600 celdas

Los vértices de una celda de 600 de radio unitario centrada en el origen del espacio de 4 dimensiones, con aristas de longitud${\displaystyle \phi ^{-1}\approx 0.618}$(dónde${\displaystyle \phi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$es la proporción áurea), se puede expresar ^{[ 8 ]} de la siguiente manera:

8 vértices obtenidos de

${\displaystyle (0,\,0,\,0,\,\pm 1)}$

mediante la permutación de coordenadas, y 16 vértices de la forma:

${\displaystyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}},\,\pm {\tfrac {1}{2}},\,\pm {\tfrac {1}{2}},\,\pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$

Los 96 vértices restantes se obtienen tomando permutaciones pares de

${\displaystyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}\phi },\,\pm {\tfrac {1}{2}},\,\pm {\tfrac {1}{2}}\phi ^{-1},\,0{\bigr )}}$

Nótese que los primeros 8 son los vértices de una celda de 16 lados , los siguientes 16 son los vértices de un teseracto , y esos 24 vértices juntos son los vértices de una celda de 24 lados . Los 96 vértices restantes son los vértices de una celda truncada de 24 lados , que se puede encontrar dividiendo cada una de las 96 aristas de otra celda de 24 lados (dual a la primera) en la proporción áurea de manera consistente. ^{[ 9 ]}

Cuando se interpretan como cuaterniones , estos son los icosianos unitarios .

En la celda de 24, hay cuadrados , hexágonos y triángulos que se encuentran en círculos máximos (en planos centrales que pasan por cuatro o seis vértices). En la celda de 600 hay veinticinco celdas de 24 inscritas superpuestas, donde cada vértice y cuadrado es compartido por cinco celdas de 24, y cada hexágono o triángulo es compartido por dos celdas de 24. En cada celda de 24 hay tres celdas de 16 disjuntas, por lo que en la celda de 600 hay 75 celdas de 16 inscritas superpuestas. Cada celda de 16 constituye una base ortonormal distinta para la elección de un marco de referencia de coordenadas .

Los 60 ejes y las 75 celdas de 16 lados de la celda de 600 lados constituyen una configuración geométrica , que en el lenguaje de configuraciones se escribe como 60 ₅ 75 ₄ para indicar que cada eje pertenece a 5 celdas de 16 lados, y cada celda de 16 lados contiene 4 ejes. ^{[ 10 ]} Cada eje es ortogonal a exactamente otros 15, y estos son solo sus compañeros en las 5 celdas de 16 lados en las que aparece.

En la celda 600 también hay pentágonos y decágonos de círculo máximo (en planos centrales que pasan por diez vértices). ^{[ 11 ]}

Solo las aristas del decágono son elementos visibles de la celda de 600 (porque son las aristas de la celda de 600). Las aristas de los demás polígonos de círculo máximo son cuerdas interiores de la celda de 600, que no se muestran en ninguna de las representaciones de la celda de 600 en este artículo (excepto donde se muestran como líneas discontinuas).

La celda de 600 puntos contiene 25 celdas de 24 puntos distintas, unidas entre sí por anillos pentagonales. Cada pentágono enlaza cinco celdas de 24 puntos completamente disjuntas, cuyos vértices colectivos son los 120 vértices de la celda de 600 puntos. Cada celda de 24 puntos contiene una quinta parte de todos los vértices de la celda de 600 puntos de 120 puntos, y está unida a los otros 96 vértices (que componen una celda de 24 puntos truncada ) por los 144 pentágonos de la celda de 600 puntos. Cada una de las 25 celdas de 24 puntos interseca cada uno de los 144 grandes pentágonos en un solo vértice. Cinco celdas de 24 puntos se encuentran en cada vértice de la celda de 600 puntos, por lo que las 25 celdas de 24 puntos están unidas por cada gran pentágono. La celda de 600 celdas se puede particionar en cinco celdas de 24 celdas disjuntas (de 10 maneras diferentes), y también en 24 pentágonos disjuntos (inscritos en los 12 grandes decágonos paralelos de Clifford de una de las 6 fibraciones decagonales ) eligiendo un pentágono de la misma fibración en cada vértice de la celda de 24 celdas.

Por simetría, un número igual de polígonos de cada tipo pasan por cada vértice; por lo tanto, es posible explicar los 120 vértices como la intersección de un conjunto de polígonos centrales de un solo tipo: decágonos, hexágonos, pentágonos, cuadrados o triángulos. Por ejemplo, los 120 vértices pueden verse como los vértices de 15 pares de cuadrados completamente ortogonales que no comparten ningún vértice, o como 100 pares duales de hexágonos no ortogonales entre los cuales todos los pares de ejes son ortogonales, o como 144 pentágonos no ortogonales, seis de los cuales se intersecan en cada vértice. Esta última simetría pentagonal de la celda de 600 vértices se captura mediante el conjunto de coordenadas de Hopf ^{[ 12 ]} (𝜉 _i , 𝜂, 𝜉 _j ) dadas como:

({<10} ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ , {≤5} ⁠ 𝜋 / 10 ⁠ , {<10} ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ )

donde {<10} es la permutación de los diez dígitos (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9) y {≤5} es la permutación de los seis dígitos (0 1 2 3 4 5). Las coordenadas 𝜉 _i y 𝜉 _j abarcan los 10 vértices de los decágonos de círculo máximo; los dígitos pares e impares etiquetan los vértices de los dos pentágonos de círculo máximo inscritos en cada decágono.

Las distancias mutuas de los vértices, medidas en grados de arco en la hiperesfera circunscrita , solo tienen los valores 36° = ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ , 60° = ⁠ 𝜋 / 3 ⁠ , 72° = ⁠ 2𝜋 / 5 ⁠ , 90° = ⁠ 𝜋 / 2 ⁠ , 108° = ⁠ 3𝜋 / 5 ⁠ , 120° = ⁠ 2𝜋 / 3 ⁠ , 144° = ⁠ 4𝜋 / 5 ⁠ , y 180° = 𝜋. Partiendo de un vértice arbitrario V, se tienen a 36° y 144° los 12 vértices de un icosaedro , a 60° y 120° los 20 vértices de un dodecaedro , a 72° y 108° los 12 vértices de un icosaedro mayor, a 90° los 30 vértices de un icosidodecaedro y, finalmente, a 180° el vértice antipodal de V. ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]} Estos se pueden ver en las proyecciones del plano de Coxeter H3 con los vértices superpuestos coloreados. ^{[ 16 ]}

Estas secciones poliédricas son sólidas en el sentido de que son tridimensionales, pero, por supuesto, todos sus vértices se encuentran en la superficie de la celda 600 (son huecas, no sólidas). Cada poliedro se sitúa en el espacio euclidiano tetradimensional como una sección transversal paralela a través de la celda 600 (un hiperplano). En el espacio tridimensional curvo de la superficie límite de la celda 600, el poliedro rodea el vértice V de la misma manera que rodea su propio centro. Pero su propio centro se encuentra en el interior de la celda 600, no en su superficie. V no está realmente en el centro del poliedro, porque está desplazado hacia afuera desde ese hiperplano en la cuarta dimensión, hasta la superficie de la celda 600. Por lo tanto, V es el vértice de una pirámide de cuatro dimensiones basada en el poliedro.

La envoltura de primer vértice del poliedro {3,3,5} de 600 celdas forma el icosidodecaedro pentaquis (también conocido como el poliedro geodésico {3,5+} _2,0 de Clase I ), que es el dual del dodecaedro chaflántico (la envoltura de primer celda del poliedro {5,3,3} de 120 celdas ). Contiene 42 vértices, 30 del icosidodecaedro y 12 del icosaedro que se muestra a continuación.

Los 120 vértices se distribuyen ^{[ 17 ]} a ocho longitudes de cuerda diferentes entre sí. Estas aristas y cuerdas de la celda de 600 son simplemente las aristas y cuerdas de sus cinco polígonos de círculo máximo . ^{[ 18 ]} En orden ascendente de longitud, son:

${\displaystyle {\sqrt {0.382\sim }}={\sqrt {2-\phi }}=\phi ^{-1}\approx 0.618}$

${\displaystyle {\sqrt {1}}}$

${\displaystyle {\sqrt {1.382\sim }}={\sqrt {3-\phi }}\approx 1.176}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2.618\sim }}={\sqrt {1+\phi }}=\phi \approx 1.618}$

${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

${\displaystyle {\sqrt {3.618\sim }}={\sqrt {2+\phi }}\approx 1.902}$

${\displaystyle {\sqrt {4}}}$

En el diagrama, las longitudes de las cuerdas se dan como raíces cuadradas, con una parte fraccionaria decimal si es necesario, donde:

${\displaystyle \Phi =\phi ^{-1}\approx 0.618}$

es la proporción áurea inversa, y:

${\displaystyle \Delta =1-\Phi =\Phi ^{2}\approx 0.382}$

es su cuadrado. Por ejemplo, la longitud del lado de 600 celdas es:

${\displaystyle \Phi ={\sqrt {0.\Delta }}={\sqrt {0.382\sim }}\approx 0.618}$

Las cuatro cuerdas hipercúbicas de la 24-celda (${\displaystyle {\sqrt {1}}}$,${\displaystyle {\sqrt {2}}}$,${\displaystyle {\sqrt {3}}}$,${\displaystyle {\sqrt {4}}}$) alternan con las cuatro nuevas cuerdas de los círculos máximos adicionales de la celda 600, los decágonos y pentágonos. Las nuevas longitudes de cuerda áurea son necesariamente raíces cuadradas de fracciones, pero fracciones muy especiales relacionadas con la proporción áurea, incluidas las dos secciones áureas de${\displaystyle {\sqrt {5}}}$.

La celda de 600 completa la celda de 24 añadiendo 96 vértices más entre los 24 vértices existentes de la celda de 24, añadiendo efectivamente veinticuatro celdas de 24 superpuestas más inscritas en la celda de 600. La nueva superficie así formada es una teselación de celdas y caras más pequeñas y numerosas: tetraedros de longitud de arista${\displaystyle \phi ^{-1}\approx 0.618}$en lugar de octaedros de longitud de arista${\displaystyle {\sqrt {1}}}$. Encierra el${\displaystyle {\sqrt {1}}}$bordes de las 24 celdas, que se convierten en cuerdas interiores invisibles en la de 600 celdas, como la${\displaystyle {\sqrt {2}}}$y${\displaystyle {\sqrt {3}}}$acordes .

Dado que los tetraedros están formados por aristas triangulares más cortas que los octaedros (por un factor de${\displaystyle \phi ^{-1}}$(la proporción áurea inversa), la celda 600 no tiene longitud de arista unitaria en un sistema de coordenadas de radio unitario como la celda 24 y el teseracto; a diferencia de estos dos, la celda 600 no es radialmente equilátera . Al igual que ellos, es radialmente triangular de una manera especial, pero una en la que los triángulos áureos en lugar de los triángulos equiláteros se encuentran en el centro. Solo unos pocos politopos uniformes tienen esta propiedad, incluyendo la celda 600 de cuatro dimensiones, el icosidodecaedro tridimensional y el decágono bidimensional . (El icosidodecaedro es la sección transversal ecuatorial de la celda 600, y el decágono es la sección transversal ecuatorial del icosidodecaedro). Los politopos radialmente áureos son aquellos que pueden construirse, con sus radios, a partir de triángulos áureos .

La envoltura límite de 600 pequeñas celdas tetraédricas envuelve las veinticinco envolturas de 24 celdas octaédricas (añadiendo algo de espacio de 4 dimensiones en algunos puntos entre estas envolturas curvas de 3 dimensiones). La forma de esos intersticios debe ser una pirámide octaédrica de 4 dimensiones de algún tipo, pero en la celda de 600 no es regular .

Las cuerdas de los vértices de la celda 600 están dispuestas en polígonos geodésicos de círculo máximo de cinco tipos: decágonos, hexágonos, pentágonos, cuadrados y triángulos. ^{[ 19 ]}

El${\displaystyle \phi ^{-1}\approx 0.618}$Las aristas forman 72 decágonos centrales planos y regulares , 6 de los cuales se cruzan en cada vértice. Así como el icosidodecaedro se puede particionar en 6 decágonos centrales (60 aristas = 6 × 10), la celda de 600 se puede particionar en 72 decágonos (720 aristas = 72 × 10). Los 720${\displaystyle \phi ^{-1}}$Los bordes dividen la superficie en 1200 caras triangulares y 600 celdas tetraédricas: una celda de 600. Los 720 bordes aparecen en 360 pares paralelos,${\displaystyle {\sqrt {2+\phi }}}$aparte. Como en el decágono y el icosidodecaedro, las aristas aparecen en triángulos áureos que se encuentran en el centro del politopo. Los 72 grandes decágonos se pueden dividir en 6 conjuntos de 12 geodésicas paralelas de Clifford que no se intersecan , de modo que solo un círculo máximo decagonal en cada conjunto pasa por cada vértice, y los 12 decágonos en cada conjunto alcanzan los 120 vértices. ^{[ 20 ]}

El${\displaystyle {\sqrt {1}}}$Las cuerdas forman 200 hexágonos centrales (25 conjuntos de 16, con cada hexágono en dos conjuntos) ^{[ 21 ]} 10 de los cuales se cruzan en cada vértice (4 de cada una de las cinco celdas de 24 que se encuentran en el vértice, con cada hexágono en dos de esas celdas de 24). Cada conjunto de 16 hexágonos consta de las 96 aristas y 24 vértices de una de las 25 celdas de 24 inscritas superpuestas.${\displaystyle {\sqrt {1}}}$Las cuerdas unen vértices que son dos${\displaystyle \phi ^{-1}}$bordes separados. Cada${\displaystyle {\sqrt {1}}}$La cuerda es el diámetro largo de un par de celdas tetraédricas unidas por una cara (una bipirámide triangular ) y pasa por el centro de la cara compartida. Como hay 1200 caras, hay 1200${\displaystyle {\sqrt {1}}}$cuerdas, en 600 pares paralelos,${\displaystyle {\sqrt {3}}}$aparte. Los planos hexagonales no son ortogonales (separados 60 grados) pero aparecen como 100 pares duales en los que los 3 ejes de un hexágono son ortogonales a los 3 ejes de su dual. ^{[ 22 ]} Los 200 hexágonos máximos se pueden dividir en 10 conjuntos de 20 geodésicas paralelas de Clifford que no se intersecan, de modo que solo un círculo máximo hexagonal en cada conjunto pasa por cada vértice, y los 20 hexágonos en cada conjunto alcanzan los 120 vértices. ^{[ 23 ]}

El${\displaystyle {\sqrt {3-\phi }}\approx 1.176}$Las cuerdas forman 144 pentágonos centrales, 6 de los cuales se cruzan en cada vértice.${\displaystyle {\sqrt {3-\phi }}}$Las cuerdas van de vértice a cada segundo vértice en los mismos planos que los 72 decágonos: dos pentágonos están inscritos en cada decágono. Unen vértices que son dos${\displaystyle \phi ^{-1}}$bordes separados en un círculo máximo geodésico. El 720${\displaystyle {\sqrt {3-\phi }}}$Los acordes aparecen en 360 pares paralelos,${\displaystyle \phi }$aparte.

El${\displaystyle {\sqrt {2}}}$Las cuerdas forman 450 cuadrados centrales, 15 de los cuales se cruzan en cada vértice (3 de cada una de las cinco celdas de 24 que se encuentran en el vértice).${\displaystyle {\sqrt {2}}}$Las cuerdas unen vértices que son tres${\displaystyle \phi ^{-1}}$bordes separados (y dos${\displaystyle {\sqrt {1}}}$acordes aparte). Hay 600${\displaystyle {\sqrt {2}}}$cuerdas, en 300 pares paralelos,${\displaystyle {\sqrt {2}}}$aparte. Los 450 cuadrados grandes (225 pares completamente ortogonales ) se pueden dividir en 15 conjuntos de 30 geodésicas paralelas de Clifford que no se intersecan, de manera que solo un círculo máximo cuadrado en cada conjunto pasa por cada vértice, y los 30 cuadrados (15 pares completamente ortogonales) en cada conjunto alcanzan los 120 vértices. ^{[ 24 ]}

El${\displaystyle \phi \approx 1.618}$Las cuerdas forman los lados de 720 triángulos isósceles centrales (72 conjuntos de 10 inscritos en cada decágono), 6 de los cuales se cruzan en cada vértice. La tercera arista (base) de cada triángulo isósceles tiene una longitud${\displaystyle {\sqrt {2+\phi }}\approx 1.902}$. El${\displaystyle \phi }$Las cuerdas van de vértice a cada tercer vértice en los mismos planos que los 72 decágonos, uniendo vértices que son tres${\displaystyle \phi ^{-1}}$bordes separados en un círculo máximo geodésico. Hay 720 distintos${\displaystyle \phi }$cuerdas, en 360 pares paralelos,${\displaystyle {\sqrt {3-\phi }}}$aparte.

El${\displaystyle {\sqrt {3}}}$Las cuerdas forman 400 triángulos centrales equiláteros (25 conjuntos de 32, con cada triángulo en dos conjuntos), 10 de los cuales se cruzan en cada vértice (4 de cada una de las cinco celdas de 24 , con cada triángulo en dos de las celdas de 24). Cada conjunto de 32 triángulos consta de los 96${\displaystyle {\sqrt {3}}}$cuerdas y 24 vértices de una de las 25 celdas de 24 inscripciones superpuestas.${\displaystyle {\sqrt {3}}}$Las cuerdas van de vértice a segundo vértice en los mismos planos que los 200 hexágonos: dos triángulos están inscritos en cada hexágono.${\displaystyle {\sqrt {3}}}$Las cuerdas unen los vértices, que son cuatro.${\displaystyle \phi ^{-1}}$bordes separados (y dos${\displaystyle {\sqrt {1}}}$separados por cuerdas en un círculo máximo geodésico). Cada${\displaystyle {\sqrt {3}}}$La cuerda es el diámetro largo de dos celdas cúbicas en la misma celda de 24 celdas. Hay 1200${\displaystyle {\sqrt {3}}}$cuerdas, en 600 pares paralelos,${\displaystyle {\sqrt {1}}}$aparte.

El${\displaystyle {\sqrt {2+\phi }}\approx 1.902}$Las cuerdas (las diagonales de los pentágonos) forman los lados de 720 triángulos isósceles centrales (144 conjuntos de 5 inscritos en cada pentágono), 6 de los cuales se cruzan en cada vértice. La tercera arista (base) de cada triángulo isósceles es una arista del pentágono de longitud${\displaystyle {\sqrt {3-\phi }}\approx 1.176}$, entonces estos son triángulos dorados . El${\displaystyle {\sqrt {2+\phi }}}$Las cuerdas van de vértice a cada cuarto vértice en los mismos planos que los 72 decágonos, uniendo vértices que son cuatro${\displaystyle \phi ^{-1}}$bordes separados en un círculo máximo geodésico. Hay 720 distintos${\displaystyle {\sqrt {2+\phi }}}$cuerdas, en 360 pares paralelos,${\displaystyle \phi ^{-1}}$aparte.

El${\displaystyle {\sqrt {4}}}$Las cuerdas aparecen como 60 diámetros largos (75 conjuntos de 4 ejes ortogonales, cada conjunto compuesto por una celda de 16 ), los 120 radios largos de la celda de 600.${\displaystyle {\sqrt {4}}}$Las cuerdas unen vértices opuestos que son cinco${\displaystyle \phi ^{-1}}$bordes separados en un círculo máximo geodésico. Hay 25 conjuntos distintos pero superpuestos de 12 diámetros, cada uno compuesto por una de las 25 celdas inscritas de 24. Hay 75 conjuntos distintos pero superpuestos de 4 diámetros ortogonales, cada uno compuesto por una de las 75 celdas inscritas de 16.

La suma de las longitudes al cuadrado de todas estas cuerdas distintas de la celda de 600 es 14,400 = 120 ² . ^{[ a ]} ​​Estos son todos los polígonos centrales que pasan por los vértices, pero la celda de 600 tiene un círculo máximo notable que no pasa por ningún vértice (un 0-gono). Además, en el espacio de 4 hay geodésicas en la 3-esfera que no se encuentran en planos centrales en absoluto. Hay caminos geodésicos más cortos entre dos vértices de la celda de 600 que son helicoidales en lugar de simplemente circulares; corresponden a rotaciones isoclínicas (diagonales) en lugar de rotaciones simples.

Todos los polígonos geodésicos enumerados anteriormente se encuentran en planos centrales de solo tres tipos, cada uno caracterizado por un ángulo de rotación: planos decágonos ( separados por π / 5 ) , planos hexagonales ( separados por π / 3 , también en las 25 celdas de 24 inscritas) y planos cuadrados ( separados por π / 2 , también en las 75 celdas de 16 inscritas y en las de 24). Estos planos centrales de la celda de 600 se pueden dividir en 4 hiperplanos centrales ortogonales (espacios de 3), cada uno formando un icosidodecaedro . Hay 450 cuadrados grandes separados por 90 grados; 200 hexágonos grandes separados por 60 grados; y 72 decágonos grandes separados por 36 grados. Cada plano cuadrado grande es completamente ortogonal a otro plano cuadrado grande. Cada gran plano hexagonal es completamente ortogonal a un plano que interseca solo dos vértices (uno${\displaystyle {\sqrt {4}}}$diámetro largo): un gran plano decágono . Cada gran plano decágono es completamente ortogonal a un plano que no interseca ningún vértice: un gran plano 0-gono.

Cada conjunto de polígonos de círculo máximo similares (cuadrados, hexágonos o decágonos) se puede dividir en haces de círculos máximos paralelos de Clifford que no se intersecan (de 30 cuadrados, 20 hexágonos o 12 decágonos). Cada haz de fibra de círculos máximos paralelos de Clifford es una fibración de Hopf discreta que llena la celda de 600 vértices, visitando los 120 vértices solo una vez. ^{[ 26 ]} Cada fibración de Hopf discreta tiene su base tridimensional , que es un poliedro distinto que actúa como un mapa o modelo a escala de la fibración. Los polígonos de círculo máximo en cada haz se enrollan en espiral alrededor de sí mismos, delineando anillos helicoidales de celdas unidas por caras que se anidan entre sí, se atraviesan entre sí sin intersecarse en ninguna celda y llenan exactamente la celda de 600 vértices con sus conjuntos de celdas disjuntas. Los diferentes haces de fibras con sus anillos celulares llenan el mismo espacio (el de 600 células), pero sus fibras corren paralelas a Clifford en diferentes "direcciones"; los polígonos de círculo máximo en diferentes fibraciones no son paralelos a Clifford. ^{[ 27 ]}

Decágonos

Las fibraciones de la celda 600 incluyen 6 fibraciones de sus 72 grandes decágonos: 6 haces de fibras de 12 grandes decágonos. Los 12 decágonos paralelos de Clifford en cada haz son completamente disjuntos. Los decágonos paralelos adyacentes están formados por aristas de otros grandes decágonos.

Cada haz de fibras delimita 20 anillos helicoidales de 30 celdas tetraédricas cada uno, con cinco anillos anidados alrededor de cada decágono. ^{[ 28 ]} El mapa de Hopf de esta fibración es el icosaedro , donde cada uno de los 12 vértices se eleva a un gran decágono, y cada una de las 20 caras triangulares se eleva a un anillo de 30 celdas. Cada celda tetraédrica ocupa solo uno de los 20 anillos de celdas en cada una de las 6 fibraciones. La celda tetraédrica contribuye con cada una de sus 6 aristas a un decágono en una fibración diferente, pero contribuye con esa arista a cinco anillos de celdas distintos en la fibración.

Los 12 círculos máximos y los anillos de 30 celdas de las 6 fibraciones de Hopf características de la 600-celda hacen de la 600-celda una configuración geométrica de 30 "puntos" y 12 "líneas" escrita como 30 ₂ 12 ₅ . Se denomina configuración doble seis de Schläfli en honor a Ludwig Schläfli , ^{[ 30 ]} el matemático suizo que descubrió la celda de 600 y el conjunto completo de politopos regulares en n dimensiones. ^{[ 31 ]}

Thorold Gosset descubrió los 4-politopos semirregulares , incluyendo la 24-celda truncada con 96 vértices, que se encuentra entre la 24-celda y la 600-celda en la secuencia de 4-politopos convexos de tamaño y complejidad crecientes en el mismo radio. La construcción de la 600-celda a partir de la 24-celda por parte de Gosset se realiza en dos pasos, utilizando la 24-celda truncada como forma intermedia. En el primer paso, más complejo (descrito en otra parte ), la 24-celda truncada se construye mediante una truncación truncada especial de una 24-celda en las secciones áureas de sus aristas. ^{[ 9 ]} En el segundo paso, la 600-celda se construye de manera directa añadiendo 4-pirámides (vértices) a las facetas de la 24-celda truncada. ^{[ 36 ]}

La celda 24 truncada es una celda 600 reducida a la que se le han eliminado 24 vértices (y el grupo de 20 celdas tetraédricas que los rodea), dejando una celda icosaédrica "plana" en lugar de cada pirámide icosaédrica eliminada. Por lo tanto, la celda 24 truncada tiene 24 celdas icosaédricas y las 120 celdas tetraédricas restantes. El segundo paso de la construcción de la celda 600 de Gosset es simplemente el inverso de esta reducción: se coloca una pirámide icosaédrica de 20 celdas tetraédricas sobre cada celda icosaédrica.

La construcción de la celda de 600 radios unitarios a partir de su precursora, la celda de 24 radios unitarios, mediante el método de Gosset, requiere tres pasos. La celda de 24 radios precursora de la celda truncada de 24 radios no tiene el mismo radio: es mayor, ya que la celda truncada de 24 radios es su truncamiento. Partiendo de la celda de 24 radios unitarios, el primer paso consiste en aplicarle una inversión alrededor de su esfera media para construir su dual canónico exterior : una celda de 24 radios mayor, puesto que la celda de 24 radios es autodual. Esta celda de 24 radios mayor puede luego truncarse en una celda truncada de 24 radios unitarios.

Dado su carácter indirecto, la construcción de Gosset puede no ser de gran ayuda para visualizar directamente cómo las 600 celdas tetraédricas se ensamblan para formar una superficie tridimensional curva , o cómo se disponen sobre la superficie subyacente de las celdas octaédricas de la estructura de 24 celdas. Para ello, resulta útil construir la estructura de 600 celdas directamente a partir de grupos de celdas tetraédricas.

La mayoría de nosotros tenemos dificultades para visualizar la célula de 600 células desde el exterior en el espacio de 4 dimensiones, o para reconocer una vista exterior de la célula de 600 células debido a nuestra total falta de experiencia sensorial en espacios de 4 dimensiones, ^{[ 37 ]} pero deberíamos poder visualizar la envoltura superficial de las células de 600 células desde el interior porque ese volumen es un espacio tridimensional en el que podríamos "caminar" y explorar. ^{[ 38 ]} En estos ejercicios de construcción de la célula de 600 células a partir de grupos de células, estamos completamente dentro de un espacio tridimensional, aunque un espacio curvo cerrado extrañamente pequeño , en el que podemos movernos apenas diez longitudes de arista en línea recta en cualquier dirección y regresar a nuestro punto de partida.

Icosaedro

La figura del vértice de la celda 600 es el icosaedro .

Veinte celdas tetraédricas se unen en cada vértice, formando una pirámide icosaédrica cuyo vértice es el vértice, rodeada por su base icosaedro. La celda de 600 tiene un ángulo diedro de ⁠ 𝜋 / 3 ⁠ + arccos(− ⁠ 1 / 4 ⁠ ) ≈ 164,4775° . ^{[ 39 ]}

Un icosaedro completo de 600 celdas se puede ensamblar a partir de 24 pirámides icosaédricas (unidas cara a cara en 8 de las 20 caras del icosaedro, coloreadas de amarillo en la ilustración), más 24 grupos de 5 celdas tetraédricas (cuatro celdas unidas cara a cara alrededor de una) que llenan los huecos restantes entre los icosaedros. Cada icosaedro está unido cara a cara a cada grupo adyacente de 5 celdas mediante dos caras azules que comparten una arista (que también es una de las seis aristas del tetraedro central de los cinco). Seis grupos de 5 celdas rodean cada icosaedro, y seis icosaedros rodean cada grupo de 5 celdas. Cinco celdas tetraédricas rodean cada arista del icosaedro: dos desde el interior de la pirámide icosaédrica y tres desde el exterior.

Los vértices de las 24 pirámides icosaédricas son los vértices de una celda de 24 celdas inscrita en la celda de 600 celdas. Los otros 96 vértices (los vértices de los icosaedros) son los vértices de una celda truncada de 24 celdas inscrita , que tiene exactamente la misma estructura de icosaedros y tetraedros descrita aquí, excepto que los icosaedros no son 4-pirámides llenas de celdas tetraédricas; son solo celdas icosaédricas "planas" tridimensionales, porque les falta el vértice apical central.

Las aristas de 24 celdas que unen los vértices de los ápices de la pirámide icosaédrica pasan por los centros de las caras amarillas. Se pueden colorear los icosaedros con 8 caras amarillas y 12 azules de 5 maneras distintas. Por lo tanto, el vértice de cada pirámide icosaédrica es un vértice de 5 grupos distintos de 24 celdas, y los 120 vértices comprenden 25 (no 5) grupos de 24 celdas.

Los icosaedros están unidos por sus caras opuestas en "líneas rectas" geodésicas, dobladas en la cuarta dimensión en un anillo de 6 pirámides icosaédricas. Sus vértices son los vértices de un hexágono de círculo máximo . Esta geodésica hexagonal atraviesa un anillo de 12 celdas tetraédricas, unidas alternativamente cara con cara y vértice con vértice. El diámetro mayor de cada par de tetraedros unidos por caras (cada bipirámide triangular ) es una arista hexagonal (una arista de 24 celdas). Hay 4 anillos de 6 pirámides icosaédricas que se intersecan en cada vértice, al igual que hay 4 anillos entrelazados disjuntos de celdas de 6 octaedros en la celda de 24 (una fibración hexagonal ).

Las celdas tetraédricas están unidas por caras formando triples hélices , que se doblan en la cuarta dimensión formando anillos de 30 celdas tetraédricas . Las tres hélices son "líneas rectas" geodésicas de 10 aristas: decágonos de círculo máximo que discurren paralelos entre sí según Clifford. Cada tetraedro, al tener seis aristas, participa en seis decágonos diferentes y, por lo tanto, en las 6 fibraciones decagonales de la celda de 600 celdas .

La división de la estructura de 600 células en grupos de 20 y grupos de 5 células es artificial, ya que todas las células son iguales. Se puede comenzar seleccionando un grupo de pirámides icosaédricas centrado en cualquier vértice elegido arbitrariamente, de modo que hay 120 icosaedros superpuestos en la estructura de 600 células. Sus 120 vértices son cada uno un vértice de cinco estructuras de 24 vértices, por lo que hay 5*120/24 = 25 estructuras de 24 vértices superpuestas.

Unión de dos toros

Existe otra forma útil de dividir la superficie de 600 celdas en grupos de celdas tetraédricas, lo que revela más estructura ^{[ 41 ]} y las fibraciones decagonales de la celda de 600. Una celda completa de 600 se puede ensamblar alrededor de dos anillos de 5 pirámides icosaédricas, unidas vértice con vértice en dos "líneas rectas" geodésicas.

La celda de 120 vértices se puede descomponer en dos toros disjuntos . Dado que es la dual de la celda de 600 vértices, esta misma estructura de toro dual existe en la celda de 600 vértices, aunque es algo más compleja. El camino geodésico de 10 celdas en la celda de 120 vértices corresponde al camino decagonal de 10 vértices en la celda de 600 vértices. ^{[ 42 ]}

Comienza ensamblando cinco tetraedros alrededor de una arista común. Esta estructura se parece un poco a un "platillo volador" angular. Apila diez de estos, vértice con vértice, al estilo "panqueque". Rellena el anillo anular entre cada par de "platillos voladores" con 10 tetraedros para formar un icosaedro. Puedes verlo como cinco pirámides icosaédricas apiladas por vértices , con los cinco huecos adicionales del anillo anular también rellenos. La superficie es la misma que la de diez antiprismas pentagonales apilados : una columna de caras triangulares con una sección transversal pentagonal. ^{[ 43 ]} Doblado en un anillo columnar, este es un toro que consta de 150 celdas, diez aristas de largo, con 100 caras triangulares expuestas, 150 aristas expuestas y 50 vértices expuestos. Apila otro tetraedro en cada cara expuesta. Esto dará como resultado un toroide algo irregular de 250 celdas con 50 vértices elevados, 50 vértices de valle y 100 aristas de valle. Los valles son caminos cerrados de 10 aristas de longitud y corresponden a otras instancias del camino decágono de 10 vértices mencionado anteriormente (decágonos de círculo máximo). Estos decágonos se enrollan en espiral alrededor del decágono central, pero matemáticamente son todos equivalentes (todos se encuentran en planos centrales).

Construye un segundo toro idéntico de 250 celdas que se interconecta con el primero. Esto representa 500 celdas. Estos dos toros se unen con los vértices del valle tocando los vértices elevados, dejando 100 huecos tetraédricos que se llenan con los 100 tetraedros restantes que se unen en los bordes del valle. Este último conjunto de 100 tetraedros está en el límite exacto del duocilindro y forma un toro de Clifford . Se pueden "desenrollar" en una matriz cuadrada de 10×10. Casualmente, esta estructura forma una capa tetraédrica en el panal tetraédrico-octaédrico . Hay exactamente 50 huecos y picos en forma de "caja de huevos" en ambos lados que se unen con los toros de 250 celdas. En este caso, en cada hueco, en lugar de un octaedro como en el panal, encaja una bipirámide triangular compuesta por dos tetraedros.

Esta descomposición de la celda de 600 tiene simetría [10,2 ⁺ ,10], orden 400, la misma simetría que el gran antiprisma . ^{[ 44 ]} El gran antiprisma es simplemente la celda de 600 con los dos toros de 150 celdas superiores eliminados, dejando solo la única capa intermedia de 300 tetraedros, dimensionalmente análoga al cinturón de 10 caras de un icosaedro con las 5 caras superiores y 5 inferiores eliminadas (un antiprisma pentagonal ).

Los dos toros de 150 celdas contienen cada uno 6 grandes decágonos paralelos de Clifford (cinco alrededor de uno), y los dos toros son paralelos de Clifford entre sí, por lo que juntos constituyen una fibración completa de 12 decágonos que alcanza los 120 vértices, a pesar de llenar solo la mitad del toro de 600 celdas con celdas.

La celda 600 se puede construir radialmente a partir de 720 triángulos dorados de longitudes de arista${\displaystyle 1,1,\phi ^{-1}}$que se encuentran en el centro del 4-politopo, cada uno aportando dos${\displaystyle {\sqrt {1}}}$radios y un${\displaystyle \phi ^{-1}\approx 0.618}$borde. Forman 1200 pirámides triangulares con sus vértices en el centro: tetraedros irregulares con equiláteros${\displaystyle \phi ^{-1}}$bases (las caras de la celda de 600). Estas forman 600 pirámides tetraédricas con sus vértices en el centro: celdas irregulares de 5 con bases regulares${\displaystyle \phi ^{-1}}$bases tetraédricas (las celdas de la estructura de 600 celdas).

Cada 4-politopo regular tiene su 4-ortoesquema característico, una 5-celda irregular .

La celda característica de 5 elementos de la celda regular de 600 elementos se representa mediante el diagrama de Coxeter-Dynkin , que puede interpretarse como una lista de los ángulos diedros entre sus caras especulares. Se trata de una pirámide tetraédrica irregular basada en el tetraedro característico del tetraedro regular . La celda regular de 600 elementos se subdivide mediante sus hiperplanos de simetría en 14 400 instancias de su celda característica de 5 elementos, que convergen en su centro.

La celda característica de 5 lados (4-ortoesquema) tiene cuatro aristas más que su tetraedro base característico (3-ortoesquema), uniendo los cuatro vértices de la base a su ápice (el quinto vértice del 4-ortoesquema, en el centro de la celda regular de 600 lados). Si la celda regular de 600 lados tiene radio unitario y longitud de arista${\displaystyle \ell =\phi ^{-1}\approx 0.618}$, sus diez aristas características de 5 celdas tienen longitudes${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\phi ^{-1}}$,${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\phi ^{-1}}$,${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {6}}}\phi ^{-1}}$alrededor de su cara exterior triangular rectángulo (las aristas opuestas a los ángulos característicos 𝟀, 𝝉, 𝟁), ^{[ b ]} más${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\phi ^{-1}}$,${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\phi ^{-1}}$,${\displaystyle {\tfrac {1}{2{\sqrt {3}}}}\phi ^{-1}}$(las otras tres aristas de la faceta exterior del 3-ortoesquema forman el tetraedro característico, que son los radios característicos del tetraedro regular), más${\displaystyle 1}$,${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+\phi }}}$,${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{2}}{3}}}}$,${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}}$(aristas que son los radios característicos de la celda 600). El camino de 4 aristas a lo largo de las aristas ortogonales del ortoesquema es${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2\phi ^{2}}}}}$,${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6\phi ^{2}}}}}$,${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4\phi ^{2}}}}}$,${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}}$, primero desde un vértice de 600 celdas hasta el centro de una arista de 600 celdas, luego girando 90° hasta el centro de una cara de 600 celdas, luego girando 90° hasta el centro de una celda tetraédrica de 600 celdas, y finalmente girando 90° hasta el centro de 600 celdas.

La celda 600 se puede construir mediante las reflexiones de su celda 5 característica en sus propias facetas (sus paredes de espejo tetraédricas). Las reflexiones y rotaciones están relacionadas: una reflexión en un número par de espejos que se intersecan es una rotación. ^{[ 48 ] [ 49 ]} Por ejemplo, una rotación isoclínica completa de la celda 600 en planos invariantes decagonales lleva cada uno de los 120 vértices a través de 15 vértices y de vuelta a sí mismo, en una isoclina geodésica pentadecagram ₂ sesgada de circunferencia 5𝝅 que se enrolla alrededor de la 3-esfera, mientras cada gran decágono rota (como una rueda) y también se inclina lateralmente (como una moneda que se lanza) con el plano completamente ortogonal. Cualquier conjunto de cuatro pares ortogonales de vértices antipodales (los 8 vértices de una de las 75 celdas de 16 inscripciones) que realicen dicha órbita visita 15 * 8 = 120 vértices distintos y genera la celda de 600 secuencialmente en una rotación isoclínica completa, del mismo modo que cualquier celda característica de 5 que se refleje en sus propias paredes de espejo genera los 120 vértices simultáneamente por reflexión.

Otro método de construcción utiliza cuaterniones y la simetría icosaédrica de las órbitas del grupo de Weyl.${\displaystyle O(\Lambda )=W(H_{4})=I}$de orden 120. ^{[ 50 ]} Las siguientes son las órbitas de pesos de D4 bajo el grupo de Weyl W(D4):

O(0100)  : T = {±1,±e1,±e2,±e3,(±1±e1±e2±e3)/2}

O(1000)  : V1

O(0010)  : V2

O(0001)  : V3

Con cuaterniones${\displaystyle (p,q)}$dónde${\displaystyle {\bar {p}}}$es el conjugado de${\displaystyle p}$y${\displaystyle [p,q]:r\rightarrow r'=prq}$y${\displaystyle [p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q}$, luego el grupo Coxeter${\displaystyle W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace }$es el grupo de simetría de la celda 600 y la celda 120 de orden 14400.

Dado${\displaystyle p\in T}$de tal manera que${\displaystyle {\bar {p}}=\pm p^{4},{\bar {p}}^{2}=\pm p^{3},{\bar {p}}^{3}=\pm p^{2},{\bar {p}}^{4}=\pm p}$y${\displaystyle p^{\dagger }}$como un intercambio de${\displaystyle -1/\phi \leftrightarrow \phi }$dentro${\displaystyle p}$, podemos construir:

• el snub de 24 celdas${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}T}$
• la batería de 600 celdas${\displaystyle I=T+S=\sum _{i=0}^{4}\oplus p^{i}T}$
• la batería de 120 celdas${\displaystyle J=\sum _{i,j=0}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger j}T'}$

Hay 25 celdas de 24 inscripciones en la celda de 600. ^{[ 11 ]}

La celda de 16 vértices y 8 lados tiene 4 diámetros largos inclinados a 90° = ⁠ 𝜋 / 2 ⁠ entre sí, que a menudo se toman como los 4 ejes ortogonales o la base del sistema de coordenadas.

La celda de 24 vértices tiene 12 diámetros largos inclinados a 60° = ⁠ 𝜋 / 3 ⁠ entre sí: 3 conjuntos disjuntos de 4 ejes ortogonales, cada conjunto comprende los diámetros de una de las 3 celdas de 16 inscritas, rotadas isoclínicamente por ⁠ 𝜋 / 3 ⁠ entre sí.

La celda de 600 vértices tiene 60 diámetros largos: no solo 5 conjuntos disjuntos de 12 diámetros, cada uno compuesto por una de las 5 celdas de 24 inscritas (como podríamos sospechar por analogía), sino 25 conjuntos distintos pero superpuestos de 12 diámetros, cada uno compuesto por una de las 25 celdas de 24 inscritas. ^{[ 52 ]} Hay 5 celdas de 24 disjuntas en la celda de 600, pero no solo 5: hay 10 maneras diferentes de particionar la celda de 600 en 5 celdas de 24 disjuntas. ^{[ 53 ]}

Al igual que las celdas de 16 y 8 inscritas en la celda de 24, las 25 celdas de 24 inscritas en la celda de 600 son politopos mutuamente isoclínicos . La distancia de rotación entre las celdas de 24 inscritas es siempre ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ en cada plano invariante de rotación.

Cinco 24-celdas son disjuntas porque son paralelas a Clifford: sus vértices correspondientes están a ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ de distancia en dos círculos máximos decagonales paralelos a Clifford que no se intersecan (así como a ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ de distancia en el mismo círculo máximo decagonal). Una rotación isoclínica de planos decagonales por ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ lleva a cada 24-celda a una 24-celda disjunta (así como una rotación isoclínica de planos hexagonales por ⁠ 𝜋 / 3 ⁠ lleva a cada 16-celda a una 16-celda disjunta). Cada rotación isoclínica ocurre en dos formas quirales: hay 4 24-celdas disjuntas a la izquierda de cada 24-celda, y otras 4 24-celdas disjuntas a su derecha . Las rotaciones izquierda y derecha alcanzan diferentes 24-celdas; por lo tanto, cada 24-celda pertenece a dos conjuntos diferentes de cinco 24-celdas disjuntas.

Todos los politopos paralelos de Clifford son isoclínicos, pero no todos los politopos isoclínicos son paralelos de Clifford (objetos completamente disjuntos). Cada 24-celda es isoclínica y paralela de Clifford a otras 8, e isoclínica pero no paralela de Clifford a otras 16. Con cada una de las 16 comparte 6 vértices: un plano central hexagonal. Las 24-celdas no disjuntas están relacionadas por una rotación simple de ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ en un plano invariante que interseca solo dos vértices de la 600-celda, una rotación en la que el plano fijo completamente ortogonal es su plano central hexagonal común. También están relacionadas por una rotación isoclínica en la que ambos planos rotan de ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ .

Existen dos tipos de rotaciones isoclínicas ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ que transforman cada 24-celda en otra 24-celda. Las 24-celdas disjuntas se relacionan mediante una rotación isoclínica ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ de una fibración completa de 12 planos invariantes decagonales paralelos de Clifford . (Existen 6 conjuntos de fibras de este tipo, y es posible una rotación isoclínica derecha o izquierda con cada conjunto, por lo que hay 12 rotaciones distintas). Las 24-celdas no disjuntas se relacionan mediante una rotación isoclínica ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ de una fibración completa de 20 planos invariantes hexagonales paralelos de Clifford . (Existen 10 conjuntos de fibras de este tipo, por lo que hay 20 rotaciones distintas).

Por otro lado, cada uno de los 10 conjuntos de cinco 24-celdas disjuntas es Clifford paralelo porque sus hexágonos mayores correspondientes son Clifford paralelos. (Las 24-celdas no tienen grandes decágonos). Los 16 grandes hexágonos en cada 24-celda se pueden dividir en 4 conjuntos de 4 geodésicas Clifford paralelas no intersecantes, cada conjunto de las cuales cubre los 24 vértices de la 24-celda. Los 200 grandes hexágonos en la 600-celda se pueden dividir en 10 conjuntos de 20 geodésicas Clifford paralelas no intersecantes , cada conjunto de las cuales cubre los 120 vértices y constituye una fibración hexagonal discreta . Cada uno de los 10 conjuntos de 20 hexágonos disjuntos se puede dividir en cinco conjuntos de 4 hexágonos disjuntos, cada conjunto de 4 cubre una 24-celda disjunta. De manera similar, los cuadrados máximos correspondientes de 24 celdas disjuntas son paralelos en el sentido de Clifford.

Los 4-politopos convexos regulares poseen cada uno su tipo característico de rotación isoclínica derecha (e izquierda) , que corresponde a su tipo característico de fibración discreta de Hopf de círculos máximos. Por ejemplo, la celda 600 se puede fibrar de seis maneras diferentes en un conjunto de decágonos máximos paralelos de Clifford , por lo que la celda 600 tiene seis rotaciones isoclínicas derechas (e izquierdas) distintas en las que esos planos de los decágonos máximos son planos de rotación invariantes . Decimos que estas rotaciones isoclínicas son características de la celda 600 porque las aristas de la celda 600 se encuentran en sus planos invariantes. Estas rotaciones solo aparecen en la celda 600, aunque también se encuentran en politopos regulares más grandes (la celda 120) que contienen instancias inscritas de la celda 600.

Así como los polígonos geodésicos (decágonos, hexágonos o cuadrados) en los planos centrales de la celda 600 forman haces de fibras de círculos máximos paralelos a Clifford , los poligramas oblicuos geodésicos correspondientes (que trazan los caminos en el toro de vértices de Clifford bajo rotación isoclínica) ^{[ 54 ]} forman haces de fibras de isoclinas paralelas a Clifford : círculos helicoidales que se enrollan a través de las cuatro dimensiones. Dado que las rotaciones isoclínicas son quirales , presentándose en formas levógiras y dextrógiras, cada haz de fibras de polígono tiene correspondientes haces de fibras de poligramas izquierdos y derechos. ^{[ 55 ]} Todos los haces de fibras son aspectos de la misma fibración discreta de Hopf , porque la fibración es las diversas expresiones del mismo par distinto de rotaciones isoclínicas izquierda-derecha.

Los anillos celulares son otra expresión de la fibración de Hopf. Cada fibración discreta posee un conjunto de anillos celulares disjuntos que teselan el 4-politopo. Las isoclinas en cada haz quiral se enrollan en espiral unas alrededor de otras: son geodésicas axiales de los anillos de celdas unidas por caras. Los anillos celulares paralelos de Clifford de la fibración se anidan entre sí, se atraviesan sin intersecarse en ninguna celda y llenan exactamente la celda de 600 elementos con sus conjuntos de celdas disjuntas.

Las rotaciones isoclínicas hacen girar los vértices de un objeto rígido a lo largo de trayectorias paralelas, describiendo cada vértice un círculo dentro de dos círculos máximos móviles ortogonales, de la misma manera que un telar teje una pieza de tela a partir de dos conjuntos ortogonales de fibras paralelas. Un haz de polígonos de círculos máximos paralelos de Clifford y un haz correspondiente de isoclinas de poligramas oblicuos paralelos de Clifford constituyen la urdimbre y la trama de la misma rotación isoclínica, ya sea izquierda o derecha, que acerca los polígonos de círculos máximos paralelos de Clifford, lanzándolos como monedas y rotándolos a través de un conjunto de planos centrales paralelos de Clifford. Mientras tanto, debido a que los polígonos también giran individualmente como ruedas, los vértices se desplazan a lo largo de isoclinas helicoidales paralelas de Clifford (cuyas cuerdas forman el poligrama oblicuo), a través de vértices que se encuentran en polígonos paralelos de Clifford sucesivos.

En la celda 600, cada familia de poligramas sesgados isoclínicos (trayectorias de vértices móviles en las rotaciones de polígonos mayores de decágono {10}, hexágono {6} o cuadrado {4}) se puede dividir en haces de isoclinas de poligramas paralelos de Clifford que no se intersecan. ^{[ 56 ]} Los haces de isoclinas aparecen en pares de quiralidad izquierda y derecha ; las isoclinas en cada rotación actúan como objetos quirales , al igual que cada rotación isoclínica distinta en sí misma. Cada fibración contiene un número igual de isoclinas izquierdas y derechas, en dos haces disjuntos, que trazan las trayectorias de los vértices de la celda 600 durante la rotación isoclínica izquierda o derecha de la fibración, respectivamente. Cada haz de fibras izquierdas o derechas de isoclinas por sí mismo constituye una fibración de Hopf discreta que llena toda la celda 600, visitando los 120 vértices solo una vez. Se trata de un conjunto de fibras diferente al conjunto de círculos máximos de polígonos paralelos de Clifford, pero ambos conjuntos de fibras describen la misma fibración discreta porque enumeran esos 120 vértices juntos en la misma rotación isoclínica derecha (o izquierda) distinta, mediante su intersección como un tejido de fibras paralelas entretejidas.

Cada rotación isoclínica implica pares de planos centrales de rotación invariantes completamente ortogonales, que giran ambos en el mismo ángulo. Esto puede ocurrir de dos maneras: girando ambos en la misma dirección o en direcciones opuestas (según la regla de la mano derecha, que convencionalmente indica cuál es la dirección "arriba" en cada uno de los cuatro ejes de coordenadas). El poligrama derecho y la rotación isoclínica derecha corresponden convencionalmente a pares invariantes que giran en la misma dirección; el poligrama izquierdo y la rotación isoclínica izquierda corresponden a pares que giran en direcciones opuestas. ^{[ 57 ]} Las isoclinas izquierda y derecha son trayectorias diferentes que conducen a lugares distintos. Además, cada rotación isoclínica distinta (izquierda o derecha) puede realizarse en dirección positiva o negativa a lo largo de las fibras circulares paralelas.

Un fibrado de isoclinas paralelas de Clifford es el conjunto de círculos de vértice helicoidales descritos por una rotación isoclínica izquierda o derecha distinta. Cada vértice móvil viaja a lo largo de una isoclina contenida dentro de un anillo de celdas (móvil). Si bien las rotaciones isoclínicas izquierda y derecha rotan dos veces el mismo conjunto de planos invariantes de rotación paralelos de Clifford , pasan por diferentes conjuntos de polígonos de círculo máximo porque las rotaciones isoclínicas izquierda y derecha golpean vértices alternos del polígono de círculo máximo {2p} (donde p es un primo ≤ 5). La rotación izquierda y derecha comparten el mismo fibrado de Hopf de fibras de polígonos {2p}, que es a la vez un fibrado izquierdo y derecho, pero tienen diferentes fibrados de polígonos {p} ^{[ 58 ]} porque las fibras discretas son polígonos {p} izquierdos y derechos opuestos inscritos en el polígono {2p}.

Una rotación simple es directa y local, y transforma algunos vértices en vértices adyacentes a lo largo de círculos máximos, y algunos planos centrales en otros planos centrales dentro del mismo hiperplano. (La celda 600 tiene cuatro hiperplanos centrales ortogonales , cada uno de los cuales es un icosidodecaedro). En una rotación simple, existe un único par de planos centrales de rotación invariantes completamente ortogonales; no constituye una fibración.

Una rotación isoclínica es diagonal y global, llevando todos los vértices a vértices no adyacentes a lo largo de isoclinas diagonales, y todos los polígonos del plano central a polígonos paralelos de Clifford (del mismo tipo). Un par de rotaciones isoclínicas izquierda-derecha constituye una fibración discreta. Todos los planos centrales paralelos de Clifford de la fibración son planos de rotación invariantes, separados por dos ángulos iguales y situados en diferentes hiperplanos. La isoclina diagonal es una ruta más corta entre los vértices no adyacentes que las múltiples rutas simples entre ellos disponibles a lo largo de las aristas: es la ruta más corta en la 3-esfera, la geodésica .

Las fibraciones de la célula 600 incluyen 6 fibraciones de sus 72 grandes decágonos : 6 haces de fibras de 12 grandes decágonos, cada uno de los cuales delimita 20 anillos celulares quirales de 30 células tetraédricas cada uno, con tres grandes decágonos que delimitan cada anillo celular y cinco anillos celulares que se anidan alrededor de cada decágono. Los 12 decágonos paralelos de Clifford en cada haz son completamente disjuntos. Los decágonos paralelos adyacentes están conectados por aristas de otros grandes decágonos. Cada fibración corresponde a una rotación isoclínica izquierda (y derecha) distinta de la célula 600 en 12 planos invariantes de grandes decágonos sobre isoclinas 5𝝅.

El haz de 12 fibras decagonales paralelas de Clifford se divide en un haz de 12 fibras de pentágonos izquierdos y un haz de 12 fibras de pentágonos derechos, con cada par de pentágonos izquierdo-derecho inscrito en un decágono. ^{[ 59 ]} 12 polígonos grandes comprenden un haz de fibras que cubre los 120 vértices en una fibración de Hopf discreta . Hay 20 anillos de 30 celdas disjuntos en la fibración, pero solo 4 anillos de 30 celdas completamente disjuntos. La 600-celda tiene seis de estas fibraciones decagonales discretas , y cada una es el dominio (contenedor) de un par único de rotaciones isoclínicas izquierda-derecha (haces de fibras izquierda y derecha de 12 pentágonos grandes). Cada decágono grande pertenece a una sola fibración, ^{[ 58 ]} pero cada anillo de 30 celdas pertenece a 5 de las seis fibraciones (y es completamente disjunto de otra fibración). La red de 600 celdas contiene 72 grandes decágonos, divididos entre seis fibraciones, cada una de las cuales es un conjunto de 20 anillos de 30 celdas disjuntos (4 anillos de 30 celdas completamente disjuntos), pero la red de 600 celdas tiene solo 20 anillos de 30 celdas distintos en total. Cada anillo de 30 celdas contiene 3 de los 12 decágonos paralelos de Clifford en cada una de las 5 fibraciones, y 30 de los 120 vértices.

En estas rotaciones isoclínicas decagonales , los vértices se desplazan a lo largo de isoclinas que siguen las aristas de los hexágonos , ^{[ 23 ]} avanzando una distancia pitagórica de una arista de hexágono en cada unidad de rotación doble de 36°×36°. En una rotación isoclínica, cada arista de hexágono sucesiva recorrida se encuentra en un hexágono mayor diferente, por lo que la isoclina describe un poligrama sesgado, no un polígono. En una rotación isoclínica de 60°×60° (como en la rotación hexagonal característica de la celda 24 , y más abajo en las rotaciones hexagonales de la celda 600 ) este poligrama es un hexagrama : la rotación isoclínica sigue una trayectoria circular de 6 aristas, al igual que una rotación hexagonal simple, aunque se necesitan dos revoluciones para enumerar todos los vértices en ella, porque la isoclina es un bucle doble que pasa por cada dos vértices, y sus cuerdas son${\displaystyle {\sqrt {3}}}$cuerdas del hexágono en lugar de${\displaystyle {\sqrt {1}}}$bordes hexagonales. Pero en la rotación decagonal característica de 36°×36° de la celda 600 , los hexágonos grandes sucesivos están más cerca entre sí y son más numerosos, y el poligrama isoclínico formado por sus 15 bordes hexagonales es un pentadecagrama (15-grama). No solo no es el mismo período que el hexágono o la rotación decagonal simple, sino que ni siquiera es un múltiplo entero del período del hexágono, del decágono o de la rotación simple de cualquiera de ellos. Solo el triacontagrama compuesto {30/4}=2{15/2} (30-grama), que son dos 15-gramas que giran en paralelo (uno negro y uno blanco), es un múltiplo de todos ellos, y por lo tanto constituye la unidad de rotación de la rotación isoclínica decagonal.

En el anillo de 30 celdas, los vértices no adyacentes unidos por rotaciones isoclínicas están separados por dos longitudes de arista, con otros tres vértices del anillo situados entre ellos. Los dos vértices no adyacentes están unidos por una${\displaystyle {\sqrt {1}}}$cuerda de la isoclina que es una arista de un gran hexágono (una arista de 24 celdas).${\displaystyle {\sqrt {1}}}$acordes del anillo de 30 celdas (sin el${\displaystyle \phi ^{-1}}$Los bordes de 600 celdas forman un triacontagrama sesgado _{{30/4}=2{15/2}} que contiene 2 bucles dobles de Möbius {15/2} disjuntos, un par de isoclinas de pentadecagrama izquierda-derecha. Cada haz izquierdo (o derecho) de ₁₂ fibras pentagonales es cruzado por un haz izquierdo (o derecho) de 8 fibras de pentadecagrama paralelas de Clifford. Cada anillo distinto de 30 celdas tiene 2 isoclinas de pentadecagrama de doble bucle que pasan por sus vértices pares o impares (negros o blancos) respectivamente. Las rotaciones isoclínicas dividen las 600 celdas (y los 120 vértices) de la 600-celda en dos subconjuntos disjuntos de 300 celdas (y 60 vértices), pares e impares (o blancos y negros), que cambian de lugar entre sí en isoclinas blancas o negras, de una manera dimensionalmente análoga a la forma en que los movimientos diagonales de los alfiles los restringen a las casillas blancas o negras del tablero de ajedrez . ^{[ 16 ] [ 60 ]} Izquierda y derecha no son colores: en una rotación izquierda (o derecha), la mitad de los vértices móviles son negros, que corren a lo largo de isoclinas negras a través de vértices negros, y la otra mitad son vértices blancos que rotan entre sí. Las hélices del pentadecagrama no tienen quiralidad inherente, pero cada una actúa como una isoclina izquierda o derecha en cualquier rotación isoclínica distinta. Las 2 fibras del pentadecagrama pertenecen a los haces de fibras izquierda y derecha de 5 fibraciones diferentes.

En cada vértice, hay seis grandes decágonos y seis isoclinas de pentadecagramas (seis negras o seis blancas) que se cruzan en el vértice. Ocho isoclinas de pentadecagramas (cuatro negras y cuatro blancas) forman un haz de fibras único derecho (o izquierdo) de isoclinas que cubre los 120 vértices en la rotación isoclínica derecha (o izquierda) distinta. Cada fibración tiene una rotación isoclínica izquierda y derecha únicas, y correspondientes haces de fibras izquierda y derecha únicos de 12 pentágonos y 8 isoclinas de pentadecagramas. Hay solo 20 isoclinas negras distintas y 20 isoclinas blancas distintas en la celda 600. Cada isoclina distinta pertenece a 5 haces de fibras.

Dos isoclinas de doble bucle de 15 gramos son axiales a cada anillo de 30 células. Los anillos de 30 células son quirales; cada fibración contiene 10 anillos derechos (espiral en sentido horario) y 10 anillos izquierdos (espiral en sentido antihorario), pero las dos isoclinas en cada anillo de 3 células son enantiomórficamente congruentes (imágenes especulares). Cada una actúa como una isoclina izquierda (o derecha) en una rotación izquierda (o derecha), pero no tiene quiralidad inherente. Los 20 15-gramas izquierdos y 20 derechos de la fibración contienen en total 120 pentagramas abiertos disjuntos (60 izquierdos y 60 derechos), cuyos extremos abiertos son vértices adyacentes de 600 células (uno${\displaystyle \phi ^{-1}}$separadas por la longitud de los bordes). Las 30 cuerdas que unen los 30 vértices de la isoclina son${\displaystyle {\sqrt {1}}}$aristas hexagonales (aristas de 24 celdas), que conectan vértices de 600 celdas que son dos de 600 celdas.${\displaystyle \phi ^{-1}}$aristas separadas en un círculo máximo decágono. Estas cuerdas isoclinas son aristas de hexágonos y aristas de pentagramas .

Las 20 isoclinas paralelas de Clifford (ejes de anillos de 30 celdas) de cada haz de isoclinas izquierdas (o derechas) no se intersecan entre sí. Cualquiera de las distintas rotaciones isoclínicas decagonales (izquierda o derecha) rota los 120 vértices (y las 600 celdas), pero las isoclinas de los pentadecagramas y los pentágonos están conectados de tal manera que los vértices se alternan como 60 vértices negros y 60 blancos (y 300 celdas negras y 300 blancas), como los cuadrados blancos y negros del tablero de ajedrez . En el transcurso de la rotación, los vértices de una isoclina izquierda (o derecha) rotan dentro de la misma isoclina negra (o blanca) de 15 vértices, y las celdas rotan dentro del mismo anillo negro (o blanco) de 30 celdas.

Las fibraciones de la celda 600 incluyen 10 fibraciones de sus 200 hexágonos mayores : 10 haces de fibras de 20 hexágonos mayores. Los 20 hexágonos paralelos de Clifford en cada haz son completamente disjuntos. Los hexágonos paralelos adyacentes están formados por aristas de decágonos mayores. Cada fibración corresponde a una rotación isoclínica izquierda (y derecha) distinta de la celda 600 en 20 planos invariantes de hexágonos mayores sobre isoclinas 4𝝅.

Cada haz de fibras delimita 20 anillos celulares disjuntos directamente congruentes de 6 celdas octaédricas cada uno, con tres anillos celulares anidados alrededor de cada hexágono. El haz de 20 fibras hexagonales paralelas de Clifford se divide en un haz de 20 negras${\displaystyle {\sqrt {3}}}$grandes fibras triangulares y un haz de 20 grandes fibras triangulares blancas, con un triángulo negro y uno blanco inscritos en cada hexágono y 6 triángulos negros y 6 blancos en cada anillo de 6 octaedros. Los triángulos negros o blancos están unidos por tres isoclinas negras o blancas que se intersecan, cada una de las cuales es un tipo especial de círculo máximo helicoidal que pasa por los vértices correspondientes en 10 grandes triángulos negros (o blancos) paralelos de Clifford. Los 10${\displaystyle {\sqrt {3-\phi }}\approx 1.176}$Las cuerdas de cada isoclina forman un decagrama sesgado {10/3} , 10 aristas de pentágonos mayores unidas extremo con extremo en un bucle helicoidal, que se enrolla 3 veces alrededor de la celda 600 a través de las cuatro dimensiones en lugar de estar planas en un plano central. Cada par de isoclinas blancas y negras (vértices de hexágonos mayores antipodales que se intersecan) forma un icosagrama compuesto de 20 polígonos {20/6} = 2{10/3} .

Observe la relación entre la rotación característica de la celda de 24 en planos invariantes del hexágono mayor (en isoclinas del hexagrama) y la propia versión de la celda de 600 de la rotación de planos del hexágono mayor (en isoclinas del decagrama). Son exactamente la misma rotación isoclínica: tienen la misma isoclina. Tienen diferentes números de la misma isoclina, y la celda de 600${\displaystyle {\sqrt {3-\phi }}\approx 1.176}$La cuerda isoclina es más corta que la de 24 celdas.${\displaystyle {\sqrt {3}}}$cuerda isoclina porque la isoclina interseca más vértices en la celda de 600 (10) que en la celda de 24 (6), pero ambos poligramas de Clifford tienen una circunferencia de 4𝝅. La celda de 24 rota hexágonos sobre hexagramas , mientras que la celda de 600 rota hexágonos sobre decagramas, pero estos son casos discretos del mismo tipo de rotación isoclínica en planos invariantes de hexágonos. En particular, sus isoclinas congruentes son todas exactamente el mismo círculo geodésico de circunferencia 4𝝅. Tienen poligramas isoclínicos diferentes solo porque la curva isoclínica interseca más vértices en la celda de 600 que en la celda de 24.

Las fibraciones de la celda 600 incluyen 15 fibraciones de sus 450 cuadrados máximos : 15 haces de fibras de 30 cuadrados máximos. Los 30 cuadrados paralelos de Clifford en cada haz son completamente disjuntos. Los cuadrados paralelos adyacentes están formados por aristas de decágonos máximos. Cada fibración corresponde a una rotación isoclínica izquierda (y derecha) distinta de la celda 600 en 30 planos invariantes de cuadrados máximos (15 pares completamente ortogonales) sobre isoclinas de 4π.

Cada haz de fibras delimita 30 anillos celulares quirales de 8 células tetraédricas cada uno, con un anillo celular izquierdo y otro derecho que se anidan para llenar cada una de las 15 células disjuntas de 16 celdas inscritas en la célula de 600 celdas. Axial a cada anillo de 8 tetraedros se encuentra un tipo especial de círculo máximo helicoidal, una isoclina. En una rotación isoclínica izquierda (o derecha) de la célula de 600 celdas en planos invariantes de cuadrados máximos, todos los vértices circulan sobre una de las 15 isoclinas paralelas de Clifford.

Los 30 cuadrados paralelos de Clifford en cada haz están unidos por cuatro isoclinas paralelas de Clifford de 24-gramas (una que pasa por cada vértice), cada una de las cuales interseca un vértice en 24 de los 30 cuadrados, y los 24 vértices de solo una de las 25 24-celdas de la 600-celda. Cada isoclina es un circuito de 24-gramas que interseca las 25 24-celdas, 24 de ellas solo una vez y una de ellas 24 veces. Los 24 vértices en cada isoclina de 24-gramas comprenden una 24-celda única; hay 25 de estas isoclinas distintas en la 600-celda. Cada isoclina es un 24-grama sesgado {24/5}, 24${\displaystyle \phi }$cuerdas unidas extremo con extremo en un bucle helicoidal, enrollándose 5 veces alrededor de una celda de 24 lados a través de las cuatro dimensiones en lugar de estar planas en un plano central. Los vértices adyacentes de la celda de 24 lados son uno${\displaystyle {\sqrt {1}}}$acorde aparte, y 5${\displaystyle \phi }$cuerdas separadas en su isoclina. Una rotación isoclínica izquierda (o derecha) de 720° lleva cada 24-celda a través de todas las demás 24-celdas.

Observe las relaciones entre la rotación de la celda de 16 de solo 2 planos cuadrados máximos invariantes , la rotación de la celda de 24 en 6 cuadrados máximos paralelos de Clifford y esta rotación de la celda de 600 en 30 cuadrados máximos paralelos de Clifford. Estas tres rotaciones son la misma rotación, que tiene lugar exactamente en el mismo tipo de círculos isoclínicos, que casualmente intersecan más vértices en la celda de 600 (24) que en la celda de 16 (8). En la rotación de la celda de 16, la distancia entre vértices en una curva isoclina es la${\displaystyle {\sqrt {2}}}$diámetro. En el de 600 celdas los vértices están más juntos y su${\displaystyle \phi }$La cuerda es la distancia entre vértices adyacentes en la misma isoclina, pero todas estas isoclinas tienen una circunferencia de 4𝝅.