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Articulo de referencia

120 celdas

(vertices and edges)"},"Type":{"wt":"[[Convex regular 4-polytope]]"},"Last":{"wt":"[[Snub 24-cell|31]]"},"Index":{"wt":"32"},"Next":{"wt":"[[Rectified 120-cell|33]]"},"Schläfli"...

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Neto

En geometría , la celda 120 es el politopo regular convexo de cuatro dimensiones (análogo de un sólido platónico ) con símbolo de Schläfli {5,3,3}. También se le denomina C 120 , dodecaplexo (abreviatura de "complejo dodecaédrico"), hiperdodecaedro , polidodecaedro , hecatonicosachoron , dodecacontachoron [ 1 ] y hecatonicosaedroide . [ 2 ]

El límite de la celda de 120 está compuesto por 120 celdas dodecaédricas con 4 que se encuentran en cada vértice. Juntas forman 720 caras pentagonales , 1200 aristas y 600 vértices. Es el análogo de 4 dimensiones del dodecaedro regular , ya que así como un dodecaedro tiene 12 facetas pentagonales, con 3 alrededor de cada vértice, el dodecaplex tiene 120 facetas dodecaédricas, con 3 alrededor de cada arista. [ a ] ​​Su politopo dual es la celda de 600 .

Geometría

La celda de 120 incorpora las geometrías de cada politopo regular convexo en las primeras cuatro dimensiones (excepto los polígonos {7} y ​​superiores). [ b ] Como el sexto y mayor 4-politopo regular convexo, [ c ] contiene instancias inscritas de sus cuatro predecesores (recursivamente). También contiene 120 instancias inscritas del primero en la secuencia, la celda de 5 , [ d ] que no se encuentra en ninguno de los demás. [ 4 ]

La celda de 120 contiene ejemplos de todas las relaciones entre todos los politopos regulares convexos que se encuentran en las primeras cuatro dimensiones. Por el contrario, solo puede entenderse comprendiendo primero cada uno de sus predecesores y la secuencia de simetrías cada vez más complejas que exhiben. [ 5 ] Por eso Stillwell tituló su artículo sobre los 4-politopos y la historia de las matemáticas [ 6 ] de más de 3 dimensiones La historia de la celda de 120. [ 7 ]

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas naturales de un 4-politopo centrado en el origen del espacio de 4 dimensiones aparecen en diferentes sistemas de referencia, dependiendo del radio largo (del centro al vértice) elegido.

√8 coordenadas de radio

La celda de 120 con radio largo √ 8 = 2 √ 2 ≈ 2,828 tiene una longitud de arista de 4−2φ = 3− √ 5 ≈ 0,764.

En este marco de referencia, sus 600 coordenadas de vértice son las { permutaciones } y [ permutaciones pares ] de lo siguiente: [ 8 ]

donde φ (también llamado 𝝉) [ f ] es la proporción áurea , ⁠ 1 + √ 5 / 2 ⁠ ≈ 1,618.

Coordenadas de radio unitario

La celda de radio unitario 120 tiene una longitud de arista ⁠ 1 / φ 2 √ 2 ⁠ ≈ 0,270.

En este marco de referencia, la celda 120 se encuentra con el vértice hacia arriba en la orientación estándar, y sus coordenadas [ 9 ] son ​​las { permutaciones } y [ permutaciones pares ] en la columna izquierda a continuación:

La tabla proporciona las coordenadas de al menos una instancia de cada 4-politopo, pero la celda de 120 contiene múltiplos de cinco instancias inscritas de cada uno de sus 4-politopos precursores, ocupando diferentes subconjuntos de sus vértices. La celda de 120 (600 puntos) es la envoltura convexa de 5 celdas de 600 (120 puntos) disjuntas. Cada celda de 600 (120 puntos) es la envoltura convexa de 5 celdas de 24 (24 puntos) disjuntas, por lo que la celda de 120 es la envoltura convexa de 25 celdas de 24 disjuntas. Cada celda de 24 es la envoltura convexa de 3 celdas de 16 (8 puntos) disjuntas, por lo que la celda de 120 es la envoltura convexa de 75 celdas de 16 disjuntas. De manera singular, la celda de 120 puntos (600 puntos) es la envoltura convexa de 120 celdas de 5 puntos (5 puntos) disjuntas. [ k ]

Acordes

Polígonos de círculo máximo de la celda de 120, que se encuentran en los planos centrales invariantes de sus rotaciones isoclínicas [ o ] . Las aristas de la celda de 120 de longitud 𝜁 ≈ 0,270 aparecen solo en el gran hexágono irregular rojo , que también tiene aristas de 5 celdas de longitud √ 2,5 . Las 1200 aristas de la celda de 120 no forman polígonos de círculo máximo por sí mismas, pero al alternar con aristas de √ 2,5 de 5 celdas regulares inscritas [ d ] forman 400 grandes hexágonos irregulares. [ p ] La celda de 120 también contiene un dodecágono mayor irregular compuesto por varios de estos polígonos de círculo máximo en el mismo plano central, ilustrado a continuación .

La celda de 120 puntos y 600 tiene las 8 longitudes de cuerda distintas de la celda de 600 puntos y 120, además de dos cuerdas importantes adicionales: sus propias aristas más cortas y las aristas de sus 120 celdas regulares de 5 inscripciones. [ d ] Estas dos cuerdas adicionales le dan a la celda de 120 su rotación isoclínica característica , [ z ] además de todas las rotaciones de los otros 4-politopos regulares que hereda. [ 14 ] También le dan a la celda de 120 un polígono de círculo máximo característico: un hexágono máximo irregular en el que tres aristas de la celda de 120 se alternan con tres aristas de la celda de 5. [ p ]

Los bordes del teseracto de 120 celdas no forman polígonos circulares máximos regulares en un único plano central como lo hacen los bordes de los teseractos de 600, 24 y 16 celdas. Al igual que los bordes de los teseractos de 5 y 8 celdas , forman polígonos de Petrie en zigzag . [ y ] El polígono de Petrie del teseracto de 120 celdas es un polígono sesgado en zigzag triacontamente {30} . [ aa ]

Dado que la celda de 120 tiene una circunferencia de 30 aristas, posee al menos 15 longitudes de cuerda distintas, que van desde la longitud de su arista hasta su diámetro. [ af ] Todo 4-politopo convexo regular está inscrito en la celda de 120, y las 15 cuerdas enumeradas en las filas de la siguiente tabla son todas las cuerdas distintas que componen los 4-politopos regulares y sus polígonos de círculo máximo. [ ai ]

Lo primero que se observa en esta tabla es que tiene ocho columnas, no seis; además de los seis 4-politopos convexos regulares, aparecen de forma natural dos 4-politopos irregulares en la secuencia de 4-politopos anidados: el 24- celda truncado de 96 puntos y el 120- celda disminuido de 480 puntos . [ c ]

Lo segundo que cabe destacar es que cada fila numerada (cada cuerda) está marcada con un triángulo △ , un cuadrado ☐, el símbolo phi 𝜙 o un pentagrama ✩. Las 15 cuerdas forman polígonos de cuatro tipos: cuadrados grandes ☐ característicos de la celda de 16 celdas , hexágonos grandes y triángulos grandes △ característicos de la celda de 24 celdas , decágonos grandes y pentágonos grandes 𝜙 característicos de la celda de 600 celdas , y pentagramas oblicuos ✩ característicos de la celda de 5 celdas que giran alrededor de un conjunto de planos centrales y forman polígonos de caras, pero no polígonos grandes. [ aj ]

Los acordes mayores [ ai ] #1 - #15 unen pares de vértices que están separados por 1 - 15 aristas en un polígono de Petrie.

La tabla de cuerdas anotada es una lista completa de materiales para construir la celda de 120 elementos. Todos los politopos de 2, 3 y 4 elementos de la celda de 120 elementos se forman a partir de los 15 politopos de 1 elemento que aparecen en la tabla.

Los números negros en las celdas de la tabla representan la frecuencia de aparición de la cuerda de la fila en el politopo de 4 miembros de la columna. Por ejemplo, en la fila de la cuerda n.° 3 , los 72 grandes decágonos de la celda 600 contienen un total de 720 cuerdas n.° 3 .

Los números enteros en rojo representan la cantidad de 4-politopos disjuntos (indicados en la etiqueta de la columna) que, al combinarse, forman una celda de 120 vértices. Por ejemplo, la celda de 120 vértices es un compuesto de 25 celdas de 24 vértices disjuntas (25 * 24 vértices = 600 vértices).

Los números enteros en verde representan la cantidad de 4 politopos distintos (indicados en la etiqueta de la columna) que se pueden identificar en la celda de 120. Por ejemplo, la celda de 120 contiene 225 celdas de 24 distintas que comparten componentes.

Los números enteros azules en la columna derecha representan la frecuencia de aparición de la cuerda de la fila en cada vértice de la celda de 120 miembros. Por ejemplo, en la fila de la cuerda n.° 3 , 24 cuerdas n.° 3 convergen en cada uno de los 600 vértices de la celda de 120 miembros, formando una figura de vértice 2{3,5} con un icosaedro doble. En total, 300 cuerdas mayores [ ai ] de 15 longitudes distintas se encuentran en cada vértice de la celda de 120 miembros.

Relaciones entre politopos interiores

La celda 120 es el compuesto de los otros cinco politopos regulares convexos de dimensión 4. [ 20 ] Todas las relaciones entre los politopos regulares de dimensión 1, 2, 3 y 4 se dan en la celda 120. [ b ] Es un rompecabezas de cuatro dimensiones en el que todos esos politopos son las piezas. [ 21 ] Aunque hay muchas secuencias para construir la celda 120 uniendo esas piezas, en última instancia solo encajan de una manera. La celda 120 es la solución única para la combinación de todos estos politopos. [ 7 ]

El 1-politopo regular aparece en solo 15 longitudes distintas en cualquiera de los politopos componentes de la celda de 120. [ ai ] Por el teorema de unicidad de Alexandrov , los poliedros convexos con formas distintas entre sí también tienen espacios métricos distintos de distancias superficiales, por lo que cada 4-politopo regular tiene su propio subconjunto único de estas 15 cuerdas.

Solo 4 de esas 15 cuerdas aparecen en las estructuras de 16, 8 y 24 celdas. Las cuatro cuerdas hipercúbicas √1 , √2 , √3 y √4 son suficientes para construir la estructura de 24 celdas y todas sus partes componentes. La estructura de 24 celdas es la solución única para la combinación de estas 4 cuerdas y todos los politopos regulares que se pueden construir a partir de ellas.

Se requieren 4 cuerdas adicionales de las 15 existentes para construir la celda de 600. Las cuatro cuerdas áureas son raíces cuadradas de fracciones irracionales que son funciones de √5 . La celda de 600 es la solución única para la combinación de estas 8 cuerdas y todos los politopos regulares que se pueden construir a partir de ellas. Entre las nuevas partes que se encuentran en la celda de 600 y que no aparecen en la celda de 24, destacan los pentágonos y los icosaedros.

Todos los 15 acordes, y otras 15 distancias de acordes distintas enumeradas a continuación, aparecen en la celda de 120 puntos. Entre las nuevas partes encontradas en la celda de 120 puntos que no aparecen en la celda de 600 puntos, destacan las 5-celdas regulares y los acordes √ 5/2 . [ ay ] Las relaciones entre la 5-celda regular (el 4-politopo regular simplex ) y los otros 4-politopos regulares se manifiestan directamente solo en la celda de 120 puntos. [ i ] La celda de 120 puntos de 600 puntos es un compuesto de 120 5-celdas disjuntas de 5 puntos, y también es un compuesto de 5 600-celdas disjuntas de 120 puntos (de dos maneras diferentes). Cada 5-celda tiene un vértice en cada una de las 5 600-celdas disjuntas, y por lo tanto en cada una de las 5 24-celdas disjuntas, 5 8-celdas disjuntas y 5 16-celdas disjuntas. [ bc ] Cada 5-celda es un anillo (de dos maneras diferentes) que une 5 instancias disjuntas de cada uno de los otros 4-politopos regulares. [ t ]

Compuesto de cinco células de 600

La celda de 120 tiene 200 planos centrales que intersecan cada uno 12 vértices, formando un dodecágono irregular con aristas alternas de dos longitudes diferentes. En el dodecágono están inscritos dos hexágonos grandes regulares (negros), [ av ] dos hexágonos grandes irregulares ( rojos ), [ p ] y cuatro triángulos grandes equiláteros (solo se muestra uno, en verde ).

La celda de 120 contiene diez celdas de 600 que pueden dividirse en cinco celdas de 600 completamente disjuntas de dos maneras diferentes. [ h ] Como consecuencia de ser un compuesto de cinco celdas de 600 disjuntas, la celda de 120 tiene 200 planos centrales {12} de dodecágonos mayores irregulares, que son compuestos de varios de sus polígonos de círculo mayor que comparten el mismo plano central, como se ilustra. Los 200 planos centrales {12} se originan como compuestos de los planos centrales hexagonales de las 25 celdas inscritas disjuntas de 24 y los planos centrales digon de las 120 celdas regulares inscritas disjuntas de 5; contienen todas las aristas de las celdas de 24 y 5, y también las aristas de la celda de 120. Así, las aristas y rotaciones características [ x ] del hipercubo regular de 5 celdas, el hipercubo de 8 celdas, el hipercubo de 24 celdas y el hipercubo de 120 celdas se encuentran en estos mismos 200 planos de rotación. [ aj ] Cada una de las diez celdas de 600 ocupa el conjunto completo de 200 planos.

El polígono del círculo máximo {12} del dodecágono irregular de 120 celdas tiene 6 aristas cortas ( cuerdas #1 marcadas 𝜁 ) alternando con 6 diámetros de celda de dodecaedro más largos ( cuerdas #4 ). [ as ] En el dodecágono máximo irregular están inscritos dos hexágonos máximos irregulares ( rojo ) en posiciones alternas. [ p ] Dos hexágonos máximos regulares con aristas de un tercio de tamaño ( √ 1 , la cuerda #5) también están inscritos en el dodecágono. [ av ] Los planos del dodecágono máximo irregular de 120 celdas, sus planos del hexágono máximo irregular, sus planos del hexágono máximo regular y sus planos del triángulo máximo equilátero, son el mismo conjunto de 200 planos del dodecágono. Se presentan como 100 pares completamente ortogonales, y son los mismos 200 planos centrales, cada uno de los cuales contiene un hexágono , que se encuentran en cada una de las 10 celdas inscritas de 600 elementos.

Hay exactamente 400 hexágonos regulares en la celda de 120 (dos en cada plano central del dodecágono), y cada una de las diez celdas de 600 contiene su propio subconjunto distinto de 200 de ellos (uno de cada plano central del dodecágono). Cada celda de 600 contiene solo uno de los dos hexágonos regulares opuestos inscritos en cualquier plano central del dodecágono, así como contiene solo uno de los dos tetraedros opuestos inscritos en cualquier celda dodecaédrica. Cada celda de 600 es disjunta de otras 4 celdas de 600 y comparte hexágonos regulares con otras 5 celdas de 600. [ bf ] Cada par disjunto de celdas de 600 ocupa el par opuesto de hexágonos regulares disjuntos en cada plano central del dodecágono. Cada par no disjunto de celdas de 600 se interseca en 16 hexágonos que comprenden una celda de 24. La celda de 120 contiene 9 veces más celdas distintas de 24 (225) que celdas disjuntas de 24 (25). [ j ] Cada celda de 24 aparece en 9 celdas de 600, está ausente en solo una celda de 600 y es compartida por dos celdas de 600.

rectángulos geodésicos

Las 30 cuerdas distintas [ ai ] encontradas en la celda de 120 aparecen como 15 pares de complementos de 180°. Forman 15 tipos distintos de polígonos de círculo máximo que se encuentran en planos centrales de varios tipos: planos △ que intersecan {12} vértices en un dodecágono máximo irregular , planos 𝜙 que intersecan {10} vértices en un decágono regular y planos ☐ que intersecan {4} vértices en varios tipos de rectángulos , incluido un cuadrado .

Cada polígono de círculo máximo se caracteriza por su par de cuerdas complementarias de 180°. Estos pares de cuerdas forman polígonos de círculo máximo con lados opuestos paralelos, de modo que cada polígono de círculo máximo es un rectángulo o un compuesto de rectángulos, con las dos cuerdas como lados del rectángulo.

Cada uno de los 15 pares de cuerdas complementarias corresponde a un par distinto de secciones poliédricas opuestas de la celda 120, comenzando con un vértice, la sección 0 0. La correspondencia es que cada vértice de la celda 120 está rodeado por los vértices de cada sección poliédrica a una distancia uniforme (la longitud de la cuerda), de la misma manera que los vértices de un poliedro rodean su centro a la distancia de su radio mayor. [ bg ] La cuerda #1 es el "radio" de la sección 1 0 , la figura tetraédrica del vértice de la celda 120. [ au ] La cuerda #14 es el "radio" de su sección opuesta congruente 29 0. La cuerda #7 es el "radio" de la sección central de la celda 120, en la que coinciden dos secciones opuestas 15 0 .

Cascos concéntricos

La proyección ortogonal de la celda de 120 utilizando cualquiera de estas 3 de las dimensiones de coordenadas cartesianas forma una envoltura general que es un dodecaedro chaflán de norma = √8 . Las envolturas 1, 2 y 7 son cada una pares de dodecaedros . La envoltura 3 es un par de icosidodecaedros . Las envolturas 4 y 5 son cada una pares de icosaedros truncados . La envoltura 6 es un par de rombicosidodecaedros semirregulares . La envoltura 8 es un único rombicosidodecaedro no uniforme , la sección central.

Estas envolturas ilustran las secciones 1 a 8 de la celda de 120 celdas, comenzando con una celda (envoltura 1). [ 25 ] Una sección es un corte hiperplano plano tridimensional a través de la 3-esfera : una 2-esfera (esfera ordinaria). Es dimensionalmente análogo a un corte plano bidimensional a través de una 2-esfera: una 1-esfera (círculo ordinario).

Las carcasas se representan como si todas tuvieran el mismo tamaño, pero en realidad su radio aumenta a medida que se numeran: son esferas concéntricas de 2 dimensiones que se anidan unas dentro de otras. Cada celda del conjunto de 120 celdas es la carcasa más pequeña de su propio conjunto de 8 carcasas concéntricas. Existen 120 conjuntos distintos de 8 carcasas anidadas.

La proyección de celda a celda de la estructura de 120 celdas tiene en realidad 15 secciones, comenzando con una celda numerada del 1 al 15, con la celda número 8 en el centro. Tras aumentar de tamaño del 1 al 8, los cascos vuelven a reducirse. Las secciones 1 y 15 corresponden al casco 1, el más pequeño, una celda dodecaédrica de la estructura de 120 celdas. La sección 8 es la sección central, el casco más grande, con el mismo radio que la estructura de 120 celdas. Excepto la sección central 8, las secciones se presentan en pares paralelos, a ambos lados de la sección central. El casco 8 es dimensionalmente análogo al ecuador, mientras que los cascos del 1 al 7 son dimensionalmente análogos a las líneas de latitud. Hay 120 de cada tipo de casco 1-7 en la celda de 120, pero solo 60 del casco central 8. Una visualización de estas 15 secciones simplificadas está disponible en WP Commons con secciones de subgrupos (cuando el sólido inscrito tiene más de una permutación en su órbita) aquí . La proyección de vértice primero (abajo) de la celda de 120 {5,3,3} tiene 31 secciones. [ 26 ]

La tabla Vv de Coxeter muestra la sección de la celda de 120 vértices {5,3,3}, que muestra las secciones de órbita y las secciones de subgrupo (cuando el sólido inscrito tiene más de una permutación en su órbita), así como la envoltura convexa de cada órbita a la derecha.

Grafo poliédrico

Considerando la matriz de adyacencia de los vértices que representan el grafo poliédrico de radio unitario de 120 celdas, el diámetro del grafo es 15, conectando cada vértice con su negación de coordenadas a una distancia euclidiana de 2 (su diámetro de circunferencia), y hay 24 caminos diferentes para conectarlos a lo largo de las aristas del politopo. Desde cada vértice, hay 4 vértices a distancia 1, 12 a distancia 2, 24 a distancia 3, 36 a distancia 4, 52 a distancia 5, 68 a distancia 6, 76 a distancia 7, 78 a distancia 8, 72 a distancia 9, 64 a distancia 10, 56 a distancia 11, 40 a distancia 12, 12 a distancia 13, 4 a distancia 14 y 1 a distancia 15. La matriz de adyacencia tiene 27 autovalores distintos que van desde ⁠ 1 / φ 2 √ 2 ⁠ ≈ 0,270, con una multiplicidad de 4, hasta 2, con una multiplicidad de 1. La multiplicidad del autovalor 0 es 18, y el rango de la matriz de adyacencia es 582.

Los vértices del grafo poliédrico de 120 celdas son 3-coloreables .

El grafo es euleriano y tiene grado 4 en cada vértice. Su conjunto de aristas se puede descomponer en dos ciclos hamiltonianos . [ 27 ]

Construcciones

La 120-celda es la sexta en la secuencia de 6 4-politopos regulares convexos (en orden de tamaño y complejidad). [ c ] Se puede deconstruir en diez instancias distintas (o cinco instancias disjuntas) de su predecesor (y dual) la 600-celda , [ h ] así como la 600-celda se puede deconstruir en veinticinco instancias distintas (o cinco instancias disjuntas) de su predecesor la 24-celda , [ be ] la 24-celda se puede deconstruir en tres instancias distintas de su predecesor el teseracto (8-celda), y la 8-celda se puede deconstruir en dos instancias disjuntas de su predecesor (y dual) la 16-celda . [ 30 ] La 120-celda contiene 675 instancias distintas (75 instancias disjuntas) de la 16-celda. [ j ]

El procedimiento inverso para construir cada una de estas a partir de una instancia de su predecesora conserva el radio de la predecesora, pero generalmente produce una sucesora con una longitud de arista menor. La longitud de arista de la celda de 600 es aproximadamente 0,618 veces su radio (la proporción áurea inversa ), mientras que la longitud de arista de la celda de 120 es aproximadamente 0,270 veces su radio.

La celda de 120 puntos es también la envoltura convexa del compuesto regular de 120 celdas regulares disjuntas de 5 puntos. Esto puede verse como equivalente al compuesto de 5 celdas disjuntas de 600 puntos, como sigue. Comenzando con una sola celda de 600 puntos de 120 puntos, expanda cada vértice en una celda regular de 5 puntos. Para cada uno de los 120 vértices, agregue 4 nuevos vértices equidistantes, de modo que los 5 vértices formen una celda regular de 5 puntos inscrita en la 3-esfera. Las 120 celdas de 5 puntos son disjuntas, y los 600 vértices forman 5 celdas disjuntas de 600 puntos de 120 puntos: una celda de 120 puntos.

Doble batería de 600 celdas

Cinco tetraedros inscritos en un dodecaedro. También se pueden inscribir cinco tetraedros opuestos (no mostrados).

Dado que la celda de 120 vértices es la dual de la celda de 600 vértices, se puede construir a partir de esta última colocando sus 600 vértices en el centro de volumen de cada una de las 600 celdas tetraédricas. A partir de una celda de 600 vértices con radio unitario, se obtiene una celda de 120 vértices con un radio ligeramente menor ( φ² / √8 ≈ 0,926 ) y una longitud de arista de exactamente 1/4. Así, la celda unitaria de longitud de arista 120 (con radio largo φ 2 √ 2 ≈ 3,702) se puede construir de esta manera justo dentro de una celda 600 de radio largo 4. La celda unitaria de radio 120 (con longitud de arista ⁠ 1 / φ 2 √ 2 ⁠ ≈ 0,270) se puede construir de esta manera justo dentro de una celda 600 de radio largo ⁠ √ 8 / φ 2 ⁠ ≈ 1,080.

Uno de los cinco cubos distintos inscritos en el dodecaedro (líneas punteadas). Dos tetraedros opuestos (no mostrados) están inscritos en cada cubo, por lo que diez tetraedros distintos (uno de cada celda de 600 en la celda de 120) están inscritos en el dodecaedro. [ como ]

Recíprocamente, la celda de radio unitario 120 se puede construir justo fuera de una celda de 600 de radio largo ligeramente menor ⁠ φ 2 / √ 8 ⁠ ≈ 0,926, colocando el centro de cada celda dodecaédrica en uno de los 120 vértices de la celda de 600. La celda de 120 cuyas coordenadas se dan arriba de radio largo √ 8 = 2 √ 2 ≈ 2,828 y longitud de arista ⁠ 2 / φ 2 ⁠ = 3− √ 5 ≈ 0,764 se puede construir de esta manera justo fuera de una celda de 600 de radio largo φ 2 , que es menor que √ 8 en la misma proporción de ≈ 0,926; está en proporción áurea a la longitud de la arista de la celda 600, por lo que debe ser φ. La celda 120 de longitud de arista 2 y radio largo φ 2 √ 8 ≈ 7,405 dada por Coxeter [ 3 ] se puede construir de esta manera justo fuera de una celda 600 de radio largo φ 4 y longitud de arista φ 3 .

Por lo tanto, la celda unitaria de radio 120 se puede construir a partir de su predecesora, la celda unitaria de radio 600, en tres pasos de reciprocidad.

Rotaciones celulares de duales inscritos

Dado que la celda de 120 radios contiene celdas de 600 radios inscritas, contiene su dual del mismo radio. La celda de 120 radios contiene cinco celdas de 600 radios disjuntas (diez celdas de 600 radios inscritas superpuestas, de las cuales podemos seleccionar cinco celdas de 600 radios disjuntas de dos maneras diferentes), por lo que puede considerarse como un compuesto de cinco de sus propias duales (de dos maneras). Los vértices de cada celda de 600 radios inscrita son vértices de la celda de 120 radios, y (de forma dual) el centro de cada celda dodecaédrica es el centro de una celda tetraédrica en cada una de las celdas de 600 radios inscritas.

Las celdas dodecaédricas de la celda de 120 celdas tienen celdas tetraédricas de la celda de 600 celdas inscritas en ellas. [ 32 ] Así como la celda de 120 celdas es un compuesto de cinco celdas de 600 celdas (de dos maneras), el dodecaedro es un compuesto de cinco tetraedros regulares (de dos maneras). Como dos tetraedros opuestos pueden inscribirse en un cubo, y cinco cubos pueden inscribirse en un dodecaedro, diez tetraedros en cinco cubos pueden inscribirse en un dodecaedro: dos conjuntos opuestos de cinco, con cada conjunto cubriendo los 20 vértices y cada vértice en dos tetraedros (uno de cada conjunto, pero no el par opuesto de un cubo obviamente). [ 33 ] Esto demuestra que la celda 120 contiene, entre sus muchas características internas, 120 compuestos de diez tetraedros , cada uno de los cuales es dimensionalmente análogo a la celda 120 completa como un compuesto de diez celdas 600. [ h ]

Los diez tetraedros se pueden generar mediante dos rotaciones quirales de cinco clics de cualquier tetraedro. En cada celda dodecaédrica, una celda tetraédrica proviene de cada una de las diez celdas de 600 inscritas en la celda de 120. [ bk ] Por lo tanto, la celda completa de 120, con las diez celdas de 600 inscritas, se puede generar a partir de una sola celda de 600 mediante la rotación de sus celdas.

Aumento

Otra consecuencia de que la celda de 120 celdas contenga celdas de 600 celdas inscritas es que es posible construirla colocando 4-pirámides de algún tipo sobre las celdas de la celda de 600 celdas. Estas pirámides tetraédricas deben ser bastante irregulares en este caso (con el vértice redondeado en cuatro 'vértices'), pero podemos discernir su forma de la misma manera que un tetraedro se encuentra inscrito en un dodecaedro . [ bl ]

Solo 120 celdas tetraédricas de cada 600 celdas pueden inscribirse en los dodecaedros de 120 celdas; sus otros 480 tetraedros abarcan celdas dodecaédricas. Cada tetraedro inscrito en el dodecaedro es la celda central de un grupo de cinco tetraedros , con los otros cuatro unidos por caras a su alrededor que se encuentran solo parcialmente dentro del dodecaedro. El tetraedro central está unido por aristas a otras 12 celdas tetraédricas, que también se encuentran solo parcialmente dentro del dodecaedro. [ bm ] La celda central está unida por vértices a otras 40 celdas tetraédricas que se encuentran completamente fuera del dodecaedro.

órbitas de Weyl

Otro método de construcción utiliza cuaterniones y la simetría icosaédrica de las órbitas del grupo de Weyl.O(Λ)=W(H4)=I{\displaystyle O(\Lambda )=W(H_{4})=I}del orden 120. [ 35 ] Lo siguiente describeT{\displaystyle T}yT′{\displaystyle T'}24 celdas como pesos orbitales de cuaterniones de D4 bajo el grupo de Weyl W(D4): O(0100)  : T = {±1,±e1,±e2,±e3,(±1±e1±e2±e3)/2} O(1000)  : V1 O(0010)  : V2 O(0001)  : V3

T′=2{V1⊕V2⊕V3}=(−1−mi121−mi12−1+mi121+mi12−mi2−mi32mi2−mi32−mi2+mi32mi2+mi32−1−mi221−mi22−1+mi221+mi22−mi1−mi32mi1−mi32−mi1+mi32mi1+mi32−mi1−mi22mi1−mi22−mi1+mi22mi1+mi22−1−mi321−mi32−1+mi321+mi32);{\displaystyle T'={\sqrt {2}}\{V1\oplus V2\oplus V3\}={\begin{pmatrix}{\frac {-1-e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1-e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1+e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1+e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{2}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{2}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{2}+e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{2}+e_{3}}{\sqrt {2}}}\\{\frac {-1-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{1}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{1}+e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}+e_{3}}{\sqrt {2}}}\\{\frac {-e_{1}-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{1}+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1+e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1+e_{3}}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}};}

Con cuaterniones(pag,q){\displaystyle (p,q)}dóndepag¯{\displaystyle {\bar {p}}}es el conjugado depag{\displaystyle p}y[pag,q]:r→r′=pagrq{\displaystyle [p,q]:r\rightarrow r'=prq}y[pag,q]∗:r→r″=pagr¯q{\displaystyle [p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q}, luego el grupo CoxeterW(H4)={[pag,pag¯]⊕[pag,pag¯]∗}{\displaystyle W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace }es el grupo de simetría de la celda 600 y la celda 120 de orden 14400.

Dadopag∈T{\displaystyle p\in T}de tal manera quepag¯=±pag4,pag¯2=±pag3,pag¯3=±pag2,pag¯4=±pag{\displaystyle {\bar {p}}=\pm p^{4},{\bar {p}}^{2}=\pm p^{3},{\bar {p}}^{3}=\pm p^{2},{\bar {p}}^{4}=\pm p}ypag†{\displaystyle p^{\dagger }}como un intercambio de−1/φ↔φ{\displaystyle -1/\varphi \leftrightarrow \varphi }dentropag{\displaystyle p}, podemos construir:

  • el snub de 24 celdasS=∑i=14⊕pagiT{\displaystyle S=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}T}
  • la batería de 600 celdasI=T+S=∑i=04⊕pagiT{\displaystyle I=T+S=\sum _{i=0}^{4}\oplus p^{i}T}
  • la batería de 120 celdasJ=∑i,j=04⊕pagipag¯†jT′{\displaystyle J=\sum _{i,j=0}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger j}T'}
  • el snub alternativo de 24 celdasS′=∑i=14⊕pagipag¯†iT′{\displaystyle S'=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger i}T'}
  • el snub doble de 24 celdas =T⊕T′⊕S′{\displaystyle T\oplus T'\oplus S'}.

Como configuración

Esta matriz de configuración representa la celda de 120 elementos. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números de la diagonal indican cuántos elementos de cada tipo aparecen en la celda de 120 elementos. Los números de la diagonal indican cuántos elementos de la columna aparecen en o en el elemento de la fila. [ 36 ] [ 37 ]

[6004642120033557202203012120]{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}600&4&6&4\\2&1200&3&3\\5&5&720&2\\20&30&12&120\end{matrix}}\end{bmatrix}}}

Aquí se muestra la configuración ampliada con k elementos de caras y k figuras. El número de elementos diagonales es la proporción del orden del grupo completo de Coxeter , 14400, dividido por el orden del subgrupo con eliminación de simetría.

Visualización

El dodecaedro de 120 celdas consta de 120 celdas dodecaédricas. Para fines de visualización, resulta conveniente que el dodecaedro tenga caras paralelas opuestas (una característica que comparte con las celdas del teseracto y el dodecaedro de 24 celdas ). Se pueden apilar dodecaedros cara a cara en línea recta, curvados en la cuarta dirección, formando un círculo máximo con una circunferencia de 10 celdas. Partiendo de esta estructura inicial de diez celdas, existen dos visualizaciones comunes: una proyección estereográfica en capas y una estructura de anillos entrelazados ( fibración de Hopf discreta ). [ 38 ]

Proyección estereográfica por capas

La ubicación de las celdas se presta a una descripción hiperesférica. [ 39 ] Elija un dodecaedro arbitrario y denomínelo "polo norte". Doce meridianos de círculo máximo (de cuatro celdas de longitud) se extienden en 3 dimensiones, convergiendo en la quinta celda, el "polo sur". Este esqueleto representa 50 de las 120 celdas (2 + 4 × 12).

Partiendo del Polo Norte, podemos construir la estructura de 120 celdas en 9 capas latitudinales, con alusiones a la topografía terrestre de 2-esferas en la tabla siguiente. Con excepción de los polos, los centroides de las celdas de cada capa se ubican en una 2-esfera independiente, mientras que los centroides ecuatoriales se ubican en una gran 2-esfera. Los centroides de las 30 celdas ecuatoriales forman los vértices de un icosidodecaedro , con los meridianos (como se describió anteriormente) pasando por el centro de cada cara pentagonal. Las celdas etiquetadas como "intersticiales" en la tabla siguiente no se encuentran sobre círculos máximos meridianos.

Las celdas de las capas 2, 4, 6 y 8 se ubican sobre las caras de la celda polar. Las celdas de las capas 3 y 7 se ubican directamente sobre los vértices de la celda polar. Las celdas de la capa 5 se ubican sobre las aristas de la celda polar.

Anillos entrelazados

Dos anillos entrelazados de la celda de 120
Dos anillos ortogonales en una proyección centrada en la célula.

El anillo de 120 celdas se puede particionar en 12 anillos de círculo máximo disjuntos de 10 celdas, formando una fibración de Hopf discreta/cuantizada . [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 38 ] Comenzando con un anillo de 10 celdas, se puede colocar otro anillo junto a él que gira en espiral alrededor del anillo original una revolución completa en diez celdas. Cinco de estos anillos de 10 celdas se pueden colocar adyacentes al anillo original de 10 celdas. Aunque los anillos exteriores "giran en espiral" alrededor del anillo interior (y entre sí), en realidad no tienen torsión helicoidal. Todos son equivalentes. La espiral es un resultado de la curvatura de la 3-esfera. El anillo interior y los cinco anillos exteriores forman ahora un toro sólido de seis anillos y 60 celdas . Se pueden seguir añadiendo anillos de 10 celdas adyacentes a los anteriores, pero es más instructivo construir un segundo toro, disjunto del anterior, a partir de las 60 celdas restantes, que se entrelace con el primero. El toro de 120 celdas, al igual que la 3-esfera, es la unión de estos dos toros ( de Clifford ). Si el anillo central del primer toro es un círculo máximo meridiano como se definió anteriormente, el anillo central del segundo toro es el círculo máximo ecuatorial centrado en el círculo meridiano. [ 44 ] También cabe señalar que la capa espiral de 50 celdas alrededor de un anillo central puede ser levógira o dextrógira. Se trata simplemente de dividir las celdas de la capa de forma diferente, es decir, elegir otro conjunto de círculos máximos disjuntos ( paralelos de Clifford ).

Otras construcciones de círculo máximo

Hay otro camino de círculo máximo de interés que pasa alternativamente por vértices de celda opuestos, luego a lo largo de una arista. Este camino consta de 6 aristas que se alternan con 6 cuerdas de diámetro de celda , formando un dodecágono irregular en un plano central . Ambos caminos de círculo máximo tienen caminos de círculo máximo duales en la celda de 600. El camino cara a cara de 10 celdas anterior se mapea a un camino de 10 vértices que recorre únicamente a lo largo de aristas en la celda de 600, formando un decágono . [ q ] El camino alternante celda/arista se mapea a un camino que consta de 12 tetraedros que se encuentran alternativamente cara a cara y luego vértice a vértice (seis bipirámides triangulares ) en la celda de 600. Este último camino corresponde a un anillo de seis icosaedros que se encuentran cara a cara en la celda truncada de 24 (o pirámides icosaédricas en la celda de 600), formando un hexágono .

Existe otro camino poligonal de círculo máximo que es único para el de 120 celdas y no tiene contraparte dual en el de 600 celdas. Este camino consta de 3 aristas de 120 celdas que se alternan con 3 aristas inscritas de 5 celdas (cuerdas #8), formando el gran hexágono irregular con aristas cortas y largas alternadas ilustrado arriba . [ p ] Cada arista de 5 celdas atraviesa el volumen de tres celdas dodecaédricas (en un anillo de diez celdas dodecaédricas unidas por caras), hasta la cara pentagonal opuesta del tercer dodecaedro. Este gran hexágono irregular se encuentra en el mismo plano central (en el mismo círculo máximo) que el gran dodecágono irregular descrito anteriormente, pero interseca solo {6} de los {12} vértices del dodecágono. Hay dos grandes hexágonos irregulares inscritos en cada gran dodecágono irregular, en posiciones alternas.

Proyecciones ortogonales 2D

Las proyecciones ortogonales de la celda de 120 pueden realizarse en 2D definiendo dos vectores base ortonormales para una dirección de visión específica. La proyección de 30 vértices fue realizada en 1963 por BL Chilton . [ 45 ] Las multiplicidades de los vértices por color se indican entre paréntesis.

La proyección decagonal H3 muestra el plano del polígono de van Oss .

Proyecciones en perspectiva 3D

Estas proyecciones utilizan la proyección en perspectiva , desde un punto de vista específico en cuatro dimensiones, proyectando el modelo como una sombra 3D. Por lo tanto, las caras y las células que parecen más grandes simplemente están más cerca del punto de vista 4D.

Una comparación de proyecciones en perspectiva del dodecaedro 3D a 2D (arriba a la izquierda) y proyecciones del modelo 4D de 120 celdas a 3D (abajo a la derecha) demuestra dos métodos de proyección en perspectiva relacionados, por analogía dimensional. Los diagramas de Schlegel utilizan la perspectiva para mostrar la profundidad en la dimensión que se ha aplanado, eligiendo un punto de vista sobre una celda específica, convirtiendo así esa celda en la envoltura del modelo, con otras celdas apareciendo más pequeñas en su interior. Las proyecciones estereográficas utilizan el mismo enfoque, pero se muestran con bordes curvos, representando el politopo esférico como un teselado de una 3-esfera . Ambos métodos distorsionan el objeto, porque las celdas no están realmente anidadas unas dentro de otras (se encuentran cara a cara) y todas tienen el mismo tamaño. Existen otros métodos de proyección en perspectiva, como las animaciones rotatorias que se muestran a continuación, que no presentan este tipo particular de distorsión, sino otro tipo de distorsión (como todas las proyecciones).

Animaciones

En todas las proyecciones anteriores de la celda de 120 miembros, solo se ven los bordes. Las demás cuerdas no se muestran. Las partes internas complejas de la celda de 120 miembros, todas sus celdas de 600, 24, 8, 16 y 5 miembros inscritas, son completamente invisibles en todas las ilustraciones. El espectador debe imaginarlas.

La siguiente animación es una excepción, ya que muestra algunas cuerdas de la celda omnitruncada de 120 vértices (idéntica a la celda omnitruncada de 600 vértices dada la simetría de su diagrama de Coxeter-Dynkin), aunque no revela los 4-politopos inscritos. Para una visualización completa de las órbitas de cada sección junto con las órbitas de las subsecciones, consulte este SVG de la celda omnitruncada de 120 de WP Commons .

H 4 politopos

La celda 120 es uno de los 15 politopos regulares y uniformes con la misma simetría H 4 [3,3,5]: [ 47 ]

politopos {p,3,3}

La celda de 120 es similar a tres politopos regulares de 4 dimensiones : la celda de 5 dimensiones {3,3,3} y el teseracto {4,3,3} del espacio euclidiano de 4 dimensiones, y el panal de abejas hexagonal {6,3,3} del espacio hiperbólico. Todos ellos tienen una figura de vértice tetraédrica {3,3}:

politopos {5,3,p}

La estructura de 120 celdas forma parte de una secuencia de 4 politopos y panales con celdas dodecaédricas :

Disminución tetraédrica de 120 células

Dado que la celda de 600 puntos y 120 celdas tiene 5 celdas de 600 puntos inscritas disjuntas, puede disminuirse eliminando una de esas celdas de 120 puntos y 600 celdas, creando un politopo irregular de 480 puntos y 4 celdas. [ bn ]

En el dodecaedro tetraédrico disminuido, 4 vértices se truncan formando triángulos equiláteros. Las 12 caras pentagonales pierden un vértice y se convierten en trapecios.

Cada celda dodecaédrica del 120-celda se reduce al eliminar 4 de sus 20 vértices, creando un poliedro irregular de 16 puntos llamado dodecaedro tetraédricamente reducido porque los 4 vértices eliminados formaban un tetraedro inscrito en el dodecaedro . Dado que la figura del vértice del dodecaedro es el triángulo, cada vértice truncado se reemplaza por un triángulo. Las 12 caras pentagonales se reemplazan por 12 trapecios, ya que se elimina un vértice de cada pentágono y dos de sus aristas se reemplazan por la cuerda diagonal del pentágono. [ en ] El dodecaedro tetraédricamente reducido tiene 16 vértices y 16 caras: 12 caras trapezoidales y cuatro caras triangulares equiláteras.

Dado que la figura del vértice de la celda de 120 es el tetraedro, [ bl ] cada vértice truncado se reemplaza por un tetraedro, lo que deja 120 celdas de dodecaedro tetraédricamente disminuido y 120 celdas de tetraedro regulares. Tanto el dodecaedro regular como el dodecaedro tetraédricamente disminuido tienen 30 aristas, y tanto la celda regular de 120 como la celda tetraédricamente disminuida de 120 tienen 1200 aristas.

La celda 120 disminuida de 480 puntos puede denominarse celda 120 disminuida tetraédricamente porque sus celdas están disminuidas tetraédricamente, o celda 120 disminuida de 600 celdas porque los vértices eliminados formaron una celda 600 inscrita en la celda 120, o incluso celda 120 disminuida regular de 5 celdas porque al eliminar los 120 vértices se elimina un vértice de cada una de las 120 celdas regulares de 5 inscritas, dejando 120 tetraedros regulares. [ d ]

Colector de 120 celdas Davis

La variedad de 120 celdas de Davis , introducida por Davis (1985) , es una variedad hiperbólica compacta de 4 dimensiones obtenida al identificar caras opuestas de la 120-celda, cuya cubierta universal da el panal regular {5,3,3,5} del espacio hiperbólico de 4 dimensiones.

Véase también

Notas

  1. 1 2 3 En la celda de 120 lados, 3 dodecaedros y 3 pentágonos se encuentran en cada arista. 4 dodecaedros, 6 pentágonos y 4 aristas se encuentran en cada vértice. El ángulo diedro (entre los hiperplanos dodecaédricos) es de 144°. [ 3 ]
  2. 1 2 La celda de 120 contiene instancias de todos los politopos convexos regulares de 1, 2, 3 y 4 elementos, excepto los polígonos regulares {7} y ​​superiores, la mayoría de los cuales no aparecen. {10} es una excepción notable que sí aparece . Varios polígonos sesgados regulares{7} y ​​superiores aparecen en la celda de 120, en particular {11}, [ al ] {15} [ z ] y {30}. [ q ]
  3. 1 2 3 Los 4-politopos regulares convexos se pueden ordenar por tamaño como una medida de contenido de 4 dimensiones (hipervolumen) para el mismo radio. Cada politopo mayor en la secuencia es más redondo que su predecesor, encerrando más contenido de 4 dentro del mismo radio. El 4-símplex (5-celda) es el caso límite más pequeño, y la 120-celda es el más grande. La complejidad (medida comparando matrices de configuración o simplemente el número de vértices) sigue el mismo orden. Esto proporciona un esquema de nomenclatura numérica alternativo para politopos regulares en el que la 120-celda es el 4-politopo de 600 puntos: sexto y último en la secuencia ascendente que comienza con el 4-politopo de 5 puntos.
  4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    En el triacontagrama {30/12}=6{5/2} , seis de las 120 celdas regulares disjuntas de longitud de arista √2,5 que están inscritas en la celda de 120 aparecen como seis pentagramas, el polígono de Clifford de la celda de 5. Los 30 vértices comprenden un polígono de Petrie de la celda de 120, [ q ] con 30 aristas en zigzag (no se muestran) y 3 grandes decágonos inscritos (aristas no se muestran) que son paralelos a Clifford al plano de proyección. [ s ]
    Inscritas en la celda de radio unitario 120 hay 120 celdas regulares disjuntas de 5 lados, [ 12 ] de longitud de arista √ 2.5 . Ningún 4-politopo regular excepto la celda de 5 lados y la celda de 120 lados contiene cuerdas de √ 2.5 (la cuerda #8). [ e ] La celda de 120 lados contiene 10 celdas inscritas de 600 lados distintas que pueden tomarse como 5 celdas disjuntas de 600 lados de dos maneras diferentes. Cada cuerda de √ 2.5 conecta dos vértices en celdas disjuntas de 600 lados, y por lo tanto en celdas disjuntas de 24 lados, 8 lados y 16 lados. [ i ] Tanto las aristas de la celda de 5 lados como las aristas de la celda de 120 lados conectan vértices en celdas disjuntas de 600 lados. Los politopos correspondientes del mismo tipo en celdas de 600 disjuntas son paralelos en el sentido de Clifford y están separados por √2,5 . Cada celda de 5 contiene un vértice de cada una de las 5 celdas de 600 disjuntas. [ t ]
  5. 1 2 3 4 Múltiples instancias de cada uno de los 4-politopos convexos regulares pueden inscribirse en cualquiera de sus 4-politopos sucesores más grandes, excepto el más pequeño, el 5-celda regular, que aparece inscrito solo en el más grande, el 120-celda. [ i ] Para comprender la forma en que los 4-politopos se anidan unos dentro de otros, es necesario distinguir cuidadosamente las instancias múltiples disjuntas de las instancias múltiples simplemente distintas de los 4-politopos inscritos. Por ejemplo, la celda de 120 puntos y 600 puntos es la envoltura convexa de un compuesto de 75 celdas de 16 puntos y 8 puntos que son completamente disjuntas: no comparten vértices, y 75 * 8 = 600. Pero también es posible seleccionar 675 celdas de 16 puntos distintas dentro de la celda de 120 puntos, la mayoría de las cuales comparten algunos vértices, porque dos celdas de 16 puntos concéntricas de igual radio pueden rotarse una con respecto a la otra de manera que compartan 2 vértices (un eje), o incluso 4 vértices (un plano cuadrado máximo), mientras que sus vértices restantes no coinciden. [ j ] En el espacio de 4 puntos, cualesquiera dos politopos regulares de 4 puntos congruentes pueden ser concéntricos pero rotados uno con respecto al otro de manera que compartan solo un subconjunto común de sus vértices. Solo en el caso del 4-símplex (la 5-celda regular de 5 puntos) ese subconjunto común de vértices debe estar siempre vacío, a menos que sean los 5 vértices. Es imposible rotar dos 4-símplexes concéntricos uno respecto al otro de tal manera que algunos, pero no todos, sus vértices coincidan: solo pueden coincidir completamente o ser completamente disjuntos. Solo el 4-símplex tiene esta propiedad; la 16-celda, y por extensión cualquier 4-politopo regular mayor, puede estar rotada respecto a sí misma de tal manera que el par comparta algunos, pero no todos, sus vértices. Intuitivamente podemos ver cómo esto se deduce del hecho de que solo el 4-símplex no posee ningún vértice opuesto (ningún eje central de 2 vértices) que pueda ser invariante después de una rotación. La celda de 120 contiene 120 celdas regulares de 5 elementos completamente disjuntas, que son sus únicas celdas regulares de 5 elementos inscritas distintas, pero cualquier otro anidamiento de politopos regulares de 4 elementos presenta un cierto número de politopos de 4 elementos inscritos disjuntos y un mayor número de politopos de 4 elementos inscritos distintos.
  6. ↑ ( Coxeter 1973 ) utiliza la letra griega 𝝓 (phi) para representar uno de los tres ángulos característicos 𝟀, 𝝓, 𝟁 de un politopo regular. Dado que 𝝓 se usa comúnmente para representar la constante de la proporción áurea ≈ 1,618, para la cual Coxeter usa 𝝉 (tau), invertimos las convenciones de Coxeter y usamos 𝝉 para representar el ángulo característico.
  7. ↑ Para obtener las 600 coordenadas mediante la multiplicación cruzada de cuaterniones de las coordenadas de estos tres 4-politopos con menos redundancia, basta con incluir un solo vértice de la celda de 24: ( √ 1/2 , √ 1/2 , 0, 0). [ 9 ]
  8. 1 2 3 4 Los 600 vértices de la celda de 120 vértices se pueden particionar en los de 5 celdas de 600 vértices inscritas disjuntas de 120 vértices de dos maneras diferentes. [ 34 ] La geometría de esta partición 4D es dimensionalmente análoga a la partición 3D de los 20 vértices del dodecaedro en 5 tetraedros inscritos disjuntos, que también se puede hacer de dos maneras diferentes porque cada celda dodecaédrica contiene dos conjuntos opuestos de 5 celdas tetraédricas inscritas disjuntas . La celda de 120 vértices se puede particionar de manera análoga al dodecaedro porque cada una de sus celdas dodecaédricas contiene una celda tetraédrica de cada una de las 10 celdas de 600 vértices inscritas.
  9. 1 2 3 Existe una relación geométrica entre el 5-celular regular (4-símplex) y el 16-celular regular (4-ortoplex), pero se manifiesta solo indirectamente a través del 3-símplex y el 5-ortoplex . Unnorte{\displaystyle n}-símplex está acotado pornorte+1{\displaystyle n+1}vértices ynorte+1{\displaystyle n+1}(norte{\displaystyle n}-1)-facetas simples, y tienenorte+1{\displaystyle n+1}diámetros largos (sus bordes) de longitudnorte+1/norte{\displaystyle {\sqrt {n+1}}/{\sqrt {n}}}radios. Unnorte{\displaystyle n}-ortoplex está delimitado por2norte{\displaystyle 2n}vértices y2norte{\displaystyle 2^{n}}(norte{\displaystyle n}-1)-facetas simples, y tienenorte{\displaystyle n}diámetros largos (sus ejes ortogonales) de longitud2{\displaystyle 2}radios. Unnorte{\displaystyle n}-cubo está delimitado por2norte{\displaystyle 2^{n}}vértices y2norte{\displaystyle 2n}(norte{\displaystyle n}-1)-caras cúbicas, y tiene2norte−1{\displaystyle 2^{n-1}}largos diámetros de longitudnorte{\displaystyle {\sqrt {n}}}radios. [ az ] El3{\displaystyle {\sqrt {3}}}Los diámetros largos del cubo de 3 son más cortos que los del4{\displaystyle {\sqrt {4}}}ejes del 3-ortoplex. Las coordenadas del 4-ortoplex son las permutaciones de(0,0,0,±1){\displaystyle (0,0,0,\pm 1)}y las coordenadas del espacio 4 de una de sus 16 facetas (un 3-símplex) son las permutaciones de(0,0,0,1){\displaystyle (0,0,0,1)}. [ ba ] El4{\displaystyle {\sqrt {4}}}Los diámetros largos del cubo de 4 lados tienen la misma longitud que el4{\displaystyle {\sqrt {4}}}ejes del 4-ortoplex. Las coordenadas del 5-ortoplex son las permutaciones de(0,0,0,0,±1){\displaystyle (0,0,0,0,\pm 1)}y las coordenadas del espacio 5 de una de sus 32 facetas (un 4-símplex) son las permutaciones de(0,0,0,0,1){\displaystyle (0,0,0,0,1)}. [ bb ] El5{\displaystyle {\sqrt {5}}}Los diámetros largos del cubo de 5 son más largos que los del4{\displaystyle {\sqrt {4}}}ejes del 5-ortoplex.
  10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 La celda de 120 tiene 600 vértices distribuidos simétricamente en la superficie de una 3-esfera en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones. Los vértices vienen en pares antipodales, y las líneas que pasan por pares antipodales de vértices definen los 300 rayos [o ejes] de la celda de 120. Llamaremos base a cualquier conjunto de cuatro rayos (o direcciones) mutuamente ortogonales . Los 300 rayos forman 675 bases, con cada rayo apareciendo en 9 bases y siendo ortogonal a sus 27 compañeros distintos en estas bases y a ningún otro rayo. Los rayos y las bases constituyen una configuración geométrica , que en el lenguaje de configuraciones se escribe como 300 9 675 4 para indicar que cada rayo pertenece a 9 bases, y cada base contiene 4 rayos. [ 31 ] Cada base corresponde a una celda distinta de 16 lados que contiene cuatro ejes ortogonales y seis cuadrados máximos ortogonales. Se pueden seleccionar 75 celdas de 16 lados completamente disjuntas que contienen los 600 vértices de la celda de 120 lados de las 675 celdas distintas de 16 lados. [ e ]
  11. 1 2 3 4 5 6 La celda de 120 se puede construir como un compuesto de 5 celdas de 600 disjuntas, [ h ] o 25 celdas de 24 disjuntas, o 75 celdas de 16 disjuntas, o 120 celdas de 5 disjuntas. Excepto en el caso de las 120 celdas de 5, [ e ] estos no son recuentos de todos los 4-politopos regulares distintos que se pueden encontrar inscritos en la celda de 120, solo los recuentos de 4-politopos inscritos completamente disjuntos que cuando se componen forman la envoltura convexa de la celda de 120. La celda de 120 contiene 10 celdas de 600 distintas, 225 celdas de 24 distintas y 675 celdas de 16 distintas. [ j ]
  12. 1 2 Todas las isoclinas de 3 esferas con la misma circunferencia son círculos directamente congruentes. Un círculo máximo ordinario es una isoclina de circunferencia2πr{\displaystyle 2\pi r}; las rotaciones simples de politopos de radio unitario tienen lugar en isoclinas 2𝝅. Las rotaciones dobles pueden tener isoclinas distintas de2πr{\displaystyle 2\pi r}circunferencia. La rotación característica de un 4-politopo regular es la rotación isoclínica, en la que los planos centrales que contienen sus aristas son planos de rotación invariantes. Los politopos de 16 y 24 celdas rotan sobre isoclinas de circunferencia 4π. El politopo de 600 celdas rota sobre isoclinas de circunferencia 5π.
  13. 1 2 3 4 5 6 7 8 Una isoclina es un círculo máximo cerrado, curvo y helicoidal que pasa por las cuatro dimensiones. A diferencia de un círculo máximo ordinario, no se encuentra en un solo plano central, pero como cualquier círculo máximo, cuando se observa dentro del espacio curvo tridimensional de la superficie límite del 4-politopo, es una línea recta , una geodésica . Tanto los círculos máximos ordinarios como los círculos máximos isoclínicos son helicoidales en el sentido de que haces paralelos de círculos máximos están enlazados y se enrollan en espiral alrededor de sí mismos, pero ninguno está realmente retorcido (no tienen torsión inherente). Su curvatura no es propia, sino una propiedad de la curvatura natural de la 3-esfera, dentro de la cual el espacio curvo son segmentos de línea recta finitos (cerrados). [ l ] Para evitar confusiones, siempre nos referimos a una isoclina como tal, y reservamos el término círculo máximo para un círculo máximo ordinario en el plano.
  14. 1 2 3 4 5 Una rotación isoclínica [ o ] es una doble rotación con ángulo de rotación equirregularen dos planos centrales de rotación invariantes completamente ortogonales al mismo tiempo. Cada rotación isoclínica discreta tiene dos arcoángulos característicos (longitudes de cuerda), su ángulo de rotación y su ángulo de isoclina . [ x ] En cada paso de rotación incremental de un vértice a un vértice vecino, cada plano de rotación invariante rota por el ángulo de rotación y también se inclina lateralmente (como una moneda que se lanza) por un ángulo de rotación igual. [ am ] Así, cada vértice rota en un círculo máximo por un incremento de ángulo de rotación, mientras que simultáneamente todo el círculo máximo rota con el círculo máximo completamente ortogonal por un incremento de ángulo de rotación igual. [ ap ] El producto de estos dos incrementos de rotación simultáneos e iguales del círculo máximo es un desplazamiento total de cada vértice por el incremento del ángulo de isoclina (la longitud de cuerda de la isoclina). Así, el ángulo de rotación mide el desplazamiento del vértice en el sistema de referencia de un círculo máximo en movimiento, y también el desplazamiento lateral de dicho círculo máximo (la distancia entre el polígono del círculo máximo y el polígono del círculo máximo paralelo a Clifford adyacente al que lo lleva la rotación) en el sistema de referencia estacionario. La longitud de la cuerda isoclina es el desplazamiento total del vértice en el sistema de referencia estacionario, que es una cuerda oblicua entre los dos polígonos del círculo máximo (la distancia entre sus vértices correspondientes en la rotación).
  15. 1 2 3 4 5 6 Se requieren dos ángulos para especificar la separación entre dos planos en el espacio de 4 dimensiones. [ 11 ] Si los dos ángulos son idénticos, los dos planos se denominan isoclínicos (también paralelos de Clifford ) y se intersecan en un único punto. En las rotaciones dobles , los puntos giran dentro de planos centrales invariantes de rotación por algún ángulo, y todo el plano central invariante de rotación también se inclina lateralmente (en un plano central invariante ortogonal de rotación) por algún ángulo. Por lo tanto, cada vértice recorre una curva suave helicoidal llamada isoclina [ m ] entre dos puntos en planos centrales diferentes, mientras recorre un círculo máximo ordinario en cada uno de los dos planos centrales ortogonales (a medida que los planos se inclinan con respecto a sus planos originales). Si los dos ángulos ortogonales son idénticos, la distancia recorrida a lo largo de cada círculo máximo es la misma, y ​​la rotación doble se denomina isoclínica (también un desplazamiento de Clifford ). Una rotación que lleva planos centrales isoclínicos entre sí es una rotación isoclínica. [ n ]
  16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 El plano central invariante de la rotación isoclínica característica de la celda de 120 [ z ] contiene un hexágono grande irregular {6} con aristas alternas de dos longitudes diferentes: 3 aristas de celda de 120 de longitud 𝜁 = √ 𝜀 (cuerdas #1), y 3 aristas regulares inscritas de 5 celdas de longitud √ 2.5 (cuerdas #8). Estas son, respectivamente, las aristas más cortas y más largas de cualquier 4-politopo regular. [ ab ] Cada hexágono grande irregular se encuentra completamente ortogonal a otro hexágono grande irregular. [ ac ] La celda 120 contiene 400 hexágonos grandes irregulares distintos (200 pares completamente ortogonales), que pueden particionarse en 100 hexágonos grandes irregulares disjuntos (una fibración discreta de la celda 120) de cuatro maneras diferentes. Cada fibración tiene su rotación isoclínica izquierda (y derecha) distinta en 50 pares de planos centrales invariantes completamente ortogonales. Dos hexágonos grandes irregulares ocupan el mismo plano central, en posiciones alternas, al igual que dos pentágonos grandes ocupan un plano de un decágono grande. Los dos hexágonos grandes irregulares forman un dodecágono grande irregular , un polígono de círculo máximo compuesto de la celda 120 .
  17. 1 2 3 4 5 6 7
    En el triacontagrama {30/9}=3{10/3} vemos el polígono de Petrie de 120 celdas (en la circunferencia del 30-gono, con aristas de 120 celdas no mostradas) como un compuesto de tres grandes decágonos paralelos de Clifford de 600 celdas (vistos como tres decagramas {10/3} disjuntos) que se enrollan en espiral alrededor del otro. Las aristas de 600 celdas (cuerdas #3) conectan vértices que están separados por 3 aristas de 600 celdas (en un círculo máximo) y por 9 aristas de 120 celdas (en un polígono de Petrie). Los tres grandes decágonos {10/3} disjuntos de aristas de 600 celdas delimitan un único anillo de tetraedros de 30 celdas de hélice de Boerdijk-Coxeter de un 600-gono inscrito.
    Los polígonos de Petrie de 120 y 600 celdas tienen polígonos de 30 gon. [ ag ] Son dos hélices de 30 gon sesgadas distintas, compuestas por 30 aristas de 120 celdas (cuerdas #1) y 30 aristas de 600 celdas (cuerdas #3) respectivamente, pero aparecen en pares completamente ortogonales que se enrollan en espiral alrededor del mismo eje del círculo máximo de 0 gon. La hélice de Petrie de 120 celdas se enrolla más cerca del eje que la hélice de Petrie de 600 celdas , porque sus 30 aristas son más cortas que las 30 aristas de 600 celdas (y zigzaguean en ángulos menos agudos). Un par dual [ ag ] de estas hélices de Petrie de radios diferentes que comparten un eje no tienen ningún vértice en común; son completamente disjuntas. [ ak ] La hélice de Petrie de 120 celdas (frente a la hélice de Petrie de 600 celdas) gira alrededor del eje del polígono 0 veces (frente a 11 veces) en el transcurso de una órbita circular, formando un poligrama sesgado {30/9}=3{10/3} (frente a un poligrama sesgado {30/11} ). [ al ]
  18. ↑ En 600 celdas § Decágonos y pentadecagramas , vea la ilustración del triacontagrama {30/6}=6{5} .
  19. 1 2 3 Inscritos en los 3 grandes decágonos paralelos de Clifford de cada polígono helicoidal de Petrie de la celda de 120 [ d ] hay 6 grandes pentágonos [ r ] en los que los 6 pentagramas (celdas regulares de 5) parecen estar inscritos, pero los pentagramas están sesgados (no son paralelos al plano de proyección); cada celda de 5 tiene en realidad vértices en 5 planos centrales de decágono-pentágono diferentes en 5 celdas de 600 completamente disjuntas.
  20. 1 2 Las 120 celdas regulares de 5 miembros son completamente disjuntas. Cada celda de 5 miembros contiene dos pentágonos de Petrie distintos de sus aristas #8, circuitos pentagonales que unen 5 celdas disjuntas de 600 miembros en una rotación isoclínica distinta característica de la celda de 5 miembros. Pero los vértices de dos celdas de 5 miembros disjuntas no están conectados por aristas de 5 miembros, por lo que cada circuito distinto de cuerdas #8 está confinado a una sola celda de 5 miembros, y no hay otros circuitos de aristas de 5 miembros (cuerdas #8) en la celda de 120 miembros.
  21. ↑ Cada isoclina de pentadecagrama blanco o negro actúa como una isoclina derecha en una rotación isoclínica derecha distinta y como una isoclina izquierda en una rotación isoclínica izquierda distinta, pero las isoclinas no tienen quiralidad inherente. [ m ] Ninguna isoclina es a la vez una isoclina derecha e izquierda de la misma rotación izquierda-derecha discreta (la misma fibración).
  22. 1 2 3 La rotación isoclínica característica de la celda 120, en los planos invariantes en los que se encuentran sus aristas (cuerdas #1), lleva esas aristas a aristas similares en planos centrales paralelos de Clifford. Dado que una rotación isoclínica [ n ] es una rotación doble (en dos planos centrales invariantes completamente ortogonales a la vez), en cada paso de rotación incremental de vértice a vértice vecino los vértices viajan entre planos centrales en isoclinas de círculo máximo helicoidal, no en círculos máximos ordinarios, [ m ] sobre una cuerda isoclínica que en esta rotación particular es una cuerda #4 de 44,5° de longitud de arco. [ aq ]
  23. 1 2 3 La isoclina característica [ m ] de la celda de 120 es un pentadecagrama sesgado de 15 cuerdas #4. Las sucesivas cuerdas #4 de cada pentadecagrama se encuentran en diferentes planos centrales △ que están inclinados isoclínicamente entre sí a 12°, que es 1/30 de un círculo máximo (pero no el arco de una arista de la celda de 120, la cuerda #1). [ ad ] Esto significa que los dos planos están separados por dos ángulos iguales de 12°, [ o ] y están ocupados por polígonos máximos paralelos de Clifford adyacentes (hexágonos máximos irregulares) cuyos vértices correspondientes están unidos por cuerdas #4 oblicuas. Los vértices sucesivos de cada pentadecagrama son vértices en celdas de 5 completamente disjuntas. Cada pentadecagrama es un camino de cuerda #4 [ y ] que visita 15 vértices pertenecientes a tres celdas de 5 diferentes. Los dos pentadecagramas mostrados en la proyección {30/8}=2{15/4} [ z ] visitan las seis 5-celdas que aparecen como seis pentagramas disjuntos en la proyección {30/12}=6{5/2}. [ d ]
  24. 1 2 3 Cada clase de rotación isoclínica discreta [ n ] se caracteriza por sus ángulos de rotación e isoclina y por qué conjunto de planos centrales paralelos de Clifford son sus planos de rotación invariantes. La rotación isoclínica característica de un 4-politopo es la clase de rotación isoclínica discreta en la que el conjunto de planos de rotación invariantes contiene las aristas del 4-politopo; hay una rotación izquierda (y derecha) distinta para cada conjunto de planos centrales paralelos de Clifford (cada fibración de Hopf de los planos de arista). Si las aristas del 4-politopo forman círculos máximos regulares, el ángulo de rotación de la rotación característica es simplemente el arcoángulo de la arista (la cuerda de la arista es simplemente la cuerda de rotación). Pero en un 4-politopo regular con una figura de vértice tetraédrica [ y ] las aristas no forman círculos máximos regulares, sino que forman círculos máximos irregulares en combinación con otra cuerda. Por ejemplo, las aristas de la cuerda n.° 1 de la celda de 120 son aristas de un gran dodecágono irregular que también tiene aristas de la cuerda n.° 4. En un politopo de 4 lados como este, el ángulo de rotación no es el ángulo del arco de la arista; de hecho, no es necesariamente el arco de ninguna cuerda de vértice. [ ad ]
  25. 1 2 3 4 Los politopos de 5, 8 y 120 celdas tienen figuras de vértice tetraédricas. En un politopo de 4 con una figura de vértice tetraédrica, un camino a lo largo de las aristas no se encuentra en un círculo máximo ordinario en un solo plano central: cada arista sucesiva se encuentra en un plano central diferente al de la arista anterior. En el politopo de 120 celdas, el camino circunferencial de 30 aristas a lo largo de las aristas sigue un polígono de Petrie sesgado en zigzag, que no es un círculo máximo. Sin embargo, existe un camino circunferencial de 15 cuerdas que es un verdadero círculo máximo geodésico que pasa por esos 15 vértices: pero no es un círculo máximo "plano" ordinario de circunferencia 2𝝅𝑟, es una isoclina helicoidal [ m ] que se dobla en un círculo en dos planos centrales completamente ortogonales a la vez, girando a través de cuatro dimensiones en lugar de estar confinada a un plano bidimensional. [ w ] El conjunto de cuerdas oblicuas de una isoclina se llama su polígono de Clifford . [ ae ]
  26. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    En el triacontagrama {30/8}=2{15/4} , se observan dos isoclinas de pentadecagrama disjuntas: una isoclina negra y una blanca (mostradas aquí como naranja y amarillo pálido) de la rotación isoclínica característica de la celda de 120. [ u ] Las aristas del pentadecagrama son cuerdas n.° 4 [ v ] que unen vértices que están separados por 8 vértices en la circunferencia de 30 vértices de esta proyección, el polígono de Petrie en zigzag. [ w ]
    La rotación isoclínica característica [ x ] de la celda de 120 se produce en los planos invariantes de sus 1200 aristas [ y ] y las 1200 aristas opuestas de sus celdas regulares de 5 inscritas . [ p ] Hay cuatro rotaciones isoclínicas derechas (e izquierdas) características distintas, cada par izquierda-derecha corresponde a una fibración de Hopf discreta . [ 13 ] En cada rotación, los 600 vértices circulan sobre isoclinas helicoidales de 15 vértices, siguiendo un círculo geodésico [ m ] con 15 cuerdas que forman un pentadecagrama {15/4}. [ w ]
  27. 1 2 3 4 5
    El polígono de Petrie de la celda 120 es un triacóntagonal regular sesgado {30}. [ af ] Los 30 bordes de la cuerda #1 no se encuentran todos en el mismo polígono de círculo máximo {30}, sino que se encuentran en grupos de 6 (igualmente espaciados alrededor de la circunferencia) en 5 polígonos de círculo máximo {12} paralelos de Clifford.
    El 120-gono contiene 80 polígonos de Petrie de 30-gonos distintos de sus 1200 aristas, y puede particionarse en 20 polígonos de Petrie de 30-gonos disjuntos. [ ag ] El Petrie de 30-gonos gira alrededor de su eje de círculo máximo de 0-gonos 9 veces en el curso de una órbita circular, y puede verse como un triacontagrama compuesto {30/9}=3{10/3} de aristas de 600-gonos (cuerdas #3) que unen pares de vértices que están separados por 9 vértices en el polígono de Petrie. [ q ] El {30/9}-grama (con sus aristas de cuerda #3) es una secuencia alternativa de los mismos 30 vértices que el Petrie de 30-gonos (con sus aristas de cuerda #1).
  28. ↑ Cada cuerda de √2,5 está formada por 8 aristas en zigzag de un polígono de Petrie de 30 lados, [ aa ] ninguna de las cuales se encuentra en el círculo máximo del hexágono máximo irregular. Alternativamente, la cuerda de √2,5 está formada por 9 aristas en zigzag, una de las cuales (sobre su punto medio) sí se encuentra en el mismo círculo máximo. [ p ]
  29. 1 2 Aunque perpendiculares y enlazados (como eslabones adyacentes en una cadena tensa), los polígonos grandes completamente ortogonales también son paralelos y se encuentran exactamente opuestos entre sí en el 4-politopo, en planos que no se intersecan excepto en un punto, el centro común de los dos círculos enlazados.
  30. 1 2 3 4 En las rotaciones isoclínicas de la celda 120, el arco-ángulo de rotación es de 12° (1/30 de un círculo), no el arco de 15,5 ~° de la cuerda de la arista #1. Independientemente de cuáles sean los planos centrales los planos de rotación invariantes, cualquier rotación isoclínica de la celda 120 por 12° llevará el polígono mayor en cada plano central a un polígono mayor congruente en un plano central paralelo a Clifford que está a 12° de distancia. Los polígonos mayores paralelos a Clifford adyacentes (de cualquier tipo) son completamente disjuntos, y sus vértices más cercanos están conectados por dos aristas de la celda 120 (cuerdas #1 de longitud de arco de 15,5 ~°). El ángulo de rotación de 12° no es el arco de ninguna cuerda de vértice a vértice en la celda 120. Ocurre únicamente como los dos ángulos iguales entre planos centrales paralelos de Clifford adyacentes , [ o ] y es la separación entre planos de rotación adyacentes en todas las diversas rotaciones isoclínicas de la celda 120 (no solo en su rotación característica).
  31. 1 2 La trayectoria de cuerda de una isoclina [ m ] puede denominarse polígono de Clifford del 4-politopo , ya que es la forma de poligrama sesgado de los círculos de rotación recorridos por los vértices del 4-politopo en su desplazamiento característico de Clifford . [ o ]
  32. 1 2 La circunferencia de 30 aristas de la celda de 120 sigue un polígono de Petrie sesgado, no un polígono de círculo máximo. El polígono de Petrie de cualquier politopo de 4 lados es una hélice en zigzag que se enrolla en espiral a través del espacio curvo de 3 lados de la superficie del politopo de 4 lados. [ ah ] Las 15 cuerdas numeradas de la celda de 120 se presentan como la distancia entre dos vértices en ese anillo helicoidal de 30 vértices. [ ai ] Esas 15 distancias pitagóricas distintas a través del espacio de 4 lados van desde la longitud de la arista de la celda de 120 que une dos vértices cualesquiera más cercanos en el anillo (la cuerda n.° 1), hasta la longitud del eje de la celda de 120 (diámetro) que une dos vértices antipodales (más distantes) cualesquiera en el anillo (la cuerda n.° 15).
  33. 1 2 3 El polígono sesgado regular de 30 lados es el polígono de Petrie de la celda de 600 lados y su dual la celda de 120 lados. Los polígonos de Petrie de la celda de 120 lados aparecen en la celda de 600 lados como duales de los anillos helicoidales de Boerdijk-Coxeter de 30 lados (los polígonos de Petrie de la celda de 600 lados): [ al ] conectando sus 30 centros de celdas tetraédricas juntos se producen los polígonos de Petrie de la celda dual de 120 lados, como lo notó Rolfdieter Frank (alrededor de 2001). Así descubrió que el conjunto de vértices de la celda de 120 lados se divide en 20 polígonos de Petrie que no se intersecan. Este conjunto de 20 polígonos sesgados paralelos de Clifford disjuntos es una fibración discreta de Hopf de la celda de 120 lados (así como sus 20 anillos duales de 30 lados son una fibración discreta de la celda de 600 lados ). [ q ]
  34. ↑ El polígono de Petrie de un 3-politopo (poliedro) con caras triangulares (por ejemplo, un icosaedro) puede verse como una tira lineal de caras unidas por aristas doblada en un anillo. Dentro de esa tira circular de triángulos unidos por aristas (10 en el caso del icosaedro) el polígono de Petrie puede distinguirse como un polígono oblicuo de aristas que zigzaguean (no giran en círculo) a través del espacio 2 de la superficie del poliedro: doblando alternativamente a la izquierda y a la derecha, y haciendo eslalon alrededor de un eje de círculo máximo que pasa por los triángulos pero no interseca ningún vértice. El polígono de Petrie de un 4-politopo (policorón) con celdas tetraédricas (por ejemplo, una celda 600) puede verse como una hélice lineal de celdas unidas por caras doblada en un anillo: un anillo de hélice de Boerdijk-Coxeter . Dentro de esa hélice circular de tetraedros unidos por caras (30 en el caso de la celda de 600), el polígono de Petrie sesgado se puede distinguir como una hélice de aristas que zigzaguean (no que forman un círculo) a través del espacio tridimensional de la superficie del policoro: doblando alternativamente hacia la izquierda y hacia la derecha, y girando en espiral alrededor de un eje de círculo máximo que pasa a través de los tetraedros pero no interseca ningún vértice.
  35. 1 2 3 4 5 6 7 8 La celda 120 contiene más cuerdas que las 15 cuerdas numeradas del #1 al #15, pero las cuerdas adicionales aparecen solo en el interior de la celda 120, no como aristas de ninguno de los seis 4-politopos convexos regulares o sus característicos anillos de círculo máximo. Las 15 cuerdas mayores están numeradas así porque la cuerda # n conecta dos vértices que están separados por n longitudes de arista en un polígono de Petrie de la celda 120. Las 15 cuerdas mayores se encuentran en círculos máximos en planos centrales que contienen polígonos regulares e irregulares de {4}, {10} o {12} vértices. Hay 30 distancias de cuerda distintas de 4 espacios entre vértices de la celda 120 (15 pares de complementos de 180°), incluyendo #15 el diámetro de 180° (y su complemento la cuerda de 0°). Los 15 acordes menores se encuentran en círculos máximos rectangulares {4} y no aparecen en ningún otro lugar que no sea dentro de la celda de 120 grados. En este artículo, nombramos los 15 acordes menores no numerados por sus ángulos de arco, por ejemplo, 41,4° que, con una longitud de √0,5 , se encuentra entre los acordes #3 y #4.
  36. 1 2 Las aristas √ 2 y las rotaciones características 4𝝅 [ l ] de la celda de 16 lados se encuentran en los planos centrales del cuadrado máximo ☐; las rotaciones de este tipo son una expresión del grupo de simetríaB4{\displaystyle B_{4}}. Las aristas √ 1 , las cuerdas √ 3 y las rotaciones características 4𝝅 de la celda 24 se encuentran en los planos centrales del triángulo mayor (hexágono mayor) △; las rotaciones de este tipo son una expresión de laF4{\displaystyle F_{4}}grupo de simetría. Las aristas y las rotaciones características 5𝝅 de la celda 600 se encuentran en los planos centrales del pentágono mayor (decágono mayor) 𝜙; estas cuerdas son funciones de √ 5 , y las rotaciones de este tipo son una expresión del grupo de simetría.H4{\displaystyle H_{4}}. Los polígonos y las rotaciones características de la celda regular de 5 celdas no se encuentran en un único plano central; describen un pentagrama sesgado ✩ o un poligrama sesgado mayor y solo forman polígonos de caras, no polígonos centrales; las rotaciones de este tipo son expresiones de laA4{\displaystyle A_{4}}grupo de simetría.
  37. 1 2 "En un punto de contacto, [los elementos de un politopo regular y los elementos de su dual en el que está inscrito de alguna manera] se encuentran en subespacios completamente ortogonales del hiperplano tangente a la esfera [de reciprocidad], por lo que su único punto común es el punto de contacto mismo... De hecho, los [diversos] radios 0 𝑹, 1 𝑹, 2 𝑹, ... determinan los politopos ... cuyos vértices son los centros de los elementos 𝐈𝐈 0 , 𝐈𝐈 1 , 𝐈𝐈 2 , ... del politopo original." [ 16 ]
  38. 1 2 3 4
    El polígono de Petrie de las 600 celdas inscritas se puede observar en esta proyección sobre el plano de un triacontagrama {30/11}, un triacontagrama de 30-gramas formado por cuerdas #11. El Petrie de 600 celdas es un anillo helicoidal que se enrolla sobre su propio eje 11 veces. Esta proyección a lo largo del eje del cilindro anular muestra los 30 vértices separados 12° alrededor de la sección transversal circular del cilindro, con cuerdas #11 que conectan cada 11.º vértice en el círculo. Las aristas de las 600 celdas (cuerdas #3), que son las aristas del polígono de Petrie, no se muestran en esta ilustración, pero podrían dibujarse alrededor de la circunferencia, conectando cada 3.er vértice.
    El polígono de Petrie de 600 celdas es un anillo helicoidal que gira alrededor de su eje de círculo máximo de 0-gonos 11 veces en el transcurso de una órbita circular. Proyectado sobre el plano completamente ortogonal al plano de 0-gonos, el polígono de Petrie de 600 celdas puede verse como un triacontagrama {30/11} de 30 cuerdas #11 que unen pares de vértices que están separados por 11 vértices en la circunferencia de la proyección. [ 17 ] El {30/11}-grama (con sus aristas de cuerda #11) es una secuencia alternativa de los mismos 30 vértices que el 30-gono de Petrie (con sus aristas de cuerda #3).
  39. ↑ En una rotación isoclínica , cada plano invariante es paralelo al plano al que se desplaza, y no se intersecan en ningún momento (excepto en el punto central). En una rotación simple , el plano invariante interseca al plano al que se desplaza mediante una línea recta, y se desplaza hacia él girando alrededor de dicha línea.
  40. ↑ El plano en el que un plano invariante completo rota (se inclina lateralmente) es (incompletamente) ortogonal a ambos planos invariantes completamente ortogonales, y también paralelo a Clifford a ambos. [ ac ]
  41. ↑ La rotación isoclínica de 90 grados de dos planos completamente ortogonales los lleva uno al otro. En tal rotación de un 4-politopo rígido, los 6 planos ortogonales giran 90 grados y también se inclinan lateralmente 90 grados con respecto a su plano completamente ortogonal (paralelo de Clifford). [ 18 ] Los vértices correspondientes de los dos polígonos mayores completamente ortogonales están separados por √ 4 (180°); los polígonos mayores (politopos paralelos de Clifford) están separados por √ 4 (180°); pero los dos planos completamente ortogonalesestán separados por 90°, en los dos ángulos ortogonales que los separan. [ o ] Si la rotación isoclínica continúa otros 90°, cada vértice completa una rotación de 360° y cada polígono grande regresa a su plano original, pero en una orientación diferente (ejes intercambiados): se ha puesto "boca abajo" sobre la superficie del 4-politopo (que ahora está "al revés"). Continuar con una segunda rotación isoclínica de 360° (a través de cuatro pasos isoclínicos de 90° por 90°, una rotación de 720°) devuelve todo a su lugar y orientación originales.
  42. ↑ Es más fácil visualizar esto incorrectamente , porque los círculos máximos completamente ortogonales son paralelos de Clifford y no se intersecan (excepto en el punto central). Tampoco lo hacen el plano invariante y el plano al que se mueve. Un plano invariante se inclina lateralmente en un plano central ortogonal que no es su plano completamente ortogonal, pero es paralelo de Clifford a él. Gira con su plano completamente ortogonal, pero no en él. Es paralelo de Clifford a su plano completamente ortogonal y al plano al que se mueve, y no los interseca; el plano en el que gira es ortogonal a todos estos planos y los interseca a todos. [ an ] En la rotación característica de la celda 120, [ z ] cada plano de rotación invariante es paralelo de Clifford a su plano completamente ortogonal, pero no adyacente a él; alcanza primero algún otro plano paralelo (el más cercano). Pero si la rotación isoclínica que la lleva a través de sucesivos planos paralelos de Clifford se continúa a través de 90°, los vértices se habrán movido 180° y el plano de rotación inclinado alcanzará su plano (original) completamente ortogonal. [ ao ]
  43. 1 2 La cuerda isoclina de la rotación característica de la celda 120 [ z ] es la cuerda n.° 4 de un ángulo de arco de 44,5° (el lado más grande del gran dodecágono irregular), porque en esa rotación isoclínica por dos ángulos de rotación iguales de 12° [ ad ] cada vértice se mueve a otro vértice a 4 longitudes de arista de distancia en un polígono de Petrie, y la trayectoria geodésica circular sobre la que rota (su isoclina) [ m ] no interseca ningún vértice más cercano.
  44. 1 2 Las longitudes de cuerda de raíz cuadrada fraccionaria se dan como fracciones decimales donde: 𝚽 ≈ 0.618 es la razón áurea inversa ⁠ 1 / φ ⁠ 𝚫 = 1 - 𝚽 = 𝚽 2 = ⁠ 1 / φ 2 ⁠ ≈ 0.382 𝜀 = 𝚫 2 /2 = ⁠ 1 / 2φ 4 ⁠ ≈ 0.073 y la longitud de arista de 120 celdas es: 𝛇 = √ 𝜀 = ⁠ 1 / φ 2 √ 2 ⁠ ≈ 0.270 Por ejemplo: 𝛇 = √ 𝜀 = √ 0.073~ ≈ 0,270          
  45. 1 2 3 4 En la celda dodecaédrica de la celda 120 de radio unitario, la longitud de la arista (la cuerda n.° 1 de la celda 120) es ⁠ 1 / φ 2 √ 2 ⁠ ≈ 0,270. Ocho vértices naranjas se encuentran en las coordenadas cartesianas (±φ 3 √ 8 , ±φ 3 √ 8 , ±φ 3 √ 8 ) con respecto al origen en el centro de la celda. Forman un cubo (líneas punteadas) de longitud de arista ⁠ 1 / φ √ 2 ⁠ ≈ 0,437 (la diagonal del pentágono y la cuerda n.° 2 de la celda 120). Las diagonales de las caras del cubo (no se muestran) con una longitud de arista de ⁠ 1 / φ ⁠ ≈ 0,618 son las aristas de las celdas tetraédricas inscritas en el cubo (aristas de la celda de 600 y la cuerda n.° 3 de la celda de 120). El diámetro del dodecaedro es ⁠ √ 3 / φ √ 2 ⁠ ≈ 0,757 (la diagonal del cubo y la cuerda n.° 4 de la celda de 120).
  46. 1 2 La diagonal del pentágono de la cara (la cuerda n.° 2) está en proporción áurea φ ≈ 1,618 con respecto a la arista del pentágono de la cara (la arista de 120 celdas, la cuerda n.° 1). [ como ]
  47. 1 2 3 La cuerda n.° 2 une vértices que están separados por 2 longitudes de arista: los vértices de la figura tetraédrica del vértice de la celda 120, la segunda sección de la celda 120 que comienza con un vértice, denotada 1 0 . Las cuerdas n.° 2 son las aristas de este tetraedro, y las cuerdas n.° 1 son sus radios largos. Las cuerdas n.° 2 también son cuerdas diagonales de las caras pentagonales de la celda 120. [ en ]
  48. 1 2 3 4
    Triacontagrama {30/5}=5{6} , el 30-gono de Petrie sesgado de 120 celdas como compuesto de 5 grandes hexágonos.
    Cada arista del hexágono grande es el eje de un zigzag de 5 aristas de 120 celdas. El polígono de Petrie de 120 celdas es un zigzag helicoidal de 30 aristas de 120 celdas, que gira en espiral alrededor de un eje de círculo máximo de 0-gonos que no interseca ningún vértice. [ q ] Hay 5 hexágonos grandes inscritos en cada polígono de Petrie, en cinco planos centrales diferentes.
  49. ↑ El polígono de Petrie de la 5-celda es el pentagrama {5/2}. El polígono de Petrie de la 120-celda es el triacontago {30}, y una de sus muchas proyecciones al plano es el triacontago {30/12}=6{5/2}. [ aa ] Cada 6{5/2}-grama de Petrie de 120-celdas es completamente ortogonal a seis {5/2}-gramas de Petrie de 5-celdas, que pertenecen a seis de las 120 5-celdas regulares disjuntas inscritas en la 120-celda. [ d ]
  50. ↑ La suma de los cuadrados de las longitudes de todas las cuerdas distintas de cualquier n-politopo convexo regular de radio unitario es el cuadrado del número de vértices. [ 19 ]
  51. ↑ Los dodecaedros emergen como características visibles en la celda de 120, pero también aparecen en la celda de 600 comopolitopos interiores . [ 22 ]
  52. ↑ Elnorte{\displaystyle n}-Las facetas del simplex son más grandes que lasnorte{\displaystyle n}-facetas de orthoplex. Paranorte=4{\displaystyle n=4}, las longitudes de los bordes de las celdas de 5, 16 y 8 están en la proporción de5{\displaystyle {\sqrt {5}}}a4{\displaystyle {\sqrt {4}}}a2{\displaystyle {\sqrt {2}}}.
  53. ↑ Cada 3-faceta del 4-ortoplex, un tetraedro permutando(0,0,0,1){\displaystyle (0,0,0,1)}y su permutación de 3 facetas completamente ortogonal(0,0,0,−1){\displaystyle (0,0,0,-1)}, comprenden los 8 vértices del 4-ortoplexo. De manera única, el 4-ortoplexo es también el 4- demicubo , la mitad de los vértices del 4-cubo. Esta relación entre el 4-símplex, el 4-ortoplexo y el 4-cubo es única paranorte=4{\displaystyle n=4}Las facetas 3-símplex completamente ortogonales del 4-ortoplex son un par de 3-demicubes que ocupan vértices alternos de 3-cubos completamente ortogonales en el mismo 4-cubo. Proyectadas ortogonalmente en el mismo 3-hiperplano, las dos 3-facetas serían dos tetraedros inscritos en el mismo 3-cubo. (En términos más generales, los politopos completamente ortogonales son reflejos especulares entre sí).
  54. ↑ Cada 4-faceta del 5-ortoplex, una permutación de 4-símplex (5-celda)(0,0,0,0,1){\displaystyle (0,0,0,0,1)}y su permutación de 4 facetas completamente ortogonal(0,0,0,0,−1){\displaystyle (0,0,0,0,-1)}, comprenden los 10 vértices del 5-ortoplex.
  55. ↑ Ningún par de vértices de ninguna de las 120 celdas de 5 dimensiones (ningún plano central de digon mayor de una celda de 5 dimensiones ) aparece en ninguna de las 675 celdas de 16 dimensiones (los 675 conjuntos de bases cartesianas de 6 planos centrales ortogonales ). [ j ]
  56. ↑ Una celda de 24 lados contiene 16 hexágonos. En la celda de 600 lados, con 25 celdas de 24 lados, cada celda de 24 lados es disjunta de 8 celdas de 24 lados e interseca cada una de las otras 16 celdas de 24 lados en seis vértices que forman un hexágono. [ 23 ] Una celda de 600 lados contiene 25 × 16 / 2 = 200 de esos hexágonos.
  57. 1 2 En la celda de 120, cada celda de 24 pertenece a dos celdas de 600 diferentes. [ 28 ] La celda de 120 contiene 225 celdas de 24 distintas y se puede particionar en 25 celdas de 24 disjuntas, por lo que es la envoltura convexa de un compuesto de 25 celdas de 24. [ 29 ]
  58. ↑ Cada gran hexágono regular es compartido por dos celdas de 24 en la misma celda de 600, [ bd ] y cada celda de 24 es compartida por dos celdas de 600. [ be ] Cada hexágono regular es compartido por cuatro celdas de 600.
  59. ↑ En el espacio tridimensional curvo de la superficie de la celda de 120 celdas, cada uno de los 600 vértices está rodeado por 15 pares de secciones poliédricas, cada sección a la distancia radial de una de las 30 cuerdas distintas. El vértice no se encuentra realmente en el centro del poliedro, ya que está desplazado en la cuarta dimensión fuera del hiperplano de la sección, de modo que el vértice del ápice y su poliedro base circundante forman una pirámide poliédrica . La cuerda característica es radial alrededor del ápice, como las aristas laterales de la pirámide.
  60. ↑ Las rotaciones isoclínicas llevan los planos paralelos de Clifford entre sí, como los planos de rotación se inclinan lateralmente como monedas que se lanzan. [ n ] El puente de cuerda #4 [ v ] es significativo en una rotación isoclínica enhexágonos grandes regulares ( la rotación característica de la 24-celda ), en la que los planos de rotación invariantes son un subconjunto de los mismos 200 planos centrales de dodecágono que la rotación característica de la 120-celda (enhexágonos grandes irregulares ). [ z ] En cada arco de 12° [ aq ] de la rotación característica de la 24-celda de la 120-celda, cada vértice de un hexágono grande regular se desplaza a otro vértice, en un hexágono grande regular paralelo de Clifford que está a una cuerda #4 de distancia. Los hexágonos grandes regulares paralelos de Clifford adyacentes tienen seis pares de vértices correspondientes unidos por cuerdas #4. Las seis cuerdas #4 son aristas de seis rectángulos máximos distintos en seis planos centrales dodecagonales disjuntos que son paralelos entre sí según Clifford.
  61. ↑ Esta ilustración muestra solo uno de tres grandes dodecágonos irregulares relacionados que se encuentran en tres planos centrales distintos. Dos de ellos (no mostrados) se encuentran en planos dodecagonales paralelos a Clifford (disjuntos) y no comparten vértices. El rectángulo central azul de aristas n.° 4 y n.° 11 se encuentra en un tercer plano dodecagonal, que no es paralelo a Clifford a ninguno de los dos planos dodecagonales disjuntos y los interseca a ambos; comparte dos vértices (un eje √4 del rectángulo) con cada uno de ellos. Cada plano dodecagonal contiene dos grandes hexágonos irregulares en posiciones alternas (no mostrados). Por lo tanto , cada cuerda n.° 4 del gran rectángulo mostrado es un puente entre dos grandes hexágonos irregulares paralelos a Clifford que se encuentran en los dos planos dodecagonales que no se muestran. [ bh ]
  62. ↑ La celda regular de 5 lados tiene solo planos centrales digon que intersecan dos vértices. La celda de 120 lados con 120 celdas regulares de 5 lados inscritas contiene grandes rectángulos cuyos lados más largos son estos digons, los lados de las celdas de 5 lados inscritas de longitud √ 2.5 . Tres rectángulos disjuntos aparecen en un plano central {12}, donde las seis cuerdas #8 √ 2.5 pertenecen a seis celdas de 5 lados disjuntas. Las secciones 12 0 y 18 0 son tetraedros regulares de longitud de lado √ 2.5 , las celdas de las celdas regulares de 5 lados. Las diez caras triangulares de las celdas regulares de 5 lados se encuentran en esas secciones; cada uno de los tres lados √ 2.5 de una cara se encuentra en un plano central {12} diferente.
  63. ↑ Los 10 tetraedros en cada dodecaedro se superponen; pero los 600 tetraedros en cada celda de 600 no lo hacen, por lo que cada uno de los 10 debe pertenecer a una celda de 600 diferente.
  64. 1 2 Cada figura de vértice de 120 celdas es en realidad una pirámide tetraédrica baja, una 5-celda irregular con una base tetraédrica regular.
  65. ↑ Como vimos en la celda de 600 celdas , estos 12 tetraedros pertenecen (en pares) a los 6 grupos icosaédricos de veinte celdas tetraédricas que rodean cada grupo de cinco celdas tetraédricas.
  66. ↑ La disminución del politopo de 600 puntos y 120 celdas a un politopo de 480 puntos mediante la eliminación de una de sus 600 celdas es análoga a la disminución del politopo de 120 puntos y 600 celdas mediante la eliminación de una de sus 5 24 celdas inscritas disjuntas, creando la 24 celda truncada de 96 puntos. De manera similar, el teseracto de 8 celdas puede verse como una 24 celda disminuida de 16 puntosde la cual se ha eliminado una 16 celda de 8 puntos.

Citas

  1. ↑ NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5Capítulo 11: Grupos de simetría finitos , 11.5 Grupos de Coxeter esféricos , pág. 249
  2. ↑ Matila Ghyka, La geometría del arte y la vida (1977), pág. 68
  3. 1 2 Coxeter 1973 , págs. 292–293, Tabla I(ii); "120 celdas".
  4. ↑ Dechant 2021 , pág. 18, Observación 5.7 , explica por qué no. [ e ]
  5. ↑ Dechant 2021 , Resumen; "[C]ada sistema de raíces 3D permite la construcción de un sistema de raíces 4D correspondiente mediante un 'teorema de inducción'. En este artículo, analizamos en detalle el caso icosaédrico de H3 → H4 y realizamos los cálculos explícitamente. Se utiliza el álgebra de Clifford para realizar cálculos de teoría de grupos basados ​​en el teorema del versor y el teorema de Cartan-Dieudonné... arrojando luz sobre aspectos geométricos del sistema de raíces H4 (la celda de 600) así como sobre otros politopos relacionados y sus simetrías... incluyendo la construcción del plano de Coxeter, que se utiliza para visualizar los pares complementarios de politopos invariantes... Este enfoque constituye, por lo tanto, una forma más sistemática y general de realizar cálculos sobre grupos, en particular grupos de reflexión y sistemas de raíces, en un marco de álgebra de Clifford."
  6. ↑ Matemáticas y su historia , John Stillwell, 1989, 3.ª edición 2010, ISBN 0-387-95336-1
  7. 1 2 Stillwell 2001 .
  8. ↑ Coxeter 1973 , pp. 156–157, §8.7 Coordenadas cartesianas.
  9. 1 2 Mamone, Pileio y Levitt 2010 , pág. 1442, Tabla 3.
  10. ↑ Mamone, Pileio y Levitt 2010 , p. 1433, §4.1; Un punto cartesiano de 4 coordenadas (w,x,y,z) es un vector en el espacio 4D desde (0,0,0,0). El espacio real de cuatro dimensiones es un espacio vectorial: dos vectores cualesquiera pueden sumarse o multiplicarse por un escalar para dar otro vector. Los cuaterniones extienden la estructura vectorial del espacio real de 4D al permitir la multiplicación de dos vectores de 4D.(w,incógnita,y,z)1{\displaystyle \left(w,x,y,z\right)_{1}}y(w,incógnita,y,z)2{\displaystyle \left(w,x,y,z\right)_{2}}de acuerdo a (w2incógnita2y2z2)∗(w1incógnita1y1z1)=(w2w1−incógnita2incógnita1−y2y1−z2z1w2incógnita1+incógnita2w1+y2z1−z2y1w2y1−incógnita2z1+y2w1+z2incógnita1w2z1+incógnita2y1−y2incógnita1+z2w1){\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{2}\\x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}w_{1}\\x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{w_{2}w_{1}-x_{2}x_{1}-y_{2}y_{1}-z_{2}z_{1}}\\{w_{2}x_{1}+x_{2}w_{1}+y_{2}z_{1}-z_{2}y_{1}}\\{w_{2}y_{1}-x_{2}z_{1}+y_{2}w_{1}+z_{2}x_{1}}\\{w_{2}z_{1}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}+z_{2}w_{1}}\end{pmatrix}}}
  11. ↑ Kim & Rote 2016 , p. 7, §6 Ángulos entre dos planos en el espacio de 4 dimensiones; "En cuatro (y más) dimensiones, necesitamos dos ángulos para fijar la posición relativa entre dos planos. (De forma más general,se definen k ángulos entre subespacios de k dimensiones)".
  12. ↑ Coxeter 1973 , pág. 304, Tabla VI (iv): 𝐈𝐈 = {5,3,3}.
  13. ↑ Mamone, Pileio y Levitt 2010 , págs. 1438–1439, §4.5 Politopos convexos regulares de 4 dimensiones, Tabla 2, Operaciones de simetría; en el grupo de simetría 𝛢 4 la operación [15]𝑹 q3,q3 son los 15 desplazamientos rotacionales distintos que comprenden la clase de rotaciones isoclínicas de pentadecagramas de una celda de 5 dimensiones individual ; en el grupo de simetría 𝛨 4 la operación [1200]𝑹 q3,q13 son los 1200 desplazamientos rotacionales distintos que comprenden la clase de rotaciones isoclínicas de pentadecagramas de la celda de 120 dimensiones, la rotación característica de la celda de 120 dimensiones.
  14. ↑ Mamone, Pileio y Levitt 2010 , págs. 1438–1439, §4.5 Politopos convexos regulares de 4 caras, Tabla 2, Grupo de simetría 𝛨 4 ; la celda de 120 tiene 7200 desplazamientos rotacionales distintos (y 7200 reflexiones), que pueden agruparse como 25 rotaciones isoclínicas distintas.
  15. ↑ Coxeter 1973 , págs. 300–301, Tabla V:(v) Secciones simplificadas de {5,3,3} (arista 2φ −2 √2 [radio 4]) comenzando con un vértice; la tabla de Coxeter enumera 16 secciones no puntuales etiquetadas 1 0 − 16 0 , poliedros cuyos "radios" sucesivamente crecientes en la 3-esfera (en la columna 2 la ) son las siguientes cuerdas en nuestra notación: [ ai ] #1, #2, #3, 41.4~°, #4, 49.1~°, 56.0~°, #5, 66.1~°, 69.8~°, #6, 75.5~°, 81.1~°, 84.5~°, #7, 95.5~°, ..., #15. Los acordes distintos restantes aparecen como los "radios" más largos del segundo conjunto de 16 secciones poliédricas opuestas (en la columna a para (30− i ) 0 ) que enumera #15, #14, #13, #12, 138.6~°, #11, 130.1~°, 124~°, #10, 113.9~°, 110.2~°, #9, #8, 98.9~°, 95.5~°, #7, 84.5~°, ..., o al menos aparecen entre los complementos de 180° de todos esos acordes enumerados por Coxeter. El conjunto completo ordenado de 30 acordes distintos es 0°, #1, #2, #3, 41.4~°, #4, 49.1~°, 56~°, #5, 66.1~°, 69.8~°, #6, 75.5~°, 81.1~°, 84.5~°, #7, 95.5~°, #8, #9, 110.2°, 113.9°, #10, 124°, 130.1°, #11, 138.6°, #12, #13, #14, #15. Las cuerdas también aparecen entre las longitudes de arista de las secciones poliédricas (en la columna 2 lb , que solo enumera: #2, .., #3, .., 69.8~°, .., .., #3, .., .., #5, #8, .., .., .., #7, ... porque no se dan las múltiples longitudes de arista de las secciones poliédricas irregulares).
  16. ↑ Coxeter 1973 , p. 147, §8.1 Las truncaciones simples del politopo regular general.
  17. ↑ Sadoc 2001 , pp. 577–578, §2.5 La simetría 30/11: un ejemplo de otro tipo de simetrías.
  18. ↑ Kim y Rote 2016 , págs. 8–10, Relaciones con el paralelismo de Clifford.
  19. ↑ Copher 2019 , pág. 6, §3.2 Teorema 3.4.
  20. ↑ Coxeter 1973 , pág. 269, Compuestos; "Es notable que los vértices de {5, 3, 3} incluyan los vértices de los otros quince politopos regulares en cuatro dimensiones."
  21. ↑ Schleimer y Segerman 2013 .
  22. ↑ Coxeter 1973 , pág. 298, Tabla V: (iii) Secciones de {3,3,5} que comienzan con un vértice.
  23. ^ Denney y col. 2020 , pág. 438.
  24. ↑ Coxeter 1973 , pp. 300–301, Tabla V:(v) Secciones simplificadas de {5,3,3} (arista 2φ −2 √2 [radio 4]) comenzando con un vértice; la tabla de Coxeter enumera 16 secciones no puntuales etiquetadas 1 0 − 16 0 , pero 14 0 y 16 0 son secciones opuestas congruentes y 15 0 se opone a sí misma; hay 29 secciones no puntuales, denotadas 1 0 − 29 0 , en 15 pares opuestos.
  25. ↑ Coxeter 1973 , pág. 299, Tabla V (iv) Secciones de {5,3,3} que comienzan con una celda (mitad derecha de la tabla).
  26. ↑ Coxeter 1973 , págs. 300–301, Tabla V:(v) Secciones simplificadas.
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  28. ↑ van Ittersum 2020 , pág. 435, §4.3.5 Las dos celdas de 600 que circunscriben una celda de 24.
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  32. ↑ Sullivan 1991 , págs. 4–5, El dodecaedro.
  33. ^ Coxeter y col. 1938 , pág. 4; "Así como un tetraedro puede inscribirse en un cubo, un cubo puede inscribirse en un dodecaedro. Por reciprocidad, esto conduce a un octaedro circunscrito alrededor de un icosaedro. De hecho, cada uno de los doce vértices del icosaedro divide una arista del octaedro según la " sección áurea ". Dado el icosaedro, el octaedro circunscrito puede elegirse de cinco maneras, dando un compuesto de cinco octaedros , que entra dentro de nuestra definición de icosaedro estrellado . (El compuesto recíproco, de cinco cubos cuyos vértices pertenecen a un dodecaedro, es un triacontaedro estrellado ). Otro icosaedro estrellado puede deducirse inmediatamente, estelazando cada octaedro en una estela octangula , formando así un compuesto de diez tetraedros . Además, podemos elegir un tetraedro de cada estela octangula, para derivar un compuesto de cinco tetraedros , que aún conserva toda la simetría rotacional del icosaedro (es decir, el grupo icosaédrico), aunque ha perdido las reflexiones. Al reflejar esta figura en cualquier plano de simetría del icosaedro, obtenemos el conjunto complementario de cinco tetraedros. Estos dos conjuntos de cinco tetraedros son enantiomorfos, es decir, no directamente congruentes, pero están relacionados como un par de zapatos. [Dicha] figura que no posee ningún plano de simetría (de modo que es enantiomorfa a su imagen especular) se denomina quiral .
  34. ↑ Waegell y Aravind 2014 , págs. 5–6.
  35. ↑ Koca, Al-Ajmi y Ozdes Koca 2011 , págs. 986–988, 6. Dual del snub de 24 celdas.
  36. ↑ Coxeter 1973 , §1.8 Configuraciones.
  37. ↑ Coxeter 1991 , pág. 117.
  38. 1 2 Sullivan 1991 , pág. 15, Otras propiedades de la celda 120.
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Referencias

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  • Explorador de 120 celdas : un programa interactivo gratuito que permite aprender sobre diversas simetrías de 120 celdas. La celda de 120 celdas se proyecta en 3 dimensiones y se renderiza mediante OpenGL.
  • Construcción del hiperdodecaedro
  • Animación de YouTube sobre la construcción del Gian Marco Todesco de 120 celdas .