Forma diferencial

Una k -forma diferencial puede integrarse sobre una variedad orientada de dimensión k . Una 1 -forma diferencial puede considerarse como la medición de una longitud orientada infinitesimal, o densidad orientada unidimensional. Una 2 -forma diferencial puede considerarse como la medición de un área orientada infinitesimal, o densidad orientada bidimensional. Y así sucesivamente.

La integración de formas diferenciales está bien definida solo en variedades orientadas . Un ejemplo de una variedad unidimensional es el intervalo [ a , b ] , y a los intervalos se les puede dar una orientación: están orientados positivamente si a < b , y negativamente en caso contrario. Si a < b, entonces la integral de la 1- forma diferencial f ( x ) dx sobre el intervalo [ a , b ] (con su orientación positiva natural) es $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$$ que es el negativo de la integral de la misma forma diferencial sobre el mismo intervalo, cuando está equipada con la orientación opuesta. Es decir: $${\displaystyle \int _{b}^{a}f(x)\,dx=-\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$ Esto proporciona un contexto geométrico a las convenciones de las integrales unidimensionales: el signo cambia cuando se invierte la orientación del intervalo. Una explicación estándar de esto en la teoría de la integración de una variable es que, cuando los límites de integración están en orden opuesto ( b < a ), el incremento dx es negativo en la dirección de integración.

En términos más generales, una m -forma es una densidad orientada que puede integrarse sobre una variedad orientada m -dimensional. (Por ejemplo, una 1 -forma puede integrarse sobre una curva orientada, una 2 -forma sobre una superficie orientada, etc.). Si M es una variedad orientada m -dimensional, M ′ es la misma variedad con orientación opuesta y ω es una m -forma, entonces se tiene: $${\displaystyle \int _{M}\omega =-\int _{M'}\omega \,.}$$ Estas convenciones corresponden a interpretar el integrando como una forma diferencial, integrada sobre una cadena . En la teoría de la medida , por el contrario, se interpreta el integrando como una función f con respecto a una medida μ y se integra sobre un subconjunto A , sin ninguna noción de orientación; se escribe${\textstyle \int _{A}f\,d\mu =\int _{[a,b]}f\,d\mu }$para indicar la integración sobre un subconjunto A. Esta es una distinción menor en una dimensión, pero se vuelve más sutil en variedades de dimensiones superiores; consulte a continuación para obtener más detalles.

La precisión del concepto de densidad orientada, y por ende de forma diferencial, implica el álgebra exterior . Los diferenciales de un conjunto de coordenadas, dx₁ , ..., dxₙ ^, pueden utilizarse como base para todas las 1- formas. Cada uno de estos representa un covector en cada punto de la variedad ^, que puede interpretarse como la medición de un pequeño desplazamiento en la dirección de la coordenada correspondiente. Una 1 -forma general es una combinación lineal de estos diferenciales en cada punto de la variedad: $${\displaystyle f_{1}\,dx^{1}+\cdots +f_{n}\,dx^{n},}$$ donde f _k = f _k ( x ¹ , ... , x ⁿ ) son funciones de todas las coordenadas. Una 1 -forma diferencial se integra a lo largo de una curva orientada como una integral de línea.

Las expresiones dx ⁱ ∧ dx ^j , donde i < j pueden usarse como base en cada punto de la variedad para todas las 2- formas. Esto puede considerarse como un cuadrado infinitesimal orientado paralelo al plano x ⁱ – x ^j . Una 2 -forma general es una combinación lineal de estas en cada punto de la variedad:${\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}f_{i,j}\,dx^{i}\wedge dx^{j}}$y se integra igual que una integral de superficie.

Una operación fundamental definida en formas diferenciales es el producto exterior (el símbolo es la cuña ∧ ). Esto es similar al producto vectorial del cálculo vectorial, ya que es un producto alternado. Por ejemplo, $${\displaystyle dx^{1}\wedge dx^{2}=-dx^{2}\wedge dx^{1}}$$

porque el cuadrado cuyo primer lado es dx ¹ y el segundo lado es dx ² debe considerarse que tiene la orientación opuesta al cuadrado cuyo primer lado es dx ² y cuyo segundo lado es dx ^1. Por eso solo necesitamos sumar sobre expresiones dx ⁱ ∧ dx ^j , con i < j ; por ejemplo: a ( dx ⁱ ∧ dx ^j ) + b ( dx ^j ∧ dx ⁱ ) = ( a − b ) dx ⁱ ∧ dx ^j . El producto exterior permite construir formas diferenciales de mayor grado a partir de otras de menor grado, de forma muy similar a como el producto vectorial en el cálculo vectorial permite calcular el vector de área de un paralelogramo a partir de vectores que apuntan hacia arriba en los dos lados. La alternancia también implica que dx ⁱ ∧ dx ⁱ = 0 , de la misma manera que el producto vectorial de vectores paralelos, cuya magnitud es el área del paralelogramo generado por esos vectores, es cero. En dimensiones superiores, dx ^{i ₁} ∧ ⋅⋅⋅ ∧ dx ^{i _m} = 0 si cualesquiera dos de los índices i ₁ , ..., i _m son iguales, de la misma manera que el "volumen" encerrado por un paralelepípedo cuyos vectores de borde son linealmente dependientes es cero.

Una notación común para el producto exterior de términos elementales${\displaystyle k}$-forms es la llamada notación de índice múltiple : en un${\displaystyle n}$contexto -dimensional, para${\displaystyle I=(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}),1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}$, definimos${\textstyle dx^{I}:=dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}=\bigwedge _{i\in I}dx^{i}}$. ^{[ 2 ]} Otra notación útil se obtiene definiendo el conjunto de todos los multiíndices estrictamente crecientes de longitud${\displaystyle k}$, en un espacio de dimensión${\displaystyle n}$, denotado${\displaystyle {\mathcal {J}}_{k,n}:=\{I=(i_{1},\ldots ,i_{k}):1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\}}$. Luego, localmente (dondequiera que se apliquen las coordenadas),${\displaystyle \{dx^{I}\}_{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}}$abarca el espacio de diferencial${\displaystyle k}$-formas en una variedad${\displaystyle M}$de dimensión${\displaystyle n}$, cuando se considera como un módulo sobre el anillo${\displaystyle C^{\infty }(M)}$de funciones suaves en${\displaystyle M}$. Calculando el tamaño de${\displaystyle {\mathcal {J}}_{k,n}}$Combinatoriamente, el módulo de${\displaystyle k}$-formas en un${\displaystyle n}$variedad de dimensiones y, en general, espacio de${\displaystyle k}$-covectores en un${\displaystyle n}$Espacio vectorial de dimensión, es${\displaystyle n}$ elegir ${\displaystyle k}$:${\textstyle |{\mathcal {J}}_{k,n}|={\binom {n}{k}}}$Esto también demuestra que no existen formas diferenciales no nulas de grado mayor que la dimensión de la variedad subyacente.

Además del producto exterior, también existe el operador derivado exterior.${\displaystyle d}$. La derivada exterior de una forma diferencial es una generalización de la diferencial de una función , en el sentido de que la derivada exterior de${\displaystyle f\in C^{\infty }(M)=\Omega ^{0}(M)}$es exactamente el diferencial de${\displaystyle f}$. Cuando se generaliza a formas superiores, si${\displaystyle \omega =f{\text{d}}x^{I}}$es un simple${\displaystyle k}$-forma, luego su derivado exterior${\displaystyle d\omega }$es un${\displaystyle (k+1)}$-forma definida tomando la diferencial de las funciones de coeficientes: $${\displaystyle d\omega =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}.}$$ con extensión a k -formas generales a través de la linealidad: si${\textstyle \tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}a_{I}\,dx^{I}\in \Omega ^{k}(M)}$, entonces su derivado exterior es $${\displaystyle d\tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial a_{I}}{\partial x^{j}}}\,dx^{j}\right)\wedge dx^{I}\in \Omega ^{k+1}(M)}$$

En${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, con el operador estrella de Hodge , la derivada exterior corresponde al gradiente , al rotacional y a la divergencia , aunque esta correspondencia, al igual que el producto vectorial, no se generaliza a dimensiones superiores y debe tratarse con cierta precaución.

La derivada exterior se aplica en un número arbitrario y finito de dimensiones, y es una herramienta flexible y potente con amplia aplicación en geometría diferencial , topología diferencial y muchas áreas de la física. Cabe destacar que, si bien la definición anterior de la derivada exterior se basó en coordenadas locales, puede definirse de forma totalmente independiente de coordenadas, como una antiderivación de grado 1 en el álgebra exterior de formas diferenciales. La ventaja de este enfoque más general es que permite una integración natural e independiente de coordenadas en variedades . También permite una generalización natural del teorema fundamental del cálculo , denominado teorema de Stokes (generalizado) , que constituye un resultado central en la teoría de la integración en variedades.

Dejar${\displaystyle U}$ser un conjunto abierto en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Un diferencial${\displaystyle 0}$La forma -form ("forma cero") se define como una función suave.${\displaystyle f}$en${\displaystyle U}$– el conjunto del cual se denota${\displaystyle C^{\infty }(U)}$. Si${\displaystyle \mathbf {v} }$es cualquier vector en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, entonces${\displaystyle f}$tiene una derivada direccional${\displaystyle \partial _{\mathbf {v} }f}$, que es otra función en${\displaystyle U}$cuyo valor en un punto${\displaystyle p\in U}$es la tasa de cambio (a${\displaystyle p}$) de${\displaystyle f}$en el${\displaystyle \mathbf {v} }$dirección: $${\displaystyle (\partial _{\mathbf {v} }f)(p)=\left.{\frac {d}{dt}}f(p+t\mathbf {v} )\right|_{t=0}.}$$ (Esta noción puede extenderse punto por punto al caso que${\displaystyle \mathbf {v} }$es un campo vectorial en${\displaystyle U}$mediante la evaluación${\displaystyle \mathbf {v} }$en ese punto${\displaystyle p}$en la definición.)

En particular, si v = e _j es el j -ésimo vector de coordenadas, entonces ∂ _v f es la derivada parcial de f con respecto al j -ésimo vector de coordenadas, es decir, ∂ f / ∂ x ^j , donde x ¹ , x ² , ..., x ⁿ son los vectores de coordenadas en U . Por su propia definición, las derivadas parciales dependen de la elección de coordenadas: si se introducen nuevas coordenadas y ¹ , y ² , ..., y ^{n , entonces}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial f}{\partial y^{i}}}.}$$

La primera idea que lleva a las formas diferenciales es la observación de que ∂ _v f ( p ) es una función lineal de v :

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\partial _{\mathbf {v} +\mathbf {w} }f)(p)&=(\partial _{\mathbf {v} }f)(p)+(\partial _{\mathbf {w} }f)(p)\\(\partial _{c\mathbf {v} }f)(p)&=c(\partial _{\mathbf {v} }f)(p)\end{aligned}}}$$

para cualesquiera vectores v , w y cualquier número real c . En cada punto p , esta aplicación lineal de R ⁿ a R se denota df _p y se llama la derivada o diferencial de f en p . Así, df _p ( v ) = ∂ _v f ( p ) . Extendido sobre todo el conjunto, el objeto df puede verse como una función que toma un campo vectorial en U y devuelve una función de valor real cuyo valor en cada punto es la derivada a lo largo del campo vectorial de la función f . Nótese que en cada p , el diferencial df _p no es un número real, sino un funcional lineal sobre vectores tangentes, y un ejemplo prototípico de una 1 -forma diferencial .

Dado que cualquier vector v es una combinación lineal Σ v ^j e _j de sus componentes , df está determinado unívocamente por df _p ( e _j ) para cada j y cada p ∈ U , que son simplemente las derivadas parciales de f en U . Por lo tanto, df proporciona una forma de codificar las derivadas parciales de f . Se puede decodificar observando que las coordenadas x ¹ , x ² , ..., x ⁿ son en sí mismas funciones en U , y por lo tanto definen 1 -formas diferenciales dx ¹ , dx ² , ..., dx ⁿ . Sea f = x ⁱ . Dado que ∂ x ⁱ / ∂ x ^j = δ _ij , la función delta de Kronecker , se deduce que

El significado de esta expresión se obtiene evaluando ambos lados en un punto arbitrario p : en el lado derecho, la suma se define " punto a punto ", de modo que $${\displaystyle df_{p}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(p)(dx^{i})_{p}.}$$ Aplicando ambos lados a e _j , el resultado en cada lado es la j -ésima derivada parcial de f en p . Dado que p y j eran arbitrarios, esto demuestra la fórmula (*) .

De forma más general, para cualesquiera funciones suaves g _i y h _i en U , definimos la 1- forma diferencial α = Σ _i g _i dh _i puntualmente por $${\displaystyle \alpha _{p}=\sum _{i}g_{i}(p)(dh_{i})_{p}}$$ para cada p ∈ U. Cualquier 1 -forma diferencial surge de esta manera, y usando (*) se deduce que cualquier 1 -forma diferencial α en U puede expresarse en coordenadas como $${\displaystyle \alpha =\sum _{i=1}^{n}f_{i}\,dx^{i}}$$para algunas funciones suaves f _i en U.

La segunda idea que conduce a las formas diferenciales surge de la siguiente pregunta: dada una 1 -forma diferencial α en U , ¿cuándo existe una función f en U tal que α = df ? La expansión anterior reduce esta pregunta a la búsqueda de una función f cuyas derivadas parciales ∂ f / ∂ x ⁱ sean iguales a n funciones dadas f _i . Para n > 1 , tal función no siempre existe: cualquier función suave f satisface $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{j}\,\partial x^{i}}},}$$ por lo que será imposible encontrar tal f a menos que $${\displaystyle {\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial f_{i}}{\partial x^{j}}}=0}$$ para todos i y j .

La antisimetría del lado izquierdo en i y j sugiere introducir un producto antisimétrico ∧ en formas diferenciales 1 , el producto exterior , de modo que estas ecuaciones puedan combinarse en una sola condición. $${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{j}=0,}$$ donde ∧ se define de manera que: $${\displaystyle dx^{i}\wedge dx^{j}=-dx^{j}\wedge dx^{i}.}$$

Este es un ejemplo de una 2 -forma diferencial. Esta 2 -forma se llama derivada exterior dα de α = ∑ ⁿ _{j =1} f _j dx ^j . Está dada por $${\displaystyle d\alpha =\sum _{j=1}^{n}df_{j}\wedge dx^{j}=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{j}.}$$

En resumen: dα = 0 es una condición necesaria para la existencia de una función f con α = df .

Las formas diferenciales 0 , 1 y 2 son casos especiales de formas diferenciales. Para cada k , existe un espacio de k formas diferenciales, que se puede expresar en términos de las coordenadas como $${\displaystyle \sum _{i_{1},i_{2}\ldots i_{k}=1}^{n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$$ para una colección de funciones f _{i 1 i 2 ⋅⋅⋅ i k} . La antisimetría, que ya estaba presente para las 2 -formas, permite restringir la suma a aquellos conjuntos de índices para los cuales i ₁ < i ₂ < ... < i _{k −1} < i _k .

Las formas diferenciales se pueden multiplicar entre sí utilizando el producto exterior, y para cualquier k -forma diferencial α , existe una ( k + 1) -forma diferencial dα llamada derivada exterior de α .

Las formas diferenciales, el producto exterior y la derivada exterior son independientes de la elección de coordenadas. Por consiguiente, pueden definirse en cualquier variedad diferenciable M. Una forma de hacerlo es cubrir M con cartas de coordenadas y definir una k -forma diferencial en M como una familia de k -formas diferenciales en cada carta que coinciden en las superposiciones. Sin embargo, existen definiciones más intrínsecas que evidencian la independencia de las coordenadas.

El producto exterior de un${\displaystyle k}$-forma${\displaystyle \alpha }$y un${\displaystyle \ell }$-forma${\displaystyle \beta }$, denotado${\displaystyle \alpha \wedge \beta }$, es un${\displaystyle (k+\ell )}$-forma. En cada punto${\displaystyle p}$del colector${\displaystyle M}$, las formas${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$son elementos de una potencia exterior del espacio cotangente en${\displaystyle p}$Cuando el álgebra exterior se considera como un cociente del álgebra tensorial, el producto exterior corresponde al producto tensorial (módulo la relación de equivalencia que define el álgebra exterior).

La antisimetría inherente al álgebra exterior significa que cuando${\displaystyle \alpha \wedge \beta }$Se considera un funcional multilineal, es alternante. Sin embargo, cuando el álgebra exterior se incrusta como un subespacio del álgebra tensorial mediante el mapeo de alternancia, el producto tensorial${\displaystyle \alpha \otimes \beta }$no es alternante. Hay una fórmula explícita que describe el producto exterior en esta situación. El producto exterior es $${\displaystyle \alpha \wedge \beta =\operatorname {Alt} (\alpha \otimes \beta ).}$$ Si la incrustación de${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}T^{*}M}$en${\displaystyle {\bigotimes }^{n}T^{*}M}$se hace a través del mapa${\displaystyle n!\operatorname {Alt} }$en lugar de${\displaystyle \operatorname {Alt} }$, el producto exterior es $${\displaystyle \alpha \wedge \beta ={\frac {(k+\ell )!}{k!\ell$$ !}}\operatorname {Alt} (\alpha \otimes \beta ).} Esta descripción es útil para cálculos explícitos. Por ejemplo, si${\displaystyle k=\ell =1}$, entonces${\displaystyle \alpha \wedge \beta }$es el${\displaystyle 2}$-forma cuyo valor en un punto${\displaystyle p}$es la forma bilineal alternante definida por $${\displaystyle (\alpha \wedge \beta )_{p}(v,w)=\alpha _{p}(v)\beta _{p}(w)-\alpha _{p}(w)\beta _{p}(v)}$$ para${\displaystyle v,w\in T_{p}M}$.

El producto exterior es bilineal: Si${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle \beta }$, y${\displaystyle \gamma }$son formas diferenciales, y si${\displaystyle f}$es cualquier función suave, entonces $${\displaystyle \alpha \wedge (\beta +\gamma )=\alpha \wedge \beta +\alpha \wedge \gamma ,}$$$${\displaystyle \alpha \wedge (f\cdot \beta )=f\cdot (\alpha \wedge \beta ).}$$

Es conmutativa sesgada (también conocida como conmutativa graduada ), lo que significa que satisface una variante de la anticonmutatividad que depende de los grados de las formas: si${\displaystyle \alpha }$es un${\displaystyle k}$-forma y${\displaystyle \beta }$es un${\displaystyle \ell }$-forma, entonces $${\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{k\ell }\beta \wedge \alpha .}$$ También existe la regla de Leibniz graduada : $${\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta .}$$

En una variedad riemanniana , o más generalmente en una variedad pseudoriemanniana , la métrica define un isomorfismo fibrado de los fibrados tangente y cotangente. Esto permite convertir campos vectoriales en campos covectoriales y viceversa. También posibilita la definición de operaciones adicionales, como el operador estrella de Hodge.${\displaystyle \star \colon \Omega ^{k}(M)\ {\stackrel {\sim }{\to }}\ \Omega ^{n-k}(M)}$y el codiferencial${\displaystyle \delta \colon \Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k-1}(M)}$, que tiene grado −1 y es adjunta al diferencial exterior d .

Una propiedad importante de la derivada exterior es que${\displaystyle d^{2}=0}$Esto significa que la derivada exterior define un complejo de cocadenas : $${\displaystyle 0\ \to \ \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\ \to \ \cdots \ \to \ \Omega ^{n}(M)\ \to \ 0.}$$

Este complejo se llama complejo de De Rham, y su cohomología es por definición la cohomología de De Rham de${\displaystyle M}$Por el lema de Poincaré , el complejo de De Rham es localmente exacto excepto en${\displaystyle \Omega ^{0}(M)}$El núcleo en${\displaystyle \Omega ^{0}(M)}$es el espacio de funciones localmente constantes en${\displaystyle M}$Por lo tanto, el complejo es una resolución del haz constante.${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$, lo que a su vez implica una forma del teorema de de Rham: la cohomología de de Rham calcula la cohomología de haces de${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$.

Dejar${\displaystyle U}$ser un subconjunto abierto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Dar${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$su orientación estándar y${\displaystyle U}$la restricción de esa orientación. Cada suave${\displaystyle n}$-forma${\displaystyle \omega }$en${\displaystyle U}$tiene la forma $${\displaystyle \omega =f(x)\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$$ para que funcione sin problemas${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$. Dicha función tiene una integral en el sentido habitual de Riemann o Lebesgue. Esto nos permite definir la integral de${\displaystyle \omega }$ser la integral de${\displaystyle f}$: $${\displaystyle \int _{U}\omega \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\int _{U}f(x)\,dx^{1}\cdots dx^{n}.}$$ Fijar una orientación es necesario para que esto esté bien definido. La antisimetría de las formas diferenciales significa que la integral de, por ejemplo,${\displaystyle {\text{d}}x^{1}\wedge {\text{d}}x^{2}}$debe ser el negativo de la integral de${\displaystyle {\text{d}}x^{2}\wedge {\text{d}}x^{1}}$Las integrales de Riemann y Lebesgue no pueden percibir esta dependencia del orden de las coordenadas, por lo que dejan el signo de la integral sin determinar. La orientación resuelve esta ambigüedad.

Dejar${\displaystyle M}$frijol${\displaystyle n}$-múltiple y${\displaystyle \omega }$un${\displaystyle n}$-formulario en${\displaystyle M}$. Primero, supongamos que existe una parametrización de${\displaystyle M}$por un subconjunto abierto del espacio euclidiano. Es decir, supongamos que existe un difeomorfismo $${\displaystyle \varphi \colon D\to M}$$ dónde${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$. Dar${\displaystyle M}$la orientación inducida por${\displaystyle \varphi }$. Luego ( Rudin 1976 ) define la integral de${\displaystyle \omega }$encima${\displaystyle M}$ser la integral de${\displaystyle \varphi ^{*}\omega }$encima${\displaystyle D}$. En coordenadas, esto tiene la siguiente expresión. Fijar una incrustación de${\displaystyle M}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{I}}$con coordenadas${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{I}}$. Entonces $${\displaystyle \omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}({\mathbf {x} })\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}.}$$ Supongamos que${\displaystyle \varphi }$se define por $${\displaystyle \varphi ({\mathbf {u} })=(x^{1}({\mathbf {u} }),\ldots ,x^{I}({\mathbf {u} })).}$$ Entonces la integral se puede escribir en coordenadas como $${\displaystyle \int _{M}\omega =\int _{D}\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(\varphi ({\mathbf {u} })){\frac {\partial (x^{i_{1}},\ldots ,x^{i_{n}})}{\partial (u^{1},\dots ,u^{n})}}\,du^{1}\cdots du^{n},}$$ dónde $${\displaystyle {\frac {\partial (x^{i_{1}},\ldots ,x^{i_{n}})}{\partial (u^{1},\ldots ,u^{n})}}}$$ es el determinante del jacobiano . El jacobiano existe porque${\displaystyle \varphi }$es diferenciable.

En general, un${\displaystyle n}$-la variedad no puede ser parametrizada por un subconjunto abierto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Pero tal parametrización siempre es posible localmente, por lo que es posible definir integrales sobre variedades arbitrarias definiéndolas como sumas de integrales sobre colecciones de parametrizaciones locales. Además, también es posible definir parametrizaciones de${\displaystyle k}$subconjuntos -dimensionales para${\displaystyle k<n}$y esto hace posible definir integrales de${\displaystyle k}$-formularios. Para ser precisos, conviene fijar un dominio estándar.${\displaystyle D}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$, generalmente un cubo o un simplex. Un${\displaystyle k}$- La cadena es una suma formal de incrustaciones suaves.${\displaystyle D\rightarrow M}$. Es decir, es una colección de incrustaciones suaves, a cada una de las cuales se le asigna una multiplicidad entera. Cada incrustación suave determina una${\displaystyle k}$Subvariedad de dimensión -${\displaystyle M}$. Si la cadena es $${\displaystyle c=\sum _{i=1}^{r}m_{i}\varphi _{i},}$$ entonces la integral de una${\displaystyle k}$-forma${\displaystyle \omega }$encima${\displaystyle c}$se define como la suma de las integrales sobre los términos de${\displaystyle c}$: $${\displaystyle \int _{c}\omega =\sum _{i=1}^{r}m_{i}\int _{D}\varphi _{i}^{*}\omega .}$$

Este enfoque para definir la integración no asigna un significado directo a la integración sobre toda la variedad.${\displaystyle M}$Sin embargo, aún es posible asignar tal significado indirectamente porque toda variedad diferenciable puede ser triangulada suavemente de una manera esencialmente única, y la integral sobre${\displaystyle M}$puede definirse como la integral sobre la cadena determinada por una triangulación.

Existe otro enfoque, expuesto en ( Dieudonné 1972 ) , que sí asigna directamente un significado a la integración sobre${\displaystyle M}$, pero este enfoque requiere fijar una orientación de${\displaystyle M}$. La integral de un${\displaystyle n}$-forma${\displaystyle \omega }$en un${\displaystyle n}$La variedad -dimensional se define trabajando en cartas. Supongamos primero que${\displaystyle \omega }$está respaldado en un único gráfico de orientación positiva. En este gráfico, puede ser arrastrado hacia atrás a un${\displaystyle n}$-forma en un subconjunto abierto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Aquí, la forma tiene una integral de Riemann o Lebesgue bien definida como antes. La fórmula de cambio de variables y la suposición de que la gráfica está orientada positivamente aseguran que la integral de${\displaystyle \omega }$es independiente del gráfico elegido. En el caso general, utilice una partición de la unidad para escribir${\displaystyle \omega }$como suma de${\displaystyle n}$-formas, cada una de las cuales está respaldada en un único gráfico de orientación positiva, y definen la integral de${\displaystyle \omega }$ser la suma de las integrales de cada término en la partición de la unidad.

También es posible integrar${\displaystyle k}$-formas en orientado${\displaystyle k}$subvariedades de dimensión utilizando este enfoque más intrínseco. La forma se vuelve a la subvariedad, donde la integral se define utilizando diagramas como antes. Por ejemplo, dado un camino${\displaystyle \gamma (t):[0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$, integrando un${\displaystyle 1}$-form en el camino simplemente hace retroceder el formulario a un formulario${\displaystyle f(t){\text{d}}t}$en${\displaystyle [0,1]}$y esta integral es la integral de la función${\displaystyle f(t)}$en el intervalo.

El teorema de Fubini establece que la integral sobre un conjunto que es un producto puede calcularse como una integral iterada sobre los dos factores del producto. Esto sugiere que la integral de una forma diferencial sobre un producto también debería poder calcularse como una integral iterada. La flexibilidad geométrica de las formas diferenciales garantiza que esto sea posible no solo para productos, sino también en situaciones más generales. Bajo ciertas hipótesis, es posible integrar a lo largo de las fibras de una aplicación suave, y el análogo del teorema de Fubini es el caso en que esta aplicación es la proyección de un producto sobre uno de sus factores.

Debido a que la integración de una forma diferencial sobre una subvariedad requiere fijar una orientación, un requisito previo para la integración a lo largo de fibras es la existencia de una orientación bien definida en esas fibras. Sean M y N dos variedades orientables de dimensiones puras m y n , respectivamente. Supongamos que f  : M → N es una submersión sobreyectiva. Esto implica que cada fibra f ^{− 1} ( y ) es ( m − n ) -dimensional y que, alrededor de cada punto de M , hay una carta en la que f se ve como la proyección de un producto sobre uno de sus factores. Fijemos x ∈ M y establezcamos y = f ( x ) . Supongamos que $${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{x}&\in {\textstyle \bigwedge }^{m}T_{x}^{*}M,\\[2pt]\eta _{y}&\in {\textstyle \bigwedge }^{n}T_{y}^{*}N,\end{aligned}}}$$ y que η _y no se desvanece. Siguiendo ( Dieudonné 1972 ) , hay un único $${\displaystyle \sigma _{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}(f^{-1}(y))}$$ que puede considerarse como la parte fibral de ω _x con respecto a η _y . Más precisamente, definimos j  : f ^{− 1} ( y ) → M como la inclusión. Entonces σ _x se define por la propiedad de que $${\displaystyle \omega _{x}=(f^{*}\eta _{y})_{x}\wedge \sigma '_{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m}T_{x}^{*}M,}$$ dónde $${\displaystyle \sigma '_{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M}$$ es cualquier ( m − n ) -covector para el cual $${\displaystyle \sigma _{x}=j^{*}\sigma '_{x}.}$$ La forma σ _x también puede denotarse como ω _x / η _y .

Además, para un y fijo , σ _x varía suavemente con respecto a x . Es decir, supongamos que $${\displaystyle \omega \colon f^{-1}(y)\to T^{*}M}$$ es una sección suave del mapa de proyección; decimos que ω es una m -forma diferencial suave en M a lo largo de f ^{− 1} ( y ) . Entonces hay una ( m − n ) -forma diferencial suave σ en f ^{− 1} ( y ) tal que, en cada x ∈ f ^{− 1} ( y ) , $${\displaystyle \sigma _{x}=\omega _{x}/\eta _{y}.}$$ Esta forma se denota como ω / η _y . La misma construcción funciona si ω es una m -forma en un entorno de la fibra, y se utiliza la misma notación. Una consecuencia es que cada fibra f ^{− 1} ( y ) es orientable. En particular, una elección de formas de orientación en M y N define una orientación de cada fibra de f .

El análogo del teorema de Fubini es el siguiente. Como antes, M y N son dos variedades orientables de dimensiones puras m y n , y f  : M → N es una submersión sobreyectiva. Fijemos las orientaciones de M y N , y demos a cada fibra de f la orientación inducida. Sea ω una m -forma en M , y sea η una n -forma en N que es casi en todas partes positiva con respecto a la orientación de N. Entonces, para casi todo y ∈ N , la forma ω / η _y es una m − n- forma integrable bien definida en f ^{− 1} ( y ) . Además, hay una n- forma integrable en N definida por $${\displaystyle y\mapsto {\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta _{y}{\bigg )}\,\eta _{y}.}$$ Denote esta forma por $${\displaystyle {\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta {\bigg )}\,\eta .}$$ Luego ( Dieudonné 1972 ) demuestra la fórmula generalizada de Fubini. $${\displaystyle \int _{M}\omega =\int _{N}{\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta {\bigg )}\,\eta .}$$

También es posible integrar formas de otros grados a lo largo de las fibras de una inmersión. Supongamos las mismas hipótesis que antes, y sea α una forma ( m − n + k ) con soporte compacto en M. Entonces hay una forma k γ en N que es el resultado de integrar α a lo largo de las fibras de f . La forma α se define especificando, en cada y ∈ N , cómo γ se empareja con cada vector k v en y , y el valor de ese emparejamiento es una integral sobre f ^{− 1} ( y ) que depende solo de α , v y las orientaciones de M y N. Más precisamente, en cada y ∈ N , hay un isomorfismo $${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{y}N\to {\textstyle \bigwedge }^{n-k}T_{y}^{*}N}$$ definido por el producto interior $${\displaystyle \mathbf {v} \mapsto \mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y},}$$ para cualquier elección de forma de volumen ζ en la orientación de N. Si x ∈ f ^{− 1} ( y ) , entonces un k -vector v en y determina un ( n − k ) -covector en x por retroceso: $${\displaystyle f^{*}(\mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y})\in {\textstyle \bigwedge }^{n-k}T_{x}^{*}M.}$$ Cada uno de estos covectores tiene un producto exterior contra α , por lo que existe una ( m − n ) -forma βv en M a _lo largo de f ^{− 1} ( y ) definida por $${\displaystyle (\beta _{\mathbf {v} })_{x}=\left(\alpha _{x}\wedge f^{*}(\mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y})\right){\big /}\zeta _{y}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M.}$$ Esta forma depende de la orientación de N pero no de la elección de ζ . Entonces, la k -forma γ está definida de forma única por la propiedad $${\displaystyle \langle \gamma _{y},\mathbf {v} \rangle =\int _{f^{-1}(y)}\beta _{\mathbf {v} },}$$ y γ es suave ( Dieudonné 1972 ) . Esta forma también se denota como α ^♭ y se denomina integral de α a lo largo de las fibras de f . La integración a lo largo de las fibras es importante para la construcción de mapas de Gysin en la cohomología de de Rham.

La integración a lo largo de las fibras satisface la fórmula de proyección ( Dieudonné 1972 ) . Si λ es cualquier ℓ -forma en N , entonces $${\displaystyle \alpha ^{\flat }\wedge \lambda =(\alpha \wedge f^{*}\lambda )^{\flat }.}$$

La relación fundamental entre la derivada exterior y la integración viene dada por el teorema de Stokes : Si${\displaystyle \omega }$es un${\displaystyle (n-1)}$-forma con soporte compacto en${\displaystyle M}$y${\displaystyle \partial M}$denota el límite de${\displaystyle M}$con su orientación inducida , entonces $${\displaystyle \int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega .}$$

Una consecuencia clave de esto es que "la integral de una forma cerrada sobre cadenas homólogas es igual": Si${\displaystyle \omega }$es un cerrado${\displaystyle k}$-forma y${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$son${\displaystyle k}$-cadenas que son homólogas (de tal manera que${\displaystyle M-N}$es el límite de un${\displaystyle (k+1)}$-cadena${\displaystyle W}$), entonces${\displaystyle \textstyle {\int _{M}\omega =\int _{N}\omega }}$, ya que la diferencia es la integral${\displaystyle \textstyle \int _{W}d\omega =\int _{W}0=0}$.

Por ejemplo, si${\displaystyle \omega =df}$es la derivada de una función potencial en el plano o${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, entonces la integral de${\displaystyle \omega }$por un camino desde${\displaystyle a}$a${\displaystyle b}$no depende de la elección de la ruta (la integral es${\displaystyle f(b)-f(a)}$), ya que diferentes caminos con puntos finales dados son homotópicos , por lo tanto homólogos (una condición más débil). Este caso se denomina teorema del gradiente y generaliza el teorema fundamental del cálculo . Esta independencia de caminos es muy útil en la integración de contornos .

Este teorema también subyace a la dualidad entre la cohomología de De Rham y la homología de cadenas.

En una variedad diferenciable general (sin estructura adicional), las formas diferenciales no pueden integrarse sobre subconjuntos de la variedad; esta distinción es clave para diferenciar entre formas diferenciales, que se integran sobre cadenas o subvariedades orientadas, y medidas, que se integran sobre subconjuntos. El ejemplo más sencillo es intentar integrar la 1 -forma dx sobre el intervalo [0, 1] . Suponiendo la distancia usual (y por lo tanto la medida) en la recta real, esta integral es 1 o −1 , dependiendo de la orientación :${\textstyle \int _{0}^{1}dx=1}$, mientras${\textstyle \int _{1}^{0}dx=-\int _{0}^{1}dx=-1}$. Por el contrario, la integral de la medida | dx | en el intervalo es inequívocamente 1 (es decir, la integral de la función constante 1 con respecto a esta medida es 1 ). De manera similar, bajo un cambio de coordenadas, una n -forma diferencial cambia por el determinante jacobiano J , mientras que una medida cambia por el valor absoluto del determinante jacobiano, | J | , lo que refleja además el problema de la orientación. Por ejemplo, bajo la aplicación x ↦ − x en la línea, la forma diferencial dx se vuelve a − dx ; la orientación se ha invertido; mientras que la medida de Lebesgue , que aquí denotamos | dx | , se vuelve a | dx | ; no cambia.

En presencia de datos adicionales de una orientación , es posible integrar n- formas (formas de dimensión superior) sobre toda la variedad o sobre subconjuntos compactos; la integración sobre toda la variedad corresponde a integrar la forma sobre la clase fundamental de la variedad, [ M ] . Formalmente, en presencia de una orientación, se pueden identificar n- formas con densidades en una variedad ; las densidades a su vez definen una medida y, por lo tanto, pueden integrarse ( Folland 1999 , Sección 11.4, pp. 361 – 362) . 

En una variedad orientable pero no orientada, existen dos opciones de orientación; cualquiera de ellas permite integrar n- formas sobre subconjuntos compactos, diferenciándose las dos opciones por un signo. En una variedad no orientable, no se pueden identificar n- formas ni densidades; en particular, cualquier forma de dimensión superior debe anularse en algún lugar (no existen formas de volumen en variedades no orientables), pero no existen densidades que se anulen en ningún lugar. Por lo tanto, si bien se pueden integrar densidades sobre subconjuntos compactos, no se pueden integrar n- formas. En su lugar, se pueden identificar densidades con pseudoformas de dimensión superior .

Incluso en presencia de una orientación, en general no existe una forma significativa de integrar k -formas sobre subconjuntos para k < n, ya que no hay una manera consistente de usar la orientación ambiente para orientar subconjuntos k -dimensionales. Geométricamente, un subconjunto k -dimensional puede girarse en su lugar, dando como resultado el mismo subconjunto con la orientación opuesta; por ejemplo, el eje horizontal en un plano puede rotarse 180 grados. Compárese con el determinante de Gram de un conjunto de k vectores en un espacio n -dimensional, que, a diferencia del determinante de n vectores, siempre es positivo, correspondiendo a un número al cuadrado. Por lo tanto, una orientación de una k -subvariedad es información adicional que no se puede derivar de la variedad ambiente.

En una variedad riemanniana, se puede definir una medida de Hausdorff k -dimensional para cualquier k (entero o real), la cual puede integrarse sobre subconjuntos k -dimensionales de la variedad. Una función multiplicada por esta medida de Hausdorff puede entonces integrarse sobre subconjuntos k -dimensionales, lo que proporciona un análogo en teoría de la medida a la integración de k- formas. La medida de Hausdorff n -dimensional produce una densidad, como se describió anteriormente.

La forma diferencial análoga a una distribución o función generalizada se denomina corriente . El espacio de k -corrientes en M es el espacio dual de un espacio apropiado de k -formas diferenciales. Las corrientes desempeñan el papel de dominios de integración generalizados, similares a las cadenas, pero incluso más flexibles.