Superficie de traslación

Una superficie de traslación es el espacio que se obtiene al identificar, mediante traslaciones por pares, los lados de un conjunto de polígonos planos.

Aquí hay una definición más formal.${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{m}}$Sea una colección de polígonos (no necesariamente convexos) en el plano euclidiano y supongamos que para cada lado${\displaystyle s_{i}}$de cualquier${\displaystyle P_{k}}$hay un lado${\displaystyle s_{j}}$de algunos${\displaystyle P_{l}}$con${\displaystyle j\not =i}$y${\displaystyle s_{j}=s_{i}+{\vec {v}}_{i}}$para algún vector distinto de cero${\displaystyle {\vec {v}}_{i}}$(y para que${\displaystyle {\vec {v}}_{j}=-{\vec {v}}_{i}}$. Consideremos el espacio obtenido al identificar todos${\displaystyle s_{i}}$con sus correspondientes${\displaystyle s_{j}}$a través del mapa${\displaystyle x\mapsto x+{\vec {v}}_{i}}$.

La forma canónica de construir dicha superficie es la siguiente: comenzar con vectores${\displaystyle {\vec {w}}_{1},\ldots,{\vec {w}}_{n}}$y una permutación${\displaystyle \sigma }$en${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$y forman las líneas discontinuas${\displaystyle L=x,x+{\vec {w}}_{1},\ldots ,x+{\vec {w}}_{1}+\cdots +{\vec {w}}_{n}}$y${\displaystyle L'=x,x+{\vec {w}}_{\sigma (1)},\ldots ,x+{\vec {w}}_{\sigma (1)}+\cdots +{\vec {w}}_{\sigma (n)}}$partiendo de un punto elegido arbitrariamente. En el caso de que estas dos líneas formen un polígono (es decir, no se intersecan fuera de sus extremos), existe un emparejamiento natural de lados.

El espacio cociente es una superficie cerrada. Tiene una métrica plana fuera del conjunto.${\displaystyle \Sigma }$imágenes de los vértices. En un punto en${\displaystyle \Sigma }$la suma de los ángulos de los polígonos alrededor de los vértices que se corresponden con él es un múltiplo positivo de${\displaystyle 2\pi }$y la métrica es singular a menos que el ángulo sea exactamente${\displaystyle 2\pi }$.

Dejar${\displaystyle S}$ser una superficie de traslación como se define anteriormente y${\displaystyle \Sigma }$el conjunto de puntos singulares. Al identificar el plano euclidiano con el plano complejo se obtienen cartas de coordenadas en${\displaystyle S\setminus \Sigma }$con valores en${\displaystyle \mathbb {C} }$. Además, los cambios de los gráficos son mapas holomorfos, más precisamente mapas de la forma${\displaystyle z\mapsto z+w}$para algunos${\displaystyle w\in \mathbb {C} }$Esto da${\displaystyle S\setminus \Sigma }$la estructura de una superficie de Riemann, que se extiende a toda la superficie${\displaystyle S}$por el teorema de Riemann sobre singularidades removibles . Además, la diferencial${\displaystyle dz}$, dónde${\displaystyle z:U\to \mathbb {C} }$Si se trata de cualquier gráfico definido anteriormente, no depende del gráfico. Por lo tanto, estos diferenciales definidos en dominios de gráficos se combinan para dar una 1-forma holomorfa bien definida.${\displaystyle \omega }$en${\displaystyle S}$; en otras palabras, una superficie de traslación puede describirse equivalentemente como una superficie de Riemann compacta junto con una 1-forma holomorfa no nula, también llamada diferencial abeliana . Los vértices del polígono donde los ángulos del cono no son iguales a${\displaystyle 2\pi }$son ceros de${\displaystyle \omega }$(un ángulo de cono de${\displaystyle 2k\pi }$corresponde a un cero de orden${\displaystyle (k-1)}$).

En la otra dirección, dado un par${\displaystyle (X,\omega )}$dónde${\displaystyle X}$es una superficie de Riemann compacta y${\displaystyle \omega }$es una 1-forma holomorfa, se puede construir un polígono usando números complejos${\textstyle \int _{\gamma _{j}}\omega }$dónde${\displaystyle \gamma _{j}}$son caminos disjuntos entre los ceros de${\displaystyle \omega }$que forman una base integral para la cohomología relativa.

El ejemplo más sencillo de una superficie de traslación se obtiene pegando los lados opuestos de un paralelogramo . Se trata de un toro plano sin singularidades.

Si${\displaystyle P}$es un regular${\displaystyle 4g}$-gon entonces la superficie de traslación obtenida al pegar lados opuestos es de género${\displaystyle g}$con un único punto singular, con ángulo${\displaystyle (2g-1)2\pi }$.

Si${\displaystyle P}$se obtiene colocando una al lado de la otra una colección de copias del cuadrado unitario y luego cualquier superficie de traslación obtenida de${\displaystyle P}$Se denomina superficie teselada cuadrada . El mapeo de la superficie al toro plano obtenido al identificar todos los cuadrados es un recubrimiento ramificado con puntos de ramificación en las singularidades (el ángulo del cono en una singularidad es proporcional al grado de ramificación).

Supongamos que la superficie${\displaystyle X}$es una superficie de Riemann cerrada de género${\displaystyle g}$y eso${\displaystyle \omega }$es una 1-forma holomorfa no nula en${\displaystyle X}$, con ceros de orden${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{m}}$Entonces, el teorema de Riemann-Roch implica que

${\displaystyle \sum _{j=1}^{m}d_{j}=2g-2.}$

Si la superficie de traslación${\displaystyle (X,\omega )}$está representado por un polígono${\displaystyle P}$Luego, triangulándola y sumando los ángulos sobre todos los vértices, se puede recuperar la fórmula anterior (utilizando la relación entre los ángulos del cono y el orden de los ceros), de la misma manera que en la demostración de la fórmula de Gauss-Bonnet para superficies hiperbólicas o la demostración de la fórmula de Euler a partir del teorema de Girard .

Si${\displaystyle (X,\omega )}$es una superficie de traslación hay una foliación medida natural en${\displaystyle X}$. Si se obtiene a partir de un polígono, es simplemente la imagen de líneas verticales, y la medida de un arco es simplemente la longitud euclidiana del segmento horizontal homotópico al arco. La foliación también se obtiene mediante las líneas de nivel de la parte imaginaria de una primitiva (local) para${\displaystyle \omega }$y la medida se obtiene integrando la parte real.

Dejar${\displaystyle {\mathcal {H}}}$sea ​​el conjunto de superficies de traslación de género${\displaystyle g}$(donde dos tales${\displaystyle (X,\omega ),(X',\omega ')}$se consideran iguales si existe un difeomorfismo holomorfo${\displaystyle \phi :X\to X'}$de tal manera que${\displaystyle \phi ^{*}\omega '=\omega }$). Dejar${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$sea ​​el espacio de módulos de superficies de Riemann de género${\displaystyle g}$; hay un mapa natural${\displaystyle {\mathcal {H}}\to {\mathcal {M}}_{g}}$mapear una superficie de traslación a la superficie de Riemann subyacente. Esto convierte${\displaystyle {\mathcal {H}}}$en un fibrado localmente trivial sobre el espacio de módulos.

A una superficie de traslación compacta${\displaystyle (X,\omega )}$Hay datos asociados${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{m})}$dónde${\displaystyle k_{1}\leq k_{2}\leq \cdots }$son los órdenes de los ceros de${\displaystyle \omega }$. Si${\displaystyle \alpha =(k_{1},\ldots ,k_{m})}$es cualquier partición entera de${\displaystyle 2g-2}$entonces el estrato${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$es el subconjunto de${\displaystyle {\mathcal {H}}}$de superficies de traslación que tienen una forma holomorfa cuyos ceros coinciden con la partición.

El estrato${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$es naturalmente un orbifold complejo de dimensión compleja${\displaystyle 2g+m-1}$(tenga en cuenta que${\displaystyle {\mathcal {H}}(0)}$es el espacio de módulos de toros, que es bien sabido que es un orbifold; en géneros superiores, el hecho de que no sea una variedad es aún más dramático). Las coordenadas locales vienen dadas por

${\displaystyle (X,\omega )\mapsto \left(\int _{\gamma _{1}}\omega ,\ldots ,\int _{\gamma _{n}}\omega \right)}$

dónde${\displaystyle n=\dim(H_{1}(S,\{x_{1},\ldots ,x_{m}\}))=2g+m-1}$y${\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{k}}$es, como se indicó anteriormente, una base simpléctica de este espacio.

El estrato${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$admite un${\displaystyle {\mathbb {C} }^{*}}$-acción y, por lo tanto, una proyectividad real y compleja.${\displaystyle {{\mathcal {H}}(\alpha )}\to {\mathcal {H}}_{1}(\alpha )\to {\mathcal {H}}_{2}(\alpha )}$La proyectividad real admite una sección natural.${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}(\alpha )\to {\mathcal {H}}(\alpha )}$si lo definimos como el espacio de superficies de traslación de área 1.

La existencia de las coordenadas del período anterior permite dotar al estrato de${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$con una estructura afín integral y, por lo tanto, una forma de volumen natural.${\displaystyle \nu }$También obtenemos un formulario de volumen${\displaystyle \nu _ {1}(\alpha )}$en${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}(\alpha )}$por desintegración de${\displaystyle \nu }$El volumen Masur-Veech${\displaystyle Vol(\alpha )}$es el volumen total de${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}(\alpha )}$para${\displaystyle \nu _ {1}(\alpha )}$Este volumen fue demostrado de forma independiente como finito por William A. Veech ^{[ 1 ]} y Howard Masur . ^{[ 2 ]}

En los años 90, Maxim Kontsevich y Anton Zorich evaluaron numéricamente estos volúmenes contando los puntos de la red de${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$Observaron que${\displaystyle Vol(\alpha )}$debe ser de la forma${\displaystyle \pi ^{2g}}$veces un número racional . A partir de esta observación, esperaban la existencia de una fórmula que expresara los volúmenes en términos de números de intersección en espacios de módulos de curvas.

Alex Eskin y Andrei Okounkov presentaron el primer algoritmo para calcular estos volúmenes. Demostraron que la serie generadora de estos números son expansiones q de formas cuasimodulares computables. Mediante este algoritmo, pudieron confirmar la observación numérica de Kontsevich y Zorich. ^{[ 3 ]}

Más recientemente, Chen, Möller, Sauvaget y don Zagier demostraron que los volúmenes se pueden calcular como números de intersección en una compactificación algebraica de${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}(\alpha )}$. Actualmente, el problema sigue abierto para extender esta fórmula a estratos de superficies de semitraslación. ^{[ 4 ]}

Si${\displaystyle (X,\omega )}$es una superficie de traslación obtenida al identificar las caras de un polígono${\displaystyle P}$y${\displaystyle g\in \mathrm {SL} _ {2}(\mathbb {R} )}$luego la superficie de traslación${\displaystyle g\cdot (X,\omega )}$es el asociado al polígono${\displaystyle g(P)}$Esto definió una acción continua de${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$en el espacio de módulos${\displaystyle {\mathcal {H}}}$que conserva los estratos${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$Esta acción se reduce a una acción sobre${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}(\alpha )}$que es ergódico con respecto a${\displaystyle \nu _{1}}$.

Una superficie de media traslación se define de forma similar a una superficie de traslación, pero permitiendo que los mapas de pegado tengan una parte lineal no trivial que es media vuelta. Formalmente, una superficie de traslación se define geométricamente tomando una colección de polígonos en el plano euclidiano e identificando caras mediante mapas de la forma${\displaystyle z\mapsto \pm z+w}$(una "semitraslación"). Nótese que una cara puede identificarse consigo misma. La estructura geométrica obtenida de esta manera es una métrica plana fuera de un número finito de puntos singulares con ángulos de cono múltiplos positivos de${\displaystyle \pi }$.

Como en el caso de las superficies de traslación, existe una interpretación analítica: una superficie de semitraslación puede interpretarse como un par${\displaystyle (X,\phi )}$dónde${\displaystyle X}$es una superficie de Riemann y${\displaystyle \phi }$una diferencial cuadrática en${\displaystyle X}$Para pasar de la representación geométrica a la analítica, basta con tomar la diferencial cuadrática definida localmente por${\displaystyle (dz)^{2}}$(que es invariante bajo semitraslaciones), y para la otra dirección se toma la métrica riemanniana inducida por${\displaystyle \phi }$, que es suave y plana fuera de los ceros de${\displaystyle \phi }$.

Si${\displaystyle X}$es una superficie de Riemann entonces el espacio vectorial de diferenciales cuadráticas en${\displaystyle X}$se identifica naturalmente con el espacio tangente al espacio de Teichmüller en cualquier punto por encima${\displaystyle X}$Esto se puede demostrar por medios analíticos utilizando la incrustación de Bers . Se pueden utilizar superficies de semitraslación para dar una interpretación más geométrica de esto: si${\displaystyle (X,g),(Y,h)}$Si hay dos puntos en el espacio de Teichmüller, entonces por el teorema de mapeo de Teichmüller existen dos polígonos.${\displaystyle P,Q}$cuyas caras pueden identificarse mediante semitraslaciones para dar superficies planas con superficies de Riemann subyacentes isomorfas a${\displaystyle X,Y}$respectivamente y un mapa afín${\displaystyle f}$del avión enviando${\displaystyle P}$a${\displaystyle Q}$que tiene la menor distorsión entre las aplicaciones cuasiconformes en su clase isotópica, y que es isotópica a${\displaystyle h\circ g^{-1}}$.

Todo se determina de forma única hasta la escala si preguntamos que${\displaystyle f}$ser de la forma${\displaystyle f_{s}}$, dónde${\displaystyle f_{t}:(x,y)\mapsto (e^{t}x,e^{-t}y)}$, para algunos${\displaystyle s>0}$; denotamos por${\displaystyle X_{t}}$la superficie de Riemann obtenida a partir del polígono${\displaystyle f_{t}(P)}$Ahora el camino${\displaystyle t\mapsto (X_{t},f_{t}\circ g)}$en el espacio de Teichmüller se une${\displaystyle (X,g)}$a${\displaystyle (Y,h)}$y diferenciándolo en${\displaystyle t=0}$da un vector en el espacio tangente; ya que${\displaystyle (Y,g)}$fue arbitrario obtenemos una biyección.

De hecho, las trayectorias utilizadas en esta construcción son geodésicas de Teichmüller. Un hecho interesante es que, si bien el rayo geodésico asociado a una superficie plana corresponde a una foliación medida, y por lo tanto las direcciones en el espacio tangente se identifican con el límite de Thurston , el rayo geodésico de Teichmüller asociado a una superficie plana no siempre converge al punto correspondiente en el límite, ^{[ 5 ]} aunque casi todos estos rayos sí lo hacen. ^{[ 6 ]}

Si${\displaystyle (X,\omega )}$es una superficie de traslación su grupo Veech es el grupo fuchsiano que es la imagen en${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$del subgrupo${\displaystyle \mathrm {SL} (X,\omega )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$de transformaciones${\displaystyle g}$de tal manera que${\displaystyle g\cdot (X,\omega )}$es isomorfo (como superficie de traslación) a${\displaystyle (X,\omega )}$. De forma equivalente,${\displaystyle \mathrm {SL} (X,\omega )}$es el grupo de derivados de difeomorfismos afines${\displaystyle (X,\omega )\to (X,\omega )}$(donde afín se define localmente fuera de las singularidades, con respecto a la estructura afín inducida por la estructura de traslación). Los grupos de Veech tienen las siguientes propiedades: ^{[ 7 ]}

• Son subgrupos discretos en${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$;
• Nunca son cocompacto.

Los grupos de Veech pueden ser finitamente generados o no. ^{[ 8 ]}

Una superficie de Veech es por definición una superficie de traslación cuyo grupo de Veech es una red en${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$De forma equivalente, su acción sobre el plano hiperbólico admite un dominio fundamental de volumen finito. Dado que no es cocompacto, debe contener elementos parabólicos.

Ejemplos de superficies Veech son las superficies de teselado cuadrado, cuyos grupos Veech son conmensurables al grupo modular.${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}$. ^{[ 9 ] [ 10 ]} El cuadrado puede ser reemplazado por cualquier paralelogramo (las superficies de traslación obtenidas son exactamente las obtenidas como recubrimientos ramificados de un toro plano). De hecho, el grupo de Veech es aritmético (lo que equivale a que sea conmensurable al grupo modular) si y solo si la superficie está cubierta por paralelogramos. ^{[ 10 ]}

Existen superficies de Veech cuyo grupo de Veech no es aritmético, por ejemplo, la superficie obtenida a partir de dos pentágonos regulares pegados por una arista: en este caso, el grupo de Veech es un grupo de triángulos de Hecke no aritmético. ^{[ 9 ]} Por otro lado, todavía existen algunas restricciones aritméticas en el grupo de Veech de una superficie de Veech: por ejemplo, su campo de traza es un campo numérico ^{[ 10 ]} que es totalmente real . ^{[ 11 ]}

Una geodésica en una superficie de traslación (o semitraslación) es una curva parametrizada que, fuera de los puntos singulares, es localmente la imagen de una línea recta en el espacio euclidiano parametrizada por la longitud de arco. Si una geodésica llega a una singularidad, debe detenerse allí. Por lo tanto, una geodésica maximal es una curva definida en un intervalo cerrado, que es toda la recta real si no encuentra ningún punto singular. Una geodésica es cerrada o periódica si su imagen es compacta, en cuyo caso es un círculo si no encuentra ninguna singularidad, o un arco entre dos singularidades (posiblemente iguales). En este último caso, la geodésica se denomina conexión de silla .

Si${\displaystyle (X,\omega )}$${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$(o${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} /\pi \mathbb {Z} }$en el caso de una superficie de media traslación) entonces las geodésicas con dirección theta están bien definidas en${\displaystyle X}$: son esas curvas${\displaystyle c}$que satisfacen${\displaystyle \omega ({\overset {\cdot }{c}})=e^{i\theta }}$(o${\displaystyle \phi ({\overset {\cdot }{c}})=e^{i\theta }}$en el caso de una superficie de media traslación${\displaystyle (X,\phi )}$). El flujo geodésico en${\displaystyle (X,\omega )}$con dirección${\displaystyle \theta }$es el flujo${\displaystyle \phi _{t}}$en${\displaystyle X}$dónde ${\displaystyle t\mapsto \phi _{t}(p)}$es la geodésica comenzando en${\displaystyle p}$con dirección${\displaystyle \theta }$si${\displaystyle p}$no es singular.

En un toro plano, el flujo geodésico en una dirección dada tiene la propiedad de ser periódico o ergódico . En general, esto no es cierto: puede haber direcciones en las que el flujo sea mínimo (es decir, cada órbita es densa en la superficie) pero no ergódico. ^{[ 12 ]} Por otro lado, en una superficie de traslación compacta, el flujo conserva, desde el caso más simple del toro plano, la propiedad de ser ergódico en casi todas las direcciones. ^{[ 13 ]}

Otra cuestión natural es establecer estimaciones asintóticas para el número de geodésicas cerradas o conexiones de silla de montar de una longitud dada. En un toro plano${\displaystyle T}$no hay conexiones de silla de montar y el número de geodésicas cerradas de longitud${\displaystyle \leq L}$es equivalente a${\displaystyle L^{2}/\operatorname {volume} (T)}$. En general, solo se pueden obtener límites: si${\displaystyle (X,\omega )}$es una superficie de traslación compacta de género${\displaystyle g}$ entonces existen constantes (que dependen únicamente del género)${\displaystyle c_{1},c_{2}}$de tal manera que ambos${\displaystyle N_{cg}(L)}$de geodésicas cerradas y${\displaystyle N_{sc}(L)}$de conexiones de silla de montar de longitud${\displaystyle \leq L}$satisfacer

${\displaystyle {\frac {c_{1}L^{2}}{\operatorname {volume} (X,\omega )}}\leq N_{\mathrm {cg} }(L),N_{\mathrm {sc} }(L)\leq {\frac {c_{2}L^{2}}{\operatorname {volume} (X,\omega )}}.}$

Restringiéndose a resultados probabilísticos es posible obtener mejores estimaciones: dado un género${\displaystyle g}$, una partición${\displaystyle \alpha }$de${\displaystyle g}$y un componente conectado${\displaystyle {\mathcal {C}}}$del estrato${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$existen constantes${\displaystyle c_{\mathrm {cg} }c_{\mathrm {sc} }}$de tal manera que para casi todos${\displaystyle (X,\omega )\in {\mathcal {C}}}$Se cumple el equivalente asintótico: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle N_{\mathrm {cg} }(L)\sim {\frac {c_{\mathrm {cg} }L^{2}}{\operatorname {volume} (X,\omega )}}}$,${\displaystyle N_{\mathrm {sc} }(L)\sim {\frac {c_{\mathrm {sc} }L^{2}}{\operatorname {volume} (X,\omega )}}.}$

Las constantes${\displaystyle c_{\mathrm {cg} },c_{\mathrm {sc} }}$se denominan constantes de Siegel - Veech . Utilizando la ergodicidad de la ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$-acción sobre${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$, se demostró que estas constantes pueden calcularse explícitamente como razones de ciertos volúmenes de Masur-Veech. ^{[ 14 ]}

El flujo geodésico en una superficie de Veech se comporta mucho mejor que en general. Esto se expresa mediante el siguiente resultado, llamado dicotomía de Veech : ^{[ 15 ]}

Dejar${\displaystyle (X,\omega )}$ser una superficie Veech y${\displaystyle \theta }$una dirección. Entonces, todas las trayectorias desafiaron más${\displaystyle \mathbb {R} }$son periódicos o el flujo en la dirección${\displaystyle \theta }$es ergódico.

Si${\displaystyle P_{0}}$es un polígono en el plano euclidiano y${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$En una dirección existe un sistema dinámico continuo llamado billar . La trayectoria de un punto dentro del polígono se define de la siguiente manera: mientras no toque el límite, avanza en línea recta a velocidad unitaria; cuando toca el interior de una arista, rebota (es decir, su dirección cambia con una reflexión ortogonal en la perpendicular de la arista), y cuando toca un vértice, se detiene.

Este sistema dinámico es equivalente al flujo geodésico en una superficie plana: simplemente se duplica el polígono a lo largo de los bordes y se coloca una métrica plana en todas partes excepto en los vértices, que se convierten en puntos singulares con un ángulo de cono que duplica el ángulo del polígono en el vértice correspondiente. Esta superficie no es una superficie de traslación ni una superficie de semitraslación, pero en algunos casos está relacionada con una. Es decir, si todos los ángulos del polígono${\displaystyle P_{0}}$son múltiplos racionales de${\displaystyle \pi }$Hay una cubierta ramificada de esta superficie que es una superficie de traducción, que puede construirse a partir de una unión de copias de${\displaystyle P_{0}}$La dinámica del flujo de billar puede estudiarse entonces mediante el flujo geodésico en la superficie de traslación.

Por ejemplo, el billar en un cuadrado se relaciona de esta manera con el billar en el toro plano construido a partir de cuatro copias del cuadrado; el billar en un triángulo equilátero da lugar al toro plano construido a partir de un hexágono. El billar en forma de "L" construido a partir de cuadrados se relaciona con el flujo geodésico en una superficie de baldosas cuadradas; el billar en el triángulo con ángulos${\displaystyle \pi /5,\pi /5,3\pi /5}$está relacionada con la superficie de Veech construida a partir de dos pentágonos regulares construidos arriba.

Dejar${\displaystyle (X,\omega )}$ser una superficie de traducción y${\displaystyle \theta }$una dirección, y dejar${\displaystyle \phi _{t}}$sea ​​el flujo geodésico en${\displaystyle (X,\omega )}$con dirección${\displaystyle \theta }$. Dejar${\displaystyle I}$ser un segmento geodésico en la dirección ortogonal a${\displaystyle \theta }$y definió la primera recurrencia, o mapa de Poincaré.${\displaystyle \sigma :I\to I}$como sigue:${\displaystyle \sigma (p)}$es igual a${\displaystyle \phi _{t}(p)}$dónde${\displaystyle \phi _{s}(p)\not \in I}$para${\displaystyle 0<s<t}$. Entonces, este mapa es una transformación de intercambio de intervalos y puede usarse para estudiar la dinámica del flujo geodésico. ^{[ 16 ]}