Geometría sistólica

En matemáticas , la geometría sistólica es el estudio de los invariantes sistólicos de variedades y poliedros , tal como fue concebida inicialmente por Charles Loewner y desarrollada por Mikhail Gromov , Michael Freedman , Peter Sarnak , Mikhail Katz , Larry Guth y otros, en sus manifestaciones aritméticas, ergódicas y topológicas.

La sístole de un espacio métrico compacto X es un invariante métrico de X , definido como la longitud mínima de un bucle no contraíble en X (es decir, un bucle que no puede contraerse a un punto en el espacio ambiente de X ). En lenguaje más técnico, minimizamos la longitud sobre bucles libres que representan clases de conjugación no triviales en el grupo fundamental de X. Cuando X es un grafo , el invariante se suele denominar circunferencia , desde el artículo de 1947 sobre circunferencia de WT Tutte . ^{[ 1 ]} Posiblemente inspirado por el artículo de Tutte, Loewner comenzó a pensar en cuestiones sistólicas en superficies a finales de la década de 1940, lo que dio como resultado una tesis de 1950 de su estudiante Pao Ming Pu . El término "sístole" en sí no fue acuñado hasta un cuarto de siglo después, por Marcel Berger .

Esta línea de investigación recibió, al parecer, un nuevo impulso gracias a un comentario de René Thom , en una conversación con Berger en la biblioteca de la Universidad de Estrasburgo durante el año académico 1961-62, poco después de la publicación de los trabajos de R. Accola ^{[ 2 ]} y C. Blatter. ^{[ 3 ]} Refiriéndose a estas desigualdades sistólicas, Thom exclamó: ¡Mais c'est fondamental! [¡Estos resultados son de fundamental importancia!]

Posteriormente, Berger popularizó el tema en una serie de artículos y libros. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

La bibliografía del sitio web sobre geometría y topología sistólica cuenta con más de 160 artículos. La geometría sistólica es un campo en rápido desarrollo, con numerosas publicaciones recientes en revistas de prestigio. Por ejemplo, se ha establecido una conexión entre la categoría sistólica y la categoría de Lusternik-Schnirelmann . ^{[ 7 ]} La existencia de dicha conexión puede considerarse un teorema en topología sistólica .

Todo poliedro convexo centralmente simétrico P en R ³ admite un par de puntos opuestos (antipodales) y un camino de longitud L que los une y se encuentra en la frontera ∂ P de P , satisfaciendo

${\displaystyle L^{2}\leq {\frac {\pi }{4}}\mathrm {área} (\partial P).}$

Una formulación alternativa es la siguiente. Cualquier cuerpo convexo con simetría central y área superficial A puede ser comprimido a través de un lazo de longitud${\displaystyle {\sqrt {\pi A}}}$, con el ajuste más preciso logrado por una esfera. Esta propiedad es equivalente a un caso especial de la desigualdad de Pu (véase más abajo), una de las primeras desigualdades sistólicas.

Para dar una idea preliminar del carácter del campo, se podrían hacer las siguientes observaciones. La idea principal del comentario de Thom a Berger, citado anteriormente, parece ser la siguiente: siempre que uno se encuentra con una desigualdad que relaciona invariantes geométricos, tal fenómeno resulta interesante en sí mismo; más aún cuando la desigualdad es precisa (es decir, óptima). La desigualdad isoperimétrica clásica es un buen ejemplo.

En cuestiones sistólicas sobre superficies, las identidades integrales-geométricas desempeñan un papel particularmente importante. En términos generales, existe una identidad integral que relaciona el área, por un lado, y el promedio de las energías de una familia adecuada de bucles, por otro. Según la desigualdad de Cauchy-Schwarz , la energía es una cota superior para el cuadrado de la longitud; por lo tanto, se obtiene una desigualdad entre el área y el cuadrado de la sístole. Este enfoque funciona también para la desigualdad de Loewner.

${\displaystyle \mathrm {sys} ^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}\cdot \mathrm {área} }$

para el toro , donde el caso de igualdad se alcanza mediante el toro plano cuyas transformaciones de cubierta forman la red de enteros de Eisenstein ,

y para la desigualdad de Pu para el plano proyectivo real P ² ( R ):

${\displaystyle \mathrm {sys} ^{2}\leq {\frac {\pi }{2}}\cdot \mathrm {área} }$,

con igualdad que caracteriza una métrica de curvatura gaussiana constante .

Una aplicación de la fórmula computacional para la varianza produce de hecho la siguiente versión de la desigualdad del toro de Loewner con defecto isosistólico: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \mathrm {área} -{\frac {\sqrt {3}}{2}}\mathrm {sys} ^{2}\geq \mathrm {var} (f),}$

donde f es el factor conforme de la métrica con respecto a una métrica plana de área unitaria en su clase conforme. Esta desigualdad puede considerarse análoga a la desigualdad de Bonnesen con defecto isoperimétrico, un fortalecimiento de la desigualdad isoperimétrica.

Recientemente se han descubierto varias desigualdades nuevas de este tipo, incluyendo límites inferiores de volumen universales. Más detalles aparecen en sístoles de superficies .

El resultado más profundo en el campo es la desigualdad de Gromov para la 1-sístole homotópica de una n- variedad esencial M :

${\displaystyle \operatorname {sys\pi } _{1}{}^{n}\leq C_{n}\operatorname {vol} (M),}$

donde C _n es una constante universal que depende únicamente de la dimensión de M. Aquí, la sístole homotópica sysπ ₁ es, por definición, la longitud mínima de un bucle no contraíble en M. Una variedad se denomina esencial si su clase fundamental [M] representa una clase no trivial en la homología de su grupo fundamental . La demostración implica un nuevo invariante llamado radio de llenado , introducido por Gromov, definido de la siguiente manera.

Denotemos por A el anillo de coeficientes Z o Z ₂ , dependiendo de si M es orientable o no. Entonces la clase fundamental , denotada [M] , de una variedad compacta n -dimensional M es un generador de${\displaystyle H_{n}(M;A)=A}$. Dada una inmersión de M en el espacio euclidiano E , establecemos

${\displaystyle \mathrm {FillRad} (M\subset E)=\inf \left\{\epsilon >0\left|\;\iota _{\epsilon }([M])=0\in H_{n}(U_{\epsilon }M)\right.\right\},}$

donde ι _ε es el homomorfismo de inclusión inducido por la inclusión de M en su ε-vecindario U _ε M en E .

Para definir un radio de llenado absoluto en una situación donde M está equipado con una métrica riemanniana g , Gromov procede de la siguiente manera. Se aprovecha una inmersión debida a C. Kuratowski. Se sumerge M en el espacio de Banach L ^∞ ( M ) de funciones de Borel acotadas en M , equipado con la norma del supremo.${\displaystyle \|\;\|}$. Es decir, asignamos un punto x ∈ M a la función f _x ∈ L ^∞ ( M ) definida por la fórmula f _x (y) = d(x,y) para todo y ∈ M , donde d es la función de distancia definida por la métrica. Por la desigualdad triangular tenemos${\displaystyle d(x,y)=\|f_{x}-f_{y}\|,}$y por lo tanto la incrustación es fuertemente isométrica, en el sentido preciso de que la distancia interna y la distancia ambiental coinciden. Una incrustación tan fuertemente isométrica es imposible si el espacio ambiental es un espacio de Hilbert, incluso cuando M es el círculo riemanniano (¡la distancia entre puntos opuestos debe ser π , no 2!). Entonces establecemos E = L ^∞ ( M ) en la fórmula anterior y definimos

${\displaystyle \mathrm {FillRad} (M)=\mathrm {FillRad} \left(M\subset L^{\infty }(M)\right).}$

En concreto, Gromov demostró una desigualdad precisa que relaciona la sístole y el radio de llenado,

${\displaystyle \mathrm {sys\pi } _{1}\leq 6\;\mathrm {FillRad} (M),}$

válido para todas las variedades esenciales M ; así como una desigualdad

${\displaystyle \mathrm {FillRad} \leq C_{n}\mathrm {vol} _{n}{}^{1/n}(M),}$

Válido para todas las variedades cerradas M.

Un resumen de una demostración, basada en resultados recientes de la teoría geométrica de la medida de S. Wenger, que se fundamenta en trabajos anteriores de L. Ambrosio y B. Kirchheim, aparece en la Sección 12.2 del libro "Geometría sistólica y topología" citado más adelante. Recientemente, Larry Guth propuso un enfoque completamente diferente para la demostración de la desigualdad de Gromov . ^{[ 9 ]}

Debe tenerse en cuenta una diferencia significativa entre los invariantes sistólicos de 1 (definidos en términos de longitudes de bucles) y los invariantes sistólicos de k (definidos en términos de áreas de ciclos, etc.). Si bien ya se han obtenido varias desigualdades sistólicas óptimas que involucran las 1-sístoles, prácticamente la única desigualdad óptima que involucra exclusivamente las k- sístoles es la desigualdad sistólica estable óptima de 2 de Gromov.

${\displaystyle \mathrm {stsys} _{2}{}^{n}\leq n!\;\mathrm {vol} _{2n}(\mathbb {CP} ^{n})}$

para el espacio proyectivo complejo , donde el límite óptimo se alcanza mediante la métrica simétrica de Fubini-Study , lo que apunta al vínculo con la mecánica cuántica . Aquí, la 2-sístole estable de una variedad riemanniana M se define estableciendo

${\displaystyle \mathrm {stsys} _{2}=\lambda _{1}\left(H_{2}(M,\mathbb {Z} )_{\mathbb {R} },\|\;\|\right),}$

dónde${\displaystyle \|\;\|}$es la norma estable, mientras que λ ₁ es la norma mínima de un elemento no nulo de la red. La excepcionalidad de la desigualdad estable de Gromov se hizo evidente recientemente. En concreto, se descubrió que, contrariamente a lo esperado, la métrica simétrica en el plano proyectivo cuaterniónico no es su métrica sistólicamente óptima, a diferencia de la 2-sístole en el caso complejo. Mientras que el plano proyectivo cuaterniónico con su métrica simétrica tiene una razón sistólica estable de dimensión media de 10/3, la razón análoga para la métrica simétrica del espacio proyectivo complejo de 4 dimensiones da el valor 6, mientras que la mejor cota superior disponible para dicha razón de una métrica arbitraria en ambos espacios es 14. Esta cota superior está relacionada con propiedades del álgebra de Lie E7 . Si existe una 8-variedad con holonomía Spin(7) excepcional y número de Betti de 4º orden 1, entonces el valor 14 es de hecho óptimo. Dominic Joyce ha estudiado intensivamente las variedades con holonomía Spin(7) .

De manera similar, casi el único límite inferior no trivial para una k -sístole con k = 2, resulta de trabajos recientes en teoría de gauge y curvas J-holomorfas . El estudio de límites inferiores para la 2-sístole conforme de 4-variedades ha llevado a una demostración simplificada de la densidad de la imagen del mapa de periodos, por Jake Solomon .

Quizás una de las aplicaciones más llamativas de la sístole se encuentra en el contexto del problema de Schottky , planteado por P.  Buser y P.  Sarnak , quienes distinguieron los jacobianos de las superficies de Riemann entre variedades abelianas principalmente polarizadas, sentando las bases de la aritmética sistólica.

Formular preguntas sobre la sistólica suele generar interrogantes en campos relacionados. Así, se ha definido e investigado la noción de categoría sistólica de una variedad, mostrando una conexión con la categoría de Lusternik-Schnirelmann (categoría LS). Cabe destacar que la categoría sistólica (al igual que la categoría LS) es, por definición, un número entero. Se ha demostrado que ambas categorías coinciden tanto para superficies como para 3-variedades. Además, para 4-variedades orientables, la categoría sistólica constituye una cota inferior para la categoría LS. Una vez establecida la conexión, la influencia es mutua: los resultados conocidos sobre la categoría LS estimulan preguntas sobre la sistólica, y viceversa.

The new invariant was introduced by Katz and Rudyak (see below). Since the invariant turns out to be closely related to the Lusternik-Schnirelman category (LS category), it was called systolic category.

Systolic category of a manifold M is defined in terms of the various k-systoles of M. Roughly speaking, the idea is as follows. Given a manifold M, one looks for the longest product of systoles which give a "curvature-free" lower bound for the total volume of M (with a constant independent of the metric). It is natural to include systolic invariants of the covers of M in the definition, as well. The number of factors in such a "longest product" is by definition the systolic category of M.

For example, Gromov showed that an essential n-manifold admits a volume lower bound in terms of the n'th power of the homotopy 1-systole (see section above). It follows that the systolic category of an essential n-manifold is precisely n. In fact, for closed n-manifolds, the maximal value of both the LS category and the systolic category is attained simultaneously.

Another hint at the existence of an intriguing relation between the two categories is the relation to the invariant called the cuplength. Thus, the real cuplength turns out to be a lower bound for both categories.

Systolic category coincides with the LS category in a number of cases, including the case of manifolds of dimensions 2 and 3. In dimension 4, it was recently shown that the systolic category is a lower bound for the LS category.

The study of the asymptotic behavior for large genus g of the systole of hyperbolic surfaces reveals some interesting constants. Thus, Hurwitz surfaces Σ_g defined by a tower of principal congruence subgroups of the (2,3,7) hyperbolic triangle group satisfy the bound

${\displaystyle \mathrm {sys} \pi _{1}(\Sigma _{g})\geq {\frac {4}{3}}\log g,}$

and a similar bound holds for more general arithmetic Fuchsian groups. This 2007 result by Katz, Schaps, and Vishne^[10] generalizes the results of Peter Buser and Peter Sarnak in the case of arithmetic groups defined over Q, from their seminal 1994 paper.^[11]

Actualmente, la bibliografía sobre sístoles en geometría hiperbólica cuenta con cuarenta artículos. Ejemplos interesantes los proporcionan la superficie de Bolza , la cuártica de Klein , la superficie de Macbeath y la primera tripleta de Hurwitz .

Se obtiene una familia de desigualdades sistólicas óptimas como aplicación de las técnicas de Burago e Ivanov, explotando mapas de Abel-Jacobi adecuados , definidos de la siguiente manera.

Sea M una variedad , π = π ₁ ( M ), su grupo fundamental y f : π → π ^ab su aplicación de abelianización . Sea tor el subgrupo de torsión de π ^ab . Sea g : π ^ab → π ^ab / tor el cociente por torsión. Claramente, π ^ab / tor = Z ^b , donde b = b ₁ ( M ). Sea φ: π → Z ^b el homomorfismo compuesto.

Definición: La portada${\displaystyle {\bar {M}}}$La variedad M correspondiente al subgrupo Ker(φ) ⊂ π se denomina recubrimiento abeliano libre universal (o maximal).

Ahora supongamos que M tiene una métrica riemanniana . Sea E el espacio de 1-formas armónicas en M , con dual E * identificado canónicamente con H ₁ ( M , R ). Al integrar una 1-forma armónica integral a lo largo de caminos desde un punto base x ₀ ∈ M , obtenemos una aplicación al círculo R / Z = S ¹ .

De manera similar, para definir una aplicación M → H ₁ ( M , R )/ H ₁ ( M , Z ) _R sin elegir una base para la cohomología, argumentamos de la siguiente manera. Sea x un punto en la cubierta universal.${\displaystyle {\tilde {M}}}$de M. Así, x está representado por un punto de M junto con una trayectoria c desde x ₀ hasta él. Al integrar a lo largo de la trayectoria c , obtenemos una forma lineal,${\displaystyle h\to \int _{c}h}$, en E . Obtenemos así un mapa${\displaystyle {\tilde {M}}\to E^{*}=H_{1}(M,\mathbf {R} )}$, que, además, desciende a un mapa

${\displaystyle {\overline {A}}_{M}:{\overline {M}}\to E^{*},\;\;c\mapsto \left(h\mapsto \int _{c}h\right),}$

dónde${\displaystyle {\overline {M}}}$es la portada abeliana libre universal.

Definición: La variedad de Jacobi (toro de Jacobi) de M es el toro J ₁ ( M )= H ₁ ( M , R )/ H ₁ ( M , Z ) _R

Definición: El mapa de Abel - Jacobi${\displaystyle A_{M}:M\to J_{1}(M),}$se obtiene a partir del mapa anterior pasando a cocientes. El mapa de Abel - Jacobi es único salvo traslaciones del toro de Jacobi.

Como ejemplo se puede citar la siguiente desigualdad, debida a D. Burago, S. Ivanov y M. Gromov .

Sea M una variedad riemanniana n -dimensional con primer número de Betti n , tal que la aplicación de M a su toro de Jacobi tiene grado distinto de cero . Entonces M satisface la desigualdad sistólica estable óptima.

${\displaystyle \mathrm {stsys} _{1}{}^{n}\leq \gamma _{n}\mathrm {vol} _{n}(M),}$

dónde${\displaystyle \gamma _{n}}$es la constante clásica de Hermite .

Se ha demostrado que los fenómenos asintóticos para la sístole de superficies de gran género están relacionados con interesantes fenómenos ergódicos y con propiedades de subgrupos de congruencia de grupos aritméticos .

La desigualdad de Gromov de 1983 para la sístole homotópica implica, en particular, una cota inferior uniforme para el área de una superficie asférica en función de su sístole. Dicha cota generaliza las desigualdades de Loewner y Pu, aunque de forma no óptima.

El artículo fundamental de Gromov de 1983 también contiene cotas asintóticas que relacionan la sístole y el área, las cuales mejoran la cota uniforme (válida en todas las dimensiones).

Recientemente se descubrió (véase el artículo de Katz y Sabourau más abajo) que la entropía volumétrica h , junto con la desigualdad óptima de A. Katok para h , es el intermediario "correcto" en una demostración transparente del límite asintótico de M. Gromov para la razón sistólica de superficies de gran género.

El resultado clásico de A. Katok establece que toda métrica en una superficie cerrada M con característica de Euler negativa satisface una desigualdad óptima que relaciona la entropía y el área.

Resulta que la entropía mínima de una superficie cerrada puede relacionarse con su relación sistólica óptima. Es decir, existe una cota superior para la entropía de una superficie sistólica extrema, en función de su sístole. Al combinar esta cota superior con la cota inferior óptima de Katok en términos del volumen, se obtiene una demostración alternativa más sencilla de la estimación asintótica de Gromov para la relación sistólica óptima de superficies de gran género. Además, este enfoque proporciona una constante multiplicativa mejorada en el teorema de Gromov.

Como aplicación, este método implica que toda métrica en una superficie de género al menos 20 satisface la desigualdad del toro de Loewner. Esto mejora la mejor estimación anterior de 50, que se obtuvo a partir de una estimación de Gromov.

La conjetura de Gromov sobre el área de llenado se ha demostrado en un contexto hiperelíptico (véase la referencia de Bangert et al. más abajo).

La conjetura del área de llenado afirma que, entre todos los posibles llenados del círculo riemanniano de longitud 2π por una superficie con la propiedad fuertemente isométrica, el hemisferio redondo tiene la menor área. Aquí, el círculo riemanniano se refiere a la única variedad riemanniana cerrada unidimensional de volumen total 2π y diámetro riemanniano π.

Para explicar la conjetura, comenzamos con la observación de que el círculo ecuatorial de la esfera unitaria 2, S ² ⊂ R ³ , es un círculo riemanniano S ¹ de longitud 2π y diámetro π.

Más precisamente, la función de distancia riemanniana de S ¹ es la restricción de la distancia riemanniana ambiental a la esfera. Esta propiedad no se cumple con la incrustación estándar del círculo unitario en el plano euclidiano, donde un par de puntos opuestos se encuentran a una distancia de 2, no de π.

Consideramos todos los rellenos de S ¹ por una superficie, de modo que la métrica restringida definida por la inclusión del círculo como frontera de la superficie sea la métrica riemanniana de un círculo de longitud 2π. La inclusión del círculo como frontera se denomina entonces incrustación fuertemente isométrica del círculo.

En 1983, Gromov conjeturó que el hemisferio redondo ofrece la "mejor" manera de llenar el círculo entre todas las superficies de llenado.

El caso de rellenos simplemente conexos es equivalente a la desigualdad de Pu . Recientemente, el caso de rellenos de género -1 también se resolvió afirmativamente (véase la referencia de Bangert et al. más abajo). Es decir, resulta que se puede aprovechar una fórmula de J. Hersch de geometría integral de hace medio siglo. Considérese la familia de bucles en forma de ocho sobre un balón de fútbol, ​​con el punto de autointersección en el ecuador (véase la figura al principio del artículo). La fórmula de Hersch expresa el área de una métrica en la clase conforme del balón como un promedio de las energías de los bucles en forma de ocho de la familia. Una aplicación de la fórmula de Hersch al cociente hiperelíptico de la superficie de Riemann demuestra la conjetura del área de relleno en este caso.

En el género 2 se han identificado otras ramificaciones sistólicas de la hiperelipticidad .

La explicación de la versión reforzada de la desigualdad de Loewner es algo más técnica que el resto de este artículo. Parece conveniente incluirla aquí para mayor exhaustividad. La versión reforzada es la desigualdad

${\displaystyle \mathrm {area} (g)-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\mathrm {sys} (g)^{2}\geq \mathrm {Var} (f),}$

donde Var es la varianza probabilística, mientras que f es el factor conforme que expresa la métrica g en términos de la métrica plana de área unitaria en la clase conforme de g . La demostración resulta de una combinación de la fórmula computacional para la varianza y el teorema de Fubini . ^{[ 8 ]}

Entre las obras de referencia en este campo se incluyen la de M. Berger (1993), la de Gromov (1996), su libro (1999), la obra panorámica de Berger (2003) y la de Katz (2007). Estas referencias pueden ayudar a quienes se inician en este campo. Además, contienen problemas abiertos para resolver.

• Conjetura sobre el área de llenado
• Primer trillizo de Hurwitz
• Circunferencia (análisis funcional)
• Desigualdad de Gromov para el espacio proyectivo complejo
• Desigualdad sistólica de Gromov para variedades esenciales
• Lista de temas de geometría diferencial
• Desigualdad del toro de Loewner
• Desigualdad de Pu
• Sístoles de superficies
• libertad sistólica
• Geometría subriemanniana

• Página web de la AMS dedicada al libro de Mikhail Katz.
• Sitio web sobre geometría y topología sistólica.
• Waner, Stefan (mayo de 2014). "Introducción a la geometría diferencial y la relatividad general" (PDF) . Apuntes de clase . Departamentos de Matemáticas y Física, Universidad de Hofstra.