Modelo de tasa corta

A continuación se presentan los modelos de un factor, donde un único factor estocástico —el tipo de interés a corto plazo— determina la evolución futura de todos los tipos de interés. A excepción de Rendleman-Bartter y Ho-Lee, que no capturan la reversión a la media de los tipos de interés, estos modelos pueden considerarse casos específicos de procesos de Ornstein-Uhlenbeck. Los modelos de Vasicek, Rendleman-Bartter y CIR son endógenos y solo tienen un número finito de parámetros libres , por lo que no es posible especificar estos valores de manera que el modelo coincida con algunos precios de mercado observados ("calibración") de bonos cupón cero o productos lineales como acuerdos de tipos a plazo o swaps, normalmente. En estos casos, se realiza un ajuste óptimo a dichos productos lineales para encontrar los parámetros de los modelos endógenos de tipos de interés a corto plazo que más se aproximen a los precios de mercado. Esto impide el ajuste de opciones como caps, floors y swaptions, ya que los parámetros se han utilizado para ajustar instrumentos lineales. Este problema se supera permitiendo que los parámetros varíen de forma determinista con el tiempo, ^{[ 4 ] [ 5 ]} o añadiendo un cambio determinista al modelo endógeno. ^{[ 6 ]} De esta forma, los modelos exógenos como Ho-Lee y modelos posteriores pueden calibrarse con datos de mercado, lo que significa que pueden devolver exactamente el precio de los bonos que componen la curva de rendimiento, y los parámetros restantes pueden utilizarse para la calibración de opciones. La implementación suele ser mediante un árbol de tipos de interés a corto plazo ( binomial ) ^{[ 7 ]} o simulación; véase Modelo reticular (finanzas) §  Derivados de tipos de interés y métodos de Monte Carlo para la valoración de opciones , aunque algunos modelos de tipos de interés a corto plazo tienen soluciones de forma cerrada para bonos cupón cero, e incluso caps o floors, lo que facilita considerablemente la tarea de calibración.

A continuación, enumeramos los siguientes modelos endógenos.

1. El modelo de Merton (1973) explica la tasa a corto plazo como${\displaystyle r_{t}=r_{0}+at+\sigma W_{t}^{*}}$: dónde${\displaystyle W_{t}^{*}}$es un movimiento browniano unidimensional bajo la medida de martingala spot . ^{[ 8 ]} En este enfoque, la tasa corta sigue un movimiento browniano aritmético .
2. El modelo de Vasicek (1977) modela la tasa a corto plazo como${\displaystyle dr_{t}=(\theta -\alpha r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$; a menudo se escribe${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$. ^{[ 9 ]} La segunda forma es la más común y hace que la interpretación de los parámetros sea más directa, con el parámetro${\displaystyle a}$siendo la velocidad de reversión a la media, el parámetro${\displaystyle b}$siendo la media a largo plazo y el parámetro${\displaystyle \sigma }$siendo la volatilidad instantánea. En este modelo de tasa a corto plazo se utiliza un proceso de Ornstein-Uhlenbeck para la tasa a corto plazo. Este modelo permite tasas negativas, ya que la distribución de probabilidad de la tasa a corto plazo es gaussiana. Además, este modelo permite soluciones analíticas para el precio del bono y para las opciones y límites máximos/mínimos de bonos, y utilizando el truco de Jamshidian , también se puede obtener una fórmula para las swaptions. ^{[ 2 ]}
3. El modelo de Rendleman-Bartter (1980) ^{[ 10 ]} o el modelo de Dothan (1978) ^{[ 11 ]} explican la tasa a corto plazo como${\displaystyle dr_{t}=\theta r_{t}\,dt+\sigma r_{t}\,dW_{t}}$En este modelo, la tasa a corto plazo sigue un movimiento browniano geométrico . Este modelo no tiene fórmulas de forma cerrada para las opciones y no revierte a la media. Además, tiene el problema de una cuenta bancaria esperada infinita después de un corto período. El mismo problema estará presente en todos los modelos lognormales de tasa a corto plazo ^{[ 2 ].}
4. El modelo de Cox-Ingersoll-Ross (1985) supone${\displaystyle dr_{t}=(\theta -\alpha r_{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma \,dW_{t}}$, a menudo se escribe${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma \,dW_{t}}$. El${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$Este factor excluye (generalmente) la posibilidad de tipos de interés negativos. ^{[ 12 ]} La interpretación de los parámetros, en la segunda formulación, es la misma que en el modelo de Vasicek. La condición de Feller${\displaystyle 2ab>\sigma ^{2}}$asegura tasas a corto plazo estrictamente positivas. Este modelo sigue un proceso de raíz cuadrada de Feller y tiene tasas no negativas, y permite soluciones de forma cerrada para el precio del bono y para opciones y límites/pisos de bonos, y utilizando el truco de Jamshidian , también se puede obtener una fórmula para swaptions. Tanto este modelo como el modelo de Vasicek se denominan modelos afines, porque la fórmula para la tasa spot capitalizada continuamente para un vencimiento finito T en el tiempo t es una función afín de${\displaystyle r_{t}}$. ^{[ 2 ]}

A continuación, presentamos una serie de modelos de tasas de interés a corto plazo exógenas.

1. El modelo Ho-Lee (1986) modela la tasa a corto plazo como${\displaystyle dr_{t}=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$. ^{[ 13 ]} El parámetro${\displaystyle \theta _{t}}$Permite que la estructura temporal inicial de los tipos de interés o los precios de los bonos se utilice como dato de entrada del modelo. Este modelo sigue, a su vez, un movimiento browniano aritmético con un parámetro de deriva determinista dependiente del tiempo.
2. El modelo Hull-White (1990), también llamado modelo Vasicek extendido, postula${\displaystyle dr_{t}=(\theta _{t}-\alpha _{t}r_{t})\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$En muchas presentaciones, uno o más de los parámetros${\displaystyle \theta ,\alpha }$y${\displaystyle \sigma }$no dependen del tiempo. La distribución de la tasa a corto plazo es normal y el modelo permite tasas negativas. El modelo con constante${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \sigma }$Es el más utilizado y permite soluciones de forma cerrada para precios de bonos, opciones sobre bonos, límites máximos y mínimos, y swaptions mediante el truco de Jamshidian. Este modelo permite una calibración exacta de la estructura temporal inicial de las tasas de interés a través de la función dependiente del tiempo.${\displaystyle \theta _{t}}$La implementación basada en retículos para swaptions bermudeñas y para productos sin fórmulas analíticas suele ^ser trinomio . [ ^{14 ] [ 15 ]}
3. El modelo Black–Derman–Toy (1990) tiene${\textstyle d\ln(r)=[\theta _{t}+{\frac {\sigma '_{t}}{\sigma _{t}}}\ln(r)]dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$para la volatilidad de las tasas a corto plazo dependiente del tiempo y${\displaystyle d\ln(r)=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$De lo contrario, el modelo es lognormal. ^{[ 16 ]} El modelo no tiene fórmulas de forma cerrada para las opciones. Además, como todos los modelos lognormales, sufre del problema de la explosión de la cuenta bancaria esperada en un tiempo finito.
4. El modelo Black–Karasinski (1991), que es lognormal, tiene${\displaystyle d\ln(r)=[\theta _{t}-\phi _{t}\ln(r)]\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$[ ^{17 ] El} modelo puede considerarse como la aplicación lognormal de Hull-White; ^{[ 18 ]} su implementación basada en retículos es igualmente trinomial (binomial requiere pasos de tiempo variables). ^{[ 7 ]} El modelo no tiene soluciones de forma cerrada, e incluso la calibración básica a la estructura temporal inicial debe hacerse con métodos numéricos para generar los precios de los bonos cupón cero. Este modelo también sufre del problema de la explosión de la cuenta bancaria esperada en un tiempo finito.
5. El modelo Kalotay–Williams–Fabozzi (1993) tiene la tasa a corto plazo como${\displaystyle d\ln(r_{t})=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$, un análogo lognormal del modelo de Ho-Lee y un caso especial del modelo de Black-Derman-Toy. ^{[ 19 ]} Este enfoque es efectivamente similar al "modelo original de los hermanos Salomon " (1987), ^{[ 20 ]} también una variante lognormal de Ho-Lee. ^{[ 21 ]}
6. El modelo CIR++, introducido y estudiado en detalle por Brigo y Mercurio ^{[ 6 ]} en 2001, y formulado también anteriormente por Scott (1995) ^{[ 22 ]} , utilizó el modelo CIR pero en lugar de introducir parámetros dependientes del tiempo en la dinámica, añade un desplazamiento externo. El modelo se formula como${\displaystyle dx_{t}=a(b-x_{t})\,dt+{\sqrt {x_{t}}}\,\sigma \,dW_{t},\ \ r_{t}=x_{t}+\phi (t)}$dónde${\displaystyle \phi }$es un cambio determinista. El cambio puede utilizarse para absorber la estructura temporal del mercado y hacer que el modelo sea totalmente coherente con ella. Este modelo conserva la manejabilidad analítica del modelo CIR básico, lo que permite soluciones de forma cerrada para bonos y todos los productos lineales, y opciones como caps, floor y swaptions mediante el truco de Jamshidian. El modelo permite mantener tasas positivas si el cambio está restringido a ser positivo, o permite tasas negativas si se permite que el cambio sea negativo. También se ha aplicado con frecuencia en el riesgo de crédito, para swaps de incumplimiento crediticio y swaptions, en esta versión original o con saltos. ^{[ 23 ]}

La idea de un cambio determinista también puede aplicarse a otros modelos que tienen propiedades deseables en su forma endógena. Por ejemplo, se podría aplicar el cambio.${\displaystyle \phi }$al modelo de Vasicek, pero debido a la linealidad del proceso de Ornstein-Uhlenbeck, esto es equivalente a hacer${\displaystyle b}$una función dependiente del tiempo, y por lo tanto coincidiría con el modelo de Hull-White. ^{[ 6 ]}

Además de los modelos unifactoriales mencionados anteriormente, también existen modelos multifactoriales de la tasa a corto plazo, entre los que destacan el modelo bifactorial de Longstaff y Schwartz y el modelo trifactorial de Chen (también llamado "modelo de media estocástica y volatilidad estocástica"). Cabe señalar que, para la gestión de riesgos, con el fin de "crear simulaciones realistas de las tasas de interés ", estos modelos multifactoriales de la tasa a corto plazo a veces se prefieren a los modelos unifactoriales, ya que generan escenarios que, en general, son más "consistentes con los movimientos reales de la curva de rendimiento". ^{[ 24 ]}

• El modelo de Longstaff-Schwartz (1992) supone que la dinámica de la tasa a corto plazo viene dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}dX_{t}&=(a_{t}-bX_{t})\,dt+{\sqrt {X_{t}}}\,c_{t}\,dW_{1t},\\[3pt]dY_{t}&=(d_{t}-eY_{t})\,dt+{\sqrt {Y_{t}}}\,f_{t}\,dW_{2t},\end{aligned}}}$

donde la tasa a corto plazo se define como

${\displaystyle dr_{t}=(\mu X+\theta Y)\,dt+\sigma _{t}{\sqrt {Y}}\,dW_{3t}.}$^{[ 25 ]}

• El modelo de Chen (1996), que tiene una media estocástica y volatilidad de la tasa a corto plazo, viene dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}dr_{t}&=(\theta _{t}-\alpha _{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma _{t}\,dW_{t},\\[3pt]d\alpha _{t}&=(\zeta _{t}-\alpha _{t})\,dt+{\sqrt {\alpha _{t}}}\,\sigma _{t}\,dW_{t},\\[3pt]d\sigma _{t}&=(\beta _{t}-\sigma _{t})\,dt+{\sqrt {\sigma _{t}}}\,\eta _{t}\,dW_{t}.\end{aligned}}}$^{[ 26 ]}

• Los modelos de Hull-White de dos factores o G2++ son modelos que se han utilizado debido a su manejabilidad. Estos modelos se resumen y se demuestra su equivalencia en Brigo y Mercurio (2006). Este modelo se basa en la suma de dos procesos de Ornstein-Uhlenbeck (Vasicek) posiblemente correlacionados más un desplazamiento para obtener la tasa a corto plazo. Este modelo permite una calibración exacta de la estructura temporal, soluciones de forma semicerrada para opciones, control de la estructura temporal de la volatilidad para tasas forward instantáneas a través del parámetro de correlación, y especialmente para tasas negativas, lo cual ha cobrado importancia a medida que las tasas se volvieron negativas en los mercados financieros. ^{[ 27 ]}