Tunelización cuántica

The wave function of a physical system of particles specifies everything that can be known about the system.^[7] Therefore, problems in quantum mechanics analyse the system's wave function. Using mathematical formulations, such as the Schrödinger equation, the time evolution of a known wave function can be deduced. The square of the absolute value of this wave function is directly related to the probability distribution of the particle positions, which describes the probability that the particles would be measured at those positions.

As shown in the animation, when a wave packet impinges on the barrier, most of it is reflected and some is transmitted through the barrier. The wave packet becomes more delocalised: it is now on both sides of the barrier and lower in maximum amplitude, but equal in integrated square-magnitude, meaning that the probability the particle is somewhere remains unity. The wider the barrier and the higher the barrier energy, the lower the probability of tunnelling.

Some models of a tunnelling barrier, such as the rectangular barriers shown, can be analysed and solved algebraically.^[8]:96 Most problems do not have an algebraic solution, so numerical solutions are used. "Semiclassical methods" offer approximate solutions that are easier to compute, such as the WKB approximation.

El efecto túnel cuántico es uno de los efectos cuánticos no triviales centrales en la biología cuántica . ^{[ 32 ]} Aquí es importante tanto como efecto túnel de electrones como de protones . El efecto túnel de electrones es un factor clave en muchas reacciones redox bioquímicas ( fotosíntesis , respiración celular ), así como en la catálisis enzimática. El efecto túnel de protones es un factor clave en la mutación espontánea del ADN . ^{[ 27 ]}

La mutación espontánea ocurre cuando la replicación normal del ADN tiene lugar después de que un protón particularmente significativo haya atravesado el túnel cuántico. ^{[ 33 ]} Un enlace de hidrógeno une los pares de bases del ADN. Un potencial de doble pozo a lo largo de un enlace de hidrógeno separa una barrera de energía potencial. Se cree que el potencial de doble pozo es asimétrico, con un pozo más profundo que el otro, de modo que el protón normalmente se encuentra en el pozo más profundo. Para que ocurra una mutación, el protón debe haber atravesado el túnel cuántico hacia el pozo menos profundo. El movimiento del protón desde su posición regular se denomina transición tautomérica . Si la replicación del ADN tiene lugar en este estado, la regla de apareamiento de bases del ADN puede verse comprometida, causando una mutación. ^{[ 34 ]} Per-Olov Löwdin fue el primero en desarrollar esta teoría de mutación espontánea dentro de la doble hélice . Se cree que otros casos de mutaciones inducidas por el efecto túnel cuántico en biología son una causa del envejecimiento y el cáncer. ^{[ 35 ]}

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para una partícula en una dimensión se puede escribir como $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x)}$$ o $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x)\equiv {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x),}$$ dónde

• ${\displaystyle \hbar }$es la constante de Planck reducida ,
• ${\displaystyle m}$es la masa de la partícula,
• ${\displaystyle x}$representa la distancia medida en la dirección del movimiento de la partícula,
• ${\displaystyle \Psi }$es la función de onda de Schrödinger,
• ${\displaystyle V}$es la energía potencial de la partícula (medida en relación con cualquier nivel de referencia conveniente),
• ${\displaystyle E}$es la energía de la partícula que está asociada con el movimiento en el${\displaystyle x}$eje - (medido en relación con${\displaystyle V}$),
• ${\displaystyle M(x)}$es una cantidad definida por${\displaystyle V(x)-E}$, que no tiene un nombre aceptado en física.

Las soluciones de la ecuación de Schrödinger toman diferentes formas para diferentes valores de${\displaystyle x}$, dependiendo de si${\displaystyle M(x)}$es positivo o negativo. Cuando${\displaystyle M(x)}$Si es constante y negativa, entonces la ecuación de Schrödinger se puede escribir de la forma $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x)=-k^{2}\Psi (x),\qquad {\text{donde}}\quad k^{2}=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M.}$$

Las soluciones de esta ecuación representan ondas viajeras, con constante de fase${\displaystyle +k}$o${\displaystyle -k}$Alternativamente, si${\displaystyle M(x)}$Si es constante y positiva, entonces la ecuación de Schrödinger se puede escribir de la forma $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x)={\kappa }^{2}\Psi (x),\qquad {\text{donde}}\quad {\kappa }^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M.}$$

Las soluciones de esta ecuación son exponenciales crecientes y decrecientes en forma de ondas evanescentes . Cuando${\displaystyle M(x)}$varía con la posición, ocurre la misma diferencia de comportamiento, dependiendo de si${\displaystyle M(x)}$es negativo o positivo. De ello se deduce que el signo de${\displaystyle M(x)}$determina la naturaleza del medio, con negativo${\displaystyle M(x)}$correspondiente al medio A y positivo${\displaystyle M(x)}$correspondiente al medio B. Por lo tanto, se deduce que el acoplamiento de ondas evanescentes puede ocurrir si una región de positiva${\displaystyle M(x)}$está intercalado entre dos regiones negativas${\displaystyle M(x)}$, creando así una barrera potencial.

Las matemáticas para abordar la situación donde${\displaystyle M(x)}$varía con${\displaystyle x}$Resulta difícil, salvo en casos especiales que generalmente no se corresponden con la realidad física. Un tratamiento matemático completo aparece en la monografía de Fröman y Fröman de 1965. Sus ideas no se han incorporado a los libros de texto de física, pero sus correcciones tienen escaso efecto cuantitativo.

La función de onda se expresa como la exponencial de una función: $${\displaystyle \Psi (x)=e^{\Phi (x)},}$$dónde$${\displaystyle \Phi ''(x)+\Phi '(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right).}$$${\displaystyle \Phi '(x)}$Luego se separa en partes reales e imaginarias: $${\displaystyle \Phi '(x)=A(x)+iB(x),}$$dónde${\displaystyle A(x)}$y${\displaystyle B(x)}$son funciones de valor real.

Sustituyendo la segunda ecuación en la primera y utilizando el hecho de que la parte imaginaria debe ser 0, se obtiene:

$${\displaystyle A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right).}$$

Para resolver esta ecuación utilizando la aproximación semiclasica, cada función debe expandirse como una serie de potencias en${\displaystyle \hbar }$. De las ecuaciones, la serie de potencias debe comenzar con al menos un orden de${\displaystyle \hbar ^{-1}}$para satisfacer la parte real de la ecuación; para un buen límite clásico, es preferible comenzar con la mayor potencia posible de la constante de Planck , lo que lleva a $${\displaystyle A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{k=0}^{\infty }\hbar ^{k}A_{k}(x)}$$ y $${\displaystyle B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{k=0}^{\infty }\hbar ^{k}B_{k}(x),}$$ con las siguientes restricciones en los términos de orden más bajo, $${\displaystyle A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)}$$ y $${\displaystyle A_{0}(x)B_{0}(x)=0.}$$

En este punto se pueden considerar dos casos extremos.

Caso 1

Si la amplitud varía lentamente en comparación con la fase${\displaystyle A_{0}(x)=0}$y $${\displaystyle B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(EV(x)\right)}}}$$ lo cual corresponde al movimiento clásico. Resolviendo el siguiente orden de expansión se obtiene $${\displaystyle \Psi (x)\approx C{\frac {e^{i\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(EV(x)\right)}}+\theta }}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(EV(x)\right)}}}}$$

Caso 2

Si la fase varía lentamente en comparación con la amplitud,${\displaystyle B_{0}(x)=0}$y $${\displaystyle A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}}$$ lo cual corresponde a la tunelización. Resolviendo el siguiente orden de la expansión se obtiene $${\displaystyle \Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{+\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}+C_{-}e^{-\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}$$

En ambos casos, resulta evidente a partir del denominador que ambas soluciones aproximadas son deficientes cerca de los puntos de inflexión clásicos.${\displaystyle E=V(x)}$Lejos del límite de potencial, la partícula se comporta como una onda libre y oscilante; por debajo de este límite, experimenta cambios exponenciales en su amplitud. Al considerar el comportamiento en estos límites y en los puntos de inflexión clásicos, se puede obtener una solución global.

Para empezar, un punto de inflexión clásico,${\displaystyle x_{1}}$es elegido y${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}$se expande en una poderosa serie sobre${\displaystyle x_{1}}$: $${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=v_{1}(x-x_{1})+v_{2}(x-x_{1})^{2}+\cdots }$$

Conservar únicamente el término de primer orden garantiza la linealidad: $${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=v_{1}(x-x_{1}).}$$

Utilizando esta aproximación, la ecuación cercana${\displaystyle x_{1}}$se convierte en una ecuación diferencial : $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=v_{1}(x-x_{1})\Psi (x).}$$

Esto se puede resolver utilizando funciones de Airy como soluciones. $${\displaystyle \Psi (x)=C_{A}Ai\left({\sqrt[{3}]{v_{1}}}(x-x_{1})\right)+C_{B}Bi\left({\sqrt[{3}]{v_{1}}}(x-x_{1})\right)}$$

Taking these solutions for all classical turning points, a global solution can be formed that links the limiting solutions. Given the two coefficients on one side of a classical turning point, the two coefficients on the other side of a classical turning point can be determined by using this local solution to connect them.

Hence, the Airy function solutions will asymptote into sine, cosine and exponential functions in the proper limits. The relationships between ${\displaystyle C,\theta }$ and ${\displaystyle C_{+},C_{-}}$ are $${\displaystyle C_{+}={\frac {1}{2}}C\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}}$$ and

${\displaystyle C_{-}=-C\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}}$

With the coefficients found, the global solution can be found. Therefore, the transmission coefficient for a particle tunnelling through a single potential barrier is $${\displaystyle T(E)=e^{-2\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left[V(x)-E\right]}}},}$$ where ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ are the two classical turning points for the potential barrier.

For a rectangular barrier, this expression simplifies to: $${\displaystyle T(E)=e^{-2{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(V_{0}-E)}}(x_{2}-x_{1})}.}$$

El concepto de tunelización dinámica es particularmente adecuado para abordar el problema de la tunelización cuántica en altas dimensiones (${\displaystyle d>1}$). En el caso de un sistema integrable , donde las trayectorias clásicas acotadas están confinadas a toros en el espacio de fases , el efecto túnel puede entenderse como el transporte cuántico entre estados semiclasicos construidos sobre dos toros distintos pero simétricos. ^{[ 46 ]}

En la vida real, la mayoría de los sistemas no son integrables y presentan diversos grados de caos. Se dice entonces que la dinámica clásica es mixta y el espacio de fases del sistema suele estar compuesto por islas de órbitas regulares rodeadas por un gran mar de órbitas caóticas. La existencia de este mar caótico, donde el transporte está permitido clásicamente, entre los dos toros simétricos facilita el efecto túnel cuántico entre ellos. Este fenómeno se conoce como efecto túnel asistido por caos ^{[ 47 ]} y se caracteriza por resonancias pronunciadas de la tasa de efecto túnel al variar cualquier parámetro del sistema.

Cuando${\displaystyle \hbar }$Aunque pequeño en comparación con el tamaño de las islas regulares, la estructura fina del espacio de fase clásico desempeña un papel clave en el efecto túnel. En particular, los dos toros simétricos están acoplados "a través de una sucesión de transiciones clásicamente prohibidas a través de resonancias no lineales" que rodean las dos islas. ^{[ 48 ]}