Grupo hiperoctaédrico

Los grupos hiperoctaédricos son una familia de grupos matemáticos que surgen como el grupo de simetrías del cuadrado , el cubo y sus contrapartes de dimensiones superiores (los hipercubos ), así como los politopos duales correspondientes (el octaedro regular y sus contrapartes de dimensiones superiores, los politopos cruzados ). Existe un grupo hiperoctaédrico para cada dimensión n .

Además de su papel en geometría , los grupos hiperoctaédricos también aparecen en la teoría de Lie , como los grupos de Weyl asociados a los grupos simplécticos y a los grupos ortogonales y sus álgebras de Lie asociadas , y en combinatoria , donde pueden considerarse como una versión con signo de los grupos simétricos , con sus elementos dados por permutaciones con signo . Algebraicamente, cada grupo hiperoctaédrico puede realizarse como un producto de coronas.${\displaystyle C_{2}\wr S_{n}}$del grupo de dos elementos${\displaystyle C_{2}}$con el grupo simétrico${\displaystyle S_{n}}$y pueden representarse como el conjunto de matrices invertibles con entradas únicamente 0 , 1 o −1 y con exactamente una entrada distinta de cero en cada fila o columna. La familia de grupos hiperoctaédricos forma el tipo B en la clasificación de grupos de Coxeter finitos .

Los grupos hiperoctaédricos fueron nombrados por Alfred Young en 1930. ^{[ 1 ]}

El grupo hiperoctaédrico en dimensión 1 es el grupo de simetrías de un segmento de recta . Se trata de un grupo de dos elementos: el elemento identidad y otro elemento. En dimensiones superiores, los grupos hiperoctaédricos presentan una estructura más compleja.

Dimensión 2: simetrías de un cuadrado

El grupo hiperoctaédrico en dos dimensiones es el grupo diedral de orden 8 , el grupo de simetría de un cuadrado . Tiene ocho elementos, de los cuales cuatro son rotaciones (incluida la identidad, una rotación de 0° ) y cuatro son reflexiones . La operación del grupo es la composición funcional ; por ejemplo, reflejar primero el cuadrado con respecto al eje horizontal y luego reflejarlo con respecto a la diagonal de pendiente 1 da el mismo resultado que rotar el cuadrado 90° en sentido antihorario, por lo que en el grupo el producto de estas dos reflexiones es esa rotación. ^{[ 2 ]}

La posición inicial del cuadrado (la transformación identidad )

Rotación de 90° en sentido antihorario.

Rotación de 180°

Rotación de 270°

Reflexión diagonal noroeste-sureste

Reflexión horizontal

Reflexión diagonal NE-SO

Reflexión vertical

El grupo puede caracterizarse mediante generadores y relaciones de varias maneras. Una de esas expresiones es${\displaystyle \langle r,s\mid r^{4}=s^{2}=1,srs=r^{-1}\rangle }$donde 1 representa la transformación identidad, r representa la rotación de 90° (de orden 4 ), s representa cualquiera de las reflexiones (de orden 2 ), y la relación final captura el hecho de que reflejar a través de una línea, luego rotar 90° en sentido antihorario y luego reflejar a través de la misma línea tiene el mismo efecto que aplicar una sola rotación de 90° en sentido horario. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Una presentación aparte del grupo es${\displaystyle \langle s,t\mid s^{2}=t^{2}=(st)^{4}=1\rangle }$En esta presentación, s y t representan dos reflexiones, una respecto de una diagonal y otra respecto de una línea que pasa por los centros de dos lados opuestos. Entonces, el producto ^st es una rotación de 90° , de orden 4. ^{[ 5 ] [ 4} ]

Dimensión 3: simetrías de un cubo

Debido a que el cubo y el octaedro regular son poliedros duales , tienen el mismo grupo de simetría. ^{[ 6 ]} Este grupo consta de 48 = 8·3! elementos: cada simetría se determina seleccionando un vértice del cubo, eligiendo la posición de uno de los ocho vértices a los que enviarlo y eligiendo cómo se asignan sus vecinos en una de 3! = 6 maneras. ^{[ 7 ]}

De las 48 simetrías, varias familias son dignas de mención. Nueve de las simetrías del cubo son reflexiones respecto a un plano: tres reflexiones respecto a planos paralelos a un par de caras opuestas, y seis reflexiones adicionales respecto a los planos que pasan por dos aristas opuestas del cubo. ^{[ 8 ] [ 9 ]} Veintitrés de las simetrías son rotaciones no triviales: nueve son rotaciones alrededor de una de las líneas que pasan por los centros de dos caras opuestas (una de 90° , 180° y 270° alrededor de los tres ejes), seis son rotaciones de 180° alrededor de una línea que pasa por los puntos medios de dos aristas opuestas, y ocho son rotaciones alrededor de una de las diagonales del espacio (una de 120° y 240° alrededor de las cuatro diagonales). Junto con la identidad, estas forman el subgrupo rotacional del cubo. Este subgrupo es isomorfo al grupo simétrico.${\displaystyle S_{4}}$de permutaciones de un conjunto de cuatro elementos; por ejemplo, se puede demostrar que cada permutación de las cuatro diagonales espaciales se puede lograr mediante exactamente una simetría rotacional. ^{[ 10 ]} Las simetrías restantes incluyen la reflexión puntual a través del centro del cubo que envía cada vértice al vértice opuesto, y varias rotaciones impropias (una combinación de una rotación alrededor ^de un eje y una reflexión en un plano perpendicular a ese eje) de órdenes 4 y 6. ^{[ 9 ] [ 11} ]

Si se elige un sistema de coordenadas cartesianas de modo que el origen esté en el centro del cubo y los tres ejes de coordenadas sean paralelos a las aristas, entonces la elección de dónde enviar el único vértice se puede lograr mediante reflexiones a través de los tres planos de coordenadas ; debido a que estas diferentes reflexiones conmutan , forman un subgrupo de la forma${\displaystyle C_{2}\times C_{2}\times C_{2}}$, un producto directo de tres grupos de dos elementos. Las reordenaciones de los tres vértices vecinos vienen dadas por un subgrupo isomorfo al grupo simétrico.${\displaystyle S_{3}}$de permutaciones de un conjunto de tres elementos. Por lo tanto, todo el grupo de simetrías del cubo se puede escribir como un producto semidirecto.${\displaystyle (C_{2}\times C_{2}\times C_{2})\rtimes S_{3}}$El mismo grupo también puede escribirse como producto directo.${\displaystyle C_{2}\times S_{4}}$del subgrupo rotacional del cubo por el grupo de dos elementos generado por la reflexión puntual a través del origen. ^{[ 8 ]}

Si se divide el cubo en cámaras mediante los planos definidos por cada una de sus simetrías de reflexión, cada cámara está delimitada por tres de dichos planos. Llamamos a las reflexiones a través de estos planos${\displaystyle s_{0},s_{1},s_{2}}$, se puede demostrar que estos forman un conjunto generador para todas las simetrías (es decir, cualquier otra simetría se puede lograr mediante composiciones repetidas de estas tres simetrías), sujeto a las relaciones que${\displaystyle s_{0}^{2}}$,${\displaystyle s_{1}^{2}}$,${\displaystyle s_{2}^{2}}$,${\displaystyle (s_{0}s_{2})^{2}}$,${\displaystyle (s_{1}s_{2})^{3}}$, y${\displaystyle (s_{0}s_{1})^{4}}$son todas transformaciones de identidad. ^{[ 12 ]}

Para cualquier entero positivo n , el espacio euclidiano n -dimensional${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$contiene análogos n- dimensionales del cubo, llamados hipercubos . Uno de esos hipercubos${\displaystyle {\mathcal {H}}}$consta de todos los puntos${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$de tal manera que${\displaystyle |x_{i}|\leq 1}$para${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$, con vértices${\displaystyle (\pm 1,\ldots ,\pm 1)}$. ^{[ 13 ] [ 14 ]} El grupo hiperoctaédrico consta de todas las transformaciones rígidas w de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$que envían${\displaystyle {\mathcal {H}}}$a sí mismo:${\displaystyle w({\mathcal {H}})={\mathcal {H}}}$. De forma equivalente, se puede considerar el politopo dual de${\displaystyle {\mathcal {H}}}$; este es el politopo cruzado n -dimensional${\displaystyle {\mathcal {O}}}$. Consta de todos los puntos en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$que satisfacen la ecuación${\displaystyle |x_{1}|+\ldots +|x_{n}|\leq 1}$y tiene como vértices los vectores${\displaystyle \pm e_{1},\ldots ,\pm e_{n}}$, dónde${\displaystyle e_{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)}$es el vector base estándar de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$teniendo ^la i -ésima entrada igual a 1 y todas las demás entradas iguales a 0. [ ^{15 ]}

Las transformaciones rígidas de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$que preservan el politopo cruzado${\displaystyle {\mathcal {O}}}$(equivalentemente, el hipercubo)${\displaystyle {\mathcal {H}}}$) son todas transformaciones lineales . En la base estándar para${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, la matriz de dicha transformación debe ser una matriz de permutación con signo : debe tener exactamente una entrada distinta de cero en cada fila y columna, y las entradas distintas de cero son todas ±1 . ^{[ a ]} ​​Por lo tanto, el grupo hiperoctaédrico${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$de dimensión n puede caracterizarse como el grupo de matrices de permutación con signo n × n bajo la operación de multiplicación de matrices. ^{[ 16 ]} Combinatoriamente, los elementos pueden representarse como permutaciones con signo , es decir, como n - tuplas${\displaystyle [w(1),w(2),\dots,w(n)]}$que contienen exactamente un elemento de cada uno de los n conjuntos {1, −1} , {2, −2} , ..., { n , − n } . ^{[ 17 ]}

Algebraicamente,${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$es isomorfo al producto de la corona${\displaystyle C_{2}\wr S_{n}}$del grupo de dos elementos${\displaystyle C_{2}=\{+1,-1\}}$por el grupo simétrico${\displaystyle S_{n}}$Es decir, es un producto semidirecto .${\displaystyle C_{2}^{n}\rtimes S_{n}}$de un producto directo${\displaystyle C_{2}^{n}=C_{2}\times \cdots \times C_{2}}$de n copias de${\displaystyle C_{2}}$con el grupo simétrico: el subgrupo normal${\displaystyle C_{2}^{n}}$actúa mediante cambios de signo, mientras que el grupo simétrico${\displaystyle S_{n}}$actúa permutando coordenadas. ^{[ 18 ]}

A partir de estas caracterizaciones, se puede ver que el tamaño del grupo hiperoctaédrico es${\displaystyle 2^{n}n!}$, puesto que hay${\displaystyle n!}$(el factorial de n ) formas de elegir las posiciones de las entradas no nulas (una permutación de los ejes de coordenadas) y${\displaystyle 2^{n}}$formas de elegir si cada una debe ser positiva o negativa. ^{[ 19 ]}

Una reflexión en el espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$es un operador lineal${\displaystyle t:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$para el cual existe un hiperplano H (es decir, un subespacio de dimensión n − 1 ) que t fija puntualmente (es decir, de tal manera que${\displaystyle t(x)=x}$para todo x en H ) y tal que t niega los vectores en la línea perpendicular a H . Un grupo finito W de operadores lineales invertibles en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Se denomina grupo de reflexión ( real finito ) si W es generado por las reflexiones que contiene. ^{[ 20 ]} El grupo hiperoctaédrico es un grupo de reflexión en este sentido: el subgrupo${\displaystyle C_{2}^{n}}$se genera mediante los n cambios de signo, cada uno de los cuales fija un hiperplano de coordenadas.${\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}=0\}}$punto por punto mientras se niega el vector normal${\displaystyle e_{i}}$y el subgrupo${\displaystyle S_{n}}$se genera mediante su subconjunto de transposiciones y la transposición${\displaystyle (i\ j)}$corrige el hiperplano${\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}=x_{j}\}}$punto por punto, mientras se niega su vector normal.${\displaystyle e_{i}-e_{j}}$. Desde${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$es el producto de estos dos subgrupos, se genera por la colección de ambos tipos de reflexiones. ^{[ 21 ] [ 22 ]}

Para cada grupo de reflexión real finito que actúa sobre un espacio de dimensión n , existe un procedimiento estándar para producir un conjunto de n reflexiones que generan el grupo, sujeto a una sencilla colección de relaciones. Los hiperplanos de reflexión dividen el espacio en una colección de regiones llamadas cámaras . ^{[ 23 ]} Cada cámara tiene n de los hiperplanos en su frontera, y las reflexiones a través de estos planos forman un conjunto generador para el grupo. ^{[ 24 ]}

En el caso del grupo hiperoctaédrico, una de esas elecciones produce las reflexiones${\displaystyle s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n-1}}$cuya acción en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$se da de la siguiente manera: para cualquier punto${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, $${\displaystyle s_{0}(x)=(-x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$$ y $${\displaystyle s_{i}(x)=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i-1},x_{i+1},x_{i},x_{i+2},x_{i+3},\ldots ,x_{n})}$$ para${\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}$. Eso es,${\displaystyle s_{0}}$actúa negando la primera coordenada, y${\displaystyle s_{i}}$actúa transponiendo las coordenadas i y ( i + 1) para${\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}$. ^{[ 25 ] [ b ]}

Se puede comprobar que estos reflejos generan${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$y que satisfacen las relaciones $${\displaystyle (s_{0}s_{1})^{4}=1,\quad (s_{i}s_{i+1})^{3}=1,\quad {\text{and }}(s_{i}s_{j})^{2}=1}$$ si${\displaystyle |i-j|>1}$. De hecho, se puede demostrar además que estas son un conjunto completo de relaciones; es decir, que${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$es el grupo con presentación$${\displaystyle \left\langle s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n-1}\mid (s_{i})^{2}=1,(s_{0}s_{1})^{4}=1,(s_{i}s_{i+1})^{3}=1{\text{ for }}i=1,\ldots ,n-1,{\text{ and }}(s_{i}s_{j})^{2}=1{\text{ if }}|i-j|>1\right\rangle .}$$ Esto da${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$la estructura de un grupo de Coxeter , con${\displaystyle S=\{s_{0},\ldots ,s_{n-1}\}}$el conjunto correspondiente de reflexiones simples . ^{[ 25 ]} El diagrama de Coxeter-Dynkin correspondiente que registra estas relaciones es

...

con n nodos. ^{[ 27 ] [ 28 ]}

Como un grupo de Weyl de un sistema radicular

El grupo hiperoctaédrico surge como las simetrías de otros objetos geométricos además de los poliedros. Un sistema de raíces Φ es un conjunto finito de vectores no nulos (llamados raíces ) en el espacio euclidiano que satisfacen dos propiedades: si α pertenece a Φ, entonces el múltiplo escalar c α pertenece a Φ solo para${\displaystyle c=\pm 1}$y si α y β pertenecen a Φ , entonces también lo hace la reflexión de β a través del hiperplano ortogonal a α . ^{[ 29 ]} Cada sistema de raíces determina un grupo de reflexión real finito, generado por las reflexiones a través de los planos ortogonales a sus raíces. ^{[ 30 ]}

Un sistema radicular es cristalográfico si sus raíces abarcan una red . ^{[ c ] [ 31 ] [ 32 ]} Para${\displaystyle n\geq 3}$Existen, salvo isomorfismo, dos sistemas de raíces cristalográficas cuyo grupo de Weyl asociado es${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$: dejar${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ser la base estándar para${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, el sistema radicular tipo B${\displaystyle \Phi _{\mathrm {B} }}$consta de los vectores $${\displaystyle \Phi _{\mathrm {B} }=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}\bigcup \{\pm e_{i}\pm e_{j}:1\leq i<j\leq n\}}$$ mientras que el sistema radicular de tipo C${\displaystyle \Phi _{\mathrm {C} }}$es la siguiente variante menor: $${\displaystyle \Phi _{\mathrm {C} }=\{2e_{1},\ldots ,2e_{n}\}\bigcup \{\pm e_{i}\pm e_{j}:1\leq i<j\leq n\}.}$$ La raíz${\displaystyle e_{i}}$(o${\displaystyle 2e_{i}}$) corresponde a la reflexión que, al actuar sobre un vector${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$cambia el signo de la i- ésima coordenada. La raíz${\displaystyle e_{i}-e_{j}}$corresponde a la reflexión que intercambia las coordenadas i y j , mientras que la raíz${\displaystyle e_{i}+e_{j}}$corresponde a la reflexión que intercambia las coordenadas i y j y cambia los signos de ambas. ^{[ 33 ]}

En el caso n = 2 , estos sistemas de raíces son isomorfos y ambos dan el grupo${\displaystyle S_{2}^{\pm }\cong D_{2\times 4}}$Para n general , los dos sistemas de raíces no son isomorfos, pero son duales entre sí. ^{[ d ] [ 35 ] [ 36 ]} Para n = 3 , el sistema de raíces de tipo B consiste en los vectores desde el centro de un cubo hasta los centros de sus aristas y caras, mientras que el sistema de raíces de tipo C consiste en los vectores desde el centro de un octaedro hasta sus vértices y los centros de sus aristas. ^{[ 37 ]}

El grupo hiperoctaédrico${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$puede identificarse con el conjunto de biyecciones w del conjunto${\displaystyle \{-n,-n+1,\ldots ,-1,1,2,\ldots ,n\}}$a sí mismo que satisface${\displaystyle w(-i)=-w(i)}$para todo lo que yo en${\displaystyle \{-n,-n+1,\ldots ,-1,1,2,\ldots ,n\}}$, bajo la operación de composición funcional. La biyección w está determinada por la permutación con signo.${\displaystyle [w(1),w(2),\ldots ,w(n)]}$, que en este contexto se denomina notación de ventana de w . ^{[ 38 ] [ e ]}

La representación de${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$como un grupo de permutaciones de un conjunto de tamaño 2 n induce un mapa de inclusión natural${\displaystyle \iota :S_{n}^{\pm }\to S_{2n}}$del grupo hiperoctaédrico n -dimensional al grupo simétrico con el doble de elementos. La imagen de ι es el conjunto de permutaciones en${\displaystyle S_{2n}}$cuya matriz de permutación está fijada por una rotación de 180° alrededor de su centro. ^{[ 40 ]} De forma equivalente, escribiendo${\displaystyle w_{0}}$para la permutación en${\displaystyle S_{2n}}$cuya notación de una línea es${\displaystyle (2n,2n-1,\ldots ,2,1)}$y cuya notación de ciclo es${\displaystyle (1\ 2n)(2\ 2n-1)\cdots (n\ n+1)}$, la imagen de ι es el conjunto de permutaciones${\displaystyle g}$que satisfacen${\displaystyle w_{0}gw_{0}=g}$y también el conjunto de permutaciones que conmutan con${\displaystyle w_{0}}$. ^{[ 41 ] [ 42 ]}

Alternativamente, se puede considerar el grupo de biyecciones del conjunto${\displaystyle [-n,n]\cap \mathbb {Z} =\{-n,-n+1,\ldots ,n-1,n\}}$a sí mismo que satisface${\displaystyle w(-i)=-w(i)}$para todo i , puesto que la condición de simetría impone${\displaystyle w(0)=0}$En este caso, el mapa de inclusión asociado es dentro del grupo simétrico.${\displaystyle S_{2n+1}}$. ^{[ 40 ]}

Cuando se observa como una permutación con signo en notación de ventana, un ciclo de un elemento w de${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$es un ciclo en la permutación subyacente que obtenemos al borrar todos los signos menos; la longitud del ciclo es el número de entradas que contiene. Un ciclo es positivo si el número de números negativos entre sus entradas en la ventana es par, y negativo en caso contrario. ^{[ 43 ] [ f ]} Cuando se ve como una permutación de${\displaystyle \{-n,\ldots ,-1,1,\ldots ,n\}}$, cada ciclo positivo corresponde a dos ciclos, uno que contiene los negativos de las entradas del otro, mientras que cada ciclo negativo corresponde a un único ciclo que contiene i si y solo si contiene − i . ^{[ 44 ]} Por ejemplo, la permutación con signo con notación de ventana${\displaystyle [-3,5,1,-7,2,8,-6,-4]}$tiene tres ciclos: los ciclos negativos (1 3) y (4 7 6 8) y el ciclo positivo (2 5) . Como una permutación de${\displaystyle \{-8,\ldots ,-1,1,\ldots ,8\}}$, su descomposición cíclica es (1 −3 −1 3)(2 5)(−2 −5)(4 −7 6 8 −4 7 −6 −8) . ^{[ 45 ] [ 17 ]}

El tipo de ciclo de una permutación con signo w es el par${\displaystyle (\lambda ,\mu )}$de dos particiones enteras donde λ consiste en las longitudes de los ciclos positivos de w y μ consiste en las longitudes de los ciclos negativos de w . Dos permutaciones con signo u y w pertenecen a la misma clase de conjugación de${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$(es decir, existe otra permutación con signo g tal que${\displaystyle gug^{-1}=w}$) si y solo si tienen el mismo tipo de ciclo. En otras palabras, las clases de conjugación en${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$están indexados por pares${\displaystyle (\lambda ,\mu )}$donde λ y μ son dos particiones enteras cuyas partes suman n . ^{[ 43 ]}

De forma equivalente, dos permutaciones con signo en${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$son conjugados si y solo si tienen el mismo número de ciclos de cada longitud, y sus imágenes bajo la inclusión ι en el grupo simétrico${\displaystyle S_{2n}}$también tienen el mismo número de ciclos de cada longitud. ^{[ 46 ]}

En total, el grupo hiperoctaédrico de dimensión n tiene${\displaystyle n^{2}}$reflexiones. De estas, n son las reflexiones de cambio de signo a través de un hiperplano de coordenadas.${\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}=0\}}$Se dan en notación cíclica por ${\displaystyle {\big \{}(i\ -i):1\leq i\leq n{\big \}}}$ y en notación de ventana por ${\displaystyle \{[1,\ldots ,i-1,-i,i+1,\ldots ,n]:i=1,\ldots ,n\};}$forman una única clase de conjugación, indexada por el par de particiones enteras.${\displaystyle (\langle 1^{n-1}\rangle ,\langle 1\rangle )}$. El otro${\displaystyle n^{2}-n}$Las reflexiones son reflexiones de tipo transposición , a través de los hiperplanos.${\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}=x_{j}\}}$o${\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}=-x_{j}\}}$para${\displaystyle 1\leq i<j\leq n}$Se dan en notación cíclica por $${\displaystyle {\big \{}(i\ j)(-i\ -j):1\leq i<|j|\leq n{\big \}}.}$$ En notación de ventana, la reflexión a través del plano con ecuación${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$es dado por${\displaystyle [1,2,\ldots ,i-1,j,i+1,\ldots ,j-1,i,j+1,j+2,\ldots ,n]}$(es decir, es una transposición) mientras que la reflexión a través del plano con ecuación${\displaystyle x_{i}+x_{j}=0}$es dado por${\displaystyle [1,2,\ldots ,i-1,-j,i+1,\ldots ,j-1,-i,j+1,j+2,\ldots ,n]}$(es decir, es el resultado de transponer las entradas i y j y también cambiar ambos signos). Juntas, forman la clase de conjugación indexada por${\displaystyle (\langle 2,1^{n-2}\rangle ,\varnothing )}$. ^{[ 47 ] [ 48 ]}

La longitud${\displaystyle \ell _{S}(g)}$de un elemento g de un grupo de Coxeter G con respecto a un conjunto S de reflexiones simples es el número más pequeño k tal que g se puede escribir como un producto${\displaystyle g=s_{i_{1}}\cdots s_{i_{k}}}$de k elementos de S. ^{[ 49} ] El elemento más largo en un grupo ^de reflexión real finito es el elemento (siempre único) cuya longitud de Coxeter es lo más grande posible. En${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$, este elemento es − 1 . Es decir, es la reflexión puntual a través del origen, cuya matriz es el negativo de la matriz identidad. ^{[ 50 ]} Combinatoriamente, su notación de ventana es [ − 1, − 2, ..., − n ] . ^{[ 51 ]} Su longitud de Coxeter es${\displaystyle n^{2}}$(un caso especial del hecho de que la longitud del elemento más largo siempre es igual al número de reflexiones en un grupo de reflexión real finito). ^{[ 52 ]}

En un grupo de reflexión real finito W , un elemento de Coxeter es el producto de las reflexiones simples en cualquier sistema simple ( W , S ) . Todos los elementos de Coxeter pertenecen a una única clase de conjugación. ^{[ 53 ] [ 54 ]} En${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$, esta es la clase de conjugación indexada por${\displaystyle (\lambda ,\mu )=(\varnothing ,\langle n\rangle )}$; es decir, los elementos con un único ciclo negativo de n . ^{[ 55 ]} Si c es un elemento de Coxeter en${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$entonces${\displaystyle c^{n}=-1}$es el elemento más largo. ^{[ g ] [ 56 ]}

Se dice que un elemento c de un grupo de reflexión W es un elemento cuasi-Coxeter si existe una factorización${\displaystyle c=t_{1}\cdot t_{2}\cdots t_{k}}$de c como producto del número mínimo${\displaystyle k=\ell _{R}(c)}$de reflexiones tales que el conjunto${\displaystyle \{t_{1},t_{2},\ldots ,t_{k}\}}$de los factores es un conjunto generador para W. En${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$, los elementos cuasi-Coxeter son precisamente los elementos Coxeter y sus conjugados. ^{[ 57 ]}

Una permutación con signo w es conjugada en${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$a una permutación si y solo si cada ciclo de w es par. ^{[ 58 ]} El número de tales elementos en${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$es el doble factorial${\displaystyle (2n-1)!!=(2n-1)\cdot (2n-3)\cdots 3\cdot 1}$. ^{[ 17 ]}

El grupo hiperoctaédrico tiene varias familias de subgrupos notables .

En la teoría de grupos de Lie (o la teoría relacionada de grupos algebraicos ), todo grupo de Lie conexo y compacto tiene un grupo finito asociado, llamado su grupo de Weyl , que desempeña un papel importante en su teoría de representación. ^{[ 71 ]} El grupo hiperoctaédrico${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$es el grupo de Weyl de los objetos de "tipo B" y "tipo C" en la clasificación: el grupo ortogonal especial SO(2 n + 1) y el grupo simpléctico Sp( n ) . ^{[ 72 ]} Asimismo, en la teoría de las álgebras de Lie , cada álgebra de Lie simple compleja tiene un grupo de Weyl asociado;${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$es el grupo de Weyl de las álgebras de Lie${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n+1)}$y${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(n)}$. ^{[ 73 ]}

En el grupo simétrico${\displaystyle S_{n}}$, con respecto al conjunto generador${\displaystyle S=\{(1\ 2),(2\ 3),\ldots ,(n-1\ n)\}}$de transposiciones adyacentes , la longitud de una permutación w viene dada por $${\displaystyle \ell _{S}(w)=\operatorname {inv} (w(1)\cdots w(n))}$$ dónde${\displaystyle \operatorname {inv} (w(1)\cdots w(n))}$es el número de pares${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\}}$de tal manera que${\displaystyle i<j}$y${\displaystyle w(i)>w(j)}$. ^{[ 74 ]} Para una permutación con signo w en${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$, su longitud con respecto al conjunto generador de Coxeter${\displaystyle S=\{(1\ -1),(1\ 2)(-1\ -2),\ldots ,(n-1\ n)(1-n\ -n)\}}$de §  Como reflexión, el grupo de Coxeter y Weyl se puede calcular como $${\displaystyle \ell _{S}(w)=\operatorname {inv} (w(1)\cdots w(n))-\sum _{\{j:1\leq j\leq n,w(j)<0\}}w(j),}$$ donde inv tiene el mismo significado. ^{[ 75 ]} Esto también puede escribirse como $${\displaystyle \ell _{S}(w)={\frac {\operatorname {inv} (w(-n)\cdots w(-1)w(1)\cdots w(n))+\operatorname {neg} (w(1)\cdots w(n))}{2}},}$$ dónde${\displaystyle \operatorname {neg} (w(1)\cdots w(n))}$es el número de valores negativos entre${\displaystyle \{w(1),\ldots ,w(n)\}}$y como $${\displaystyle \ell _{S}(w)=\operatorname {inv} (w(1)\cdots w(n))+\operatorname {neg} (w(1)\cdots w(n))+\operatorname {nsp} (w(1)\cdots w(n)),}$$ dónde${\displaystyle \operatorname {nsp} (w(1)\cdots w(n))}$es el número de pares${\displaystyle \{i,j\}\subset \{1,\ldots ,n\}}$de tal manera que${\displaystyle w(i)+w(j)<0}$("pares de suma negativa"). ^{[ 76 ]} La función generadora para${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$por longitud es $${\displaystyle \sum _{w\in S_{n}^{\pm }}q^{\ell _{S}(w)}=(1+q)(1+q+q^{2}+q^{3})\cdots (1+q+\ldots +q^{2n-1})}$$ para cualquier${\displaystyle n\geq 1}$. ^{[ 77 ]}

Una reflexión simple s es un descenso (derecho) de un elemento w en un grupo de Coxeter si${\displaystyle \ell (ws)=\ell (w)-1}$. ^{[ 78 ]} Para una permutación con signo w de longitud n , el conjunto de descensos de w es $${\displaystyle \{s_{i}:w(i)>w(i+1)\},}$$ donde tomamos por convención${\displaystyle w(0)=0}$. ^{[ 69 ]} Denotando por${\displaystyle \operatorname {des} (w)}$el número de descensos de una permutación con signo w , la función generadora $${\displaystyle B_{n}(t)=\sum _{w\in S_{n}^{\pm }}t^{\operatorname {des} (w)}}$$para${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$Por número de descensos (su polinomio euleriano ) satisface las siguientes identidades: $${\displaystyle B_{n}(t)=(1+(2n-1)t)B_{n-1}(t)+2t(1-t)B'_{n-1}(t),}$$$${\displaystyle {\frac {B_{n}(t)}{(1-t)^{n+1}}}=\sum _{k\geq 0}(2k+1)^{n}t^{k},}$$$${\displaystyle B_{n}(t)=(1+t)B_{n-1}(t)+2t\sum _{i=1}^{n-1}2^{i}{\binom {n-1}{i}}B_{n-1-i}(t)\cdot A_{i}(t),}$$ y $${\displaystyle 2B_{n}(t^{2})=(1+t)^{n+1}A_{n}(t)+(1-t)^{n+1}A_{n}(-t),}$$ dónde $${\displaystyle A_{n}(t)=\sum _{w\in S_{n}}t^{\operatorname {des} (w)}}$$es el polinomio euleriano para el grupo simétrico. ^{[ 79 ]} La función generadora exponencial para el${\displaystyle B_{n}(t)}$es $${\displaystyle \sum _{n\geq 0}B_{n}(t){\frac {z^{n}}{n!}}={\frac {(t-1)e^{z(t-1)}}{t-e^{2z(t-1)}}}.}$$ Una función generadora trivariada para el número de descenso y la longitud de permutaciones con signo sobre${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$a pesar de${\displaystyle n\geq 0}$fue dado por Reiner (1995) . ^{[ 80 ]}

La homología de grupo del grupo hiperoctaédrico es similar a la del grupo simétrico y muestra estabilización, en el sentido de la teoría de homotopía estable .

El primer grupo de homología, que coincide con la abelianización , se estabiliza en el grupo de Klein de cuatro miembros y se da en general.

${\displaystyle H_{1}(S_{n}^{\pm },\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n=0\\\mathbf {Z} /2&n=1\\\mathbf {Z} /2\times \mathbf {Z} /2&n\geq 2\end{cases}}.}$

Esto se ve fácilmente de forma directa: para${\displaystyle n=0}$y${\displaystyle n=1}$El grupo es abeliano. Para${\displaystyle n\geq 2}$, las reflexiones de cambio de signo son de orden 2 y todas conjugadas, al igual que las reflexiones de tipo transposición, y estas son dos clases de conjugación separadas. Estos elementos generan el grupo, por lo que las únicas abelianizaciones no triviales son a 2 -grupos, y cualquiera de estas clases puede enviarse independientemente a${\displaystyle -1\in \{\pm 1\},}$ya que son dos clases separadas. Los mapas se dan explícitamente como "el producto de los signos de todos los elementos" (en las n copias de${\displaystyle \{\pm 1\}}$), y el signo de la permutación. Multiplicando estos juntos se obtiene un tercer mapa no trivial (el determinante de la matriz, que envía ambas clases a${\displaystyle -1}$), y junto con el mapa trivial, estos forman el grupo 4 .

Los segundos grupos de homología (también conocidos como multiplicadores de Schur ) vienen dados por ^{[ 81 ].}$${\displaystyle H_{2}(S_{n}^{\pm },\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n=0,1\\\mathbf {Z} /2&n=2\\(\mathbf {Z} /2)^{2}&n=3\\(\mathbf {Z} /2)^{3}&n\geq 4\end{cases}}.}$$

Para cada subgrupo G del grupo ortogonal en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Su acción se extiende a una acción sobre el anillo de polinomios.${\displaystyle R=\mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$actuando sobre el vector${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$de variables linealmente y luego sustituyendo. El anillo de invariantes de dicho grupo es el subanillo${\displaystyle R^{G}=\{f\in R:w(f)=f{\text{ for all }}w\in G\}}$El anillo de invariantes${\displaystyle R^{S_{n}^{\pm }}}$del grupo hiperoctaédrico tiene una descripción simple: consiste precisamente en los polinomios simétricos en los cuadrados${\displaystyle x_{1}^{2},\ldots ,x_{n}^{2}}$de las variables. ^{[ 82 ]}

Desde${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$es un grupo de reflexión, el anillo de invariantes es en sí mismo un anillo de polinomios; es decir,${\displaystyle R^{S_{n}^{\pm }}=\mathbb {R} [p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}]}$para algún conjunto algebraicamente independiente de polinomios homogéneos${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$Estos invariantes básicos no están determinados de forma única por el grupo, pero sus grados sí lo están. Para el grupo hiperoctaédrico${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$Estos grados son 2 , 4 , ..., 2n . Una opción de invariantes básicos son los polinomios simétricos elementales en los cuadrados de las variables: $${\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<\dots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}^{2}\cdots x_{i_{k}}^{2}}$$ para${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$. ^{[ 83 ]} Otra opción la dan los polinomios simétricos de suma de potencias pares.$${\displaystyle x_{1}^{2k}+x_{2}^{2k}+\ldots +x_{n}^{2k}}$$ para${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$. ^{[ 84 ]}

La teoría de representación del grupo hiperoctaédrico fue desarrollada por Alfred Young en el artículo ( Young 1930 ) , como una aplicación de su estudio de la teoría de representación de grupos simétricos. ^{[ 85 ]} Posteriormente , Wilhelm Specht la generalizó a la teoría de representación de productos de coronas más generales. ^{[ 86 ]}

Concretamente, las clases de isomorfismo de representaciones irreducibles de${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$están indexados por pares${\displaystyle (\lambda ,\mu )}$de particiones enteras para las cuales la suma${\displaystyle |\lambda |+|\mu |}$de los tamaños es igual a n . El carácter irreducible${\displaystyle \chi ^{\lambda ,\varnothing }}$indexado por${\displaystyle (\lambda ,\varnothing )}$es la representación inducida del carácter de grupo simétrico indexado por${\displaystyle \lambda }$del subgrupo${\displaystyle S_{n}}$a${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$; el carácter indexado por${\displaystyle (\varnothing ,\mu )}$es el producto tensorial${\displaystyle \delta \otimes \chi ^{\mu ,\varnothing }}$dónde${\displaystyle \delta }$es el carácter lineal que toma el valor +1 en transposiciones en${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$y toma el valor −1 en reflexiones con cambio de signo; y si${\displaystyle \lambda }$es una partición de k y${\displaystyle \mu }$es una partición de n − k , entonces${\displaystyle \chi ^{\lambda ,\mu }}$es el producto de inducción de${\displaystyle \chi ^{\lambda ,\varnothing }\otimes \chi ^{\varnothing ,\mu }}$de${\displaystyle S_{k}^{\pm }\times S_{n-k}^{\pm }}$a${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$Estas caracterizaciones pueden combinarse con la regla de Murnaghan-Nakayama para dar una fórmula combinatoria para los valores de los caracteres. Además, existe una aplicación característica del anillo de caracteres a un anillo de funciones simétricas en dos conjuntos de variables. ^{[ 87 ]}

Las representaciones proyectivas de${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$Asimismo, guardan una estrecha relación con las representaciones proyectivas y lineales del grupo simétrico. ^{[ 88 ]}

El orden de Bruhat es un orden natural en todo grupo de Coxeter, definido como el cierre transitivo de la relación de que u < w siempre que exista una reflexión t tal que${\displaystyle ut=w}$y${\displaystyle \ell (u)<\ell (w)}$. ^{[ 89 ]} (El nombre orden de Bruhat surge de la conexión con la descomposición de Bruhat de grupos algebraicos.) Así, en el grupo simétrico, se tiene${\displaystyle u\leq w}$si y solo si se puede pasar de u a w aplicando una secuencia de transposiciones, cada una de las cuales intercambia dos entradas i , j de tal manera que la entrada menor esté a la izquierda en la notación de una línea. ^{[ 90 ]} La noción correspondiente en${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$es como sigue: uno tiene que${\displaystyle u<w}$en orden de Bruhat si hay una secuencia de pasos${\displaystyle u=u_{0}\to u_{1}\to \cdots \to u_{k}=w}$donde en cada paso tenemos o${\displaystyle u_{m+1}=u_{m}\cdot (i\ j)({\overline {i}}\ {\overline {j}})}$donde i y j son elementos de${\displaystyle \{\pm 1,\ldots ,\pm n\}}$de tal manera que${\displaystyle i<j}$,${\displaystyle |i|\neq |j|}$, y${\displaystyle u_{m}(i)<u_{m}(j)}$, o${\displaystyle u_{m+1}=u_{m}\cdot (i\ {\overline {i}})}$dónde${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$es tal que${\displaystyle u_{m}(-i)<u_{m}(i)}$De ello se deduce que, al observar${\displaystyle S_{n}}$como subgrupo de${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$que consiste en permutaciones con signo cuya notación de ventana no contiene entradas negativas, se tiene que dos permutaciones${\displaystyle u,w}$satisfacer${\displaystyle u\leq w}$como elementos de${\displaystyle S_{n}}$si y solo si${\displaystyle u\leq w}$como elementos de${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$. ^{[ 91 ]}

Existe otro criterio simple para determinar si una permutación es menor que otra en el orden de Bruhat, en términos de comparar el número de 1 en ciertas regiones de las matrices de permutación de u y w . ^{[ 92 ]} El criterio análogo en el grupo hiperoctaédrico es el siguiente: dada una permutación con signo v de tamaño n y dos enteros${\displaystyle i,j\in [-n,n]}$, definir${\displaystyle v[i,j]}$ser el número de enteros${\displaystyle a\in [-n,n]}$de tal manera que${\displaystyle a\leq i}$y${\displaystyle v(a)\geq j}$donde v (0) se toma como 0. Entonces, para permutaciones con signo u y w de tamaño n , se tiene${\displaystyle u\leq w}$en orden Bruhat si y solo si${\displaystyle u[i,j]\leq w[i,j]}$a pesar de${\displaystyle i,j\in [-n,n]}$Además, se deduce que${\displaystyle u\leq w}$si y solo si${\displaystyle \iota (u)}$es menor que${\displaystyle \iota (w)}$en el orden Bruhat en${\displaystyle S_{2n}}$, donde ι es el mapa de inclusión definido en §  Como un grupo de permutación . ^{[ 93 ]}

Para cualquier grupo de Coxeter W con conjunto generador simple S , existen dos subconjuntos parcialmente ordenados del orden de Bruhat llamados órdenes débiles izquierdo y derecho . ^{[ h ]} Estos conjuntos parcialmente ordenados no son iguales, pero son isomorfos : un elemento u es menor que w en el orden débil derecho si y solo si${\displaystyle u^{-1}}$es menor que${\displaystyle w^{-1}}$en el orden débil izquierdo, por lo que cualquier propiedad de uno puede deducirse de la propiedad correspondiente del otro. ^{[ 95 ]} En general, el orden débil izquierdo${\displaystyle \leq _{L}}$puede caracterizarse de varias maneras equivalentes:

• es el cierre transitivo de la relación${\displaystyle u<_{L}w}$cuando existe una reflexión simple s en S tal que${\displaystyle su=w}$y${\displaystyle \ell (u)<\ell (w)}$;
• ${\displaystyle u\leq _{L}w}$si y solo si${\displaystyle \ell (u)+\ell (wu^{-1})=\ell (w)}$; y
• ${\displaystyle u\leq _{L}w}$si y solo si el conjunto de inversión (derecha)${\displaystyle T_{R}(u)=\{t{\text{ a reflection in }}W:\ell (ut)<\ell (u)\}}$está contenido en el conjunto de inversión derecha de w ,

entre otros. ^{[ 96 ] [ 97 ] [ 98 ] [ 99 ]}

En el caso de una permutación w en el grupo simétrico${\displaystyle S_{n}}$, el conjunto de inversión derecha${\displaystyle T_{R}(w)}$coincide con la noción de inversiones descrita anteriormente, a saber, una transposición ( i j ) es una inversión (derecha) de w si y solo si${\displaystyle i<j}$y${\displaystyle w(i)>w(j)}$. En el caso de una permutación con signo${\displaystyle w\in S_{n}^{\pm }}$, su conjunto de inversión derecha puede descomponerse en tres piezas, que corresponden a los conjuntos

• ${\displaystyle \operatorname {Inv} (w)=\{(i,j):1\leq i<j\leq n{\text{ and }}w(i)>w(j)\}}$,
• ${\displaystyle \operatorname {Neg} (w)=\{i:1\leq i\leq n{\text{ and }}w(i)<0\}}$, y
• ${\displaystyle \operatorname {Nsp} (w)=\{(i,j):1\leq i<j\leq n{\text{ and }}w(i)+w(j)<0\}}$,

y se cumple para dos permutaciones con signo.${\displaystyle u,w}$eso${\displaystyle u\leq _{L}w}$si y solo si${\displaystyle \operatorname {Inv} (u)\subseteq \operatorname {Inv} (w)}$,${\displaystyle \operatorname {Neg} (u)\subseteq \operatorname {Neg} (w)}$, y${\displaystyle \operatorname {Nsp} (u)\subseteq \operatorname {Nsp} (w)}$. ^{[ 100 ]}

En un grupo de reflexión W , la longitud de reflexión${\displaystyle \ell _{T}(w)}$de un elemento w es el número más pequeño k tal que existen reflexiones${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{k}}$en W tal que w sea igual al producto${\displaystyle t_{1}\cdots t_{k}}$de las reflexiones. En un grupo de reflexión real finito que actúa sobre un espacio V de dimensión n , la longitud de reflexión de un elemento w es igual a n − dim(fix( w )) , donde${\displaystyle \operatorname {fix} (w)=\{v\in V:w(v)=v\}}$es el espacio fijo de w . ^{[ 101 ] [ 102 ]} En el caso de que${\displaystyle w\in S_{n}^{\pm }}$se considera una permutación con signo, esta dimensión de espacio fijo es igual al número de ciclos positivos de w . Es decir, si la clase de conjugación de w es ( λ , μ ) , entonces la longitud de reflexión es${\displaystyle n-\ell (\lambda )}$dónde${\displaystyle \ell (\lambda )}$es el número de partes de la partición λ . ^{[ 55 ]}