Matemáticas y arte

Polykleitos the elder (c. 450–420 BC) was a Greeksculptor from the school of Argos, and a contemporary of Phidias. His works and statues consisted mainly of bronze and were of athletes. According to the philosopher and mathematician Xenocrates, Polykleitos is ranked as one of the most important sculptors of classical antiquity for his work on the Doryphorus and the statue of Hera in the Heraion of Argos.^[3] While his sculptures may not be as famous as those of Phidias, they are much admired. In his Canon, a treatise he wrote designed to document the "perfect" body proportions of the male nude, Polykleitos gives us a mathematical approach towards sculpturing the human body.^[3]

The Canon itself has been lost but it is conjectured that Polykleitos used a sequence of proportions where each length is that of the diagonal of a square drawn on its predecessor, 1:√2 (about 1:1.4142).^[4]

The influence of the Canon of Polykleitos is immense in Classical Greek, Roman, and Renaissance sculpture, with many sculptors following Polykleitos's prescription. While none of Polykleitos's original works survive, Roman copies demonstrate his ideal of physical perfection and mathematical precision. Some scholars argue that Pythagorean thought influenced the Canon of Polykleitos.^[5] The Canon applies the basic mathematical concepts of Greek geometry, such as the ratio, proportion, and symmetria (Greek for "harmonious proportions") and turns it into a system capable of describing the human form through a series of continuous geometric progressions.^[4]

En la época clásica, en lugar de reducir el tamaño de las figuras distantes mediante la perspectiva lineal , los pintores dimensionaban los objetos y las figuras según su importancia temática. En la Edad Media, algunos artistas utilizaron la perspectiva inversa para dar un énfasis especial. El matemático musulmán Alhazen (Ibn al-Haytham) describió una teoría de la óptica en su Libro de Óptica en 1021, pero nunca la aplicó al arte. ^{[ 6 ]} El Renacimiento vio un renacimiento de la cultura y las ideas clásicas griegas y romanas, entre ellas el estudio de las matemáticas para comprender la naturaleza y las artes . Dos motivos principales impulsaron a los artistas de finales de la Edad Media y del Renacimiento hacia las matemáticas. Primero, los pintores necesitaban descubrir cómo representar escenas tridimensionales en un lienzo bidimensional. Segundo, tanto filósofos como artistas estaban convencidos de que las matemáticas eran la verdadera esencia del mundo físico y que todo el universo, incluidas las artes, podía explicarse en términos geométricos. ^{[ 7 ]}

Los rudimentos de la perspectiva llegaron con Giotto (1266/7 – 1337), quien intentó dibujar en perspectiva utilizando un método algebraico para determinar la posición de las líneas distantes. En 1415, el arquitecto italiano Filippo Brunelleschi y su amigo Leon Battista Alberti demostraron el método geométrico de aplicación de la perspectiva en Florencia, utilizando triángulos semejantes , tal como los formuló Euclides, para hallar la altura aparente de los objetos distantes. ^{[ 8 ] [ 9 ]} Las pinturas en perspectiva del propio Brunelleschi se han perdido, pero la pintura de la Santísima Trinidad de Masaccio muestra sus principios en acción. ^{[ 6 ] [ 10 ] [ 11 ]}

El pintor italiano Paolo Uccello (1397–1475) estaba fascinado por la perspectiva, como se muestra en sus pinturas de La batalla de San Romano (c. 1435–1460): las lanzas rotas se encuentran convenientemente alineadas con las líneas de perspectiva. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

El pintor Piero della Francesca (c. 1415–1492) ejemplificó este nuevo cambio en el pensamiento del Renacimiento italiano. Fue un matemático y geómetra experto , que escribió libros sobre geometría sólida y perspectiva , entre ellos De prospectiva pingendi (Sobre la perspectiva para la pintura) , Trattato d'Abaco (Tratado del ábaco) y De quinque corporibus regularibus (Sobre los cinco sólidos regulares) . ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]} El historiador Vasari, en su Vidas de los pintores, llama a Piero el "más grande geómetra de su tiempo, o quizás de cualquier tiempo". ^{[ 17 ]} El interés de Piero por la perspectiva se puede ver en sus pinturas, entre ellas el Políptico de Perugia , ^{[ 18 ]} el retablo de San Agostino y La flagelación de Cristo . Su trabajo sobre geometría influyó en matemáticos y artistas posteriores, como Luca Pacioli en su De divina proportione y Leonardo da Vinci . Piero estudió matemáticas clásicas y las obras de Arquímedes . ^{[ 19 ]} Recibió enseñanza de aritmética comercial en "escuelas de ábaco"; sus escritos tienen el formato de los libros de texto de estas escuelas, ^{[ 20 ]} posiblemente incluyendo el Liber Abaci de Leonardo Pisano ( Fibonacci ) de 1202. La perspectiva lineal se estaba introduciendo en el mundo artístico. Alberti explicó en su De pictura de 1435 : "los rayos de luz viajan en línea recta desde los puntos de la escena observada hasta el ojo, formando una especie de pirámide con el ojo como vértice". Una pintura construida con perspectiva lineal es una sección transversal de esa pirámide. ^{[ 21 ]}

En De Prospectiva Pingendi , Piero transforma sus observaciones empíricas sobre cómo cambian los aspectos de una figura según el punto de vista en demostraciones matemáticas. Su tratado comienza siguiendo la línea de Euclides: define el punto como «la cosa más pequeña que el ojo puede comprender». ^{[ a ] ​​[ 7 ]} Utiliza la lógica deductiva para guiar al lector hacia la representación en perspectiva de un cuerpo tridimensional. ^{[ 22 ]}

El artista David Hockney argumentó en su libro Secret Knowledge: Rediscovering the Lost Techniques of the Old Masters que los artistas comenzaron a usar una cámara lúcida a partir de la década de 1420, lo que resultó en un cambio repentino en la precisión y el realismo, y que esta práctica fue continuada por artistas importantes como Ingres , Van Eyck y Caravaggio . ^{[ 23 ]} Los críticos discrepan sobre si Hockney tenía razón. ^{[ 24 ] [ 25 ]} De manera similar, el arquitecto Philip Steadman argumentó de forma controvertida ^{[ 26 ]} que Vermeer había utilizado un dispositivo diferente, la cámara oscura , para ayudarlo a crear sus pinturas de observación distintiva. ^{[ 27 ]}

En 1509, Luca Pacioli (c. 1447–1517) publicó De divina proportione sobre la proporción matemática y artística , incluyendo el rostro humano. Leonardo da Vinci (1452–1519) ilustró el texto con grabados en madera de sólidos regulares mientras estudiaba con Pacioli en la década de 1490. Los dibujos de Leonardo son probablemente las primeras ilustraciones de sólidos esqueléticos. ^{[ 28 ]} Estos, como el rombicuboctaedro , fueron de los primeros en ser dibujados para demostrar la perspectiva al ser superpuestos unos sobre otros. La obra analiza la perspectiva en las obras de Piero della Francesca , Melozzo da Forlì y Marco Palmezzano . ^{[ 29 ]} Leonardo estudió la Summa de Pacioli , de la cual copió tablas de proporciones. ^{[ 30 ]} En la Mona Lisa y La Última Cena , la obra de Leonardo incorporó la perspectiva lineal con un punto de fuga para proporcionar profundidad aparente. ^{[ 31 ]} La Última Cena está construida con una proporción estricta de 12:6:4:3, al igual que La Escuela de Atenas de Rafael , que incluye a Pitágoras con una tabla de proporciones ideales, sagrada para los pitagóricos. ^{[ 32 ] [ 33 ]} En El Hombre de Vitruvio , Leonardo expresó las ideas del arquitecto romano Vitruvio , mostrando de manera innovadora la figura masculina dos veces y centrándola tanto en un círculo como en un cuadrado. ^{[ 34 ]}

Ya en el siglo XV, la perspectiva curvilínea se abrió paso en las pinturas de artistas interesados ​​en las distorsiones de la imagen. El Retrato de Arnolfini de Jan van Eyck , de 1434 , contiene un espejo convexo con reflejos de las personas en la escena, ^{[ 35 ]} mientras que el Autorretrato en un espejo convexo de Parmigianino , c. 1523-1524, muestra el rostro del artista prácticamente sin distorsiones en el centro, con un fondo fuertemente curvado y la mano del artista alrededor del borde. ^{[ 36 ]}

El espacio tridimensional puede representarse de forma convincente en el arte, al igual que en el dibujo técnico , mediante técnicas distintas a la perspectiva. Las proyecciones oblicuas , incluida la perspectiva caballera (utilizada por los artistas militares franceses para representar fortificaciones en el siglo XVIII), fueron empleadas de forma continua y generalizada por los artistas chinos desde el siglo I o II hasta el siglo XVIII. Los chinos adquirieron la técnica de la India, que a su vez la adquirió de la Antigua Roma. La proyección oblicua se observa en el arte japonés, como en las pinturas Ukiyo-e de Torii Kiyonaga (1752-1815). ^{[ 37 ]}

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  Grabado en madera de la obra De divina proportione de Luca Pacioli , de 1509, con un triángulo equilátero sobre un rostro humano.
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  Cámara lúcida en uso. Scientific American , 1879.
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  Ilustración de un artista utilizando una cámara oscura , siglo XVII.
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  Proporción: El hombre de Vitruvio de Leonardo , c. 1490
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  La teoría de la perspectiva de Brunelleschi : La Trinità de Masaccio , c. 1426-1428, en la Basílica de Santa María Novella
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  Diagrama de Della Pittura de 1435 de Leon Battista Alberti , con pilares en perspectiva sobre una cuadrícula
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  Perspectiva lineal en La flagelación de Cristo de Piero della Francesca , c. 1455–1460
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  Perspectiva curvilínea : espejo convexo en el Retrato de Arnolfini de Jan van Eyck , 1434.
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  Parmigianino , Autorretrato en espejo convexo , c. 1523-1524
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  Pitágoras con una tabla de proporciones, en La Escuela de Atenas de Rafael , 1509.
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  Proyección oblicua : Entrada y patio de un yamen . Detalle de un rollo sobre Suzhou de Xu Yang, encargado por el emperador Qianlong . Siglo XVIII.
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  Proyección oblicua : mujeres jugando a los juegos de mesa Shogi , Go y Ban-sugoroku . Pintura de Torii Kiyonaga , Japón, c. 1780.

La proporción áurea (aproximadamente igual a 1,618) era conocida por Euclides . ^{[ 38 ]} Se ha afirmado persistentemente que la proporción áurea ^{[ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ]} en tiempos modernos fue utilizada en el arte y la arquitectura por los antiguos en Egipto, Grecia y otros lugares, sin evidencia confiable. ^{[ 43 ]} La afirmación puede derivar de una confusión con la "media áurea", que para los antiguos griegos significaba "evitar el exceso en cualquier dirección", no una proporción. ^{[ 43 ]} Los piramidólogos desde el siglo XIX han argumentado sobre dudosos fundamentos matemáticos a favor de la proporción áurea en el diseño de pirámides. ^{[ b ]} Se ha afirmado que el Partenón , un templo del siglo V a. C. en Atenas, utilizó la proporción áurea en su fachada y planta, ^{[ 47 ] [ 48 ] [ 49 ]} pero estas afirmaciones también son refutadas por la medición. ^{[ 43 ]} De manera similar, se ha afirmado que la Gran Mezquita de Kairouan en Túnez utiliza la proporción áurea en su diseño, ^{[ 50 ]} pero esta proporción no aparece en las partes originales de la mezquita. ^{[ 51 ]} El historiador de la arquitectura Frederik Macody Lund argumentó en 1919 que la Catedral de Chartres (siglo XII), Notre-Dame de Laon (1157–1205) y Notre Dame de París (1160) están diseñadas según la proporción áurea, ^{[ 52 ]} trazando líneas reguladoras para sustentar su argumento. Otros estudiosos sostienen que, hasta la obra de Pacioli en 1509, la proporción áurea era desconocida para artistas y arquitectos. ^{[ 53 ]} Por ejemplo, la altura y el ancho de la fachada de Notre-Dame de Laon tienen una proporción de 8/5 o 1,6, no de 1,618. Estas proporciones de Fibonacci se vuelven rápidamente difíciles de distinguir de la proporción áurea. ^{[ 54 ]} Después de Pacioli, la proporción áurea es más claramente discernible en obras de arte como la Mona Lisa de Leonardo . ^{[ 55 ]}

Otra razón, el único otro número mórfico, ^{[ 56 ]} fue denominado número plástico ^{[ c ]} en 1928 por el arquitecto holandés Hans van der Laan (originalmente llamado le nombre radiant en francés). ^{[ 57 ]} Su valor es la solución de la ecuación cúbica

${\displaystyle x^{3}=x+1\,}$,

un número irracional que es aproximadamente 1,325. Según el arquitecto Richard Padovan , este tiene proporciones características de 3/4 y 1/7 , que rigen los límites de ^{la percepción humana al relacionar un tamaño físico con otro. Van der Laan utilizó estas proporciones al} diseñar la iglesia de la Abadía de San Benedictusberg en los Países Bajos en 1967. ^[ 57 ^]

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  Las proporciones base:hipotenusa (b:a) para la Pirámide de Keops podrían ser: 1:φ ( triángulo de Kepler ), 3:5 ( triángulo 3-4-5 ) o 1:4/π.
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  Proporciones supuestas: Notre-Dame de Laon
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  Rectángulos dorados superpuestos a la Mona Lisa
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  La iglesia de la abadía de St. Benedictusberg, de 1967, obra de Hans van der Laan, presenta proporciones plásticas .

Las simetrías planas se han explotado durante milenios en obras de arte como alfombras , celosías, textiles y azulejos. ^{[ 59 ] [ 60 ] [ 61 ] [ 62 ]}

Muchas alfombras tradicionales, ya sean alfombras de pelo o kilims de tejido plano , se dividen en un campo central y un borde de enmarcado; ambos pueden tener simetrías, aunque en las alfombras tejidas a mano estas a menudo se rompen ligeramente por pequeños detalles, variaciones de patrón y cambios de color introducidos por el tejedor. ^{[ 59 ]} En los kilims de Anatolia , los motivos utilizados suelen ser simétricos. El diseño general también suele estar presente, con disposiciones como rayas, rayas alternadas con filas de motivos y matrices compactas de motivos aproximadamente hexagonales. El campo se suele disponer como un papel pintado con un grupo de papel pintado como pmm, mientras que el borde puede disponerse como un friso del grupo de frisos pm11, pmm2 o pma2. Los kilims turcos y de Asia Central a menudo tienen tres o más bordes en diferentes grupos de frisos. Los tejedores ciertamente tenían la intención de la simetría, sin un conocimiento explícito de su matemática. ^{[ 59 ]} El matemático y teórico de la arquitectura Nikos Salingaros sugiere que la "poderosa presencia" ^{[ 58 ]} (efecto estético) de una "gran alfombra" ^{[ 58 ]} como las mejores alfombras Konya de dos medallones del siglo XVII se crea mediante técnicas matemáticas relacionadas con las teorías del arquitecto Christopher Alexander . Estas técnicas incluyen emparejar opuestos; valores de color opuestos; diferenciar áreas geométricamente, ya sea mediante el uso de formas complementarias o equilibrando la direccionalidad de ángulos agudos; proporcionar complejidad a pequeña escala (desde el nivel del nudo hacia arriba) y simetría tanto a pequeña como a gran escala; repetir elementos en una jerarquía de diferentes escalas (con una proporción de aproximadamente 2,7 de cada nivel al siguiente). Salingaros argumenta que "todas las alfombras exitosas satisfacen al menos nueve de las diez reglas anteriores" y sugiere que podría ser posible crear una métrica a partir de estas reglas. ^{[ 58 ]}

En la técnica india de Jali se encuentran elaborados entramados tallados en mármol para adornar tumbas y palacios. ^{[ 60 ]} Los entramados chinos, siempre con cierta simetría, se encuentran en 14 de los 17 grupos de papel tapiz; a menudo presentan simetría especular, simetría doble o rotacional. Algunos tienen un medallón central y otros un borde en un grupo de frisos. ^{[ 63 ]} Muchos entramados chinos han sido analizados matemáticamente por Daniel S. Dye, quien identifica a Sichuan como el centro de esta artesanía. ^{[ 64 ]}

Las simetrías son prominentes en las artes textiles, incluyendo el acolchado , ^{[ 61 ]} el tejido de punto , ^{[ 65 ]} el punto de cruz , el ganchillo , ^{[ 66 ]} el bordado ^{[ 67 ] [ 68 ]} y el tejido , ^{[ 69 ]} donde pueden ser puramente decorativas o pueden ser marcas de estatus. ^{[ 70 ]} La simetría rotacional se encuentra en estructuras circulares como las cúpulas ; estas a veces están elaboradamente decoradas con patrones simétricos por dentro y por fuera, como en la Mezquita Sheikh Lotfollah de 1619 en Isfahán . ^{[ 71 ]} Los artículos de bordado y encaje , como manteles y salvamanteles, hechos con bolillos o por frivolité , pueden tener una amplia variedad de simetrías de reflexión y rotación que se están explorando matemáticamente. ^{[ 72 ]}

El arte islámico explota las simetrías en muchas de sus formas artísticas, especialmente en los mosaicos girih . Estos se forman utilizando un conjunto de cinco formas de mosaico: un decágono regular, un hexágono alargado, una pajarita, un rombo y un pentágono regular. Todos los lados de estos mosaicos tienen la misma longitud y todos sus ángulos son múltiplos de 36° (π/5 radianes ), lo que ofrece simetrías quíntuples y décuples. Los mosaicos están decorados con líneas de entramado (girih), generalmente más visibles que los bordes de los mosaicos. En 2007, los físicos Peter Lu y Paul Steinhardt argumentaron que el girih se asemejaba a los mosaicos de Penrose cuasicristalinos . ^{[ 73 ]} El elaborado trabajo geométrico de mosaicos zellige es un elemento distintivo de la arquitectura marroquí . ^{[ 62 ]} Las bóvedas de muqarnas son tridimensionales, pero fueron diseñadas en dos dimensiones con dibujos de celdas geométricas. ^{[ 74 ]}

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  Kilim de Hotamis (detalle), Anatolia central , principios del siglo XIX.
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  Detalle de un brocado de la dinastía Ming , con un patrón de celosía hexagonal biselada.
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  Celosía de mármol de Jaali en la tumba de Salim Chishti , Fatehpur Sikri , India
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  Simetrías : Tapicería con el patrón del Bargello florentino
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  Techo de la mezquita Sheikh Lotfollah , Isfahán , 1619.
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  Simetría rotacional en el encaje : trabajo de frivolité
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  Azulejos Girih : diseños a gran y pequeña escala en una enjuta del santuario Darb-i Imam , Isfahán, 1453.
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  Teselados : mosaicos zellige en Bou Inania Madrasa , Fez , Marruecos
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  La compleja geometría y los mosaicos de las bóvedas de mocárabes en la mezquita Sheikh Lotfollah, Isfahán.
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  Plano arquitectónico de una bóveda de cuarto con mocárabes. Topkapı Scroll
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  Túnica inca Tupa del Perú , 1450-1540, un textil andino que denota alto rango ^{[ 70 ].}

Los sólidos platónicos y otros poliedros son un tema recurrente en el arte occidental. Se encuentran, por ejemplo, en un mosaico de mármol que presenta el pequeño dodecaedro estrellado , atribuido a Paolo Uccello, en el suelo de la Basílica de San Marcos en Venecia; ^{[ 12 ]} en los diagramas de poliedros regulares de Leonardo da Vinci dibujados como ilustraciones para el libro de Luca Pacioli de 1509, La Proporción Divina ; ^{[ 12 ]} como un rombicuboctaedro de vidrio en el retrato de Pacioli de Jacopo de Barbari, pintado en 1495; ^{[ 12 ]} en el poliedro truncado (y varios otros objetos matemáticos) en el grabado de Albrecht Dürer , Melancolía I ; ^{[ 12 ]} y en la pintura de Salvador Dalí , La Última Cena, en la que Cristo y sus discípulos están representados dentro de un dodecaedro gigante . ^{[ 75 ]}

Albrecht Dürer (1471–1528) fue un grabador alemán del Renacimiento que realizó importantes contribuciones a la literatura sobre poliedros en su libro de 1525, Underweysung der Messung (Instrucción sobre la medición) , destinado a enseñar los temas de perspectiva lineal , geometría en la arquitectura , sólidos platónicos y polígonos regulares . Es probable que Dürer estuviera influenciado por las obras de Luca Pacioli y Piero della Francesca durante sus viajes a Italia . ^{[ 76 ]} Si bien los ejemplos de perspectiva en Underweysung der Messung están poco desarrollados y contienen imprecisiones, hay una discusión detallada de los poliedros. Dürer también es el primero en introducir en un texto la idea de redes poliédricas , poliedros desplegados para que queden planos para su impresión. ^{[ 77 ]} Durero publicó otro libro influyente sobre las proporciones humanas llamado Vier Bücher von Menschlicher Proportion (Cuatro libros sobre la proporción humana) en 1528. ^{[ 78 ]}

El conocido grabado de Durero, Melancolía I, representa a un pensador frustrado sentado junto a un trapezoedro triangular truncado y un cuadrado mágico . ^{[ 1 ]} Estos dos objetos, y el grabado en su conjunto, han sido objeto de más interpretaciones modernas que el contenido de casi cualquier otro grabado, ^{[ 1 ] [ 79 ] [ 80 ]} incluyendo un libro de dos volúmenes de Peter-Klaus Schuster, ^{[ 81 ]} y una influyente discusión en la monografía de Erwin Panofsky sobre Durero. ^{[ 1 ] [ 82 ]}

La pintura de Salvador Dalí de 1954, Corpus Hypercubus, representa de manera singular la cruz de Cristo como una red tridimensional desplegada de un hipercubo , también conocido como teseracto : el despliegue de un teseracto en estos ocho cubos es análogo al despliegue de los lados de un cubo en forma de cruz de seis cuadrados, que aquí representa la perspectiva divina con un poliedro regular de cuatro dimensiones. ^{[ 83 ] [ 84 ]} La pintura muestra la figura de Cristo frente al teseracto; normalmente se le mostraría fijado con clavos a la cruz, pero no hay clavos en la pintura. En cambio, hay cuatro pequeños cubos frente a su cuerpo, en las esquinas del más frontal de los ocho cubos del teseracto. El matemático Thomas Banchoff afirma que Dalí intentaba trascender el mundo tridimensional, mientras que la poeta y crítica de arte Kelly Grovier dice que «La pintura parece haber roto el vínculo entre la espiritualidad de la salvación de Cristo y la materialidad de las fuerzas geométricas y físicas. Parece tender un puente sobre la brecha que muchos sienten que separa la ciencia de la religión». ^{[ 85 ]}

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  La primera ilustración impresa de un rombicuboctaedro , de Leonardo da Vinci , publicada en De Divina Proportione , 1509
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  Icosaedro como parte del monumento a Baruch Spinoza , Ámsterdam

Los diseños tradicionales indonesios de batik con reserva de cera sobre tela combinan motivos representativos (como elementos florales y vegetales) con elementos abstractos y algo caóticos, incluyendo la imprecisión en la aplicación de la reserva de cera y la variación aleatoria introducida por el agrietamiento de la misma. Los diseños de batik tienen una dimensión fractal entre 1 y 2, que varía según los diferentes estilos regionales. Por ejemplo, el batik de Cirebon tiene una dimensión fractal de 1,1; los batiks de Yogyakarta y Surakarta (Solo) en Java Central tienen una dimensión fractal de 1,2 a 1,5; y los batiks de Lasem en la costa norte de Java y de Tasikmalaya en Java Occidental tienen una dimensión fractal entre 1,5 y 1,7. ^{[ 86 ]}

Las obras de pintura por goteo del artista moderno Jackson Pollock son igualmente distintivas por su dimensión fractal. Su obra Número 14 de 1948 tiene una dimensión similar a la de una costa de 1,45, mientras que sus pinturas posteriores presentaban dimensiones fractales cada vez mayores y, por consiguiente, patrones más elaborados. Una de sus últimas obras, Polos azules , tardó seis meses en crearse y tiene una dimensión fractal de 1,72. ^{[ 87 ]}

El matemático Jerry P. King describe las matemáticas como un arte, afirmando que "las claves de las matemáticas son la belleza y la elegancia, y no la monotonía ni la tecnicidad", y que la belleza es la fuerza motriz de la investigación matemática. ^{[ 91 ]} King cita el ensayo de 1940 del matemático G. H. Hardy, Apología de un matemático . En él, Hardy analiza por qué considera de primer orden dos teoremas de la época clásica : la demostración de Euclides de que existen infinitos números primos y la demostración de que la raíz cuadrada de 2 es irracional . King evalúa esta última según los criterios de Hardy para la elegancia matemática : " seriedad, profundidad, generalidad, imprevisibilidad, inevitabilidad y economía " (cursivas de King), y describe la demostración como "estéticamente agradable". ^{[ 92 ]} El matemático húngaro Paul Erdős coincidió en que las matemáticas poseían belleza, pero consideró que las razones eran inexplicables: "¿Por qué son bellos los números? Es como preguntar por qué es bella la Novena Sinfonía de Beethoven . Si no ves por qué, nadie puede decírtelo. Yo sé que los números son bellos." ^{[ 93 ]}

Las matemáticas se pueden discernir en muchas de las artes, como la música , la danza , ^{[ 94 ]} la pintura , la arquitectura y la escultura . Cada una de ellas está ricamente asociada con las matemáticas. ^{[ 95 ]} Entre las conexiones con las artes visuales, las matemáticas pueden proporcionar herramientas para los artistas, como las reglas de la perspectiva lineal descritas por Brook Taylor y Johann Lambert , o los métodos de la geometría descriptiva , ahora aplicados en el modelado de sólidos por software, que se remontan a Albrecht Dürer y Gaspard Monge . ^{[ 96 ]} Artistas desde Luca Pacioli en la Edad Media y Leonardo da Vinci y Albrecht Dürer en el Renacimiento han utilizado y desarrollado ideas matemáticas en la búsqueda de su trabajo artístico. ^{[ 95 ] [ 97 ]} El uso de la perspectiva comenzó, a pesar de algunos usos embrionarios en la arquitectura de la Antigua Grecia, con pintores italianos como Giotto en el siglo XIII; Reglas como el punto de fuga fueron formuladas por primera vez por Brunelleschi alrededor de 1413, ^{[ 6 ]} su teoría influyó en Leonardo y Durero. El trabajo de Isaac Newton sobre el espectro óptico influyó en la Teoría de los Colores de Goethe y, a su vez, en artistas como Philipp Otto Runge , JMW Turner , ^{[ 98 ]} los prerrafaelitas y Wassily Kandinsky . ^{[ 99 ] [ 100 ]} Los artistas también pueden optar por analizar la simetría de una escena. ^{[ 101 ]} Las herramientas pueden ser aplicadas por matemáticos que exploran el arte, o por artistas inspirados por las matemáticas, como MC Escher (inspirado por HSM Coxeter ) y el arquitecto Frank Gehry , quien argumentó de manera más tenue que el diseño asistido por computadora le permitió expresarse de una manera completamente nueva. ^{[ 102 ]}

El artista Richard Wright argumenta que los objetos matemáticos que se pueden construir pueden considerarse "procesos para simular fenómenos" o como obras de " arte informático ". Reflexiona sobre la naturaleza del pensamiento matemático, observando que los fractales eran conocidos por los matemáticos un siglo antes de ser reconocidos como tales. Wright concluye afirmando que es apropiado someter los objetos matemáticos a cualquier método utilizado para "comprender artefactos culturales como el arte, la tensión entre objetividad y subjetividad, sus significados metafóricos y el carácter de los sistemas de representación". Cita como ejemplos una imagen del conjunto de Mandelbrot , una imagen generada por un algoritmo de autómata celular y una imagen renderizada por ordenador , y analiza, con referencia a la prueba de Turing , si los productos algorítmicos pueden ser arte. ^{[ 103 ]} El libro de Sasho Kalajdzievski, Math and Art: An Introduction to Visual Mathematics, adopta un enfoque similar, examinando temas de matemáticas visuales apropiados como los mosaicos, los fractales y la geometría hiperbólica. ^{[ 104 ]}

Algunas de las primeras obras de arte por computadora fueron creadas por la "Drawing Machine 1" de Desmond Paul Henry , una máquina analógica basada en una computadora de puntería de bombardeo y exhibida en 1962. ^{[ 105 ] [ 106 ]} La máquina era capaz de crear dibujos de líneas complejos, abstractos, asimétricos, curvilíneos, pero repetitivos. ^{[ 105 ] [ 107 ]} Más recientemente, Hamid Naderi Yeganeh ha creado formas que sugieren objetos del mundo real como peces y pájaros, utilizando fórmulas que se varían sucesivamente para dibujar familias de curvas o líneas angulares. ^{[ 108 ] [ 109 ] [ 110 ]} Artistas como Mikael Hvidtfeldt Christensen crean obras de arte generativo o algorítmico escribiendo scripts para un sistema de software como Structure Synth : el artista dirige efectivamente al sistema para aplicar una combinación deseada de operaciones matemáticas a un conjunto de datos elegido. ^{[ 111 ] [ 112 ]}

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  Escultura matemática de Bathsheba Grossman , 2007
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  Escultura fractal : 3D Fraktal 03/H/dd de Hartmut Skerbisch , 2003
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  Palabra de Fibonacci : detalle de una obra de arte de Samuel Monnier, 2009.
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  Imagen de arte digital producida por "Drawing Machine 1" de Desmond Paul Henry , expuesta en 1962.
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  Un pájaro en vuelo , de Hamid Naderi Yeganeh , 2016, construido con una familia de curvas matemáticas.

La obra Ciencia e hipótesis del matemático y físico teórico Henri Poincaré fue ampliamente leída por los cubistas , incluidos Pablo Picasso y Jean Metzinger . ^{[ 114 ] [ 115 ]} Al estar completamente familiarizado con el trabajo de Bernhard Riemann sobre geometría no euclidiana, Poincaré era más que consciente de que la geometría euclidiana es solo una de las muchas configuraciones geométricas posibles, en lugar de una verdad objetiva absoluta. La posible existencia de una cuarta dimensión inspiró a los artistas a cuestionar la perspectiva clásica del Renacimiento : la geometría no euclidiana se convirtió en una alternativa válida. ^{[ 116 ] [ 117 ] [ 118 ]} El concepto de que la pintura podía expresarse matemáticamente, en color y forma, contribuyó al cubismo, el movimiento artístico que condujo al arte abstracto . ^{[ 119 ]} Metzinger, en 1910, escribió que: "[Picasso] expone una perspectiva libre y móvil, de la cual el ingenioso matemático Maurice Princet ha deducido toda una geometría". ^{[ 120 ]} Más tarde, Metzinger escribió en sus memorias:

Maurice Princet nos acompañaba a menudo  ... fue como artista que conceptualizó las matemáticas, como esteta que invocó los continuos n- dimensionales. Le encantaba despertar el interés de los artistas por las nuevas perspectivas sobre el espacio que habían abierto Schlegel y otros. Y lo consiguió. ^{[ 121 ]}

El impulso de crear modelos didácticos o de investigación de formas matemáticas genera naturalmente objetos con simetrías y formas sorprendentes o agradables. Algunos de estos han inspirado a artistas como los dadaístas Man Ray , ^{[ 122 ]} Marcel Duchamp ^{[ 123 ]} y Max Ernst , ^{[ 124 ] [ 125 ]} y, siguiendo a Man Ray, Hiroshi Sugimoto . ^{[ 126 ]}

Man Ray fotografió algunos de los modelos matemáticos del Instituto Henri Poincaré en París, incluido el Objet mathematique (Objeto matemático). Observó que este representaba superficies de Enneper con curvatura negativa constante , derivadas de la pseudoesfera . Este fundamento matemático era importante para él, ya que le permitía negar que el objeto fuera "abstracto", afirmando en cambio que era tan real como el urinario que Duchamp convirtió en obra de arte. Man Ray admitió que la fórmula del objeto [la superficie de Enneper] "no significaba nada para mí, pero las formas en sí mismas eran tan variadas y auténticas como cualquiera en la naturaleza". Utilizó sus fotografías de los modelos matemáticos como figuras en su serie sobre las obras de Shakespeare , como su pintura de 1934, Antonio y Cleopatra . ^{[ 127 ]} El crítico de arte Jonathan Keats, escribiendo en ForbesLife , sostiene que Man Ray fotografió "los paraboloides elípticos y los puntos cónicos con la misma luz sensual que sus cuadros de Kiki de Montparnasse ", y "reutiliza ingeniosamente los fríos cálculos de las matemáticas para revelar la topología del deseo". ^{[ 128 ]} Escultores del siglo XX como Henry Moore , Barbara Hepworth y Naum Gabo se inspiraron en modelos matemáticos. ^{[ 129 ]} Moore escribió sobre su obra Madre e hijo de cuerdas de 1938 : "Sin duda, la fuente de mis figuras de cuerdas fue el Museo de Ciencias  ... Me fascinaron los modelos matemáticos que vi allí  ... No fue el estudio científico de estos modelos, sino la capacidad de mirar a través de las cuerdas como con una jaula de pájaros y ver una forma dentro de otra lo que me entusiasmó". ^{[ 130 ]}

Los artistas Theo van Doesburg y Piet Mondrian fundaron el movimiento De Stijl , con el que querían «establecer un vocabulario visual compuesto por formas geométricas elementales comprensibles para todos y adaptables a cualquier disciplina». ^{[ 131 ] [ 132 ]} Muchas de sus obras consisten visiblemente en cuadrados y triángulos reglados, a veces también con círculos. Los artistas de De Stijl trabajaron en pintura, mobiliario, diseño de interiores y arquitectura. ^{[ 131 ]} Tras la disolución de De Stijl, Van Doesburg fundó el movimiento de Arte Concreto de Vanguardia , describiendo su Composición Aritmética de 1929-1930 , una serie de cuatro cuadrados negros en la diagonal de un fondo cuadrado, como «una estructura que puede controlarse, una superficie definida sin elementos fortuitos ni caprichos individuales», pero «no carente de espíritu, no carente de universal y no ... vacía, ya que hay todo lo que encaja con el ritmo interno». La crítica de arte Gladys Fabre observa que en la pintura se aprecian dos progresiones: el aumento de los cuadrados negros y la alternancia de los fondos. ^{[ 133 ]} 

Las matemáticas de la teselación , los poliedros, la configuración del espacio y la autorreferencia proporcionaron al artista gráfico M. C. Escher (1898-1972) una fuente inagotable de material para sus grabados en madera. ^{[ 134 ] [ 135 ]} En el Boceto de la Alhambra , Escher demostró que el arte puede crearse con polígonos o formas regulares como triángulos, cuadrados y hexágonos. Escher utilizó polígonos irregulares al teselar el plano y a menudo empleó reflexiones, reflexiones deslizantes y traslaciones para obtener patrones adicionales. Muchas de sus obras contienen construcciones imposibles, realizadas con objetos geométricos que establecen una contradicción entre la proyección en perspectiva y las tres dimensiones, pero que resultan agradables a la vista humana. El Ascenso y Descenso de Escher se basa en la « escalera imposible » creada por el médico Lionel Penrose y su hijo, el matemático Roger Penrose . ^{[ 136 ] [ 137 ] [ 138 ]}

Algunos de los numerosos dibujos de teselaciones de Escher se inspiraron en conversaciones con el matemático HSM Coxeter sobre geometría hiperbólica . ^{[ 139 ]} Escher estaba especialmente interesado en cinco poliedros específicos, que aparecen muchas veces en su obra. Los sólidos platónicos —tetraedros, cubos, octaedros, dodecaedros e icosaedros— son particularmente prominentes en Orden y caos y Cuatro sólidos regulares . ^{[ 140 ]} Estas figuras estrelladas a menudo se encuentran dentro de otra figura que distorsiona aún más el ángulo de visión y la conformación de los poliedros y proporciona una obra de arte con perspectiva multifacética. ^{[ 141 ]}

La complejidad visual de estructuras matemáticas como las teselaciones y los poliedros ha inspirado diversas obras de arte matemático. Stewart Coffin crea rompecabezas poliédricos en maderas raras y hermosas; George W. Hart trabaja en la teoría de los poliedros y esculpe objetos inspirados en ellos; Magnus Wenninger crea modelos "especialmente bellos" de poliedros estrellados complejos . ^{[ 142 ]}

Las perspectivas distorsionadas de la anamorfosis se han explorado en el arte desde el siglo XVI, cuando Hans Holbein el Joven incorporó una calavera severamente distorsionada en su pintura de 1533, Los embajadores . Muchos artistas desde entonces, incluido Escher, han utilizado trucos anamórficos. ^{[ 143 ]}

Las matemáticas de la topología han inspirado a varios artistas en los tiempos modernos. El escultor John Robinson (1935–2007) creó obras como Nudo Gordiano y Bandas de Amistad , mostrando la teoría de nudos en bronce pulido. ^{[ 7 ]} Otras obras de Robinson exploran la topología de los toros . Génesis se basa en los anillos borromeos , un conjunto de tres círculos, ninguno de los cuales se enlaza, pero en el que toda la estructura no se puede separar sin romperse. ^{[ 144 ]} El escultor Helaman Ferguson crea superficies complejas y otros objetos topológicos . ^{[ 145 ]} Sus obras son representaciones visuales de objetos matemáticos; El Camino Óctuple se basa en el grupo lineal especial proyectivo PSL(2,7) , un grupo finito de 168 elementos. ^{[ 146 ] [ 147 ]} La escultora Bathsheba Grossman basa de manera similar su trabajo en estructuras matemáticas. ^{[ 148 ] [ 149 ]} El artista Nelson Saiers incorpora conceptos y teoremas matemáticos en su arte, desde topos y esquemas hasta el teorema de los cuatro colores y la irracionalidad de π . ^{[ 150 ]}

Un proyecto de investigación de artes liberales examina las conexiones entre las matemáticas y el arte a través de la cinta de Möbius , los flexágonos , el origami y la fotografía panorámica . ^{[ 151 ]}

Se han creado objetos matemáticos, incluyendo la variedad de Lorenz y el plano hiperbólico, utilizando artes textiles como el crochet. ^{[ d ] [ 153 ]} La tejedora estadounidense Ada Dietz escribió una monografía en 1949, Expresiones algebraicas en textiles tejidos a mano , definiendo patrones de tejido basados ​​en la expansión de polinomios multivariados . ^{[ 154 ]} La matemática Daina Taimiņa demostró características del plano hiperbólico mediante el crochet en 2001. ^{[ 155 ]} Esto llevó a Margaret y Christine Wertheim a tejer a crochet un arrecife de coral , compuesto por muchos animales marinos como nudibranquios cuyas formas se basan en planos hiperbólicos. ^{[ 156 ]} El matemático JCP Miller utilizó el autómata celular de la Regla 90 para diseñar tapices que representan tanto árboles como patrones abstractos de triángulos. ^{[ 157 ]} El "" matemáticos " ^{[ 158 ]} Pat Ashforth y Steve Plummer utilizan versiones tejidas de objetos matemáticos como hexaflexágonos en su enseñanza, aunque su esponja de Menger resultó demasiado problemática para tejer y en su lugar se hizo de lona plástica. ^{[ 159 ] [ 160 ]} Su proyecto "mathghans" (Afghans para escuelas) introdujo el tejido en el currículo británico de matemáticas y tecnología. ^{[ 161 ] [ 162 ]}

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  Del espacio de cuatro dimensiones al cubismo : Traité élémentaire de géométrie à quatre Dimensions de Esprit Jouffret de 1903 . ^{[ 163 ] [ mi ]}
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  De Stijl : Composición geométrica I (naturaleza muerta) de Theo van Doesburg , 1916
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  Pedagogía del arte: Magnus Wenninger con algunos de sus poliedros estrellados , 2009
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  Bufanda de cinta de Möbius tejida a crochet , 2007
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  Anamorfismo : Los embajadores, de Hans Holbein el Joven , 1533, con una calavera gravemente deformada en primer plano.
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  Arrecife de coral tejido a crochet : numerosos animales modelados como planos hiperbólicos con parámetros variables por Margaret y Christine Wertheim . Arrecife Föhr , Tubinga, 2013.

La modelización dista mucho de ser la única forma posible de ilustrar conceptos matemáticos. El Tríptico Stefaneschi de Giotto , de 1320, ilustra la recursión en forma de mise en abyme ; el panel central del tríptico contiene, en la parte inferior izquierda, la figura arrodillada del Cardenal Stefaneschi, sosteniendo el tríptico como una ofrenda. ^{[ 165 ]} Las pinturas metafísicas de Giorgio de Chirico, como su Gran Interior Metafísico de 1917 , exploran la cuestión de los niveles de representación en el arte al representar pinturas dentro de sus pinturas. ^{[ 166 ]}

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  La cara frontal del Tríptico Stefaneschi de Giotto , de 1320, ilustra la recursión .
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  Detalle del cardenal Stefaneschi sosteniendo el tríptico.

El arte puede ejemplificar paradojas lógicas, como en algunas pinturas del surrealista René Magritte , que pueden leerse como bromas semióticas sobre la confusión entre niveles. En La condición humana (1933), Magritte representa un caballete (sobre el lienzo real), que sostiene sin fisuras una vista a través de una ventana que está enmarcada por cortinas "reales" en la pintura. ^{[ 167 ]} Artistas anteriores como Rembrandt ya habían explorado la cuestión del encuadre, en múltiples pinturas como su La Sagrada Familia con una cortina de 1646. Esa obra representa tanto la escena como su marco (tanto madera como cortina), introduciendo una confusión de niveles entre la realidad y la representación de la realidad. ^{[ 168 ]} Alberti , en su análisis de la perspectiva, había comparado las pinturas con ventanas abiertas a las escenas representadas. ^{[ 169 ] [ 168 ]} En La condición humana , Magritte, en palabras del historiador de arte András Rényi, «intensifica el poder subversivo de la diferencia icónica que ya se manifiesta en Rembrandt, y lo eleva a una paradoja abierta». ^{[ 168 ]} En opinión de Rényi, la broma visual resultante es el propósito mismo de la pintura, subvirtiendo el arte de la pintura. Comenta que La condición humana es «más un filosofema pintado, metapictórico, que una obra pictórica». ^{[ 168 ]}

Rembrandt , La Sagrada Familia con una cortina , 1646 representa tanto la escena como su marco (tanto la madera como la cortina), introduciendo una confusión de nivel entre la realidad y la representación de la realidad. ^{[ 168 ]}

Chiste semiótico : La pintura de René Magritte de 1933, La condición humana, promueve la confusión de niveles de escena y marco hasta llegar a una paradoja visual. ^{[ 167 ]}

Otro enfoque de la paradoja matemática se adopta en La galería de grabados (1956) de Escher ; se trata de un grabado que representa una ciudad distorsionada que contiene una galería que, a su vez, contiene recursivamente la imagen, y así hasta el infinito . ^{[ 167 ]} Magritte utilizó esferas y cuboides para distorsionar la realidad de una manera diferente, pintándolos junto a un conjunto de casas en su Aritmética mental de 1931 como si fueran bloques de construcción infantiles, pero del tamaño de una casa. ^{[ 170 ]} The Guardian observó que la «inquietante imagen de la ciudad de juguete» profetizaba la usurpación del Modernismo de las «acogedoras formas tradicionales», pero también juega con la tendencia humana a buscar patrones en la naturaleza . ^{[ 171 ]}

La última pintura de Salvador Dalí, La cola de la golondrina (1983), formaba parte de una serie inspirada en la teoría de la catástrofe de René Thom . ^{[ 173 ]} El pintor y escultor español Pablo Palazuelo (1916–2007) se centró en la investigación de la forma. Desarrolló un estilo que describió como la geometría de la vida y la geometría de toda la naturaleza. Compuesta por formas geométricas simples con patrones y colores detallados, en obras como Angular I y Automnes , Palazuelo se expresó en transformaciones geométricas. ^{[ 7 ]}

El artista Adrian Gray practica el equilibrio de piedras , explotando la fricción y el centro de gravedad para crear composiciones impactantes y aparentemente imposibles. ^{[ 174 ]}

Sin embargo, los artistas no necesariamente interpretan la geometría literalmente. Como escribe Douglas Hofstadter en su reflexión de 1980 sobre el pensamiento humano, Gödel, Escher, Bach , a través (entre otras cosas) de las matemáticas del arte: «La diferencia entre un dibujo de Escher y la geometría no euclidiana es que, en esta última, se pueden encontrar interpretaciones comprensibles para los términos indefinidos, lo que da como resultado un sistema total comprensible, mientras que en el primero, el resultado final no se puede conciliar con la concepción del mundo de uno, por mucho que se observen las imágenes». Hofstadter analiza la litografía aparentemente paradójica Print Gallery de M. C. Escher; representa un pueblo costero que contiene una galería de arte que parece contener una pintura del mismo pueblo costero, existiendo un «extraño bucle, o jerarquía enmarañada» en los niveles de realidad de la imagen. El propio artista, observa Hofstadter, no es visible; su realidad y su relación con la litografía no son paradójicas. ^{[ 172 ]} El vacío central de la imagen también ha atraído el interés de los matemáticos Bart de Smit y Hendrik Lenstra , quienes proponen que podría contener una copia de sí misma con efecto Droste , rotada y encogida; esto sería una ilustración más de la recursión más allá de la señalada por Hofstadter. ^{[ 175 ] [ 176 ]}

El análisis algorítmico de imágenes de obras de arte, por ejemplo mediante espectroscopia de fluorescencia de rayos X , puede revelar información sobre el arte. Estas técnicas pueden descubrir imágenes en capas de pintura posteriormente cubiertas por un artista; ayudar a los historiadores del arte a visualizar una obra antes de que se agrietara o desvaneciera; ayudar a distinguir una copia de un original, o diferenciar el estilo de pincelada de un maestro del de sus aprendices. ^{[ 177 ] [ 178 ]}

El artista dadaísta del siglo XX , Max Ernst, pintó figuras de Lissajous directamente balanceando un cubo de pintura perforado sobre un lienzo. Se hizo fotografiar en el acto de crear las figuras matemáticas en Nueva York en 1942. Suspendió el recipiente de pintura con una cuerda de otra cuerda, que a su vez estaba sujeta en dos puntos a una varilla. Dejó que el recipiente se balanceara libremente sobre una hoja cuadrada para crear la obra de arte, mientras él se sentaba cerca, vestido con traje y corbata, observando el proceso. ^{[ 179 ] [ f ]} Ernst fue el primero en introducir el uso de esta forma semiautomática ^{[ 180 ]} de pintura por goteo (también llamada "oscilación" ^{[ 180 ]} ), que popularizó. ^{[ 181 ]} Aplicó la técnica a múltiples pinturas durante su carrera artística, incluyendo sus obras de 1942 El planeta desconcertado , Surrealismo y pintura y Joven intrigado por el vuelo de una mosca no euclidiana , y su obra de 1970 Zona verde . ^{[ 182 ] [ 183 ]} Las figuras de Lissajous aparecieron posteriormente de forma repetida en el arte computacional temprano . ^{[ 182 ]} El uso que hizo Ernst de la técnica matemática probablemente influyó en el estilo de pintura por goteo de Jackson Pollock . ^{[ 184 ]} Las pinturas de Pollock tienen una dimensión fractal definida ^{[ 185 ]} de caos controlado . ^{[ 186 ]}

El científico informático Neil Dodgson investigó si las pinturas de rayas de Bridget Riley podían caracterizarse matemáticamente, concluyendo que, si bien la distancia de separación podía "proporcionar cierta caracterización" y la entropía global funcionaba en algunas pinturas, la autocorrelación fallaba debido a la irregularidad de los patrones de Riley. La entropía local era la que mejor funcionaba y se correlacionaba bien con la descripción dada por el crítico de arte Robert Kudielka. ^{[ 187 ]}

The American mathematician George Birkhoff's 1933 Aesthetic Measure proposes a quantitative metric of the aesthetic quality of an artwork. It does not attempt to measure the connotations of a work, such as what a painting might mean, but is limited to the "elements of order" of a polygonal figure. Birkhoff first combines (as a sum) five such elements: whether there is a vertical axis of symmetry; whether there is optical equilibrium; how many rotational symmetries it has; how wallpaper-like the figure is; and whether there are unsatisfactory features such as having two vertices too close together. This metric, O, takes a value between −3 and 7. The second metric, C, counts elements of the figure, which for a polygon is the number of different straight lines containing at least one of its sides. Birkhoff then defines his aesthetic measure of an object's beauty as O/C. This can be interpreted as a balance between the pleasure looking at the object gives, and the amount of effort needed to take it in. Birkhoff's proposal has been criticized in various ways, not least for trying to put beauty in a formula, but he never claimed to have done that.^[188]

Art has sometimes stimulated the development of mathematics, as when Brunelleschi's theory of perspective in architecture and painting started a cycle of research that led to the work of Brook Taylor and Johann Heinrich Lambert on the mathematical foundations of perspective drawing,^[189] and ultimately to the mathematics of projective geometry of Girard Desargues and Jean-Victor Poncelet.^[190]

The Japanese paper-folding art of origami has been reworked mathematically by Tomoko Fuséusing modules, congruent pieces of paper such as squares, and making them into polyhedra or tilings.^[191] Paper-folding was used in 1893 by T. Sundara Rao in his Geometric Exercises in Paper Folding to demonstrate geometrical proofs.^[192] The mathematics of paper folding has been explored in Maekawa's theorem,^[193]Kawasaki's theorem,^[194] and the Huzita–Hatori axioms.^[195]

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  Estímulo a la geometría proyectiva : Diagrama de Alberti que muestra un círculo visto en perspectiva como una elipse . Della Pittura , 1435-1436.
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  Origami matemático : Spring Into Action , de Jeff Beynon, realizado a partir de un único rectángulo de papel. ^{[ 196 ]}

Las ilusiones ópticas, como la espiral de Fraser, demuestran de forma contundente las limitaciones de la percepción visual humana, creando lo que el historiador de arte Ernst Gombrich denominó un «truco desconcertante». Las cuerdas blancas y negras que parecen formar espirales son, de hecho, círculos concéntricos . El arte óptico (op art) de mediados del siglo XX, un estilo de pintura y artes gráficas, explotó estos efectos para crear la impresión de movimiento y patrones brillantes o vibrantes, como se observa en la obra de artistas como Bridget Riley , Spyros Horemis ^{[ 197 ]} y Victor Vasarely ^{[ 198 ]} .

Una corriente artística que se remonta a la Antigua Grecia considera a Dios como el geómetra del mundo y, por lo tanto, la geometría del mundo como sagrada. La creencia de que Dios creó el universo según un plan geométrico tiene orígenes antiguos. Plutarco atribuyó esta creencia a Platón , escribiendo que «Platón dijo que Dios geometriza continuamente» ( Convivialium disputationum , liber 8,2). Esta imagen ha influido en el pensamiento occidental desde entonces. El concepto platónico, a su vez, deriva de una noción pitagórica de armonía en la música, donde las notas estaban espaciadas en proporciones perfectas, correspondientes a la longitud de las cuerdas de la lira; de hecho, los pitagóricos sostenían que todo estaba ordenado por números. Del mismo modo, en el pensamiento platónico, los sólidos regulares o platónicos dictan las proporciones que se encuentran en la naturaleza y en el arte. ^{[ 199 ] [ 200 ]} Una iluminación en el Codex Vindobonensis del siglo XIII muestra a Dios dibujando el universo con un par de compases, lo que puede referirse a un versículo del Antiguo Testamento: "Cuando estableció los cielos, yo estaba allí; cuando puso un compás sobre la faz del abismo" (Proverbios 8:27). ^{[ 201 ]} En 1596, el astrónomo matemático Johannes Kepler modeló el universo como un conjunto de sólidos platónicos anidados, determinando los tamaños relativos de las órbitas de los planetas. ^{[ 201 ]} El Anciano de los Días de William Blake (que representa a Urizen , la encarnación de la razón y la ley de Blake) y su pintura del físico Isaac Newton , desnudo, encorvado y dibujando con un compás, utilizan el simbolismo de los compases para criticar la razón convencional y el materialismo como estrechos de miras. ^{[ 202 ] [ 203 ]} La Crucifixión (Corpus Hypercubus) de Salvador Dalí , de 1954 , representa la cruz como un hipercubo , que representa la perspectiva divina con cuatro dimensiones en lugar de las tres habituales. ^{[ 84 ]} En El Sacramento de la Última Cena (1955) de Dalí , Cristo y sus discípulos aparecen representados dentro de un dodecaedro gigante . ^{[ 204 ]}

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  Dios el geómetra. Códice Vindobonensis , c. 1220
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  La creación, con el Pantocrátor como figura central. Biblia de San Luis , c. 1220–1240.
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  Modelo platónico sólido de Johannes Kepler sobre la distribución espacial de los planetas en el Sistema Solar, extraído de Mysterium Cosmographicum , 1596.
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  El Anciano de los Días , de William Blake , 1794
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  Newton, de William Blake , c. 1800