Nudo de rebanada

Un nudo de rebanada es un nudo matemático en el espacio tridimensional que delimita un disco incrustado en el espacio tetradimensional.

Un nudo${\displaystyle K\subset S^{3}}$Se dice que es un nudo de corte topológico o un nudo de corte suave si es el límite de un disco incrustado en la 4-bola.${\displaystyle B^{4}}$, que es localmente plano o liso , respectivamente. Aquí usamos${\displaystyle S^{3}=\partial B^{4}}$: la 3-esfera${\displaystyle S^{3}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}:|\mathbf {x} |=1\}}$es el límite de la bola de cuatro dimensiones${\displaystyle B^{4}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}:|\mathbf {x} |\leq 1\}.}$Todo nudo de corte suave es topológicamente de corte porque un disco incrustado suavemente es localmente plano. Generalmente, a los nudos de corte suave también se les llama simplemente de corte. Ambos tipos de nudos de corte son importantes en la topología tridimensional y tetradimensional.

Los nudos de corte suave se suelen ilustrar utilizando diagramas de nudos de cinta , y sigue siendo una cuestión abierta si existen nudos de corte suave que no sean nudos de cinta (la «conjetura de la cinta de corte»).

Construcción de conos

Las condiciones de ser localmente plano o suave son esenciales en la definición: para cada nudo podemos construir el cono sobre el nudo que es un disco en la 4-bola con la propiedad requerida, con la excepción de que no es localmente plano o suave en la singularidad (aunque funciona para el nudo trivial).

Cabe destacar que el disco de la ilustración de la derecha no presenta autointersecciones en el espacio de cuatro dimensiones. Estas solo se producen en la proyección al espacio tridimensional. Por lo tanto, el disco está correctamente incrustado en todos los puntos, excepto en la singularidad (allí no es localmente plano).

Cada nudo de cinta es un nudo de corte suave porque, con la excepción de las singularidades de la cinta, el nudo ya delimita un disco incrustado (en el espacio tridimensional). Las singularidades de la cinta pueden deformarse en una pequeña vecindad hacia el espacio tetradimensional, de modo que el disco quede incrustado.

Hay 21 nudos primos de sección no triviales con número de cruces${\displaystyle cr(K)\leq 10}$Estos son${\displaystyle 6_{1}}$,${\displaystyle 8_{8}}$,${\displaystyle 8_{9}}$,${\displaystyle 8_{20}}$,${\displaystyle 9_{27}}$,${\displaystyle 9_{41}}$,${\displaystyle 9_{46}}$,${\displaystyle 10_{3}}$,${\displaystyle 10_{22}}$,${\displaystyle 10_{35}}$,${\displaystyle 10_{42}}$,${\displaystyle 10_{48}}$,${\displaystyle 10_{75}}$,${\displaystyle 10_{87}}$,${\displaystyle 10_{99}}$,${\displaystyle 10_{123}}$,${\displaystyle 10_{129}}$,${\displaystyle 10_{137}}$,${\displaystyle 10_{140}}$,${\displaystyle 10_{153}}$y${\displaystyle 10_{155}}$Hasta este número de cruces no hay nudos topológicamente seccionables que no sean suavemente seccionables. ^{[ 1 ]} Sin embargo, a partir del número de cruces 11 hay un ejemplo de ello: el nudo de Conway (llamado así por John Horton Conway ) es un nudo topológicamente seccionable pero no suavemente seccionable. ^{[ 2 ]} Por otro lado, el nudo de Kinoshita-Terasaka, un llamado " mutante " del nudo de Conway, es suavemente seccionable. Los nudos de torsión lo son, excepto el nudo trivial y el nudo de estibador.${\displaystyle 6_{1}}$, no corte. ^{[ 3 ]} Todos los nudos de corte topológico y suave con número de cruces${\displaystyle cr(K)\leq 12}$son conocidos. ^{[ 4 ]} Los nudos de rebanada compuesta hasta el cruce número 12 son, además de los de la forma${\displaystyle K\sharp -K}$y${\displaystyle 6_{1}\sharp 3_{1}\sharp -3_{1}}$, los dos nudos más interesantes${\displaystyle 3_{1}\sharp 8_{10}}$y${\displaystyle 3_{1}\sharp 8_{11}}$. ^{[ 5 ]}

Las siguientes propiedades son válidas para nudos de corte topológicamente y suavemente: El polinomio de Alexander de un nudo de corte se puede escribir como${\displaystyle \Delta (t)=f(t)f(t^{-1})}$con un polinomio de Laurent${\displaystyle f}$con coeficientes enteros (condición de Fox-Milnor). ^{[ 6 ]} De ello se deduce que el determinante del nudo (${\displaystyle =\Delta (-1)}$) es un número cuadrado.

La signatura es un invariante de las clases de concordancia y la signatura de los nudos de corte es cero. Además, el mapa de signatura es un homomorfismo del grupo de concordancia a los enteros : La signatura de la suma de dos clases de concordancia es la suma de las dos signaturas.

• De ello se deduce que el grupo de concordancia contiene elementos de orden infinito : La signatura de un nudo de trébol es ±2 y la signatura de la clase de concordancia de la suma conexa de${\displaystyle n}$los tréboles son${\displaystyle \pm 2n}$y por lo tanto no es 0.
• El grupo de concordancia también contiene elementos de orden 2: El nudo de ocho${\displaystyle 4_{1}}$es anfiquiérica e invertible , y por lo tanto tenemos${\displaystyle 4_{1}=-4_{1}}$En el grupo de concordancia encontramos${\displaystyle 4_{1}\sharp 4_{1}=4_{1}\sharp -4_{1}=0}$Dado que el determinante del nudo de ocho es 5, que no es un número cuadrado, este nudo no es de corte y, por lo tanto, su orden en el grupo de concordancia es 2. Por supuesto, los nudos con un orden finito en el grupo de concordancia siempre tienen signatura 0.

Para ambas variantes del grupo de concordancia se desconoce si los elementos de orden finito${\displaystyle >2}$existir.

Por otro lado, existen invariantes con propiedades diferentes para las dos variantes de concordancia: Nudos con polinomio de Alexander trivial (${\displaystyle \Delta (t)=1}$) son siempre topológicamente seccionables, pero no necesariamente suavemente seccionables (el nudo de Conway es un ejemplo de ello). El invariante s de Rasmussen se anula para nudos suavemente seccionables, pero en general no para nudos topológicamente seccionables. ^{[ 7 ]}

Como alternativa a la definición anterior de concordancia utilizando nudos de corte, también existe una segunda definición equivalente. Dos nudos orientados${\displaystyle K_{1}}$y${\displaystyle K_{2}}$son concordantes si son el límite de un cilindro (localmente plano o liso).${\displaystyle C=S^{1}\times [0,1]}$(en el espacio de 4 dimensiones${\displaystyle S^{3}\times [0,1]}$). Las orientaciones de los dos nudos deben ser consistentes con la orientación del cilindro, que se ilustra en la tercera figura. El límite de${\displaystyle S^{3}\times [0,1]}$son dos${\displaystyle S^{3}}$con diferentes orientaciones ^{[ 8 ]} y por lo tanto se muestran dos tréboles reflejados como límite del cilindro. Conectando los dos nudos cortando una tira del cilindro se obtiene un disco, lo que demuestra que para todos los nudos la suma conectada${\displaystyle K\sharp -K}$es una rebanada. En ambas definiciones, un nudo es una rebanada si y solo si es concordante con el nudo trivial.

Esto también se puede ilustrar con la primera figura al inicio de este artículo: Si se recorta un pequeño disco en el mínimo local de la esquina inferior izquierda, el límite de la superficie en ese punto es un nudo trivial y la superficie es un cilindro. En el otro extremo del cilindro tenemos un nudo de sección. Si el disco (o cilindro) está incrustado suavemente, puede deformarse ligeramente hasta alcanzar la llamada posición de Morse .

Esto resulta útil porque los puntos críticos con respecto a la función radial r tienen un significado geométrico. En los puntos de silla, se añaden o eliminan componentes triviales (movimientos de banda, también llamados fusión y fisión). Para los nudos de rebanada, es posible cualquier número de estos movimientos de banda, mientras que para los nudos de cinta solo pueden ocurrir fusiones y no se permiten fisiones.

En la ilustración de la derecha, la descripción geométrica de la concordancia se rota 90° y el parámetro r se renombra como t. Este nombre se ajusta bien a una interpretación temporal de una "película" de superficie.

Una definición análoga a la de los nudos de rebanada puede aplicarse a superficies de mayor género . El 4-género (también llamado «género de rebanada») de un nudo se define, por lo tanto, como el género más pequeño de una superficie incrustada en el espacio 4-dimensional, cuyo límite es el nudo. Como antes, distinguimos entre el 4-género topológico y el liso. Los nudos con 4-género 0 son nudos de rebanada porque un disco, la superficie más simple, tiene género 0. El 4-género siempre es menor o igual que el género del nudo , ya que este invariante se define utilizando superficies de Seifert, que ya están incrustadas en el espacio tridimensional.

En la siguiente tabla se enumeran ejemplos de nudos con diferentes valores para su 4-género topológico y suave. El nudo de Conway 11n34 es, como ya se mencionó, el primer ejemplo en las tablas de nudos para un nudo de corte topológico pero no suave. A juzgar por los valores de la tabla, podríamos concluir que el 4-género suave y el topológico siempre difieren en 1 cuando no son iguales. Sin embargo, este no es el caso, y la diferencia puede ser arbitrariamente grande. ^{[ 9 ]} No obstante, se desconoce (a fecha de 2017) si existen nudos alternantes con una diferencia > 1. ^{[ 10 ]}

• Dale Rolfsen: Nudos y enlaces , Publicar o perecer, 1976, Capítulo 8.E
• Charles Livingston: Teoría de nudos , Carus Mathematical Monographs, 1993
• Charles Livingston: Un estudio sobre la concordancia de nudos clásicos , Capítulo 7 en «Manual de teoría de nudos», Elsevier, 2005

• Peter Teichner : Nudos de rebanada: teoría de nudos en la cuarta dimensión

• Concordancia de enlaces : la relación de equivalencia de enlaces es más débil que la isotopía pero más fuerte que la homotopía.