canal cuántico

Consideremos los canales cuánticos que transmiten únicamente información cuántica. Esto es precisamente una operación cuántica , cuyas propiedades resumimos a continuación.

Dejar${\displaystyle H_{A}}$y${\displaystyle H_{B}}$sean los espacios de estado ( espacios de Hilbert de dimensión finita ) de los extremos emisor y receptor, respectivamente, de un canal.${\displaystyle L(H_{A})}$denotará la familia de operadores en${\displaystyle H_{A}.}$En la imagen de Schrödinger , un canal puramente cuántico es un mapa${\displaystyle \Phi }$entre matrices de densidad que actúan sobre${\displaystyle H_{A}}$y${\displaystyle H_{B}}$con las siguientes propiedades: ^{[ 2 ]}

1. Como lo exigen los postulados de la mecánica cuántica,${\displaystyle \Phi }$debe ser lineal.
2. Dado que las matrices de densidad son positivas,${\displaystyle \Phi }$debe preservar el cono de elementos positivos. En otras palabras,${\displaystyle \Phi }$es un mapa positivo .
3. Si un ancila de dimensión finita arbitraria n se acopla al sistema, entonces el mapa inducido${\displaystyle I_{n}\otimes \Phi,}$donde I _n es la aplicación identidad en el ancilla, también debe ser positiva. Por lo tanto, se requiere que${\displaystyle I_{n}\otimes \Phi }$es positivo para todo n . Tales mapas se denominan completamente positivos .
4. Se especifica que las matrices de densidad tengan traza 1, por lo que${\displaystyle \Phi }$tiene que conservar el rastro.

Los adjetivos completamente positivo y que conserva la huella, utilizados para describir un mapa, a veces se abrevian como CPTP . En la literatura, a veces la cuarta propiedad se debilita de modo que${\displaystyle \Phi }$Solo se requiere que no haya incremento de traza. En este artículo, se asumirá que todos los canales son CPTP.

Las matrices de densidad que actúan sobre H _A constituyen únicamente un subconjunto propio de los operadores sobre H _A , y lo mismo puede decirse del sistema B. Sin embargo, una vez que se realiza una aplicación lineal${\displaystyle \Phi }$Se especifica entre las matrices de densidad, un argumento de linealidad estándar, junto con la suposición de dimensión finita, nos permite extender${\displaystyle \Phi }$de forma exclusiva para todo el espacio de operadores. Esto conduce al mapa adjunto.${\displaystyle \Phi ^{*}}$, que describe la acción de${\displaystyle \Phi }$en la imagen de Heisenberg : ^{[ 3 ]}

Los espacios de operadores L ( H _A ) y L ( H _B ) son espacios de Hilbert con el producto interno de Hilbert-Schmidt . Por lo tanto, al observar${\displaystyle \Phi :L(H_{A})\rightarrow L(H_{B})}$como una aplicación entre espacios de Hilbert, obtenemos su adjunto${\displaystyle \Phi }$^* dado por

${\displaystyle \langle A,\Phi (\rho )\rangle =\langle \Phi ^{*}(A),\rho \rangle .}$

Mientras${\displaystyle \Phi }$lleva estados en A a aquellos en B ,${\displaystyle \Phi ^{*}}$Esta relación mapea las observaciones del sistema B a las del sistema A. Es la misma que existe entre las descripciones de la dinámica de Schrödinger y Heisenberg. Las estadísticas de medición permanecen inalteradas, ya sea que las observaciones se consideren fijas mientras los estados se someten a operación o viceversa.

Se puede comprobar directamente que si${\displaystyle \Phi }$se supone que conserva la huella,${\displaystyle \Phi ^{*}}$es unitario , es decir,${\displaystyle \Phi ^{*}(I)=I}$. Físicamente hablando, esto significa que, en la representación de Heisenberg, la observable trivial sigue siendo trivial después de aplicar el canal.

Hasta ahora solo hemos definido un canal cuántico que transmite únicamente información cuántica. Como se indicó en la introducción, la entrada y la salida de un canal también pueden incluir información clásica. Para describir esto, la formulación dada hasta ahora necesita generalizarse un poco. Un canal puramente cuántico, en la representación de Heisenberg, es una aplicación lineal Ψ entre espacios de operadores:

${\displaystyle \Psi:L(H_{B})\rightarrow L(H_{A})}$

que es unitario y completamente positivo ( CP ). Los espacios de operadores pueden verse como C*-álgebras de dimensión finita . Por lo tanto, podemos decir que un canal es una aplicación CP unitaria entre C*-álgebras:

${\displaystyle \Psi$ :{\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {A}}.}

La información clásica puede entonces incluirse en esta formulación. Se puede suponer que los observables de un sistema clásico son un álgebra C* conmutativa, es decir, el espacio de funciones continuas.${\displaystyle C(X)}$en algún set${\displaystyle X}$Suponemos que${\displaystyle X}$es finito, por lo tanto${\displaystyle C(X)}$puede identificarse con el espacio euclidiano n -dimensional${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$con multiplicación por entradas.

Por lo tanto, en el modelo de Heisenberg, si la información clásica forma parte de, digamos, la entrada, definiríamos${\displaystyle {\mathcal {B}}}$incluir las observables clásicas relevantes. Un ejemplo de esto sería un canal

${\displaystyle \Psi :L(H_{B})\otimes C(X)\rightarrow L(H_{A}).}$

Aviso${\displaystyle L(H_{B})\otimes C(X)}$sigue siendo un álgebra C*. Un elemento${\displaystyle a}$de un álgebra C*${\displaystyle {\mathcal {A}}}$se llama positivo si${\displaystyle a=x^{*}x}$para algunos${\displaystyle x}$La positividad de un mapa se define en consecuencia. Esta caracterización no es universalmente aceptada; el instrumento cuántico se presenta a veces como el marco matemático generalizado para transmitir información tanto cuántica como clásica. En las axiomatizaciones de la mecánica cuántica, la información clásica se transporta en un álgebra de Frobenius o categoría de Frobenius .

Para un sistema puramente cuántico, la evolución temporal, en un instante t determinado , viene dada por

${\displaystyle \rho \rightarrow U\rho \;U^{*},}$

dónde${\displaystyle U=e^{-iHt/\hbar }}$y H es el hamiltoniano y t es el tiempo. Esto da un mapa CPTP en la imagen de Schrödinger y, por lo tanto, es un canal. ^{[ 4 ]} El mapa dual en la imagen de Heisenberg es

${\displaystyle A\rightarrow U^{*}AU.}$

Consideremos un sistema cuántico compuesto con espacio de estados${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}.}$Para un estado

${\displaystyle \rho \in H_{A}\otimes H_{B},}$

El estado reducido de ρ en el sistema A , ρ ^A , se obtiene tomando la traza parcial de ρ con respecto al sistema B :

${\displaystyle \rho ^{A}=\operatorname {Tr} _{B}\;\rho .}$

La operación de traza parcial es un mapa CPTP, por lo tanto, un canal cuántico en la imagen de Schrödinger. ^{[ 5 ]} En la imagen de Heisenberg, el mapa dual de este canal es

${\displaystyle A\rightarrow A\otimes I_{B},}$

donde A es una observable del sistema A.

Un observable asocia un valor numérico.${\displaystyle f_{i}\in \mathbb {C} }$a un efecto mecánico cuántico${\displaystyle F_{i}}$.${\displaystyle F_{i}}$Se supone que son operadores positivos que actúan sobre el espacio de estados apropiado y${\textstyle \sum _{i}F_{i}=I}$. (Dicha colección se denomina POVM . ^{[ 6 ] [ 7 ]} ) En la imagen de Heisenberg, el mapa observable correspondiente${\displaystyle \Psi }$mapea un observable clásico

${\displaystyle f={\begin{bmatrix}f_{1}\\\vdots \\f_{n}\end{bmatrix}}\in C(X)}$

al mecánico cuántico

${\displaystyle \;\Psi (f)=\sum _{i}f_{i}F_{i}.}$

En otras palabras, se integra f con respecto al POVM para obtener el observable mecánico cuántico. Se puede comprobar fácilmente que${\displaystyle \Psi }$es CP y unitario.

El mapa de Schrödinger correspondiente${\displaystyle \Psi ^{*}}$toma matrices de densidad a estados clásicos: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \Psi (\rho )={\begin{bmatrix}\langle F_{1},\rho \rangle \\\vdots \\\langle F_{n},\rho \rangle \end{bmatrix}},}$

donde el producto interno es el producto interno de Hilbert-Schmidt. Además, considerando los estados como funcionales normalizados e invocando el teorema de representación de Riesz , podemos establecer

${\displaystyle \Psi (\rho )={\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\\\vdots \\\rho (F_{n})\end{bmatrix}}.}$

En la representación de Schrödinger, el mapa observable tiene un álgebra de salida puramente clásica y, por lo tanto, solo describe estadísticas de medición. Para tener en cuenta también el cambio de estado, definimos lo que se denomina un instrumento cuántico . Sea${\displaystyle \{F_{1},\dots ,F_{n}\}}$sean los efectos (POVM) asociados a una observable. En la imagen de Schrödinger, un instrumento es un mapa${\displaystyle \Phi }$con entrada puramente cuántica${\displaystyle \rho \in L(H)}$y con espacio de salida${\displaystyle C(X)\otimes L(H)}$:

${\displaystyle \Phi (\rho )={\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\cdot F_{1}\\\vdots \\\rho (F_{n})\cdot F_{n}\end{bmatrix}}.}$

Dejar

${\displaystyle f={\begin{bmatrix}f_{1}\\\vdots \\f_{n}\end{bmatrix}}\in C(X).}$

El mapa dual en la imagen de Heisenberg es

${\displaystyle \Psi (f\otimes A)={\begin{bmatrix}f_{1}\Psi _{1}(A)\\\vdots \\f_{n}\Psi _{n}(A)\end{bmatrix}}}$

dónde${\displaystyle \Psi _{i}}$se define de la siguiente manera: Factor${\displaystyle F_{i}=M_{i}^{2}}$(esto siempre se puede hacer ya que los elementos de un POVM son positivos) entonces${\displaystyle \;\Psi _{i}(A)=M_{i}AM_{i}}$. Vemos que${\displaystyle \Psi }$es CP y unitario.

Observa que${\displaystyle \Psi (f\otimes I)}$da precisamente el mapa observable. El mapa

${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(A)=\sum _{i}\Psi _{i}(A)=\sum _{i}M_{i}AM_{i}}$

describe el cambio de estado general.

Supongamos que dos partes A y B desean comunicarse de la siguiente manera: A realiza la medición de una magnitud observable y comunica el resultado de la medición a B de forma clásica. Según el mensaje que recibe, B prepara su sistema (cuántico) en un estado específico. En la representación de Schrödinger, la primera parte del canal${\displaystyle \Phi }$₁ consiste simplemente en que A realiza una medición, es decir, es el mapa observable:

${\displaystyle \;\Phi _{1}(\rho )={\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\\\vdots \\\rho (F_{n})\end{bmatrix}}.}$

Si, en caso de que se produzca el i -ésimo resultado de la medición, B prepara su sistema en el estado R _i , la segunda parte del canal${\displaystyle \Phi }$₂ traslada el estado clásico anterior a la matriz de densidad.

${\displaystyle \Phi _{2}\left({\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\\\vdots \\\rho (F_{n})\end{bmatrix}}\right)=\sum _{i}\rho (F_{i})R_{i}.}$

La operación total es la composición

${\displaystyle \Phi (\rho )=\Phi _{2}\circ \Phi _{1}(\rho )=\sum _{i}\rho (F_{i})R_{i}.}$

Los canales de esta forma se denominan de medición y preparación o de ruptura de enredos. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

En la imagen de Heisenberg, el mapa dual${\displaystyle \Phi ^{*}=\Phi _{1}^{*}\circ \Phi _{2}^{*}}$se define por

${\displaystyle \;\Phi ^{*}(A)=\sum _{i}R_{i}(A)F_{i}.}$

Un canal de medición y preparación no puede ser el mapa identidad. Esta es precisamente la afirmación del teorema de no teletransportación , que establece que la teletransportación clásica (que no debe confundirse con la teletransportación asistida por entrelazamiento ) es imposible. En otras palabras, un estado cuántico no puede medirse de forma fiable.

En la dualidad canal-estado , un canal es de medición y preparación si y solo si el estado correspondiente es separable . De hecho, todos los estados que resultan de la acción parcial de un canal de medición y preparación son separables, razón por la cual los canales de medición y preparación también se conocen como canales que rompen el entrelazamiento.

Consideremos el caso de un canal puramente cuántico.${\displaystyle \Psi }$en la imagen de Heisenberg. Con el supuesto de que todo es de dimensión finita,${\displaystyle \Psi }$es una aplicación CP unitaria entre espacios de matrices

${\displaystyle \Psi$ :\mathbb {C} ^{n\times n}\rightarrow \mathbb {C} ^{m\times m}.}

Según el teorema de Choi sobre mapas completamente positivos ,${\displaystyle \Psi }$debe tomar la forma

${\displaystyle \Psi (A)=\sum _{i=1}^{N}K_{i}AK_{i}^{*}}$

donde N ≤ nm . Las matrices K _i se denominan operadores de Kraus de${\displaystyle \Psi }$(en honor al físico alemán Karl Kraus , quien los introdujo). ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]} El número mínimo de operadores de Kraus se denomina rango de Kraus de${\displaystyle \Psi }$Un canal con rango de Kraus 1 se denomina puro . La evolución temporal es un ejemplo de canal puro. Esta terminología proviene de la dualidad canal-estado. Un canal es puro si y solo si su estado dual es un estado puro.

En la teletransportación cuántica , un emisor desea transmitir un estado cuántico arbitrario de una partícula a un receptor posiblemente distante. Por consiguiente, el proceso de teletransportación constituye un canal cuántico. El aparato para el proceso en sí requiere un canal cuántico para la transmisión de una partícula de un estado entrelazado al receptor. La teletransportación se produce mediante una medición conjunta de la partícula enviada y la partícula entrelazada restante. Esta medición genera información clásica que debe enviarse al receptor para completar la teletransportación. Es importante destacar que la información clásica puede enviarse incluso después de que el canal cuántico haya dejado de existir.

Antes de dar la definición de capacidad de canal, es necesario discutir la noción preliminar de la norma de acotación completa , o norma cb de un canal. Al considerar la capacidad de un canal${\displaystyle \Phi }$, necesitamos compararlo con un "canal ideal"${\displaystyle \Lambda }$. Por ejemplo, cuando las álgebras de entrada y salida son idénticas, podemos elegir${\displaystyle \Lambda }$ser el mapa identidad. Tal comparación requiere una métrica entre canales. Dado que un canal puede verse como un operador lineal, es tentador usar la norma del operador natural . En otras palabras, la cercanía de${\displaystyle \Phi }$al canal ideal${\displaystyle \Lambda }$puede definirse por

${\displaystyle \|\Phi -\Lambda \|=\sup\{\|(\Phi -\Lambda )(A)\|\;|\;\|A\|\leq 1\}.}$

Sin embargo, la norma del operador puede aumentar cuando tensamos${\displaystyle \Phi }$con el mapa identidad en algún ancilla.

Para hacer que la norma del operador sea un candidato aún más indeseable, la cantidad

${\displaystyle \|\Phi \otimes I_{n}\|}$

puede aumentar sin límite a medida que${\displaystyle n\rightarrow \infty .}$La solución consiste en introducir, para cualquier mapa lineal${\displaystyle \Phi }$entre C*-álgebras, la norma cb

${\displaystyle \|\Phi \|_{cb}=\sup _{n}\|\Phi \otimes I_{n}\|.}$

El modelo matemático de canal utilizado aquí es el mismo que el clásico .

Dejar${\displaystyle \Psi$ :{\mathcal {B}}_{1}\rightarrow {\mathcal {A}}_{1}} sea un canal en la imagen de Heisenberg y${\displaystyle \Psi _{id}:{\mathcal {B}}_{2}\rightarrow {\mathcal {A}}_{2}}$ser un canal ideal elegido. Para que la comparación sea posible, es necesario codificar y decodificar Φ a través de dispositivos apropiados, es decir, consideramos la composición

${\displaystyle {\hat {\Psi }}=D\circ \Phi \circ E:{\mathcal {B}}_{2}\rightarrow {\mathcal {A}}_{2}}$

donde E es un codificador y D es un decodificador. En este contexto, E y D son mapas CP unitarios con dominios apropiados. La cantidad de interés es el mejor escenario posible :

${\displaystyle \Delta ({\hat {\Psi }},\Psi _{id})=\inf _{E,D}\|{\hat {\Psi }}-\Psi _{id}\|_{cb}}$

con el ínfimo siendo tomado sobre todos los codificadores y decodificadores posibles.

Para transmitir palabras de longitud n , el canal ideal debe aplicarse n veces, por lo que consideramos la potencia tensorial.

${\displaystyle \Psi _{id}^{\otimes n}=\Psi _{id}\otimes \cdots \otimes \Psi _{id}.}$

El${\displaystyle \otimes }$La operación describe n entradas que están siendo sometidas a la operación.${\displaystyle \Psi _{id}}$de forma independiente y es la contraparte mecánica cuántica de la concatenación . De manera similar, m invocaciones del canal corresponden a${\displaystyle {\hat {\Psi }}^{\otimes m}}$.

La cantidad

${\displaystyle \Delta ({\hat {\Psi }}^{\otimes m},\Psi _{id}^{\otimes n})}$

es, por lo tanto, una medida de la capacidad del canal para transmitir palabras de longitud n fielmente al ser invocado m veces.

Esto nos lleva a la siguiente definición:

Un número real no negativo r es una tasa alcanzable de${\displaystyle \Psi }$con respecto a${\displaystyle \Psi _{id}}$si

Para todas las secuencias${\displaystyle \{n_{\alpha }\},\{m_{\alpha }\}\subset \mathbb {N} }$dónde${\displaystyle m_{\alpha }\rightarrow \infty }$y${\displaystyle \lim \sup _{\alpha }(n_{\alpha }/m_{\alpha })<r}$, tenemos

${\displaystyle \lim _{\alpha }\Delta ({\hat {\Psi }}^{\otimes m_{\alpha }},\Psi _{id}^{\otimes n_{\alpha }})=0.}$

Una secuencia${\displaystyle \{n_{\alpha }\}}$Se puede interpretar como la representación de un mensaje que consta de un número posiblemente infinito de palabras. La condición de límite supremo en la definición establece que, en el límite, se puede lograr una transmisión fiel invocando el canal no más de r veces la longitud de una palabra. También se puede decir que r es el número de letras por invocación del canal que se pueden enviar sin error.

La capacidad del canal de${\displaystyle \Psi }$con respecto a${\displaystyle \Psi _{id}}$, denotado por${\displaystyle \;C(\Psi ,\Psi _{id})}$es el supremo de todas las tasas alcanzables.

Según la definición, es una verdad trivial que 0 es una tasa alcanzable para cualquier canal.

Como se indicó anteriormente, para un sistema con álgebra observable${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, el canal ideal${\displaystyle \Psi _{id}}$es por definición el mapa identidad${\displaystyle I_{\mathcal {B}}}$Por lo tanto, para un sistema cuántico puramente n- dimensional, el canal ideal es la aplicación identidad en el espacio de matrices n  × n. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$. Como un ligero abuso de notación, este canal cuántico ideal también se denotará por${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$. De manera similar, un sistema clásico con álgebra de salida${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$tendrá un canal ideal denotado por el mismo símbolo. Ahora podemos enunciar algunas capacidades fundamentales del canal.

La capacidad del canal del canal ideal clásico${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$con respecto a un canal ideal cuántico${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$es

${\displaystyle C(\mathbb {C} ^{m},\mathbb {C} ^{n\times n})=0.}$

Esto equivale al teorema de no teletransportación: es imposible transmitir información cuántica a través de un canal clásico.

Además, se cumplen las siguientes igualdades:

${\displaystyle C(\mathbb {C} ^{m},\mathbb {C} ^{n})=C(\mathbb {C} ^{m\times m},\mathbb {C} ^{n\times n})=C(\mathbb {C} ^{m\times m},\mathbb {C} ^{n})={\frac {\log n}{\log m}}.}$

Lo anterior indica, por ejemplo, que un canal cuántico ideal no es más eficiente para transmitir información clásica que un canal clásico ideal. Cuando n = m , lo mejor que se puede lograr es un bit por cúbit .

Cabe destacar que ambos límites de capacidad mencionados anteriormente pueden superarse mediante el entrelazamiento cuántico . El esquema de teletransportación asistida por entrelazamiento permite transmitir información cuántica utilizando un canal clásico. La codificación superdensa alcanza dos bits por cúbit. Estos resultados evidencian el papel fundamental del entrelazamiento en la comunicación cuántica.

Utilizando la misma notación que en la subsección anterior, la capacidad clásica de un canal Ψ es

${\displaystyle C(\Psi ,\mathbb {C} ^{2}),}$

es decir, es la capacidad de Ψ con respecto al canal ideal en el sistema clásico de un bit.${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$.

De manera similar, la capacidad cuántica de Ψ es

${\displaystyle C(\Psi ,\mathbb {C} ^{2\times 2}),}$

donde el sistema de referencia es ahora el sistema de un cúbit${\displaystyle \mathbb {C} ^{2\times 2}}$.