Potencial cuántico

La parte imaginaria de la ecuación de Schrödinger en forma polar produce

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial t}}=-{\frac {1}{2m}}\left[R\nabla ^{2}S+2\nabla R\cdot \nabla S\right],}$

que, proporcionado${\displaystyle \rho =R^{2}}$, puede interpretarse como la ecuación de continuidad${\displaystyle \partial \rho /\partial t+\nabla \cdot (\rho v)=0}$para la densidad de probabilidad${\displaystyle \rho }$y el campo de velocidad${\displaystyle v={\frac {1}{m}}\nabla S}$

La parte real de la ecuación de Schrödinger en forma polar produce una ecuación de Hamilton-Jacobi modificada.

también conocida como ecuación cuántica de Hamilton-Jacobi . ^{[ 7 ]} Se diferencia de la ecuación clásica de Hamilton-Jacobi solo por el término

Este término${\displaystyle Q}$, llamado potencial cuántico , depende así de la curvatura de la amplitud de la función de onda. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

En el límite${\displaystyle \hbar \to 0}$, la función${\displaystyle S}$es una solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi (clásica); ^{[ 1 ]} por lo tanto, la función${\displaystyle S}$También se la conoce como función o acción de Hamilton-Jacobi , extendida a la física cuántica.

El colapso de la función de onda de la interpretación de Copenhague de la teoría cuántica se explica en el enfoque del potencial cuántico mediante la demostración de que, después de una medición, "todos los paquetes de la función de onda multidimensional que no corresponden al resultado real de la medición no tienen efecto sobre la partícula" a partir de ese momento. ^{[ 15 ]} Bohm y Hiley señalaron que

...el potencial cuántico puede desarrollar puntos de bifurcación inestables, que separan clases de trayectorias de partículas según los "canales" en los que finalmente entran y dentro de los cuales permanecen. Esto explica cómo es posible la medición sin el "colapso" de la función de onda, y cómo todo tipo de procesos cuánticos, como las transiciones entre estados, la fusión de dos estados en uno y la fisión de un sistema en dos, pueden tener lugar sin necesidad de un observador humano. ^{[ 16 ]}

La medición entonces "implica una transformación participativa en la que tanto el sistema bajo observación como el aparato de observación experimentan una participación mutua de modo que las trayectorias se comportan de manera correlacionada, convirtiéndose en correlacionadas y separadas en conjuntos diferentes y no superpuestos (que llamamos 'canales')". ^{[ 17 ]}

La función de onda de Schrödinger de un sistema cuántico de muchas partículas no puede representarse en el espacio tridimensional ordinario . En cambio, se representa en el espacio de configuración , con tres dimensiones por partícula. Un único punto en el espacio de configuración representa, por lo tanto, la configuración de todo el sistema de n partículas en su conjunto.

Una función de onda de dos partículas${\displaystyle \psi (\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)}$de partículas idénticas de masa${\displaystyle m}$tiene el potencial cuántico ^{[ 18 ]}

${\displaystyle Q(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {(\nabla _{1}^{2}+\nabla _{2}^{2})R(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)}{R(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)}}}$

dónde${\displaystyle \nabla _{1}^{2}}$y${\displaystyle \nabla _{2}^{2}}$se refieren a la partícula 1 y a la partícula 2 respectivamente. Esta expresión se generaliza de manera directa a${\displaystyle n}$partículas:

${\displaystyle Q(\mathbf {r_{1}} ,...,\mathbf {r_{n}} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2R(\mathbf {r_{1}} ,...,\mathbf {r_{n}} ,\,t)}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\nabla _{i}^{2}}{m_{i}}}R(\mathbf {r_{1}} ,...,\mathbf {r_{n}} ,\,t)}$

En caso de que la función de onda de dos o más partículas sea separable, el potencial cuántico total del sistema se convierte en la suma de los potenciales cuánticos de las dos partículas. La separabilidad exacta es extremadamente irreal, dado que las interacciones entre el sistema y su entorno destruyen la factorización; sin embargo, una función de onda que sea una superposición de varias funciones de onda de soporte aproximadamente disjunto se factorizará aproximadamente. ^{[ 19 ]}

Que la función de onda sea separable significa que${\displaystyle \psi }$se factoriza en la forma${\displaystyle \psi (\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)=\psi _{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)\psi _{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}$Entonces se deduce que también${\displaystyle R}$se factoriza, y el potencial cuántico total del sistema se convierte en la suma de los potenciales cuánticos de las dos partículas. ^{[ 20 ]}

${\displaystyle Q(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}({\frac {\nabla _{1}^{2}R_{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)}{R_{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)}}+{\frac {\nabla _{2}^{2}R_{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}{R_{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}})=Q_{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)+Q_{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}$

En caso de que la función de onda sea separable, es decir, si${\displaystyle \psi }$se factoriza en la forma${\displaystyle \psi (\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)=\psi _{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)\psi _{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}$, los dos sistemas de una partícula se comportan de forma independiente. De manera más general, el potencial cuántico de un${\displaystyle n}$-un sistema de partículas con función de onda separable es la suma de${\displaystyle n}$potenciales cuánticos, separando el sistema en${\displaystyle n}$sistemas independientes de una partícula. ^{[ 21 ]}

Bohm, así como otros físicos después de él, han intentado proporcionar evidencia de que la regla de Born vincula${\displaystyle R}$a la función de densidad de probabilidad

${\displaystyle \rho =R^{2}\quad }$

En una formulación de onda piloto, puede entenderse no como una ley fundamental, sino como un teorema (denominado hipótesis de equilibrio cuántico ) que se aplica cuando se alcanza un equilibrio cuántico durante el transcurso del desarrollo temporal según la ecuación de Schrödinger. Con la regla de Born y la aplicación directa de las reglas de la cadena y del producto.

${\displaystyle \nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}=\nabla \nabla \rho ^{1/2}=\nabla \left({\frac {1}{2}}\rho ^{-1/2}\nabla \rho \right)={\frac {1}{2}}\left[\left(\nabla \rho ^{-1/2}\right)\nabla \rho +\rho ^{-1/2}\nabla ^{2}\rho \right]}$

El potencial cuántico, expresado en términos de la función de densidad de probabilidad, se convierte en: ^{[ 22 ]}

${\displaystyle Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{4m}}\left[{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}-{\frac {1}{2}}{\frac {(\nabla \rho )^{2}}{\rho ^{2}}}\right]}$

La fuerza cuántica${\displaystyle F_{Q}=-\nabla Q}$, expresado en términos de la distribución de probabilidad, equivale a: ^{[ 23 ]}

${\displaystyle F_{Q}={\frac {\hbar ^{2}}{4m}}\left[{\frac {\nabla (\nabla ^{2}\rho )}{\rho }}-{\frac {\nabla (\nabla \rho \cdot \nabla \rho )}{2\rho ^{2}}}-\left({\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}-{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}\right){\frac {\nabla \rho }{\rho }}\right]}$

M.  R.  Brown y B. Hiley demostraron que, como alternativa a su formulación en términos de espacio de configuración (${\displaystyle x}$-espacio), el potencial cuántico también puede formularse en términos del espacio de momentos (${\displaystyle p}$-espacio). ^{[ 24 ] [ 25 ]}

En línea con el enfoque de David Bohm, Basil Hiley y el matemático Maurice de Gosson demostraron que el potencial cuántico puede verse como una consecuencia de una proyección de una estructura subyacente, más específicamente de una estructura algebraica no conmutativa , sobre un subespacio como el espacio ordinario (${\displaystyle x}$-espacio). En términos algebraicos, el potencial cuántico puede verse como derivado de la relación entre órdenes implicados y explícitos : si se emplea un álgebra no conmutativa para describir la estructura no conmutativa del formalismo cuántico, resulta imposible definir un espacio subyacente, sino que se pueden construir " espacios sombra " (espacios homomórficos) y que al hacerlo aparece el potencial cuántico. ^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]} El enfoque del potencial cuántico puede verse como una forma de construir los espacios sombra. ^{[ 27 ]} El potencial cuántico resulta así como una distorsión debida a la proyección del espacio subyacente en${\displaystyle x}$-espacio, de manera similar a una proyección de Mercator, inevitablemente resulta en una distorsión en un mapa geográfico. ^{[ 30 ] [ 31 ]} Existe una simetría completa entre el${\displaystyle x}$La representación y el potencial cuántico tal como aparece en el espacio de configuración pueden verse como resultado de la dispersión del momento.${\displaystyle p}$-representación. ^{[ 32 ]}

El enfoque se ha aplicado al espacio de fase extendido , ^{[ 32 ] [ 33 ]} también en términos de un enfoque de álgebra de Duffin-Kemmer-Petiau . ^{[ 34 ] [ 35 ]}

Se puede demostrar ^{[ 36 ]} que el valor medio del potencial cuántico${\displaystyle Q=-\hbar ^{2}\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}/(2m{\sqrt {\rho }})}$es proporcional a la información de Fisher de la densidad de probabilidad sobre el observable${\displaystyle {\hat {x}}}$

${\displaystyle {\mathcal {I}}=\int \rho \cdot (\nabla \ln \rho )^{2}\,d^{3}x=-\int \rho \nabla ^{2}(\ln \rho )\,d^{3}x.}$

Utilizando esta definición para la información de Fisher, podemos escribir: ^{[ 37 ]}

${\displaystyle \langle Q\rangle =\int \psi ^{*}Q\psi \,d^{3}x=\int \rho Q\,d^{3}x={\frac {\hbar ^{2}}{8m}}{\mathcal {I}}.}$

Giovanni Salesi, Erasmo Recami y colaboradores demostraron en 1998 que, de acuerdo con el teorema de König , el potencial cuántico puede identificarse con la energía cinética del movimiento interno (" zitterbewegung ") asociado al espín de una partícula de espín 1/2 observada en un sistema de referencia del centro de masas. Más específicamente, demostraron que la velocidad interna de zitterbewegung para una partícula giratoria no relativista de espín constante sin precesión y en ausencia de un campo externo, tiene el valor al cuadrado: ^{[ 38 ]}

${\displaystyle \mathbf {V} ^{2}={\frac {(\nabla \rho \land \mathbf {s} )^{2}}{(m\rho )^{2}}}={\frac {(\nabla \rho )^{2}\mathbf {s} ^{2}-(\nabla \rho \cdot \mathbf {s} )^{2}}{(m\rho )^{2}}}}$

de donde se demuestra que el segundo término es de tamaño insignificante; luego con${\displaystyle |\mathbf {s} |=\hbar /2}$resulta que

${\displaystyle |\mathbf {V} |={\frac {\hbar }{2}}{\frac {\nabla \rho }{m\rho }}}$

Salesi dio más detalles sobre este trabajo en 2009. ^{[ 39 ]}

En 1999, Salvatore Esposito generalizó su resultado de partículas de espín 1/2 a partículas de espín arbitrario, confirmando la interpretación del potencial cuántico como una energía cinética para un movimiento interno. Esposito demostró que (usando la notación${\displaystyle \hbar }$=1) el potencial cuántico se puede escribir como: ^{[ 40 ]}

${\displaystyle Q=-{\frac {1}{2}}m\mathbf {v} _{S}^{2}-{\frac {1}{2}}\nabla \cdot \mathbf {v} _{S}}$

y que la interpretación causal de la mecánica cuántica puede reformularse en términos de una velocidad de partícula.

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{B}+\mathbf {v} _{S}\times \mathbf {s} }$

donde la " velocidad de deriva " es

${\displaystyle \mathbf {v} _{B}={\frac {\nabla S}{m}}}$

y la "velocidad relativa" es${\displaystyle \mathbf {v} _{S}\times \mathbf {s} }$, con

${\displaystyle \mathbf {v} _{S}={\frac {\nabla R^{2}}{2mR^{2}}}}$

y${\displaystyle \mathbf {s} }$representando la dirección de giro de la partícula. En esta formulación, según Esposito, la mecánica cuántica debe interpretarse necesariamente en términos probabilísticos, debido a que la condición de movimiento inicial de un sistema no puede determinarse con exactitud. ^{[ 40 ]} Esposito explicó que "los efectos cuánticos presentes en la ecuación de Schrödinger se deben a la presencia de una peculiar dirección espacial asociada con la partícula que, asumiendo la isotropía del espacio, puede identificarse con el giro de la partícula misma". ^{[ 41 ]} Esposito lo generalizó de partículas de materia a partículas de gauge , en particular fotones , para los cuales demostró que, si se modelan como${\displaystyle \psi =(\mathbf {E} -i\mathbf {B} )/{\sqrt {2}}}$, con función de probabilidad${\displaystyle \psi ^{*}\cdot \psi =(\mathbf {E} ^{2}+\mathbf {B} ^{2})/2}$, pueden entenderse en un enfoque de potencial cuántico. ^{[ 42 ]}

James R. Bogan, en 2002, publicó la derivación de una transformación recíproca de la ecuación de Hamilton-Jacobi de la mecánica clásica a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo de la mecánica cuántica, que surge de una transformación de gauge que representa el espín, bajo el simple requisito de conservación de la probabilidad . Esta transformación dependiente del espín es una función del potencial cuántico. ^{[ 43 ]}

Bohm y Hiley demostraron que la no localidad de la teoría cuántica puede entenderse como un caso límite de una teoría puramente local, siempre que se permita que la transmisión de información activa sea mayor que la velocidad de la luz, y que este caso límite produce aproximaciones tanto a la teoría cuántica como a la relatividad. ^{[ 48 ]}

El enfoque del potencial cuántico fue extendido por Hiley y colaboradores a la teoría cuántica de campos en el espaciotiempo de Minkowski ^{[ 49 ] [ 50 ] [ 51 ] [ 52 ]} y al espaciotiempo curvo. ^{[ 53 ]}

Carlo Castro y Jorge Mahecha derivaron la ecuación de Schrödinger a partir de la ecuación de Hamilton-Jacobi junto con la ecuación de continuidad, y demostraron que las propiedades del potencial cuántico relativista de Bohm en términos de la densidad del conjunto pueden describirse mediante las propiedades de Weyl del espacio. En el espacio plano de Riemann, se demuestra que el potencial de Bohm es igual a la curvatura de Weyl . Según Castro y Mahecha, en el caso relativista , el potencial cuántico (utilizando el operador de d'Alembert) ${\displaystyle \scriptstyle \Box }$y en la notación${\displaystyle \hbar =1}$) toma la forma

${\displaystyle Q=-{\frac {1}{2m}}{\frac {\quad \Box {\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}}$

y se demuestra que la fuerza cuántica ejercida por el potencial cuántico relativista depende del potencial de gauge de Weyl y sus derivadas. Además, la relación entre el potencial de Bohm y la curvatura de Weyl en el espaciotiempo plano corresponde a una relación similar entre la información de Fisher y la geometría de Weyl tras la introducción de un momento complejo . ^{[ 54 ]}

Por otro lado, Diego L. Rapoport asocia el potencial cuántico relativista con la curvatura escalar métrica (curvatura de Riemann). ^{[ 55 ]}

En relación con la ecuación de Klein-Gordon para una partícula con masa y carga, Peter R. Holland habló en su libro de 1993 de un "término similar a un potencial cuántico" que es proporcional${\displaystyle \Box R/R}$Sin embargo, enfatizó que dar a la teoría de Klein-Gordon una interpretación de partícula única en términos de trayectorias, como se puede hacer para la mecánica cuántica de Schrödinger no relativista, conduciría a inconsistencias inaceptables. Por ejemplo, las funciones de onda${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)}$que son soluciones a la ecuación de Klein-Gordon o a la ecuación de Dirac no pueden interpretarse como la amplitud de probabilidad de que una partícula se encuentre en un volumen dado${\displaystyle d^{3}x}$en ese momento${\displaystyle t}$De acuerdo con los axiomas habituales de la mecánica cuántica, y de manera similar en la interpretación causal, no puede interpretarse como la probabilidad de que la partícula se encuentre en ese volumen en ese momento. Holland señaló que, si bien se han realizado esfuerzos para determinar un operador de posición hermitiano que permita una interpretación de la teoría cuántica de campos en el espacio de configuración, en particular utilizando el enfoque de localización de Newton-Wigner , hasta el momento no se ha establecido ninguna conexión con las posibilidades de una determinación empírica de la posición en términos de una teoría de medición relativista o para una interpretación de trayectoria. Sin embargo, según Holland, esto no significa que el concepto de trayectoria deba descartarse de las consideraciones de la mecánica cuántica relativista. ^{[ 56 ]}

Hrvoje Nikolić se derivó${\displaystyle Q=-(1/2m)\,\Box R/R}$como expresión del potencial cuántico, y propuso una formulación covariante de Lorentz de la interpretación bohmiana de las funciones de onda de muchas partículas. ^{[ 57 ]} También desarrolló una interpretación probabilística generalizada invariante relativista de la teoría cuántica, ^{[ 58 ] [ 59 ] [ 60 ]} en la que${\displaystyle |\psi |^{2}}$Ya no es una densidad de probabilidad en el espacio, sino una densidad de probabilidad en el espacio-tiempo. ^{[ 61 ] [ 62 ]}

Partiendo de la representación espacial de la coordenada del campo, se ha construido una interpretación causal de la imagen de Schrödinger de la teoría cuántica relativista. La imagen de Schrödinger para un campo neutro, de espín 0 y sin masa${\displaystyle \Psi \left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]=R\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]e^{S\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]}}$, con${\displaystyle R\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right],S\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]}$Se puede demostrar ^{[ 63 ]} que los funcionales de valor real conducen a

${\displaystyle Q\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]=-(1/2R)\int d^{3}x\,\delta ^{2}R/\delta \psi ^{2}}$

Esto ha sido denominado potencial supercuántico por Bohm y sus colaboradores. ^{[ 64 ]}

Basil Hiley demostró que las relaciones energía-momento en el modelo de Bohm se pueden obtener directamente del tensor energía-momento de la teoría cuántica de campos y que el potencial cuántico es un término de energía necesario para la conservación local de la energía-momento. ^{[ 65 ]} También sugirió que, para partículas con energías iguales o superiores al umbral de creación de pares , el modelo de Bohm constituye una teoría de muchas partículas que describe también los procesos de creación y aniquilación de pares. ^{[ 66 ]}

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