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Orden topológico

En física , el orden topológico [ 1 ] describe un estado o fase de la materia que surge en un sistema con interacciones no locales, como el entrelazamiento en mecánica cuántica ...

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En física , el orden topológico [ 1 ] describe un estado o fase de la materia que surge en un sistema con interacciones no locales, como el entrelazamiento en mecánica cuántica y los modos flexibles en sistemas elásticos. [ 2 ] Mientras que las fases clásicas de la materia, como los gases y los sólidos, corresponden a patrones microscópicos en la disposición espacial de partículas que surgen de interacciones de corto alcance, los órdenes topológicos corresponden a patrones de entrelazamiento cuántico de largo alcance . [ 3 ] Los estados con diferentes órdenes topológicos (o diferentes patrones de entrelazamiento de largo alcance) no pueden transformarse entre sí sin una transición de fase.

Técnicamente, el orden topológico se produce a temperatura cero. Varios estados con orden topológico poseen propiedades interesantes, tales como: (1) degeneración del estado fundamental [ 4 ] y estadísticas fraccionarias o estadísticas de grupos no abelianos que pueden utilizarse para realizar una computadora cuántica topológica ; (2) estados de borde conductores perfectos que pueden tener importantes aplicaciones en dispositivos; (3) campo de gauge emergente y estadísticas de Fermi que sugieren un origen de información cuántica de las partículas elementales ; [ 5 ] (4) entropía de entrelazamiento topológico que revela el origen de entrelazamiento del orden topológico, etc. El orden topológico es importante en el estudio de varios sistemas físicos, como los líquidos de espín , [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] y el efecto Hall cuántico , [ 10 ] [ 11 ] junto con posibles aplicaciones a la computación cuántica tolerante a fallos . [ 12 ]

Los aislantes topológicos [ 13 ] y los superconductores topológicos (más allá de 1D) no tienen orden topológico como se definió anteriormente, sus entrelazamientos son solo de corto alcance, pero son ejemplos de orden topológico protegido por simetría .

Fondo

La materia compuesta de átomos puede tener diferentes propiedades y presentarse en diferentes formas, como sólido , líquido , superfluido , etc. Estas diversas formas de materia se denominan a menudo estados de la materia o fases . Según la física de la materia condensada y el principio de emergencia , las diferentes propiedades de los materiales generalmente surgen de las diferentes formas en que los átomos se organizan en ellos. Estas diferentes organizaciones de los átomos (u otras partículas) se denominan formalmente órdenes en los materiales. [ 14 ]

Los átomos pueden organizarse de muchas maneras, lo que da lugar a distintos órdenes y a diversos tipos de materiales. La teoría de ruptura de simetría de Landau proporciona una comprensión general de estos diferentes órdenes. Señala que los distintos órdenes corresponden a diferentes simetrías en la organización de los átomos constituyentes. Cuando un material pasa de un orden a otro (es decir, cuando experimenta una transición de fase ), la simetría de la organización de los átomos cambia.

Por ejemplo, en un líquido , los átomos tienen una distribución aleatoria , por lo que el líquido permanece inalterado al desplazar los átomos a una distancia arbitraria. Decimos que un líquido tiene simetría de traslación continua . Tras una transición de fase, un líquido puede transformarse en un cristal . En un cristal, los átomos se organizan en una red regular . Esta red permanece inalterada solo cuando se desplaza una distancia determinada (un número entero multiplicado por la constante de red ), por lo que un cristal solo tiene simetría de traslación discreta . La transición de fase entre un líquido y un cristal es una transición que reduce la simetría de traslación continua del líquido a la simetría discreta del cristal. De forma similar, esto se aplica a la simetría rotacional. Este cambio de simetría se denomina ruptura de simetría . La esencia de la diferencia entre líquidos y cristales reside, por lo tanto, en que la organización de los átomos presenta simetrías diferentes en ambas fases.

La teoría de ruptura de simetría de Landau ha sido una teoría muy exitosa. Durante mucho tiempo, los físicos creyeron que la teoría de Landau describía todos los órdenes posibles en los materiales y todas las transiciones de fase posibles (continuas).

Descubrimiento y caracterización

Sin embargo, desde finales de la década de 1980, se ha hecho gradualmente evidente que la teoría de ruptura de simetría de Landau podría no describir todos los órdenes posibles. En un intento por explicar la superconductividad de alta temperatura [ 15 ], se introdujo el estado de espín quiral . [ 6 ] [ 7 ] Al principio, los físicos aún querían usar la teoría de ruptura de simetría de Landau para describir el estado de espín quiral. Identificaron el estado de espín quiral como un estado que rompe las simetrías de inversión temporal y paridad, pero no la simetría de rotación de espín. Esto debería ser el final de la historia según la descripción de ruptura de simetría de Landau de los órdenes. Sin embargo, pronto se comprendió que hay muchos estados de espín quirales diferentes que tienen exactamente la misma simetría, por lo que la simetría por sí sola no era suficiente para caracterizar los diferentes estados de espín quirales. Esto significa que los estados de espín quirales contienen un nuevo tipo de orden que está más allá de la descripción de simetría habitual. [ 16 ] El nuevo tipo de orden propuesto se denominó "orden topológico". [ 1 ] El nombre "orden topológico" está motivado por la teoría efectiva de baja energía de los estados de espín quirales, que es una teoría cuántica de campos topológica (TQFT). [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] Se introdujeron nuevos números cuánticos, como la degeneración del estado fundamental [ 16 ] (que puede definirse en un espacio cerrado o en un espacio abierto con límites con brecha, incluyendo tanto órdenes topológicos abelianos [ 20 ] [ 21 ] como órdenes topológicos no abelianos [ 22 ] [ 23 ] ) y la fase geométrica no abeliana de estados fundamentales degenerados, [ 1 ] para caracterizar y definir los diferentes órdenes topológicos en estados de espín quirales. Más recientemente, se demostró que los órdenes topológicos también pueden caracterizarse por la entropía topológica . [ 24 ] [ 25 ]

Pero los experimentos pronto indicaron que los estados de espín quirales no describen los superconductores de alta temperatura, y la teoría del orden topológico se convirtió en una teoría sin realización experimental. Sin embargo, la similitud entre los estados de espín quirales y los estados de efecto Hall cuántico permite utilizar la teoría del orden topológico para describir diferentes estados de efecto Hall cuántico. [ 4 ] Al igual que los estados de espín quirales, los diferentes estados de efecto Hall cuántico tienen la misma simetría y están fuera de la descripción de ruptura de simetría de Landau. Se encuentra que los diferentes órdenes en los diferentes estados de efecto Hall cuántico pueden describirse mediante órdenes topológicos, por lo que el orden topológico sí tiene realizaciones experimentales.

El estado de efecto Hall cuántico fraccionario (FQH) se descubrió en 1982 [ 10 ] [ 11 ] antes de la introducción del concepto de orden topológico en 1989. Pero el estado FQH no es el primer estado con orden topológico descubierto experimentalmente. El superconductor , descubierto en 1911, es el primer estado con orden topológico descubierto experimentalmente; tiene un orden topológico Z 2. [ nota 1 ]

Aunque los estados topológicamente ordenados suelen aparecer en sistemas de bosones/fermiones con interacción fuerte, un tipo simple de orden topológico también puede aparecer en sistemas de fermiones libres. Este tipo de orden topológico corresponde al estado de Hall cuántico integral, que puede caracterizarse por el número de Chern de la banda de energía llena si consideramos el estado de Hall cuántico entero en una red. Los cálculos teóricos han propuesto que dichos números de Chern pueden medirse experimentalmente para un sistema de fermiones libres. [ 29 ] [ 30 ] También es bien sabido que dicho número de Chern puede medirse (quizás indirectamente) mediante estados de borde .

La caracterización más importante de los órdenes topológicos serían las excitaciones fraccionadas subyacentes (como los aniones ) y sus estadísticas de fusión y trenzado (que pueden ir más allá de las estadísticas cuánticas de bosones o fermiones ). Los trabajos de investigación actuales muestran que las excitaciones tipo bucle y cuerda existen para los órdenes topológicos en el espaciotiempo de 3+1 dimensiones, y sus estadísticas de trenzado de múltiples bucles/cuerdas son las firmas cruciales para identificar los órdenes topológicos de 3+1 dimensiones. [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] Las estadísticas de trenzado de múltiples bucles/cuerdas de los órdenes topológicos de 3+1 dimensiones pueden ser capturadas por los invariantes de enlace de una teoría cuántica de campos topológica particular en 4 dimensiones del espaciotiempo. [ 33 ]

Mecanismo

Una amplia clase de órdenes topológicos 2+1D se realiza mediante un mecanismo denominado condensación de redes de cuerdas . [ 34 ] Esta clase de órdenes topológicos puede presentar un borde con hueco y se clasifica mediante la teoría de la categoría de fusión unitaria (o categoría monoidal ). Se observa que la condensación de redes de cuerdas puede generar infinitos tipos diferentes de órdenes topológicos, lo que podría indicar que aún quedan muchos tipos nuevos de materiales por descubrir.

Los movimientos colectivos de las cuerdas condensadas dan lugar a excitaciones por encima de los estados condensados ​​de la red de cuerdas. Estas excitaciones resultan ser bosones de gauge . Los extremos de las cuerdas son defectos que corresponden a otro tipo de excitaciones. Estas excitaciones son las cargas de gauge y pueden portar estadísticas de Fermi o fraccionarias . [ 35 ]

Las condensaciones de otros objetos extendidos como " membranas ", [ 36 ] "redes de branas", [ 37 ] y fractales también conducen a fases topológicamente ordenadas [ 38 ] y "vidriosidad cuántica". [ 39 ] [ 40 ]

Formulación matemática

Sabemos que la teoría de grupos es el fundamento matemático de los órdenes que rompen la simetría. ¿Cuál es el fundamento matemático del orden topológico? Se descubrió que una subclase de órdenes topológicos 2+1D —órdenes topológicos abelianos— puede clasificarse mediante un enfoque de matriz K. [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] La condensación de redes de cuerdas sugiere que la categoría tensorial (como la categoría de fusión o la categoría monoidal ) forma parte del fundamento matemático del orden topológico en 2+1D. Las investigaciones más recientes sugieren que (hasta órdenes topológicos invertibles que no tienen excitaciones fraccionadas):

  • Los órdenes topológicos bosónicos 2+1D se clasifican mediante categorías tensoriales modulares unitarias.
  • Los órdenes topológicos bosónicos 2+1D con simetría G se clasifican mediante categorías tensoriales G-cruzadas.
  • Los órdenes topológicos bosónicos/fermiónicos 2+1D con simetría G se clasifican mediante categorías de fusión trenzadas unitarias sobre la categoría de fusión simétrica, que posee extensiones modulares. La categoría de fusión simétrica Rep(G) se utiliza para sistemas bosónicos y sRep(G) para sistemas fermiónicos.

El orden topológico en dimensiones superiores puede estar relacionado con la teoría de n-categorías. El álgebra de operadores cuánticos es una herramienta matemática muy importante para el estudio de los órdenes topológicos.

Algunos también sugieren que el orden topológico se describe matemáticamente mediante la simetría cuántica extendida . [ 45 ]

Aplicaciones

Los materiales descritos por la teoría de ruptura de simetría de Landau han tenido un impacto sustancial en la tecnología. Por ejemplo, los materiales ferromagnéticos que rompen la simetría de rotación de espín pueden utilizarse como soporte para el almacenamiento de información digital. Un disco duro fabricado con materiales ferromagnéticos puede almacenar gigabytes de información. Los cristales líquidos que rompen la simetría rotacional de las moléculas encuentran una amplia aplicación en la tecnología de pantallas. Los cristales que rompen la simetría de traslación dan lugar a bandas electrónicas bien definidas que, a su vez, permiten la fabricación de dispositivos semiconductores como los transistores . Los distintos tipos de órdenes topológicos son incluso más ricos que los distintos tipos de órdenes de ruptura de simetría. Esto sugiere su potencial para nuevas aplicaciones.

Computación cuántica

Una aplicación teórica sería utilizar estados ordenados topológicamente como medios para la computación cuántica en una técnica conocida como computación cuántica topológica . Un estado ordenado topológicamente es un estado con entrelazamiento cuántico no local complejo . La no localidad significa que el entrelazamiento cuántico en un estado ordenado topológicamente se distribuye entre muchas partículas diferentes. Como resultado, el patrón de entrelazamientos cuánticos no puede ser destruido por perturbaciones locales. Esto reduce significativamente el efecto de la decoherencia . Esto sugiere que si utilizamos diferentes entrelazamientos cuánticos en un estado ordenado topológicamente para codificar información cuántica, la información puede durar mucho más. [ 46 ] La información cuántica codificada por los entrelazamientos cuánticos topológicos también puede ser manipulada arrastrando los defectos topológicos entre sí. Este proceso puede proporcionar un aparato físico para realizar computaciones cuánticas . [ 47 ] Por lo tanto, los estados ordenados topológicamente pueden proporcionar medios naturales tanto para la memoria cuántica como para la computación cuántica. Tales implementaciones de memoria cuántica y computación cuántica pueden potencialmente hacerse tolerantes a fallos . [ 12 ]

Una clase de sistemas que se ha propuesto para aprovechar el orden topológico para la computación cuántica son las "memorias cuánticas autocorrectivas". [ 48 ] Estos son sistemas cuyas propiedades de mitigación de errores no provienen de la corrección activa de errores, sino de la supervivencia de la degeneración de su estado fundamental a temperatura finita. Es decir, los errores se mitigan a medida que el dispositivo regresa naturalmente al equilibrio térmico. Un obstáculo para este enfoque ha sido formalizado por Matthew Hastings [ 49 ] donde demostró que cualquier modelo estabilizador (el tipo de modelo predominante utilizado para la corrección de errores cuánticos [ 50 ] ) en tres o más dimensiones espaciales no admite el orden topológico. Recientemente se ha demostrado que el orden topológico a temperatura finita puede existir en tres dimensiones espaciales [ 51 ] [ 52 ] ; sin embargo, como las existencias de este sistema son aniones fermiónicos, no puede usarse como una memoria cuántica ya que la superselección de paridad fermiónica no permite superposiciones de los estados lógicos.

Dispositivos

Los estados topológicamente ordenados generalmente poseen la propiedad especial de contener estados de frontera no triviales. En muchos casos, estos estados de frontera se convierten en canales conductores perfectos que pueden conducir electricidad sin generar calor. [ 53 ] Esta puede ser otra aplicación potencial del orden topológico en dispositivos electrónicos.

De forma similar al orden topológico, los aislantes topológicos [ 54 ] [ 55 ] también poseen estados de frontera sin brecha. Estos estados de frontera desempeñan un papel fundamental en la detección y aplicación de los aislantes topológicos. Esta observación plantea la siguiente pregunta: ¿son los aislantes topológicos ejemplos de estados con orden topológico? De hecho, los aislantes topológicos difieren de los estados con orden topológico definidos en este artículo. Los aislantes topológicos solo presentan entrelazamientos de corto alcance y carecen de orden topológico, mientras que el orden topológico definido en este artículo es un patrón de entrelazamiento de largo alcance. El orden topológico es robusto frente a cualquier perturbación. Posee teoría de gauge emergente, carga fraccionaria emergente y estadística fraccionaria. En contraste, los aislantes topológicos son robustos únicamente frente a perturbaciones que respetan las simetrías de inversión temporal y U(1). Sus excitaciones de cuasipartículas carecen de carga fraccionaria y estadística fraccionaria. Estrictamente hablando, el aislante topológico es un ejemplo de orden topológico protegido por simetría (SPT) , [ 56 ] donde el primer ejemplo de orden SPT es la fase de Haldane de la cadena de espín 1. [ 57 ] [ 58 ] [ 59 ] [ 60 ] Pero la fase de Haldane de la cadena de espín 2 no tiene orden SPT.

Impacto potencial

La teoría de ruptura de simetría de Landau es una piedra angular de la física de la materia condensada . Se utiliza para definir el territorio de la investigación de la materia condensada. La existencia de orden topológico parece indicar que la naturaleza es mucho más rica de lo que la teoría de ruptura de simetría de Landau ha indicado hasta ahora. Así, el orden topológico abre una nueva dirección en la física de la materia condensada: una nueva dirección de materia cuántica altamente entrelazada. Nos damos cuenta de que las fases cuánticas de la materia (es decir, las fases de temperatura cero de la materia) se pueden dividir en dos clases: estados entrelazados de largo alcance y estados entrelazados de corto alcance. [ 3 ] El orden topológico es la noción que describe los estados entrelazados de largo alcance: orden topológico = patrón de entrelazamientos de largo alcance. Los estados entrelazados de corto alcance son triviales en el sentido de que todos pertenecen a una fase. Sin embargo, en presencia de simetría, incluso los estados entrelazados de corto alcance no son triviales y pueden pertenecer a diferentes fases. Se dice que esas fases contienen orden SPT . [ 56 ] El orden SPT generaliza la noción de aislante topológico a sistemas interactuantes.

Algunos sugieren que el orden topológico (o más precisamente, la condensación de redes de cuerdas ) en los modelos bosónicos (de espín) locales tiene el potencial de proporcionar un origen unificado para los fotones , electrones y otras partículas elementales en nuestro universo. [ 5 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Nótese que la superconductividad puede describirse mediante la teoría de Ginzburg-Landau con campo de gauge EM U(1) dinámico, que es una teoría de gauge Z 2 , es decir, una teoría efectiva de orden topológico Z 2. La predicción del estado de vórtice en superconductores fue uno de los principales éxitos de la teoría de Ginzburg-Landau con campo de gauge U(1) dinámico. El vórtice en la teoría de Ginzburg-Landau gaugeada no es más que lalínea de flujo Z 2 en la teoría de gauge Z 2. La teoría de Ginzburg-Landau sin el campo de gauge U(1) dinámico no logra describir los superconductores reales con interacción electromagnética dinámica. [ 9 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] Sin embargo, en física de la materia condensada, superconductor generalmente se refiere a un estado con campo de gauge EM no dinámico. Dicho estado es un estado de ruptura de simetría sin orden topológico.

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