la velocidad orbital de los electrones alrededor de sus núcleos, modificando así el momento dipolar magnético .

Según la ley de Lenz, esto se opone al campo externo. Los materiales diamagnéticos tienen una permeabilidad magnética menor que μ₀ ₍ una permeabilidad relativa menor que 1). Por consiguiente, el diamagnetismo es una forma de magnetismo que solo se manifiesta en una sustancia en presencia de un campo magnético externo. Generalmente, es un efecto bastante débil en la mayoría de los materiales, aunque los superconductores presentan un efecto intenso.

Levitación diamagnética directa

Una sustancia diamagnética repele un campo magnético. Todos los materiales poseen propiedades diamagnéticas, pero su efecto es muy débil y suele ser contrarrestado por las propiedades paramagnéticas o ferromagnéticas del objeto , que actúan de forma opuesta. Cualquier material cuyo componente diamagnético sea más fuerte será repelido por un imán.

La levitación diamagnética se puede utilizar para levitar piezas muy ligeras de grafito pirolítico o bismuto sobre un imán permanente de fuerza moderada. Dado que el agua es predominantemente diamagnética, esta técnica se ha utilizado para levitar gotas de agua e incluso animales vivos, como un saltamontes, una rana y un ratón. ^{[ 15 ]} Sin embargo, los campos magnéticos necesarios para esto son muy altos, típicamente en el rango de 16 teslas , y por lo tanto crean problemas significativos si hay materiales ferromagnéticos cerca. El funcionamiento de este electroimán utilizado en el experimento de levitación de la rana requirió 4 MW (4 000 000 vatios) de potencia. ^{[ 15 ] : 5}

El criterio mínimo para la levitación diamagnética es${\displaystyle B{\frac {dB}{dz}}=\mu _{0}\,\rho \,{\frac {g}{\chi }}}$, dónde:

• ${\displaystyle \chi }$es la susceptibilidad magnética
• ${\displaystyle \rho }$es la densidad del material
• ${\displaystyle g}$es la aceleración gravitacional local (−9,8 m / s² en la ^Tierra )
• ${\displaystyle \mu _{0}}$es la permeabilidad del espacio libre
• ${\displaystyle B}$es el campo magnético
• ${\displaystyle {\frac {dB}{dz}}}$es la tasa de cambio del campo magnético a lo largo del eje vertical.

Suponiendo condiciones ideales a lo largo del eje z del imán solenoide:

• El agua levita en${\displaystyle B{\frac {dB}{dz}}\approx 1400\ \mathrm {T^{2}/m} }$
• El grafito levita en${\displaystyle B{\frac {dB}{dz}}\approx 375\ \mathrm {T^{2}/m} .}$

Los superconductores pueden considerarse diamagnetos perfectos , ya que repelen completamente los campos magnéticos debido al efecto Meissner cuando se forma la superconductividad; por lo tanto, la levitación superconductora puede considerarse un caso particular de levitación diamagnética. En un superconductor de tipo II , la levitación del imán se estabiliza aún más debido al anclaje del flujo magnético dentro del superconductor; esto tiende a impedir que el superconductor se mueva con respecto al campo magnético, incluso si el sistema levitado está invertido.

Estos principios son aprovechados por los sistemas de suspensión electrodinámica (EDS), los cojinetes superconductores , los volantes de inercia , etc.

Se requiere un campo magnético muy potente para hacer levitar un tren. Los trenes SCMaglev tienen bobinas magnéticas superconductoras, pero la levitación de los SCMaglev no se debe al efecto Meissner.

Un imán o un conjunto de imanes correctamente ensamblados pueden levitar de forma estable contra la gravedad al estabilizarse giroscópicamente haciéndolos girar en un campo toroidal de tamaño adecuado, creado por un solo imán o por la base de un conjunto de imanes que forman un anillo y que poseen el perfil de campo toroidal necesario. Sin embargo, esto solo funciona mientras la velocidad de precesión se encuentre entre los umbrales críticos superior e inferior; la región de estabilidad es bastante estrecha, tanto espacialmente como en lo que respecta a la velocidad de precesión requerida.

El primer descubrimiento de este fenómeno lo realizó Roy M. Harrigan , un inventor de Vermont que patentó un dispositivo de levitación en 1983 basado en él. ^{[ 16 ]} Se han desarrollado varios dispositivos que utilizan estabilización rotacional (como el popular juguete de levitación Levitron ) citando esta patente. Se han creado dispositivos no comerciales para laboratorios de investigación universitarios, que generalmente utilizan imanes demasiado potentes para una interacción pública segura.

La teoría de Earnshaw se aplica estrictamente solo a campos estáticos. Los campos magnéticos alternos, incluso los campos atractivos puramente alternos, ^{[ 17 ]} pueden inducir estabilidad y confinar una trayectoria a través de un campo magnético para producir un efecto de levitación.

Esto se utiliza en aceleradores de partículas para confinar y elevar partículas cargadas, y también se ha propuesto para trenes de levitación magnética. ^{[ 17 ]}

Maglev , o levitación magnética , es un sistema de transporte que suspende, guía e impulsa vehículos, principalmente trenes, utilizando la levitación magnética de un gran número de imanes para la elevación y la propulsión. Este método tiene el potencial de ser más rápido, silencioso y suave que los sistemas de transporte público con ruedas . La tecnología tiene el potencial de superar los 6400 km/h (4000 mi/h) si se implementa en un túnel al vacío . ^{[ 19 ]} Si no se implementa en un tubo al vacío, la energía necesaria para la levitación generalmente no es un porcentaje particularmente grande y la mayor parte de la energía necesaria se utiliza para vencer la resistencia del aire , como en cualquier otro tren de alta velocidad.  

La velocidad máxima registrada de un tren de levitación magnética es de 603 kilómetros por hora (374,69  mph), alcanzada en Japón el 21 de abril de 2015; 28,2  km/h más rápido que el récord de velocidad de un TGV convencional . Existen trenes de levitación magnética y se están planificando en todo el mundo. Entre los proyectos más destacados de Asia se encuentran el tren de levitación magnética superconductora de Central Japan Railway Company y el tren de levitación magnética de Shanghái , el más antiguo de su tipo comercial aún en funcionamiento. En Europa, se han considerado varios proyectos, y Northeast Maglev tiene como objetivo modernizar el Corredor Noreste de Norteamérica con la tecnología SCMaglev de JR Central .

• Cojinetes magnéticos
• Volantes de inercia
• Centrífugas
• Anillo magnético giratorio

La levitación electromagnética (LEM), patentada por Muck en 1923, ^{[ 20 ]} es una de las técnicas de levitación más antiguas utilizadas para experimentos sin recipiente. ^{[ 21 ]} La técnica hace levitar objetos mediante electroimanes . Una bobina típica de LEM tiene un bobinado invertido en las secciones superior e inferior, energizadas por una fuente de alimentación de radiofrecuencia .

En el campo de la microrrobótica , se han investigado estrategias que aprovechan la levitación magnética. En particular, se ha demostrado que mediante esta técnica se puede lograr el control de múltiples agentes de tamaño micrométrico dentro de un espacio de trabajo definido. ^{[ 22 ]} Varios estudios de investigación informan sobre la realización de diferentes configuraciones personalizadas para obtener adecuadamente el control deseado de los microrobots. En los laboratorios de Philips en Hamburgo, se utilizó un sistema de escala clínica personalizado, que integra imanes permanentes y electroimanes , para realizar levitación magnética y navegación 3D de un solo objeto magnético. ^{[ 23 ]} Otro grupo de investigación integró un mayor número de electroimanes, y por lo tanto más grados de libertad magnéticos , para lograr el control independiente 3D de múltiples objetos mediante levitación magnética. ^{[ 24 ]}

Sistema DM3

El microrobot que utiliza levitación magnética ha sido estudiado por SRI International (Stanford Research Institute) durante muchos años. ^{[ 25 ]} Este sistema robótico multiagente a pequeña escala se denomina Manipulación Micromagnética Diamagnética o sistema DM3. ^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]} El DM3 contiene un microrobot construido con imanes que levitan y se mueven sobre la superficie de una plataforma de conducción PCB. El microrobot en este sistema fue construido con una matriz de imanes NdFeB que se muestra en la figura Archivo:Disposición de imanes del microrobot.png . La dimensión de los imanes varía entre las diferentes versiones, aunque generalmente se encuentra en el rango de 1,4 ^{[ 27 ]} -2 ^{[ 26 ]} mm de forma cuadrada con una altura menor. Los polos de los imanes se posicionaron como una matriz de tablero de ajedrez para ajustarse al campo magnético generado por la plataforma PCB. El robot puede construirse en diferentes tamaños dependiendo del tamaño de la matriz. Los prototipos probados en los artículos de SRI son principalmente cuadrados de 2*2, ^{[ 26 ] [ 27 ] [ 29 ]} 3*3, ^{[ 27 ]} y 5*5 ^{[ 29 ]} .

La placa de circuito impreso de la plataforma de accionamiento se construyó con múltiples capas de pistas de cableado, como un actuador de bobina móvil. Se muestra en la figura.Hay cuatro capas de cables en la PCB que representan dos conjuntos colocados perpendicularmente entre sí que representan el movimiento en las direcciones X e Y. De arriba a abajo, el orden es XYXY que se cruzan uniformemente y los mismos ejes se entrelazaron para controlar la actuación. Dado que la fuerza creada por cada capa debe ser la misma en el circuito, las capas más profundas necesitan una corriente mayor para transmitir la misma fuerza magnética a los robots superiores. En SRI se utilizó un conjunto de corrientes de 0,25 A, 0,33 A, 0,5 A y 0,7 A. ^{[ 26 ]} Un cuadrado del sistema de 4 capas anterior actúa como una zona en la plataforma de conducción. ^{[ 27 ]} Esto permite que el circuito controle fácilmente varios robots en la misma zona, pero cada robot no puede moverse por separado. Sin embargo, la plataforma se puede dividir en múltiples zonas, lo que permite el control separado de los robots en diferentes zonas.

Finalmente, una fina capa de grafito pirolítico (500  µm) actúa como capa diamagnética, colocada en la parte superior para proporcionar una levitación estable. En versiones anteriores ^{[ 26 ]} del sistema  se utilizó una fina capa de cobre (15 µm) colocada sobre el grafito para amortiguar las corrientes parásitas.

Movimiento 2D

El sistema básico para el movimiento de 1 DOF consta de dos trazas serpentinas, accionadas individualmente. ^{[ 30 ] [ 31 ]} La figura muestra el esquema de las trayectorias de las trazas y un microrobot magnético de 3x3 en la parte superior. En la posición número 1, los imanes se encuentran en su posición de equilibrio donde la densidad de flujo magnético es máxima, entre dos corrientes opuestas provenientes de la misma trayectoria de la traza.

Al pasar de 1 a 2, el primer trazado se desactiva mientras que el segundo se activa. Esto provoca que los imanes se muevan hacia su nuevo equilibrio, en dirección a la mayor densidad de flujo magnético.

Al repetir este procedimiento con corrientes opuestas en los mismos caminos de traza, se produce un movimiento en la dirección deseada. ^{[ 32 ]}

Para encontrar la velocidad, se deben analizar las fuerzas que actúan sobre el microrobot (fig.). Se supone que el microrobot levita y, por lo tanto, no se produce ninguna fuerza de fricción, aparte de la resistencia del aire, que tampoco se tiene en cuenta.

La fuerza producida por la interacción de los momentos magnéticos del microrobot y la densidad de flujo de las trazas serpentinas es:

${\displaystyle F=\nabla ({\overrightarrow {m}}\cdot {\overrightarrow {B}})}$

El vector del momento magnético, dada la orientación requerida para la levitación diamagnética, es:

${\displaystyle {\overrightarrow {m}}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&0&{\frac {B_{r}V_{m}}{\mu _{0}}}\\\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$

Mientras tanto, la contribución al campo B de las dos trazas más cercanas es:

${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {B}}_{1}+{\vec {B}}_{2}=\ \mu _{0}{\frac {{\vec {I_{1}}}\times {\vec {r}}_{1}}{2\pi \left|{\vec {r}}_{1}\right|^{2}}}+\mu _{0}{\frac {{\vec {I_ {2}}}\times {\vec {r}}_{2}}{2\pi \left|{\vec {r}}_{2}\right|^{2}}}}$

Dado que para esta aproximación${\displaystyle {\overrightarrow {m}}\cdot {\overrightarrow {B}}}$no depende de y ni de z, sus derivadas son cero y solo se produce fuerza en la dirección x:

${\displaystyle F_{x}={\frac {B_{r}V_{m}I}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {x-\Delta x_{0}}{(x-\Delta x_{0})^{2}+d^{2}}}+{\frac {x+\Delta x_{0}}{(x+\Delta x_{0})^{2}+d^{2}}}\right)}$

Esta es la única fuerza aplicada al imán, y se puede igualar a la masa del robot multiplicada por su aceleración. Esta ecuación se puede integrar para hallar la velocidad del microrobot:

${\displaystyle F_{x}=mv{\frac {dv}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {B_{r}V_{m}I}{2\pi m}}\left({\frac {2\Delta x_{0}}{4\Delta x_{0}^{2}+d^{2}}}\right)={\frac {1}{2}}v_{max}^{2}}$

Introducción a la relación entre el volumen, la masa y la densidad del imán.${\displaystyle V_{m}={\frac {m}{\rho _{m}}}}$En la ecuación anterior, la masa se cancela, lo que significa que si se añaden más imanes (N número de imanes), la fuerza aumentará linealmente:

${\displaystyle v_{max}={\sqrt {N{\frac {B_{r}I}{\pi \rho _{m}}}\left({\frac {2\Delta x_{0}}{4\Delta x_{0}^{2}+d^{2}}}\right)}}}$

Esta es la expresión que representa la velocidad del robot en función de la corriente.

Para un segundo grado de libertad, se deben añadir más trazas. Se deben agregar dos trazas serpentinas entrelazadas debajo de las existentes, giradas 90 grados, para generar fuerzas en la dirección Y. La intensidad en estas trazas deberá ser mayor para compensar la mayor distancia.

Levitación

Los microrrobots y milirrobots levitados diamagnéticamente pueden controlarse y moverse con un ruido casi nulo en su fuerza, y pueden hacerse intrínsecamente estables. De esta manera, se logra un control altamente optimizado que utiliza el control de zona o área. ^{[ 33 ]}

La levitación diamagnética puede producir dos efectos en un microrobot. El primero es la reducción de la fricción de deslizamiento y el segundo es la levitación completa del microrobot. El sistema de levitación completa será el foco de atención. Para producir levitación pasiva, debe existir una capa diamagnética (como el grafito) en presencia de un ferromagneto (como el NdFeB). ^{[ 34 ]} Los materiales diamagnéticos se caracterizan por tener una susceptibilidad negativa, un momento magnético inducido opuesto al campo magnético externo. Por esta razón, son repelidos por un campo magnético externo y tienden a moverse hacia el mínimo del campo. Esta fuerza repulsiva es resultado de que los diamagnetos tienen una dirección de magnetización antiparalela a los campos magnéticos externos.

La magnetización de los materiales diamagnéticos varía con el campo magnético aplicado y se puede expresar como:

${\displaystyle M=\chi _{p}H}$

Dónde${\displaystyle H}$es la intensidad del campo magnético y${\displaystyle \chi _{p}}$es la susceptibilidad adimensional. Para un objeto con volumen${\displaystyle V_{p}}$, el momento magnético inducido m puede expresarse como:

${\displaystyle {\overrightarrow {m}}=\chi _{p}{\frac {V_{p}}{\mu _{0}}}{\overrightarrow {B}}}$

La fuerza magnética que actúa sobre el objeto se describe, por lo tanto, como:

${\displaystyle F_{m}={\frac {\chi _{p}V_{p}}{\mu _{0}}}\nabla ({\overrightarrow {B}}\cdot {\overrightarrow {B}})}$

Si el objeto tiene densidad${\displaystyle \rho _{p}}$y está levitando en un medio con densidad${\displaystyle \rho _{m}}$y susceptibilidad magnética${\displaystyle \chi _{m}}$La energía total del objeto, con un término magnético y gravitacional, es:

${\displaystyle E={\frac {\chi _{p}-\chi _{m}}{2\mu _{0}}}V_{p}({\overrightarrow {B}}\cdot {\overrightarrow {B}})+(\rho _{p}-\rho _{m})V_{p}gz}$

De tal manera que la fuerza resultante sea:

${\displaystyle \sum F={\frac {\chi _{p}-\chi _{m}}{2\mu _{0}}}V_{p}\nabla ({\overrightarrow {B}}\cdot {\overrightarrow {B}})+(\rho _{p}-\rho _{m})V_{p}g{\overrightarrow {k}}}$

La condición necesaria para la estabilidad es:

${\displaystyle \chi _{p}-\chi _{m}<0}$

Para calcular la fuerza diamagnética total que actúa sobre los materiales levitados, se debe considerar cada dipolo individual del material diamagnético. La fuerza diamagnética para todo el volumen se puede expresar como:

${\displaystyle F_{m}={\frac {\chi _{p}}{\mu _{0}}}\iiint _{V_{p}}\nabla ({\overrightarrow {B}}\cdot {\overrightarrow {B}})dv}$

La fuerza de repulsión diamagnética es proporcional a la susceptibilidad magnética de los materiales diamagnéticos. Para contrarrestar la gravedad en un campo magnético, se prefieren materiales con un fuerte diamagnetismo y propiedades de ligereza.