Motivo (geometría algebraica)

En geometría algebraica , un motivo (o a veces motif , según el uso francés ) es un objeto abstracto introducido por Alexander Grothendieck en la década de 1960 como parte de una teoría de cohomología universal propuesta para variedades algebraicas . La idea es que teorías como la cohomología de Betti , la cohomología de De Rham , la cohomología étale y la cohomología cristalina surjan como diferentes realizaciones del mismo objeto subyacente. Por lo tanto, un motivo de una variedad pretende capturar la parte de su geometría común a estas teorías de cohomología.

Para variedades suaves , los motivos puros pueden construirse a partir de correspondencias algebraicas y proyecciones idempotentes . Los motivos de Chow son un ejemplo. Para variedades más generales, la teoría (parcialmente conjetural) de motivos mixtos extiende este panorama para relacionar los motivos con la cohomología motivacional y la teoría K algebraica . Vladimir Voevodsky construyó categorías trianguladas de motivos que proporcionan gran parte del formalismo esperado de los motivos mixtos.

La teoría de los motivos está relacionada con los ciclos algebraicos , la cohomología de Weil y el estudio de los grupos de Galois motivacionales . Además, proporciona un marco unificador para problemas abiertos como la conjetura de Hodge y la conjetura de Tate .

Introducción

La teoría de los motivos se conjeturó originalmente como un intento de unificar una serie cada vez mayor de teorías de cohomología, incluyendo la cohomología de Betti , la cohomología de De Rham , la cohomología l -ádica y la cohomología cristalina . La esperanza general es que ecuaciones como

[línea proyectiva] = [línea] + [punto]
[plano proyectivo] = [plano] + [línea] + [punto]

Se puede fundamentar matemáticamente de forma cada vez más sólida, con un significado profundo. Por supuesto, se sabe que las ecuaciones anteriores son ciertas en muchos sentidos, como en el sentido del complejo CW, donde "+" corresponde a la unión de celdas, y en el sentido de diversas teorías de cohomología, donde "+" corresponde a la suma directa.

Desde otra perspectiva, los motivos continúan la secuencia de generalizaciones desde funciones racionales en variedades hasta divisores en variedades y grupos de Chow de variedades. La generalización se produce en más de una dirección, ya que los motivos pueden considerarse con respecto a más tipos de equivalencia que la equivalencia racional. Las equivalencias admisibles vienen dadas por la definición de una relación de equivalencia adecuada .

Formulaciones de Grothendieck y Deligne

En la formulación de Grothendieck para variedades proyectivas suaves , un motivo es una tripleta $(X,p,m)$ , dónde $X$ es una variedad proyectiva suave, $p:X\vdash X$ es una correspondencia idempotente , y m un entero ; sin embargo, tal triple no contiene casi ninguna información fuera del contexto de la categoría de motivos puros de Grothendieck, donde un morfismo de $(X,p,m)$ a $(Y,q,n)$ se da por una correspondencia de grado $nm$ . Pierre Deligne adopta un enfoque más centrado en el objeto en Le Groupe Fondamental de la Droite Projective Moins Trois Points . En ese artículo, un motivo es un "sistema de realizaciones", es decir, una tupla

\left(M_{B},M_{\mathrm {DR} },M_{\mathbb {A} ^{f}},M_{\operatorname {cris} ,p},\operatorname {comp} _{\mathrm {DR} ,B},\operatorname {comp} _{\mathbb {A} ^{f},B},\operatorname {comp} _{\operatorname {cris} p,\mathrm {DR} },W,F_{\infty },F,\phi ,\phi _{p}\right)

compuesto por módulos

M_{B},M_{\mathrm {DR} },M_{\mathbb {A} ^{f}},M_{\operatorname {cris} ,p}

sobre los anillos

\mathbb {Q} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {A} ^{f},\mathbb {Q} _{p},

respectivamente, varios isomorfismos de comparación

\operatorname {comp} _{\mathrm {DR} ,B},\operatorname {comp} _{\mathbb {A} ^{f},B},\operatorname {comp} _{\operatorname {cris} p,\mathrm {DR} }

entre los cambios básicos obvios de estos módulos, filtraciones $W,F$ , una acción $\phi$ del grupo absoluto de Galois $\operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {Q} }},\mathbb {Q} )$ en $M_{\mathbb {A} ^{f}},$ y un automorfismo de "Frobenius" $\phi _{p}$ de $M_{\operatorname {cris} ,p}$ Estos datos se modelan en función de las cohomologías de una proyección suave. $\mathbb {Q}$ -variedad y las estructuras y compatibilidades que admiten, y da una idea sobre qué tipo de información contiene un motivo.

Definición de motivos puros

La categoría de motivos puros suele proceder en tres etapas. A continuación, describimos el caso de los motivos de Chow. $\operatorname {Chow} (k)$ , donde k es cualquier campo.

Primer paso: categoría de correspondencias (grado 0), Corr( k )

Los objetos de $\operatorname {Corr} (k)$ son simplemente variedades proyectivas suaves sobre k . Los morfismos son correspondencias . Generalizan morfismos de variedades. $X\to Y$ , que pueden asociarse con sus gráficos en $X\times Y$ , a ciclos de Chow de dimensión fija en $X\times Y$ .

Será útil describir correspondencias de grado arbitrario, aunque los morfismos en $\operatorname {Corr} (k)$ son correspondencias de grado 0. En detalle, sean X e Y variedades proyectivas suaves y consideremos una descomposición de X en componentes conexas:

X=\coprod _{i}X_{i},\qquad d_{i}:=\dim X_{i}.

Si $r\in \mathbb {Z}$ , entonces las correspondencias de grado r de X a Y son

\operatorname {Corr} ^{r}(k)(X,Y):=\bigoplus _{i}A^{d_{i}+r}(X_{i}\times Y),

dónde $A^{k}(X)$ denota los ciclos de Chow de codimensión k . Las correspondencias a menudo se denotan usando la notación "⊢", por ejemplo, $\alpha :X\vdash Y$ . Para cualquier $\alpha \in \operatorname {Corr} ^{r}(X,Y)$ y $\beta \in \operatorname {Corr} ^{s}(Y,Z),$ Su composición está definida por

{\displaystyle \beta \circ \alpha

donde el punto denota el producto en el anillo de Chow (es decir, la intersección).

Volviendo a la construcción de la categoría $\operatorname {Corr} (k),$ observe que la composición de correspondencias de grado 0 es de grado 0. Por lo tanto, definimos morfismos de $\operatorname {Corr} (k)$ ser correspondencias de grado 0.

La siguiente asociación es un functor (aquí $\Gamma _{f}\subseteq X\times Y$ denota la gráfica de $f:X\to Y$ ):

F:{\begin{cases}\operatorname {SmProj} (k)\longrightarrow \operatorname {Corr} (k)\\X\longmapsto X\\f\longmapsto \Gamma _{f}\end{cases}}

Igual que $\operatorname {SmProj} (k),$ la categoría $\operatorname {Corr} (k)$ tiene sumas directas ( $X \oplus Y := X ∐ Y$ ) y productos tensoriales ( $X \otimes Y := X \times Y$ ). Es una categoría preaditiva . La suma de morfismos se define por

{\displaystyle \alpha +\beta

Segundo paso: categoría de motivos Chow efectivos puros, Chow ^eff ( k )

La transición a los motivos se realiza tomando la envoltura pseudoabeliana de $\operatorname {Corr} (k)$ :

\operatorname {Chow} ^{\operatorname {eff} }(k):=\operatorname {Split} (\operatorname {Corr} (k))

.

En otras palabras, los motivos de Chow efectivos son pares de variedades proyectivas suaves X y correspondencias idempotentes α: X ⊢ X , y los morfismos son de un cierto tipo de correspondencia:

\operatorname {Ob} \left(\operatorname {Chow} ^{\operatorname {eff} }(k)\right):=\{(X,\alpha )\mid (\alpha :X\vdash X)\in \operatorname {Corr} (k){\mbox{ such that }}\alpha \circ \alpha =\alpha \}.

\operatorname {Mor} ((X,\alpha ),(Y,\beta )):=\{f:X\vdash Y|f\circ \alpha =f=\beta \circ f\}.

La composición es la composición de correspondencias definida anteriormente, y el morfismo identidad de ( X , α ) se define como α : X ⊢ X .

La asociación,

h:{\begin{cases}\operatorname {SmProj} (k)&\longrightarrow \operatorname {Chow^{eff}} (k)\\X&\longmapsto [X]:=(X,\Delta _{X})\\f&\longmapsto [f]:=\Gamma _{f}\subset X\times Y\end{cases}}

,

donde Δ _X := [ id _X ] denota la diagonal de X × X , es un functor. El motivo [ X ] se denomina a menudo motivo asociado a la variedad X.

Como se pretendía, Chow ^eff ( k ) es una categoría pseudoabeliana . La suma directa de motivos efectivos viene dada por

([X],\alpha )\oplus ([Y],\beta ):=\left(\left[X\coprod Y\right],\alpha +\beta \right),

El producto tensorial de motivos efectivos se define por

([X],\alpha )\otimes ([Y],\beta ):=(X\times Y,\pi _{X}^{*}\alpha \cdot \pi _{Y}^{*}\beta ),

dónde

\pi _{X}:(X\times Y)\times (X\times Y)\to X\times X,\quad {\text{and}}\quad \pi _{Y}:(X\times Y)\times (X\times Y)\to Y\times Y.

También se puede definir el producto tensorial de morfismos. Sean f ₁ : ( X ₁ , α ₁ ) → ( Y ₁ , β ₁ ) y f ₂ : ( X ₂ , α ₂ ) → ( Y ₂ , β ₂ ) morfismos de motivos. Entonces sean γ ₁ ∈ A ^* ( X ₁ × Y ₁ ) y γ ₂ ∈ A ^* ( X ₂ × Y ₂ ) representantes de f ₁ y f ₂ . Entonces

f_{1}\otimes f_{2}:(X_{1},\alpha _{1})\otimes (X_{2},\alpha _{2})\vdash (Y_{1},\beta _{1})\otimes (Y_{2},\beta _{2}),\qquad f_{1}\otimes f_{2}:=\pi _{1}^{*}\gamma _{1}\cdot \pi _{2}^{*}\gamma _{2}

,

donde π _i : X ₁ × X ₂ × Y ₁ × Y ₂ → X _i × Y _i son las proyecciones.

Tercer paso: categoría de motivos puros de Chow, Chow( k )

Para proceder a los motivos, adjuntamos a Chow ^eff ( k ) una inversa formal (con respecto al producto tensorial) de un motivo llamado motivo de Lefschetz . El efecto es que los motivos se convierten en tríos en lugar de pares. El motivo de Lefschetz L es

{\displaystyle L:=(\mathbb {P} ^{1},\lambda ),\qquad \lambda

.

Si definimos el motivo 1 , llamado motivo trivial de Tate , por 1 := h(Spec( k )), entonces la elegante ecuación

[\mathbb {P} ^{1}]=\mathbf {1} \oplus L

se sostiene, ya que

\mathbf {1} \cong \left(\mathbb {P} ^{1},\mathbb {P} ^{1}\times \operatorname {pt} \right).

El tensorial inverso del motivo de Lefschetz se conoce como el motivo de Tate , T := L ⁻¹ . Luego definimos la categoría de motivos de Chow puros mediante

\operatorname {Chow} (k):=\operatorname {Chow} ^{\operatorname {eff} }(k)[T]

.

Un motivo es entonces un triple

(X\in \operatorname {SmProj} (k),p:X\vdash X,n\in \mathbb {Z} )

de tal manera que los morfismos se dan por correspondencias

f:(X,p,m)\to (Y,q,n),\quad f\in \operatorname {Corr} ^{n-m}(X,Y){\mbox{ such that }}f\circ p=f=q\circ f,

y la composición de morfismos proviene de la composición de correspondencias.

Tal como se pretendía, $\operatorname {Chow} (k)$ es una categoría pseudoabeliana rígida .

Otros tipos de motivos

Para definir un producto de intersección, los ciclos deben ser "móviles" para que podamos intersecarlos en posición general . Elegir una relación de equivalencia adecuada sobre los ciclos garantizará que cada par de ciclos tenga un par equivalente en posición general que podamos intersectar. Los grupos de Chow se definen utilizando la equivalencia racional, pero son posibles otras equivalencias, y cada una define un tipo diferente de motivo. Ejemplos de equivalencias, de más fuerte a más débil, son:

Equivalencia racional
Equivalencia algebraica
Equivalencia de destrucción-nilpotencia (a veces llamada equivalencia de Voevodsky)
Equivalencia homológica (en el sentido de la cohomología de Weil)
Equivalencia numérica

La literatura a veces llama a todo tipo de motivo puro un motivo de Chow, en cuyo caso un motivo con respecto a la equivalencia algebraica se llamaría un motivo de Chow módulo equivalencia algebraica .

Motivos mixtos

Para un cuerpo base fijo k , la categoría de motivos mixtos es una categoría tensorial abeliana conjetural. $MM(k)$ , junto con un functor contravariante

\operatorname {Var} (k)\to MM(k)

tomando valores en todas las variedades (no solo las proyectivas suaves como era el caso con los motivos puros). Esto debería ser tal que la cohomología motivacional definida por

\operatorname {Ext} _{MM}^{*}(1,?)

coincide con la predicha por la teoría K algebraica y contiene la categoría de motivos de Chow en un sentido adecuado (y otras propiedades). La existencia de dicha categoría fue conjeturada por Alexander Beilinson .

En lugar de construir dicha categoría, Deligne propuso construir primero una categoría DM que tuviera las propiedades que se esperan para la categoría derivada.

D^{b}(MM(k))

.

Recuperar MM a partir de DM se lograría entonces mediante una estructura t motivacional (conjetural) .

Actualmente, la teoría establece que contamos con una categoría DM adecuada . Esta categoría ya resulta útil en diversas aplicaciones. La demostración de la conjetura de Milnor, galardonada con la Medalla Fields por Vladimir Voevodsky, utiliza estos motivos como elemento clave.

Hanamura, Levine y Voevodsky proponen diferentes definiciones. Se sabe que son equivalentes en la mayoría de los casos, y a continuación presentaremos la definición de Voevodsky. La categoría incluye los motivos de Chow como una subcategoría completa y proporciona la cohomología motivacional "correcta". Sin embargo, Voevodsky también demuestra que (con coeficientes enteros) no admite una t-estructura motivacional.

Motivos geométricos mixtos

Fijaremos un campo $k$ de característica0 y deja $A=\mathbb {Q} ,\mathbb {Z}$ sea nuestro anillo de coeficiente.

Variedades suaves con correspondencias

Dada una variedad suave $X$ y una variedad $Y$ , llamemos a un subesquema cerrado integral . $W\subset X\times Y$ que es finito sobre $X$ y sobreyectivo sobre un componente de $Y$ una correspondencia prima de $X$ a $Y.$ Entonces, podemos tomar el conjunto de correspondencias primas de $X$ a $Y$ y construir un $A$ -módulo libre. $C_{A}(X,Y)$ Sus elementos se denominan correspondencias finitas . Entonces, podemos formar una categoría aditiva . ${\mathcal {SmCor}}$ cuyos objetos son variedades diferenciables y cuyos morfismos se definen mediante correspondencias diferenciables. La única parte no trivial de esta "definición" reside en la necesidad de describir composiciones. Estas se definen mediante una fórmula de atracción y repulsión propia de la teoría de anillos de Chow.

Ejemplos típicos de correspondencias primas provienen del gráfico $\Gamma _{f}\subset X\times Y$ de un morfismo de variedades $f:X\to Y$ .

Localización de la categoría de homotopía

A partir de aquí podemos formar la categoría de homotopía. $K^{b}({\mathcal {SmCor}})$ de complejos acotados de correspondencias suaves. Aquí se denotarán las variedades suaves. $[X]$ . Si localizamos esta categoría con respecto a la subcategoría gruesa más pequeña (es decir, cerrada bajo extensiones) que contiene morfismos

[X\times \mathbb {A} ^{1}]\to [X]

y

[U\cap V]{\xrightarrow {j_{U}'+j_{V}'}}[U]\oplus [V]{\xrightarrow {j_{U}-j_{V}}}[X]

Entonces podemos formar la categoría triangulada de motivos geométricos efectivos. ${\mathcal {DM}}_{\text{gm}}^{\text{eff}}(k,A).$ Nótese que la primera clase de morfismos son localizadores. $\mathbb {A} ^{1}$ -homotopías de variedades mientras que la segunda dará a la categoría de motivos mixtos geométricos la secuencia de Mayer-Vietoris .

Además, tenga en cuenta que esta categoría tiene una estructura tensorial dada por el producto de variedades, por lo que $[X]\otimes [Y]=[X\times Y]$ .

Invirtiendo el motivo de Tate

Utilizando la estructura triangulada podemos construir un triángulo.

\mathbb {L} \to [\mathbb {P} ^{1}]\to [\operatorname {Spec} (k)]{\xrightarrow {[+1]}}

del mapa canónico $\mathbb {P} ^{1}\to \operatorname {Spec} (k)$ . Lo estableceremos $A(1)=\mathbb {L} [-2]$ y lo llamamos el motivo de Tate . Tomando el producto tensorial iterativo podemos construir $A(k)$ . Si tenemos un motivo geométrico efectivo $M,$ dejamos $M(k)$ denotar $M\otimes A(k).$ Además, esto se comporta de manera funtorial y forma un functor triangulado. Finalmente, podemos definir la categoría de motivos mixtos geométricos. ${\mathcal {DM}}_{gm}$ como la categoría de pares $(M,n)$ para $M$ un motivo mixto geométrico efectivo y $n$ un entero que representa la torsión por el motivo de Tate. Los grupos hom son entonces el colímite

\operatorname {Hom} _{\mathcal {DM}}((A,n),(B,m))=\lim _{k\geq -n,-m}\operatorname {Hom} _{{\mathcal {DM}}_{gm}^{\operatorname {eff} }}(A(k+n),B(k+m))

Ejemplos de motivos

Motivos de Tate

Hay varios ejemplos elementales de motivos que son fácilmente accesibles. Uno de ellos son los motivos de Tate, denominados $\mathbb {Q} (n)$ , $\mathbb {Z} (n)$ , o $A(n)$ , dependiendo de los coeficientes utilizados en la construcción de la categoría de motivos. Estos son bloques de construcción fundamentales en la categoría de motivos porque forman la "otra parte" además de las variedades abelianas .

Motivos de las curvas

El motivo de una curva se puede entender explícitamente con relativa facilidad: su anillo Chow es simplemente $\mathbb {Z} \oplus {\text{Pic}}(C)$ para cualquier curva proyectiva suave $C$ , por lo tanto, los jacobinos se insertan en la categoría de motivos.

Explicación para no especialistas

Una técnica comúnmente aplicada en matemáticas consiste en estudiar objetos que poseen una estructura particular mediante la introducción de una categoría cuyos morfismos preservan dicha estructura. Entonces, uno puede preguntarse cuándo dos objetos dados son isomorfos y buscar un representante "particularmente agradable" en cada clase de isomorfismo. La clasificación de variedades algebraicas, es decir, la aplicación de esta idea en el caso de variedades algebraicas , es muy difícil debido a la estructura altamente no lineal de los objetos. La cuestión relajada de estudiar variedades hasta el isomorfismo birracional ha dado lugar al campo de la geometría birracional . Otra forma de abordar la cuestión es asociar a una variedad dada X un objeto de naturaleza más lineal, es decir, un objeto susceptible de ser tratado con las técnicas del álgebra lineal , por ejemplo, un espacio vectorial . Esta "linealización" se conoce generalmente como cohomología .

Existen varias teorías de cohomología importantes que reflejan diferentes aspectos estructurales de las variedades. La teoría de motivos (en parte conjetural) intenta encontrar una forma universal de linealizar las variedades algebraicas; es decir, se supone que los motivos proporcionan una teoría de cohomología que engloba todas estas cohomologías particulares. Por ejemplo, el género de una curva proyectiva suave C, que es un invariante interesante de la curva, es un número entero que se puede obtener a partir de la dimensión del primer grupo de cohomología de Betti de C. Por lo tanto, el motivo de la curva debería contener la información del género. Claro está, el género es un invariante bastante burdo, así que el motivo de C es más que solo este número.

La búsqueda de una cohomología universal

Cada variedad algebraica X tiene un motivo correspondiente [ X ], por lo que los ejemplos más sencillos de motivos son:

[punto]
[línea proyectiva] = [punto] + [línea]
[plano proyectivo] = [plano] + [línea] + [punto]

Estas 'ecuaciones' se cumplen en muchas situaciones, a saber, para la cohomología de de Rham y la cohomología de Betti , la cohomología l -ádica , el número de puntos sobre cualquier cuerpo finito y en notación multiplicativa para funciones zeta locales .

La idea general es que un motivo tiene la misma estructura en cualquier teoría de cohomología razonable con buenas propiedades formales; en particular, cualquier teoría de cohomología de Weil tendrá tales propiedades. Existen diferentes teorías de cohomología de Weil, se aplican en diferentes situaciones, tienen valores en diferentes categorías y reflejan diferentes aspectos estructurales de la variedad en cuestión:

La cohomología de Betti se define para variedades sobre (subcampos de) los números complejos , tiene la ventaja de estar definida sobre los enteros y es un invariante topológico.
cohomología de de Rham (para variedades sobre $\mathbb {C}$ ) viene con una estructura de Hodge mixta , es un invariante geométrico diferencial
La cohomología l -ádica (sobre cualquier cuerpo de característica ≠ l) tiene una acción de grupo de Galois canónica , es decir, tiene valores en representaciones del grupo de Galois (absoluto).
cohomología cristalina

Todas estas teorías de cohomología comparten propiedades comunes, por ejemplo, la existencia de secuencias de Mayer-Vietoris , la invariancia homotópica. $H^{*}(X)\cong H^{*}(X\times \mathbb {A} ^{1}),$ el producto de X con la línea afín ) y otros. Además, están vinculados por isomorfismos de comparación, por ejemplo la cohomología de Betti. $H_{\text{Betti}}^{*}(X,\mathbb {Z} /n)$ de una variedad suave X sobre $\mathbb {C}$ con coeficientes finitos es isomorfo a la cohomología l -ádica con coeficientes finitos.

La teoría de los motivos es un intento de encontrar una teoría universal que englobe todas estas cohomologías particulares y sus estructuras, y que proporcione un marco para "ecuaciones" como

[línea proyectiva] = [línea]+[punto].

En particular, calcular el motivo de cualquier variedad X directamente proporciona toda la información sobre las diversas teorías de cohomología de Weil H ^*_Betti ( X ), H ^*_DR ( X ) etc.

Desde Grothendieck, se ha intentado definir con precisión esta teoría durante muchos años.

Cohomología motivacional

La cohomología motivacional en sí misma había sido inventada antes de la creación de motivos mixtos por medio de la teoría K algebraica . La categoría anterior proporciona una forma elegante de (re)definirla mediante

H^{n}(X,m):=H^{n}(X,\mathbb {Z} (m)):=\operatorname {Hom} _{DM}(X,\mathbb {Z} (m)[n]),

donde n y m son números enteros y $\mathbb {Z} (m)$ es la m -ésima potencia tensorial del objeto Tate $\mathbb {Z} (1),$ que en el escenario de Voevodsky es el complejo $\mathbb {P} ^{1}\to \operatorname {pt}$ desplazado por –2, y [n] significa el desplazamiento habitual en la categoría triangulada.

Conjeturas relacionadas con los motivos

Las conjeturas estándar se formularon inicialmente en términos de la interacción entre los ciclos algebraicos y las teorías de cohomología de Weil. La categoría de motivos puros proporciona un marco categórico para estas conjeturas.

Las conjeturas estándar suelen considerarse muy difíciles y, en general, permanecen abiertas. Grothendieck, junto con Bombieri, demostró la profundidad del enfoque motivacional al elaborar una demostración condicional (muy breve y elegante) de las conjeturas de Weil (que Deligne demuestra por otros medios ), asumiendo que las conjeturas estándar son válidas.

Por ejemplo, la conjetura estándar de Künneth , que afirma la existencia de ciclos algebraicos π ⁱ ⊂ X × X que inducen los proyectores canónicos H ^* ( X ) → H ⁱ ( X ) ↣ H ^* ( X ) (para cualquier cohomología de Weil H ) implica que todo motivo puro M se descompone en piezas graduadas de peso n : M = ⨁ Gr _n M . La terminología pesos proviene de una descomposición similar de, digamos, la cohomología de de-Rham de variedades proyectivas suaves, véase la teoría de Hodge .

La conjetura D , que establece la concordancia de la equivalencia numérica y homológica , implica la equivalencia de motivos puros con respecto a la equivalencia homológica y numérica. (En particular, la primera categoría de motivos no dependería de la elección de la teoría de cohomología de Weil ). Jannsen (1992) demostró el siguiente resultado incondicional: la categoría de motivos (puros) sobre un cuerpo es abeliana y semisimple si y solo si la relación de equivalencia elegida es la equivalencia numérica.

La conjetura de Hodge puede reformularse elegantemente utilizando motivos: se cumple si y solo si la realización de Hodge mapea cualquier motivo puro con coeficientes racionales (sobre un subcampo) $k$ de $\mathbb {C}$ ) a su estructura de Hodge es un functor completo $H:M(k)_{\mathbb {Q} }\to HS_{\mathbb {Q} }$ ( estructuras de Hodge racionales ). Aquí, motivo puro significa motivo puro con respecto a la equivalencia homológica.

De manera similar, la conjetura de Tate es equivalente a: la llamada realización de Tate, es decir, la cohomología ℓ-ádica, es un functor completo. $H:M(k)_{\mathbb {Q} _{\ell }}\to \operatorname {Rep} _{\ell }(\operatorname {Gal} (k))$ (motivos puros hasta equivalencia homológica, representaciones continuas del grupo de Galois absoluto del cuerpo base k ), que toma valores en representaciones semisimples. (Esta última parte es automática en el caso del análogo de Hodge).

Formalismo tannakiano y grupo de Galois motivacional

Para motivar el grupo de Galois motivacional (conjetural), fijemos un cuerpo k y consideremos el functor

extensiones separables finitas K de k → conjuntos finitos no vacíos con una acción transitiva (continua) del grupo de Galois absoluto de k

que mapea K al conjunto (finito) de incrustaciones de K en una clausura algebraica de k . En la teoría de Galois, se demuestra que este functor es una equivalencia de categorías . Nótese que los cuerpos son de dimensión 0. Los motivos de este tipo se llaman motivos de Artin . Por $\mathbb {Q}$ -linealizando los objetos anteriores, otra forma de expresar lo anterior es decir que los motivos de Artin son equivalentes a finitos $\mathbb {Q}$ -espacios vectoriales junto con una acción del grupo de Galois.

El objetivo del grupo de Galois motivacional es extender la equivalencia anterior a variedades de dimensiones superiores. Para ello, se utiliza la maquinaria técnica de la teoría de categorías de Tannakian (que se remonta a la dualidad de Tannaka-Krein , pero es una teoría puramente algebraica). Su propósito es esclarecer tanto la conjetura de Hodge como la conjetura de Tate , las cuestiones pendientes en la teoría de ciclos algebraicos . Fijemos una teoría de cohomología de Weil H. Esta proporciona un functor de M _num (motivos puros que utilizan la equivalencia numérica) a dimensiones finitas. $\mathbb {Q}$ -espacios vectoriales. Se puede demostrar que la primera categoría es una categoría de Tannakian. Suponiendo la equivalencia de la equivalencia homológica y numérica, es decir, la conjetura estándar D mencionada anteriormente , el functor H es un tensor-functor exacto y fiel. Aplicando el formalismo de Tannakian, se concluye que M _num es equivalente a la categoría de representaciones de un grupo algebraico G , conocido como el grupo de Galois motivacional.

El grupo de Galois motivacional es a la teoría de motivos lo que el grupo de Mumford-Tate es a la teoría de Hodge . En términos generales, las conjeturas de Hodge y Tate son tipos de teoría de invariantes (los espacios que son moralmente los ciclos algebraicos se seleccionan por invariancia bajo un grupo, si se establecen las definiciones correctas). El grupo de Galois motivacional posee la teoría de representaciones circundante. (Lo que no es, es un grupo de Galois ; sin embargo, en términos de la conjetura de Tate y las representaciones de Galois en la cohomología étale , predice la imagen del grupo de Galois, o, más precisamente, su álgebra de Lie ).

Véase también

Referencias

Artículos de encuesta

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Libros

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Direcciones futuras

Reflexiones sobre $\mathbb {Q} (1/4)$ : Estructuras de espín aritmético en curvas elípticas
¿Qué son los "motivos fraccionarios"?

Enlaces externos

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