álgebra de Jordan

En álgebra abstracta , un álgebra de Jordan es un álgebra no asociativa (con unidad) sobre un cuerpo cuya multiplicación satisface los siguientes axiomas:

1. ${\displaystyle xy=yx}$( ley conmutativa )
2. ${\displaystyle (xx)(xy)=x((xx)y)}$(identidad de Jordania ).

El producto de dos elementos x e y en un álgebra de Jordan también se denota x ∘ y , particularmente para evitar confusiones con el producto de un álgebra asociativa relacionada .

Los axiomas implican ^{[ 1 ]} que un álgebra de Jordan es asociativa de potencias , lo que significa que${\displaystyle x^{n}=x\cdots x}$es independiente de cómo pongamos entre paréntesis esta expresión. También implican ^{[ 1 ]} que${\displaystyle x^{m}(x^{n}y)=x^{n}(x^{m}y)}$para todos los enteros positivos m y n . Por lo tanto, podemos definir equivalentemente un álgebra de Jordan como un álgebra conmutativa y asociativa de potencias tal que para cualquier elemento${\displaystyle x}$, las operaciones de multiplicación por potencias${\displaystyle x^{n}}$todos se desplazan al trabajo.

Las álgebras de Jordan fueron introducidas por Pascual Jordan ( 1933 ) en un esfuerzo por formalizar la noción de un álgebra de observables en electrodinámica cuántica . Pronto se demostró que las álgebras no eran útiles en este contexto; sin embargo, desde entonces han encontrado muchas aplicaciones en matemáticas. ^{[ 2 ]} Las álgebras se denominaron originalmente "sistemas de números r", pero Abraham Adrian Albert ( 1946 ) las renombró "álgebras de Jordan" al iniciar el estudio sistemático de las álgebras de Jordan generales.  

En primer lugar, observe que un álgebra asociativa es un álgebra de Jordan si y solo si es conmutativa.

Dada cualquier álgebra asociativa A (que no sea de característica 2), se puede construir un álgebra de Jordan A ⁺ utilizando la misma suma subyacente y una nueva multiplicación, el producto de Jordan definido por:

${\displaystyle x\circ y={\frac {xy+yx}{2}}.}$

Estas álgebras de Jordan y sus subálgebras se denominan álgebras de Jordan especiales , mientras que todas las demás son álgebras de Jordan excepcionales . Esta construcción es análoga al álgebra de Lie asociada a A , cuyo producto (corchete de Lie) está definido por el conmutador.${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$.

El teorema de Shirshov -Cohn establece que cualquier álgebra de Jordan con dos generadores es especial. ^{[ 3 ]} Relacionado con esto, el teorema de Macdonald establece que cualquier polinomio en tres variables, de grado uno en una de las variables, que se anula en toda álgebra de Jordan especial, se anula en toda álgebra de Jordan. ^{[ 4 ]}

1. El conjunto de matrices autoadjuntas reales , complejas o cuaterniónicas con multiplicación

${\displaystyle (xy+yx)/2}$

Formar un álgebra de Jordan especial.

2. El conjunto de matrices autoadjuntas de 3×3 sobre los octoniones , nuevamente con multiplicación

${\displaystyle (xy+yx)/2,}$

es un álgebra de Jordan excepcional de 27 dimensiones (es excepcional porque los octoniones no son asociativos). Este fue el primer ejemplo de un álgebra de Albert . Su grupo de automorfismos es el grupo de Lie excepcional F ₄ . Dado que sobre los números complejos esta es la única álgebra de Jordan excepcional simple salvo isomorfismo, ^{[ 5 ]} a menudo se la denomina "el" álgebra de Jordan excepcional. Sobre los números reales hay tres clases de isomorfismo de álgebras de Jordan excepcionales simples. ^{[ 5 ]}

Una derivación de un álgebra de Jordan A es un endomorfismo D de A tal que D ( xy ) = D ( x ) y + xD ( y ). Las derivaciones forman un álgebra de Lie der ( A ). La identidad de Jordan implica que si x e y son elementos de A , entonces el endomorfismo que envía z a x ( yz ) − y ( xz ) es una derivación. Por lo tanto, la suma directa de A y der ( A ) puede convertirse en un álgebra de Lie, llamada álgebra de estructura de A , str ( A ).

Un ejemplo sencillo lo proporcionan las álgebras de Jordan hermíticas H( A , σ ). En este caso, cualquier elemento x de A con σ ( x )= − x define una derivación. En muchos ejemplos importantes, el álgebra de estructura de H( A , σ ) es A .

Las álgebras de derivación y estructura también forman parte de la construcción del cuadrado mágico de Freudenthal por parte de Tits .

Se dice que un álgebra (posiblemente no asociativa) sobre los números reales es formalmente real si satisface la propiedad de que una suma de n cuadrados solo puede anularse si cada uno de ellos se anula individualmente. En 1932, Jordan intentó axiomatizar la teoría cuántica afirmando que el álgebra de observables de cualquier sistema cuántico debería ser un álgebra formalmente real que sea conmutativa ( xy = yx ) y asociativa de potencias (la ley asociativa se cumple para productos que involucran solo x , de modo que las potencias de cualquier elemento x están definidas de forma inequívoca). Demostró que cualquier álgebra de este tipo es un álgebra de Jordan.

No todas las álgebras de Jordan son formalmente reales, pero Jordan, von Neumann y Wigner (1934) clasificaron las álgebras de Jordan formalmente reales de dimensión finita, también llamadas álgebras de Jordan euclidianas . Toda álgebra de Jordan formalmente real puede escribirse como una suma directa de las llamadas álgebras simples , que no son a su vez sumas directas de una manera no trivial. En dimensiones finitas, las álgebras de Jordan simples formalmente reales se presentan en cuatro familias infinitas, junto con un caso excepcional:

• El álgebra de Jordan de matrices reales autoadjuntas de n × n , como se indicó anteriormente.
• El álgebra de Jordan de matrices complejas autoadjuntas n × n , como se indicó anteriormente.
• El álgebra de Jordan de matrices cuaterniónicas autoadjuntas n × n , como se indicó anteriormente.
• El álgebra de Jordan generada libremente por R ⁿ con las relaciones

  ${\displaystyle x^{2}=\langle x,x\rangle }$

donde el lado derecho se define usando el producto interno usual en R ⁿ . Esto a veces se llama factor de espín o álgebra de Jordan de tipo Clifford .

• El álgebra de Jordan de matrices octoniónicas autoadjuntas de 3×3, como se indicó anteriormente (un álgebra de Jordan excepcional llamada álgebra de Albert ).

De estas posibilidades, hasta ahora parece que la naturaleza solo utiliza matrices complejas de n × n como álgebras de observables. Sin embargo, los factores de espín desempeñan un papel en la relatividad especial , y todas las álgebras de Jordan formalmente reales están relacionadas con la geometría proyectiva .

Si e es un idempotente en un álgebra de Jordan ^A ( e² = e ) y R es la operación de multiplicación por e , entonces  

R (2 R − 1)( R − 1) = 0,

Así, los únicos autovalores de R son 0, 1/2, 1. Si el álgebra de Jordan A es de dimensión finita sobre un cuerpo de característica distinta de 2, esto implica que es una suma directa de subespacios A  = A ₀ ( e ) ⊕ A _1/2 ( e ) ⊕ A ₁ ( e ) de los tres autoespacios. Esta descomposición fue considerada por primera vez por Jordan, von Neumann y Wigner (1934) para álgebras de Jordan totalmente reales. Posteriormente , Albert (1947) la estudió con toda generalidad y la denominó descomposición de Peirce de A con respecto al idempotente e . ^{[ 6 ]}      

• Álgebra freudiana
• Sistema triple de Jordan
• Par de Jordan
• Construcción Kantor-Koecher-Tits
• Variedad Scorza

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• Álgebra de Jordan en PlanetMath
• Álgebras de Jordan-Banach y Jordan-Lie en PlanetMath