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Articulo de referencia

Medida de riesgo

En matemáticas financieras , una medida de riesgo asigna un valor numérico al riesgo asociado a una posición financiera o cartera. En la gestión financiera y los seguros, las me...

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En matemáticas financieras , una medida de riesgo asigna un valor numérico al riesgo asociado a una posición financiera o cartera. En la gestión financiera y los seguros, las medidas de riesgo se utilizan a menudo para determinar los requisitos de reserva de capital que mitiguen el riesgo a la baja y lo hagan aceptable para los reguladores . En los últimos años, la atención se ha centrado en la medición de riesgos convexa y coherente .

Descripción matemática

Una medida de riesgo se define como una correspondencia entre un conjunto de variables aleatorias y números reales. Según el contexto, las variables aleatorias pueden representar rendimientos de cartera o pérdidas de seguros. En el primer caso, el riesgo se asocia con la cola izquierda de la distribución, mientras que en el segundo se asocia con la cola derecha.

La notación común para una medida de riesgo asociada a una variable aleatoria.incógnita{\displaystyle X}esρ(incógnita){\displaystyle \rho (X)}Una medida de riesgoρ:L→R∪{+∞}{\displaystyle \rho :{\mathcal {L}}\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}} debería tener ciertas propiedades: [ 1 ]

Normalizado
ρ(0)=0{\displaystyle \rho (0)=0}
Traslativo
IFa∈RanortedZ∈L,thminorteρ(Z+a)=ρ(Z)−a{\displaystyle \mathrm {Si} \;a\in \mathbb {R} \;\mathrm {y} \;Z\in {\mathcal {L}},\;\mathrm {entonces} \;\rho (Z+a)=\rho (Z)-a}
Monótono
IFZ1,Z2∈LanortedZ1≤Z2,thminorteρ(Z2)≤ρ(Z1){\displaystyle \mathrm {Si} \;Z_{1},Z_{2}\in {\mathcal {L}}\;\mathrm {y} \;Z_{1}\leq Z_{2},\;\mathrm {entonces} \;\rho (Z_{2})\leq \rho (Z_{1})}

Conjunto de valores

En una situación conRd{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}Carteras valoradas de tal manera que el riesgo pueda medirse enmetro≤d{\displaystyle m\leq d}de los activos, entonces un conjunto de carteras es la forma adecuada de representar el riesgo. Las medidas de riesgo con valores de conjunto son útiles para mercados con costos de transacción . [ 2 ]

Matemáticamente

Una medida de riesgo con valores de conjunto es una funciónR:Ldpag→FMETRO{\displaystyle R:L_{d}^{p}\rightarrow \mathbb {F} _{M}}, dóndeLdpag{\displaystyle L_{d}^{p}}es und{\displaystyle d}Espacio Lp de -dimensiones ,FMETRO={D⊆METRO:D=dol(D+KMETRO)}{\displaystyle \mathbb {F} _{M}=\{D\subseteq M:D=cl(D+K_{M})\}}, yKMETRO=K∩METRO{\displaystyle K_{M}=K\cap M}dóndeK{\displaystyle K}es un cono de solvencia constante yMETRO{\displaystyle M}es el conjunto de carteras de lametro{\displaystyle m}activos de referencia. R{\displaystyle R}debe tener las siguientes propiedades: [ 3 ]

Normalizado
KMETRO⊆R(0) y R(0)∩−entero⁡KMETRO=∅{\displaystyle K_{M}\subseteq R(0){\text{ y }}R(0)\cap -\operatorname {int} K_{M}=\emptyset }
Traslativo en M
∀incógnita∈Ldpag,∀tú∈METRO:R(incógnita+tú1)=R(incógnita)−tú{\displaystyle \forall X\in L_{d}^{p},\forall u\in M:R(X+u1)=R(X)-u}
Monótono
∀incógnita2−incógnita1∈Ldpag(K)⇒R(incógnita2)⊇R(incógnita1){\displaystyle \forall X_{2}-X_{1}\in L_{d}^{p}(K)\Rightarrow R(X_{2})\supseteq R(X_{1})}

Ejemplos

Diferencia

La varianza (o desviación estándar ) no es una medida de riesgo en el sentido anterior. Esto se puede observar ya que no posee ni la propiedad de traslación ni la monotonicidad. Es decir,Var(incógnita+a)=Var(incógnita)≠Var(incógnita)−a{\displaystyle Var(X+a)=Var(X)\neq Var(X)-a}a pesar dea∈R{\displaystyle a\in \mathbb {R} }y se puede encontrar un contraejemplo sencillo de monotonicidad. La desviación estándar es una medida de riesgo de desviación . Para evitar confusiones, cabe señalar que las medidas de riesgo de desviación, como la varianza y la desviación estándar, a veces se denominan medidas de riesgo en distintos campos.

Relación con el conjunto de aceptación

Existe una correspondencia biunívoca entre un conjunto de aceptación y una medida de riesgo correspondiente. Como se define a continuación, se puede demostrar queRAR(incógnita)=R(incógnita){\displaystyle R_{A_{R}}(X)=R(X)}yARA=A{\displaystyle A_{R_{A}}=A}. [ 5 ]

Medida de riesgo para la aceptación establecida

  • Siρ{\displaystyle \rho }es una medida de riesgo (escalar) entoncesAρ={incógnita∈Lpag:ρ(incógnita)≤0}{\displaystyle A_{\rho }=\{X\in L^{p}:\rho (X)\leq 0\}}es un conjunto de aceptación.
  • SiR{\displaystyle R}es una medida de riesgo con valores fijos entoncesAR={incógnita∈Ldpag:0∈R(incógnita)}{\displaystyle A_{R}=\{X\in L_{d}^{p}:0\in R(X)\}}es un conjunto de aceptación.

Aceptación establecida para medir el riesgo

  • SiA{\displaystyle A}es un conjunto de aceptación (en 1-d) entoncesρA(incógnita)=inf{tú∈R:incógnita+tú1∈A}{\displaystyle \rho _{A}(X)=\inf\{u\in \mathbb {R} :X+u1\in A\}}define una medida de riesgo (escalar).
  • SiA{\displaystyle A}entonces es un conjunto de aceptaciónRA(incógnita)={tú∈METRO:incógnita+tú1∈A}{\displaystyle R_{A}(X)=\{u\in M:X+u1\in A\}}es una medida de riesgo con valores fijos.

Relación con la medida de riesgo de desviación

Existe una relación uno a uno entre una medida de riesgo de desviación D y una medida de riesgo acotada por expectativas.ρ{\displaystyle \rho }donde para cualquierincógnita∈L2{\displaystyle X\in {\mathcal {L}}^{2}}

  • D(incógnita)=ρ(incógnita−mi[incógnita]){\displaystyle D(X)=\rho (X-\mathbb {E} [X])}
  • ρ(incógnita)=D(incógnita)−mi[incógnita]{\displaystyle \rho (X)=D(X)-\mathbb {E} [X]}.

ρ{\displaystyle \rho }Se denomina expectativa limitada si satisfaceρ(incógnita)>mi[−incógnita]{\displaystyle \rho (X)>\mathbb {E} [-X]}para cualquier X no constante yρ(incógnita)=mi[−incógnita]{\displaystyle \rho (X)=\mathbb {E} [-X]}para cualquier constante X . [ 6 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Artzner, Philippe; Delbaen, Freddy; Eber, Jean-Marc; Heath, David (1999). "Medidas coherentes de riesgo" (PDF) . Mathematical Finance . 9 (3): 203– 228. doi : 10.1111/1467-9965.00068 . S2CID 6770585. Consultado el 3 de febrero de 2011 . 
  2. ↑ Jouini, Elyes; Meddeb, Moncef; Touzi, Nizar (2004). "Medidas de riesgo coherentes con valores vectoriales". Finanzas y Estocástica . 8 (4): 531– 552. CiteSeerX 10.1.1.721.6338 . doi : 10.1007/s00780-004-0127-6 . S2CID 18237100 .  
  3. ↑ Hamel, AH; Heyde, F. (2010). "Dualidad para medidas de riesgo con valores de conjunto". SIAM Journal on Financial Mathematics . 1 (1): 66– 95. CiteSeerX 10.1.1.514.8477 . doi : 10.1137/080743494 . 
  4. ↑ Jokhadze, Valeriane; Schmidt, Wolfgang M. (marzo de 2020). "Medición del riesgo del modelo en la gestión y fijación de precios del riesgo financiero" . International Journal of Theoretical and Applied Finance . 23 (2) 2050012. doi : 10.1142/s0219024920500120 . SSRN 3113139 . 
  5. ↑ Andreas H. Hamel; Frank Heyde; Birgit Rudloff (2011). "Medidas de riesgo con valores de conjunto para modelos de mercado cónicos". Matemáticas y Economía Financiera . 5 (1): 1– 28. arXiv : 1011.5986 . doi : 10.1007/s11579-011-0047-0 . S2CID 154784949 . 
  6. ↑ Rockafellar, Tyrrell; Uryasev, Stanislav; Zabarankin, Michael (22 de enero de 2003). "Medidas de desviación en el análisis y optimización de riesgos". SSRN 365640 . 

Lecturas adicionales

  • Crouhy, Michel; D. Galai; R. Mark (2001). Gestión de riesgos . McGraw-Hill .  752 páginas. ISBN 978-0-07-135731-9.
  • Kevin, Dowd (2005). Medición del riesgo de mercado (2.ª  ed.). John Wiley & Sons .  410 páginas. ISBN 978-0-470-01303-8.
  • Foellmer, Hans; Schied, Alejandro (2004). Finanzas estocásticas . Serie de Gruyter en Matemáticas. vol.  27. Berlín: Walter de Gruyter . págs.xi  +459. ISBN 978-311-0183467MR 2169807 .​ 
  • Shapiro, Alexander; Dentcheva, Darinka; Ruszczyński, Andrzej (2009). Lecciones sobre programación estocástica. Modelado y teoría . Serie MPS/SIAM sobre optimización. Vol.  9. Filadelfia: Society for Industrial and Applied Mathematics . pp.  xvi+436. ISBN 978-0898716870MR 2562798 .​