Distribución de Tweedie

Los modelos que acabamos de describir están en la forma reproductiva. Un modelo de dispersión exponencial siempre tiene un dual : la forma aditiva. Si Y es reproductiva, entonces Z = λY con λ = 1/ σ ² está en la forma aditiva ED ^* ( θ , λ ) , para Tweedie Tw ^* _p ( μ , λ ) . Los modelos aditivos tienen la propiedad de que la distribución de la suma de variables aleatorias independientes, $${\displaystyle Z_{+}=Z_{1}+\cdots +Z_{n},}$$ para los cuales Z _i ~ ED ^* ( θ , λ _i ) con θ fijo y varios λ son miembros de la familia de distribuciones con el mismo θ , $${\displaystyle Z_{+}\sim \operatorname {ED} ^{*}(\theta ,\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}).}$$

Existe una segunda clase de modelos de dispersión exponencial designados por la variable aleatoria $${\displaystyle Y=Z/\lambda \sim \operatorname {ED} (\mu ,\sigma ^{2}),}$$ donde σ ²  =  1/ λ , conocidos como modelos de dispersión exponencial reproductiva. Tienen la propiedad de que para n variables aleatorias independientes Y _i  ~  ED( μ , σ ² / w _i ) , con factores de ponderación w _i y $${\displaystyle w=\sum _{i=1}^{n}w_{i},}$$ un promedio ponderado de las variables da, $${\displaystyle w^{-1}\sum _{i=1}^{n}w_{i}Y_{i}\sim \operatorname {ED} (\mu ,\sigma ^{2}/w).}$$

Para los modelos reproductivos, el promedio ponderado de variables aleatorias independientes con μ y σ ² fijos y varios valores para w _i es un miembro de la familia de distribuciones con el mismo μ y σ ² .

Los modelos de dispersión exponencial de Tweedie son tanto aditivos como reproductivos; por lo tanto, tenemos la transformación de dualidad.$${\displaystyle Y\mapsto Z=Y/\sigma ^{2}.}$$

Una tercera propiedad de los modelos de Tweedie es que son invariantes de escala : para un modelo de dispersión exponencial reproductiva Tw _p ( μ , σ ² ) y cualquier constante positiva c tenemos la propiedad de cierre bajo transformación de escala, $${\displaystyle c\operatorname {Tw} _{p}(\mu ,\sigma ^{2})=\operatorname {Tw} _{p}(c\mu ,c^{2-p}\sigma ^{2}).}$$

Para definir la función de varianza para modelos de dispersión exponencial, utilizamos el mapeo del valor medio, la relación entre el parámetro canónico θ y la media μ . Se define mediante la función $${\displaystyle \tau (\theta )=\kappa ^{\prime }(\theta )=\mu .}$$ con función acumulativa κ ( θ ). La función de varianza V ( μ ) se construye a partir del mapeo del valor medio, $${\displaystyle V(\mu )=\tau ^{\prime }[\tau ^{-1}(\mu )].}$$

Aquí, el exponente negativo en τ ⁻¹ ( μ ) denota una función inversa en lugar de una recíproca. La media y la varianza de una variable aleatoria aditiva son entonces E( Z ) = λμ y var( Z ) = λV ( μ ) .

La invariancia de escala implica que la función de varianza obedece la relación V ( μ ) = μ ^p . ^{[ 2 ]}

La desviación unitaria de una distribución de Tweedie reproductiva viene dada por $${\displaystyle d(y,\mu )={\begin{cases}(y-\mu )^{2},&{\text{for }}p=0\\2(y\log(y/\mu )+\mu -y),&{\text{for }}p=1\\2(\log(\mu /y)+y/\mu -1),&{\text{for }}p=2\\2\left({\frac {\max(y,0)^{2-p}}{(1-p)(2-p)}}-{\frac {y\mu ^{1-p}}{1-p}}+{\frac {\mu ^{2-p}}{2-p}}\right),&{\text{else}}\end{cases}}}$$

Las propiedades de los modelos de dispersión exponencial nos dan dos ecuaciones diferenciales . ^{[ 2 ]} La primera relaciona entre sí el mapeo del valor medio y la función de varianza, $${\displaystyle {\frac {\partial \tau ^{-1}(\mu )}{\partial \mu }}={\frac {1}{V(\mu )}}.}$$

El segundo muestra cómo el mapeo del valor medio está relacionado con la función cumulante , $${\displaystyle {\frac {\partial \kappa (\theta )}{\partial \theta }}=\tau (\theta ).}$$

Estas ecuaciones se pueden resolver para obtener la función cumulante para diferentes casos de los modelos de Tweedie. A partir de la función cumulante se puede obtener una función generadora de cumulantes (FGC). La FGC aditiva generalmente se especifica mediante la ecuación $${\displaystyle K^{*}(s)=\log[\operatorname {E} (e^{sZ})]=\lambda [\kappa (\theta +s)-\kappa (\theta )],}$$ y el CGF reproductivo por $${\displaystyle K(s)=\log[\operatorname {E} (e^{sY})]=\lambda [\kappa (\theta +s/\lambda )-\kappa (\theta )],}$$ donde s es la variable de la función generadora.

Para los modelos aditivos de Tweedie, las CGF toman la forma, $${\displaystyle K_{p}^{*}(s;\theta ,\lambda )={\begin{cases}\lambda \kappa _{p}(\theta )[(1+s/\theta )^{\alpha }-1]&\quad p\neq 1,2,\\-\lambda \log(1+s/\theta )&\quad p=2,\\\lambda e^{\theta }(e^{s}-1)&\quad p=1,\end{cases}}}$$ y para los modelos reproductivos, $${\displaystyle K_{p}(s;\theta ,\lambda )={\begin{cases}\lambda \kappa _{p}(\theta )\left\{\left[1+s/(\theta \lambda )\right]^{\alpha }-1\right\}&\quad p\neq 1,2,\\[1ex]-\lambda \log[1+s/(\theta \lambda )]&\quad p=2,\\[1ex]\lambda e^{\theta }\left(e^{s/\lambda }-1\right)&\quad p=1.\end{cases}}}$$

Los modelos de Tweedie aditivo y reproductivo se denotan convencionalmente con los símbolos Tw ^* _p ( θ , λ ) y Tw _p ( θ , σ ² ) , respectivamente.

Las primeras y segundas derivadas de las CGF, con s = 0 , producen la media y la varianza, respectivamente. Por lo tanto, se puede confirmar que para los modelos aditivos la varianza se relaciona con la media mediante la ley de potencias, $${\displaystyle \mathrm {var} (Z)\propto \mathrm {E} (Z)^{p}.}$$

Los modelos de dispersión exponencial de Tweedie son fundamentales en la teoría estadística debido a su papel como focos de convergencia para una amplia gama de procesos estadísticos. Jørgensen et al. demostraron un teorema que especifica el comportamiento asintótico de las funciones de varianza conocido como el teorema de convergencia de Tweedie . ^{[ 6 ]} Este teorema, en términos técnicos, se enuncia así: ^{[ 2 ]} La función de varianza unitaria es regular de orden p en cero (o infinito) siempre que V ( μ ) ~ c ₀ μ ^p para μ cuando se aproxima a cero (o infinito) para todos los valores reales de p y c ₀ > 0 . Entonces, para una función de varianza unitaria regular de orden p en cero o infinito y para $${\displaystyle p\notin (0,1),}$$ para cualquier μ > 0 y σ ² > 0 tenemos $${\displaystyle c^{-1}\operatorname {ED} (c\mu ,\sigma ^{2}c^{2-p})\rightarrow Tw_{p}(\mu ,c_{0}\sigma ^{2})}$$ cuando c ↓ 0 o c → ∞ , respectivamente, donde la convergencia se produce a través de valores de c tales que cμ está en el dominio de θ y c ^{p − 2} / σ ² está en el dominio de λ . El modelo debe ser infinitamente divisible cuando c ^{2 − p} tiende a infinito. ^{[ 2 ]}

En términos no técnicos, este teorema implica que cualquier modelo de dispersión exponencial que manifiesta asintóticamente una ley de potencias de varianza a media debe tener una función de varianza que se encuentre dentro del dominio de atracción de un modelo de Tweedie. Casi todas las funciones de distribución con funciones generadoras de cumulantes finitas califican como modelos de dispersión exponencial, y la mayoría de estos modelos manifiestan funciones de varianza de esta forma. Por lo tanto, muchas distribuciones de probabilidad tienen funciones de varianza que expresan este comportamiento asintótico, y las distribuciones de Tweedie se convierten en focos de convergencia para una amplia gama de tipos de datos. ^{[ 7 ]}

La ley de Taylor es una ley empírica en ecología que relaciona la varianza del número de individuos de una especie por unidad de área de hábitat con la media correspondiente mediante una relación de ley de potencias . ^{[ 8 ]} Para el recuento de población Y con media μ y varianza var( Y ), la ley de Taylor se escribe: $${\displaystyle \operatorname {var} (Y)=a\mu ^{p},}$$ donde a y p son constantes positivas. Desde que LR Taylor describió esta ley en 1961, se han ofrecido muchas explicaciones diferentes para explicarla, que van desde el comportamiento animal, ^{[ 8 ]} un modelo de paseo aleatorio , ^{[ 9 ]} un modelo estocástico de nacimiento, muerte, inmigración y emigración , ^{[ 10 ]} hasta una consecuencia de la mecánica estadística de equilibrio y no equilibrio . ^{[ 11 ]} No existe consenso sobre una explicación para este modelo.

Dado que la ley de Taylor es matemáticamente idéntica a la ley de potencia de varianza a media que caracteriza los modelos de Tweedie, parecía razonable utilizar estos modelos y el teorema de convergencia de Tweedie para explicar la agrupación observada de animales y plantas asociada con la ley de Taylor. ^{[ 12 ] [ 13 ]} La mayoría de los valores observados para el exponente de la ley de potencia p han caído en el intervalo (1,2) y, por lo tanto, la distribución compuesta de Poisson-gamma de Tweedie parecería aplicable. La comparación de la función de distribución empírica con la distribución compuesta teórica de Poisson-gamma ha proporcionado un medio para verificar la consistencia de esta hipótesis. ^{[ 12 ]}

Mientras que los modelos convencionales para la ley de Taylor han tendido a implicar supuestos ad hoc sobre el comportamiento animal o la dinámica poblacional , el teorema de convergencia de Tweedie implicaría que la ley de Taylor resulta de un efecto de convergencia matemática general, de forma similar a como el teorema del límite central rige el comportamiento de convergencia de ciertos tipos de datos aleatorios. De hecho, cualquier modelo matemático, aproximación o simulación diseñado para producir la ley de Taylor (sobre la base de este teorema) debe converger a la forma de los modelos de Tweedie. ^{[ 7 ]}

El ruido rosa , o ruido 1/ f , se refiere a un patrón de ruido caracterizado por una relación de ley de potencias entre sus intensidades S ( f ) en diferentes frecuencias f , $${\displaystyle S(f)\propto {\frac {1}{f^{\gamma }}},}$$ donde el exponente adimensional γ ∈ [0,1]. Se encuentra en una variedad de procesos naturales. ^{[ 14 ]} Existen muchas explicaciones diferentes para el ruido 1/ f ; una hipótesis ampliamente aceptada se basa en la criticidad autoorganizada, donde se cree que los sistemas dinámicos cercanos a un punto crítico manifiestan un comportamiento espacial y/o temporal invariante a la escala .

En esta subsección se describirá una conexión matemática entre el ruido 1/ f y la ley de potencia de varianza a media de Tweedie. Para empezar, primero necesitamos introducir procesos autosimilares : Para la secuencia de números $${\displaystyle Y=(Y_{i}:i=0,1,2,\ldots ,N)}$$ con significa $${\displaystyle {\widehat {\mu }}=\operatorname {E} (Y_{i}),}$$ desviaciones $${\displaystyle y_{i}=Y_{i}-{\widehat {\mu }},}$$ diferencia $${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}=\operatorname {E} (y_{i}^{2}),}$$ y función de autocorrelación $${\displaystyle r(k)={\frac {\operatorname {E} (y_{i},y_{i+k})}{\operatorname {E} (y_{i}^{2})}}}$$ con retardo k , si la autocorrelación de esta secuencia tiene el comportamiento de largo alcance. $${\displaystyle r(k)\sim k^{-d}L(k)}$$ Cuando k → ∞ y L ( k ) es una función que varía lentamente para valores grandes de k , esta secuencia se denomina proceso autosimilar. ^{[ 15 ]}

El método de expansión de intervalos puede utilizarse para analizar procesos autosimilares. Consideremos un conjunto de intervalos no superpuestos de igual tamaño que divide la secuencia original de N elementos en grupos de m segmentos de igual tamaño ( N / m es un número entero) de modo que se puedan definir nuevas secuencias reproductivas, basadas en los valores medios: $${\displaystyle Y_{i}^{(m)}=\left(Y_{im-m+1}+\cdots +Y_{im}\right)/m.}$$

La varianza determinada a partir de esta secuencia escalará a medida que cambie el tamaño del intervalo, de modo que $${\displaystyle \operatorname {var} [Y^{(m)}]={\widehat {\sigma }}^{2}m^{-d}}$$ si y solo si la autocorrelación tiene la forma límite ^{[ 16 ]}$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }r(k)/k^{-d}=(2-d)(1-d)/2.}$$

También se puede construir un conjunto de secuencias aditivas correspondientes. $${\displaystyle Z_{i}^{(m)}=mY_{i}^{(m)},}$$ basado en los contenedores expandibles, $${\displaystyle Z_{i}^{(m)}=(Y_{im-m+1}+\cdots +Y_{im}).}$$

Siempre que la función de autocorrelación exhiba el mismo comportamiento, las secuencias aditivas obedecerán la relación. $${\displaystyle \operatorname {var} [Z_{i}^{(m)}]=m^{2}\operatorname {var} [Y^{(m)}]=\left({\frac {{\widehat {\sigma }}^{2}}{{\widehat {\mu }}^{2-d}}}\right)\operatorname {E} [Z_{i}^{(m)}]^{2-d}}$$

Desde${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$y${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}}$son constantes esta relación constituye una ley de potencia de varianza a media, con p = 2 − d . ^{[ 7 ] [ 17 ]}

La relación bicondicional anterior entre la ley de potencias de la varianza a la media y la función de autocorrelación de la ley de potencias, y el teorema de Wiener-Khinchin ^{[ 18 ]} implican que cualquier secuencia que exhiba una ley de potencias de la varianza a la media mediante el método de expansión de intervalos también manifestará ruido 1/ f , y viceversa. Además, el teorema de convergencia de Tweedie, en virtud de su efecto de límite central de generar distribuciones que manifiestan funciones de potencias de la varianza a la media, también generará procesos que manifiestan ruido 1/ f . ^{[ 7 ]} El teorema de convergencia de Tweedie proporciona así una explicación alternativa para el origen del ruido 1/ f , basada en su efecto de límite central.

Así como el teorema del límite central requiere que ciertos tipos de procesos aleatorios tengan como foco de convergencia la distribución gaussiana y, por lo tanto, expresen ruido blanco , el teorema de convergencia de Tweedie requiere que ciertos procesos no gaussianos tengan como foco de convergencia las distribuciones de Tweedie que expresan ruido 1/ f . ^{[ 7 ]}

A partir de las propiedades de los procesos autosimilares, el exponente de la ley de potencias p = 2 − d está relacionado con el exponente de Hurst H y la dimensión fractal D mediante ^{[ 16 ].}$${\displaystyle D=2-H=2-p/2.}$$

Una secuencia de datos unidimensional de datos autosimilares puede demostrar una ley de potencia de varianza a media con variaciones locales en el valor de p y, por lo tanto, en el valor de D. Cuando las estructuras fractales manifiestan variaciones locales en la dimensión fractal, se dice que son multifractales . Ejemplos de secuencias de datos que exhiben variaciones locales en p de esta manera incluyen las desviaciones de los valores propios de los conjuntos ortogonales y unitarios gaussianos . ^{[ 7 ]} La distribución compuesta de Poisson-gamma de Tweedie ha servido para modelar la multifractalidad basada en variaciones locales en el exponente de Tweedie α . En consecuencia, junto con la variación de α , el teorema de convergencia de Tweedie puede considerarse que tiene un papel en la génesis de tales multifractales.

Se ha encontrado que la variación de α obedece a la distribución de Laplace asimétrica en ciertos casos. ^{[ 19 ]} Se ha demostrado que esta distribución pertenece a la familia de modelos geométricos de Tweedie, ^{[ 20 ]} que se manifiestan como distribuciones límite en un teorema de convergencia para modelos de dispersión geométrica.

El flujo sanguíneo regional de los órganos se ha evaluado tradicionalmente mediante la inyección de microesferas de polietileno radiomarcadas en la circulación arterial de animales, de un tamaño tal que quedan atrapadas dentro de la microcirculación de los órganos. El órgano a evaluar se divide en cubos de igual tamaño y la cantidad de radiomarcador dentro de cada cubo se evalúa mediante recuento por centelleo líquido y se registra. La cantidad de radiactividad dentro de cada cubo se considera un reflejo del flujo sanguíneo a través de esa muestra en el momento de la inyección. Es posible evaluar cubos adyacentes de un órgano para determinar de forma aditiva el flujo sanguíneo a través de regiones más grandes. Mediante el trabajo de JB Bassingthwaighte y otros, se ha derivado una ley de potencia empírica entre la dispersión relativa del flujo sanguíneo de muestras de tejido ( RD = desviación estándar/media ) de masa m en relación con muestras de tamaño de referencia: ^{[ 21 ]}$${\displaystyle RD(m)=RD(m_{\text{ref}})\left({\frac {m}{m_{\text{ref}}}}\right)^{1-D_{s}}}$$

Este exponente de ley de potencias D _s se ha denominado dimensión fractal. Se puede demostrar que la ley de potencias de Bassingthwaighte se relaciona directamente con la ley de potencias de varianza a media. El flujo sanguíneo de los órganos regionales puede modelarse mediante la distribución compuesta de Poisson-gamma de Tweedie, ^{[ 22 ]} En este modelo, la muestra de tejido podría considerarse que contiene un número aleatorio (de Poisson) de sitios de atrapamiento, cada uno con un flujo sanguíneo distribuido gamma . Se ha observado que el flujo sanguíneo a este nivel microcirculatorio obedece a una distribución gamma, ^{[ 23 ]} lo que respalda esta hipótesis.

El " ensayo experimental de metástasis de cáncer" ^{[ 24 ]} guarda cierta semejanza con el método anterior para medir el flujo sanguíneo regional. A grupos de ratones singénicos de la misma edad se les administran inyecciones intravenosas de alícuotas de igual tamaño de suspensiones de células cancerosas clonadas. Transcurrido un tiempo determinado, se les extraen los pulmones y se contabiliza el número de metástasis cancerosas en cada par de pulmones. Si a otros grupos de ratones se les inyectan diferentes clones de células cancerosas , el número de metástasis por grupo variará en función del potencial metastásico de los clones. Se sabe desde hace tiempo que puede existir una considerable variación intraclonal en el número de metástasis por ratón, a pesar de los mejores esfuerzos por mantener uniformes las condiciones experimentales dentro de cada grupo clonal. ^{[ 24 ]} Esta variación es mayor de lo que cabría esperar según una distribución de Poisson del número de metástasis por ratón en cada clon, y al representar gráficamente la varianza del número de metástasis por ratón frente a la media correspondiente, se observó una ley de potencias. ^{[ 25 ]}

Se encontró que la ley de potencia de varianza a media para metástasis también se cumplía para metástasis espontáneas murinas ^{[ 26 ]} y para series de casos de metástasis humanas. ^{[ 27 ]} Dado que la metástasis hematógena ocurre en relación directa con el flujo sanguíneo regional ^{[ 28 ]} y los estudios videomicroscópicos indican que el paso y atrapamiento de células cancerosas dentro de la circulación parece análogo a los experimentos de microesferas ^{[ 29 ]} parecía plausible proponer que la variación en el número de metástasis hematógenas podría reflejar la heterogeneidad en el flujo sanguíneo regional de los órganos. ^{[ 30 ]} El modelo de flujo sanguíneo se basó en la distribución compuesta de Poisson-gamma de Tweedie, una distribución que rige una variable aleatoria continua. Por esa razón, en el modelo de metástasis se asumió que el flujo sanguíneo estaba regido por esa distribución y que el número de metástasis regionales ocurría como un proceso de Poisson para el cual la intensidad era directamente proporcional al flujo sanguíneo. Esto llevó a la descripción de la distribución binomial negativa de Poisson (PNB) como un equivalente discreto de la distribución compuesta de Poisson-gamma de Tweedie. La función generadora de probabilidad para la distribución PNB es $${\displaystyle G(s)=\exp \left[\lambda {\frac {\alpha -1}{\alpha }}\left({\frac {\theta }{\alpha -1}}\right)^{\alpha }\left\{\left(1-{\frac {1}{\theta }}+{\frac {s}{\theta }}\right)^{\alpha }-1\right\}\right]}$$

La relación entre la media y la varianza de la distribución PNB es entonces $${\displaystyle \operatorname {var} (Y)=a\operatorname {E} (Y)^{b}+\operatorname {E} (Y),}$$ En el contexto de muchos ensayos experimentales de metástasis, esta relación sería indistinguible de la ley de potencias de la varianza a la media. Sin embargo, para datos escasos, esta relación discreta entre la varianza y la media se comportaría más como una distribución de Poisson, donde la varianza es igual a la media.

La densidad local de polimorfismos de un solo nucleótido (SNP) dentro del genoma humano , así como la de los genes , parece agruparse de acuerdo con la ley de potencia de varianza a media y la distribución gamma de Poisson compuesta de Tweedie. ^{[ 31 ] [ 32 ]} En el caso de los SNP, su densidad observada refleja las técnicas de evaluación, la disponibilidad de secuencias genómicas para el análisis y la heterocigosidad de nucleótidos . ^{[ 33 ]} Los dos primeros factores reflejan errores de detección inherentes a los métodos de recolección, el último factor refleja una propiedad intrínseca del genoma.

En el modelo coalescente de genética de poblaciones, cada locus genético tiene su propia historia única. Dentro de la evolución de una población a partir de algunas especies, algunos loci genéticos podrían presumiblemente rastrearse hasta un ancestro común relativamente reciente, mientras que otros loci podrían tener genealogías más antiguas . Los segmentos genómicos más antiguos habrían tenido más tiempo para acumular SNP y experimentar recombinación . RR Hudson ha propuesto un modelo donde la recombinación podría causar variación en el tiempo hasta el ancestro común más reciente para diferentes segmentos genómicos. ^{[ 34 ]} Una alta tasa de recombinación podría hacer que un cromosoma contenga una gran cantidad de segmentos pequeños con genealogías menos correlacionadas.

Suponiendo una tasa de mutación de fondo constante, el número de SNP por segmento genómico se acumularía proporcionalmente al tiempo transcurrido hasta el ancestro común más reciente. La teoría genética de poblaciones actual indicaría que estos tiempos seguirían una distribución gamma , en promedio. ^{[ 35 ]} La distribución gamma-Poisson compuesta de Tweedie sugeriría un modelo en el que el mapa de SNP consistiría en múltiples segmentos genómicos pequeños, con un número medio de SNP por segmento que seguiría una distribución gamma según el modelo de Hudson.

La distribución de genes dentro del genoma humano también demostró una ley de potencia de varianza a media, cuando se utilizó el método de expansión de bins para determinar las varianzas y medias correspondientes. ^{[ 32 ]} De manera similar, se encontró que el número de genes por bin enumerativo obedecía una distribución de Poisson-gamma compuesta de Tweedie. Esta distribución de probabilidad se consideró compatible con dos modelos biológicos diferentes: el modelo de microarreglo donde el número de genes por unidad de longitud genómica estaba determinado por la suma de un número aleatorio de segmentos genómicos más pequeños derivados por rotura y reconstrucción aleatoria de protocromosomas. Se asumiría que estos segmentos más pequeños llevarían en promedio un número de genes distribuido gamma.

En el modelo alternativo de agrupamiento de genes , estos se distribuirían aleatoriamente dentro de los protocromosomas. A lo largo de grandes escalas de tiempo evolutivas, se producirían duplicaciones en tándem , mutaciones, inserciones, deleciones y reordenamientos que podrían afectar a los genes mediante un proceso estocástico de nacimiento, muerte e inmigración, dando lugar a la distribución de Poisson-gamma compuesta de Tweedie.

Ambos mecanismos implicarían procesos evolutivos neutros que darían lugar a la agrupación regional de genes.

El conjunto unitario gaussiano (GUE) consta de matrices hermíticas complejas que son invariantes bajo transformaciones unitarias, mientras que el conjunto ortogonal gaussiano (GOE) consta de matrices simétricas reales invariantes bajo transformaciones ortogonales . Los autovalores ordenados E _n de estas matrices aleatorias obedecen la distribución semicircular de Wigner : Para una matriz N × N , la densidad promedio para los autovalores de tamaño E será $${\displaystyle {\bar {\rho }}(E)={\begin{cases}{\sqrt {2N-E^{2}}}/\pi &\quad \left\vert E\right\vert <{\sqrt {2N}}\\0&\quad \left\vert E\right\vert >{\sqrt {2N}}\end{cases}}}$$ cuando E → ∞ . La integración de la regla semicircular proporciona el número de autovalores en promedio menores que E , $${\displaystyle {\bar {\eta }}(E)={\frac {1}{2\pi }}\left[E{\sqrt {2N-E^{2}}}+2N\arcsin \left({\frac {E}{\sqrt {2N}}}\right)+\pi N\right].}$$

Los autovalores ordenados pueden desplegarse o renormalizarse con la ecuación $${\displaystyle e_{n}={\bar {\eta }}(E)=\int _{-\infty }^{E_{n}}\,dE'{\bar {\rho }}(E').}$$

Esto elimina la tendencia de la secuencia de la porción fluctuante. Si observamos el valor absoluto de la diferencia entre el número acumulado real y esperado de valores propios $${\displaystyle \left|{\bar {D}}_{n}\right|=\left|n-{\bar {\eta }}(E_{n})\right|}$$ Obtenemos una secuencia de fluctuaciones de valores propios que, utilizando el método de expansión de intervalos, revela una ley de potencias de varianza a media. ^{[ 7 ]} Las fluctuaciones de valores propios tanto del GUE como del GOE manifiestan esta ley de potencias con exponentes que varían entre 1 y 2, y manifiestan de manera similar espectros de ruido 1/ f . Estas fluctuaciones de valores propios también corresponden a la distribución de Poisson-gamma compuesta de Tweedie y exhiben multifractalidad. ^{[ 7 ]}

La segunda función de Chebyshev ψ ( x ) viene dada por: $${\displaystyle \psi (x)=\sum _{{\widehat {p\,}}^{k}\leq x}\log {\widehat {p\,}}=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)}$$ donde la suma se extiende sobre todas las potencias primas${\displaystyle {\widehat {p\,}}^{k}}$sin exceder x , x recorre los números reales positivos y ${\displaystyle \Lambda (n)}$es la función de von Mangoldt . La función ψ ( x ) está relacionada con la función de conteo de números primos π ( x ) y, como tal, proporciona información sobre la distribución de los números primos entre los números reales. Es asintótica a x , una afirmación equivalente al teorema de los números primos , y también se puede demostrar que está relacionada con los ceros de la función zeta de Riemann ubicados en la banda crítica ρ , donde la parte real del cero de la zeta ρ está entre 0 y 1. Entonces, ψ expresada para x mayor que uno se puede escribir como:   $${\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}\ln(1-x^{-2})}$$ dónde $${\displaystyle \psi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}.}$$

La hipótesis de Riemann establece que los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen todos una parte real de 1/2 . Estos ceros de la función zeta están relacionados con la distribución de los números primos . Schoenfeld ^{[ 36 ]} ha demostrado que si la hipótesis de Riemann es verdadera, entonces $${\displaystyle \Delta (x)=\left\vert \psi (x)-x\right\vert <{\sqrt {x}}\log ^{2}(x)/(8\pi )}$$ para todo x > 73,2 . Si analizamos las desviaciones de Chebyshev Δ( n ) en los enteros n utilizando el método de expansión de intervalos y representamos gráficamente la varianza frente a la media, se puede demostrar una ley de potencias de la varianza a la media. Además, estas desviaciones corresponden a la distribución de Poisson-gamma compuesta de Tweedie y presentan ruido 1/ f .

Las aplicaciones de las distribuciones de Tweedie incluyen:

• estudios actuariales ^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ]}
• análisis de ensayo ^{[ 44 ] [ 45 ]}
• análisis de supervivencia ^{[ 46 ] [ 47 ] [ 48 ]}
• ecología ^{[ 12 ]}
• análisis del consumo de alcohol en adolescentes británicos ^{[ 49 ]}
• aplicaciones médicas ^{[ 50 ]}
• economía de la salud ^{[ 51 ]}
• meteorología y climatología ^{[ 50 ] [ 52 ]}
• pesquerías ^{[ 53 ]}
• Función de Mertens ^{[ 54 ]}
• criticidad autoorganizada ^{[ 55 ]}