Plan de grupo

En matemáticas , un esquema de grupo es un tipo de objeto de la geometría algebraica dotado de una ley de composición. Los esquemas de grupo surgen naturalmente como simetrías de esquemas y generalizan los grupos algebraicos , en el sentido de que todos los grupos algebraicos poseen una estructura de esquema de grupo, pero los esquemas de grupo no son necesariamente conexos , lisos ni definidos sobre un cuerpo. Esta generalidad adicional permite estudiar estructuras infinitesimales más ricas, lo que puede ayudar a comprender y responder cuestiones de relevancia aritmética. La categoría de esquemas de grupo se comporta mejor que la de variedades de grupo , ya que todos los homomorfismos tienen núcleos y existe una teoría de deformación bien definida . Los esquemas de grupo que no son grupos algebraicos desempeñan un papel importante en la geometría aritmética y la topología algebraica , puesto que aparecen en contextos de representaciones de Galois y problemas de módulos . El desarrollo inicial de la teoría de los esquemas de grupo se debe a Alexander Grothendieck , Michel Raynaud y Michel Demazure a principios de la década de 1960.

Un esquema de grupo es un objeto de grupo en una categoría de esquemas que tiene productos de fibra y algún objeto final S. Es decir, es un esquema S G equipado con uno de los conjuntos de datos equivalentes.

• una terna de morfismos μ: G × _S G → G , e: S → G , e ι: G → G , que satisfacen las compatibilidades usuales de los grupos (a saber, la asociatividad de μ, la identidad y los axiomas inversos)
• un functor de esquemas sobre S a la categoría de grupos , tal que la composición con el functor olvidadizo a conjuntos es equivalente al prefaisceato correspondiente a G bajo la incrustación de Yoneda . (Véase también: functor de grupo ).

Un homomorfismo de esquemas de grupo es una aplicación de esquemas que respeta la multiplicación. Esto se puede expresar con precisión diciendo que una aplicación f satisface la ecuación f μ = μ( f × f ), o bien diciendo que f es una transformación natural de functores de esquemas a grupos (en lugar de solo a conjuntos).

Una acción izquierda de un esquema de grupo G sobre un esquema X es un morfismo G × _S X → X que induce una acción izquierda del grupo G ( T ) sobre el conjunto X ( T ) para cualquier esquema S T . Las acciones derechas se definen de manera similar. Cualquier esquema de grupo admite acciones izquierdas y derechas naturales sobre su esquema subyacente mediante multiplicación y conjugación . La conjugación es una acción por automorfismos, es decir, conmuta con la estructura de grupo, e induce acciones lineales sobre objetos derivados naturalmente, como su álgebra de Lie y el álgebra de operadores diferenciales invariantes por la izquierda.

Un esquema de grupo S, G, es conmutativo si el grupo G ( T ) es un grupo abeliano para todos los esquemas S T . Existen otras condiciones equivalentes, como que la conjugación induzca una acción trivial o que la aplicación de inversión ι sea un automorfismo de esquema de grupo.

• Dado un grupo G , se puede formar el esquema de grupo constante G _S. Como esquema, es una unión disjunta de copias de S , y al elegir una identificación de estas copias con elementos de G , se pueden definir las aplicaciones de multiplicación, unidad e inversa mediante transporte de estructura . Como functor, transforma cualquier esquema T de S en un producto de copias del grupo G , donde el número de copias es igual al número de componentes conexas de T. G _S es afín sobre S si y solo si G es un grupo finito. Sin embargo, se puede tomar un límite proyectivo de esquemas de grupo constante finitos para obtener esquemas de grupo profinitos, que aparecen en el estudio de grupos fundamentales y representaciones de Galois o en la teoría del esquema de grupo fundamental , y estos son afines de tipo infinito. De forma más general, al tomar un haz localmente constante de grupos sobre S , se obtiene un esquema de grupo localmente constante, para el cual la monodromía en la base puede inducir automorfismos no triviales en las fibras.
• La existencia de productos fibrados de esquemas permite realizar diversas construcciones. Los productos directos finitos de esquemas de grupo poseen una estructura canónica. Dada una acción de un esquema de grupo sobre otro mediante automorfismos, se pueden formar productos semidirectos siguiendo la construcción habitual de la teoría de conjuntos. Los núcleos de homomorfismos de esquemas de grupo son esquemas de grupo, al tomar un producto fibrado sobre la aplicación unitaria de la base. El cambio de base transforma esquemas de grupo en esquemas de grupo.
• Los esquemas de grupo pueden formarse a partir de esquemas de grupo más pequeños mediante la restricción de escalares con respecto a algún morfismo de esquemas base, aunque se requieren condiciones de finitud para garantizar la representabilidad del functor resultante. Cuando este morfismo se extiende a lo largo de un cuerpo finito , se conoce como restricción de Weil .
• For any abelian group A, one can form the corresponding diagonalizable groupD(A), defined as a functor by setting D(A)(T) to be the set of abelian group homomorphisms from A to invertible global sections of O_T for each S-scheme T. If S is affine, D(A) can be formed as the spectrum of a group ring. More generally, one can form groups of multiplicative type by letting A be a non-constant sheaf of abelian groups on S.
• For a subgroup scheme H of a group scheme G, the functor that takes an S-scheme T to G(T)/H(T) is in general not a sheaf, and even its sheafification is in general not representable as a scheme. However, if H is finite, flat, and closed in G, then the quotient is representable, and admits a canonical left G-action by translation. If the restriction of this action to H is trivial, then H is said to be normal, and the quotient scheme admits a natural group law. Representability holds in many other cases, such as when H is closed in G and both are affine.^[1]

• El grupo multiplicativo G _m tiene como esquema subyacente la línea afín perforada y, como functor, envía un esquema S T al grupo multiplicativo de secciones globales invertibles del haz de estructura. Puede describirse como el grupo diagonalizable D ( Z ) asociado a los enteros. Sobre una base afín como Spec A , es el espectro del anillo A [ x , y ]/( xy − 1 ), que también se escribe A [ x , x ^{− 1} ]. El mapa de unidad se da enviando x a uno, la multiplicación se da enviando x a x ⊗ x , y la inversa se da enviando x a x ^{− 1} . Los toros algebraicos forman una clase importante de esquemas de grupo conmutativos, definidos ya sea por la propiedad de ser localmente en S un producto de copias de G _m , o como grupos de tipo multiplicativo asociados a grupos abelianos libres finitamente generados .  
• El grupo lineal general GL _n es una variedad algebraica afín que puede considerarse como el grupo multiplicativo de la variedad de anillos de matrices n x n . Como functor, envía un esquema S T al grupo de matrices invertibles n x n cuyas entradas son secciones globales de T. Sobre una base afín, se puede construir como un cociente de un anillo de polinomios en n ² + 1 variables mediante un ideal que codifica la invertibilidad del determinante. Alternativamente, se puede construir utilizando 2 n ² variables, con relaciones que describen un par ordenado de matrices mutuamente inversas.
• Para cualquier entero positivo n , el grupo μ _n de raíces n -ésimas de la unidad es el núcleo de la aplicación de potencia n -ésima de G _m en sí mismo. Como functor, envía cualquier esquema S T al grupo de secciones globales f de T tales que f ⁿ = 1. Sobre una base afín como Spec A , es el espectro de A [x]/( x ⁿ − 1). Si n no es invertible en la base, entonces este esquema no es suave. En particular, sobre un cuerpo de característica p , μ _p no es suave.
• El grupo aditivo G _a tiene como esquema subyacente la línea afín A ^1. Como functor, envía cualquier esquema S T al grupo aditivo subyacente de secciones globales del haz de estructura. Sobre una base afín como Spec A , es el espectro del anillo de polinomios A [ x ]. El mapa de unidad se da enviando x a cero, la multiplicación se da enviando x a 1  ⊗ x + x ⊗ 1, y la inversa se da enviando x a − x .      
• Si p = 0 en S para algún número primo p , entonces la toma de potencias p induce un endomorfismo de G _a , y el núcleo es el esquema de grupo α _p . Sobre una base afín como Spec A , es el espectro de A [x]/( x ^p ).
• El grupo de automorfismos de la línea afín (cf. grupo afín ) es isomorfo al producto semidirecto de G _a por G _m , donde el grupo aditivo actúa mediante traslaciones y el grupo multiplicativo actúa mediante dilataciones. El subgrupo que fija un punto base elegido es isomorfo al grupo multiplicativo, y tomando el punto base como la identidad de una estructura de grupo aditivo, G _m se identifica con el grupo de automorfismos de G _a .
• Una curva suave de género uno con un punto marcado (es decir, una curva elíptica ) tiene una estructura de esquema de grupo única con ese punto como identidad. A diferencia de los ejemplos anteriores de dimensión positiva, las curvas elípticas son proyectivas (en particular, propias ).

Supongamos que G es un esquema de grupo de tipo finito sobre un cuerpo ^k . Sea G₀ la componente conexa de la identidad, es decir, el esquema de subgrupo conexo maximal. Entonces G es una extensión de un esquema de grupo étale finito por G₀. G tiene un único subesquema reducido maximal ^G₁₋₁ , y _si k es perfecto , entonces G₁₋₁₋₁ es una variedad de grupo lisa que es un esquema de subgrupo de _G. El esquema cociente es el espectro de un anillo local de rango finito.

Cualquier esquema de grupo afín es el espectro de un álgebra de Hopf conmutativa (sobre una base S , esto viene dado por el espectro relativo de un álgebra O _S ). Las aplicaciones de multiplicación, unidad e inversa del esquema de grupo vienen dadas por las estructuras de comultiplicación, counidad y antípoda en el álgebra de Hopf. Las estructuras de unidad y multiplicación en el álgebra de Hopf son intrínsecas al esquema subyacente. Para un esquema de grupo arbitrario G , el anillo de secciones globales también tiene una estructura de álgebra de Hopf conmutativa, y al tomar su espectro, se obtiene el grupo cociente afín máximo. Las variedades de grupos afines se conocen como grupos algebraicos lineales , ya que pueden incrustarse como subgrupos de grupos lineales generales.

Los esquemas de grupo conexos completos son, en cierto sentido, opuestos a los esquemas de grupo afines, ya que la completitud implica que todas las secciones globales son exactamente aquellas extraídas de la base y, en particular, no tienen aplicaciones no triviales a esquemas afines. Cualquier variedad de grupo completa (variedad aquí significa esquema separado reducido y geométricamente irreducible de tipo finito sobre un cuerpo) es automáticamente conmutativa, mediante un argumento que involucra la acción de conjugación en espacios jet de la identidad. Las variedades de grupo completas se llaman variedades abelianas . Esto se generaliza a la noción de esquema abeliano; un esquema de grupo G sobre una base S es abeliano si el morfismo estructural de G a S es propio y liso con fibras geométricamente conexas. Son automáticamente proyectivos y tienen muchas aplicaciones, por ejemplo, en la teoría geométrica de cuerpos de clases y en toda la geometría algebraica. Sin embargo, un esquema de grupo completo sobre un cuerpo no tiene por qué ser conmutativo; por ejemplo, cualquier esquema de grupo finito es completo.

Un esquema de grupo G sobre un esquema noetheriano S es finito y plano si y solo si O _G es un módulo O _S localmente libre de rango finito. El rango es una función localmente constante en S y se denomina orden de G. El orden de un esquema de grupo constante es igual al orden del grupo correspondiente y, en general, el orden se comporta bien con respecto al cambio de base y la restricción plana finita de escalares . 

Entre los esquemas de grupos planos finitos, las constantes (véase el ejemplo anterior) forman una clase especial, y sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero, la categoría de grupos finitos es equivalente a la categoría de esquemas de grupos finitos constantes. Sobre bases con característica positiva o estructura más aritmética, existen tipos de isomorfismo adicionales. Por ejemplo, si 2 es invertible sobre la base, todos los esquemas de grupo de orden 2 son constantes, pero sobre los enteros 2-ádicos , μ ₂ no es constante, porque la fibra especial no es lisa. Existen secuencias de anillos 2-ádicos altamente ramificados sobre los cuales el número de tipos de isomorfismo de esquemas de grupo de orden 2 crece arbitrariamente. Un análisis más detallado de los esquemas de grupos planos finitos conmutativos sobre anillos p -ádicos se puede encontrar en el trabajo de Raynaud sobre prolongaciones.

Los esquemas de grupos planos finitos conmutativos suelen aparecer en la naturaleza como esquemas de subgrupos de variedades abelianas y semiabelianas, y en característica positiva o mixta, pueden capturar mucha información sobre la variedad ambiente. Por ejemplo, la p -torsión de una curva elíptica en característica cero es localmente isomorfa al esquema de grupo abeliano elemental constante de orden ^p² , pero sobre Fp , es un esquema de grupo plano finito de orden p² que tiene p componentes conexas (si la curva es _ordinaria ) o una componente conexa (si la curva es supersingular ). Si consideramos una familia de curvas elípticas, la p -torsión forma un esquema ^de grupo plano finito sobre el espacio parametrizador, y el lugar supersingular es donde las fibras están conexas. Esta fusión de componentes conexas puede estudiarse con detalle pasando de un esquema modular a un espacio analítico rígido , donde los puntos supersingulares se reemplazan por discos de radio positivo.

La dualidad de Cartier es un análogo en teoría de esquemas de la dualidad de Pontryagin que transforma esquemas de grupos conmutativos finitos en esquemas de grupos conmutativos finitos.

Finite flat commutative group schemes over a perfect field k of positive characteristic p can be studied by transferring their geometric structure to a (semi-)linear-algebraic setting. The basic object is the Dieudonné ringD = W(k){F,V}/(FV − p), which is a quotient of the ring of noncommutative polynomials, with coefficients in Witt vectors of k. F and V are the Frobenius and Verschiebung operators, and they may act nontrivially on the Witt vectors. Dieudonne and Cartier constructed an antiequivalence of categories between finite commutative group schemes over k of order a power of "p" and modules over D with finite W(k)-length. The Dieudonné module functor in one direction is given by homomorphisms into the abelian sheafCW of Witt co-vectors. This sheaf is more or less dual to the sheaf of Witt vectors (which is in fact representable by a group scheme), since it is constructed by taking a direct limit of finite length Witt vectors under successive Verschiebung maps V: W_n → W_n+1, and then completing. Many properties of commutative group schemes can be seen by examining the corresponding Dieudonné modules, e.g., connected p-group schemes correspond to D-modules for which F is nilpotent, and étale group schemes correspond to modules for which F is an isomorphism.

Dieudonné theory exists in a somewhat more general setting than finite flat groups over a field. Oda's 1967 thesis gave a connection between Dieudonné modules and the first de Rham cohomology of abelian varieties, and at about the same time, Grothendieck suggested that there should be a crystalline version of the theory that could be used to analyze p-divisible groups. Galois actions on the group schemes transfer through the equivalences of categories, and the associated deformation theory of Galois representations was used in Wiles's work on the Shimura–Taniyama conjecture.

• Fundamental group scheme
• Geometric invariant theory
• GIT quotient
• Groupoid scheme
• Group-scheme action
• Group-stack
• Invariant theory
• Quotient stack

• Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck , eds. (1970). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1962 – 64 – Schémas en groupes – (SGA 3) – vol. 1 (Apuntes de clases de matemáticas 151 ) (en francés). Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . págs.  xv, 564.
• Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck , eds. (1970). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1962 – 64 – Schémas en groupes – (SGA 3) – vol. 2 (Apuntes de clases de matemáticas 152 ) (en francés). Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . págs.ix  , 654.
• Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck , eds. (1970). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1962 – 64 – Schémas en groupes – (SGA 3) – vol. 3 (Apuntes de clases de matemáticas 153 ) (en francés). Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . págs.  vii, 529.
• Gabriel, Peter; Demazure, Michel (1980). Introducción a la geometría algebraica y a los grupos algebraicos . Ámsterdam: North-Holland Pub. Co. ISBN 0-444-85443-6.
• Berthelot, Breen, Messing Théorie de Dieudonné Crystalline II
• Laumon, Transformación de Fourier generalizada
• Shatz, Stephen S. (1986), "Esquemas de grupos, grupos formales y grupos p- divisibles", en Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. (eds.), Geometría aritmética (Storrs, Conn., 1984) , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , pp. 29–78 , ISBN  978-0-387-96311-2, MR 0861972 
• Serre, Jean-Pierre (1984), Groupes algébriques et corps de Classes , Publications de l'Institut Mathématique de l'Université de Nancago [Publicaciones del Instituto de Matemáticas de la Universidad de Nancago], 7, París: Hermann, ISBN 978-2-7056-1264-1, MR 0907288 
• John Tate , Esquemas de grupos planos finitos , de Formas modulares y el último teorema de Fermat.
• Waterhouse, William (1979), Introducción a los esquemas de grupos afines , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  66, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-6217-6 , ISBN 978-0-387-90421-4, MR 0547117