Lagrangiano (teoría de campos)

Para un campo escalar${\displaystyle \varphi }$, la densidad lagrangiana tomará la forma: ^{[ nb 1 ] [ 3 ]}$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\partial \varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)}$$

Para muchos campos escalares $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},{\boldsymbol {\nabla }}\varphi _{1},\partial \varphi _{1}/\partial t,\ldots ,\varphi _{n},{\boldsymbol {\nabla }}\varphi _{n},\partial \varphi _{n}/\partial t,\ldots ,\mathbf {x} ,t)}$$

En las formulaciones matemáticas, los campos escalares se entienden como coordenadas en un fibrado , y las derivadas del campo se entienden como secciones del fibrado de chorros .

Lo anterior se puede generalizar para campos vectoriales , campos tensoriales y campos espinoriales . En física, los fermiones se describen mediante campos espinoriales. Los bosones se describen mediante campos tensoriales, que incluyen campos escalares y vectoriales como casos particulares.

Por ejemplo, si hay${\displaystyle m}$campos escalares de valor real ,${\displaystyle \varphi _{1},\dots,\varphi _{m}}$, entonces la variedad de campo es${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$. Si el campo es un campo vectorial real , entonces la variedad de campos es isomorfa a${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

La integral temporal del lagrangiano se llama acción denotada por S. En teoría de campos, ocasionalmente se hace una distinción entre el lagrangiano L , cuya integral temporal es la acción. $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int L\,\mathrm {d} t\,,}$$ y la densidad lagrangiana${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, que se integra sobre todo el espacio-tiempo para obtener la acción: $${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]=\int {\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\partial \varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,\mathrm {d} t.}$$

La integral de volumen espacial de la densidad lagrangiana es el lagrangiano; en 3D, $${\displaystyle L=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,.}$$

A menudo se hace referencia a esta acción como la "acción funcional ", ya que es una función de los campos (y sus derivados).

En presencia de gravedad o al usar coordenadas curvilíneas generales, la densidad lagrangiana${\displaystyle {\mathcal {L}}}$incluirá un factor de${\textstyle {\sqrt {g}}}$Esto garantiza que la acción sea invariante bajo transformaciones de coordenadas generales. En la literatura matemática, el espacio-tiempo se considera una variedad riemanniana.${\displaystyle M}$y la integral se convierte entonces en la forma de volumen.$${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}{\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}{\mathcal {L}}}$$

Aquí, el${\displaystyle \wedge }$es el producto de cuña y${\textstyle {\sqrt {|g|}}}$es la raíz cuadrada del determinante${\displaystyle |g|}$del tensor métrico${\displaystyle g}$en${\displaystyle M}$. Para el espaciotiempo plano (por ejemplo, el espaciotiempo de Minkowski ), el volumen unitario es uno, es decir${\textstyle {\sqrt {|g|}}=1}$y por eso se suele omitir al hablar de teoría de campos en el espacio-tiempo plano. Del mismo modo, el uso de los símbolos de producto exterior no aporta ninguna información adicional sobre el concepto ordinario de volumen en el cálculo multivariable, por lo que también se omiten. Algunos libros de texto antiguos, por ejemplo, Landau y Lifschitz escriben${\textstyle {\sqrt {-g}}}$para la forma de volumen, ya que el signo menos es apropiado para tensores métricos con signatura (+−−−) o (−+++) (ya que el determinante es negativo, en ambos casos). Cuando se discute la teoría de campos en variedades riemannianas generales, la forma de volumen se suele escribir en la notación abreviada.${\displaystyle *(1)}$dónde${\displaystyle *}$es la estrella de Hodge . Es decir, $${\displaystyle *(1)={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}}$$ y entonces $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}*(1){\mathcal {L}}}$$

No infrecuentemente, la notación anterior se considera completamente superflua, y $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}{\mathcal {L}}}$$ Se observa con frecuencia. No se deje engañar: la forma de volumen está implícitamente presente en la integral anterior, aunque no esté escrita explícitamente.

Las ecuaciones de Euler-Lagrange describen el flujo geodésico del campo.${\displaystyle \varphi }$como una función del tiempo. Tomando la variación con respecto a${\displaystyle \varphi }$, uno obtiene $${\displaystyle 0={\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi }}=\int _{M}*(1)\left(-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}\right).}$$

Resolviendo, con respecto a las condiciones de contorno , se obtienen las ecuaciones de Euler-Lagrange : $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right).}$$

A menudo, el lagrangiano consiste en una suma de términos polinómicos , donde las simetrías de la teoría y los campos involucrados determinan los tipos de términos permitidos. Por ejemplo, en las teorías relativistas , cada término debe ser invariante de Lorentz, mientras que en una teoría con un campo de gauge , deben ser invariantes de gauge.

Los términos que contienen el producto de dos campos y no tienen derivadas se conocen como términos de masa , y estos dan masa a los campos. ^{[ 4 ]} Por ejemplo, un único campo escalar real${\displaystyle \phi (x)}$de masa${\displaystyle m}$tiene un término de masa dado por

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{m}=-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}(x).}$

Los otros términos que tienen dos campos, aquellos con al menos una derivada, se conocen como términos cinéticos . Hacen que los campos sean dinámicos , y la mayoría de las teorías requieren una restricción de como máximo dos derivadas en los términos cinéticos para preservar las probabilidades en una teoría cuántica . También suelen ser definidos positivos para asegurar energías positivas. ^{[ nb 2 ]} Por ejemplo, el término cinético para un campo escalar real relativista viene dado por

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{k}={\frac {1}{2}}\partial _ {\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi .}$

También se pueden encontrar campos sin términos cinéticos, que desempeñan el papel de campos auxiliares , campos de fondo o corrientes . Las teorías que solo incluyen términos cinéticos y de masa forman teorías de campo libre .

Cualquier término con más de dos campos por término se conoce como término de interacción . ^{[ 5 ]} La presencia de estos da lugar a teorías de interacción donde las partículas pueden dispersarse entre sí. Los coeficientes que preceden a estos términos se conocen como constantes de acoplamiento y determinan la fuerza de la interacción. Por ejemplo, una interacción cuártica en una teoría de campo escalar real viene dada por

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{i}=-{\frac {g}{4!}}\phi ^{4},}$

dónde${\displaystyle g}$es su constante de acoplamiento. Este término da lugar a procesos de dispersión mediante los cuales dos campos escalares pueden dispersarse entre sí. Los términos de interacción pueden tener cualquier número de derivadas, y cada derivada proporciona una dependencia del momento al término de dispersión, como se puede ver al ir al espacio de momentos .

Los términos con un solo campo se conocen como términos de renacuajo, ya que dan lugar a diagramas de Feynman de renacuajo . ^{[ 4 ] : 415} En teorías con simetrías traslacionales , dichos términos generalmente se pueden eliminar redefiniendo algunos de los campos a través de un desplazamiento. ^{[ nb 3 ]}

Los términos constantes, aquellos sin campos, no tienen consecuencias físicas en las teorías no gravitacionales. ^{[ 6 ]} En las teorías de campos clásicas, las ecuaciones de movimiento solo dependen de variaciones del lagrangiano, por lo que los términos constantes no desempeñan ningún papel. En las teorías de campos cuánticas, solo proporcionan un término multiplicativo global irrelevante a la función de partición , por lo que tampoco desempeñan ningún papel. Físicamente, esto se debe a que en estas teorías no hay una escala de energía absoluta , ya que la energía potencial siempre puede desplazarse por una constante arbitraria sin alterar la física. Sin embargo, en los sistemas gravitacionales, los términos constantes se multiplican por el determinante métrico, acoplándolos al espaciotiempo. Desempeñan el papel de la constante cosmológica , afectando directamente la dinámica de la teoría tanto a nivel clásico como cuántico.

Los términos polinómicos a menudo se expresan con ciertas normalizaciones canónicas , utilizadas para simplificar las reglas de Feynman que se derivan de ellos. Generalmente se divide por el producto del factorial de la multipicidad de los campos. Por ejemplo, en una teoría con dos campos escalares reales, un término de la forma${\displaystyle g\phi ^{n}\varphi ^{m}}$El plazo se dividiría por${\displaystyle n!m!}$. En este conteo se distinguen partículas y antipartículas , de modo que un término de campo escalar complejo de la forma${\displaystyle g'{\bar {\phi }}^{p}\phi ^{p}}$está dividido por${\displaystyle p!p!}$en vez de${\displaystyle (2p)!}$.

La densidad lagrangiana para la gravedad newtoniana es:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-{1 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))^{2}-\rho (\mathbf {x} ,t)\Phi (\mathbf {x} ,t)}$$ donde Φ es el potencial gravitatorio , ρ es la densidad de masa y G en m³ ^· kg⁻¹ ^· s⁻² ^es la constante gravitatoria . La densidad${\displaystyle {\mathcal {L}}}$tiene unidades de J·m ⁻³ . Aquí el término de interacción involucra una densidad de masa continua ρ en kg·m ⁻³ . Esto es necesario porque usar una fuente puntual para un campo resultaría en dificultades matemáticas.

Este lagrangiano se puede escribir en la forma de${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V}$, con el${\displaystyle T=-(\nabla \Phi )^{2}/8\pi G}$proporcionando un término cinético y la interacción${\displaystyle V=\rho \Phi }$el término potencial. Véase también la teoría de la gravitación de Nordström para ver cómo podría modificarse para abordar los cambios a lo largo del tiempo. Esta forma se retoma en el siguiente ejemplo de una teoría de campo escalar.

La variación de la integral con respecto a Φ es: $${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\delta \Phi (\mathbf {x} ,t)-{2 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))\cdot (\nabla \delta \Phi (\mathbf {x} ,t)).}$$

Después de integrar por partes, descartar la integral total y dividir por δ Φ, la fórmula queda: $${\displaystyle 0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+{\frac {1}{4\pi G}}\nabla \cdot \nabla \Phi (\mathbf {x} ,t)}$$ lo cual es equivalente a: $${\displaystyle 4\pi G\rho (\mathbf {x} ,t)=\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {x} ,t)}$$ lo que da como resultado la ley de Gauss para la gravedad .

El lagrangiano para un campo escalar que se mueve en un potencial${\displaystyle V(\phi )}$se puede escribir como $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -V(\phi )={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}g_{n}\phi ^{n}}$$ No es casualidad que la teoría escalar se asemeje al lagrangiano de los libros de texto de pregrado.${\displaystyle L=T-V}$para el término cinético de una partícula puntual libre escrita como${\displaystyle T=mv^{2}/2}$La teoría escalar es la generalización de la teoría de campos de una partícula que se mueve en un potencial. Cuando la${\displaystyle V(\phi )}$es el potencial del sombrero mexicano , los campos resultantes se denominan campos de Higgs .

El modelo sigma describe el movimiento de una partícula puntual escalar restringida a moverse sobre una variedad riemanniana , como un círculo o una esfera. Generaliza el caso de campos escalares y vectoriales, es decir, campos restringidos a moverse sobre una variedad plana. El lagrangiano se suele escribir en una de tres formas equivalentes: $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {d} \phi \wedge {*\mathrm {d} \phi }}$$ donde el${\displaystyle \mathrm {d} }$es el diferencial . Una expresión equivalente es $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}(\phi )\;\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi _{j}}$$ con${\displaystyle g_{ij}}$la métrica riemanniana en la variedad del campo; es decir, los campos${\displaystyle \phi _{i}}$son simplemente coordenadas locales en el diagrama de coordenadas de la variedad. Una tercera forma común es $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(L_{\mu }L^{\mu }\right)}$$ con $${\displaystyle L_{\mu }=U^{-1}\partial _{\mu }U}$$ y${\displaystyle U\in \mathrm {SU} (N)}$, el grupo de Lie SU(N) . Este grupo puede ser reemplazado por cualquier grupo de Lie o, más generalmente, por un espacio simétrico . La traza es simplemente la forma de Killing oculta; la forma de Killing proporciona una forma cuadrática en la variedad de campo, el lagrangiano es entonces simplemente el retroceso de esta forma. Alternativamente, el lagrangiano también puede verse como el retroceso de la forma de Maurer-Cartan al espaciotiempo base.

En general, los modelos sigma presentan soluciones de solitones topológicos . El más famoso y estudiado de ellos es el skyrmión , un modelo del nucleón que ha resistido el paso del tiempo.

Consideremos una partícula puntual, una partícula cargada, que interactúa con el campo electromagnético . Los términos de interacción $${\displaystyle -q\phi (\mathbf {x} (t),t)+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} (t),t)}$$ se reemplazan por términos que involucran una densidad de carga continua ρ en A·s·m ⁻³ y densidad de corriente${\displaystyle \mathbf {j} }$en A·m ⁻² . La densidad lagrangiana resultante para el campo electromagnético es: $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)+{\epsilon _{0} \over 2}{E}^{2}(\mathbf {x} ,t)-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}(\mathbf {x} ,t).}$$

Variando esto con respecto a ϕ , obtenemos $${\displaystyle 0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)}$$ lo que da como resultado la ley de Gauss .

Variando en cambio con respecto a${\displaystyle \mathbf {A} }$, obtenemos $${\displaystyle 0=\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}{\dot {\mathbf {E} }}(\mathbf {x} ,t)-{1 \over \mu _{0}}\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)}$$ lo que da como resultado la ley de Ampère .

Usando la notación tensorial , podemos escribir todo esto de forma más compacta. El término${\displaystyle -\rho \phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} }$En realidad es el producto interno de dos cuadrivectores . Empaquetamos la densidad de carga en el cuadrivector de corriente y el potencial en el cuadrivector de potencial. Estos dos nuevos vectores son $${\displaystyle j^{\mu }=(\rho ,\mathbf {j} )\quad {\text{and}}\quad A_{\mu }=(-\phi ,\mathbf {A} )}$$ Entonces podemos escribir el término de interacción como $${\displaystyle -\rho \phi +\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} =j^{\mu }A_{\mu }}$$ Además, podemos agrupar los campos E y B en lo que se conoce como el tensor electromagnético.${\displaystyle F_{\mu \nu }}$. Definimos este tensor como $${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$$ El término que estamos buscando resulta ser $${\displaystyle {\epsilon _{0} \over 2}{E}^{2}-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }}$$ Hemos utilizado la métrica de Minkowski para elevar los índices en el tensor EMF. En esta notación, las ecuaciones de Maxwell son: $${\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }\quad {\text{and}}\quad \epsilon ^{\mu \nu \lambda \sigma }\partial _{\nu }F_{\lambda \sigma }=0}$$ donde ε es el tensor de Levi-Civita . Por lo tanto, la densidad lagrangiana para el electromagnetismo en la relatividad especial, escrita en términos de vectores y tensores de Lorentz, es $${\displaystyle {\mathcal {L}}(x)=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }(x)F^{\mu \nu }(x)}$$ En esta notación, resulta evidente que el electromagnetismo clásico es una teoría invariante de Lorentz. Mediante el principio de equivalencia , se simplifica la extensión de la noción de electromagnetismo al espaciotiempo curvo. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Utilizando formas diferenciales , la acción electromagnética S en el vacío sobre una variedad (pseudo)riemanniana${\displaystyle {\mathcal {M}}}$se puede escribir (usando unidades naturales , c = ε ₀ = 1 ) como $${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=-\int _{\mathcal {M}}\left({\frac {1}{2}}\,\mathbf {F} \wedge \ast \mathbf {F} -\mathbf {A} \wedge \ast \mathbf {J} \right).}$$ Aquí, A representa la 1-forma del potencial electromagnético, J es la 1-forma de la corriente, F es la 2-forma de la intensidad del campo y el asterisco denota el operador de estrella de Hodge . Este es exactamente el mismo lagrangiano que en la sección anterior, excepto que el tratamiento aquí es independiente de las coordenadas; al expandir el integrando en una base se obtiene la misma expresión extensa. Nótese que con las formas, no es necesaria una medida de integración adicional porque las formas tienen diferenciales de coordenadas incorporados. La variación de la acción conduce a $${\displaystyle \mathrm {d} {\ast }\mathbf {F} ={\ast }\mathbf {J} .}$$ Estas son las ecuaciones de Maxwell para el potencial electromagnético. Sustituyendo F = d A se obtiene inmediatamente la ecuación para los campos, $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}$$ porque F es una forma exacta .

El campo A puede entenderse como la conexión afín en un fibrado U(1) . Es decir, la electrodinámica clásica, todos sus efectos y ecuaciones, pueden entenderse completamente en términos de un fibrado circular sobre el espaciotiempo de Minkowski .

Las ecuaciones de Yang-Mills se pueden escribir exactamente de la misma forma que la anterior, reemplazando el grupo de Lie U(1) del electromagnetismo por un grupo de Lie arbitrario. En el Modelo Estándar , convencionalmente se toma como${\displaystyle \mathrm {SU} (3)\times \mathrm {SU} (2)\times \mathrm {U} (1)}$Aunque el caso general es de interés general. En todos los casos, no es necesario realizar ninguna cuantización. Si bien las ecuaciones de Yang-Mills tienen su origen histórico en la teoría cuántica de campos, las ecuaciones anteriores son puramente clásicas. ^{[ 2 ]}

En la misma línea que lo anterior, se puede considerar la acción en una dimensión menos, es decir, en un entorno de geometría de contacto . Esto da como resultado el funcional de Chern-Simons . Se escribe como $${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=\int _{\mathcal {M}}\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} \wedge d\mathbf {A} +{\frac {2}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right).}$$

La teoría de Chern-Simons fue explorada en profundidad en física, como un modelo simplificado para una amplia gama de fenómenos geométricos que cabría esperar encontrar en una Teoría de Gran Unificación .

La densidad lagrangiana para la teoría de Ginzburg-Landau combina el lagrangiano para la teoría del campo escalar con el lagrangiano para la acción de Yang-Mills . Se puede escribir como: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\psi ,A)=\vert F\vert ^{2}+\vert D\psi \vert ^{2}+{\frac {1}{4}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)^{2}}$$ dónde${\displaystyle \psi }$es una sección de un haz vectorial con fibra${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. El${\displaystyle \psi }$corresponde al parámetro de orden en un superconductor ; equivalentemente, corresponde al campo de Higgs , después de notar que el segundo término es el famoso potencial de "sombrero de Sombrero" . El campo${\displaystyle A}$es el campo de gauge (no abeliano), es decir, el campo de Yang-Mills y${\displaystyle F}$es su intensidad de campo. Las ecuaciones de Euler-Lagrange para el funcional de Ginzburg-Landau son las ecuaciones de Yang-Mills.$${\displaystyle D{\star }D\psi ={\frac {1}{2}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)\psi }$$ y $${\displaystyle D{\star }F=-\operatorname {Re} \langle D\psi ,\psi \rangle }$$ dónde${\displaystyle {\star }}$es el operador estrella de Hodge , es decir, el tensor totalmente antisimétrico. Estas ecuaciones están estrechamente relacionadas con las ecuaciones de Yang-Mills-Higgs . Otro lagrangiano estrechamente relacionado se encuentra en la teoría de Seiberg-Witten .

La densidad lagrangiana para un campo de Dirac es: ^{[ 10 ] : 143}$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\hbar c{\partial }\!\!\!/\ -mc^{2})\psi }$$ dónde${\displaystyle \psi }$es un espinor de Dirac ,${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$es su adjunto de Dirac y${\displaystyle {\partial }\!\!\!/}$es la notación de barra de Feynman para${\displaystyle \gamma ^{\sigma }\partial _{\sigma }}$No es necesario centrarse en los espinores de Dirac en la teoría clásica. Los espinores de Weyl proporcionan una base más general; se pueden construir directamente a partir del álgebra de Clifford del espaciotiempo; la construcción funciona en cualquier número de dimensiones, ^{[ 11 ]} y los espinores de Dirac aparecen como un caso especial. Los espinores de Weyl tienen la ventaja adicional de que se pueden usar en un vielbein para la métrica en una variedad riemanniana; esto permite el concepto de una estructura de espín , que, en términos generales, es una forma de formular espinores de manera consistente en un espaciotiempo curvo.

La densidad lagrangiana para QED combina el lagrangiano del campo de Dirac con el lagrangiano de la electrodinámica de forma invariante de gauge. Es: $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QED} }={\bar {\psi }}(i\hbar c{D}\!\!\!\!/\ -mc^{2})\psi -{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$$ dónde${\displaystyle F^{\mu \nu }}$es el tensor electromagnético , D es la derivada covariante de gauge y${\displaystyle {D}\!\!\!\!/}$es la notación de Feynman para${\displaystyle \gamma ^{\sigma }D_{\sigma }}$con${\displaystyle D_{\sigma }=\partial _{\sigma }-ieA_{\sigma }}$dónde${\displaystyle A_{\sigma }}$es el cuadripotencial electromagnético . Aunque la palabra "cuántico" aparece arriba, se trata de un artefacto histórico. La definición del campo de Dirac no requiere cuantización alguna; puede escribirse como un campo puramente clásico de espinores de Weyl anticonmutativos construidos a partir de primeros principios de un álgebra de Clifford . ^{[ 11 ]} La formulación clásica completa invariante de gauge se da en Bleecker. ^{[ 2 ]}

La densidad lagrangiana para la cromodinámica cuántica combina el lagrangiano para uno o más espinores de Dirac masivos con el lagrangiano para la acción de Yang-Mills , que describe la dinámica de un campo de gauge; el lagrangiano combinado es invariante de gauge. Se puede escribir como: ^{[ 12 ]}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}\left(i\hbar c{D}\!\!\!\!/\ -m_{n}c^{2}\right)\psi _{n}-{1 \over 4}G^{\alpha }{}_{\mu \nu }G_{\alpha }{}^{\mu \nu }}$$ donde D es la derivada covariante de gauge de QCD , n = 1, 2, ...6 cuenta los tipos de quarks , y${\displaystyle G^{\alpha }{}_{\mu \nu }\!}$es el tensor de intensidad del campo de gluones . En cuanto al caso de la electrodinámica mencionado anteriormente, la aparición de la palabra "cuántico" solo reconoce su desarrollo histórico. El lagrangiano y su invariancia de gauge pueden formularse y tratarse de forma puramente clásica. ^{[ 2 ] [ 11 ]}

La densidad lagrangiana para la relatividad general en presencia de campos de materia es $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{GR}}={\mathcal {L}}_{\text{EH}}+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}={\frac {c^{4}}{16\pi G}}\left(R-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}}$$ dónde${\displaystyle \Lambda }$es la constante cosmológica ,${\displaystyle R}$es el escalar de curvatura , que es el tensor de Ricci contraído con el tensor métrico , y el tensor de Ricci es el tensor de Riemann contraído con una delta de Kronecker . La integral de${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{EH}}}$Se conoce como la acción de Einstein-Hilbert . El tensor de Riemann es el tensor de fuerza de marea y se construye a partir de símbolos de Christoffel y sus derivados, que definen la conexión métrica en el espacio-tiempo. Históricamente, el campo gravitatorio se atribuía al tensor métrico; la visión moderna es que la conexión es "más fundamental". Esto se debe a la comprensión de que se pueden escribir conexiones con torsión no nula . Estas modifican la métrica sin alterar la geometría en absoluto. En cuanto a la "dirección en la que apunta la gravedad" (por ejemplo, en la superficie de la Tierra, apunta hacia abajo), esta proviene del tensor de Riemann: es lo que describe el "campo de fuerza gravitatoria" que los cuerpos en movimiento sienten y al que reaccionan. (Esta última afirmación debe matizarse: no existe un "campo de fuerza" propiamente dicho ; los cuerpos en movimiento siguen geodésicas en la variedad descrita por la conexión. Se mueven en " línea recta ").

El lagrangiano para la relatividad general también puede escribirse de una forma que lo hace manifiestamente similar a las ecuaciones de Yang-Mills. Esto se conoce como el principio de acción de Einstein-Yang-Mills. Esto se logra observando que la mayor parte de la geometría diferencial funciona "perfectamente" en fibrados con una conexión afín y un grupo de Lie arbitrario. Luego, sustituyendo SO(3,1) para ese grupo de simetría, es decir para los campos del marco , se obtienen las ecuaciones anteriores. ^{[ 2 ] [ 11 ]}

Sustituyendo este lagrangiano en la ecuación de Euler-Lagrange y tomando el tensor métrico${\displaystyle g_{\mu \nu }}$como campo, obtenemos las ecuaciones de campo de Einstein$${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }\,.}$$${\displaystyle T_{\mu \nu }}$es el tensor de energía-momento y se define por $${\displaystyle T_{\mu \nu }\equiv {\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }{\sqrt {-g}})}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }\,.}$$ dónde${\displaystyle g}$es el determinante del tensor métrico cuando se considera como una matriz. Generalmente, en la relatividad general, la medida de integración de la acción de la densidad de Lagrange es${\textstyle {\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$Esto hace que la coordenada integral sea independiente, ya que la raíz del determinante métrico es equivalente al determinante jacobiano . El signo menos es consecuencia de la signatura métrica (el determinante en sí mismo es negativo). ^{[ 7 ]} Este es un ejemplo de la forma de volumen , discutida previamente, que se manifiesta en el espaciotiempo no plano.

La densidad lagrangiana del electromagnetismo en la relatividad general también contiene la acción de Einstein-Hilbert desde arriba. El lagrangiano electromagnético puro es precisamente un lagrangiano de materia.${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{matter}}}$. El lagrangiano es $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}(x)&=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)g^{\mu \rho }(x)g^{\nu \sigma }(x)+{\frac {c^{4}}{16\pi G}}R(x)\\&={\mathcal {L}}_{\text{Maxwell}}+{\mathcal {L}}_{\text{Einstein–Hilbert}}.\end{aligned}}}$$

Este lagrangiano se obtiene simplemente reemplazando la métrica de Minkowski en el lagrangiano plano anterior con una métrica más general (posiblemente curva).${\displaystyle g_{\mu \nu }(x)}$Podemos generar las ecuaciones de campo de Einstein en presencia de un campo electromagnético utilizando este lagrangiano. El tensor energía-momento es $${\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g(x)}}}{\frac {\delta }{\delta g_{\mu \nu }(x)}}{\mathcal {S}}_{\text{Maxwell}}={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{{\text{ }}\lambda }^{\mu }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)}$$ Se puede demostrar que este tensor de energía-momento no tiene traza, es decir que $${\displaystyle T=g_{\mu \nu }T^{\mu \nu }=0}$$ Si tomamos la traza de ambos lados de las ecuaciones de campo de Einstein, obtenemos $${\displaystyle R=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T}$$ Por lo tanto, la ausencia de traza del tensor de energía-momento implica que el escalar de curvatura en un campo electromagnético se anula. Las ecuaciones de Einstein son entonces $${\displaystyle R^{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^{\mu }}_{\lambda }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)}$$ Además, las ecuaciones de Maxwell son $${\displaystyle D_{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }}$$ dónde${\displaystyle D_{\mu }}$es la derivada covariante . Para el espacio libre, podemos establecer el tensor actual igual a cero,${\displaystyle j^{\mu }=0}$. Resolver las ecuaciones de Einstein y Maxwell alrededor de una distribución de masa esféricamente simétrica en el espacio libre conduce al agujero negro cargado de Reissner-Nordström , con el elemento de línea definitorio (escrito en unidades naturales y con carga Q ): ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)\mathrm {d} t^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}-r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}}$$

Una posible forma de unificar los lagrangianos electromagnético y gravitacional (mediante el uso de una quinta dimensión) la proporciona la teoría de Kaluza-Klein . ^{[ 2 ]} En efecto, se construye un fibrado afín, al igual que para las ecuaciones de Yang-Mills mencionadas anteriormente, y luego se considera la acción por separado en las partes de 4 y 1 dimensión. Tales factorizaciones , como el hecho de que la 7-esfera pueda escribirse como un producto de la 4-esfera y la 3-esfera, o que la 11-esfera sea un producto de la 4-esfera y la 7-esfera, explicaron gran parte del entusiasmo inicial por el hallazgo de una teoría del todo . Desafortunadamente, la 7-esfera resultó no ser lo suficientemente grande como para abarcar todo el Modelo Estándar , frustrando así estas esperanzas.

• El lagrangiano del modelo BF , abreviatura de "Campo de Fondo", describe un sistema con dinámica trivial cuando se escribe en una variedad espaciotemporal plana. En un espaciotemporal topológicamente no trivial, el sistema tendrá soluciones clásicas no triviales, que pueden interpretarse como solitones o instantones . Existen diversas extensiones que constituyen los fundamentos de las teorías de campos topológicas .