Teoría de homotopía estable

En matemáticas , la teoría de homotopía estable es la parte de la teoría de homotopía (y por lo tanto de la topología algebraica ) que se ocupa de toda la estructura y los fenómenos que permanecen después de suficientes aplicaciones del functor de suspensión . Un resultado fundamental fue el teorema de suspensión de Freudenthal , que establece que dado cualquier espacio apuntado${\displaystyle X}$, los grupos de homotopía${\displaystyle \pi _{n+k}(\Sigma ^{n}X)}$estabilizar para${\displaystyle n}$suficientemente grandes. En particular, los grupos homotópicos de esferas${\displaystyle \pi _ {n+k}(S^{n})}$estabilizar para${\displaystyle n\geq k+2}$. Por ejemplo,

${\displaystyle \langle {\text{id}}_{S^{1}}\rangle =\mathbb {Z} =\pi _{1}(S^{1})\cong \pi _{2}(S^{2})\cong \pi _{3}(S^{3})\cong \cdots }$

${\displaystyle \langle \eta \rangle =\mathbb {Z} =\pi _{3}(S^{2})\to \pi _{4}(S^{3})\cong \pi _{5}(S^{4})\cong \cdots }$

En los dos ejemplos anteriores, todos los mapas entre grupos de homotopía son aplicaciones del functor de suspensión . El primer ejemplo es un corolario estándar del teorema de Hurewicz , que${\displaystyle \pi _{n}(S^{n})\cong \mathbb {Z} }$. En el segundo ejemplo, el mapa de Hopf ,${\displaystyle \eta }$, está mapeado a su suspensión${\displaystyle \Sigma \eta }$, que genera${\displaystyle \pi _{4}(S^{3})\cong \mathbb {Z} /2}$.

Uno de los problemas más importantes en la teoría de homotopía estable es el cálculo de grupos de homotopía estables de esferas . Según el teorema de Freudenthal, en el rango estable los grupos de homotopía de esferas no dependen de las dimensiones específicas de las esferas en el dominio y el objetivo, sino de la diferencia en esas dimensiones. Teniendo esto en cuenta, el k -ésimo tronco estable es

${\displaystyle \pi _{k}^{s}:=\lim _{n}\pi _{n+k}(S^{n})}$.

Este es un grupo abeliano para todo k . Es un teorema de Jean-Pierre Serre ^{[ 1 ]} que estos grupos son finitos para${\displaystyle k\neq 0}$De hecho, la composición hace${\displaystyle \pi _{*}^{S}}$en un anillo graduado . Un teorema de Goro Nishida ^{[ 2 ]} establece que todos los elementos de graduación positiva en este anillo son nilpotentes. Por lo tanto, los únicos ideales primos son los primos en${\displaystyle \pi _{0}^{s}\cong \mathbb {Z} }$. Entonces la estructura de${\displaystyle \pi _{*}^{s}}$Es bastante complicado.

En el tratamiento moderno de la teoría de homotopía estable, los espacios se reemplazan típicamente por espectros . Siguiendo esta línea de pensamiento, se puede crear una categoría de homotopía estable completa . Esta categoría posee muchas propiedades interesantes que no están presentes en la categoría de homotopía (inestable) de espacios, debido a que el functor de suspensión se vuelve invertible. Por ejemplo, la noción de secuencia de cofibración y secuencia de fibración son equivalentes.

• Filtración Adams
• secuencia espectral de Adams
• teoría de la homotopía cromática
• Teoría de homotopía estable equivariante
• Teorema de la nilpotencia

• Adams, J. Frank (1966), Teoría de la homotopía estable , Segunda edición revisada. Conferencias impartidas en la Universidad de California en Berkeley, vol.  1961, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR 0196742 
• May, J. Peter (1999), "Topología algebraica estable, 1945–1966" (PDF) , Topología algebraica estable, 1945-1966 , Ámsterdam: North-Holland, pp. 665–723 , CiteSeerX 10.1.1.30.6299 , doi : 10.1016/B978-044482375-5/50025-0 , ISBN   9780444823755, MR 1721119 
• Ravenel, Douglas C. (1992), Nilpotencia y periodicidad en la teoría de la homotopía estable , Annals of Mathematics Studies, vol.  128, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-02572-8, MR 1192553