Medida (matemáticas)

Para cualquier secuencia contable${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$de conjuntos medibles (no necesariamente disjuntos)${\displaystyle E_{n}}$en${\displaystyle \Sigma$ :} $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i}).}$$

Si${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$son conjuntos medibles que son crecientes (lo que significa que${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}\subseteq E_{3}\subseteq \ldots }$) entonces la unión de los conjuntos${\displaystyle E_{n}}$es medible y $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)~=~\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})=\sup _{i\geq 1}\mu (E_{i}).}$$

Si${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$son conjuntos medibles que son decrecientes (lo que significa que${\displaystyle E_{1}\supseteq E_{2}\supseteq E_{3}\supseteq \ldots }$) entonces la intersección de los conjuntos${\displaystyle E_{n}}$es medible; además, si al menos uno de los${\displaystyle E_{n}}$entonces tiene medida finita $${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})=\inf _{i\geq 1}\mu (E_{i}).}$$

Esta propiedad es falsa sin asumir que al menos una de las${\displaystyle E_{n}}$tiene medida finita. Por ejemplo, para cada${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$dejar${\displaystyle E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} ,}$que tienen todas medida de Lebesgue infinita, pero la intersección es vacía.

• Toda medida sigma-finita es semifinita.
• Asumir${\displaystyle {\cal {A}}={\cal {P}}(X),}$dejar${\displaystyle f:X\to [0,+\infty ],}$y asumir${\displaystyle \mu (A)=\sum _{a\in A}f(a)}$a pesar de${\displaystyle A\subseteq X.}$
  • Tenemos eso${\displaystyle \mu }$es sigma-finito si y solo si${\displaystyle f(x)<+\infty }$a pesar de${\displaystyle x\in X}$y${\displaystyle f^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})}$es contable. Tenemos eso${\displaystyle \mu }$es semifinito si y solo si${\displaystyle f(x)<+\infty }$a pesar de${\displaystyle x\in X.}$^{[ 8 ]}
  • Tomando${\displaystyle f=X\times \{1\}}$arriba (para que${\displaystyle \mu }$está contando la medida en${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$), vemos que la medida de conteo en${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$es
    • sigma-finito si y solo si${\displaystyle X}$es contable; y
    • semifinito (sin tener en cuenta si${\displaystyle X}$es contable). (Por lo tanto, medida de conteo, en el conjunto potencia${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$de un conjunto incontable arbitrario${\displaystyle X,}$(Da un ejemplo de una medida semifinita que no es sigma-finita).
• Dejar${\displaystyle d}$ser una métrica completa y separable en${\displaystyle X,}$dejar${\displaystyle {\cal {B}}}$sea ​​el álgebra sigma de Borel inducida por${\displaystyle d,}$y dejar${\displaystyle s\in \mathbb {R} _{>0}.}$Luego la medida de Hausdorff${\displaystyle {\cal {H}}^{s}|{\cal {B}}}$es semifinito. ^{[ 9 ]}
• Dejar${\displaystyle d}$ser una métrica completa y separable en${\displaystyle X,}$dejar${\displaystyle {\cal {B}}}$sea ​​el álgebra sigma de Borel inducida por${\displaystyle d,}$y dejar${\displaystyle s\in \mathbb {R} _{>0}.}$Luego la medida de embalaje${\displaystyle {\cal {H}}^{s}|{\cal {B}}}$es semifinito. ^{[ 10 ]}

La medida cero es sigma-finita y por lo tanto semifinita. Además, la medida cero es claramente menor o igual que${\displaystyle \mu .}$Se puede demostrar que existe una medida máxima con estas dos propiedades:

Decimos que la parte semifinita de${\displaystyle \mu }$para referirse a la medida semifinita${\displaystyle \mu _{\text{sf}}}$definido en el teorema anterior. Damos algunas fórmulas claras y explícitas, que algunos autores pueden tomar como definición, para la parte semifinita:

• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=(\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}.}$^{[ 11 ]}
• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=(\sup\{\mu (A\cap B):B\in \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}\}.}$^{[ 12 ]}
• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=\mu |_{\mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})}\cup \{A\in {\cal {A}}:\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\}=+\infty \}\times \{+\infty \}\cup \{A\in {\cal {A}}:\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\}<+\infty \}\times \{0\}.}$^{[ 13 ]}

Desde${\displaystyle \mu _{\text{sf}}}$es semifinito, por lo tanto, si${\displaystyle \mu =\mu _{\text{sf}}}$entonces${\displaystyle \mu }$es semifinito. También es evidente que si${\displaystyle \mu }$es semifinito entonces${\displaystyle \mu =\mu _{\text{sf}}.}$

Cada${\displaystyle 0-\infty }$Una medida que no es la medida cero no es semifinita. (Aquí decimos${\displaystyle 0-\infty }$medida para referirse a una medida cuyo rango se encuentra en${\displaystyle \{0,+\infty \}}$:${\displaystyle (\forall A\in {\cal {A}})(\mu (A)\in \{0,+\infty \}).}$) A continuación damos ejemplos de${\displaystyle 0-\infty }$medidas que no son medidas cero.

• Dejar${\displaystyle X}$sea ​​no vacío, sea${\displaystyle {\cal {A}}}$ser un${\displaystyle \sigma }$-álgebra en${\displaystyle X,}$dejar${\displaystyle f:X\to \{0,+\infty \}}$no sea la función cero, y sea${\displaystyle \mu =(\sum _{x\in A}f(x))_{A\in {\cal {A}}}.}$Se puede demostrar que${\displaystyle \mu }$es una medida.
  • ${\displaystyle \mu =\{(\emptyset ,0)\}\cup ({\cal {A}}\setminus \{\emptyset \})\times \{+\infty \}.}$^{[ 14 ]}
    • ${\displaystyle X=\{0\},}$${\displaystyle {\cal {A}}=\{\emptyset ,X\},}$${\displaystyle \mu =\{(\emptyset ,0),(X,+\infty )\}.}$^{[ 15 ]}
• Dejar${\displaystyle X}$ser incontable, dejar${\displaystyle {\cal {A}}}$ser un${\displaystyle \sigma }$-álgebra en${\displaystyle X,}$dejar${\displaystyle {\cal {C}}=\{A\in {\cal {A}}:A{\text{ is countable}}\}}$sean los elementos contables de${\displaystyle {\cal {A}},}$y dejar${\displaystyle \mu ={\cal {C}}\times \{0\}\cup ({\cal {A}}\setminus {\cal {C}})\times \{+\infty \}.}$Se puede demostrar que${\displaystyle \mu }$es una medida. ^{[ 7 ]}

Las medidas que no son semifinitas son muy impredecibles cuando se restringen a ciertos conjuntos. ^{[ Nota 1 ]} Toda medida es, en cierto sentido, semifinita una vez que su${\displaystyle 0-\infty }$Una parte (la parte salvaje) se elimina.

Decimos el${\displaystyle \mathbf {0-\infty } }$parte de${\displaystyle \mu }$para referirse a la medida${\displaystyle \mu _{0-\infty }}$definido en el teorema anterior. Aquí hay una fórmula explícita para${\displaystyle \mu _{0-\infty }}$:${\displaystyle \mu _{0-\infty }=(\sup\{\mu (B)-\mu _{\text{sf}}(B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu _{\text{sf}}^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}.}$

• Dejar${\displaystyle \mathbb {F} }$ser${\displaystyle \mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {C} ,}$y dejar${\displaystyle T:L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )\to \left(L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )\right)^{*}:g\mapsto T_{g}=\left(\int fgd\mu \right)_{f\in L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}.}$Entonces${\displaystyle \mu }$es semifinito si y solo si${\displaystyle T}$es inyectiva. ^{[ 18 ] [ 19 ]} (Este resultado tiene importancia en el estudio del espacio dual de${\displaystyle L^{1}=L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}$.)
• Dejar${\displaystyle \mathbb {F} }$ser${\displaystyle \mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {C} ,}$y dejar${\displaystyle {\cal {T}}}$sea ​​la topología de convergencia en medida en${\displaystyle L_{\mathbb {F} }^{0}(\mu ).}$Entonces${\displaystyle \mu }$es semifinito si y solo si${\displaystyle {\cal {T}}}$es Hausdorff. ^{[ 20 ] [ 21 ]}
• (Johnson) Deje${\displaystyle X}$sea ​​un conjunto, dejemos${\displaystyle {\cal {A}}}$ser un álgebra sigma en${\displaystyle X,}$dejar${\displaystyle \mu }$ser una medida en${\displaystyle {\cal {A}},}$dejar${\displaystyle Y}$sea ​​un conjunto, dejemos${\displaystyle {\cal {B}}}$ser un álgebra sigma en${\displaystyle Y,}$y dejar${\displaystyle \nu }$ser una medida en${\displaystyle {\cal {B}}.}$Si${\displaystyle \mu ,\nu }$ambos no son un${\displaystyle 0-\infty }$medir, entonces ambos${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \nu }$son semifinitos si y solo si${\displaystyle (\mu \times _{\text{cld}}\nu )}$${\displaystyle (A\times B)=\mu (A)\nu (B)}$a pesar de${\displaystyle A\in {\cal {A}}}$y${\displaystyle B\in {\cal {B}}.}$(Aquí,${\displaystyle \mu \times _{\text{cld}}\nu }$es la medida definida en el Teorema 39.1 en Berberian '65. ^{[ 22 ]} )