Lista de demostraciones incompletas

Esta página enumera ejemplos notables de demostraciones matemáticas publicadas, incompletas o incorrectas . La mayoría de ellas fueron aceptadas como completas o correctas durante varios años, pero posteriormente se descubrió que contenían lagunas o errores. Hay ejemplos tanto en los que se encontró una demostración completa más adelante, como en los que el supuesto resultado resultó ser falso.

• Elementos de Euclides . Las demostraciones de Euclides son esencialmente correctas, pero, estrictamente hablando, a veces contienen lagunas porque utiliza tácitamente algunas suposiciones no declaradas, como la existencia de puntos de intersección . En 1899, David Hilbert dio un conjunto completo de axiomas ( de segundo orden ) para la geometría euclidiana, llamados axiomas de Hilbert , y entre 1926 y 1959 Tarski dio algunos conjuntos completos de axiomas de primer orden , llamados axiomas de Tarski .
• Desigualdad isoperimétrica . En tres dimensiones, establece que la figura que encierra el máximo volumen en relación con su área superficial es la esfera. Fue formulada por Arquímedes , pero no fue demostrada rigurosamente hasta el siglo XIX por Hermann Schwarz .
• Infinitesimales . En el siglo XVIII, los infinitesimales se utilizaban ampliamente en cálculo, aunque no estaban bien definidos. El cálculo se consolidó en el siglo XIX, y Robinson les proporcionó una base rigurosa con la introducción del análisis no estándar en el siglo XX.
• Teorema fundamental del álgebra (véase Historia ). En el siglo XVIII se realizaron numerosos intentos incompletos o incorrectos para demostrar este teorema, entre ellos los de d'Alembert (1746), Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772), Laplace (1795), Wood (1798) y Gauss (1799). La primera demostración rigurosa fue publicada por Argand en 1806.
• Teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas . En 1808, Legendre publicó un intento de demostración del teorema de Dirichlet, pero, como señaló Dupré en 1859, uno de los lemas utilizados por Legendre era falso. Dirichlet ofreció una demostración completa en 1837.
• Las demostraciones del teorema de Kronecker-Weber, tanto de Kronecker (1853) como de Weber (1886), presentaban lagunas. La primera demostración completa fue presentada por Hilbert en 1896.
• En 1879, Alfred Kempe publicó una supuesta demostración del teorema de los cuatro colores , cuya validez como demostración fue aceptada durante once años antes de ser refutada por Percy Heawood . Peter Guthrie Tait dio otra demostración incorrecta en 1880, que Julius Petersen demostró que era incorrecta en 1891. Sin embargo, la demostración de Kempe fue suficiente para demostrar el teorema de los cinco colores , que es más débil . El teorema de los cuatro colores fue finalmente demostrado por Kenneth Appel y Wolfgang Haken en 1976. ^{[ 2 ]}
• Teorema de Schröder-Bernstein . En 1896, Schröder publicó un esbozo de demostración ^{[ 3 ]} que, sin embargo, fue demostrado como erróneo por Alwin Reinhold Korselt en 1911 ^{[ 4 ]} (confirmado por Schröder). ^{[ 5 ] [ 6 ]}
• Último teorema de Fermat . Andrew Wiles publicó una demostración inicial en junio de 1993, pero en septiembre de ese mismo año se descubrió que contenía un error. ^{[ 7 ]} Wiles publicaría posteriormente una demostración corregida en 1995. ^{[ 8 ]}
• Teorema de la curva de Jordan . Ha habido cierta controversia sobre si la demostración original de Jordan de 1887 contiene lagunas. Oswald Veblen afirmó en 1905 que la demostración de Jordan era incompleta, pero en 2007 Hales declaró que las lagunas eran menores y que la demostración de Jordan era esencialmente completa.
• En 1905, Lebesgue intentó demostrar el resultado (correcto) de que una función definida implícitamente por una función de Baire es una función de Baire, pero su demostración asumió erróneamente que la proyección de un conjunto de Borel es un conjunto de Borel. Suslin señaló el error y se inspiró en él para definir los conjuntos analíticos como imágenes continuas de conjuntos de Borel.
• Lema de Dehn . Dehn publicó un intento de demostración en 1910, pero Kneser encontró una laguna en 1929. Finalmente, fue demostrado en 1956 por Christos Papakyriakopoulos .
• El decimosexto problema de Hilbert trata sobre la finitud del número de ciclos límite de un campo vectorial polinomial plano. Henri Dulac publicó una solución parcial a este problema en 1923, pero alrededor de 1980 Écalle e Ilyashenko encontraron independientemente una importante laguna y la resolvieron alrededor de 1991. ^{[ 9 ]}
• En 1929, Lazar Lyusternik y Lev Schnirelmann publicaron una demostración del teorema de las tres geodésicas , que posteriormente se descubrió que era errónea. La demostración fue completada por Werner Ballmann unos 50 años después.
• Regla de Littlewood-Richardson . Robinson publicó una demostración incompleta en 1938, aunque las deficiencias no se detectaron hasta muchos años después. Las primeras demostraciones completas fueron presentadas por Marcel-Paul Schützenberger en 1977 y Thomas en 1974.
• Números de clase de cuerpos cuadráticos imaginarios . En 1952, Heegner publicó una solución a este problema. Su artículo no fue aceptado como una demostración completa, ya que contenía una laguna, y las primeras demostraciones completas fueron presentadas alrededor de 1967 por Baker y Stark . En 1969, Stark demostró cómo subsanar la laguna en el artículo de Heegner.
• En 1954, Igor Shafarevich publicó una demostración de que todo grupo finito resoluble es un grupo de Galois sobre los racionales . Sin embargo, Schmidt señaló una laguna en el argumento en el primo 2, que Shafarevich corrigió en 1989.
• Problema de realización de Nielsen . Kravetz afirmó haberlo resuelto en 1959 al demostrar primero que el espacio de Teichmüller tiene curvatura negativa, pero en 1974 Masur demostró que no la tiene. El problema de realización de Nielsen fue finalmente resuelto en 1980 por Kerckhoff .
• Problema de Yamabe . Yamabe afirmó haber encontrado una solución en 1960, pero Trudinger descubrió una laguna en 1968, y la demostración completa no se presentó hasta 1984.
• Conjetura de Mordell sobre cuerpos de funciones . Manin publicó una demostración en 1963, pero Coleman (1990) encontró y corrigió una laguna en la demostración.
• En 1973, Britton publicó un intento de solución al problema de Burnside de 282 páginas . En su demostración, asumió la existencia de un conjunto de parámetros que satisfacían ciertas desigualdades, pero Adian señaló que estas desigualdades eran inconsistentes. Novikov y Adian ya habían encontrado una solución correcta alrededor de 1968.
• Clasificación de grupos simples finitos . En 1983, Gorenstein anunció que la demostración de la clasificación estaba completa, pero había recibido información errónea sobre el estado de la demostración de la clasificación de los grupos cuasithin , que presentaba una importante laguna. Aschbacher y Smith publicaron una demostración completa para este caso en 2004.
• En 1986, Spencer Bloch publicó el artículo «Ciclos algebraicos y teoría K superior», que introdujo un grupo de Chow superior , precursor de la cohomología motivacional . El artículo utilizaba un lema móvil incorrecto; este lema fue posteriormente reemplazado por 30 páginas de argumentos complejos que «tardaron muchos años en ser aceptados como correctos». ^{[ 1 ]}
• Conjetura de Kepler . Hsiang publicó una demostración incompleta en 1993. En 1998, Hales publicó una demostración basada en largos cálculos informáticos.

• En 1759, Euler afirmó que no existían recorridos cerrados de caballos en un tablero de ajedrez de 3 filas, pero en 1917 Ernest Bergholt encontró recorridos en tableros de 3 × 10 y 3 × 12. ^{[ 10 ]}
• Conjetura de Euler sobre los cuadrados grecolatinos . En la década de 1780, Euler conjeturó que no existen tales cuadrados para ningún número par impar n ≡ 2 (mod 4). En 1959, R. C. Bose y S. S. Shrikhande construyeron contraejemplos de orden 22. Posteriormente, E. T. Parker encontró un contraejemplo de orden 10 mediante una búsqueda computarizada de una hora. Finalmente, Parker, Bose y Shrikhande demostraron que esta conjetura es falsa para todo n ≥ 10.
• En 1798, AM Legendre afirmó que 6 no es la suma de 2 cubos racionales, ^{[ 11 ]} lo cual, como señaló Lamé  en 1865, es falso ya que 6 =  (37/21) ³  +  (17/21) ³ .
• En 1803, Gian Francesco Malfatti afirmó demostrar que una determinada disposición de tres círculos cubriría la máxima área posible dentro de un triángulo rectángulo. Sin embargo, para ello hizo ciertas suposiciones injustificadas sobre la configuración de los círculos. En 1930 se demostró que círculos con una configuración diferente podían cubrir un área mayor, y en 1967 que la configuración de Malfatti nunca fue óptima. Véase Círculos de Malfatti .
• En 1806, André-Marie Ampère afirmó demostrar que una función continua es diferenciable en la mayoría de los puntos (aunque no está del todo claro qué afirmaba, ya que no dio una definición precisa de función). Sin embargo, en 1872, Weierstrass dio un ejemplo de una función continua que no era diferenciable en ningún punto: la función de Weierstrass .
• Teoría de la intersección . En 1848, Steiner afirmó que el número de cónicas tangentes a 5 cónicas dadas es 7776  =  6 ⁵ , pero posteriormente se percató de su error. El número correcto, 3264, fue hallado por Berner en 1865, por Ernest de Jonquieres alrededor de 1859 y por Chasles en 1864 utilizando su teoría de las características. Sin embargo, estos resultados, al igual que muchos otros en la teoría clásica de la intersección, no parecen haber recibido demostraciones completas hasta el trabajo de Fulton y Macpherson alrededor de 1978.
• Principio de Dirichlet . Riemann lo utilizó en 1851, pero Weierstrass encontró un contraejemplo a una versión de este principio en 1870, e Hilbert enunció y demostró una versión correcta en 1900.
• Cayley ( 1878 ) afirmó erróneamente que existen tres grupos diferentes de orden 6. Este error es extraño porque en un artículo anterior de 1854 afirmó correctamente que solo existen dos de esos grupos. 
• En 1885, Evgraf Fedorov clasificó los poliedros convexos con caras rómbicas congruentes, pero omitió un caso. Stanko Bilinski redescubrió en 1960 el dodecaedro de Bilinski (olvidado tras su publicación anterior en 1752) y demostró que, con la adición de esta forma, la clasificación quedaba completa. ^{[ 12 ]}
• Wronskianos . En 1887, Mansion afirmó en su libro de texto que si un wronskiano de algunas funciones se anula en todas partes ^, entonces las funciones son linealmente dependientes. En 1889, Peano señaló el contraejemplo x² y x | x |. El resultado es correcto si las funciones son analíticas .
• Vahlen ( 1891 ) publicó un supuesto ejemplo de una curva algebraica en el espacio proyectivo tridimensional que no podía definirse como los ceros de 3 polinomios, pero en 1941 Perron encontró 3 ecuaciones que definían la curva de Vahlen. En 1961 Kneser demostró que cualquier curva algebraica en el espacio proyectivo tridimensional puede expresarse como los ceros de 3 polinomios. ^{[ 13 ]} 
• En 1898, Miller publicó un artículo en el que afirmaba erróneamente demostrar que el grupo de Mathieu M ₂₄ no existe, aunque en 1900 señaló que su demostración era incorrecta.
• En 1900, Little afirmó que la torsión de un diagrama de nudos reducido es una invariante. Sin embargo, en 1974, Perko descubrió un contraejemplo llamado par de Perko , un par de nudos que figuraban como distintos en las tablas durante muchos años, pero que en realidad son el mismo.
• El vigésimo primer problema de Hilbert . En 1908, Plemelj afirmó haber demostrado la existencia de ecuaciones diferenciales fuchsianas con cualquier grupo de monodromía dado , pero en 1989 Bolibruch descubrió un contraejemplo.
• En 1925, Ackermann publicó una demostración de que un sistema débil puede probar la consistencia de una versión del análisis, pero von Neumann descubrió un error explícito en ella pocos años después. Los teoremas de incompletitud de Gödel demostraron que no es posible probar la consistencia del análisis utilizando sistemas más débiles.
• Grupos de orden 64. En 1930, Miller publicó un artículo en el que afirmaba que existen 294 grupos de orden 64. Hall y Senior demostraron en 1964 que el número correcto es 267.
• Kurt Gödel demostró en 1933 que la verdad de una cierta clase de enunciados de aritmética de primer orden , conocidos en la literatura como [ ∃ ^* ∀ ² ∃ ^* , all , (0) ] , era decidible . Es decir, existía un método para decidir correctamente si cualquier enunciado de esa forma era verdadero. En la última frase de ese artículo, afirmó que la misma demostración funcionaría para la decidibilidad de la clase más amplia [ ∃ ^* ∀ ² ∃ ^* , all , (0) ] ₌ , que también incluye fórmulas que contienen un predicado de igualdad. Sin embargo, a mediados de la década de 1960, Stål Aanderaa demostró que la demostración de Gödel no se aplicaría a la clase más amplia, y en 1982 Warren Goldfarb demostró que la validez de las fórmulas de la clase más amplia era, de hecho, indecidible. ^{[ 14 ] [ 15 ]}    
• Teorema de Grunwald-Wang . Wilhelm Grunwald publicó en 1933 una demostración incorrecta de un teorema erróneo, y George Whaples publicó posteriormente otra demostración incorrecta. Shianghao Wang halló un contraejemplo en 1948 y publicó una versión corregida del teorema en 1950.
• En 1934, Severi afirmó que el espacio de clases de equivalencia racionales de ciclos en una superficie algebraica es de dimensión finita, pero Mumford (1968) demostró que esto es falso para superficies de género geométrico positivo.
• Uno de los muchos ejemplos de la geometría algebraica en la primera mitad del siglo XX: Severi (1946) afirmó que una superficie de grado n en el espacio proyectivo tridimensional tiene como máximo ( ^{n +2} ₃ )−4 nodos, B. Segre señaló que esto era erróneo; por ejemplo, para grado 6 el número máximo de nodos es 65, alcanzado por el sextico de Barth , que es más que el máximo de 52 afirmado por Severi.
• Invariante de Rokhlin . En 1951, Rokhlin afirmó erróneamente que el tercer tallo estable de los grupos de homotopía de esferas era de orden 12. En 1952 descubrió su error: en realidad es cíclico de orden 24. Esta diferencia es crucial, ya que da lugar a la existencia del invariante de Rokhlin, una herramienta fundamental en la teoría de variedades tridimensionales y cuatridimensionales .
• En 1961, Jan-Erik Roos publicó un teorema incorrecto sobre la anulación del primer functor derivado del functor límite inverso bajo ciertas condiciones generales. ^{[ 16 ]} Sin embargo, en 2002, Amnon Neeman construyó un contraejemplo. ^{[ 17 ]} Roos demostró en 2006 que el teorema se cumple si se añade la condición de que la categoría tiene un conjunto de generadores . ^{[ 18 ]}
• El multiplicador de Schur del grupo de Mathieu M ₂₂ es particularmente notorio, ya que fue mal calculado más de una vez: Burgoyne y Fong (1966) afirmaron primero que tenía orden 3, luego en una corrección de 1968 afirmaron que tenía orden 6; su orden es de hecho (actualmente se cree que es) 12. Esto causó un error en el título del artículo de Janko Un nuevo grupo simple finito de orden 86,775,570,046,077,562,880 que posee M ₂₄ y el grupo de recubrimiento completo de M ₂₂ como subgrupo en J4 : no tiene el grupo de recubrimiento completo como subgrupo, ya que el grupo de recubrimiento completo es mayor de lo que se creía en ese momento.
• La clasificación original de los grupos N realizada por Thompson en 1968 omitió accidentalmente el grupo Tits , aunque pronto corrigió este error.
• En 1975, Leitzel, Madan y Queen afirmaron erróneamente que solo existen 7 campos de funciones sobre campos finitos con género > 0 y número de clase 1, pero en 2013 Stirpe descubrió otro; de hecho, existen exactamente 8.
• Problema de Busemann-Petty . Zhang publicó dos artículos en los Annals of Mathematics en 1994 y 1999, en el primero de los cuales demostró que el problema de Busemann-Petty en R ⁴ tiene una solución negativa, y en el segundo demostró que tiene una solución positiva.
• Pilas algebraicas . El libro de Laumon y Moret-Bailly (2000) sobre pilas algebraicas afirmó erróneamente que los morfismos de pilas algebraicas inducen morfismos de topoi lisos-étales . Los resultados que dependían de esto fueron corregidos por Olsson (2007) .

• Los fundamentos de las matemáticas que Frege expuso en su libro Begriffsschrift de 1879 resultaron ser inconsistentes debido a la paradoja de Russell , descubierta en 1901.
• Church's original published attempt in 1932 to define a formal system was inconsistent, as was his correction in 1933. The consistent part of his system later became the lambda calculus.
• Quine published his original description of the system Mathematical Logic in 1940, but in 1942 Rosser showed it was inconsistent. Wang found a correction in 1950; the consistency of this revised system is still unclear.
• In 1967 Reinhardt proposed Reinhardt cardinals, which Kunen showed to be inconsistent with ZFC in 1971, though they are not known to be inconsistent with ZF.
• Per Martin-Löf's original version of intuitionistic type theory proposed in 1971 was shown to be inconsistent by Jean-Yves Girard in 1972, and was replaced by a corrected version.

• Uniform convergence. In his Cours d'Analyse of 1821, Cauchy "proved" that if a sum of continuous functionsconverges pointwise, then its limit is also continuous. However, Abel observed in 1826 that this is not the case. For the conclusion to hold, "pointwise convergence" must be replaced with "uniform convergence". It is not entirely clear that Cauchy's original result was wrong, because his definition of pointwise convergence was a little vague and may have been stronger than the one currently in use, and there are ways to interpret his result so that it is correct.^[19] There are many counterexamples using the standard definition of pointwise convergence. For example, a Fourier series of sine and cosine functions, all continuous, may converge pointwise to a discontinuous function such as a step function.
• Carmichael's totient function conjecture was stated as a theorem by Robert Daniel Carmichael in 1907, but in 1922 he pointed out that his proof was incomplete. As of 2016 the problem is still open.
• Escuela italiana de geometría algebraica . La mayoría de las lagunas en las demostraciones se deben a un sutil descuido técnico o, antes del siglo XX, a la falta de definiciones precisas. Una excepción importante es la escuela italiana de geometría algebraica de la primera mitad del siglo XX, donde se aceptaron gradualmente estándares de rigor menos estrictos. Como resultado, existen numerosos trabajos en este campo con demostraciones incompletas o teoremas mal enunciados. Esta lista incluye algunos ejemplos representativos donde el resultado no solo fue demostrado de forma incompleta, sino también completamente erróneo.
• En 1933, George David Birkhoff y Waldemar Joseph Trjitzinsky publicaron un teorema muy general ^{[ 20 ]} sobre la asintótica de secuencias que satisfacen recurrencias lineales. El teorema fue popularizado por Jet Wimp y Doron Zeilberger en 1985. ^{[ 21 ]} Sin embargo, aunque el resultado es probablemente cierto, a día de hoy (2021) la demostración de Birkhoff y Trjitzinsky no es generalmente aceptada por los expertos, y el teorema se demuestra (aceptadamente) solo en casos especiales. ^{[ 22 ]}
• Conjetura jacobiana . Keller la planteó como una pregunta en 1939, y en los años siguientes se publicaron varias demostraciones incompletas, incluyendo la de B. Segre (3), pero Vitushkin encontró lagunas en muchas de ellas. La conjetura jacobiana es (a fecha de 2016) un problema abierto, y se anuncian regularmente más demostraciones incompletas. Hyman Bass, Edwin H. Connell y David Wright ( 1982 ) analizan los errores en algunas de estas demostraciones incompletas. 
• Un fortalecimiento del decimosexto problema de Hilbert que pregunta si existe una cota superior uniforme y finita para el número de ciclos límite de campos vectoriales polinomiales planares de grado n dado . En la década de 1950, Evgenii Landis e Ivan Petrovsky publicaron una supuesta solución, pero se demostró que era errónea a principios de la década de 1960. ^{[ 9 ]}
• En 1954, Zarankiewicz afirmó haber resuelto el problema de la fábrica de ladrillos de Turán sobre el número de cruces de grafos bipartitos completos , pero Kainen y Ringel posteriormente detectaron una laguna en su demostración.
• Estructuras complejas en la 6-esfera. En 1969, Alfred Adler publicó un artículo en el American Journal of Mathematics en el que afirmaba que la 6-esfera no posee estructuras complejas. Su argumento era incompleto y, a fecha de 2016, este sigue siendo un importante problema sin resolver.
• Geodésicas cerradas . En 1978, Wilhelm Klingenberg publicó una demostración de que las variedades compactas lisas sin frontera tienen infinitas geodésicas cerradas. Su demostración fue controvertida y, actualmente (a fecha de 2016), no existe consenso sobre si es completa.
• En 1991, Kapranov y Voevodsky publicaron un artículo en el que afirmaban demostrar una versión de la hipótesis de homotopía . Posteriormente, Simpson demostró que el resultado del artículo no era cierto, pero conjeturó que una variante del resultado podría serlo, variante que ahora se conoce como la conjetura de Simpson .
• Conjetura del telescopio . Ravenel anunció una refutación de esta conjetura en 1992, pero posteriormente la retiró, y la conjetura sigue abierta.
• Fibrados de matroides. En 2003, Daniel Biss publicó un artículo en los Annals of Mathematics afirmando demostrar que los fibrados de matroides son equivalentes a los fibrados de vectores reales, pero en 2009 publicó una corrección señalando una grave laguna en la demostración. ^{[ 23 ]} Su corrección se basó en un artículo de Mnëv de 2007. ^{[ 24 ]}
• En 2012, el matemático japonés Shinichi Mochizuki publicó en línea una serie de artículos en los que afirma demostrar la conjetura abc . A pesar de su posterior publicación en una revista revisada por pares, su demostración no ha sido aceptada como correcta por la comunidad matemática convencional. ^{[ 25 ] [ 26 ]}

• Lista de demostraciones matemáticas largas
• Lista de ideas matemáticas refutadas
• Teorías superadas en la ciencia

• Lecat, Maurice (1935), Erreurs de mathématiciens des origines à nos jours , Bruselas - Lovaina: Librairie Castaigne - Ém. Desbarax— Enumera más de cien páginas de errores publicados (en su mayoría triviales) cometidos por matemáticos.

• Correo electrónico de David Mumford sobre los errores de la escuela italiana de geometría algebraica bajo Severi
• Las primeras 9 páginas deMenciona algunos ejemplos de resultados incorrectos en la teoría de la homotopía.