Número primo

La mayoría de los primeros griegos ni siquiera consideraban al 1 como un número, ^{[ 35 ] [ 36 ]} por lo que no podían considerar su primalidad. Algunos eruditos de la tradición griega y romana posterior, incluidos Nicómaco , Jámblico , Boecio y Casiodoro , también consideraban que los números primos eran una subdivisión de los números impares, por lo que no consideraban ⁠${\displaystyle 2}$⁠ tampoco era primo. Sin embargo, Euclides y la mayoría de los demás matemáticos griegos consideraban ⁠${\displaystyle 2}$como primo. Los matemáticos islámicos medievales siguieron en gran medida a los griegos al considerar que el 1 no era un número. ^{[ 35 ]} En la Edad Media y el Renacimiento, los matemáticos comenzaron a tratar el 1 como un número, y en el siglo XVII algunos de ellos lo incluyeron como el primer número primo. ^{[ 37 ]} A mediados del siglo XVIII, Christian Goldbach incluyó el 1 como primo en su correspondencia con Leonhard Euler ; ^{[ 38 ]} sin embargo, el propio Euler no consideraba que el 1 fuera primo. ^{[ 39 ]} Muchos matemáticos del siglo XIX todavía consideraban al 1 como primo, ^{[ 40 ]} y Derrick Norman Lehmer incluyó el 1 en su lista de primos menores de diez millones publicada en 1914. ^{[ 41 ]} Las listas de primos que incluían el 1 continuaron publicándose hasta 1956. ^{[ 42 ] [ 43 ]} Sin embargo, a principios del siglo XX los matemáticos comenzaron a estar de acuerdo en que el 1 no debía ser catalogado como primo, sino en su propia categoría especial como una " unidad ". ^{[ 40 ]}

Si el 1 se considerara un número primo, muchas afirmaciones que involucran primos tendrían que reformularse de forma incómoda. Por ejemplo, el teorema fundamental de la aritmética tendría que reformularse en términos de factorizaciones en primos mayores que 1, porque cada número tendría múltiples factorizaciones con cualquier número de copias de  1. ^{[ 40 ] [ 44 ]} De manera similar, la criba de Eratóstenes no funcionaría correctamente si tratara el 1 como un primo, porque eliminaría todos los múltiplos de 1 (es decir, todos los demás números) y produciría solo el número  1. ^{[ 43 ]} Algunas otras propiedades más técnicas de los números primos tampoco se cumplen para el número 1: por ejemplo, las fórmulas para la función totiente de Euler o para la función suma de divisores son diferentes para los números primos que para el  1. ^{[ 45 ]}

Escribir un número como producto de números primos se llama factorización prima del número. ^{[ 46 ]} Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}50&=2\times 5\times 5\\&=2\times 5^{2}.\end{aligned}}}$

Los términos del producto se denominan factores primos . Un mismo factor primo puede aparecer más de una vez; este ejemplo tiene dos copias del factor primo.${\displaystyle 5.}$Cuando un número primo aparece varias veces, se puede utilizar la exponenciación para agrupar varias copias del mismo número primo: por ejemplo, en la segunda forma de escribir el producto anterior,${\displaystyle 5^{2}}$denota el cuadrado o segunda potencia de ⁠${\displaystyle 5}$⁠ . ^{[ 46 ]}

La importancia central de los números primos para la teoría de números y las matemáticas en general radica en el teorema fundamental de la aritmética . ^{[ 47 ]} Este teorema establece que todo entero mayor que 1 puede escribirse como producto de uno o más números primos. Más aún, este producto es único en el sentido de que dos factorizaciones primas cualesquiera del mismo número tendrán la misma cantidad de copias de los mismos primos, aunque su orden puede ser diferente. ^{[ 48 ]} Por lo tanto, aunque existen muchas maneras diferentes de encontrar una factorización utilizando un algoritmo de factorización de enteros , todas deben producir el mismo resultado. Los primos pueden considerarse, por lo tanto, los "bloques de construcción básicos" de los números naturales. ^{[ 49 ]}

Algunas pruebas de la unicidad de las factorizaciones primas se basan en el lema de Euclides : Si${\displaystyle p}$es un número primo y${\displaystyle p}$divide un producto${\displaystyle ab}$de enteros${\displaystyle a}$y​${\displaystyle b,}$entonces​${\displaystyle p}$divide​​${\displaystyle a}$o​​${\displaystyle p}$divide​​${\displaystyle b}$⁠ (o ambos). ^{[ 50 ]} Por el contrario, si un número ⁠${\displaystyle p}$⁠ tiene la propiedad de que cuando divide un producto siempre divide al menos un factor del producto, entonces ⁠${\displaystyle p}$⁠ debe ser primo. ^{[ 51 ]}

Hay infinitos números primos. Otra forma de decirlo es que la secuencia

${\displaystyle 2,3,5,7,11,13,...}$

La infinitud de los números primos es infinita. Esta afirmación se conoce como el teorema de Euclides en honor al antiguo matemático griego Euclides , ya que se le atribuye la primera demostración conocida. Se conocen muchas más demostraciones de la infinitud de los números primos, incluyendo una demostración analítica de Euler , la demostración de Goldbach basada en los números de Fermat , ^{[ 52 ]} la demostración de Furstenberg utilizando topología general , ^{[ 53 ]} y la demostración de Kummer por contradicción . ^{[ 54 ] [ 55 ]}

La demostración de Euclides muestra que toda lista finita de números primos es incompleta. ^{[ 56 ]} La idea clave es multiplicar los números primos de cualquier lista dada y sumar${\displaystyle 1.}$Si la lista consta de los números primos${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n},}$Esto da el número

${\displaystyle N=1+p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{n}.}$

Por el teorema fundamental de la aritmética ,${\displaystyle N}$tiene una factorización prima

${\displaystyle N=p'_{1}\cdot p'_{2}\cdots p'_{m}}$

con uno o más factores primos .${\displaystyle N}$es divisible exactamente por cada uno de estos factores, pero${\displaystyle N}$⁠ tiene un resto de uno cuando se divide por cualquiera de los números primos de la lista dada, por lo que ninguno de los factores primos de ⁠${\displaystyle N}$Puede estar en la lista dada. Como no hay una lista finita de todos los números primos, debe haber infinitos números primos.

Los números formados al sumar uno a los productos de los primos más pequeños se llaman números euclidianos . ^{[ 57 ]} Los primeros cinco de ellos son primos, pero el sexto,

${\displaystyle 1+{\big (}2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13{\big )}=30031=59\cdot 509,}$

es un número compuesto.

No se conoce ninguna fórmula eficiente para los números primos. Por ejemplo, no existe ningún polinomio no constante , ni siquiera en varias variables, que solo tome valores primos. ^{[ 58 ]} Sin embargo, existen numerosas expresiones que sí codifican todos los números primos, o solo los primos. Una posible fórmula se basa en el teorema de Wilson y genera el número 2 muchas veces y todos los demás primos exactamente una vez. ^{[ 59 ]} También existe un conjunto de ecuaciones diofánticas en nueve variables y un parámetro con la siguiente propiedad: el parámetro es primo si y solo si el sistema de ecuaciones resultante tiene una solución sobre los números naturales. Esto puede utilizarse para obtener una única fórmula con la propiedad de que todos sus valores positivos son primos. ^{[ 58 ]}

Otros ejemplos de fórmulas generadoras de números primos provienen del teorema de Mills y de un teorema de Wright . Estos afirman que existen constantes reales.${\displaystyle A>1}$y${\displaystyle \mu }$de tal manera que

${\displaystyle \left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor {\text{ and }}\left\lfloor 2^{\cdots ^{2^{2^{\mu }}}}\right\rfloor }$

son primos para cualquier número natural${\displaystyle n}$en la primera fórmula, y cualquier número de exponentes en la segunda fórmula. ^{[ 60 ]} Aquí${\displaystyle \lfloor {}\cdot {}\rfloor }$representa la función piso , el entero más grande menor o igual al número en cuestión. Sin embargo, estos no son útiles para generar primos, ya que los primos deben generarse primero para poder calcular los valores de ⁠${\displaystyle A}$o​${\displaystyle \mu .}$^{[ 58 ]}

Se han planteado muchas conjeturas que giran en torno a los números primos. A menudo con una formulación elemental, muchas de estas conjeturas han resistido la demostración durante décadas: los cuatro problemas de Landau de 1912 siguen sin resolverse. ^{[ 61 ]} Una de ellas es la conjetura de Goldbach , que afirma que todo entero par ⁠${\displaystyle n}$mayor que​${\displaystyle 2}$Se puede escribir como la suma de dos números primos. ^[ 62 ^{] A} partir de 2014, esta conjetura ha sido verificada para todos los números hasta${\displaystyle n=4\cdot 10^{18}.}$^{[ 63 ]} Se han demostrado afirmaciones más débiles que esta; por ejemplo,el teorema de Vinogradovdice que todo entero impar suficientemente grande puede escribirse como la suma de tres primos. ^{[ 64 ]} El teorema de Chendice que todo número par suficientemente grande puede expresarse como la suma de un primo y unsemiprimo(el producto de dos primos). ^{[ 65 ]} Además, cualquier entero par mayor que 10 puede escribirse como la suma de seis primos. ^{[ 66 ]} La rama de la teoría de números que estudia estas cuestiones se llamateoría aditiva de números. ^{[ 67 ]}

Otro tipo de problema se refiere a las brechas entre números primos , las diferencias entre primos consecutivos. La existencia de brechas entre primos arbitrariamente grandes se puede observar al notar que la secuencia${\displaystyle n!+2,n!+3,\dots ,n!+n}$consta de${\displaystyle n-1}$números compuestos, para cualquier número natural${\displaystyle n.}$^{[ 68 ]} Sin embargo, las grandes brechas de primos ocurren mucho antes de lo que muestra este argumento. ^{[ 69 ]} Por ejemplo, la primera brecha de primos de longitud 8 está entre los primos 89 y 97, ^{[ 70 ]} mucho más pequeña que${\displaystyle 8!=40320.}$Se conjetura que existen infinitos primos gemelos , pares de primos con diferencia 2; esta es la conjetura de los primos gemelos . La conjetura de Polignac afirma de forma más general que para cada entero positivo${\displaystyle k,}$Hay infinitos pares de primos consecutivos que difieren en${\displaystyle 2k.}$^{[ 71 ]} La conjetura de Andrica, ^{[ 71 ]} la conjetura de Brocard, ^{[ 72 ]} la conjetura de Legendre, ^{[ 73 ]} yla conjetura de Oppermann ^{[ 72 ]} sugieren que las mayores brechas entre primos de 1 a⁠${\displaystyle n}$debería ser como máximo aproximadamente${\displaystyle {\sqrt {n}},}$un resultado que se sabe que se deriva de la hipótesis de Riemann, mientras que la conjetura de Cramér, mucho más fuerte, establece el tamaño de brecha más grande en ⁠${\displaystyle O((\log n)^{2})}$⁠ . ^{[ 71 ]} Las brechas primas se pueden generalizar a primas ⁠${\displaystyle k}$-tuplas , patrones en las diferencias entre más de dos números primos. Su infinitudy densidad son el tema de laprimera conjetura de Hardy-Littlewood, que puede motivarse por laheurísticade que los números primos se comportan de manera similar a una secuencia aleatoria de números con una densidad dada por el teorema de los números primos. ^{[ 74 ]}

La demostración de Euler de que existen infinitos números primos considera las sumas de los recíprocos de los números primos,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}{p}}.}$

Euler demostró que, para cualquier número real arbitrario${\displaystyle x}$⁠ , existe un número primo ⁠${\displaystyle p}$para los cuales esta suma es mayor que${\displaystyle x}$⁠ . ^{[ 77 ]} Esto demuestra que hay infinitos primos, porque si hubiera un número finito de primos, la suma alcanzaría su valor máximo en el primo más grande en lugar de crecer más allá de cada ⁠ ${\displaystyle x}$⁠ . La tasa de crecimiento de esta suma se describe con mayor precisión mediante el segundo teorema de Mertens . ^{[ 78 ]} Para comparar, la suma

${\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}}$

no crece hasta el infinito como${\displaystyle n}$⁠ tiende al infinito (véase el problema de Basilea ). En este sentido, los números primos aparecen con más frecuencia que los cuadrados de los números naturales, aunque ambos conjuntos son infinitos. ^{[ 79 ]} El teorema de Brun establece que la suma de los recíprocos de primos gemelos ,

${\displaystyle \left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots ,}$

es finito. Debido al teorema de Brun, no es posible utilizar el método de Euler para resolver la conjetura de los primos gemelos , que afirma que existen infinitos primos gemelos. ^{[ 79 ]}

La función de conteo de números primos${\displaystyle \pi (n)}$se define como el número de primos no mayor que ⁠${\displaystyle n}$⁠ . ^{[ 80 ]} Por ejemplo, ⁠${\displaystyle \pi (11)=5}$⁠ , ya que hay cinco primos menores o iguales a 11. Métodos como el algoritmo de Meissel-Lehmer pueden calcular valores exactos de${\displaystyle \pi (n)}$más rápido de lo que sería posible enumerar cada número primo hasta${\displaystyle n}$⁠ . ^{[ 81 ]} El teorema de los números primos establece que${\displaystyle \pi (n)}$es asintótico a ⁠${\displaystyle n/\log n}$⁠ , que se denota como

${\displaystyle \pi (n)\sim {\frac {n}{\log n}},}$

y significa que la relación de${\displaystyle \pi (n)}$La fracción de la derecha se aproxima a 1 cuando${\displaystyle n}$⁠ crece hasta el infinito. ^{[ 82 ]} Esto implica que la probabilidad de que un número elegido al azar sea menor que ⁠${\displaystyle n}$⁠ es primo es (aproximadamente) inversamente proporcional al número de dígitos en ⁠ ${\displaystyle n}$⁠ . ^{[ 83 ]} También implica que el ⁠${\displaystyle n}$El enésimo número primo es proporcional a${\displaystyle n\log n}$^{[ 84 ]} y por lo tanto que el tamaño promedio de una brecha prima es proporcional a⁠${\displaystyle \log n}$⁠ . ^{[ 69 ]} Una estimación más precisa para${\displaystyle \pi (n)}$viene dada por la integral logarítmica desplazada ^{[ 82 ]}

${\displaystyle \pi (n)\sim \operatorname {Li} (n)=\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log t}}.}$

Una progresión aritmética es una secuencia finita o infinita de números tal que los números consecutivos en la secuencia tienen todos la misma diferencia. ^{[ 85 ]} Esta diferencia se llama módulo de la progresión. ^{[ 86 ]} Por ejemplo,

${\displaystyle 3,12,21,30,39,...,}$

es una progresión aritmética infinita con módulo 9. En una progresión aritmética, todos los números tienen el mismo resto al dividirse por el módulo; en este ejemplo, el resto es 3. Dado que tanto el módulo 9 como el resto 3 son múltiplos de 3, también lo es cada elemento de la secuencia. Por lo tanto, esta progresión contiene solo un número primo, el 3 mismo. En general, la progresión infinita

${\displaystyle a,a+q,a+2q,a+3q,\dots }$

puede tener más de un número primo solo cuando su resto${\displaystyle a}$y módulo​${\displaystyle q}$son primos relativos. Si son primos relativos, el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas afirma que la progresión contiene infinitos primos. ^{[ 87 ]}

Números primos en las progresiones aritméticas módulo 9. Cada fila de la delgada banda horizontal muestra una de las nueve progresiones posibles módulo 9, con los números primos marcados en rojo. Las progresiones de números que son 0, 3 o 6 módulo 9 contienen como máximo un número primo (el número 3); las progresiones restantes de números que son 1, 2, 4, 5, 7 y 8 módulo 9 tienen infinitos números primos, con cantidades similares de primos en cada progresión.

El teorema de Green-Tao muestra que existen progresiones aritméticas finitas arbitrariamente largas que constan únicamente de números primos. ^{[ 34 ] [ 88 ]}

Euler señaló que la función

${\displaystyle n^{2}-n+41}$

produce números primos para${\displaystyle 1\leq n\leq 40}$⁠ , aunque aparecen números compuestos entre sus valores posteriores. ^{[ 89 ] [ 90 ]} La búsqueda de una explicación para este fenómeno condujo a la teoría algebraica profunda de números de Heegner y al problema del número de clases . ^{[ 91 ]} La conjetura de Hardy-Littlewood F predice la densidad de primos entre los valores de polinomios cuadráticos con coeficientes enteros en términos de la integral logarítmica y los coeficientes del polinomio. No se ha demostrado que ningún polinomio cuadrático tome infinitos valores primos. ^{[ 92 ]}

La espiral de Ulam ^{[ 93 ]} organiza los números naturales en una cuadrícula bidimensional, formando espirales concéntricas alrededor del origen, con los números primos resaltados. Visualmente, los primos parecen agruparse en ciertas diagonales y no en otras, lo que sugiere que algunos polinomios cuadráticos toman valores primos con más frecuencia que otros. ^{[ 92 ]}

El matemático ruso Viktor Bunyakovsky conjeturó en 1857 que cualquier polinomio de una variable${\displaystyle f(x)}$con coeficientes enteros produciría infinitos primos en la secuencia${\displaystyle f(1),f(2),f(3),\dots }$Un polinomio debe cumplir las condiciones de que su coeficiente principal sea positivo, sea irreducible sobre los racionales y el valor de dicha sucesión no tenga ningún factor común mayor que 1. Esta conjetura fue generalizada por la hipótesis H del matemático polaco Andrzej Schinzel , y posteriormente extendida a polinomios multivariables en la conjetura de Dickson y luego en la conjetura de Bateman-Horn . ^{[ 94 ]}

Una de las preguntas sin resolver más famosas de las matemáticas, que data de 1859 y es uno de los Problemas del Premio del Milenio , es la hipótesis de Riemann , que pregunta dónde se encuentran los ceros de la función zeta de Riemann.${\displaystyle \zeta (s)}$se encuentran. Esta función es una función analítica en los números complejos . ^{[ 95 ]} Para números complejos${\displaystyle s}$con parte real mayor que uno es igual a una suma infinita sobre todos los enteros y a un producto infinito sobre los números primos, $${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.}$$ Esta igualdad entre una suma y un producto, descubierta por Euler, se llama producto de Euler . ^{[ 96 ]} El producto de Euler se puede derivar del teorema fundamental de la aritmética y muestra la estrecha conexión entre la función zeta y los números primos. ^{[ 97 ]} Conduce a otra prueba de que hay infinitos primos: si solo hubiera un número finito, entonces la igualdad suma-producto también sería válida en ⁠${\displaystyle s=1}$⁠ , pero la suma divergiría (es la serie armónica ⁠${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dots }$) mientras que el producto sería finito, una contradicción. ^{[ 98 ]}

La hipótesis de Riemann establece que los ceros de la función zeta son todos números pares negativos o números complejos con parte real igual a 1/2. ^{[ 99 ]} La demostración original del teorema de los números primos se basó en una forma débil de esta hipótesis, que no hay ceros con parte real igual a 1, ^{[ 100 ] [ 101 ]} aunque se han encontrado otras demostraciones más elementales. ^{[ 102 ]} La función de conteo de primos puede expresarse mediante la fórmula explícita de Riemann como una suma en la que cada término proviene de uno de los ceros de la función zeta; el término principal de esta suma es la integral logarítmica, y los términos restantes hacen que la suma fluctúe por encima y por debajo del término principal. ^{[ 103 ]} En este sentido, los ceros controlan la regularidad con que se distribuyen los números primos. Si la hipótesis de Riemann es cierta, estas fluctuaciones serán pequeñas y la distribución asintótica de los primos dada por el teorema de los números primos también se cumplirá en intervalos mucho más cortos (de longitud aproximadamente la raíz cuadrada de ⁠${\displaystyle x}$para intervalos cercanos a un número${\displaystyle x}$⁠ ). ^{[ 101 ]}

La aritmética modular modifica la aritmética usual utilizando únicamente los números .${\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n-1\}}$, para un número natural${\displaystyle n}$llamado módulo. Cualquier otro número natural puede ser mapeado en este sistema reemplazándolo por su resto después de la división por${\displaystyle n}$⁠ . ^{[ 104 ]} Las sumas, diferencias y productos modulares se calculan realizando la misma sustitución por el resto en el resultado de la suma, diferencia o producto usual de enteros. ^{[ 105 ]} La igualdad de enteros corresponde a la congruencia en aritmética modular: ⁠${\displaystyle x}$y​​${\displaystyle y}$son congruentes (escritos)${\displaystyle x\equiv y}$mod​${\displaystyle n}$) cuando tienen el mismo resto después de la división por${\displaystyle n}$⁠ . ^{[ 106 ]} En este sistema de números, la división por todos los números distintos de cero es posible si y solo si el módulo es primo. Por ejemplo, con el número primo 7 como módulo, la división por 3 es posible: ⁠${\displaystyle 2/3\equiv 3{\bmod {7}}}$⁠ , porque al eliminar los denominadores multiplicando ambos lados por 3 se obtiene la fórmula válida ⁠${\displaystyle 2\equiv 9{\bmod {7}}}$Sin embargo, con el módulo compuesto 6, la división por 3 es imposible. No hay una solución válida para${\displaystyle 2/3\equiv x{\bmod {6}}}$Al eliminar los denominadores multiplicando por 3, el lado izquierdo se convierte en 2, mientras que el lado derecho se convierte en 0 o 3. En la terminología del álgebra abstracta , la capacidad de realizar la división implica que la aritmética modular módulo un número primo forma un cuerpo o, más específicamente, un cuerpo finito , mientras que otros módulos solo dan un anillo , pero no un cuerpo. ^{[ 107 ]}

Se pueden formular varios teoremas sobre números primos utilizando aritmética modular. Por ejemplo, el pequeño teorema de Fermat establece que si${\displaystyle a\not \equiv 0}$(mod ⁠${\displaystyle p}$) , entonces${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1}$(mod ⁠${\displaystyle p}$⁠ ). ^{[ 108 ]} Sumando esto sobre todas las opciones de ⁠${\displaystyle a}$da la ecuación

${\displaystyle \sum _{a=1}^{p-1}a^{p-1}\equiv (p-1)\cdot 1\equiv -1{\pmod {p}},}$

válido siempre que${\displaystyle p}$⁠ es primo. La conjetura de Giuga dice que esta ecuación también es una condición suficiente para ⁠${\displaystyle p}$ser primo. [ ^{109 ] El} teorema de Wilson dice que un entero${\displaystyle p>1}$es primo si y solo si el factorial${\displaystyle (p-1)!}$es congruente con${\displaystyle -1}$mod​${\displaystyle p}$⁠ . Para un número compuesto ⁠ ${\displaystyle n=r\cdot s}$⁠ Esto no puede ser cierto, ya que uno de sus factores divide tanto a n como a ⁠${\displaystyle (n-1)!}$⁠ , y así${\displaystyle (n-1)!\equiv -1{\pmod {n}}}$es imposible. ^{[ 110 ]}

El​${\displaystyle p}$-orden ádico${\displaystyle \nu _{p}(n)}$de un número entero${\displaystyle n}$es el número de copias de${\displaystyle p}$en la factorización prima de${\displaystyle n}$⁠ . El mismo concepto puede extenderse de los números enteros a los números racionales definiendo el ⁠${\displaystyle p}$orden -ádico de una fracción${\displaystyle m/n}$ser​${\displaystyle \nu _{p}(m)-\nu _{p}(n)}$⁠ . El ⁠${\displaystyle p}$valor absoluto -ádico${\displaystyle |q|_{p}}$de cualquier número racional${\displaystyle q}$⁠ se define entonces como ⁠${\displaystyle \vert q\vert _{p}=p^{-\nu _{p}(q)}}$⁠ . Multiplicar un número entero por su ⁠${\displaystyle p}$El valor absoluto -ádico cancela los factores de${\displaystyle p}$en su factorización, dejando solo los otros primos. Así como la distancia entre dos números reales se puede medir por el valor absoluto de su diferencia, la distancia entre dos números racionales se puede medir por su${\displaystyle p}$distancia -ádica , la${\displaystyle p}$⁠ valor absoluto -ádico de su diferencia. Para esta definición de distancia, dos números están cerca (tienen una distancia pequeña) cuando su diferencia es divisible por una alta potencia de ⁠${\displaystyle p}$⁠ . De la misma manera que los números reales pueden formarse a partir de los números racionales y sus distancias, añadiendo valores límite adicionales para formar un cuerpo completo , los números racionales con el ⁠${\displaystyle p}$La distancia -ádica puede extenderse a un campo completo diferente, el${\displaystyle p}$Números -ádicos . ^{[ 111 ] [ 112 ]}

Esta imagen de un orden, un valor absoluto y un cuerpo completo derivado de ellos puede generalizarse a cuerpos de números algebraicos y sus valoraciones (ciertas aplicaciones del grupo multiplicativo del cuerpo a un grupo aditivo totalmente ordenado , también llamados órdenes), valores absolutos (ciertas aplicaciones multiplicativas del cuerpo a los números reales, también llamadas normas ), ^{[ 111 ]} y lugares (extensiones a cuerpos completos en los que el cuerpo dado es un conjunto denso , también llamadas completaciones). ^{[ 113 ]} La extensión de los números racionales a los números reales , por ejemplo, es un lugar en el que la distancia entre números es el valor absoluto usual de su diferencia. La aplicación correspondiente a un grupo aditivo sería el logaritmo del valor absoluto, aunque esto no cumple todos los requisitos de una valoración. Según el teorema de Ostrowski , salvo una noción natural de equivalencia, los números reales y${\displaystyle p}$Los números -ádicos , con sus órdenes y valores absolutos, son las únicas valoraciones, valores absolutos y posiciones en los números racionales. ^{[ 111 ]} El principio local-global permite resolver ciertos problemas sobre los números racionales mediante la combinación de soluciones de cada una de sus posiciones, lo que subraya nuevamente la importancia de los primos para la teoría de números. ^{[ 114 ]}

Un anillo conmutativo es una estructura algebraica donde se definen la suma, la resta y la multiplicación. Los números enteros son un anillo, y los números primos en los enteros se han generalizado a anillos de dos maneras diferentes: elementos primos y elementos irreducibles . Un elemento${\displaystyle p}$de un anillo${\displaystyle R}$Se llama primo si es distinto de cero, no tiene inverso multiplicativo ( es decir, no es una unidad ) y satisface el siguiente requisito: siempre que${\displaystyle p}$divide el producto${\displaystyle xy}$de dos elementos de${\displaystyle R}$⁠ , también divide al menos uno de ⁠${\displaystyle x}$o​​${\displaystyle y}$Un elemento es irreducible si no es ni una unidad ni el producto de otros dos elementos que no son unidades. En el anillo de los enteros, los elementos primos e irreducibles forman el mismo conjunto .

${\displaystyle \{\dots ,-11,-7,-5,-3,-2,2,3,5,7,11,\dots \}\,.}$

En un anillo arbitrario, todos los elementos primos son irreducibles. Lo contrario no se cumple en general, pero sí para dominios de factorización únicos . ^{[ 115 ]}

El teorema fundamental de la aritmética sigue siendo válido (por definición) en dominios de factorización única. Un ejemplo de dicho dominio son los enteros gaussianos .${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$⁠ , el anillo de números complejos de la forma${\displaystyle a+bi}$donde​${\displaystyle i}$⁠ denota la unidad imaginaria y ⁠${\displaystyle a}$y​​${\displaystyle b}$Los números son enteros arbitrarios. Sus elementos primos se conocen como primos gaussianos . No todo número primo entre los enteros sigue siendo primo en los enteros gaussianos; por ejemplo, el número 2 se puede escribir como producto de dos primos gaussianos.${\displaystyle 1+i}$y​${\displaystyle 1-i}$⁠ . Los primos racionales (los elementos primos en los enteros) congruentes con 3 mod 4 son primos gaussianos, pero los primos racionales congruentes con 1 mod 4 no lo son. ^{[ 116 ]} Esto es una consecuencia del teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados , que establece que un primo impar ⁠${\displaystyle p}$⁠ se puede expresar como la suma de dos cuadrados, ⁠${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$⁠ , y por lo tanto factorizable como ⁠${\displaystyle p=(x+iy)(x-iy)}$⁠ , exactamente cuando ⁠${\displaystyle p}$es 1 mod 4. ^{[ 117 ]}

No todos los anillos son un dominio de factorización único. Por ejemplo, en el anillo de números${\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}$(para números enteros${\displaystyle a}$y​​${\displaystyle b}$) el número${\displaystyle 21}$tiene dos factorizaciones${\displaystyle 21=3\cdot 7=(1+2{\sqrt {-5}})(1-2{\sqrt {-5}})}$⁠ , donde ninguno de los cuatro factores se puede reducir más, por lo que no tiene una factorización única. Para extender la factorización única a una clase más grande de anillos, la noción de número se puede reemplazar por la de ideal , un subconjunto de los elementos de un anillo que contiene todas las sumas de pares de sus elementos y todos los productos de sus elementos con elementos del anillo. Los ideales primos , que generalizan los elementos primos en el sentido de que el ideal principal generado por un elemento primo es un ideal primo, son una herramienta y objeto de estudio importante en álgebra conmutativa , teoría algebraica de números y geometría algebraica . Los ideales primos del anillo de los enteros son los ideales ⁠${\displaystyle (0)}$,​​${\displaystyle (2)}$,​​${\displaystyle (3)}$,​​${\displaystyle (5)}$,​​${\displaystyle (7)}$,​​${\displaystyle (11)}$... El teorema fundamental de la aritmética se generaliza al teorema de Lasker-Noether , que expresa cada ideal en un anillo conmutativo noetheriano como una intersección de ideales primarios , que son las generalizaciones apropiadas de potencias primas . ^{[ 118 ]}

El espectro de un anillo es un espacio geométrico cuyos puntos son los ideales primos del anillo. ^{[ 119 ]} La geometría aritmética también se beneficia de esta noción, y existen muchos conceptos tanto en geometría como en teoría de números. Por ejemplo, la factorización o ramificación de ideales primos cuando se elevan a un cuerpo de extensión , un problema básico de la teoría algebraica de números, guarda cierta semejanza con la ramificación en geometría . Estos conceptos pueden incluso ayudar en cuestiones de teoría de números que se ocupan exclusivamente de enteros. Por ejemplo, los ideales primos en el anillo de enteros de cuerpos de números cuadráticos se pueden usar para demostrar la reciprocidad cuadrática , una afirmación que se refiere a la existencia de raíces cuadradas módulo números primos enteros. ^{[ 120 ]} Los primeros intentos de demostrar el Último Teorema de Fermat llevaron a la introducción por parte de Kummer de los primos regulares , números primos enteros relacionados con el fallo de la factorización única en los enteros ciclotómicos . ^{[ 121 ]} La cuestión de cuántos números primos enteros se factorizan en un producto de múltiples ideales primos en un cuerpo numérico algebraico se aborda mediante el teorema de densidad de Chebotarev , que (cuando se aplica a los enteros ciclotómicos) tiene como caso especial el teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas. ^{[ 122 ]}

En la teoría de grupos finitos, los teoremas de Sylow implican que, si una potencia de un número primo${\displaystyle p^{n}}$divide el orden de un grupo , entonces el grupo tiene un subgrupo de orden ⁠${\displaystyle p^{n}}$Por el teorema de Lagrange , cualquier grupo de orden primo es un grupo cíclico , y por el teorema de Burnside, cualquier grupo cuyo orden sea divisible solo por dos números primos es resoluble . ^{[ 123 ]}

El método más básico para comprobar la primalidad de un número entero dado${\displaystyle n}$Se llama división por ensayo . Este método divide${\displaystyle n}$por cada número entero desde 2 hasta la raíz cuadrada de${\displaystyle n}$Cualquier número entero que divida${\displaystyle n}$Establece uniformemente​${\displaystyle n}$como compuesto; de lo contrario es primo. Los enteros mayores que la raíz cuadrada no necesitan ser comprobados porque, siempre que${\displaystyle n=a\cdot b}$, uno de los dos factores${\displaystyle a}$y​​${\displaystyle b}$es menor o igual que la raíz cuadrada de${\displaystyle n}$⁠ . Otra optimización consiste en comprobar solo los números primos como factores en este rango. ^{[ 126 ]} Por ejemplo, para comprobar si 37 es primo, este método lo divide por los números primos en el rango de 2 a ⁠${\displaystyle {\sqrt {37}}}$⁠ , que son 2, 3 y 5. Cada división produce un resto distinto de cero, por lo que 37 es efectivamente primo.

Aunque este método es sencillo de describir, resulta poco práctico para comprobar la primalidad de enteros grandes, ya que el número de pruebas que realiza crece exponencialmente en función del número de dígitos de estos enteros. ^{[ 127 ]} Sin embargo, la división por tanteo se sigue utilizando, con un límite menor que la raíz cuadrada en el tamaño del divisor, para descubrir rápidamente números compuestos con factores pequeños, antes de aplicar métodos más complejos a los números que superan este filtro. ^{[ 128 ]}

Antes de la llegada de las computadoras, era común imprimir tablas matemáticas que enumeraban todos los números primos o factorizaciones primas hasta un límite dado. ^{[ 129 ]} El método más antiguo conocido para generar una lista de números primos se llama la criba de Eratóstenes. ^{[ 130 ]} La animación muestra una variante optimizada de este método. ^{[ 131 ]} Otro método de cribado más eficiente asintóticamente para el mismo problema es la criba de Atkin . ^{[ 132 ]} En matemáticas avanzadas, la teoría de cribas aplica métodos similares a otros problemas. ^{[ 133 ]}

Algunas de las pruebas modernas más rápidas para determinar si un número arbitrario dado es verdadero o falso${\displaystyle n}$⁠ es primo son algoritmos probabilísticos (o de Monte Carlo ), lo que significa que tienen una pequeña probabilidad aleatoria de producir una respuesta incorrecta. ^{[ 134 ]} Por ejemplo, la prueba de primalidad de Solovay-Strassen sobre un número dado ⁠${\displaystyle p}$Elige un número${\displaystyle a}$aleatoriamente del 2 al${\displaystyle p-2}$y utiliza la exponenciación modular para comprobar si${\displaystyle a^{(p-1)/2}\pm 1}$es divisible por${\displaystyle p}$⁠ . ^{[ d ]} Si es así, responde sí y de lo contrario responde no. Si ⁠${\displaystyle p}$Si realmente es primo, siempre responderá que sí, pero si${\displaystyle p}$Si es compuesto , entonces responde sí con una probabilidad como máximo de 1/2 y no con una probabilidad como mínimo de 1/2. ^{[ 135 ]} Si se repite esta prueba${\displaystyle n}$⁠ veces en el mismo número, la probabilidad de que un número compuesto pueda pasar la prueba cada vez es como máximo ⁠${\displaystyle 1/2^{n}}$Debido a que esto disminuye exponencialmente con el número de pruebas, proporciona una alta confianza (aunque no certeza) de que un número que pasa la prueba repetida es primo. Por otro lado, si la prueba alguna vez falla, entonces el número es ciertamente compuesto. ^{[ 136 ]} Un número compuesto que pasa dicha prueba se llama pseudoprimo . ^{[ 135 ]}

En contraste, algunos otros algoritmos garantizan que su respuesta siempre será correcta: los números primos siempre se determinarán como primos y los compuestos siempre se determinarán como compuestos. Por ejemplo, esto es cierto para la división por tanteo. Los algoritmos con salida correcta garantizada incluyen tanto algoritmos deterministas (no aleatorios), como la prueba de primalidad AKS , ^{[ 137 ]} y algoritmos aleatorios de Las Vegas donde las elecciones aleatorias hechas por el algoritmo no afectan su respuesta final, como algunas variaciones de la prueba de primalidad de curva elíptica . ^{[ 134 ]} Cuando el método de curva elíptica concluye que un número es primo, proporciona un certificado de primalidad que se puede verificar rápidamente. ^{[ 138 ]} La prueba de primalidad de curva elíptica es la más rápida en la práctica de las pruebas de primalidad correctas garantizadas, pero solo tiene argumentos heurísticos para su rápido rendimiento en lugar de pruebas rigurosas. Se ha demostrado que la prueba de primalidad AKS se ejecuta en tiempo polinomial , pero con un exponente polinomial mayor, lo que la hace más lenta en la práctica que la prueba de curva elíptica. ^{[ 139 ]} Estos métodos se pueden utilizar para generar grandes números primos aleatorios, generando y probando números aleatorios hasta encontrar uno que sea primo; al hacer esto, una prueba probabilística más rápida puede eliminar rápidamente la mayoría de los números compuestos antes de que se utilice un algoritmo de corrección garantizada para verificar que los números restantes son primos. ^{[ e ]}

La siguiente tabla enumera algunas de estas pruebas. Su tiempo de ejecución se da en términos de${\displaystyle n}$⁠ , el número a probar y, para algoritmos probabilísticos, el número ⁠${\displaystyle k}$de pruebas realizadas. Además,${\displaystyle \varepsilon }$es un número positivo arbitrariamente pequeño, y log es el logaritmo en una base no especificada. La notación O grande significa que cada límite de tiempo debe multiplicarse por un factor constante para convertirlo de unidades adimensionales a unidades de tiempo; este factor depende de detalles de implementación como el tipo de computadora utilizada para ejecutar el algoritmo, pero no de los parámetros de entrada .${\displaystyle n}$y​​${\displaystyle k}$.​

Además de las pruebas mencionadas que se aplican a cualquier número natural, algunos números de una forma especial pueden ser probados para primalidad más rápidamente. Por ejemplo, la prueba de primalidad de Lucas-Lehmer puede determinar si un número de Mersenne (uno menos que una potencia de dos ) es primo, de forma determinista, en el mismo tiempo que una sola iteración de la prueba de Miller-Rabin. ^{[ 144 ]} Por eso, desde 1992 ( a octubre de 2024 ) el primo más grande conocido siempre ha sido un primo de Mersenne. ^{[ 145 ]} Se conjetura que hay infinitos primos de Mersenne. ^{[ 146 ]}

La siguiente tabla muestra los números primos más grandes conocidos de diversos tipos. Algunos de estos primos se han encontrado utilizando computación distribuida . En 2009, el proyecto Great Internet Mersenne Prime Search recibió un premio de 100 000 dólares estadounidenses por descubrir primero un primo con al menos 10 millones de dígitos. ^{[ 147 ]} La Electronic Frontier Foundation también ofrece 150 000 y 250 000 dólares estadounidenses por primos con al menos 100 millones de dígitos y 1000 millones de dígitos, respectivamente. ^{[ 148 ]}

Dado un número entero compuesto${\displaystyle n}$⁠ , la tarea de proporcionar uno (o todos) los factores primos se denomina factorización de ⁠${\displaystyle n}$⁠ . Es significativamente más difícil que la prueba de primalidad, ^{[ 156 ]} y aunque se conocen muchos algoritmos de factorización, son más lentos que los métodos de prueba de primalidad más rápidos. La división por ensayo y el algoritmo rho de Pollard se pueden utilizar para encontrar factores muy pequeños de ⁠${\displaystyle n}$⁠ , ^{[ 128 ]} y la factorización de curvas elípticas puede ser efectiva cuando ⁠${\displaystyle n}$tiene factores de tamaño moderado. [ ^{157 ]} Los métodos adecuados para números arbitrariamente grandes que no dependen del tamaño de sus factores incluyen la criba cuadrática y ^{la criba general de} cuerpos numéricos . Al igual que con las pruebas de primalidad, también existen algoritmos de factorización que requieren que su entrada tenga una forma especial, incluida la criba especial de cuerpos numéricos . ^{[ 158 ]} A diciembre de 2019 El número más grande conocido que ha sido factorizado por un algoritmo de propósito general es RSA-240 , que tiene 240 dígitos decimales (795 bits) y es el producto de dos primos grandes. ^{[ 159 ]}

El algoritmo de Shor puede factorizar cualquier entero en un número polinomial de pasos en una computadora cuántica . ^{[ 160 ]} Sin embargo, la tecnología actual solo puede ejecutar este algoritmo para números muy pequeños. A partir de octubre de 2012 , el número más grande que ha sido factorizado por una computadora cuántica ejecutando el algoritmo de Shor es 21. ^{[ 161 ]}

Varios algoritmos de criptografía de clave pública , como RSA y el intercambio de claves Diffie-Hellman , se basan en números primos grandes (los primos de 2048 bits son comunes). ^{[ 162 ]} RSA se basa en la suposición de que es mucho más fácil (es decir, más eficiente) realizar la multiplicación de dos números (grandes) .${\displaystyle x}$y​​${\displaystyle y}$que calcular​${\displaystyle x}$y​​${\displaystyle y}$⁠ (se supone que son coprimos ) si solo el producto${\displaystyle xy}$es conocido. ^{[ 31 ]} El intercambio de claves Diffie-Hellman se basa en el hecho de que existen algoritmos eficientes para la exponenciación modular (computación ⁠${\displaystyle a^{b}{\bmod {c}}}$⁠ ), mientras que la operación inversa (el logaritmo discreto ) se considera un problema difícil. ^{[ 163 ]}

Los números primos se utilizan con frecuencia para tablas hash . Por ejemplo, el método original de Carter y Wegman para el hash universal se basaba en el cálculo de funciones hash mediante la elección de funciones lineales aleatorias módulo números primos grandes. Carter y Wegman generalizaron este método a${\displaystyle k}$Hashing independiente mediante el uso de polinomios de grado superior, nuevamente módulo primos grandes. ^{[ 164 ]} Además de en la función hash, se utilizan números primos para el tamaño de la tabla hash ensondeo cuadráticopara asegurar que la secuencia de sondeo cubra toda la tabla. ^{[ 165 ]}

Algunos métodos de suma de verificación se basan en las matemáticas de los números primos. Por ejemplo, las sumas de verificación utilizadas en los Números Estándar Internacionales de Libro se definen tomando el resto del número módulo 11, un número primo. Debido a que 11 es primo, este método puede detectar tanto errores de un solo dígito como transposiciones de dígitos adyacentes. ^{[ 166 ]} Otro método de suma de verificación, Adler-32 , utiliza la aritmética módulo 65521, el mayor número primo menor que ⁠${\displaystyle 2^{16}}$⁠ . ^{[ 167 ]} Los números primos también se utilizan en generadores de números pseudoaleatorios, incluidos los generadores congruenciales lineales ^{[ 168 ]} y el Mersenne Twister . ^{[ 169 ]}

Los primos de Fermat son primos de la forma

${\displaystyle F_{k}=2^{2^{k}}+1,}$

con​${\displaystyle k}$un entero no negativo . [ ^{175 ]} Reciben su nombre de Pierre de Fermat , quien conjeturó que todos esos números son primos. Los primeros cinco de estos números —3, 5, 17, 257 y 65.537— son primos ^{, [ 176 ]} pero${\displaystyle F_{5}}$es compuesto y también lo son todos los demás números de Fermat que se han verificado hasta 2017. ^{[ 177 ]} Un regular ⁠${\displaystyle n}$⁠ -gonoesconstruible usando regla y compássi y solo si los factores primos impares de ⁠${\displaystyle n}$⁠ (si los hay) son primos de Fermat distintos. ^{[ 176 ]} Asimismo, un ⁠ regular${\displaystyle n}$⁠ -gono se puede construir usando regla, compás y trisectriz de ángulos si y solo si los factores primos de ⁠${\displaystyle n}$⁠ son cualquier número de copias de 2 o 3 junto con un conjunto (posiblemente vacío) deprimos de Pierpont, primos de la forma ⁠${\displaystyle 2^{a}3^{b}+1}$⁠ . ^{[ 178 ]}

Es posible particionar cualquier polígono convexo en${\displaystyle n}$⁠ polígonos convexos más pequeños de igual área e igual perímetro, cuando ⁠${\displaystyle n}$⁠ es una potencia de un número primo , pero esto no se conoce para otros valores de ⁠${\displaystyle n}$⁠ . ^{[ 179 ]}

A partir del trabajo de Hugh Montgomery y Freeman Dyson en la década de 1970, matemáticos y físicos han especulado que los ceros de la función zeta de Riemann están conectados a los niveles de energía de los sistemas cuánticos . ^{[ 180 ] [ 181 ]} Los números primos también son significativos en la ciencia de la información cuántica , gracias a estructuras matemáticas como bases mutuamente imparciales y medidas simétricas con valores de operador positivo e información completa . ^{[ 182 ] [ 183 ]}

La estrategia evolutiva empleada por las cigarras del género Magicicada utiliza números primos. ^{[ 184 ]} Estos insectos pasan la mayor parte de su vida como larvas bajo tierra. Solo pupan y emergen de sus madrigueras después de 7, 13 o 17 años, momento en el que vuelan, se reproducen y mueren tras unas pocas semanas como máximo. Los biólogos teorizan que la duración de estos ciclos reproductivos, que son números primos, ha evolucionado para evitar que los depredadores se sincronicen con ellos. ^{[ 185 ] [ 186 ]} En contraste, se hipotetiza que los periodos multianuales entre la floración en las plantas de bambú son números suaves , que solo tienen números primos pequeños en sus factorizaciones. ^{[ 187 ]}

Los números primos han influido en muchos artistas y escritores. El compositor francés Olivier Messiaen utilizó números primos para crear música amétrica a través de «fenómenos naturales». En obras como La Nativité du Seigneur (1935) y Quatre études de rythme (1949-1950), emplea simultáneamente motivos con duraciones dadas por diferentes números primos para crear ritmos impredecibles: los primos 41, 43, 47 y 53 aparecen en el tercer estudio, «Neumes rythmiques». Según Messiaen, esta forma de componer estaba «inspirada en los movimientos de la naturaleza, movimientos de duraciones libres y desiguales». ^{[ 188 ]}

En su novela de ciencia ficción Contacto , el científico Carl Sagan sugirió que la factorización prima podría usarse como un medio para establecer planos de imagen bidimensionales en comunicaciones con extraterrestres, una idea que había desarrollado informalmente con el astrónomo estadounidense Frank Drake en 1975. ^{[ 189 ]} En la novela El curioso incidente del perro a medianoche de Mark Haddon , el narrador organiza las secciones de la historia por números primos consecutivos como una forma de transmitir el estado mental de su personaje principal, un adolescente con talento matemático y síndrome de Asperger . ^{[ 190 ]} Los números primos se usan como metáfora de la soledad y el aislamiento en la novela La soledad de los números primos de Paolo Giordano , en la que se los retrata como "marginados" entre los enteros. ^{[ 191 ]} La película de atracos Sneakers de 1992 presenta un método ficticio para factorizar rápidamente números grandes en primos, rompiendo así los sistemas de cifrado informático. ^{[ 192 ] [ 193 ] [ 194 ]}