Ábaco

El ábaco sumerio apareció entre el 2700 y el 2300  a. C. Contenía una tabla de columnas sucesivas que delimitaban los órdenes de magnitud sucesivos de su sistema numérico sexagesimal (base 60). ^{[ 17 ]} En Sumeria existían formas primitivas del ábaco, como el ábaco de cuentas no fijas, una línea de cuerdas fijadas a una tabla, cuerdas de conteo compuestas de cuentas (similares a los rosarios y a los rosarios de conteo ), cuerdas y nudos, y tableros de conteo (similares a los palos de conteo ). La forma y función exactas de estos dispositivos se encuentran dispersas en diferentes fuentes, y se desconoce su relación exacta con el ábaco moderno, pero es casi seguro que existe una relación con el masihatu, que funcionaba de manera similar a un ábaco utilizando múltiples cuerdas y conjuntos de cuentas. ^{[ 18 ]}

Algunos estudiosos señalan un carácter en la escritura cuneiforme babilónica que podría derivar de una representación del ábaco. ^{[ 19 ] Los estudiosos del periodo paleobabilónico [ 20 ]} , como Ettore Carruccio, creen que los paleobabilónicos «parecen haber utilizado el ábaco para las operaciones de suma y resta; sin embargo, este dispositivo primitivo resultó difícil de usar para cálculos más complejos». ^{[ 21 ]}

El historiador griego Heródoto mencionó el ábaco en el Antiguo Egipto . Escribió que los egipcios manipulaban las piedras de derecha a izquierda, en dirección opuesta al método griego de izquierda a derecha. Los arqueólogos han encontrado discos antiguos de diversos tamaños que se cree que se usaban como contadores. Sin embargo, no se conocen ilustraciones de este dispositivo. ^{[ 22 ]}

Alrededor del año 600 a. C., los persas comenzaron a usar el ábaco por primera vez durante el Imperio aqueménida . ^{[ 23 ]} Bajo los partos , los sasánidas , así como en los imperios posteriores, los eruditos se concentraron en intercambiar conocimientos e inventos con los países que los rodeaban —India, China y el Imperio romano— , que es como el ábaco pudo haber sido exportado a otros países.

La evidencia arqueológica más antigua del uso del ábaco griego data del siglo V a. C. ^{[ 24 ]} Demóstenes (384–322 a. C.) se quejó de que la necesidad de usar guijarros para los cálculos era demasiado difícil. ^{[ 25 ] [ 26 ]} Una obra de Alexis del siglo IV a. C. menciona un ábaco y guijarros para la contabilidad, y tanto Diógenes como Polibio usan el ábaco como una metáfora del comportamiento humano, afirmando que "los hombres que a veces defendían más y a veces menos" son como los guijarros en un ábaco. ^{[ 26 ]} El ábaco griego era una mesa de madera o mármol, preconfigurada con pequeñas fichas de madera o metal para cálculos matemáticos. ^{[ 27 ]} Este ábaco griego se usó en la Persia aqueménida, la civilización etrusca , la Antigua Roma y el mundo cristiano occidental hasta la Revolución Francesa .

La tablilla de Salamina , hallada en la isla griega de Salamina en 1846  d. C., data del año 300 a. C.  , lo que la convierte en la tablilla de conteo más antigua descubierta hasta la fecha. Se trata de una losa de mármol blanco de 149 cm de largo, 75 cm de ancho y 4,5 cm de grosor, sobre la que se encuentran 5 grupos de marcas. En el centro de la tablilla hay un conjunto de 5 líneas paralelas divididas equitativamente por una línea vertical, rematada con un semicírculo en la intersección de la línea horizontal inferior con la línea vertical. Debajo de estas líneas hay un amplio espacio con una grieta horizontal que lo divide. Debajo de esta grieta hay otro grupo de once líneas paralelas, también divididas en dos secciones por una línea perpendicular a ellas, pero con el semicírculo en la parte superior de la intersección; la tercera, sexta y novena de estas líneas están marcadas con una cruz donde se cruzan con la línea vertical. ^{[ 28 ]} También de este período, el Vaso de Darío fue desenterrado en 1851. Estaba cubierto de imágenes, incluyendo la de un "tesorero" sosteniendo una tablilla de cera en una mano mientras manipulaba contadores sobre una mesa con la otra. ^{[ 25 ]}      

El método habitual de cálculo en la antigua Roma, al igual que en Grecia, consistía en mover fichas sobre una mesa lisa. Originalmente se utilizaban guijarros ( del latín : calculi ). Unas líneas marcadas indicaban las unidades, las decenas, etc., como en el sistema de numeración romano .

Horacio , que escribió en el siglo I a. C., se refiere al ábaco de cera, una tabla cubierta con una fina capa de cera negra sobre la cual se inscribían columnas y figuras utilizando un estilete. ^{[ 29 ]}

Un ejemplo de evidencia arqueológica del ábaco romano , que se muestra cerca en la reconstrucción, data del siglo I d. C. Tiene ocho surcos largos con hasta cinco cuentas cada uno y ocho surcos más cortos con una o ninguna cuenta. El surco marcado con I indica unidades, X decenas, y así sucesivamente hasta los millones. Las cuentas en los surcos más cortos representan grupos de cinco (cinco unidades, cinco decenas, etc.), lo que se asemeja a un sistema decimal codificado biquinario relacionado con los números romanos . Los surcos cortos de la derecha podrían haberse utilizado para marcar las "onzas" romanas (es decir, fracciones).

El sistema romano de «contramoldeado» se utilizó ampliamente en la Europa medieval y persistió en un uso limitado hasta el siglo XIX. ^{[ 27 ]} Los abacistas ricos usaban fichas decorativas acuñadas, llamadas jetones .

Debido a la reintroducción del ábaco con modificaciones por parte del Papa Silvestre II , este volvió a utilizarse ampliamente en Europa durante el siglo XI. ^{[ 30 ] [ 31 ]} Utilizaba cuentas en alambres, a diferencia de los tableros de conteo romanos tradicionales, lo que significaba que el ábaco podía usarse mucho más rápido y era más fácil de transportar. ^{[ 32 ]}

El ábaco ruso, el schoty ( en ruso : счёты , plural de ruso : счёт , contar), suele tener una sola plataforma inclinada, con diez cuentas en cada alambre (excepto un alambre con cuatro cuentas para fracciones de cuarto de rublo ). El alambre de 4 cuentas se introdujo para los cuartos de kopek , que se acuñaron hasta 1916. ^{[ 33 ]} El ábaco ruso se usa verticalmente, con cada alambre corriendo horizontalmente. Los alambres suelen estar curvados hacia arriba en el centro, para mantener las cuentas sujetas a cada lado. Se borra cuando todas las cuentas se mueven hacia la derecha. Durante la manipulación, las cuentas se mueven hacia la izquierda. Para facilitar la visualización, las dos cuentas centrales de cada alambre (la quinta y la sexta cuenta) suelen ser de un color diferente a las otras ocho. Del mismo modo, la cuenta izquierda del alambre de los millares (y del alambre del millón, si está presente) puede tener un color diferente.

El ábaco ruso se utilizaba en tiendas y mercados de toda la antigua Unión Soviética , y su uso se enseñaba en la mayoría de las escuelas hasta la década de 1990. ^{[ 34 ] [ 35 ]} Ni siquiera la invención de la calculadora mecánica , el aritmómetro Odhner , en 1874 , logró reemplazarlo en Rusia. Según Yakov Perelman , algunos empresarios que intentaban importar calculadoras al Imperio ruso se marchaban desesperados tras observar a un hábil operador de ábaco. ^{[ 36 ]} Del mismo modo, la producción en masa de aritmómetros Felix desde 1924 no redujo significativamente el uso del ábaco en la Unión Soviética . ^{[ 37 ]} El ábaco ruso comenzó a perder popularidad solo después de la producción en masa de microcalculadoras domésticas en 1974. ^{[ 38 ]}

El ábaco ruso fue introducido en Francia alrededor de 1820 por el matemático Jean-Victor Poncelet , quien había servido en el ejército de Napoleón y había sido prisionero de guerra en Rusia. ^{[ 39 ]} Para los contemporáneos franceses de Poncelet, era algo nuevo. Poncelet lo utilizó, no con fines prácticos, sino como herramienta de enseñanza y demostración. ^{[ 40 ]} Los turcos y los armenios utilizaban ábacos similares al schoty ruso. Los turcos lo llamaban coulba y los armenios choreb . ^{[ 41 ]}

La documentación escrita más antigua conocida del ábaco chino data del siglo II a. C. ^{[ 42 ]}

El ábaco chino, también conocido como suanpan (算盤/算盘, lit. "bandeja de cálculo"), viene en varias longitudes y anchos, según el operador. Generalmente tiene más de siete varillas. Hay dos cuentas en cada varilla de la plataforma superior y cinco cuentas en cada una de la plataforma inferior, para representar números en un sistema decimal codificado biquinario . Las cuentas suelen ser redondeadas y de madera dura . Las cuentas se cuentan moviéndolas hacia arriba o hacia abajo en dirección a la barra; las cuentas que se mueven hacia la barra se cuentan, mientras que las que se mueven en dirección opuesta no. ^{[ 43 ]} Una de las cuentas superiores es 5, mientras que una de las inferiores es 1. Cada varilla tiene un número debajo que indica el valor posicional. El suanpan se puede reiniciar a la posición inicial instantáneamente con un movimiento rápido a lo largo del eje horizontal para girar todas las cuentas alejándolas de la barra horizontal central.

El prototipo del ábaco chino apareció durante la dinastía Han , y sus cuentas son ovaladas. La dinastía Song y épocas anteriores utilizaron el ábaco de cuatro cuentas o de escala 1:4, similar al ábaco moderno, incluyendo la forma de las cuentas, comúnmente conocido como ábaco de estilo japonés. ^{[ 44 ]}

A principios de la dinastía Ming , el ábaco comenzó a aparecer en una proporción de 1:5. La plataforma superior tenía una cuenta y la inferior tenía cinco cuentas. ^{[ 45 ]} A finales de la dinastía Ming, los estilos de ábaco aparecieron en una proporción de 2:5. ^{[ 45 ]} La plataforma superior tenía dos cuentas y la inferior tenía cinco.

Se idearon diversas técnicas de cálculo para el suanpan que permiten realizar cálculos eficientes. Algunas escuelas enseñan a los estudiantes cómo usarlo.

En el largo rollo " A lo largo del río durante el festival Qingming" , pintado por Zhang Zeduan durante la dinastía Song (960-1297), se puede ver claramente un suanpan junto a un libro de cuentas y recetas médicas en el mostrador de una botica (Feibao).

La similitud entre el ábaco romano y el chino sugiere que uno pudo haber inspirado al otro, dada la evidencia de una relación comercial entre el Imperio Romano y China. Sin embargo, no se ha demostrado una conexión directa, y la similitud de los ábacos puede ser una coincidencia, ya que ambos surgieron en última instancia del conteo con cinco dedos por mano. Mientras que el modelo romano (como la mayoría de los ábacos coreanos y japoneses modernos ) tiene 4 más 1 cuenta por posición decimal, el suanpan estándar tiene 5 más 2. Cabe mencionar que este antiguo sistema de cálculo chino ( Shì yòng zhì ) permite el uso de un sistema numérico hexadecimal (o cualquier base hasta 18), que se utiliza para las medidas tradicionales chinas de peso ( jīn y liǎng ). En lugar de funcionar con alambres como en los modelos chinos, coreanos y japoneses, el modelo romano utilizaba ranuras, lo que presumiblemente hacía que los cálculos aritméticos fueran mucho más lentos.

Otra posible fuente del suanpan son las varillas de conteo chinas , que funcionaban con un sistema decimal pero carecían del concepto de cero como marcador de posición. ^{[ 46 ]} El cero probablemente se introdujo en China durante la dinastía Tang (618-907), cuando los viajes por el Océano Índico y Oriente Medio habrían proporcionado contacto directo con la India, lo que les permitió adquirir el concepto de cero y el punto decimal de comerciantes y matemáticos indios. ^{[ 47 ]}

En Japón, el ábaco se llama soroban (算盤, そろばん, lit. "bandeja de conteo"). Fue importado de China en el siglo XIV. ^{[ 48 ]} Probablemente fue utilizado por la clase trabajadora un siglo o más antes de que la clase dominante lo adoptara, ya que las rígidas estructuras de clase ralentizaron la difusión de tales innovaciones. ^{[ 49 ]} El ábaco 1:4, que elimina la segunda y la quinta cuenta, que rara vez se usan, se popularizó en la década de 1940.

El ábaco japonés actual es un ábaco de cuatro cuentas de tipo 1:4, introducido desde China en la era Muromachi . Adopta la forma de una cuenta en la parte superior y cuatro en la inferior. La cuenta superior de la parte superior equivalía a cinco y la inferior a una, similar a los ábacos chinos o coreanos, y permite expresar números decimales, por lo que el ábaco está diseñado como un dispositivo 1:4. Las cuentas siempre tienen forma de diamante. Generalmente se utiliza la división por cociente en lugar de la división; al mismo tiempo, para que los dígitos de la multiplicación y la división sean consistentes, se utiliza la multiplicación por división. Posteriormente, Japón tuvo un ábaco 3:5 llamado 天三算盤, que ahora se encuentra en la colección Ize Rongji de la aldea de Shansi en la ciudad de Yamagata . Japón también utilizó un ábaco de tipo 2:5.

El ábaco de cuatro cuentas se extendió y se popularizó en todo el mundo. En diversos lugares surgieron mejoras al ábaco japonés. En China, se utilizaba un ábaco con marco de aluminio y cuentas de plástico. La lima se encuentra junto a las cuatro cuentas, y al presionar el botón de "borrar" se coloca la cuenta superior en la posición superior y la inferior en la inferior.

El ábaco todavía se fabrica en Japón, a pesar de la proliferación, practicidad y asequibilidad de las calculadoras electrónicas de bolsillo . El uso del soroban todavía se enseña en las escuelas primarias japonesas como parte de las matemáticas , principalmente como ayuda para realizar cálculos mentales más rápidos. Mediante imágenes visuales, se puede completar un cálculo tan rápidamente como con un instrumento físico. ^{[ 50 ]}

El ábaco chino migró de China a Corea alrededor del año 1400  d. C. ^{[ 25 ] [ 51 ] [ 52 ]} Los coreanos llaman al ábaco jupan (주판) o supan (수판), y el acto de usar un jupan es jusan (주산). ^{[ 53 ]} El ábaco de cuatro cuentas (1:4) se introdujo durante la dinastía Goryeo . El ábaco 5:1 se introdujo en Corea desde China durante la dinastía Ming.

Algunas fuentes mencionan el uso de un ábaco llamado nepohualtzintzin en la antigua cultura azteca . ^{[ 57 ]} Este ábaco mesoamericano utilizaba un sistema de base 20 de 5 dígitos. ^{[ 58 ]} La palabra Nepōhualtzintzin (pronunciación en náhuatl: [ nepoːwaɬˈt͡sint͡sin ]) proviene del náhuatl , formada por las raíces; Ne – personal -; pōhual o pōhualli (pronunciación en náhuatl: [ ˈpoːwalːi ] – la cuenta -; y tzintzin (pronunciación en náhuatl: [ ˈt͡sint͡sin ] – pequeños elementos similares). Su significado completo se tomó como: contar con pequeños elementos similares. Su uso se enseñaba en el Calmecac a los temalpouhqueh (pronunciación en náhuatl: [ temaɬˈpoʍkeʔ ]) , quienes eran estudiantes dedicados a tomar las cuentas de los cielos, desde la infancia.

El Nepōhualtzintzin se dividía en dos partes principales separadas por una barra o cordón intermedio. En la parte izquierda había cuatro cuentas. Las cuentas de la primera fila tenían valores unitarios (1, 2, 3 y 4), y en la derecha, tres cuentas tenían valores de 5, 10 y 15, respectivamente. Para conocer el valor de las cuentas de las filas superiores, bastaba con multiplicar por 20 (por cada fila) el valor de la cuenta correspondiente en la primera fila.

El dispositivo presentaba 13 filas con 7 cuentas, 91 en total. Este era un número fundamental para esta cultura. Tenía una estrecha relación con los fenómenos naturales, el inframundo y los ciclos celestes. Un Nepōhualtzintzin (91) representaba el número de días que dura una estación del año, dos Nepōhualtzintzin (182) eran el número de días del ciclo del maíz, desde su siembra hasta su cosecha, tres Nepōhualtzintzin (273) eran el número de días de gestación de un bebé, y cuatro Nepōhualtzintzin (364) completaban un ciclo y equivalían aproximadamente a un año. Traducido a la aritmética informática moderna, el Nepōhualtzintzin equivalía a los rangos del 10 al 18 en coma flotante , que calculaba con precisión cantidades grandes y pequeñas, aunque no se permitía el redondeo.

El redescubrimiento del Nepōhualtzintzin se debió al ingeniero mexicano David Esparza Hidalgo, ^{[ 59 ]} quien en sus viajes por México encontró diversos grabados y pinturas de este instrumento y reconstruyó varios de ellos en oro, jade, incrustaciones de concha, etc. ^{[ 60 ]} Se atribuyen Nepōhualtzintzin muy antiguos a la cultura olmeca , y algunos brazaletes de origen maya , así como una diversidad de formas y materiales en otras culturas.

Sánchez escribió en Aritmética en Maya que se había encontrado otro ábaco de base 5 y base 4 en la península de Yucatán que también calculaba datos calendáricos. Se trataba de un ábaco de dedo: por un lado, se usaban los números 0, 1, 2, 3 y 4; y por el otro, los números 0, 1, 2 y 3. Nótese el uso del cero al principio y al final de ambos ciclos.

El quipu de los incas era un sistema de cuerdas anudadas de colores que se utilizaba para registrar datos numéricos, ^{[ 61 ]} como varas de conteo avanzadas , pero no para realizar cálculos. Los cálculos se realizaban con una yupana ( quechua significa "herramienta de conteo"; véase la figura), que seguía en uso tras la conquista del Perú. Se desconoce el principio de funcionamiento de la yupana, pero en 2001 el matemático italiano De Pasquale propuso una explicación. Comparando la forma de varias yupanas, los investigadores descubrieron que los cálculos se basaban en la secuencia de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5) y en potencias de 10, 20 y 40 como valores posicionales para los diferentes campos del instrumento. El uso de la secuencia de Fibonacci mantendría al mínimo el número de granos en cada campo. ^{[ 62 ]}