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Articulo de referencia

Conjetura de Poincaré

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En el campo matemático de la topología geométrica , la conjetura de Poincaré ( UK : / ˈpwæ̃kæreɪ / , [ 2 ] US : / ˌpwæ̃kɑːˈreɪ / , [ 3 ] [ 4 ] French : [ pwɛ̃kaʁe ] ) es un teorema sobre la caracterización de la 3 - esfera (la hiperesfera que delimita la 4 -bola en el espacio de cuatro dimensiones ).

El teorema, originalmente conjeturado por Henri Poincaré en 1904, se refiere a espacios que localmente se asemejan al espacio euclidiano tridimensional ordinario , pero que son de extensión finita. Poincaré planteó la hipótesis de que si dicho espacio posee la propiedad adicional de que cada bucle puede estrecharse continuamente hasta un punto, entonces necesariamente es una esfera tridimensional . Los intentos por resolver esta conjetura impulsaron grandes avances en el campo de la topología geométrica durante el siglo XX.

La demostración final se basó en el programa de Richard S. Hamilton , que utilizaba el flujo de Ricci para resolver el problema. Al desarrollar nuevas técnicas y resultados en la teoría del flujo de Ricci, Grigori Perelman modificó y completó el programa de Hamilton. En artículos publicados en el repositorio arXiv en 2002 y 2003, Perelman presentó su trabajo demostrando la conjetura de Poincaré (y la conjetura de geometrización, más potente, de William Thurston ). Durante los años siguientes, varios matemáticos estudiaron sus artículos y elaboraron formulaciones detalladas de su trabajo.

El trabajo de Hamilton y Perelman sobre la conjetura es ampliamente reconocido como un hito de la investigación matemática. Hamilton fue galardonado con el Premio Shaw en 2011 y el Premio Leroy P. Steele a la Contribución Fundamental a la Investigación en 2009. La revista Science calificó la demostración de Perelman de la conjetura de Poincaré como el Avance Científico del Año en 2006. [ 5 ] El Instituto Clay de Matemáticas , que incluyó la conjetura de Poincaré en su conocida lista de Problemas del Premio del Milenio , ofreció a Perelman su premio de 1 millón de dólares estadounidenses en 2010 por la resolución de la conjetura. [ 6 ] Rechazó el premio, diciendo que la contribución de Hamilton había sido igual a la suya. [ 7 ] [ 8 ]

Descripción general

Ninguno de los dos bucles coloreados de este toroide puede ajustarse continuamente hasta formar un punto. Un toroide no es homeomorfo a una esfera.

La conjetura de Poincaré fue un problema matemático en el campo de la topología geométrica . En términos del vocabulario de ese campo, dice lo siguiente:

Conjetura de Poincaré . Toda variedad topológica tridimensional que es cerrada , conexa y tiene un grupo fundamental trivial es homeomorfa a la esfera tridimensional .

Las formas familiares, como la superficie de una bola (conocida en matemáticas como esfera bidimensional ) o la de un toro , son bidimensionales. La superficie de una bola tiene un grupo fundamental trivial, lo que significa que cualquier bucle trazado sobre ella puede deformarse continuamente hasta un único punto. Por el contrario, la superficie de un toro tiene un grupo fundamental no trivial, ya que existen bucles que no pueden deformarse de esta manera. Ambas son variedades topológicas cerradas (es decir, sin frontera y que ocupan una región finita del espacio) y conexas (es decir, formadas por una sola pieza). Se dice que dos variedades cerradas son homeomorfas cuando es posible reasignar los puntos de una a la otra de forma continua. Dado que se sabe que la (no)trivialidad del grupo fundamental es invariante bajo homeomorfismo, se deduce que la esfera bidimensional y el toro no son homeomorfos.

La analogía bidimensional de la conjetura de Poincaré afirma que cualquier variedad topológica bidimensional cerrada y conexa, pero no homeomorfa a la esfera bidimensional, debe poseer un lazo que no puede contraerse continuamente hasta un punto. (Esto se ilustra con el ejemplo del toro, como se mencionó anteriormente). Se sabe que esta analogía es cierta gracias a la clasificación de variedades topológicas bidimensionales cerradas y conexas, que se ha comprendido de diversas formas desde la década de 1860. En dimensiones superiores, las variedades topológicas cerradas y conexas no tienen una clasificación directa, lo que impide una fácil resolución de la conjetura de Poincaré.

Historia

La pregunta de Poincaré

En el siglo XIX, Bernhard Riemann y Enrico Betti iniciaron el estudio de los invariantes topológicos de las variedades . [ 9 ] [ 10 ] Introdujeron los números de Betti , que asocian a cualquier variedad una lista de enteros no negativos. Riemann demostró que una variedad bidimensional cerrada y conexa está completamente caracterizada por sus números de Betti. Como parte de su artículo de 1895, Analysis Situs (anunciado en 1892), Poincaré demostró que el resultado de Riemann no se extiende a dimensiones superiores. [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] Para ello, introdujo el grupo fundamental como un nuevo invariante topológico y mostró ejemplos de variedades tridimensionales que tienen los mismos números de Betti pero grupos fundamentales distintos. Planteó la cuestión de si el grupo fundamental es suficiente para caracterizar topológicamente una variedad (de dimensión dada), aunque no intentó profundizar en la respuesta, limitándose a decir que requeriría un estudio extenso y difícil. [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]

El propósito principal del artículo de Poincaré fue la interpretación de los números de Betti en términos de sus grupos de homología recientemente introducidos , junto con el teorema de dualidad de Poincaré sobre la simetría de los números de Betti. Tras las críticas sobre la completitud de sus argumentos, publicó varios "suplementos" posteriores para mejorar y corregir su trabajo. La observación final de su segundo suplemento, publicado en 1900, decía: [ 15 ] [ 13 ]

Para evitar que este trabajo se prolongue demasiado, me limitaré a enunciar el siguiente teorema, cuya demostración requerirá desarrollos posteriores:

Cada poliedro que tiene todos sus números de Betti iguales a 1 y todas sus tablasTq{\displaystyle T_{q}}Orientable está simplemente conectado, es decir, homeomorfo a una hiperesfera.

(En un lenguaje moderno, teniendo en cuenta que Poincaré utiliza la terminología de conexidad simple de una manera inusual, [ 16 ] esto significa que una variedad orientada cerrada y conexa con la homología de una esfera debe ser homeomorfa a una esfera. [ 14 ] ) Esto modificó su generalización negativa del trabajo de Riemann de dos maneras. En primer lugar, ahora utilizaba los grupos de homología completos y no solo los números de Betti. En segundo lugar, redujo el alcance del problema, pasando de preguntar si una variedad arbitraria se caracteriza por invariantes topológicos a preguntar si la esfera puede caracterizarse de esa manera.

Sin embargo, tras su publicación, descubrió que su teorema anunciado era incorrecto. En su quinto y último suplemento, publicado en 1904, lo demostró con el contraejemplo de la esfera de homología de Poincaré , que es una variedad tridimensional cerrada y conexa que tiene la homología de la esfera pero cuyo grupo fundamental tiene 120 elementos. Este ejemplo dejó claro que la homología no es lo suficientemente potente como para caracterizar la topología de una variedad. En las observaciones finales del quinto suplemento, Poincaré modificó su teorema erróneo para usar el grupo fundamental en lugar de la homología: [ 17 ] [ 13 ]

Queda una cuestión por resolver: ¿es posible que el grupo fundamental de V se reduzca a la identidad sin que V sea simplemente conexo? [...] Sin embargo, esta cuestión nos alejaría demasiado del tema principal.

En esta observación, como en la observación final del segundo suplemento, Poincaré utilizó el término «simplemente conexo» de una manera que está en desacuerdo con el uso moderno, así como con su propia definición del término de 1895. [ 12 ] [ 16 ] (Según el uso moderno, la pregunta de Poincaré es una tautología , que pregunta si es posible que una variedad sea simplemente conexa sin ser simplemente conexa). Sin embargo, como se puede inferir del contexto, [ 18 ] Poincaré preguntaba si la trivialidad del grupo fundamental caracteriza de manera única la esfera. [ 14 ]

A lo largo de la obra de Riemann, Betti y Poincaré, las nociones topológicas en cuestión no se definen ni se utilizan de una manera que se reconozca como precisa desde una perspectiva moderna. Incluso la noción clave de "variedad" no se utilizó de manera consistente en la propia obra de Poincaré, y hubo frecuentes confusiones entre la noción de variedad topológica , variedad PL y variedad diferenciable . [ 16 ] [ 19 ] Por esta razón, no es posible leer las preguntas de Poincaré de manera inequívoca. Solo a través de la formalización y el vocabulario de la topología desarrollados por matemáticos posteriores se ha entendido la pregunta final de Poincaré como la "conjetura de Poincaré", tal como se afirma en la sección anterior.

Sin embargo, a pesar de su formulación habitual en forma de conjetura, que propone que todas las variedades de cierto tipo son homeomorfas a la esfera, Poincaré solo planteó una pregunta abierta, sin aventurarse a conjeturar en un sentido u otro. Además, no hay evidencia de cómo creía que se respondería a su pregunta. [ 14 ]

Soluciones

En la década de 1930, JHC Whitehead afirmó haber presentado una demostración, pero luego la retractó. En el proceso, descubrió algunos ejemplos de 3-variedades no compactas simplemente conexas (de hecho contraíbles, es decir, homotópicamente equivalentes a un punto) que no son homeomorfas aR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}cuyo prototipo ahora se llama colector Whitehead .

En las décadas de 1950 y 1960, otros matemáticos intentaron demostrar la conjetura, pero descubrieron que contenían fallos. Matemáticos influyentes como Georges de Rham , RH Bing , Wolfgang Haken , Edwin E. Moise y Christos Papakyriakopoulos intentaron demostrarla. En 1958, RH Bing demostró una versión débil de la conjetura de Poincaré: si toda curva cerrada simple de una 3-variedad compacta está contenida en una 3-bola, entonces la variedad es homeomorfa a la 3-esfera. [ 20 ] Bing también describió algunos de los escollos al intentar demostrar la conjetura de Poincaré. [ 21 ]

Włodzimierz Jakobsche demostró en 1978 que, si la conjetura de Bing-Borsuk es verdadera en dimensión 3, entonces la conjetura de Poincaré también debe ser verdadera. [ 22 ]

Con el tiempo, la conjetura adquirió la reputación de ser particularmente difícil de abordar. John Milnor comentó que a veces los errores en las demostraciones falsas pueden ser "bastante sutiles y difíciles de detectar". [ 23 ] El trabajo sobre la conjetura mejoró la comprensión de las 3-variedades. Los expertos en el campo a menudo se mostraban reacios a anunciar demostraciones y tendían a ver cualquier anuncio de este tipo con escepticismo. En las décadas de 1980 y 1990 se produjeron algunas demostraciones falaces muy publicitadas (que en realidad no se publicaron en forma revisada por pares ). [ 24 ] [ 25 ]

Una exposición de los intentos por demostrar esta conjetura se puede encontrar en el libro no técnico El premio de Poincaré de George Szpiro . [ 26 ]

Dimensiones

La clasificación de superficies cerradas da una respuesta afirmativa a la pregunta análoga en dos dimensiones. Para dimensiones mayores que tres, se puede plantear la conjetura generalizada de Poincaré: ¿es una n -esfera homotópica homeomorfa a la n- esfera? Se requiere una suposición más fuerte que la simple conexidad; en dimensiones cuatro y superiores existen variedades cerradas simplemente conexas que no son homotópicamente equivalentes a una n -esfera.

Históricamente, si bien la conjetura en dimensión tres parecía plausible, se creía que la conjetura generalizada era falsa. En 1961, Stephen Smale sorprendió a los matemáticos al demostrar la conjetura generalizada de Poincaré para dimensiones mayores que cuatro y extendió sus técnicas para demostrar el teorema fundamental de h-cobordismo . En 1982, Michael Freedman demostró la conjetura de Poincaré en cuatro dimensiones. El trabajo de Freedman dejó abierta la posibilidad de que exista una variedad diferenciable de dimensión cuatro homeomorfa a la esfera de dimensión cuatro que no sea difeomorfa a esta. Esta llamada conjetura de Poincaré diferenciable, en dimensión cuatro, permanece abierta y se considera muy difícil de demostrar. Las esferas exóticas de Milnor muestran que la conjetura de Poincaré diferenciable es falsa en dimensión siete, por ejemplo.

Estos éxitos anteriores en dimensiones superiores dejaron el caso de tres dimensiones en el limbo. La conjetura de Poincaré era esencialmente cierta tanto en la dimensión cuatro como en todas las dimensiones superiores por razones sustancialmente diferentes. En la dimensión tres, la conjetura tenía una reputación incierta hasta que la conjetura de geometrización la introdujo en un marco que rige todas las 3-variedades. John Morgan escribió: [ 27 ]

En mi opinión, antes del trabajo de Thurston sobre variedades hiperbólicas tridimensionales y la conjetura de la geometrización, no existía consenso entre los expertos sobre la veracidad o falsedad de la conjetura de Poincaré. Tras el trabajo de Thurston, a pesar de no tener relación directa con la conjetura de Poincaré, se llegó a un consenso que la confirmaba (tanto la conjetura de Poincaré como la de la geometrización).

El programa y la solución de Hamilton

Varias etapas del flujo de Ricci en un colector bidimensional

El programa de Hamilton se inició en su artículo de 1982, en el que introdujo el flujo de Ricci en una variedad y mostró cómo usarlo para probar algunos casos especiales de la conjetura de Poincaré. [ 28 ] En los años siguientes, extendió este trabajo, pero no logró probar la conjetura. La solución definitiva no se encontró hasta que Grigori Perelman publicó sus artículos.

A finales de 2002 y 2003, Perelman publicó tres artículos en arXiv . [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] En estos artículos, esbozó una demostración de la conjetura de Poincaré y una conjetura más general, la conjetura de geometrización de Thurston , completando el programa de flujo de Ricci descrito anteriormente por Richard S. Hamilton .

Entre mayo y julio de 2006, varios grupos presentaron trabajos que completaron los detalles de la demostración de Perelman de la conjetura de Poincaré, como se detalla a continuación:

  • Bruce Kleiner y John W. Lott publicaron un artículo en arXiv en mayo de 2006 que completaba los detalles de la demostración de Perelman de la conjetura de geometrización, siguiendo versiones parciales que habían estado disponibles públicamente desde 2003. [ 32 ] Su manuscrito fue publicado en la revista Geometry and Topology en 2008. Se hicieron algunas correcciones en 2011 y 2013; por ejemplo, la primera versión de su artículo publicado utilizaba una versión incorrecta del teorema de compacidad de Hamilton para el flujo de Ricci.
  • Huai-Dong Cao y Xi-Ping Zhu publicaron un artículo en el número de junio de 2006 de la Revista Asiática de Matemáticas con una exposición de la demostración completa de las conjeturas de Poincaré y geometrización. [ 33 ] El párrafo inicial de su artículo afirmaba:

En este artículo, presentaremos la teoría de Hamilton-Perelman sobre el flujo de Ricci. A partir de ella, ofreceremos la primera demostración completa de la conjetura de Poincaré y de la conjetura de geometrización de Thurston. Si bien este trabajo es fruto del esfuerzo conjunto de numerosos analistas geométricos, los principales contribuyentes son, sin duda, Hamilton y Perelman.

Algunos observadores interpretaron que Cao y Zhu se atribuían el mérito del trabajo de Perelman. Posteriormente publicaron una versión revisada, con una redacción diferente, en arXiv. [ 34 ] Además, una página de su exposición era prácticamente idéntica a una página de uno de los primeros borradores públicos de Kleiner y Lott; esto también se corrigió en la versión revisada, junto con una disculpa del consejo editorial de la revista.
  • John Morgan y Gang Tian publicaron un artículo en arXiv en julio de 2006 que proporcionaba una demostración detallada de la Conjetura de Poincaré (que es algo más sencilla que la conjetura de geometrización completa) [ 35 ] y la ampliaron en un libro. [ 36 ] [ 37 ]

Los tres grupos concluyeron que las lagunas en los trabajos de Perelman eran menores y podían subsanarse utilizando sus propias técnicas.

El 22 de agosto de 2006, el ICM otorgó a Perelman la Medalla Fields por su trabajo sobre el flujo de Ricci, pero Perelman rechazó la medalla. [ 38 ] [ 39 ] John Morgan habló en el ICM sobre la conjetura de Poincaré el 24 de agosto de 2006, declarando que "en 2003, Perelman resolvió [sic] la conjetura de Poincaré". [ 40 ]

En diciembre de 2006, la revista Science reconoció la demostración de la conjetura de Poincaré como el Avance del Año y la presentó en su portada. [ 5 ]

Flujo de Ricci con cirugía

El programa de Hamilton para demostrar la conjetura de Poincaré implica primero establecer una métrica riemanniana en la 3-variedad cerrada simplemente conexa desconocida. La idea básica es intentar "mejorar" esta métrica; por ejemplo, si la métrica se puede mejorar lo suficiente como para que tenga una curvatura positiva constante, entonces, según los resultados clásicos de la geometría riemanniana, debe ser la 3-esfera. Hamilton prescribió las " ecuaciones de flujo de Ricci " para mejorar la métrica;

∂tgramoij=−2Rij{\displaystyle \partial _{t}g_{ij}=-2R_{ij}}

donde g es la métrica y R su curvatura de Ricci, y se espera que, a medida que aumenta el tiempo t , la variedad sea más fácil de comprender. El flujo de Ricci expande la parte de curvatura negativa de la variedad y contrae la parte de curvatura positiva.

En algunos casos, Hamilton demostró que esto funciona; por ejemplo, su avance original fue demostrar que si la variedad riemanniana tiene curvatura de Ricci positiva en todas partes, entonces el procedimiento anterior solo se puede seguir para un intervalo acotado de valores de parámetros,t∈[0,T){\displaystyle t\in [0,T)}conT<∞{\displaystyle T<\infty }y, lo que es más importante, que hay númerosdot{\displaystyle c_{t}}de tal manera que comot↗T{\displaystyle t\nearrow T}, las métricas riemannianasdotgramo(t){\displaystyle c_{t}g(t)}convergen suavemente a una de curvatura positiva constante. Según la geometría riemanniana clásica, la única variedad compacta simplemente conexa que puede soportar una métrica riemanniana de curvatura positiva constante es la esfera. Así, en efecto, Hamilton demostró un caso especial de la conjetura de Poincaré: si una 3-variedad compacta simplemente conexa soporta una métrica riemanniana de curvatura de Ricci positiva, entonces debe ser difeomorfa a la 3-esfera.

Si, en cambio, solo se dispone de una métrica riemanniana arbitraria, las ecuaciones de flujo de Ricci deben conducir a singularidades más complejas. El principal logro de Perelman fue demostrar que, desde cierta perspectiva, si aparecen en un tiempo finito, estas singularidades solo pueden parecer esferas o cilindros que se contraen. Con una comprensión cuantitativa de este fenómeno, divide la variedad a lo largo de las singularidades, separándola en varias partes, y luego continúa con el flujo de Ricci en cada una de ellas. Este procedimiento se conoce como flujo de Ricci con cirugía.

Perelman presentó un argumento independiente, basado en el flujo de acortamiento de curvas, para demostrar que, en una 3-variedad compacta simplemente conexa, cualquier solución del flujo de Ricci con cirugía se extingue en tiempo finito. Tobias Colding y William Minicozzi proporcionaron un argumento alternativo, basado en la teoría min-max de superficies mínimas y la teoría geométrica de la medida. Por lo tanto, en el contexto de las 3-variedades simplemente conexas, el fenómeno de tiempo finito del flujo de Ricci con cirugía mencionado anteriormente es lo único relevante. De hecho, esto es cierto incluso si el grupo fundamental es un producto libre de grupos finitos y grupos cíclicos.

Esta condición sobre el grupo fundamental resulta ser necesaria y suficiente para la extinción en tiempo finito. Es equivalente a decir que la descomposición prima de la variedad no tiene componentes acíclicas y resulta ser equivalente a la condición de que todas las piezas geométricas de la variedad tengan geometrías basadas en las dos geometrías de Thurston.S2×R{\displaystyle S^{2}\times \mathbf {R} }yS3{\displaystyle S^{3}}En el contexto de que no se hace ninguna suposición sobre el grupo fundamental, Perelman realizó un estudio técnico adicional del límite de la variedad para tiempos infinitamente grandes y, al hacerlo, demostró la conjetura de geometrización de Thurston: para tiempos grandes, la variedad tiene una descomposición gruesa-delgada , cuya parte gruesa tiene una estructura hiperbólica y cuya parte delgada es una variedad gráfica . Sin embargo, debido a los resultados de Perelman y de Colding y Minicozzi, estos resultados adicionales son innecesarios para demostrar la conjetura de Poincaré.

Solución

Grigori Perelman

El 11 de noviembre de 2002, el matemático ruso Grigori Perelman publicó en arXiv el primero de una serie de tres eprints que describen una solución a la conjetura de Poincaré. La demostración de Perelman utiliza una versión modificada de un programa de flujo de Ricci desarrollado por Richard S. Hamilton . En agosto de 2006, Perelman recibió, pero rechazó, la Medalla Fields (con un valor de 15 000 dólares canadienses) por su trabajo sobre el flujo de Ricci. El 18 de marzo de 2010, el Instituto Clay de Matemáticas otorgó a Perelman el Premio del Milenio de 1 millón de dólares en reconocimiento a su demostración. [ 41 ] [ 42 ] Perelman también rechazó ese premio. [ 7 ] [ 43 ] 

Perelman demostró la conjetura deformando la variedad mediante el flujo de Ricci (que se comporta de forma similar a la ecuación del calor que describe la difusión del calor a través de un objeto). El flujo de Ricci suele deformar la variedad hacia una forma más redondeada, salvo en algunos casos en los que la estira separándose de sí misma hacia lo que se conoce como singularidades . Perelman y Hamilton entonces cortaron la variedad en las singularidades (un proceso en topología llamado "cirugía", que Max Dehn ya había utilizado para crear la esfera de homología de Poincaré a partir de una 2-esfera), haciendo que las piezas separadas formaran figuras esféricas. Los pasos principales de la demostración consisten en mostrar cómo se comportan las variedades cuando se deforman mediante el flujo de Ricci, examinar qué tipo de singularidades se desarrollan, determinar si este proceso de cirugía puede completarse y establecer que la cirugía no necesita repetirse infinitas veces.

El primer paso consiste en deformar la variedad utilizando el flujo de Ricci . El flujo de Ricci fue definido por Richard S. Hamilton como un método para deformar variedades. Su fórmula imita la ecuación del calor , que describe el flujo de calor en un sólido. Al igual que el flujo de calor, el flujo de Ricci tiende a un comportamiento uniforme. Sin embargo, a diferencia del flujo de calor, el flujo de Ricci puede encontrar singularidades y dejar de funcionar. Una singularidad en una variedad es un punto donde no es diferenciable: como una esquina, una cúspide o un estrechamiento. El flujo de Ricci se definió únicamente para variedades diferenciables suaves. Hamilton utilizó el flujo de Ricci para demostrar que algunas variedades compactas eran difeomorfas a esferas, y esperaba aplicarlo para demostrar la conjetura de Poincaré. Necesitaba comprender las singularidades. [ 44 ]

Hamilton creó una lista de posibles singularidades que podrían formarse, pero le preocupaba que algunas pudieran generar dificultades. Quería dividir la variedad en las singularidades, insertar tapas y luego ejecutar nuevamente el flujo de Ricci, por lo que necesitaba comprender las singularidades y demostrar que ciertos tipos de singularidades no ocurren. Perelman descubrió que las singularidades eran muy simples: considérese que un cilindro se forma al "estirar" un círculo a lo largo de una línea en otra dimensión; al repetir ese proceso con esferas en lugar de círculos, se obtiene esencialmente la forma de las singularidades. Perelman demostró esto utilizando algo llamado "Volumen Reducido", que está estrechamente relacionado con un autovalor de cierta ecuación elíptica .

A veces, una operación que de otro modo sería complicada se reduce a una multiplicación por un escalar (un número). Dichos números se denominan autovalores de esa operación. Los autovalores están estrechamente relacionados con las frecuencias de vibración y se utilizan para analizar un problema famoso: ¿ se puede oír la forma de un tambor? En esencia, un autovalor es como una nota que emite la variedad. Perelman demostró que esta nota aumenta a medida que la variedad se deforma por el flujo de Ricci. Esto le ayudó a eliminar algunas de las singularidades más problemáticas que habían preocupado a Hamilton, en particular la solución del solitón de cigarro, que parecía una hebra que sobresalía de una variedad sin nada al otro lado. En esencia, Perelman demostró que todas las hebras que se forman pueden cortarse y taparse, y ninguna sobresale solo por un lado.

Para completar la demostración, Perelman toma una variedad tridimensional compacta, simplemente conexa y sin frontera, y comienza a aplicar el flujo de Ricci. Esto deforma la variedad en piezas redondas con filamentos que las conectan. Corta los filamentos y continúa deformando la variedad hasta que, finalmente, obtiene una colección de esferas tridimensionales redondas. Luego, reconstruye la variedad original uniendo las esferas con cilindros tridimensionales, las transforma en una forma redonda y observa que, a pesar de la confusión inicial, la variedad era, de hecho, homeomorfa a una esfera.

Una pregunta inmediata que se planteó fue cómo asegurar que no fueran necesarios infinitos cortes. Esto se debía a la posibilidad de que el corte se prolongara indefinidamente. Perelman demostró que esto no puede ocurrir utilizando superficies mínimas en la variedad. Una superficie mínima es aquella en la que cualquier deformación local aumenta el área; un ejemplo conocido es una película de jabón que cubre un bucle de alambre doblado. Hamilton había demostrado que el área de una superficie mínima disminuye a medida que la variedad experimenta un flujo de Ricci. Perelman verificó qué sucedía con el área de la superficie mínima al cortar la variedad. Demostró que, finalmente, el área es tan pequeña que cualquier corte posterior a ese punto solo puede consistir en separar esferas tridimensionales y no piezas más complejas. Sormani describe esto como una batalla contra una Hidra en el libro de Szpiro, citado más adelante. Esta última parte de la demostración apareció en el tercer y último artículo de Perelman sobre el tema.

Véase también

Referencias

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Lecturas adicionales

  • Kleiner, Bruce ; Lott, John (2008). " Notas sobre los trabajos de Perelman". Geometry & Topology . 12 (5): 2587– 2855. arXiv : math/0605667 . doi : 10.2140/gt.2008.12.2587 . MR 2460872. S2CID 119133773 .  
  • Huai-Dong Cao; Xi-Ping Zhu (3 de diciembre de 2006). "Demostración de Hamilton-Perelman de la conjetura de Poincaré y la conjetura de geometrización". arXiv : math.DG/0612069 .
  • Morgan, John W .; Tian, ​​Gang (2007). Ricci Flow and the Poincaré Conjecture . Clay Mathematics Monographs. Vol.  3. Providence, RI: American Mathematical Society . arXiv : math/0607607 . ISBN 978-0-8218-4328-4. MR 2334563 . 
  • O'Shea, Donal (2007). La conjetura de Poincaré: En busca de la forma del universo . Walker & Company . ISBN 978-0-8027-1654-5.
  • Perelman, Grisha (11 de noviembre de 2002). "La fórmula de entropía para el flujo de Ricci y sus aplicaciones geométricas". arXiv : math.DG/0211159 .
  • Perelman, Grisha (10 de marzo de 2003). "Flujo de Ricci con cirugía en variedades tridimensionales". arXiv : math.DG/0303109 .
  • Perelman, Grisha (17 de julio de 2003). "Tiempo de extinción finito para las soluciones del flujo de Ricci en ciertas variedades tridimensionales". arXiv : math.DG/0307245 .
  • Szpiro, George (2008). El premio de Poincaré: La búsqueda centenaria para resolver uno de los mayores enigmas de las matemáticas . Plume . ISBN 978-0-452-28964-2.
  • Stillwell, John (2012). "Poincaré y la historia temprana de las 3-variedades" . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 49 (4): 555– 576. doi : 10.1090/S0273-0979-2012-01385-X . MR 2958930 . 
  • Yau, Shing-Tung ; Nadis, Steve (2019). La forma de una vida: La búsqueda de un matemático por la geometría oculta del universo . New Haven, CT: Yale University Press . ISBN 978-0-300-23590-6. MR 3930611 .