Ley de Hooke

Consideremos un resorte helicoidal simple que tiene un extremo unido a un objeto fijo, mientras que el extremo libre es estirado por una fuerza de magnitud Fs . Supongamos que el resorte ha alcanzado un estado de equilibrio , donde su longitud ya no cambia. Sea x la cantidad en que el extremo libre del resorte se desplazó de su posición _de "relajación" (cuando no está siendo estirado). La ley de Hooke establece que$${\displaystyle F_{s}=kx}$$o, equivalentemente,$${\displaystyle x={\frac {F_{s}}{k}}}$$ donde k es un número real positivo, característico del resorte. Un resorte con espacios entre las espiras puede comprimirse, y la misma fórmula se aplica a la compresión, siendo Fs y x _negativos en ese caso. ^{[ 4 ]}

Según esta fórmula, la gráfica de la fuerza aplicada F _s en función del desplazamiento x será una línea recta que pasa por el origen , cuya pendiente es k .

La ley de Hooke para un resorte también se enuncia bajo la convención de que F _s es la fuerza restauradora ejercida por el resorte sobre lo que tira de su extremo libre. En ese caso, la ecuación se convierte en:$${\displaystyle F_{s}=-kx}$$ya que la dirección de la fuerza restauradora es opuesta a la del desplazamiento.

La analogía torsional de la ley de Hooke se aplica a los resortes de torsión . Establece que el torque (τ) necesario para rotar un objeto es directamente proporcional al desplazamiento angular (θ) desde la posición de equilibrio. Describe la relación entre el torque aplicado a un objeto y la deformación angular resultante debida a la torsión. Matemáticamente, se puede expresar como:

${\displaystyle \tau =-k\theta }$

Dónde:

• τ es el par motor medido en Newton-metros o N·m.
• k es la constante torsional (medida en N·m/radian), que caracteriza la rigidez del resorte torsional o la resistencia al desplazamiento angular.
• θ es el desplazamiento angular (medido en radianes) desde la posición de equilibrio.

Al igual que en el caso lineal, esta ley demuestra que el par es proporcional al desplazamiento angular, y el signo negativo indica que el par actúa en dirección opuesta al desplazamiento angular, proporcionando una fuerza restauradora para devolver el sistema al equilibrio.

La ley de Hooke para resortes se aplica generalmente a cualquier objeto elástico, de complejidad arbitraria, siempre que tanto la deformación como la tensión puedan expresarse mediante un único número que pueda ser positivo o negativo.

Por ejemplo, cuando un bloque de caucho unido a dos placas paralelas se deforma por cizallamiento , en lugar de por estiramiento o compresión, la fuerza de cizallamiento F _s y el desplazamiento lateral de las placas x obedecen la ley de Hooke (para deformaciones suficientemente pequeñas).

La ley de Hooke también se aplica cuando una barra de acero recta o una viga de hormigón (como las que se usan en la construcción), apoyada en ambos extremos, se dobla por una carga F colocada en un punto intermedio. En este caso, el desplazamiento x es la desviación de la viga, medida en la dirección transversal, con respecto a su forma sin carga.

En el caso de un resorte helicoidal que se estira o comprime a lo largo de su eje , la fuerza aplicada (o restauradora) y la elongación o compresión resultante tienen la misma dirección (que es la dirección de dicho eje). Por lo tanto, si F _s y x se definen como vectores , la ecuación de Hooke sigue siendo válida y dice que el vector fuerza es el vector elongación multiplicado por un escalar fijo .

Algunos cuerpos elásticos se deforman en una dirección cuando se les aplica una fuerza en una dirección diferente. Un ejemplo es una viga de madera horizontal con sección transversal rectangular no cuadrada que se dobla por una carga transversal que no es ni vertical ni horizontal. En estos casos, la magnitud del desplazamiento x será proporcional a la magnitud de la fuerza F _s , siempre que la dirección de esta última permanezca constante (y su valor no sea demasiado grande); por lo tanto, se cumple la versión escalar de la ley de Hooke F _s = − kx . Sin embargo, los vectores de fuerza y ​​desplazamiento no serán múltiplos escalares entre sí, ya que tienen direcciones diferentes. Además, la relación k entre sus magnitudes dependerá de la dirección del vector F _s .

Sin embargo, en tales casos suele haber una relación lineal fija entre los vectores de fuerza y ​​deformación, siempre que sean suficientemente pequeños. Es decir, hay una función κ de vectores a vectores, tal que F = κ ( X ) , y κ ( α X ₁ + β X ₂ ) = α κ ( X ₁ ) + β κ ( X ₂ ) para cualesquiera números reales α , β y cualesquiera vectores de desplazamiento X ₁ , X ₂ . Dicha función se denomina tensor (de segundo orden) .

Con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas arbitrario , los vectores de fuerza y ​​desplazamiento pueden representarse mediante matrices  de 3 ×  1 de números reales. Entonces, el tensor κ que los conecta puede representarse mediante una matriz κ de 3 × 3 de coeficientes reales, que, al multiplicarse por el vector de desplazamiento, da como resultado el vector de fuerza:  

$${\displaystyle \mathbf {F} \,=\,{\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{2}\\F_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\kappa _{11}&\kappa _{12}&\kappa _{13}\\\kappa _{21}&\kappa _{22}&\kappa _{23}\\\kappa _{31}&\kappa _{32}&\kappa _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\boldsymbol {\kappa }}\mathbf {X} }$$

Eso es,$${\displaystyle F_{i}=\kappa _{i1}X_{1}+\kappa _{i2}X_{2}+\kappa _{i3}X_{3}}$$para i = 1, 2, 3. Por lo tanto, se puede decir que la ley de Hooke F = κ X también se cumple cuando X y F son vectores con direcciones variables, excepto que la rigidez del objeto es un tensor κ , en lugar de un único número real k .

Las tensiones y deformaciones del material en el interior de un material elástico continuo (como un bloque de caucho, la pared de una caldera o una barra de acero) están relacionadas por una relación lineal que es matemáticamente similar a la ley de Hooke para la elasticidad de los resortes, y que a menudo se conoce con ese nombre.

Sin embargo, el estado de deformación en un medio sólido alrededor de un punto no puede describirse mediante un único vector. Una misma porción de material, por pequeña que sea, puede comprimirse, estirarse y cizallarse simultáneamente en diferentes direcciones. Del mismo modo, las tensiones en esa porción pueden ser a la vez de empuje, tracción y cizallamiento.

Para capturar esta complejidad, el estado relevante del medio alrededor de un punto debe representarse mediante dos tensores de segundo orden: el tensor de deformación ε (en lugar del desplazamiento X ) y el tensor de tensión σ (que reemplaza la fuerza restauradora F ). El análogo de la ley de resortes de Hooke para medios continuos es entonces$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {c} {\boldsymbol {\varepsilon }},}$$donde c es un tensor de cuarto orden (es decir, una aplicación lineal entre tensores de segundo orden) generalmente llamado tensor de rigidez o tensor de elasticidad . También se puede escribir como$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\mathbf {s} {\boldsymbol {\sigma }},}$$donde el tensor s , llamado tensor de compliancia , representa el inverso de dicho mapeo lineal.

En un sistema de coordenadas cartesianas, los tensores de tensión y deformación se pueden representar mediante matrices de 3  × 3. 

$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$

Al ser una correspondencia lineal entre los nueve números σ _ij y los nueve números ε _kl , el tensor de rigidez c se representa mediante una matriz de 3 × 3 × 3 × 3 = 81 números reales c _ijkl . La ley de Hooke establece entonces que $${\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}c_{ijkl}\varepsilon _{kl}}$$ donde i , j = 1,2,3 .

Los tres tensores varían generalmente de un punto a otro dentro del medio, y también pueden variar con el tiempo. El tensor de deformación ε simplemente especifica el desplazamiento de las partículas del medio en la vecindad del punto, mientras que el tensor de tensión σ especifica las fuerzas que las partículas vecinas del medio ejercen entre sí. Por lo tanto, son independientes de la composición y el estado físico del material. El tensor de rigidez c , por otro lado, es una propiedad del material y a menudo depende de variables de estado físico como la temperatura, la presión y la microestructura .

Debido a las simetrías inherentes de σ , ε y c , solo 21 coeficientes elásticos de este último son independientes. ^{[ 6 ]} Este número puede reducirse aún más por la simetría del material: 9 para un cristal ortorrómbico , 5 para una estructura hexagonal y 3 para una simetría cúbica . ^{[ 7 ]} Para medios isotrópicos (que tienen las mismas propiedades físicas en cualquier dirección), c puede reducirse a solo dos números independientes, el módulo de compresibilidad K y el módulo de cizalladura G , que cuantifican la resistencia del material a los cambios de volumen y a las deformaciones por cizallamiento, respectivamente.

Una varilla de cualquier material elástico puede considerarse como un resorte lineal . La varilla tiene una longitud L y un área de sección transversal A. Su tensión de tracción σ es directamente proporcional a su extensión o deformación fraccional ε mediante el módulo de elasticidad E : $${\displaystyle \sigma =E\varepsilon .}$$

El módulo de elasticidad a menudo puede considerarse constante. A su vez, $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta L}{L}}}$$ (es decir, el cambio fraccional en la longitud), y dado que $${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}\,,}$$ resulta que:

$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}={\frac {F}{AE}}\,.}$$

El cambio de longitud puede expresarse como

$${\displaystyle \Delta L=\varepsilon L={\frac {FL}{AE}}\,.}$$

La energía potencial U _el ( x ) almacenada en un resorte viene dada por$${\displaystyle U_{\mathrm {el} }(x)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}}$$que proviene de sumar la energía necesaria para comprimir el resorte de forma incremental. Es decir, la integral de la fuerza sobre el desplazamiento. Dado que la fuerza externa tiene la misma dirección general que el desplazamiento, la energía potencial de un resorte siempre es no negativa. Sustituyendo${\displaystyle x=F/k}$da$${\displaystyle U_{\mathrm {el} }(F)={\frac {F^{2}}{2k}}.}$$

Este potencial U _el puede visualizarse como una parábola en el plano Ux tal que U _el ( x ) = 1 / 2 kx ² . A medida que el resorte se estira en la dirección positiva de x , la energía potencial aumenta parabólicamente (lo mismo ocurre cuando el resorte se comprime). Dado que el cambio en la energía potencial cambia a una tasa constante: $${\displaystyle {\frac {d^{2}U_{\mathrm {el} }}{dx^{2}}}=k\,.}$$ Nótese que el cambio en la variación de U es constante incluso cuando el desplazamiento y la aceleración son cero.

Las constantes de fuerza relajadas (el inverso de las constantes de cumplimiento generalizadas ) se definen de forma única para sistemas moleculares, a diferencia de las constantes de fuerza "rígidas" habituales, y por lo tanto su uso permite establecer correlaciones significativas entre los campos de fuerza calculados para los reactivos , los estados de transición y los productos de una reacción química . Así como la energía potencial puede escribirse como una forma cuadrática en las coordenadas internas, también puede escribirse en términos de fuerzas generalizadas. Los coeficientes resultantes se denominan constantes de cumplimiento . Existe un método directo para calcular la constante de cumplimiento para cualquier coordenada interna de una molécula, sin necesidad de realizar el análisis de modos normales. ^{[ 8 ]} La idoneidad de las constantes de fuerza relajadas (constantes de cumplimiento inversas) como descriptores de la fuerza de los enlaces covalentes se demostró ya en 1980. Recientemente, también se ha demostrado su idoneidad como descriptores de la fuerza de los enlaces no covalentes. ^{[ 9 ]}

Una masa m unida al extremo de un resorte es un ejemplo clásico de oscilador armónico . Al tirar ligeramente de la masa y luego soltarla, el sistema entrará en un movimiento oscilatorio sinusoidal alrededor de la posición de equilibrio. En la medida en que el resorte obedece la ley de Hooke y se puede despreciar la fricción y la masa del resorte, la amplitud de la oscilación permanecerá constante; y su frecuencia f será independiente de su amplitud, determinada únicamente por la masa y la rigidez del resorte. $${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}$$ Este fenómeno hizo posible la construcción de relojes mecánicos precisos que podían llevarse en los barcos y en los bolsillos de las personas.

Si la masa m estuviera unida a un resorte con constante elástica k (cuya longitud natural es mucho menor en comparación con el radio del círculo) y girara en el espacio libre, la tensión del resorte ( Ft ₎ proporcionaría la fuerza centrípeta requerida ( Fc ₎ :

$${\displaystyle F_{\mathrm {t} }=kx\,;\qquad F_{\mathrm {c} }=m\omega ^{2}r}$$ Dado que F _t = F _c y x = r , entonces: $${\displaystyle k=m\omega ^{2}}$$ Dado que ω = 2π f , esto conduce a la misma ecuación de frecuencia que la anterior: $${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}$$

Los materiales isótropos se caracterizan por propiedades independientes de la dirección en el espacio. Por lo tanto, las ecuaciones físicas que involucran materiales isótropos deben ser independientes del sistema de coordenadas elegido para representarlos. El tensor de deformación es un tensor simétrico. Dado que la traza de cualquier tensor es independiente de cualquier sistema de coordenadas, la descomposición más completa e independiente de coordenadas de un tensor simétrico consiste en representarlo como la suma de un tensor constante y un tensor simétrico sin traza. ^{[ 10 ]} Así, en notación de índices :

$${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)}$$ donde δ _ij es la delta de Kronecker . En notación tensorial directa: $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\,;\qquad \operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~\mathbf {I} \,;\qquad \operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\boldsymbol {\varepsilon }}-\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}$$

donde I es el tensor identidad de segundo orden.

El primer término de la derecha es el tensor constante, también conocido como tensor de deformación volumétrica , y el segundo término es el tensor simétrico sin traza, también conocido como tensor de deformación desviadora o tensor de cizallamiento.

La forma más general de la ley de Hooke para materiales isotrópicos puede escribirse ahora como una combinación lineal de estos dos tensores:

$${\displaystyle \sigma _{ij}=3K\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}=3K\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+2G\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}$$ donde K es el módulo de compresibilidad y G es el módulo de cizalladura .

Utilizando las relaciones entre los módulos elásticos , estas ecuaciones también pueden expresarse de diversas maneras. Una forma común de la ley de Hooke para materiales isotrópicos, expresada en notación tensorial directa, es ^{[ 11 ].}

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}\,;\qquad {\mathsf {c}}=\lambda \mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +2\mu {\mathsf {I}}}$ donde λ = K − ⁠ 2 / 3 ⁠ G = c ₁₁₁₁ − 2 c ₁₂₁₂ y μ = G = c ₁₂₁₂ son las constantes de Lamé , I es el tensor identidad de segundo rango, e I es la parte simétrica del tensor identidad de cuarto rango. En notación de índices: $${\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \varepsilon _{kk}~\delta _{ij}+2\mu \varepsilon _{ij}=c_{ijkl}\varepsilon _{kl}\,;\qquad c_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}\right)}$$

La relación inversa es ^{[ 12 ]}

$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2\mu }}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} ={\frac {1}{2G}}{\boldsymbol {\sigma }}+\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} }$$

Por lo tanto, el tensor de compliancia en la relación ε = s  : σ es

$${\displaystyle {\mathsf {s}}=-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2\mu }}{\mathsf {I}}=\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2G}}{\mathsf {I}}}$$

En términos del módulo de Young y la relación de Poisson , la ley de Hooke para materiales isotrópicos se puede expresar como:

$${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{ij}-\nu (\sigma _{kk}\delta _{ij}-\sigma _{ij}){\big )}\,;\qquad {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{E}}{\big (}{\boldsymbol {\sigma }}-\nu (\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} -{\boldsymbol {\sigma }}){\big )}={\frac {1+\nu }{E}}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\nu }{E}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} }$$

Esta es la forma en que la deformación se expresa en términos del tensor de esfuerzos en ingeniería. La expresión en forma expandida es $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{22}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{33}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22}){\big )}\\\varepsilon _{12}&={\frac {1}{2G}}\sigma _{12}\,;\qquad \varepsilon _{13}={\frac {1}{2G}}\sigma _{13}\,;\qquad \varepsilon _{23}={\frac {1}{2G}}\sigma _{23}\end{aligned}}}$$ donde E es el módulo de Young y ν es el coeficiente de Poisson . (Véase elasticidad 3D ).

En forma matricial, la ley de Hooke para materiales isotrópicos se puede escribir como $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\gamma _{23}\\\gamma _{13}\\\gamma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &-\nu &0&0&0\\-\nu &1&-\nu &0&0&0\\-\nu &-\nu &1&0&0&0\\0&0&0&2+2\nu &0&0\\0&0&0&0&2+2\nu &0\\0&0&0&0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}$$ donde γ _ij = 2 ε _ij es la deformación cortante ingenieril . La relación inversa se puede escribir como $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &\nu &0&0&0\\\nu &1-\nu &\nu &0&0&0\\\nu &\nu &1-\nu &0&0&0\\0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$ que se puede simplificar gracias a las constantes de Lamé: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}2\mu +\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &2\mu +\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &2\mu +\lambda &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$ En notación vectorial esto se convierte en $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\,=\,2\mu {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}+\lambda \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\right)}$$ donde I es el tensor identidad.

_La simetría del tensor de tensiones de Cauchy _(σij = σji ) y las leyes generalizadas de Hooke ( σij = c _ijkl ε _kl ) implican que c _ijkl = c _jikl . De manera similar, la simetría del tensor _de deformación infinitesimal implica que c _ijkl = c _ijlk . Estas simetrías se denominan simetrías menores del tensor de rigidez c . Esto reduce el número de constantes elásticas de 81 a 36.

Si además, dado que el gradiente de desplazamiento y la tensión de Cauchy son conjugados de trabajo, la relación tensión-deformación se puede derivar de un funcional de densidad de energía de deformación ( U ), entonces $${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial U}{\partial \varepsilon _{ij}}}\quad \implies \quad c_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial \varepsilon _{ij}\partial \varepsilon _{kl}}}\,.}$$ La arbitrariedad del orden de diferenciación implica que c _ijkl = c _klij . Estas se denominan simetrías principales del tensor de rigidez. Esto reduce el número de constantes elásticas de 36 a 21. Las simetrías principales y secundarias indican que el tensor de rigidez tiene solo 21 componentes independientes.