Propiedad de Kazhdan (T)

En matemáticas , un grupo topológico localmente compacto G posee la propiedad (T) si su representación trivial es un punto aislado en su dual unitario dotado de la topología de Fell . De manera informal, esto significa que si G actúa unitariamente sobre un espacio de Hilbert y posee "vectores casi invariantes", entonces posee un vector invariante distinto de cero . La definición formal, introducida por David Kazhdan ( 1967 ), le confiere un significado preciso y cuantitativo.

Aunque originalmente se definió en términos de representaciones irreducibles , la propiedad (T) a menudo se puede verificar incluso cuando hay poco o ningún conocimiento explícito del dual unitario. La propiedad (T) tiene aplicaciones importantes en la teoría de representaciones de grupos , retículos en grupos algebraicos sobre cuerpos locales , teoría ergódica , teoría geométrica de grupos , expansores , álgebras de operadores y la teoría de redes .

Sea G un grupo topológico σ-compacto y localmente compacto, y π  : G → U ( H ) una representación unitaria de G en un espacio de Hilbert (complejo) H . Si ε > 0 y K es un subconjunto compacto de G , entonces un vector unitario ξ en H se denomina vector (ε, K )-invariante si

${\displaystyle \forall g\in K\$ :\ \left\|\pi (g)\xi -\xi \right\|<\varepsilon .}

Las siguientes condiciones sobre G son todas equivalentes a que G tenga la propiedad (T) de Kazhdan , y cualquiera de ellas puede usarse como definición de la propiedad (T).

(1) La representación trivial es un punto aislado del dual unitario de G con topología de Fell .

(2) Cualquier secuencia de funciones continuas definidas positivas en G que converge a 1 uniformemente en subconjuntos compactos , converge a 1 uniformemente en G.

(3) Toda representación unitaria de G que tiene un vector unitario invariante (ε, K ) para cualquier ε > 0 y cualquier subconjunto compacto K , tiene un vector invariante distinto de cero.

(4) Existe un ε > 0 y un subconjunto compacto K de G tal que toda representación unitaria de G que tiene un vector unitario invariante (ε, K ), tiene un vector invariante distinto de cero.

(5) Toda acción isométrica afín continua de G sobre un espacio de Hilbert real tiene un punto fijo ( propiedad (FH) ).

Si H es un subgrupo cerrado de G , se dice que el par ( G , H ) tiene la propiedad relativa (T) de Margulis si existe un ε > 0 y un subconjunto compacto K de G tal que siempre que una representación unitaria de G tenga un vector unitario invariante (ε, K ), entonces tiene un vector no nulo fijado por H.

La definición (4) implica evidentemente la definición (3). Para demostrar lo contrario, sea G un grupo localmente compacto que satisface (3). Supongamos, por contradicción, que para cada K y ε existe una representación unitaria que tiene un vector unitario invariante bajo ( K , ε) y no tiene un vector invariante. Consideremos la suma directa de todas estas representaciones, lo cual refuta (4).

La equivalencia de (4) y (5) (Propiedad (FH)) es el teorema de Delorme-Guichardet. El hecho de que (5) implique (4) requiere la suposición de que G es σ-compacto (y localmente compacto) (Bekka et al., Teorema 2.12.4).

• La propiedad (T) se conserva bajo cocientes: si G posee la propiedad (T) y H es un grupo cociente de G , entonces H posee la propiedad (T). De forma equivalente, si una imagen homomórfica de un grupo G no posee la propiedad (T), entonces G mismo no posee la propiedad (T).
• Si G tiene la propiedad (T), entonces G /[ G , G ] es compacto.
• Cualquier grupo discreto numerable con la propiedad (T) es finitamente generado.
• Un grupo amenable que posee la propiedad (T) es necesariamente compacto . La amenabilidad y la propiedad (T) son, en cierto sentido, opuestas: hacen que sea fácil o difícil encontrar vectores casi invariantes.
• Teorema de Kazhdan : Si Γ es un retículo en un grupo de Lie G, entonces Γ tiene la propiedad (T) si y solo si G tiene la propiedad (T). Por lo tanto, para n ≥ 3, el grupo lineal especial SL( n , Z ) tiene la propiedad (T).

• Los grupos topológicos compactos tienen la propiedad (T). En particular, el grupo del círculo , el grupo aditivo Z _p de enteros p -ádicos, los grupos unitarios especiales compactos SU( n ) y todos los grupos finitos tienen la propiedad (T).
• Los grupos de Lie reales simples de rango real al menos dos tienen la propiedad (T). Esta familia de grupos incluye los grupos lineales especiales SL( n , R ) para n ≥ 3 y los grupos ortogonales especiales SO( p , q ) para p > q ≥ 2 y SO( p , p ) para p ≥ 3. De manera más general, esto se cumple para grupos algebraicos simples de rango al menos dos sobre un cuerpo local .
• Los pares ( R ⁿ ⋊ SL( n , R ), R ⁿ ) y ( Z ⁿ ⋊ SL( n , Z ), Z ⁿ ) tienen propiedad relativa (T) para n ≥ 2.
• Para n ≥ 2, el grupo de Lie no compacto Sp( n , 1) de isometrías de una forma hermitiana cuaterniónica de signatura ( n ,1) es un grupo de Lie simple de rango real 1 que tiene la propiedad (T). Por el teorema de Kazhdan, los retículos en este grupo tienen la propiedad (T). Esta construcción es significativa porque estos retículos son grupos hiperbólicos ; por lo tanto, hay grupos que son hiperbólicos y tienen la propiedad (T). Ejemplos explícitos de grupos en esta categoría los proporcionan los retículos aritméticos en Sp( n , 1) y ciertos grupos de reflexión cuaterniónicos .

Ejemplos de grupos que no poseen la propiedad (T) incluyen:

• Los grupos aditivos de enteros Z , de números reales R y de números p -ádicos Q _p .
• Los grupos lineales especiales SL(2, Z ) y SL(2, R ), como resultado de la existencia de representaciones de series complementarias cerca de la representación trivial, aunque SL(2, Z ) tiene la propiedad (τ) con respecto a los subgrupos de congruencia principales, por el teorema de Selberg.
• Grupos resolubles no compactos .
• Grupos libres no triviales y grupos abelianos libres .

Históricamente, la propiedad (T) se estableció para grupos discretos Γ incrustándolos como retículos en grupos de Lie reales o p-ádicos con la propiedad (T). Actualmente existen varios métodos directos disponibles.

• El método algebraico de Shalom se aplica cuando Γ = SL( n , R ) con R un anillo y n ≥ 3; el método se basa en el hecho de que Γ puede ser generado de forma acotada , es decir, puede expresarse como un producto finito de subgrupos más fáciles, como los subgrupos elementales que consisten en matrices que difieren de la matriz identidad en una posición fuera de la diagonal dada.
• El método geométrico tiene su origen en las ideas de Garland, Gromov y Pierre Pansu . Su versión combinatoria más simple se debe a Zuk: sea Γ un grupo discreto generado por un subconjunto finito S , cerrado bajo la operación de tomar inversas y que no contiene la identidad, y definamos un grafo finito con vértices S y una arista entre g y h siempre que g ⁻¹ h se encuentre en S. Si este grafo es conexo y el menor autovalor no nulo del laplaciano del paseo aleatorio simple correspondiente es mayor que ⁠ 1 / 2 ⁠ , entonces Γ tiene la propiedad (T). Una versión geométrica más general, debida a Zuk y Ballmann & Swiatkowski (1997) , establece que si un grupo discreto Γ actúa propiamente discontinuamente y cocompactamente sobre un complejo simplicial bidimensional contraíble con las mismas condiciones de teoría de grafos aplicadas al enlace en cada vértice, entonces Γ tiene la propiedad (T). Mediante este método se pueden mostrar muchos ejemplos nuevos de grupos hiperbólicos con la propiedad (T).
• El método asistido por computadora se basa en una sugerencia de Narutaka Ozawa y ha sido implementado con éxito por varios investigadores. Se fundamenta en la caracterización algebraica de la propiedad (T) en términos de una desigualdad en el álgebra de grupos reales , para la cual se puede encontrar una solución resolviendo numéricamente en una computadora un análogo no conmutativo de la jerarquía de suma de cuadrados de problemas de programación semidefinida . Cabe destacar que este método ha confirmado la propiedad (T) para el grupo de automorfismos del grupo libre de rango al menos 5. No se conoce ninguna demostración humana de este resultado.

• Grigory Margulis utilizó el hecho de que SL( n , Z ) (para n ≥ 3) posee la propiedad (T) para construir familias explícitas de grafos expansivos , es decir, grafos con la propiedad de que cada subconjunto tiene una "frontera" uniformemente grande. Esta conexión dio lugar a varios estudios recientes que proporcionan una estimación explícita de las constantes de Kazhdan , cuantificando la propiedad (T) para un grupo y un conjunto generador particulares.
• Alain Connes utilizó grupos discretos con propiedad (T) para encontrar ejemplos de factores de tipo II ₁ con grupo fundamental contable , por lo que en particular no todo el conjunto de los reales positivos.${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$. Posteriormente, Sorin Popa utilizó la propiedad relativa (T) para grupos discretos para producir un factor de tipo II ₁ con grupo fundamental trivial.
• Los grupos con propiedad (T) también tienen la propiedad FA de Serre . ^{[ 1 ]}
• Toshikazu Sunada observó que la positividad del fondo del espectro de un laplaciano "retorcido" en una variedad cerrada está relacionada con la propiedad (T) del grupo fundamental . ^{[ 2 ]} Esta observación da lugar al resultado de Brooks, que afirma que el fondo del espectro del laplaciano en la variedad de recubrimiento universal sobre una variedad riemanniana cerrada M es igual a cero si y solo si el grupo fundamental de M es amenable . ^{[ 3 ]}

• Ballmann, W.; Swiatkowski, J. (1997), "L ² -cohomología y propiedad (T) para grupos de automorfismos de complejos celulares poliédricos", GAFA , 7 (4): 615– 645, CiteSeerX 10.1.1.56.8641 , doi : 10.1007/s000390050022 
• Bekka, Bachir; de la Harpe, Pierre; Valette, Alain (2008), Propiedad de Kazhdan (T) (PDF) , Nuevas monografías matemáticas, vol.  11, Prensa de la Universidad de Cambridge , ISBN 978-0-521-88720-5, MR 2415834 
• de la Harpe, P.; Valette, A. (1989), "La propriété (T) de Kazhdan pour les groupes localement compactes (con un apéndice de M. Burger)", Astérisque , 175.
• Kazhdan, D. (1967), "Sobre la conexión del espacio dual de un grupo con la estructura de sus subgrupos cerrados", Análisis funcional y sus aplicaciones , 1 (1): 63– 65, doi : 10.1007/BF01075866MR 0209390 
• Lubotzky , A. (1994), Grupos discretos, grafos en expansión y medidas invariantes , Progress in Mathematics, vol.  125, Basilea: Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-5075-8
• Lubotzky , A. y A. Zuk, Sobre la propiedad (τ) , monografía de próxima publicación.
• Lubotzky , A. (2005), "¿Qué es la propiedad (τ)?" (PDF) , AMS Notices , 52 (6): 626– 627.
• Shalom, Y. (2006), "La algebraización de la propiedad (T)" (PDF) , Congreso Internacional de Matemáticos, Madrid 2006 , archivado del original (PDF) el 28 de septiembre de 2007 , consultado el 5 de septiembre de 2007.
• Zuk, A. (1996), "La propriété (T) de Kazhdan pour les groupes agissant sur les polyèdres", CR Acad. Ciencia. París , 323 : 453– 458.
• Zuk, A. (2003), "Propiedad (T) y constantes de Kazhdan para grupos discretos", GAFA , 13 (3): 643–670 , doi : 10.1007/s00039-003-0425-8.