Teoría K

Un ejemplo ilustrativo para observar es la finalización de Grothendieck de${\displaystyle \mathbb {N} }$Podemos ver que${\displaystyle G((\mathbb {N},+))=(\mathbb {Z},+).}$Para cualquier par${\displaystyle (a,b)}$Podemos encontrar un representante mínimo${\displaystyle (a',b')}$mediante el uso de la invariancia bajo escalamiento. Por ejemplo, podemos ver a partir de la invariancia de escalamiento que

${\displaystyle (4,6)\sim (3,5)\sim (2,4)\sim (1,3)\sim (0,2)}$

En general, si${\displaystyle k:=\min\{a,b\}}$entonces

${\displaystyle (a,b)\sim (ak,bk)}$que es de la forma${\displaystyle (c,0)}$o${\displaystyle (0,d).}$

Esto demuestra que deberíamos pensar en el${\displaystyle (a,0)}$como enteros positivos y el${\displaystyle (0,b)}$como números enteros negativos.

Dado un espacio compacto de Hausdorff${\displaystyle X}$Consideremos el conjunto de clases de isomorfismo de haces vectoriales de dimensión finita sobre${\displaystyle X}$, denotado${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$y sea la clase de isomorfismo de un fibrado vectorial${\displaystyle \pi :E\to X}$ser denotado${\displaystyle [E]}$. Dado que las clases de isomorfismo de haces vectoriales se comportan bien con respecto a sumas directas , podemos escribir estas operaciones en clases de isomorfismo mediante

${\displaystyle [E]\oplus [E']=[E\oplus E']}$

Debe quedar claro que${\displaystyle ({\text{Vect}}(X),\oplus )}$es un monoide abeliano donde la unidad viene dada por el fibrado vectorial trivial.${\displaystyle \mathbb {R} ^{0}\times X\to X}$. Luego podemos aplicar la completación de Grothendieck para obtener un grupo abeliano a partir de este monoide abeliano. Esto se llama la teoría K de${\displaystyle X}$y se denota${\displaystyle K^{0}(X)}$.

Podemos usar el teorema de Serre-Swan y algo de álgebra para obtener una descripción alternativa de los haces vectoriales sobre${\displaystyle X}$como módulos proyectivos sobre el anillo${\displaystyle C^{0}(X;\mathbb {C} )}$de funciones continuas de valor complejo. Entonces, estas pueden identificarse con matrices idempotentes en algún anillo de matrices.${\displaystyle M_{n\times n}(C^{0}(X;\mathbb {C} ))}$Podemos definir clases de equivalencia de matrices idempotentes y formar un monoide abeliano.${\displaystyle {\textbf {Idem}}(X)}$Su finalización en Grothendieck también se llama${\displaystyle K^{0}(X)}$Una de las principales técnicas para calcular el grupo de Grothendieck para espacios topológicos proviene de la sucesión espectral de Atiyah-Hirzebruch , lo que la hace muy accesible. Los únicos cálculos necesarios para comprender las sucesiones espectrales son el cálculo del grupo.${\displaystyle K^{0}}$para las esferas${\displaystyle S^{n}}$. ^{[ 2 ] págs. 51-110}

Existe una construcción análoga al considerar haces vectoriales en geometría algebraica . Para un esquema noetheriano${\displaystyle X}$hay un conjunto${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$de todas las clases de isomorfismo de haces vectoriales algebraicos en${\displaystyle X}$. Luego, como antes, la suma directa${\displaystyle \oplus }$La clase de isomorfismos de haces vectoriales está bien definida, dando lugar a un monoide abeliano.${\displaystyle ({\text{Vect}}(X),\oplus )}$Luego, el grupo Grothendieck${\displaystyle K^{0}(X)}$se define mediante la aplicación de la construcción de Grothendieck sobre este monoide abeliano.

En geometría algebraica, la misma construcción se puede aplicar a haces vectoriales algebraicos sobre un esquema suave. Pero existe una construcción alternativa para cualquier esquema noetheriano.${\displaystyle X}$. Si observamos las clases de isomorfismo de haces coherentes${\displaystyle \operatorname {Coh} (X)}$podemos modificar por la relación${\displaystyle [{\mathcal {E}}]=[{\mathcal {E}}']+[{\mathcal {E}}'']}$si hay una secuencia corta exacta

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0.}$

Esto da lugar al grupo Grothendieck.${\displaystyle K_{0}(X)}$que es isomorfo a${\displaystyle K^{0}(X)}$si${\displaystyle X}$es suave. El grupo${\displaystyle K_{0}(X)}$es especial porque también hay una estructura de anillo: la definimos como

${\displaystyle [{\mathcal {E}}]\cdot [{\mathcal {E}}']=\sum (-1)^{k}\left[\operatorname {Tor} _{k}^{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}')\right].}$

Utilizando el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , tenemos que

${\displaystyle \operatorname {ch} :K_{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to A(X)\otimes \mathbb {Q} }$

es un isomorfismo de anillos. Por lo tanto podemos usar${\displaystyle K_{0}(X)}$para la teoría de la intersección . ^{[ 3 ]}

El ejemplo más sencillo del grupo de Grothendieck es el grupo de Grothendieck de un punto.${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {F} )}$para un campo${\displaystyle \mathbb {F} }$Dado que un fibrado vectorial sobre este espacio es simplemente un espacio vectorial de dimensión finita, que es un objeto libre en la categoría de haces coherentes, por lo tanto proyectivo, el monoide de clases de isomorfismo es${\displaystyle \mathbb {N} }$correspondiente a la dimensión del espacio vectorial. Es un ejercicio sencillo demostrar que el grupo de Grothendieck es entonces${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Una propiedad importante del grupo de Grothendieck de un esquema noetheriano${\displaystyle X}$es que es invariante bajo reducción, por lo tanto${\displaystyle K(X)=K(X_{\text{red}})}$. ^{[ 7 ]} Por lo tanto, el grupo de Grothendieck de cualquier artiniano${\displaystyle \mathbb {F} }$-álgebra es una suma directa de copias de${\displaystyle \mathbb {Z} }$, uno por cada componente conectado de su espectro. Por ejemplo, $${\displaystyle K_{0}\left({\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {F} [x]}{(x^{9})}}\times \mathbb {F} \right)\right)=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$$

Uno de los cálculos más comúnmente utilizados del grupo de Grothendieck es con el cálculo de${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})}$para el espacio proyectivo sobre un campo. Esto se debe a que los números de intersección de un espacio proyectivo${\displaystyle X}$se puede calcular mediante incrustación${\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{n}}$y utilizando la fórmula de empuje y tracción${\displaystyle i^{*}([i_{*}{\mathcal {E}}]\cdot [i_{*}{\mathcal {F}}])}$Esto permite realizar cálculos concretos con elementos en${\displaystyle K(X)}$sin tener que conocer explícitamente su estructura ya que ^{[ 8 ]}$${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})={\frac {\mathbb {Z} [T]}{(T^{n+1})}}}$$ Una técnica para determinar el grupo de Grothendieck de${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$proviene de su estratificación como $${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}=\mathbb {A} ^{n}\coprod \mathbb {A} ^{n-1}\coprod \cdots \coprod \mathbb {A} ^{0}}$$ ya que el grupo de Grothendieck de haces coherentes en espacios afines son isomorfos a${\displaystyle \mathbb {Z} }$y la intersección de${\displaystyle \mathbb {A} ^{n-k_{1}},\mathbb {A} ^{n-k_{2}}}$es genéricamente $${\displaystyle \mathbb {A} ^{n-k_{1}}\cap \mathbb {A} ^{n-k_{2}}=\mathbb {A} ^{n-k_{1}-k_{2}}}$$ para${\displaystyle k_{1}+k_{2}\leq n}$.

Otra fórmula importante para el grupo de Grothendieck es la fórmula del fibrado proyectivo: ^{[ 9 ]} dado un fibrado vectorial de rango r${\displaystyle {\mathcal {E}}}$sobre un plan noetheriano${\displaystyle X}$, el grupo de Grothendieck del haz proyectivo${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} ^{\bullet }({\mathcal {E}}^{\vee }))}$es gratis${\displaystyle K(X)}$-módulo de rango r con base${\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{n-1}}$Esta fórmula permite calcular el grupo de Grothendieck de${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{n}}$Esto permite calcular el${\displaystyle K_{0}}$o superficies de Hirzebruch. Además, esto se puede utilizar para calcular el grupo de Grothendieck.${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})}$al observarlo es un fibrado proyectivo sobre el campo${\displaystyle \mathbb {F} }$.

Una técnica reciente para calcular el grupo de Grothendieck de espacios con singularidades menores proviene de evaluar la diferencia entre${\displaystyle K^{0}(X)}$y${\displaystyle K_{0}(X)}$, lo cual proviene del hecho de que todo fibrado vectorial puede describirse equivalentemente como un haz coherente. Esto se hace utilizando el grupo de Grothendieck de la categoría de singularidad.${\displaystyle D_{sg}(X)}$^{[ 10 ] [ 11 ]} dela geometría algebraica no conmutativa derivada. Da una larga secuencia exacta que comienza con $${\displaystyle \cdots \to K^{0}(X)\to K_{0}(X)\to K_{sg}(X)\to 0}$$ donde los términos superiores provienen de la teoría K superior . Nótese que los haces vectoriales en un singular${\displaystyle X}$están dados por haces de vectores${\displaystyle E\to X_{sm}}$en el locus liso${\displaystyle X_{sm}\hookrightarrow X}$Esto permite calcular el grupo de Grothendieck en espacios proyectivos ponderados, ya que estos suelen tener singularidades cociente aisladas. En particular, si estas singularidades tienen grupos de isotropía.${\displaystyle G_{i}}$luego el mapa $${\displaystyle K^{0}(X)\to K_{0}(X)}$$ es inyectivo y el co-núcleo es aniquilado por${\displaystyle {\text{lcm}}(|G_{1}|,\ldots ,|G_{k}|)^{n-1}}$para${\displaystyle n=\dim X}$. ^{[ 11 ] pág. 3}

Para una curva proyectiva suave${\displaystyle C}$El grupo Grothendieck es $${\displaystyle K_{0}(C)=\mathbb {Z} \oplus {\text{Pic}}(C)}$$ para el grupo de Picard de${\displaystyle C}$Esto se deduce de la sucesión espectral de Brown-Gersten-Quillen ^{[ 12 ] pág. 72} de la K-teoría algebraica . Para un esquema regular de tipo finito sobre un cuerpo, existe una sucesión espectral convergente. $${\displaystyle E_{1}^{p,q}=\coprod _{x\in X^{(p)}}K^{-p-q}(k(x))\Rightarrow K_{-p-q}(X)}$$ para${\displaystyle X^{(p)}}$el conjunto de codimensión${\displaystyle p}$puntos, es decir, el conjunto de subesquemas${\displaystyle x:Y\to X}$de codimensión${\displaystyle p}$, y${\displaystyle k(x)}$el campo de funciones algebraicas del subesquema. Esta secuencia espectral tiene la propiedad ^{[ 12 ] pág. 80}$${\displaystyle E_{2}^{p,-p}\cong {\text{CH}}^{p}(X)}$$ para el anillo Chow de${\displaystyle X}$, esencialmente dando el cálculo de${\displaystyle K_{0}(C)}$. Tenga en cuenta que porque${\displaystyle C}$no tiene codimensión${\displaystyle 2}$puntos, las únicas partes no triviales de la secuencia espectral son${\displaystyle E_{1}^{0,q},E_{1}^{1,q}}$, por eso $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\infty }^{1,-1}\cong E_{2}^{1,-1}&\cong {\text{CH}}^{1}(C)\\E_{\infty }^{0,0}\cong E_{2}^{0,0}&\cong {\text{CH}}^{0}(C)\end{aligned}}}$$ La filtración del coniveau se puede utilizar entonces para determinar${\displaystyle K_{0}(C)}$como la suma directa explícita deseada ya que da una secuencia exacta $${\displaystyle 0\to F^{1}(K_{0}(X))\to K_{0}(X)\to K_{0}(X)/F^{1}(K_{0}(X))\to 0}$$ donde el término de la izquierda es isomorfo a${\displaystyle {\text{CH}}^{1}(C)\cong {\text{Pic}}(C)}$y el término de la derecha es isomorfo a${\displaystyle CH^{0}(C)\cong \mathbb {Z} }$. Desde${\displaystyle {\text{Ext}}_{\text{Ab}}^{1}(\mathbb {Z} ,G)=0}$, tenemos la secuencia de grupos abelianos sobre las escisiones, dando el isomorfismo. Nótese que si${\displaystyle C}$es una curva proyectiva suave de género${\displaystyle g}$encima${\displaystyle \mathbb {C} }$, entonces $${\displaystyle K_{0}(C)\cong \mathbb {Z} \oplus (\mathbb {C} ^{g}/\mathbb {Z} ^{2g})}$$ Además, las técnicas descritas anteriormente, que utilizan la categoría derivada de singularidades para singularidades aisladas, pueden extenderse a singularidades aisladas de Cohen-Macaulay , lo que permite calcular el grupo de Grothendieck de cualquier curva algebraica singular. Esto se debe a que la reducción produce una curva genéricamente suave, y todas las singularidades son de tipo Cohen-Macaulay.

Una aplicación útil del grupo de Grothendieck es definir haces vectoriales virtuales. Por ejemplo, si tenemos una incrustación de espacios suaves.${\displaystyle Y\hookrightarrow X}$Luego hay una secuencia corta y exacta

${\displaystyle 0\to \Omega _{Y}\to \Omega _{X}|_{Y}\to C_{Y/X}\to 0}$

dónde${\displaystyle C_{Y/X}}$es el fibrado conormal de${\displaystyle Y}$en${\displaystyle X}$. Si tenemos un espacio singular${\displaystyle Y}$incrustado en un espacio liso${\displaystyle X}$definimos el fibrado conormal virtual como

${\displaystyle [\Omega _{X}|_{Y}]-[\Omega _{Y}]}$

Otra aplicación útil de los haces virtuales es la definición de un haz tangente virtual de una intersección de espacios: Sea${\displaystyle Y_{1},Y_{2}\subset X}$Sean subvariedades proyectivas de una variedad proyectiva lisa. Entonces, podemos definir el fibrado tangente virtual de su intersección.${\displaystyle Z=Y_{1}\cap Y_{2}}$como

${\displaystyle [T_{Z}]^{vir}=[T_{Y_{1}}]|_{Z}+[T_{Y_{2}}]|_{Z}-[T_{X}]|_{Z}.}$

Kontsevich utiliza esta construcción en uno de sus artículos. ^{[ 13 ]}

Las clases de Chern se pueden utilizar para construir un homomorfismo de anillos desde la K-teoría topológica de un espacio hasta (la completación de) su cohomología racional. Para un fibrado lineal L , el carácter de Chern ch se define por

${\displaystyle \operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.}$

En términos más generales, si${\displaystyle V=L_{1}\oplus \dots \oplus L_{n}}$es una suma directa de haces de líneas, con clases de Chern de primer orden${\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i}),}$El carácter de Chern se define de forma aditiva.

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\dots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\dots +x_{n}^{m}).}$

El carácter de Chern es útil en parte porque facilita el cálculo de la clase de Chern de un producto tensorial. El carácter de Chern se utiliza en el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch .