producto cruzado

La dirección del vector n depende de la orientación elegida del espacio. Convencionalmente, se define mediante la regla de la mano derecha, donde simplemente se apunta el índice de la mano derecha hacia a y el dedo medio hacia b . Entonces, el vector n sale del pulgar (véase la imagen adjunta). El uso de esta regla implica que el producto vectorial es anticonmutativo ; es decir, b × a = −( a × b ) . Al apuntar primero el índice hacia b y luego el dedo medio hacia a , el pulgar se verá forzado a moverse en la dirección opuesta, invirtiendo el signo del vector producto.

Como el operador de producto vectorial depende de la orientación del espacio, en general el producto vectorial de dos vectores no es un vector "verdadero", sino un pseudovector .

Si${\displaystyle (\mathbf {\color {azul}{i}} ,\mathbf {\color {rojo}{j}} ,\mathbf {\color {verde}{k}} )}$es una base ortonormal orientada positivamente , los vectores base satisfacen las siguientes igualdades ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbf {\color {blue}{i}} &\times \mathbf {\color {red}{j}} &&=\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {\color {red}{j}} &\times \mathbf {\color {green}{k}} &&=\mathbf {\color {blue}{i}} \\\mathbf {\color {green}{k}} &\times \mathbf {\color {blue}{i}} &&=\mathbf {\color {red}{j}} \end{alignedat}}}$$ Una regla mnemotécnica para estas fórmulas es que pueden deducirse de cualquier otra mediante una permutación cíclica de los vectores base. Esta regla también se aplica a muchas de las fórmulas presentadas en este artículo.

La anticonmutatividad del producto cruzado implica que $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbf {\color {red}{j}} &\times \mathbf {\color {blue}{i}} &&=-\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {\color {green}{k}} &\times \mathbf {\color {red}{j}} &&=-\mathbf {\color {blue}{i}} \\\mathbf {\color {blue}{i}} &\times \mathbf {\color {green}{k}} &&=-\mathbf {\color {red}{j}} \end{alignedat}}}$$

La anticonmutatividad del producto cruzado (y la obvia falta de independencia lineal) también implica que $${\displaystyle \mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} =\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {red}{j}} =\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {green}{k}} =\mathbf {0} }$$(el vector cero ).

Estas igualdades, junto con la distributividad y la linealidad del producto vectorial (aunque ninguna de ellas se deduce fácilmente de la definición anterior), son suficientes para determinar el producto vectorial de dos vectores cualesquiera a y b . Cada vector puede definirse como la suma de tres componentes ortogonales paralelas a los vectores base estándar: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} &&+a_{2}\mathbf {\color {red}{j}} &&+a_{3}\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} &&+b_{2}\mathbf {\color {red}{j}} &&+b_{3}\mathbf {\color {green}{k}} \end{alignedat}}}$$

Su producto vectorial a × b puede expandirse utilizando la propiedad distributiva: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={}&(a_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} +a_{2}\mathbf {\color {red}{j}} +a_{3}\mathbf {\color {green}{k}} )\times (b_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} +b_{2}\mathbf {\color {red}{j}} +b_{3}\mathbf {\color {green}{k}} )\\[1ex]={}&a_{1}b_{1}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{1}b_{2}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{1}b_{3}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )+{}\\&a_{2}b_{1}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{2}b_{2}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{2}b_{3}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )+{}\\&a_{3}b_{1}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{3}b_{2}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{3}b_{3}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )\\\end{aligned}}}$$

Esto puede interpretarse como la descomposición de a × b en la suma de nueve productos vectoriales más simples que involucran vectores alineados con i , j o ​​k . Cada uno de estos nueve productos vectoriales opera sobre dos vectores que son fáciles de manejar, ya que son paralelos u ortogonales entre sí. A partir de esta descomposición, utilizando las igualdades mencionadas anteriormente y agrupando términos similares, obtenemos: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={}&\quad \ a_{1}b_{1}\mathbf {0} +a_{1}b_{2}\mathbf {\color {green}{k}} -a_{1}b_{3}\mathbf {\color {red}{j}} \\&-a_{2}b_{1}\mathbf {\color {green}{k}} +a_{2}b_{2}\mathbf {0} +a_{2}b_{3}\mathbf {\color {blue}{i}} \\&+a_{3}b_{1}\mathbf {\color {red}{j}} \ -a_{3}b_{2}\mathbf {\color {blue}{i}} \ +a_{3}b_{3}\mathbf {0} \\[1ex]={}&(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {\color {blue}{i}} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {\color {red}{j}} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {\color {green}{k}} \end{aligned}}}$$

lo que significa que los tres componentes escalares del vector resultante s = s ₁ i + s ₂ j + s ₃ k = a × b son $${\displaystyle {\begin{aligned}s_{1}&=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\s_{2}&=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\s_{3}&=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{aligned}}}$$

Utilizando vectores columna , podemos representar el mismo resultado de la siguiente manera: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}s_{1}\\s_{2}\\s_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{bmatrix}}}$$

El producto cruzado también puede expresarse como el determinante formal : ^{[ nota 1 ] [ 1 ]}

$${\displaystyle \mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}}$$

Este determinante se puede calcular utilizando la regla de Sarrus o la expansión de cofactores . Utilizando la regla de Sarrus, se expande a $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=(a_{2}b_{3}\mathbf {i} +a_{3}b_{1}\mathbf {j} +a_{1}b_{2}\mathbf {k} )-(a_{3}b_{2}\mathbf {i} +a_{1}b_{3}\mathbf {j} +a_{2}b_{1}\mathbf {k} )\\&=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} -(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} .\end{aligned}}}$$

lo que proporciona directamente los componentes del vector resultante.

• En cualquier caso, el producto cruzado${\displaystyle a\times b}$viene dada por la fórmula tensorial${\displaystyle E_{ijk}a^{i}b^{j}}$dónde${\displaystyle E_{ijk}}$es el tensor covariante de Levi-Civita (observamos la posición de los índices). Esto corresponde a la fórmula intrínseca dada aquí .
• En una base ortonormal que tiene la misma orientación que el espacio ,${\displaystyle a\times b}$viene dada por la fórmula pseudotensorial${\displaystyle \varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}}$dónde${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$es el símbolo de Levi-Civita (que es un pseudotensor). Esa es la fórmula que se usa en la física cotidiana, pero solo funciona para esta base específica.
• En cualquier base ortonormal,${\displaystyle a\times b}$viene dada por la fórmula pseudotensorial${\displaystyle (-1)^{B}\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}}$dónde${\displaystyle (-1)^{B}=\pm 1}$indica si la base tiene la misma orientación que el espacio o no.

Esta última fórmula evita tener que cambiar la orientación del espacio cuando invertimos una base ortonormal.

La magnitud del producto vectorial puede interpretarse como el área positiva del paralelogramo que tiene lados a y b (véase la Figura 1): ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left|\sin \theta \right|.}$$

De hecho, también se puede calcular el volumen V de un paralelepípedo que tiene a , b y c como aristas utilizando una combinación de un producto vectorial y un producto escalar, llamado producto triple escalar (véase la figura 2):

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}$$

Dado que el resultado del triple producto escalar puede ser negativo, el volumen del paralelepípedo viene dado por su valor absoluto:

$${\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|.}$$

Dado que la magnitud del producto vectorial es proporcional al seno del ángulo entre sus argumentos, puede considerarse una medida de perpendicularidad , al igual que el producto escalar mide el paralelismo . Para dos vectores unitarios , su producto vectorial tiene una magnitud de 1 si son perpendiculares y de cero si son paralelos. El producto escalar de dos vectores unitarios se comporta de forma opuesta: es cero cuando son perpendiculares y 1 si son paralelos.

Los vectores unitarios permiten dos identidades útiles: el producto escalar de dos vectores unitarios da como resultado el coseno (que puede ser positivo o negativo) del ángulo entre ellos. La magnitud del producto vectorial de los dos vectores unitarios da como resultado el seno (que siempre será positivo).

Si el producto vectorial de dos vectores es el vector cero (es decir, a × b = 0 ), entonces una o ambas entradas son el vector cero ( a = 0 o b = 0 ), o bien son paralelas o antiparalelas ( a ∥ b ) de modo que el seno del ángulo entre ellas es cero ( θ = 0° o θ = 180° y sen θ = 0  ).

El producto vectorial de un vector consigo mismo es el vector cero: $${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {a} =\mathbf {0} .}$$ El producto cruzado es anticonmutativo , $${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} ),}$$distributiva sobre la suma, $${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \times \mathbf {c} ),}$$ y compatible con la multiplicación escalar de modo que $${\displaystyle (r\,\mathbf {a} )\times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times (r\,\mathbf {b} )=r\,(\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}$$

No es asociativo , pero satisface la identidad de Jacobi : $${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0} .}$$ La distributividad, la linealidad y la identidad de Jacobi muestran que el espacio vectorial R³ junto con la suma de vectores y el producto vectorial forman un ^álgebra de Lie , el álgebra de Lie del grupo ortogonal real en 3 dimensiones, SO(3) . El producto vectorial no obedece la ley de cancelación ; es decir, a × b = a × c con a ≠ 0 no implica b = c , sino solo que: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {0} &=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )-(\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=\mathbf {a} \times (\mathbf {b} -\mathbf {c} ).\end{aligned}}}$$

Esto puede ocurrir cuando b y c se cancelan, pero además cuando a y b − c son paralelas; es decir, están relacionadas por un factor de escala t , lo que lleva a: $${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {b} +t\,\mathbf {a} ,}$$ para algún escalar t .

Si, además de a × b = a × c y a ≠ 0 como se indicó anteriormente, se cumple que a ⋅ b = a ⋅ c entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} -\mathbf {c} )&=\mathbf {0} \\\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} -\mathbf {c} )&=0,\end{aligned}}}$$ Como b − c no puede ser simultáneamente paralelo (para que el producto vectorial sea 0 ) y perpendicular (para que el producto escalar sea 0) a a , debe darse el caso de que b y c se cancelen: b = c .

Desde la definición geométrica, el producto vectorial es invariante bajo rotaciones propias alrededor del eje definido por a × b . En fórmulas: $${\displaystyle (R\mathbf {a} )\times (R\mathbf {b} )=R(\mathbf {a} \times \mathbf {b} ),}$$dónde${\displaystyle R}$es una matriz de rotación con${\displaystyle \det(R)=1}$.

En términos más generales, el producto vectorial obedece la siguiente identidad bajo transformaciones matriciales :$${\displaystyle (M\mathbf {a} )\times (M\mathbf {b} )=(\det M)\left(M^{-1}\right)^{\mathrm {T} }(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\operatorname {cof} M(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$$ dónde${\displaystyle M}$es una matriz de 3 por 3 y${\displaystyle \left(M^{-1}\right)^{\mathrm {T} }}$es la transpuesta de la inversa y${\displaystyle \operatorname {cof} }$es la matriz de cofactores. Se puede ver fácilmente cómo esta fórmula se reduce a la anterior si${\displaystyle M}$es una matriz de rotación. Si${\displaystyle M}$es una matriz simétrica de 3x3 aplicada a un producto vectorial genérico${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$Se cumple la siguiente relación: $${\displaystyle M(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\operatorname {Tr} (M)(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )-\mathbf {a} \times M\mathbf {b} +\mathbf {b} \times M\mathbf {a} }$$ El producto vectorial de dos vectores se encuentra en el espacio nulo de la matriz de 2 × 3 con los vectores como filas: $${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} \in NS\left({\begin{bmatrix}\mathbf {a} \\\mathbf {b} \end{bmatrix}}\right).}$$ Para la suma de dos productos cruzados, se cumple la siguiente identidad: $${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {c} \times \mathbf {d} =(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\times (\mathbf {b} -\mathbf {d} )+\mathbf {a} \times \mathbf {d} +\mathbf {c} \times \mathbf {b} .}$$

La regla del producto del cálculo diferencial se aplica a cualquier operación bilineal y, por lo tanto, también al producto vectorial: $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times {\frac {d\mathbf {b} }{dt}},}$$

donde a y b son vectores que dependen de la variable real t .

El producto vectorial se utiliza en ambas formas del producto triple. El producto triple escalar de tres vectores se define como

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ),}$$

Es el volumen con signo del paralelepípedo con aristas a , b y c , y como tal, los vectores pueden usarse en cualquier orden que sea una permutación par del orden anterior. Por lo tanto, los siguientes son iguales:

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ),}$$

El producto triple de vectores es el producto vectorial de un vector con el resultado de otro producto vectorial, y está relacionado con el producto escalar mediante la siguiente fórmula.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {b} (\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )-\mathbf {a} (\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\end{aligned}}}$$

La regla mnemotécnica "BAC menos CAB" se utiliza para recordar el orden de los vectores en el miembro derecho. Esta fórmula se utiliza en física para simplificar los cálculos vectoriales. Un caso especial, relativo a gradientes y útil en cálculo vectorial , es $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} \\&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-\nabla ^{2}\mathbf {f} ,\\\end{aligned}}}$$

donde ∇ ² es el operador laplaciano vectorial .

Otras identidades relacionan el producto vectorial con el producto triple escalar: $${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )&=(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\mathbf {a} \\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )&=\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\left(\left(\mathbf {c} ^{\mathrm {T} }\mathbf {a} \right)I-\mathbf {c} \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\right)\mathbf {d} \\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\end{aligned}}}$$

donde I es la matriz identidad .

El producto vectorial y el producto escalar están relacionados por: $${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.}$$

El lado derecho es el determinante de Gram de a y b , el cuadrado del área del paralelogramo definido por los vectores. Esta condición determina la magnitud del producto vectorial. Es decir, dado que el producto escalar se define, en términos del ángulo θ entre los dos vectores, como:

$${\displaystyle \mathbf {a\cdot b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,}$$

La relación dada anteriormente se puede reescribir de la siguiente manera:

$${\displaystyle \left\|\mathbf {a\times b} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\left(1-\cos ^{2}\theta \right).}$$

Invocando la identidad trigonométrica pitagórica se obtiene: $${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left|\sin \theta \right|,}$$

que es la magnitud del producto vectorial expresado en términos de θ , igual al área del paralelogramo definido por a y b (ver definición anterior).

La combinación de este requisito y la propiedad de que el producto vectorial sea ortogonal a sus componentes a y b proporciona una definición alternativa del producto vectorial. ^{[ 13 ]}

Dados dos vectores a y c con a ≠ 0 , la ecuación a × b = c admite soluciones para b si y solo si a es ortogonal a c (es decir, si a ⋅ c = 0 ). En ese caso, existe una familia infinita de soluciones para b , que son: $${\displaystyle \mathbf {b} ={\frac {\mathbf {c} \times \mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}}}+t\mathbf {a} ,}$$ donde t es una constante arbitraria.

Esto se puede derivar utilizando la expansión del triple producto: $${\displaystyle \mathbf {c} \times \mathbf {a} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} }$$ Reordena para despejar b y obtener $${\displaystyle \mathbf {b} ={\frac {\mathbf {c} \times \mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}}}+{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}}}\mathbf {a} }$$ El coeficiente del último término se puede simplificar a la constante arbitraria t para obtener el resultado que se muestra arriba.

El producto vectorial también puede expresarse como el producto de una matriz antisimétrica y un vector: ^{[ 16 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} &={\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,a_{2}\\\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}\\\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={[\mathbf {b} ]_{\times }}^{\mathrm {\!\!T} }\mathbf {a} &={\begin{bmatrix}\,0&\,\,b_{3}&\!-b_{2}\\-b_{3}&0&\,\,b_{1}\\\,\,b_{2}&\!-b_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$$ donde el superíndice ^T se refiere a la operación de transposición , y [ a ] _​​× se define por $${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }{\stackrel {\rm {def}}{=}}{\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}}.}$$

Las columnas [ a ] _​​×,i de la matriz antisimétrica para un vector a también se pueden obtener calculando el producto vectorial con vectores unitarios . Es decir, $${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times ,i}=\mathbf {a} \times \mathbf {{\hat {e}}_{i}} ,\;i\in \{1,2,3\}}$$ o $${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }=\sum _{i=1}^{3}\left(\mathbf {a} \times \mathbf {{\hat {e}}_{i}} \right)\otimes \mathbf {{\hat {e}}_{i}} ,}$$ dónde${\displaystyle \otimes }$es el operador del producto externo .

Además, si a se expresa como un producto vectorial: $${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {c} \times \mathbf {d} }$$ entonces $${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {d} \mathbf {c} ^{\mathrm {T} }-\mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} }.}$$

Este resultado puede generalizarse a dimensiones superiores mediante álgebra geométrica . En particular, en cualquier dimensión, los bivectores pueden identificarse con matrices antisimétricas, por lo que el producto entre una matriz antisimétrica y un vector es equivalente a la parte de grado 1 del producto de un bivector y un vector. ^{[ 18 ]} En tres dimensiones, los bivectores son duales a los vectores, por lo que el producto es equivalente al producto vectorial, con el bivector en lugar de su vector dual. En dimensiones superiores, el producto aún puede calcularse, pero los bivectores tienen más grados de libertad y no son equivalentes a los vectores. ^{[ 18 ]}

Esta notación también suele ser mucho más fácil de usar, por ejemplo, en geometría epipolar .

De las propiedades generales del producto vectorial se deduce inmediatamente que$${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {a} =\mathbf {0} }$$ y $${\displaystyle \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\,[\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {0} }$$ y del hecho de que [ a ] _​​× es antisimétrico se deduce que $${\displaystyle \mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\,[\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {b} =0.}$$

La expansión del triple producto mencionada anteriormente (regla bac–cab) se puede demostrar fácilmente utilizando esta notación.

Como se mencionó anteriormente, el álgebra de Lie ^R³ con producto vectorial es isomorfa al álgebra de Lie so(3) , cuyos elementos pueden identificarse con las matrices antisimétricas de 3×3. La aplicación ^a → [ a ] _× proporciona un isomorfismo entre R³ y so(3) . Bajo esta aplicación, el producto vectorial de 3 vectores corresponde al conmutador de matrices antisimétricas de 3×3.

El producto vectorial puede definirse alternativamente en términos del tensor de Levi-Civita E _ijk y un producto escalar η ^mi , que son útiles para convertir la notación vectorial para aplicaciones tensoriales:

$${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a\times b} \Leftrightarrow \ c^{m}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\eta ^{mi}E_{ijk}a^{j}b^{k}}$$

donde los índices${\displaystyle i,j,k}$corresponden a componentes vectoriales. Esta caracterización del producto vectorial se expresa a menudo de forma más compacta utilizando la convención de suma de Einstein como $${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a\times b} \Leftrightarrow \ c^{m}=\eta ^{mi}E_{ijk}a^{j}b^{k}}$$

en la que los índices repetidos se suman sobre los valores del 1 al 3.

En una base ortonormal orientada positivamente η ^mi = δ ^mi (la delta de Kronecker ) y${\displaystyle E_{ijk}=\varepsilon _{ijk}}$(el símbolo de Levi-Civita ). En ese caso, esta representación es otra forma de la representación antisimétrica del producto vectorial:

$${\displaystyle [\varepsilon _{ijk}a^{j}]=[\mathbf {a} ]_{\times }.}$$

En mecánica clásica : representar el producto vectorial mediante el símbolo de Levi-Civita puede hacer evidentes las simetrías mecánicas cuando los sistemas físicos son isótropos . (Por ejemplo: considérese una partícula en un potencial de la ley de Hooke en el espacio tridimensional, libre para oscilar en tres dimensiones; ninguna de estas dimensiones es "especial" en ningún sentido, por lo que las simetrías residen en el momento angular representado por el producto vectorial, que se hacen evidentes mediante la representación de Levi-Civita mencionada anteriormente).

La palabra "xyzzy" puede usarse para recordar la definición del producto cruzado.

Si

$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {b} \times \mathbf {c} }$$

dónde:

$${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}},\ \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}},\ \mathbf {c} ={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}}$$

entonces:

$${\displaystyle a_{x}=b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y}}$$$${\displaystyle a_{y}=b_{z}c_{x}-b_{x}c_{z}}$$$${\displaystyle a_{z}=b_{x}c_{y}-b_{y}c_{x}.}$$

La segunda y la tercera ecuación se pueden obtener de la primera simplemente rotando verticalmente los subíndices, x → y → z → x . El problema, por supuesto, es cómo recordar la primera ecuación, y hay dos opciones disponibles para este propósito: o bien recordar las dos diagonales relevantes del esquema de Sarrus (las que contienen i ), o bien recordar la secuencia xyzzy.

Dado que la primera diagonal en el esquema de Sarrus es simplemente la diagonal principal de la matriz 3×3 mencionada anteriormente , las tres primeras letras de la palabra xyzzy se pueden recordar muy fácilmente.

De forma similar al recurso mnemotécnico anterior, se puede visualizar una "cruz" o una X entre los dos vectores de la ecuación. Esto puede ser útil para recordar la fórmula correcta del producto vectorial.

Si

$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {b} \times \mathbf {c} }$$

entonces:

$${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}.}$$

Si queremos obtener la fórmula para${\displaystyle a_{x}}$simplemente dejamos caer el${\displaystyle b_{x}}$y${\displaystyle c_{x}}$de la fórmula, y toma los dos componentes siguientes:

$${\displaystyle a_{x}={\begin{bmatrix}b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}.}$$

Cuando haga esto para${\displaystyle a_{y}}$Los dos elementos siguientes hacia abajo deben "envolver" la matriz de modo que después del componente z venga el componente x. Para mayor claridad, al realizar esta operación para${\displaystyle a_{y}}$, los siguientes dos componentes deberían ser z y x (en ese orden). Mientras que para${\displaystyle a_{z}}$Los dos componentes siguientes deben tomarse como x e y.

$${\displaystyle a_{y}={\begin{bmatrix}b_{z}\\b_{x}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{z}\\c_{x}\end{bmatrix}},\ a_{z}={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\end{bmatrix}}}$$

Para${\displaystyle a_{x}}$Entonces, si visualizamos el operador de cruz como un operador que apunta de un elemento de la izquierda a un elemento de la derecha, podemos tomar el primer elemento de la izquierda y simplemente multiplicarlo por el elemento al que apunta la cruz en la matriz de la derecha. Luego restamos el siguiente elemento de la izquierda, multiplicado también por el elemento al que apunta la cruz aquí. Esto da como resultado nuestra matriz.${\displaystyle a_{x}}$fórmula –

$${\displaystyle a_{x}=b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y}.}$$

Podemos hacerlo de la misma manera para${\displaystyle a_{y}}$y${\displaystyle a_{z}}$para construir sus fórmulas asociadas.

El producto vectorial aparece en el cálculo de la distancia entre dos líneas oblicuas (líneas que no están en el mismo plano) en el espacio tridimensional.

El producto vectorial se puede utilizar para calcular la normal de un triángulo o polígono, una operación frecuente en gráficos por computadora . Por ejemplo, el giro de un polígono (en sentido horario o antihorario) alrededor de un punto dentro del polígono se puede calcular triangulando el polígono (como si se tratara de radios en una rueda) y sumando los ángulos (entre los radios) utilizando el producto vectorial para mantener el signo de cada ángulo.

En geometría computacional del plano , el producto vectorial se utiliza para determinar el signo del ángulo agudo definido por tres puntos.${\displaystyle p_{1}=(x_{1},y_{1}),p_{2}=(x_{2},y_{2})}$y${\displaystyle p_{3}=(x_{3},y_{3})}$Corresponde a la dirección (hacia arriba o hacia abajo) del producto vectorial de los dos vectores coplanares definidos por los dos pares de puntos.${\displaystyle (p_{1},p_{2})}$y${\displaystyle (p_{1},p_{3})}$. El signo del ángulo agudo es el signo de la expresión $${\displaystyle P=(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x_{3}-x_{1}),}$$ que es la longitud con signo del producto vectorial de los dos vectores. Para usar el producto vectorial, simplemente se extienden los vectores 2D.${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3}}$a vectores 3D coplanares mediante la configuración${\displaystyle z_{k}=0}$para cada uno de ellos.

En el sistema de coordenadas "diestro", si el resultado es 0, los puntos son colineales ; si es positivo, los tres puntos forman un ángulo de rotación positivo alrededor del eje Y.${\displaystyle p_{1}}$de${\displaystyle p_{2}}$a${\displaystyle p_{3}}$, de lo contrario un ángulo negativo. Desde otro punto de vista, el signo de${\displaystyle P}$indica si${\displaystyle p_{3}}$se encuentra a la izquierda o a la derecha de la línea${\displaystyle p_{1},p_{2}.}$

El producto vectorial se utiliza para calcular el volumen de un poliedro, como un tetraedro o un paralelepípedo .

El momento angular L de una partícula respecto a un origen dado se define como:

$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} ,}$$

donde r es el vector de posición de la partícula con respecto al origen, y p es el momento lineal de la partícula.

De la misma manera, el momento M de una fuerza F _B aplicada en el punto B alrededor del punto A se expresa como:

$${\displaystyle \mathbf {M} _{\mathrm {A} }=\mathbf {r} _{\mathrm {AB} }\times \mathbf {F} _{\mathrm {B} }\,}$$

En mecánica, el momento de una fuerza también se llama torque y se escribe como${\displaystyle \mathbf {\tau } }$

Dado que la posición r , el momento lineal p y la fuerza F son todos vectores verdaderos , tanto el momento angular L como el momento de una fuerza M son pseudovectores o vectores axiales .

El producto vectorial aparece con frecuencia en la descripción de movimientos rígidos. Dos puntos P y Q en un cuerpo rígido pueden relacionarse mediante:

$${\displaystyle \mathbf {v} _{P}-\mathbf {v} _{Q}={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q}\right)\,}$$

dónde${\displaystyle \mathbf {r} }$es la posición del punto,${\displaystyle \mathbf {v} }$es su velocidad y${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$es la velocidad angular del cuerpo .

Desde la posición${\displaystyle \mathbf {r} }$y velocidad${\displaystyle \mathbf {v} }$son vectores verdaderos , la velocidad angular${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$es un pseudovector o vector axial .

El producto vectorial se utiliza para describir la fuerza de Lorentz experimentada por una carga eléctrica en movimiento q _e :$${\displaystyle \mathbf {F} =q_{e}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$$

Dado que la velocidad v , la fuerza F y el campo eléctrico E son todos vectores verdaderos , el campo magnético B es un pseudovector .

En cálculo vectorial , el producto vectorial se utiliza para definir la fórmula del operador vectorial rotacional .

El truco de reescribir un producto vectorial en términos de una multiplicación de matrices aparece con frecuencia en la geometría epipolar y multivista, en particular al derivar restricciones de coincidencia.

El producto vectorial puede considerarse uno de los productos de Lie más simples, y por lo tanto se generaliza mediante álgebras de Lie , las cuales se axiomatizan como productos binarios que satisfacen los axiomas de multilinealidad, antisimetría y la identidad de Jacobi. Existen numerosas álgebras de Lie, y su estudio constituye un campo importante de las matemáticas, denominado teoría de Lie .

Por ejemplo, el álgebra de Heisenberg proporciona otra estructura de álgebra de Lie en${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}.}$En la base${\displaystyle \{x,y,z\},}$el producto es${\displaystyle [x,y]=z,[x,z]=[y,z]=0.}$

El producto vectorial también puede describirse en términos de cuaterniones. En general, si un vector [a₁, a₂, a₃] se representa como el cuaternión a₁ᵢ + a₂ᵢⱼ + a₃ᵢⱼ , el producto _vectorial de dos vectores _se obtiene multiplicando _sus vectores como cuaterniones _{y eliminando} la parte real del resultado. _La parte real será el negativo del producto escalar de los dos vectores .

El producto vectorial para vectores de 7 dimensiones se puede obtener de la misma manera utilizando octoniones en lugar de cuaterniones. La inexistencia de productos vectoriales no triviales de dos vectores en otras dimensiones está relacionada con el resultado del teorema de Hurwitz , que establece que las únicas álgebras de división normadas son las de dimensión 1, 2, 4 y 8.

En dimensión general, no existe un análogo directo del producto vectorial binario que produzca específicamente un vector. Sin embargo, existe el producto exterior, que posee propiedades similares, con la diferencia de que el producto exterior de dos vectores es ahora un vector de dimensión 2 en lugar de un vector ordinario. Como se mencionó anteriormente, el producto vectorial puede interpretarse como el producto exterior en tres dimensiones mediante el operador estrella de Hodge para mapear vectores de dimensión 2 a vectores. El dual de Hodge del producto exterior produce un vector de dimensión ( n -2) , que es una generalización natural del producto vectorial en cualquier número de dimensiones.

En álgebra geométrica, el producto exterior y el producto escalar se pueden combinar (mediante una suma) para formar el producto geométrico .

Como se mencionó anteriormente, el producto vectorial puede interpretarse en tres dimensiones como el dual de Hodge del producto exterior. En cualquier dimensión finita n , el dual de Hodge del producto exterior de n − 1 vectores es un vector. Por lo tanto, en lugar de una operación binaria, en dimensiones finitas arbitrarias, el producto vectorial se generaliza como el dual de Hodge del producto exterior de algunos n − 1 vectores dados. Esta generalización se denomina producto externo . ^{[ 20 ]}

Interpretando el espacio vectorial tridimensional del álgebra como la subálgebra de 2-vectores (no de 1-vectores) del álgebra geométrica tridimensional, donde${\displaystyle \mathbf {i} =\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} }$,${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} }$, y${\displaystyle \mathbf {k} =\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} }$El producto vectorial se corresponde exactamente con el producto conmutador en álgebra geométrica y ambos utilizan el mismo símbolo.${\displaystyle \times }$El producto conmutador se define para 2-vectores.${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$en álgebra geométrica como:

$${\displaystyle A\times B={\tfrac {1}{2}}(AB-BA),}$$

dónde${\displaystyle AB}$es el producto geométrico. ^{[ 21 ]}

El producto conmutador se puede generalizar a multivectores arbitrarios en tres dimensiones, lo que resulta en un multivector compuesto únicamente por elementos de grado 1 (vectores de grado 1/ vectores verdaderos ) y grado 2 (vectores de grado 2/pseudovectores). Si bien el producto conmutador de dos vectores de grado 1 es, en efecto, el mismo que el producto exterior y produce un vector de grado 2, el conmutador de un vector de grado 1 y un vector de grado 2 produce un vector verdadero, que corresponde en cambio a las contracciones izquierda y derecha en álgebra geométrica. El producto conmutador de dos vectores de grado 2 no tiene un producto equivalente correspondiente, razón por la cual el producto conmutador se define en primer lugar para vectores de grado 2. Además, el producto triple conmutador de tres vectores de grado 2 es el mismo que el producto triple vectorial de los mismos tres pseudovectores en álgebra vectorial. Sin embargo, el producto triple conmutador de tres vectores de dimensión 1 en álgebra geométrica es, en cambio, el negativo del producto triple vectorial de los mismos tres vectores verdaderos en álgebra vectorial.

Las generalizaciones a dimensiones superiores se proporcionan mediante el mismo producto conmutador de 2-vectores en álgebras geométricas de dimensiones superiores, pero los 2-vectores ya no son pseudovectores. Así como el producto conmutador/producto vectorial de 2-vectores en tres dimensiones corresponde al álgebra de Lie más simple , las subálgebras de 2-vectores del álgebra geométrica de dimensiones superiores equipadas con el producto conmutador también corresponden a las álgebras de Lie. ^{[ 22 ]} Asimismo, como en tres dimensiones, el producto conmutador podría generalizarse aún más a multivectores arbitrarios.

En el contexto del álgebra multilineal , el producto vectorial puede verse como el tensor (1,2) (un tensor mixto , específicamente un mapa bilineal ) obtenido a partir de la forma de volumen tridimensional , ^{[ nota 2 ]} un tensor (0,3), elevando un índice .

En detalle, la forma de volumen tridimensional define un producto.${\displaystyle V\times V\times V\to \mathbf {R} ,}$tomando el determinante de la matriz dada por estos 3 vectores. Por dualidad , esto es equivalente a una función${\displaystyle V\times V\to V^{*},}$(fijando cualesquiera dos entradas se obtiene una función)${\displaystyle V\to \mathbf {R} }$evaluando sobre la tercera entrada) y en presencia de un producto interno (como el producto escalar; más generalmente, una forma bilineal no degenerada ), tenemos un isomorfismo${\displaystyle V\to V^{*},}$y por lo tanto esto produce un mapa${\displaystyle V\times V\to V,}$que es el producto vectorial: un tensor (0,3) (3 entradas vectoriales, salida escalar) se ha transformado en un tensor (1,2) (2 entradas vectoriales, 1 salida vectorial) "elevar un índice".

Traduciendo el álgebra anterior a geometría, la función "volumen del paralelepípedo definido por${\displaystyle (a,b,-)}$" (donde los dos primeros vectores son fijos y el último es una entrada), que define una función${\displaystyle V\to \mathbf {R} }$, puede representarse de forma única como el producto escalar con un vector: este vector es el producto vectorial.${\displaystyle a\times b.}$Desde esta perspectiva, el producto vectorial se define mediante el producto triple escalar ,${\displaystyle \mathrm {Vol} (a,b,c)=(a\times b)\cdot c.}$

De la misma manera, en dimensiones superiores se pueden definir productos cruzados generalizados elevando índices de la forma de volumen n -dimensional, que es una${\displaystyle (0,n)}$-tensor. Las generalizaciones más directas del producto vectorial consisten en definir cualquiera de las siguientes opciones:

• a${\displaystyle (1,n-1)}$-tensor, que toma como entrada${\displaystyle n-1}$vectores, y da como resultado 1 vector – un${\displaystyle (n-1)}$producto vectorial -ario, o
• a${\displaystyle (n-2,2)}$-tensor, que toma como entrada 2 vectores y da como salida un tensor antisimétrico de rango n − 2 – un producto binario con valores tensoriales de rango n − 2. También se puede definir${\displaystyle (k,n-k)}$-tensores para otros k .

Todos estos productos son multilineales y antisimétricos, y pueden definirse en términos del determinante y la paridad .

El${\displaystyle (n-1)}$El producto -ario se puede describir de la siguiente manera: dado${\displaystyle n-1}$vectores${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n-1}}$en${\displaystyle \mathbf {R} ^{n},}$definen su producto cruzado generalizado${\displaystyle v_{n}=v_{1}\times \cdots \times v_{n-1}}$como:

• perpendicular al hiperplano definido por el${\displaystyle v_{i},}$
• La magnitud es el volumen del paralelepípedo definido por la${\displaystyle v_{i},}$que se puede calcular como el determinante de Gram de la${\displaystyle v_{i},}$
• orientado de modo que${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$tiene una orientación positiva.

Este es el único producto multilineal y alternante que se evalúa a${\displaystyle e_{1}\times \cdots \times e_{n-1}=e_{n}}$,${\displaystyle e_{2}\times \cdots \times e_{n}=e_{1},}$y así sucesivamente para permutaciones cíclicas de índices.

En coordenadas, se puede dar una fórmula para esto${\displaystyle (n-1)}$-ario análogo del producto cruzado en R ⁿ por:

$${\displaystyle \bigwedge _{i=0}^{n-1}\mathbf {v} _{i}={\begin{vmatrix}v_{1}{}^{1}&\cdots &v_{1}{}^{n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\v_{n-1}{}^{1}&\cdots &v_{n-1}{}^{n}\\\mathbf {e} _{1}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{vmatrix}}.}$$

Esta fórmula es idéntica en estructura a la fórmula del determinante para el producto vectorial normal en R³ ^, excepto que la fila de vectores base es la última fila del determinante en lugar de la primera. La razón de esto es asegurar que los vectores ordenados ( _v₁ , _... , vₙ₋₁, Λₙ₋₁ i=0 vᵢ) tengan una orientación positiva con respecto a (e₁, ..., eₙ ) . Si ⁿ _es impar , esta modificación deja el _{valor sin} cambios _, por lo que esta convención concuerda con la definición normal del producto binario. Sin embargo, en el caso de que n ^sea _par , debe mantenerse la distinción.${\displaystyle (n-1)}$La forma -aria posee muchas de las mismas propiedades que el producto vectorial: es alternante y lineal en sus argumentos, es perpendicular a cada argumento y su magnitud da el hipervolumen de la región delimitada por los argumentos. Y al igual que el producto vectorial, puede definirse de forma independiente de las coordenadas como el dual de Hodge del producto exterior de los argumentos. Además, el producto${\displaystyle [v_{1},\ldots ,v_{n}]:=\bigwedge _{i=0}^{n}v_{i}}$satisface la identidad de Filippov, $${\displaystyle [[x_{1},\ldots ,x_{n}],y_{2},\ldots ,y_{n}]]=\sum _{i=1}^{n}[x_{1},\ldots ,x_{i-1},[x_{i},y_{2},\ldots ,y_{n}],x_{i+1},\ldots ,x_{n}],}$$ y así dota a R ⁿ⁺¹ de una estructura de álgebra de n-Lie (véase la Proposición 1 de ^{[ 23 ]} ).