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Articulo de referencia

Número armónico

El número armónico H norte {\displaystyle H_{n}} con norte = ⌊ incógnita ⌋ {\displaystyle n=\lfloor x\rfloor } (línea roja) con su límite asintótico γ + ln ⁡ ( incógnita ) {\dis...

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El número armónicoHnorte{\displaystyle H_{n}}connorte=⌊incógnita⌋{\displaystyle n=\lfloor x\rfloor }(línea roja) con su límite asintóticoγ+ln⁡(incógnita){\displaystyle \gamma +\ln(x)}(línea azul) dondeγ{\displaystyle \gamma }es la constante de Euler-Mascheroni .

En matemáticas , el n -ésimo número armónico es la suma de los recíprocos de los primeros n números naturales : [ 1 ]Hnorte=1+12+13+⋯+1norte=∑k=1norte1k.{\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}

A partir de n = 1 , comienza la secuencia de números armónicos: 1,32,116,2512,13760,…{\displaystyle 1,{\frac {3}{2}},{\frac {11}{6}},{\frac {25}{12}},{\frac {137}{60}},\dots }

Los números armónicos están relacionados con la media armónica en el sentido de que el n -ésimo número armónico es también n veces el recíproco de la media armónica de los primeros n enteros positivos.

Los números armónicos se estudian desde la antigüedad y son importantes en diversas ramas de la teoría de números . A veces se les denomina informalmente series armónicas , están estrechamente relacionados con la función zeta de Riemann y aparecen en las expresiones de varias funciones especiales .

Los números armónicos se aproximan aproximadamente a la función logaritmo natural [ 2 ] : 143 y, por lo tanto, la serie armónica asociada crece sin límite, aunque lentamente. En 1737, Leonhard Euler utilizó la divergencia de la serie armónica para proporcionar una nueva demostración de la infinitud de los números primos . Su trabajo fue extendido al plano complejo por Bernhard Riemann en 1859, lo que condujo directamente a la célebre hipótesis de Riemann sobre la distribución de los números primos .

Cuando el valor de una gran cantidad de artículos sigue una distribución de Zipf , el valor total de los n artículos más valiosos es proporcional al n -ésimo número armónico. Esto conduce a diversas conclusiones sorprendentes sobre la cola larga y la teoría del valor de la red .

Contando el número de factores 2 en el numerador y el denominador de los números armónicos escritos como fracción se muestra que, excepto en el caso n = 1 , los números armónicos tienen denominadores pares y, por lo tanto, nunca son enteros. [ 3 ] El teorema de Bertrand-Chebyshev también se puede usar para mostrar que el denominador del n -ésimo número armónico es divisible por el primo más grande que no sea mayor que n .

Lista

Identidades que involucran números armónicos

Por definición, los números armónicos satisfacen la relación de recurrencia.Hnorte+1=Hnorte+1norte+1.{\displaystyle H_{n+1}=H_{n}+{\frac {1}{n+1}}.}

Los números armónicos están conectados a los números de Stirling de primera especie mediante la relación Hnorte=1norte¡[norte+12].{\displaystyle H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right].}

Los números armónicos satisfacen las identidades de la serie. ∑k=1norteHk=(norte+1)Hnorte−norte{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n} y ∑k=1norteHk2=(norte+1)Hnorte2−(2norte+1)Hnorte+2norte.{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}^{2}=(n+1)H_{n}^{2}-(2n+1)H_{n}+2n.} Estos dos resultados son muy análogos a los resultados integrales correspondientes. ∫0incógnitaregistro⁡y dy=incógnitaregistro⁡incógnita−incógnita{\displaystyle \int _{0}^{x}\log y\ dy=x\log xx} y ∫0incógnita(registro⁡y)2 dy=incógnita(registro⁡incógnita)2−2incógnitaregistro⁡incógnita+2incógnita.{\displaystyle \int _{0}^{x}(\log y)^{2}\ dy=x(\log x)^{2}-2x\log x+2x.}

Identidades que involucran π

Hay varias sumas infinitas que involucran números armónicos y potencias de π : [ 4 ]∑norte=1∞Hnortenorte⋅2norte=π212∑norte=1∞Hnorte2norte2=17360π4∑norte=1∞Hnorte2(norte+1)2=11360π4∑norte=1∞Hnortenorte3=π472{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n\cdot 2^{n}}}&={\frac {\pi ^{2}}{12}}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{n^{2}}}&={\frac {17}{360}}\pi ^{4}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{(n+1)^{2}}}&={\frac {11}{360}}\pi ^{4}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{3}}}&={\frac {\pi ^{4}}{72}}\end{aligned}}}

Cálculo

Una representación integral dada por Euler [ 5 ] es Hnorte=∫011−incógnitanorte1−incógnitadincógnita.{\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx.}

La igualdad anterior se deduce directamente de la sencilla identidad algebraica.1−incógnitanorte1−incógnita=1+incógnita+⋯+incógnitanorte−1.{\displaystyle {\frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\cdots +x^{n-1}.}

Utilizando la sustitución x = 1 − u , otra expresión para H n es Hnorte=∫011−incógnitanorte1−incógnitadincógnita=∫011−(1−tú)nortetúdtú=∫01[∑k=1norte(nortek)(−tú)k−1]dtú=∑k=1norte(nortek)∫01(−tú)k−1dtú=∑k=1norte(nortek)(−1)k−1k.{\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\left[\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}(-u)^{k-1}\right]\,du=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}(-u)^{k-1}\,du\\[6pt]&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}.\end{aligned}}}

Gráfico que muestra una conexión entre los números armónicos y el logaritmo natural . El número armónico H n puede interpretarse como una suma de Riemann de la integral:∫1norte+1dincógnitaincógnita=ln⁡(norte+1).{\displaystyle \int _{1}^{n+1}{\frac {dx}{x}}=\ln(n+1).}

El n -ésimo número armónico es aproximadamente tan grande como el logaritmo natural de n . La razón es que la suma se aproxima mediante la integral.∫1norte1incógnitadincógnita,{\displaystyle \int _{1}^{n}{\frac {1}{x}}\,dx,} cuyo valor es ln n .

Los valores de la secuencia H n − ln n disminuyen monótonamente hacia el límitelímitenorte→∞(Hnorte−ln⁡norte)=γ,{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(H_{n}-\ln n\right)=\gamma ,} donde γ ≈ 0,5772156649 es la constante de Euler-Mascheroni . La expansión asintótica correspondiente es Hnorte∼ln⁡norte+γ+12norte−∑k=1∞B2k2knorte2k=ln⁡norte+γ+12norte−112norte2+1120norte4−⋯,{\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&\sim \ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}\\&=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\cdots ,\end{aligned}}} donde B k son los números de Bernoulli .

Funciones generadoras

Una función generadora para los números armónicos es ∑norte=1∞znorteHnorte=−ln⁡(1−z)1−z,{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n}={\frac {-\ln(1-z)}{1-z}},} donde ln( z ) es el logaritmo natural . Una función generadora exponencial es ∑norte=1∞znortenorte¡Hnorte=miz∑k=1∞(−1)k−1kzkk¡=mizEin⁡(z){\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}=e^{z}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}{\frac {z^{k}}{k!}}=e^{z}\operatorname {Ein} (z)} donde Ein( z ) es la integral exponencial completa . La integral exponencial también puede expresarse como Ein⁡(z)=mi1(z)+γ+ln⁡z=Γ(0,z)+γ+ln⁡z{\displaystyle \operatorname {Ein} (z)=\mathrm {E} _{1}(z)+\gamma +\ln z=\Gamma (0,z)+\gamma +\ln z} donde Γ(0, z ) es la función gamma incompleta .

Propiedades aritméticas

Los números armónicos tienen varias propiedades aritméticas interesantes. Es bien sabido queHnorte{\textstyle H_{n}}es un número entero si y solo sinorte=1{\textstyle n=1}, un resultado a menudo atribuido a Theisinger. [ 6 ] De hecho, utilizando la valuación 2-ádica , no es difícil demostrar que paranorte≥2{\textstyle n\geq 2}el numerador deHnorte{\textstyle H_{n}}es un número impar mientras que el denominador deHnorte{\textstyle H_{n}}es un número par . Más precisamente, Hnorte=12⌊registro2⁡(norte)⌋anortebnorte{\displaystyle H_{n}={\frac {1}{2^{\lfloor \log _{2}(n)\rfloor }}}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}} con algunos números imparesanorte{\textstyle a_{n}}ybnorte{\textstyle b_{n}}.

Como consecuencia del teorema de Wolstenholme , para cualquier número primopag≥5{\displaystyle p\geq 5}el numerador deHpag−1{\displaystyle H_{p-1}}es divisible porpag2{\textstyle p^{2}}. Además, Eisenstein [ 7 ] demostró que para todos los números primos imparespag{\textstyle p}lo sostiene H(pag−1)/2≡−2qpag(2)(modpag){\displaystyle H_{(p-1)/2}\equiv -2q_{p}(2){\pmod {p}}} dóndeqpag(2)=(2pag−1−1)/pag{\textstyle q_{p}(2)=(2^{p-1}-1)/p}es un cociente de Fermat , con la consecuencia de quepag{\textstyle p}divide el numerador deH(pag−1)/2{\displaystyle H_{(p-1)/2}}si y solo sipag{\textstyle p}es un número primo de Wieferich .

En 1991, Eswarathasan y Levine [ 8 ] definieronJpag{\displaystyle J_{p}}como el conjunto de todos los enteros positivosnorte{\displaystyle n}de tal manera que el numerador deHnorte{\displaystyle H_{n}}es divisible por un número primopag.{\displaystyle p.}Ellos demostraron que {pag−1,pag2−pag,pag2−1}⊆Jpag{\displaystyle \{p-1,p^{2}-p,p^{2}-1\}\subseteq J_{p}} para todos los números primospag≥5,{\displaystyle p\geq 5,}y definieron los primos armónicos como los primospag{\textstyle p}de tal manera queJpag{\displaystyle J_{p}}tiene exactamente 3 elementos.

Eswarathasan y Levine también conjeturaron queJpag{\displaystyle J_{p}}es un conjunto finito para todos los números primospag,{\displaystyle p,}y que existen infinitos primos armónicos. Boyd [ 9 ] verificó queJpag{\displaystyle J_{p}}es finito para todos los números primos hastapag=547{\displaystyle p=547}excepto 83, 127 y 397; y dio una heurística sugiriendo que la densidad de los primos armónicos en el conjunto de todos los primos debería ser1/mi{\displaystyle 1/e}. Sanna [ 10 ] demostró queJpag{\displaystyle J_{p}}tiene densidad asintótica cero , mientras que Bing-Ling Wu y Yong-Gao Chen [ 11 ] demostraron que el número de elementos deJpag{\displaystyle J_{p}}no excediendoincógnita{\displaystyle x}es como máximo3incógnita23+125registro⁡pag{\displaystyle 3x^{{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{25\log p}}}}, para todosincógnita≥1{\displaystyle x\geq 1}.

Aplicaciones

Los números armónicos aparecen en varias fórmulas de cálculo, como la función digamma.ψ(norte)=Hnorte−1−γ.{\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma .}Esta relación también se usa frecuentemente para definir la extensión de los números armónicos a n no enteros . Los números armónicos también se usan frecuentemente para definir γ usando el límite introducido anteriormente: γ=límitenorte→∞(Hnorte−ln⁡(norte)),{\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(H_{n}-\ln(n)\right)},} a pesar de γ=límitenorte→∞(Hnorte−ln⁡(norte+12)){\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\left(H_{n}-\ln \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\right)}} converge más rápidamente.

En 2002, Jeffrey Lagarias demostró [ 12 ] que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que σ(norte)≤Hnorte+(registro⁡Hnorte)miHnorte,{\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+(\log H_{n})e^{H_{n}},} es cierto para todo entero n ≥ 1 con desigualdad estricta si n > 1 ; aquí σ ( n ) denota la suma de los divisores de n .

Los autovalores del problema no local enL2([−1,1]){\displaystyle L^{2}([-1,1])}λφ(incógnita)=∫−11φ(incógnita)−φ(y)|incógnita−y|dy{\displaystyle \lambda \varphi (x)=\int _{-1}^{1}{\frac {\varphi (x)-\varphi (y)}{|x-y|}}\,dy} son dados porλ=2Hnorte{\displaystyle \lambda =2H_{n}}donde por convenciónH0=0{\displaystyle H_{0}=0}y las funciones propias correspondientes vienen dadas por los polinomios de Legendre.φ(incógnita)=PAGnorte(incógnita){\displaystyle \varphi (x)=P_{n}(x)}. [ 13 ]

Generalizaciones

Números armónicos generalizados

El n -ésimo número armónico generalizado de orden m viene dado por Hnorte,metro=∑k=1norte1kmetro.{\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}.}

(En algunas fuentes, esto también puede denotarse porHnorte(metro){\textstyle H_{n}^{(m)}}oHmetro(norte).{\textstyle H_{m}(n).})

El caso especial m = 0 da como resultadoHnorte,0=norte.{\displaystyle H_{n,0}=n.} El caso especial m = 1 se reduce al número armónico usual: Hnorte,1=Hnorte=∑k=1norte1k.{\displaystyle H_{n,1}=H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}

El límite deHnorte,metro{\textstyle H_{n,m}}cuando n → ∞ es finito si m > 1 , con el número armónico generalizado acotado por y convergiendo a la función zeta de Riemann.límitenorte→∞Hnorte,metro=ζ(metro).{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }H_{n,m}=\zeta (m).}

El número natural más pequeño k tal que k n no divide al denominador del número armónico generalizado H ( k , n ) ni al denominador del número armónico generalizado alterno H′ ( k , n ) es, para n =1, 2, ...  :

77, 20, 94556602, 42, 444, 20, 104, 42, 76, 20, 77, 110, 3504, 20, 903, 42, 1107, 20, 104, 42, 77, 20, 2948, 110, 136, 20, 76, 42, 903, 20, 77, 42, 268, 20, 7004, 110, 1752, 20, 19203, 42, 77, 20, 104, 42, 76, 20, 370, 110, 1107, 20, ... (secuencia A128670 en el OEIS )

La suma relacionada∑k=1nortekmetro{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{m}}aparece en el estudio de los números de Bernoulli ; los números armónicos también aparecen en el estudio de los números de Stirling .

Algunas integrales de números armónicos generalizados son ∫0aHincógnita,2dincógnita=aπ26−Ha{\displaystyle \int _{0}^{a}H_{x,2}\,dx=a{\frac {\pi ^{2}}{6}}-H_{a}} y ∫0aHincógnita,3dincógnita=aA−12Ha,2,{\displaystyle \int _{0}^{a}H_{x,3}\,dx=aA-{\frac {1}{2}}H_{a,2},}donde A es la constante de Apéry ζ (3), y ∑k=1norteHk,metro=(norte+1)Hnorte,metro−Hnorte,metro−1 para metro≥0.{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k,m}=(n+1)H_{n,m}-H_{n,m-1}{\text{ for }}m\geq 0.}

Cada número armónico generalizado de orden m puede escribirse como una función de números armónicos de orden m.metro−1{\displaystyle m-1}usando Hnorte,metro=∑k=1norte−1Hk,metro−1k(k+1)+Hnorte,metro−1norte{\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {H_{k,m-1}}{k(k+1)}}+{\frac {H_{n,m-1}}{n}}} Por ejemplo:H4,3=H1,21⋅2+H2,22⋅3+H3,23⋅4+H4,24{\displaystyle H_{4,3}={\frac {H_{1,2}}{1\cdot 2}}+{\frac {H_{2,2}}{2\cdot 3}}+{\frac {H_{3,2}}{3\cdot 4}}+{\frac {H_{4,2}}{4}}}

Una función generadora para los números armónicos generalizados es ∑norte=1∞znorteHnorte,metro=Limetro⁡(z)1−z,{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n,m}={\frac {\operatorname {Li} _{m}(z)}{1-z}},} dóndeLimetro⁡(z){\displaystyle \operatorname {Li} _{m}(z)}es el polilogaritmo y | z | < 1 . La función generadora dada anteriormente para m = 1 es un caso especial de esta fórmula.

Se puede introducir un argumento fraccionario para números armónicos generalizados de la siguiente manera:

Por cadapag,q>0{\displaystyle p,q>0}entero ymetro>1{\displaystyle m>1}Sea entero o no, tenemos a partir de funciones poligamma: Hq/pag,metro=ζ(metro)−pagmetro∑k=1∞1(q+pagk)metro{\displaystyle H_{q/p,m}=\zeta (m)-p^{m}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(q+pk)^{m}}}} dóndeζ(metro){\displaystyle \zeta (m)}es la función zeta de Riemann . La relación de recurrencia relevante es Ha,metro=Ha−1,metro+1ametro.{\displaystyle H_{a,m}=H_{a-1,m}+{\frac {1}{a^{m}}}.} Algunos valores especiales sonH14,2=16−56π2−8GRAMOH12,2=4−π23H34,2=169−56π2+8GRAMOH14,3=64−π3−27ζ(3)H12,3=8−6ζ(3)H34,3=(43)3+π3−27ζ(3){\displaystyle {\begin{aligned}H_{{\frac {1}{4}},2}&=16-{\tfrac {5}{6}}\pi ^{2}-8G\\H_{{\frac {1}{2}},2}&=4-{\frac {\pi ^{2}}{3}}\\H_{{\frac {3}{4}},2}&={\frac {16}{9}}-{\frac {5}{6}}\pi ^{2}+8G\\H_{{\frac {1}{4}},3}&=64-\pi ^{3}-27\zeta (3)\\H_{{\frac {1}{2}},3}&=8-6\zeta (3)\\H_{{\frac {3}{4}},3}&=\left({\frac {4}{3}}\right)^{3}+\pi ^{3}-27\zeta (3)\end{aligned}}}donde G es la constante de Catalan . En el caso especial quepag=1{\displaystyle p=1}, obtenemos Hnorte,metro=ζ(metro,1)−ζ(metro,norte+1),{\displaystyle H_{n,m}=\zeta (m,1)-\zeta (m,n+1),}

dóndeζ(metro,norte){\displaystyle \zeta (m,n)}es la función zeta de Hurwitz . Esta relación se utiliza para calcular numéricamente los números armónicos.

Fórmulas de multiplicación

El teorema de la multiplicación se aplica a los números armónicos. Usando funciones poligamma , obtenemos H2incógnita=12(Hincógnita+Hincógnita−12)+ln⁡2H3incógnita=13(Hincógnita+Hincógnita−13+Hincógnita−23)+ln⁡3,{\displaystyle {\begin{aligned}H_{2x}&={\frac {1}{2}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{2}}}\right)+\ln 2\\H_{3x}&={\frac {1}{3}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{3}}}+H_{x-{\frac {2}{3}}}\right)+\ln 3,\end{aligned}}} o, más generalmente, Hnorteincógnita=1norte(Hincógnita+Hincógnita−1norte+Hincógnita−2norte+⋯+Hincógnita−norte−1norte)+ln⁡norte.{\displaystyle H_{nx}={\frac {1}{n}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{n}}}+H_{x-{\frac {2}{n}}}+\cdots +H_{x-{\frac {n-1}{n}}}\right)+\ln n.}

Para los números armónicos generalizados, tenemos H2incógnita,2=12(ζ(2)+12(Hincógnita,2+Hincógnita−12,2))H3incógnita,2=19(6ζ(2)+Hincógnita,2+Hincógnita−13,2+Hincógnita−23,2),{\displaystyle {\begin{aligned}H_{2x,2}&={\frac {1}{2}}\left(\zeta (2)+{\frac {1}{2}}\left(H_{x,2}+H_{x-{\frac {1}{2}},2}\right)\right)\\H_{3x,2}&={\frac {1}{9}}\left(6\zeta (2)+H_{x,2}+H_{x-{\frac {1}{3}},2}+H_{x-{\frac {2}{3}},2}\right),\end{aligned}}} dóndeζ(norte){\displaystyle \zeta (n)}es la función zeta de Riemann .

Números hiperarmónicos

La siguiente generalización fue analizada por JH Conway y RK Guy en su libro de 1995, El libro de los números . [ 2 ] : 258 Let Hnorte(0)=1norte.{\displaystyle H_{n}^{(0)}={\frac {1}{n}}.} Entonces, el n-ésimo número hiperarmónico de orden r ( r>0 ) se define recursivamente como Hnorte(r)=∑k=1norteHk(r−1).{\displaystyle H_{n}^{(r)}=\sum _{k=1}^{n}H_{k}^{(r-1)}.} En particular,Hnorte(1){\displaystyle H_{n}^{(1)}}es el número armónico ordinarioHnorte{\displaystyle H_{n}}.

números armónicos romanos

Los números armónicos romanos , [ 14 ] llamados así en honor a Steven Roman , fueron introducidos por Daniel Loeb y Gian-Carlo Rota en el contexto de una generalización del cálculo umbral con logaritmos. [ 15 ] Hay muchas definiciones posibles, pero una de ellas, para norte,k≥0{\displaystyle n,k\geq 0}, esdonorte(0)=1,{\displaystyle c_{n}^{(0)}=1,}ydonorte(k+1)=∑i=1nortedoi(k)i.{\displaystyle c_{n}^{(k+1)}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {c_{i}^{(k)}}{i}}.}Por supuesto,donorte(1)=Hnorte.{\displaystyle c_{n}^{(1)}=H_{n}.}

Sinorte≠0{\displaystyle n\neq 0}ellos satisfacendonorte(k+1)−donorte(k)norte=donorte−1(k+1).{\displaystyle c_{n}^{(k+1)}-{\frac {c_{n}^{(k)}}{n}}=c_{n-1}^{(k+1)}.}Las fórmulas de forma cerrada sondonorte(k)=norte¡(−1)ks(−norte,k),{\displaystyle c_{n}^{(k)}=n!(-1)^{k}s(-n,k),}dóndes(−norte,k){\displaystyle s(-n,k)}son los números de Stirling de primera especie generalizados a primer argumento negativo, ydonorte(k)=∑j=1norte(nortej)(−1)j−1jk,{\displaystyle c_{n}^{(k)}=\sum _{j=1}^{n}{\binom {n}{j}}{\frac {(-1)^{j-1}}{j^{k}}},}que fue hallado por Donald Knuth .

De hecho, estos números se definieron de una manera más general utilizando números romanos y factoriales romanos , que incluyen valores negativos paranorte{\displaystyle n}Esta generalización fue útil en su estudio para definir logaritmos armónicos .

Números armónicos para valores reales y complejos

Las fórmulas dadas anteriormente, Hincógnita=∫011−tincógnita1−tdt=∑k=1∞(incógnitak)(−1)k−1k{\displaystyle H_{x}=\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{x}}{1-t}}\,dt=\sum _{k=1}^{\infty }{x \choose k}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}} son una representación integral y en serie para una función que interpola los números armónicos y, mediante continuación analítica , extiende la definición al plano complejo distinto de los enteros negativos x . La función interpoladora está, de hecho, estrechamente relacionada con la función digamma.Hincógnita=ψ(incógnita+1)+γ,{\displaystyle H_{x}=\psi (x+1)+\gamma ,} donde ψ ( x ) es la función digamma y γ es la constante de Euler-Mascheroni . El proceso de integración puede repetirse para obtener Hincógnita,2=∑k=1∞(−1)k−1k(incógnitak)Hk.{\displaystyle H_{x,2}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}{x \choose k}H_{k}.}

La serie de Taylor para los números armónicos es Hincógnita=∑k=2∞(−1)kζ(k)incógnitak−1 para |incógnita|<1{\displaystyle H_{x}=\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\zeta (k)\;x^{k-1}\quad {\text{ for }}|x|<1} que proviene de la serie de Taylor para la función digamma (ζ{\displaystyle \zeta }es la función zeta de Riemann ).

Formulación alternativa asintótica

Existe una formulación asintótica que proporciona el mismo resultado que la continuación analítica de la integral descrita anteriormente. Al buscar aproximar H x para un número complejo x , es efectivo calcular primero H m para algún entero grande m . Este valor se utiliza como una aproximación para H m + x . Luego, se aplica la relación de recurrencia H n = H n −1 + 1/ n hacia atrás m veces para obtener una aproximación de H x . Además, esta aproximación es exacta en el límite cuando m tiende a infinito.        

Específicamente, para un entero fijo n , se cumple que  límitemetro→∞[Hmetro+norte−Hmetro]=0.{\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m+n}-H_{m}\right]=0.}

Si n no es un entero, entonces no es posible decir si esta ecuación es verdadera porque aún no hemos definido (en esta sección) los números armónicos para los no enteros. Sin embargo, obtenemos una extensión única de los números armónicos a los no enteros al insistir en que esta ecuación siga siendo válida cuando el entero arbitrario n se reemplaza por un número complejo arbitrario x .   

límitemetro→∞[Hmetro+incógnita−Hmetro]=0.{\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m+x}-H_{m}\right]=0\,.} Intercambiando el orden de los dos lados de esta ecuación y luego restándolos de H x se obtiene  Hincógnita=límitemetro→∞[Hmetro−(Hmetro+incógnita−Hincógnita)]=límitemetro→∞[(∑k=1metro1k)−(∑k=1metro1incógnita+k)]=límitemetro→∞∑k=1metro(1k−1incógnita+k)=incógnita∑k=1∞1k(incógnita+k).{\displaystyle {\begin{aligned}H_{x}&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m}-(H_{m+x}-H_{x})\right]\\[6pt]&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)-\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{x+k}}\right)\right]\\[6pt]&=\lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{m}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{x+k}}\right)=x\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(x+k)}}\,.\end{aligned}}}

Esta serie infinita converge para todos los números complejos x excepto los enteros negativos, que fallan porque intentar usar la relación de recurrencia H n = H n −1 + 1/ n hacia atrás a través del valor n = 0 implica una división por cero. Por esta construcción, la función que define el número armónico para valores complejos es la única función que satisface simultáneamente (1) H 0 = 0 , (2) H x = H x −1 + 1/ x para todos los números complejos x excepto los enteros no positivos, y (3) lim m →+∞ ( H m + x − H m ) = 0 para todos los valores complejos x .    

Esta última fórmula se puede utilizar para demostrar que ∫01Hincógnitadincógnita=γ,{\displaystyle \int _{0}^{1}H_{x}\,dx=\gamma ,} donde γ es la constante de Euler-Mascheroni o, más generalmente, para cada n tenemos:   ∫0norteHincógnitadincógnita=norteγ+ln⁡(norte¡).{\displaystyle \int _{0}^{n}H_{x}\,dx=n\gamma +\ln(n!).}

Valores especiales para argumentos fraccionarios

Existen los siguientes valores analíticos especiales para argumentos fraccionarios entre 0 y 1, dados por la integral. Hα=∫011−incógnitaα1−incógnitadincógnita.{\displaystyle H_{\alpha }=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{\alpha }}{1-x}}\,dx\,.}

Se pueden generar más valores a partir de la relación de recurrencia. Hα=Hα−1+1α,{\displaystyle H_{\alpha }=H_{\alpha -1}+{\frac {1}{\alpha }}\,,} o de la relación de reflexión H−α−Hα−1=πcuna⁡(πα).{\displaystyle H_{-\alpha }-H_{\alpha -1}=\pi \cot {(\pi \alpha )}.}

Por ejemplo: H12=2−2ln⁡2H13=3−π23−32ln⁡3H23=32+π23−32ln⁡3H14=4−π2−3ln⁡2H15=5−π21+25−54ln⁡5−52ln⁡(1+52)H34=43+π2−3ln⁡2H16=6−32π−2ln⁡2−32ln⁡3H18=8−1+22π−4ln⁡2−12(ln⁡(2+2)−ln⁡(2−2))H112=12−(1+32)π−3ln⁡2−32ln⁡3+3ln⁡(2−3){\displaystyle {\begin{aligned}H_{\frac {1}{2}}&=2-2\ln 2\\H_{\frac {1}{3}}&=3-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln 3\\H_{\frac {2}{3}}&={\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln 3\\H_{\frac {1}{4}}&=4-{\frac {\pi }{2}}-3\ln 2\\H_{\frac {1}{5}}&=5-{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}-{\frac {5}{4}}\ln 5-{\frac {\sqrt {5}}{2}}\ln \left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)\\H_{\frac {3}{4}}&={\frac {4}{3}}+{\frac {\pi }{2}}-3\ln 2\\H_{\frac {1}{6}}&=6-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\pi -2\ln 2-{\frac {3}{2}}\ln 3\\H_{\frac {1}{8}}&=8-{\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\pi -4\ln {2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\ln \left(2+{\sqrt {2}}\right)-\ln \left(2-{\sqrt {2}}\right)\right)\\H_{\frac {1}{12}}&=12-\left(1+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)\pi -3\ln {2}-{\frac {3}{2}}\ln {3}+{\sqrt {3}}\ln \left(2-{\sqrt {3}}\right)\end{aligned}}}

Los cuales se calculan mediante el teorema digamma de Gauss , que esencialmente establece que para enteros positivos p y q con p < qHpagq=qpag+2∑k=1⌊q−12⌋porque⁡(2πpagkq)ln⁡(pecado⁡(πkq))−π2cuna⁡(πpagq)−ln⁡(2q){\displaystyle H_{\frac {p}{q}}={\frac {q}{p}}+2\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {q-1}{2}}\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi pk}{q}}\right)\ln \left({\sin \left({\frac {\pi k}{q}}\right)}\right)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {\pi p}{q}}\right)-\ln \left(2q\right)}

Relación con la función zeta de Riemann

Algunas derivadas de números armónicos fraccionarios vienen dadas por dnorteHincógnitadincógnitanorte=(−1)norte+1norte¡[ζ(norte+1)−Hincógnita,norte+1]dnorteHincógnita,2dincógnitanorte=(−1)norte+1(norte+1)¡[ζ(norte+2)−Hincógnita,norte+2]dnorteHincógnita,3dincógnitanorte=(−1)norte+112(norte+2)¡[ζ(norte+3)−Hincógnita,norte+3].{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{n}H_{x}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}n!\left[\zeta (n+1)-H_{x,n+1}\right]\\[6pt]{\frac {d^{n}H_{x,2}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}(n+1)!\left[\zeta (n+2)-H_{x,n+2}\right]\\[6pt]{\frac {d^{n}H_{x,3}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}{\frac {1}{2}}(n+2)!\left[\zeta (n+3)-H_{x,n+3}\right].\end{aligned}}}

Y usando la serie de Maclaurin , tenemos para x < 1 que Hincógnita=∑norte=1∞(−1)norte+1incógnitanorteζ(norte+1)Hincógnita,2=∑norte=1∞(−1)norte+1(norte+1)incógnitanorteζ(norte+2)Hincógnita,3=12∑norte=1∞(−1)norte+1(norte+1)(norte+2)incógnitanorteζ(norte+3).{\displaystyle {\begin{aligned}H_{x}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}x^{n}\zeta (n+1)\\[5pt]H_{x,2}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n+1)x^{n}\zeta (n+2)\\[5pt]H_{x,3}&={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n+1)(n+2)x^{n}\zeta (n+3).\end{aligned}}}

Para argumentos fraccionarios entre 0 y 1 y para a > 1, H1/a=1a(ζ(2)−1aζ(3)+1a2ζ(4)−1a3ζ(5)+⋯)H1/a,2=1a(2ζ(3)−3aζ(4)+4a2ζ(5)−5a3ζ(6)+⋯)H1/a,3=12a(2⋅3ζ(4)−3⋅4aζ(5)+4⋅5a2ζ(6)−5⋅6a3ζ(7)+⋯).{\displaystyle {\begin{aligned}H_{1/a}&={\frac {1}{a}}\left(\zeta (2)-{\frac {1}{a}}\zeta (3)+{\frac {1}{a^{2}}}\zeta (4)-{\frac {1}{a^{3}}}\zeta (5)+\cdots \right)\\[6pt]H_{1/a,\,2}&={\frac {1}{a}}\left(2\zeta (3)-{\frac {3}{a}}\zeta (4)+{\frac {4}{a^{2}}}\zeta (5)-{\frac {5}{a^{3}}}\zeta (6)+\cdots \right)\\[6pt]H_{1/a,\,3}&={\frac {1}{2a}}\left(2\cdot 3\zeta (4)-{\frac {3\cdot 4}{a}}\zeta (5)+{\frac {4\cdot 5}{a^{2}}}\zeta (6)-{\frac {5\cdot 6}{a^{3}}}\zeta (7)+\cdots \right).\end{aligned}}}

Véase también

Notas

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Referencias

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