Teoría de la homotopía racional

En matemáticas , y específicamente en topología , la teoría de homotopía racional es una versión simplificada de la teoría de homotopía para espacios topológicos , en la que se ignora toda torsión en los grupos de homotopía . ^{[ 1 ]} Fue fundada por Dennis Sullivan ( 1977 ) y Daniel Quillen ( 1969 ) . ^{[ 1 ]} Esta simplificación de la teoría de homotopía facilita considerablemente ciertos cálculos.  

Los tipos de homotopía racional de espacios simplemente conexos pueden identificarse con (clases de isomorfismo de) ciertos objetos algebraicos llamados modelos mínimos de Sullivan, que son álgebras diferenciales graduadas conmutativas sobre los números racionales que satisfacen ciertas condiciones.

Una aplicación geométrica fue el teorema de Sullivan y Micheline Vigué-Poirrier (1976): toda variedad riemanniana cerrada simplemente conexa X cuyo anillo de cohomología racional no está generado por un solo elemento tiene infinitas geodésicas cerradas geométricamente distintas . ^{[ 2 ]} La demostración utilizó la teoría de homotopía racional para mostrar que los números de Betti del espacio de lazos libres de X no están acotados. El teorema se deduce entonces de un resultado de 1969 de Detlef Gromoll y Wolfgang Meyer.

Un mapa continuo${\displaystyle f\colon X\to Y}$Una equivalencia de homotopía racional de espacios topológicos simplemente conexos se denomina así si induce un isomorfismo en grupos de homotopía tensorizados con los números racionales.${\displaystyle \mathbb {Q} }$[ ^{1 ]} De forma equivalente: f es una equivalencia de homotopía racional si y solo si induce un isomorfismo en grupos de homología singulares con coeficientes racionales. ^[ 3 ^{] La categoría} de homotopía racional (de espacios simplemente conexos) se define como la localización de la categoría de espacios simplemente conexos con respecto a las equivalencias de homotopía racional. El objetivo de la teoría de la homotopía racional es comprender esta categoría (es decir, determinar la información que se puede recuperar de las equivalencias de homotopía racional).

Un resultado básico es que la categoría de homotopía racional es equivalente a una subcategoría completa de la categoría de homotopía de espacios topológicos, la subcategoría de espacios racionales. Por definición, un espacio racional es un complejo CW simplemente conexo cuyos grupos de homotopía son todos espacios vectoriales sobre los números racionales. Para cualquier complejo CW simplemente conexo${\displaystyle X}$, hay un espacio racional${\displaystyle X_{\mathbb {Q} }}$, único salvo equivalencia homotópica , con un mapa${\displaystyle X\to X_{\mathbb {Q} }}$que induce un isomorfismo en grupos homotópicos tensorizados con los números racionales. ^{[ 4 ]} El espacio${\displaystyle X_{\mathbb {Q} }}$se llama la racionalización de${\displaystyle X}$. Este es un caso especial de la construcción de Sullivan de la localización de un espacio en un conjunto dado de números primos .

Se obtienen definiciones equivalentes utilizando homología en lugar de grupos de homotopía. Es decir, un complejo CW simplemente conexo.${\displaystyle X}$es un espacio racional si y solo si sus grupos de homología${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )}$son espacios vectoriales racionales para todos${\displaystyle i>0}$. ^{[ 5 ]} La racionalización de un complejo CW simplemente conexo${\displaystyle X}$es el espacio racional único${\displaystyle X\to X_{\mathbb {Q} }}$(hasta equivalencia homotópica) con un mapa${\displaystyle X\to X_{\mathbb {Q} }}$que induce un isomorfismo en la homología racional. Por lo tanto, se tiene

${\displaystyle \pi _{i}(X_{\mathbb {Q} })\cong \pi _{i}(X)\otimes {\mathbb {Q} }}$

y

${\displaystyle H_{i}(X_{\mathbb {Q} },{\mathbb {Z} })\cong H_{i}(X,{\mathbb {Z} })\otimes {\mathbb {Q} }\cong H_{i}(X,{\mathbb {Q} })}$

a pesar de${\displaystyle i>0}$.

Estos resultados para espacios simplemente conexos se extienden con pocos cambios a espacios nilpotentes (espacios cuyo grupo fundamental es nilpotente y actúa nilpotentemente sobre los grupos de homotopía superiores). También existen varias extensiones no equivalentes de las nociones de espacio racional y functor de racionalización al caso de todos los espacios (Bousfield-Kan's${\displaystyle \mathbb {Q} }$-completación, racionalización de Sullivan, racionalización por homología de Bousfield, de Casacuberta-Peschke${\displaystyle \Omega }$-racionalización y Gómez-Tato-Halperin-Tanré${\displaystyle \pi _{1}}$-racionalización fibra por fibra). ^{[ 6 ]}

El cálculo de los grupos de homotopía de esferas es un problema abierto central en la teoría de la homotopía. Sin embargo, los grupos de homotopía racionales de esferas fueron calculados por Jean-Pierre Serre en 1951:

${\displaystyle \pi _{i}(S^{2a-1})\otimes \mathbb {Q} \cong {\begin{cases}\mathbb {Q} &{\text{si }}i=2a-1\\0&{\text{en otro caso}}\end{cases}}}$

y

${\displaystyle \pi _{i}(S^{2a})\otimes \mathbb {Q} \cong {\begin{cases}\mathbb {Q} &{\text{si }}i=2a{\text{ o }}i=4a-1\\0&{\text{en otro caso.}}\end{cases}}}$

Esto sugiere la posibilidad de describir toda la categoría de homotopía racional de una manera prácticamente computable. La teoría de la homotopía racional ha logrado gran parte de ese objetivo.

En la teoría de la homotopía, las esferas y los espacios de Eilenberg-MacLane son dos tipos muy diferentes de espacios básicos a partir de los cuales se pueden construir todos los espacios. En la teoría de la homotopía racional, estos dos tipos de espacios se vuelven mucho más cercanos. En particular, el cálculo de Serre implica que${\displaystyle S_{\mathbb {Q} }^{2a-1}}$es el espacio Eilenberg–MacLane${\displaystyle K(\mathbb {Q} ,2a-1)}$. De forma más general, sea X cualquier espacio cuyo anillo de cohomología racional sea un álgebra conmutativa graduada libre (un producto tensorial de un anillo de polinomios sobre generadores de grado par y un álgebra exterior sobre generadores de grado impar). Entonces la racionalización${\displaystyle X_{\mathbb {Q} }}$es un producto de espacios de Eilenberg-MacLane. La hipótesis sobre el anillo de cohomología se aplica a cualquier grupo de Lie compacto (o más generalmente, a cualquier espacio de lazos ). ^{[ 7 ]} Por ejemplo, para el grupo unitario SU( n ) ,

${\displaystyle \operatorname {SU} (n)_{\mathbb {Q} }\simeq S_{\mathbb {Q} }^{3}\times S_{\mathbb {Q} }^{5}\times \cdots \times S_{\mathbb {Q} }^{2n-1}.}$

Hay dos invariantes básicos de un espacio X en la categoría de homotopía racional: el anillo de cohomología racional${\displaystyle H^{*}(X,\mathbb {Q} )}$y el álgebra de Lie homotópica${\displaystyle \pi _{*}(X)\otimes \mathbb {Q} }$. La cohomología racional es un álgebra conmutativa graduada sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$y los grupos de homotopía forman un álgebra de Lie graduada a través del producto de Whitehead . (Más precisamente, escribiendo${\displaystyle \Omega X}$para el espacio de lazos de X , tenemos que${\displaystyle \pi _{*}(\Omega X)\otimes \mathbb {Q} }$es un álgebra de Lie graduada sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$. En vista del isomorfismo${\displaystyle \pi _{i}(X)\cong \pi _{i-1}(\Omega X)}$, esto equivale simplemente a un cambio de la calificación en 1.) Por ejemplo, el teorema de Serre anterior dice que${\displaystyle \pi _{*}(\Omega S^{n})\otimes \mathbb {Q} }$es el álgebra de Lie graduada gratuita en un generador de grado${\displaystyle n-1}$.

Otra forma de pensar en el álgebra de Lie homotópica es que la homología del espacio de lazos de X es el álgebra envolvente universal del álgebra de Lie homotópica: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle H_{*}(\Omega X,{\mathbb {Q} })\cong U(\pi _{*}(\Omega X)\otimes \mathbb {Q} ).}$

Por el contrario, se puede reconstruir el álgebra de Lie de homotopía racional a partir de la homología del espacio de lazos como subespacio de elementos primitivos en el álgebra de Hopf.${\displaystyle H_{*}(\Omega S^{n})\otimes \mathbb {Q} }$. ^{[ 9 ]}

Un resultado central de la teoría es que la categoría de homotopía racional puede describirse de una manera puramente algebraica; de hecho, de dos maneras algebraicas diferentes. Primero, Quillen demostró que la categoría de homotopía racional es equivalente a la categoría de homotopía de álgebras de Lie graduadas diferenciales conexas . (El álgebra de Lie graduada asociada${\displaystyle \ker(d)/\operatorname {im} (d)}$es el álgebra de Lie de homotopía.) En segundo lugar, Quillen demostró que la categoría de homotopía racional es equivalente a la categoría de homotopía de coálgebras cocommutativas graduadas diferenciales 1-conexas . ^{[ 10 ]} (La coálgebra asociada es la homología racional de X como una coálgebra; el espacio vectorial dual es el anillo de cohomología racional.) Estas equivalencias estuvieron entre las primeras aplicaciones de la teoría de Quillen de categorías modelo .

En particular, la segunda descripción implica que para cualquier conmutativo graduado${\displaystyle \mathbb {Q} }$-álgebra A de la forma

${\displaystyle A=\mathbb {Q} \oplus A^{2}\oplus A^{3}\oplus \cdots ,}$

con cada espacio vectorial${\displaystyle A^{i}}$de dimensión finita, existe un espacio simplemente conexo X cuyo anillo de cohomología racional es isomorfo a A. (Por el contrario, existen muchas restricciones, no completamente comprendidas, sobre los anillos de cohomología integral o módulo p de espacios topológicos, para números primos p ). En el mismo espíritu, Sullivan demostró que cualquier graduado-conmutativo${\displaystyle \mathbb {Q} }$-álgebra con${\displaystyle A^{1}=0}$que satisface la dualidad de Poincaré es el anillo de cohomología de alguna variedad cerrada lisa simplemente conexa , excepto en dimensión 4 a ; en ese caso, también es necesario suponer que el emparejamiento de intersección en${\displaystyle A^{2a}}$es de la forma${\displaystyle \sum \pm x_{i}^{2}}$encima${\displaystyle \mathbb {Q} }$. ^{[ 11 ]}

Cabe preguntarse cómo pasar de una descripción algebraica a otra de la categoría de homotopía racional. En resumen, un álgebra de Lie determina un álgebra conmutativa graduada mediante la cohomología de álgebras de Lie , y un álgebra conmutativa aumentada determina un álgebra de Lie graduada mediante la cohomología reducida de André-Quillen . De forma más general, existen versiones de estas construcciones para álgebras diferenciales graduadas. Esta dualidad entre álgebras conmutativas y álgebras de Lie es una versión de la dualidad de Koszul .

Para espacios cuya homología racional en cada grado tiene dimensión finita, Sullivan clasificó todos los tipos de homotopía racional en términos de objetos algebraicos más simples, las álgebras de Sullivan. Por definición, un álgebra de Sullivan es un álgebra diferencial graduada conmutativa sobre los racionales.${\displaystyle \mathbb {Q} }$, cuyo álgebra subyacente es el álgebra graduada conmutativa libre${\displaystyle \bigwedge (V)}$en un espacio vectorial graduado

${\displaystyle V=\bigoplus _ {n>0}V^{n},}$

que satisface la siguiente "condición de nilpotencia" en su diferencial d : el espacio V es la unión de una serie creciente de subespacios graduados,${\displaystyle V(0)\subseteq V(1)\subseteq \cdots }$, dónde${\displaystyle d=0}$en${\displaystyle V(0)}$y${\displaystyle d(V(k))}$está contenido en${\displaystyle \bigwedge (V(k-1))}$. En el contexto de las álgebras graduadas diferenciales A , "conmutativa" se usa para referirse a la conmutatividad graduada; es decir,

${\displaystyle ab=(-1)^{ij}ba}$

para un en${\displaystyle A^{i}}$y b en ${\displaystyle A^{j}}$.

El álgebra de Sullivan se llama mínima si la imagen de d está contenida en${\displaystyle \bigwedge ^{+}(V)^{2}}$, dónde${\displaystyle \bigwedge ^{+}(V)}$es la suma directa de los subespacios de grado positivo de${\displaystyle \bigwedge (V)}$.

Un modelo de Sullivan para un álgebra diferencial graduada conmutativa A es un álgebra de Sullivan.${\displaystyle \bigwedge (V)}$con un homomorfismo${\displaystyle \bigwedge (V)\to A}$lo cual induce un isomorfismo en la cohomología. Si${\displaystyle A^{0}=\mathbb {Q} }$Entonces, A tiene un modelo de Sullivan mínimo que es único salvo isomorfismo. (Advertencia: un álgebra de Sullivan mínima con la misma álgebra de cohomología que A no necesariamente es un modelo de Sullivan mínimo para A ; también es necesario que el isomorfismo de cohomología sea inducido por un homomorfismo de álgebras graduadas diferenciales. Existen ejemplos de modelos de Sullivan mínimos no isomorfos con álgebras de cohomología isomorfas).

Para cualquier espacio topológico X , Sullivan definió un álgebra graduada diferencial conmutativa.${\displaystyle A_{PL}(X)}$, llamada álgebra de formas diferenciales polinómicas en X con coeficientes racionales. Un elemento de esta álgebra consiste en (aproximadamente) una forma polinómica en cada símplex singular de X , compatible con mapas de caras y degeneración. Esta álgebra suele ser muy grande (dimensión no numerable), pero puede ser reemplazada por un álgebra mucho más pequeña. Más precisamente, cualquier álgebra diferencial graduada con el mismo modelo mínimo de Sullivan que${\displaystyle A_{PL}(X)}$se denomina modelo para el espacio X. Cuando X es simplemente conexo, dicho modelo determina el tipo de homotopía racional de X.

Para cualquier complejo CW simplemente conexo X con todos los grupos de homología racionales de dimensión finita, existe un modelo de Sullivan mínimo.${\displaystyle \bigwedge V}$para${\displaystyle A_{PL}(X)}$, que tiene la propiedad de que${\displaystyle V^{1}=0}$y todos los${\displaystyle V^{k}}$tienen dimensión finita. Esto se denomina modelo mínimo de Sullivan de X ; es único salvo isomorfismo. ^{[ 12 ]} Esto da una equivalencia entre los tipos de homotopía racional de tales espacios y tales álgebras, con las siguientes propiedades:

• La cohomología racional del espacio es la cohomología de su modelo mínimo de Sullivan.
• Los espacios de indescomponibles en V son los duales de los grupos de homotopía racionales del espacio X.
• El producto de Whitehead en homotopía racional es el dual de la "parte cuadrática" del diferencial d .
• Dos espacios tienen el mismo tipo de homotopía racional si y solo si sus álgebras de Sullivan mínimas son isomorfas.
• Existe un espacio simplemente conexo X que corresponde a cada posible álgebra de Sullivan con${\displaystyle V^{1}=0}$y todos los${\displaystyle V^{k}}$de dimensión finita.

Cuando X es una variedad diferenciable, el álgebra diferencial de formas diferenciales diferenciables en X (el complejo de De Rham ) es casi un modelo para X ; más precisamente, es el producto tensorial de un modelo para X con los números reales y, por lo tanto, determina el tipo de homotopía real . Se puede ir más allá y definir el tipo de homotopía p -completa de X para un número primo p . El "cuadrado aritmético" de Sullivan reduce muchos problemas en la teoría de la homotopía a la combinación de la teoría de la homotopía racional y p -completa, para todos los primos p . ^{[ 13 ]}

La construcción de modelos mínimos de Sullivan para espacios simplemente conexos se extiende a espacios nilpotentes. Para grupos fundamentales más generales, las cosas se complican; por ejemplo, los grupos de homotopía racional de un complejo CW finito (como la cuña).${\displaystyle S^{1}\vee S^{2}}$) pueden ser espacios vectoriales de dimensión infinita.

Un álgebra graduada diferencial conmutativa A , nuevamente con${\displaystyle A^{0}=\mathbb {Q} }$Se denomina formal a un espacio A si posee un modelo con diferencial nulo. Esto equivale a exigir que el álgebra de cohomología de A (considerada como un álgebra diferencial con diferencial trivial) sea un modelo para A (aunque no necesariamente el modelo mínimo ). Por lo tanto, el tipo de homotopía racional de un espacio formal está completamente determinado por su anillo de cohomología.

Ejemplos de espacios formales incluyen esferas, espacios H , espacios simétricos y variedades de Kähler compactas . ^{[ 14 ]} La formalidad se conserva bajo productos y sumas de cuñas . Para variedades, la formalidad se conserva mediante sumas conexas .

Por otro lado, las nilvariedades cerradas casi nunca son formales: si M es una nilvariedad formal, entonces M debe ser el toro de alguna dimensión. ^{[ 15 ]} El ejemplo más simple de una nilvariedad no formal es la variedad de Heisenberg , el cociente del grupo de Heisenberg de matrices triangulares superiores reales de 3 × 3 con 1 en la diagonal por su subgrupo de matrices con coeficientes enteros. Las variedades simplécticas cerradas no tienen por qué ser formales: el ejemplo más simple es la variedad de Kodaira-Thurston (el producto de la variedad de Heisenberg con un círculo). También hay ejemplos de variedades simplécticas cerradas no formales y simplemente conexas. ^{[ 16 ]}

La no formalidad a menudo se puede detectar mediante productos de Massey . De hecho, si un álgebra diferencial graduada A es formal, entonces todos los productos de Massey (de orden superior) deben anularse. Lo contrario no es cierto: la formalidad significa, en términos generales, la anulación "uniforme" de todos los productos de Massey. El complemento de los anillos borromeos es un espacio no formal: admite un producto de Massey triple no trivial.

• Si X es una esfera de dimensión impar${\displaystyle 2n+1>1}$, su modelo mínimo de Sullivan tiene un generador de grado${\displaystyle 2n+1}$con${\displaystyle da=0}$y una base de elementos 1, a .
• Si X es una esfera de dimensión par${\displaystyle 2n>0}$, su modelo mínimo de Sullivan tiene dos generadores a y b de grados${\displaystyle 2n}$y${\displaystyle 4n-1}$, con${\displaystyle db=a^{2}}$,${\displaystyle da=0}$y una base de elementos${\displaystyle 1,a,b\to a^{2}}$,${\displaystyle ab\to a^{3}}$,${\displaystyle a^{2}b\to a^{4},\ldots }$, donde la flecha indica la acción de d .
• Si X es el espacio proyectivo complejo${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$con${\displaystyle n>0}$, su modelo mínimo de Sullivan tiene dos generadores u y x de grados 2 y${\displaystyle 2n+1}$, con${\displaystyle du=0}$y${\displaystyle dx=u^{n+1}}$Tiene una base de elementos${\displaystyle 1,u,u^{2},\ldots ,u^{n}}$,${\displaystyle x\to u^{n+1}}$,${\displaystyle xu\to u^{n+2},\ldots }$.
• Supongamos que V tiene 4 elementos a , b , x , y de grados 2, 3, 3 y 4 con diferenciales${\displaystyle da=0}$,${\displaystyle db=0}$,${\displaystyle dx=a^{2}}$,${\displaystyle dy=ab}$. Entonces esta álgebra es un álgebra de Sullivan mínima que no es formal. El álgebra de cohomología tiene componentes no triviales solo en dimensión 2, 3, 6, generadas respectivamente por a , b y${\displaystyle xb-ay}$Cualquier homomorfismo de V a su álgebra de cohomología mapearía y a 0 y x a un múltiplo de b ; por lo tanto, mapearía${\displaystyle xb-ay}$a 0. Por lo tanto, V no puede ser un modelo para su álgebra de cohomología. Los espacios topológicos correspondientes son dos espacios con anillos de cohomología racional isomorfos pero diferentes tipos de homotopía racional. Nótese que${\displaystyle xb-ay}$está en el producto Massey${\displaystyle \langle [a],[a],[b]\rangle }$.

La teoría de la homotopía racional reveló una dicotomía inesperada entre los complejos CW finitos: o bien los grupos de homotopía racional son cero en grados suficientemente altos, o bien crecen exponencialmente . Es decir, sea X un espacio simplemente conexo tal que${\displaystyle H_{*}(X,\mathbb {Q} )}$es de dimensión finita${\displaystyle \mathbb {Q} }$-espacio vectorial (por ejemplo, un complejo CW finito tiene esta propiedad). Definimos X como racionalmente elíptico si${\displaystyle \pi _{*}(X)\otimes \mathbb {Q} }$También es de dimensión finita.${\displaystyle \mathbb {Q} }$-espacio vectorial, y de lo contrario racionalmente hiperbólico . Entonces Félix y Halperin demostraron: si X es racionalmente hiperbólico, entonces existe un número real${\displaystyle C>1}$y un número entero N tal que

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\dim _{\mathbb {Q} }\pi _{i}(X)\otimes {\mathbb {Q} }\geq C^{n}}$

a pesar de${\displaystyle n\geq N}$. ^{[ 17 ]}

Por ejemplo, las esferas, los espacios proyectivos complejos y los espacios homogéneos para grupos de Lie compactos son elípticos. Por otro lado, la mayoría de los complejos finitos son hiperbólicos. Por ejemplo:

• El anillo de cohomología racional de un espacio elíptico satisface la dualidad de Poincaré. ^{[ 18 ]}
• Si X es un espacio elíptico cuyo grupo de cohomología racional no nulo superior está en grado n , entonces cada número de Betti${\displaystyle b_{i}(X)}$es como máximo el coeficiente binomial${\displaystyle {\binom {n}{i}}}$(con igualdad para el toro n -dimensional). ^{[ 19 ]}
• La característica de Euler de un espacio elíptico X es no negativa. Si la característica de Euler es positiva, entonces todos los números de Betti impares son no negativos.${\displaystyle b_{2i+1}(X)}$son cero, y el anillo de cohomología racional de X es un anillo de intersección completo . ^{[ 20 ]}

Existen muchas otras restricciones en el anillo de cohomología racional de un espacio elíptico. ^{[ 21 ]}

La conjetura de Bott predice que toda variedad riemanniana cerrada simplemente conexa con curvatura seccional no negativa debería ser racionalmente elíptica. Se sabe muy poco sobre la conjetura, aunque se cumple para todos los ejemplos conocidos de tales variedades. ^{[ 22 ]}

La conjetura de Halperin afirma que la sucesión espectral racional de Serre de una sucesión de fibra de espacios simplemente conexos con fibra elíptica racional de característica de Euler distinta de cero se anula en la segunda página.

Un complejo finito simplemente conexo X es racionalmente elíptico si y solo si la homología racional del espacio de lazos${\displaystyle \Omega X}$crece como máximo polinómicamente. De forma más general, X se denomina elíptica integral si la homología módulo p de${\displaystyle \Omega X}$crece como máximo polinómicamente, para cada número primo p . Todas las variedades riemannianas conocidas con curvatura seccional no negativa son, de hecho, integralmente elípticas. ^{[ 23 ]}

• Teorema de Mandell : análogo de la teoría de la homotopía racional en contextos p-ádicos.
• teoría de la homotopía cromática

• Félix, Yves; Halperin, Stephen; Thomas, Jean-Claude (1993), "Espacios elípticos II", L'Enseignement mathématique , 39 ( 1– 2): 25– 32, doi : 10.5169/seals-60412 , MR 1225255 
• Félix, Yves; Halperin, Stephen; Thomas, Jean-Claude (2001), Teoría de la homotopía racional , Nueva York: Springer Nature , doi : 10.1007/978-1-4613-0105-9 , ISBN 0-387-95068-0, MR 1802847 
• Félix, Yves; Halperin, Stephen; Thomas, Jean-Claude (2015), Teoría de la homotopía racional II , Singapur: World Scientific , doi : 10.1142/9473 , ISBN 978-981-4651-42-4, MR 3379890 
• Félix, Yves; Oprea, John; Tanré, Daniel (2008), Modelos algebraicos en geometría , Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-920651-3, MR 2403898 
• Griffiths, Phillip A.; Morgan , John W. (1981), Teoría de la homotopía racional y formas diferenciales , Boston: Birkhäuser, ISBN 3-7643-3041-4, MR 0641551 
• Hess, Kathryn (1999), «Una historia de la teoría de la homotopía racional», en James, Ioan M. (ed.), Historia de la topología , Ámsterdam: North-Holland, pp. 757–796 , doi : 10.1016/B978-044482375-5/50028-6 , ISBN  0-444-82375-1, MR 1721122 
• Hess, Kathryn (2007), "Teoría de la homotopía racional: una breve introducción" (PDF) , Interacciones entre la teoría de la homotopía y el álgebra , Matemáticas contemporáneas, vol.  436, Sociedad Matemática Americana , pp. 175–202 , arXiv : math/0604626 , doi : 10.1090/conm/436/08409 , ISBN  9780821838143, MR 2355774 
• Ivanov, Sergei O. (2022), "Una visión general de las teorías de racionalización de espacios no simplemente conexos y grupos no nilpotentes" , Acta Mathematica Sinica, English Series , vol.  38, pp. 1705–1721 , arXiv : 2111.10694 , doi : 10.1007/s10114-022-2063-9 
• May, J. Peter ; Ponto, Kathleen (2012), Topología algebraica más concisa. Localización, compleción y categorías de modelos (PDF) , University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-51178-8, MR 2884233 , archivado del original (PDF) el 06-07-2017 , recuperado el 10-06-2017 
• Pavlov, Aleksandr V. (2002), "Estimaciones para los números de Betti de espacios racionalmente elípticos", Siberian Mathematical Journal , 43 (6): 1080–1085 , doi : 10.1023/A:1021173418920 , MR 1946233 
• Quillen, Daniel (1969), "Teoría de la homotopía racional", Annals of Mathematics , 90 (2): 205–295 , doi : 10.2307/1970725 , JSTOR 1970725 , MR 0258031  
• Sullivan, Dennis (1977), "Cálculos infinitesimales en topología" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 47 : 269– 331, doi : 10.1007/bf02684341 , hdl : 10338.dmlcz/128041 , MR 0646078 
• Sullivan, Dennis (2001) [1994], "Teoría de la homotopía racional" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Sullivan, Dennis; Vigué-Poirrier, Micheline (1976), "La teoría de homología del problema geodésico cerrado", Journal of Differential Geometry , 11 (4): 633– 644, doi : 10.4310/jdg/1214433729 , MR 0455028