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Esquisse d'un Programme

« Esquisse d'un Programme » (Boceto de un programa) es una famosa propuesta de investigación matemática a largo plazo realizada por el matemático franco-alemán Alexander Grothen...

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« Esquisse d'un Programme » (Boceto de un programa) es una famosa propuesta de investigación matemática a largo plazo realizada por el matemático franco-alemán Alexander Grothendieck en 1984. [ 1 ] Desarrolló la secuencia de ideas lógicamente vinculadas en su importante propuesta de proyecto desde 1984 hasta 1988, pero su investigación propuesta sigue siendo de gran interés en varias ramas de las matemáticas avanzadas. La visión de Grothendieck sirve de inspiración hoy en día para varios desarrollos en matemáticas, como la extensión y generalización de la teoría de Galois .

Breve historia

Presentada en 1984, la Esquisse d'un Programme [ 2 ] [ 3 ] fue una propuesta de Alexander Grothendieck para un puesto en el Centre National de la Recherche Scientifique . La propuesta no tuvo éxito, pero Grothendieck obtuvo un puesto especial donde, manteniendo su afiliación a la Universidad de Montpellier , fue pagado por el CNRS y liberado de sus obligaciones docentes. Grothendieck ocupó este puesto desde 1984 hasta 1988. [ 4 ] [ 5 ] Esta propuesta no se publicó formalmente hasta 1997, porque el autor "no pudo ser localizado, y mucho menos se solicitó su permiso". [ 6 ] Los contornos de dessins d'enfants , o "dibujos infantiles", y " geometría anabeliana ", que se encuentran en este manuscrito continúan inspirando la investigación; Así, « La geometría anabeliana es una teoría propuesta en matemáticas que describe cómo el grupo fundamental algebraico G de una variedad algebraica V , o algún objeto geométrico relacionado, determina cómo V puede transformarse en otro objeto geométrico W , bajo el supuesto de que G no es un grupo abeliano , en el sentido de ser fuertemente no conmutativo . La idea de anabeliano (un alfa privativo an- antes de abeliano ), introducida por primera vez en la Carta a Faltings (27 de junio de 1983), [ 7 ] se desarrolla en Esquisse d'un Programme . Si bien el trabajo de Grothendieck permaneció inédito durante muchos años y no estuvo disponible a través de los canales académicos formales tradicionales, la formulación y las predicciones de la teoría propuesta recibieron mucha atención, y algunas modificaciones, por parte de varios matemáticos. Quienes han investigado en esta área han obtenido algunos resultados esperados y relacionados, y en el siglo XXI comenzaron a surgir los inicios de dicha teoría».

Resumen del programa de Grothendieck

(" Índice ")

En la sección de Referencias se ofrecen sugerencias de lecturas adicionales para el lector interesado en matemáticas .

Extensiones de la teoría de Galois para grupos: grupoides, categorías y functores de Galois.

Galois desarrolló una poderosa y fundamental teoría algebraica en matemáticas que proporciona cálculos muy eficientes para ciertos problemas algebraicos mediante el uso del concepto algebraico de grupos , conocido actualmente como la teoría de los grupos de Galois . Estos cálculos no eran posibles antes y, en muchos casos, resultan mucho más efectivos que los cálculos "directos" sin utilizar grupos. [ 10 ] Para empezar, Alexander Grothendieck afirmó en su propuesta: "Así, el grupo de Galois se realiza como el grupo de automorfismos de un grupo concreto y profinito que respeta ciertas estructuras esenciales para este grupo". Esta teoría fundamental de los grupos de Galois en matemáticas se ha expandido considerablemente, primero a los grupoides —como se propuso en la obra de Alexander Grothendieck, Esquisse d' un Programme ( EdP )— y ahora ya se ha aplicado parcialmente a los grupoides; estos últimos se han desarrollado aún más, extendiéndose a categorías por diversos grupos de matemáticos. Aquí nos centraremos únicamente en las extensiones bien establecidas y plenamente validadas de la teoría de Galois. Así, EdP también propuso y anticipó, junto con los seminarios anteriores de Grothendieck en el IHÉS ( SGA1 a SGA4 ) celebrados en la década de 1960, el desarrollo de extensiones aún más potentes de la teoría original de Galois para grupos mediante la utilización de categorías, functores y transformaciones naturales , así como una mayor expansión de la variedad de ideas presentadas en la Teoría del Descenso de Alexander Grothendieck . La noción de motivo también se ha explorado activamente. Esto se desarrolló en el grupo de Galois motivacional , la topología de Grothendieck y la categoría de Grothendieck . Estos desarrollos se extendieron recientemente en la topología algebraica mediante functores representables y el functor grupoide fundamental .

Véase también

Referencias

  1. ↑ Scharlau, Winifred (septiembre de 2008), escrito en Oberwolfach, Alemania, «¿Quién es Alexander Grothendieck?», Notices of the American Mathematical Society (Providence, RI: American Mathematical Society) 55(8): 930–941, ISSN 1088-9477 , OCLC 34550461 , http://www.ams.org/notices/200808/tx080800930p.pdf Archivado el 21 de diciembre de 2011 en Wayback Machine  
  2. ↑ Alexander Grothendieck, 1984. « Esquisse d'un Programme », (manuscrito de 1984), publicado finalmente en Schneps y Lochak (1997, I), pp. 5-48; traducción al inglés, ibid., pp. 243-283. MR 1483107 
  3. ↑ "Boceto de un programa (traducción al inglés, alojada por la Universidad de Extremadura) " (PDF) . Consultado el 28 de octubre de 2012 .
  4. ↑ Rehmeyer, Julie (9 de mayo de 2008), "Sensibilidad a la armonía de las cosas", Science News
  5. ↑ Jackson, Allyn (noviembre de 2004) "Comme Appelé du Néant - As if summoned from the void: the life of Alexandre Grothendieck", Notices of the AMS
  6. ↑ Schneps y Lochak (1997, I) p.1
  7. ↑ Alexandre Grothendieck, "Carta a G. Faltings (traducción al inglés), 27 de junio de 1983", Geometría Galois Actions (1. Alrededor de Esquisse d'un Programme de Grothendieck) The London Mathematical Society: 285-293, https://www.cambridge.org/core/books/geometric-galois-actions/letter-to-g-faltings-translation-into-english/40DF62D52D03CB79DD15DCEA24D85368 (1997)
  8. ↑ "Los orígenes de 'Persiguiendo pilas' de Alexander Grothendieck"" . Consultado el 3 de octubre de 2008 .{{cite web}}: CS1 maint: servicio de archivado obsoleto ( enlace )
  9. ↑ Cartier, Pierre (2001), "Un día de trabajo frenético: de Grothendieck a Connes y Kontsevich. La evolución de los conceptos de espacio y simetría", Bull. Amer. Math. Soc. 38 (4): 389–408, < http://www.ams.org/bull/2001-38-04/S0273-0979-01-00913-2/S0273-0979-01-00913-2.pdf >. Traducción al inglés de Cartier (1998)
  10. ^ Cartier, Pierre (1998), "La Folle Journée, de Grothendieck à Connes et Kontsevich — Évolution des Notions d'Espace et de Symétrie", Les Relations entre les Mathématiques et la Physique Théorique — Festschrift para el 40 aniversario del IHÉS , Institut des Hautes Études Scientifiques , págs. 11-19
  • Schneps, Leila (1994), The Grothendieck Theory of Dessins d'Enfants , London Mathematical Society Lecture Note Series, Cambridge University Press.
  • Schneps, Leila; Lochak, Pierre, eds. (1997), Geometric Galois Actions I: Around Grothendieck's Esquisse D'un Programme , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol.  242, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59642-8
  • Schneps, Leila; Lochak, Pierre, eds. (1997), Geometric Galois Actions II: The Inverse Galois Problem, Moduli Spaces and Mapping Class Groups , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol.  243, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59641-1
  • Harbater, David; Schneps, Leila (2000), "Grupos fundamentales de módulos y el grupo de Grothendieck–Teichmüller", Trans. Amer. Math. Soc. , 352 (7): 3117– 3148, doi : 10.1090/S0002-9947-00-02347-3.
  • La mejor propuesta rechazada de la historia , Libros interminables, Lieven le Bruyn
  • Notas Anabéliennes Archivadas el 2022-05-20 en Wayback Machine , A. Grothendieck.