Teoremas de no renormalización de la supersimetría

En 4 dimensiones el número${\displaystyle {\mathcal {N}}}$Cuenta el número de espinores de Majorana de 4 componentes de supercargas. Algunos ejemplos de teoremas de no renormalización en teorías supersimétricas de 4 dimensiones son:

En un${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$En la teoría SUSY 4D que involucra solo supercampos quirales, el superpotencial es inmune a la renormalización. Con un contenido de campo arbitrario, es inmune a la renormalización en la teoría de perturbaciones, pero puede ser renormalizado por efectos no perturbativos como los instantones .

En un${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$En la teoría SUSY 4D, el espacio de módulos de los hipermultipletes , llamado rama de Higgs , tiene una métrica hiper-Kähler y no está renormalizado. En el artículo Lagrangianos de sistemas de supergravedad-materia N=2 se demostró además que esta métrica es independiente de los escalares en los multipletes vectoriales . También demostraron que la métrica de la rama de Coulomb , que es una variedad de Kähler especial rígida parametrizada por los escalares en${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$Los multipletes vectoriales son independientes de los escalares en los hipermultipletes. Por lo tanto, la variedad de vacío es localmente un producto de una rama de Coulomb y una rama de Higgs. Las deducciones de estas afirmaciones aparecen en The Moduli Space of N=2 SUSY QCD y Duality in N=1 SUSY QCD .

En un${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$En la teoría SUSY 4D, el superpotencial está completamente determinado por el contenido de materia de la teoría. Además, no existen correcciones perturbativas a la función β más allá de un lazo, como se demostró en 1983 en el artículo " Superespacio o mil y una lecciones de supersimetría" de Sylvester James Gates , Marcus Grisaru, Martin Rocek y Warren Siegel.

En${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$En la teoría supersimétrica de Yang-Mills, la función β es cero para todos los acoplamientos, lo que significa que la teoría es conforme . Esto fue demostrado perturbativamente por Martin Sohnius y Peter West en el artículo de 1981 «Invariancia conforme en la teoría supersimétrica de Yang-Mills N=4» bajo ciertas suposiciones de simetría sobre la teoría, y luego sin suposiciones por Stanley Mandelstam en el artículo de 1983 « Superespacio del cono de luz y la finitud ultravioleta del modelo N=4» . La demostración completa no perturbativa de Nathan Seiberg apareció en el artículo de 1988 «Supersimetría y funciones beta no perturbativas» .

En 3 dimensiones el número${\displaystyle {\mathcal {N}}}$cuenta el número de espinores de Majorana de 2 componentes de supercargas.

Cuando${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$No existe holomorfismo y se conocen pocos resultados exactos.

Cuando${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$El superpotencial no puede depender de los multipletes lineales y, en particular, es independiente de los términos de Fayet-Iliopoulos (FI) y de los términos de masa de Majorana . Por otro lado, la carga central es independiente de los multipletes quirales y, por lo tanto, es una combinación lineal de los términos de masa de FI y de Majorana. Estos dos teoremas fueron enunciados y demostrados en Aspectos de las teorías de gauge supersimétricas N=2 en tres dimensiones .

Cuando${\displaystyle {\mathcal {N}}=3}$, a diferencia de${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$La simetría R es el grupo no abeliano SU(2) y, por lo tanto, la representación de cada campo no se renormaliza. En una teoría de campos superconforme, la dimensión conforme de un multiplete quiral está completamente determinada por su carga R, y, por lo tanto, estas dimensiones conformes no se renormalizan. Por consiguiente, los campos de materia no tienen renormalización de la función de onda en${\displaystyle {\mathcal {N}}=3}$Teorías de campos superconformes, como se demostró en Sobre la simetría especular en teorías de gauge abelianas tridimensionales . Estas teorías consisten en multipletes vectoriales e hipermultipletes . La métrica del hipermultiplete es hiperkähler y no puede ser elevada por correcciones cuánticas, pero su métrica puede ser modificada. No es posible ninguna interacción renormalizable entre hipermultipletes y multipletes vectoriales abelianos, excepto para los términos de Chern-Simons .

Cuando${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$, a diferencia de${\displaystyle {\mathcal {N}}=3}$La métrica del hipermultiplete ya no puede ser modificada por correcciones cuánticas.

En${\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,2)}$En los modelos sigma lineales , que son teorías de gauge abelianas superrenormalizables con materia en supermultipletes quirales , Edward Witten ha argumentado en Phases of N=2 theories in two-dimensions que la única corrección cuántica divergente es la corrección logarítmica de un bucle al término FI.