n -esfera

El conjunto de puntos en${\displaystyle (n+1)}$-espacio ,​${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})}$⁠ , que definen un ⁠${\displaystyle n}$-esfera ,​${\displaystyle S^{n}(r)}$⁠ , se representa mediante la ecuación:

${\displaystyle r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2},}$

donde​${\displaystyle \mathbf {c} =(c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n+1})}$es un punto central, y${\displaystyle r}$es el radio.

Lo anterior${\displaystyle n}$⁠ -esfera existe en ⁠${\displaystyle (n+1)}$Espacio euclidiano de dimensión y es un ejemplo de un${\displaystyle n}$- variedad . La forma de volumen${\displaystyle \omega }$de un​${\displaystyle n}$-esfera de radio${\displaystyle r}$⁠ se da por

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}={\star }dr}$

dónde${\displaystyle {\star }}$es el operador estrella de Hodge ; véase Flanders (1989 , §6.1) para una discusión y demostración de esta fórmula en el caso ⁠${\displaystyle r=1}$⁠ . Como resultado,

${\displaystyle dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.}$

El espacio encerrado por un ⁠${\displaystyle n}$⁠ -esfera se llama ⁠${\displaystyle (n+1)}$- pelota . Un​${\displaystyle (n+1)}$⁠ -la bola está cerrada si incluye el ⁠${\displaystyle n}$-esfera , y está abierta si no incluye la${\displaystyle n}$-esfera .

Específicamente:

• A​${\displaystyle 1}$- Una bola , un segmento de línea , es el interior de una esfera de dimensión 0.
• A​${\displaystyle 2}$⁠ - bola , un disco , es el interior de un círculo ( ⁠${\displaystyle 1}$-esfera ).
• A​${\displaystyle 3}$⁠ - bola , una bola ordinaria , es el interior de una esfera ( ⁠${\displaystyle 2}$-esfera ).
• A​${\displaystyle 4}$⁠ - la bola es el interior de una 3- esfera , etc.

Topológicamente , un${\displaystyle n}$⁠ -esfera puede construirse como una compactificación de un punto de ⁠${\displaystyle n}$Espacio euclidiano de -dimensiones. En resumen, el${\displaystyle n}$⁠ -esfera puede describirse como ⁠${\displaystyle S^{n}=\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}}$⁠ , que es ⁠${\displaystyle n}$Espacio euclidiano de -dimensiones más un único punto que representa el infinito en todas las direcciones. En particular, si se elimina un único punto de un${\displaystyle n}$-esfera , se vuelve homeomorfa a${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Esto constituye la base de la proyección estereográfica . ^{[ 1 ]}

El área de superficie , o propiamente el ⁠${\displaystyle n}$volumen -dimensional , del${\displaystyle n}$-esfera en el límite de la${\displaystyle (n+1)}$-bola de radio${\displaystyle R}$⁠ está relacionado con el volumen de la bola mediante la ecuación diferencial

${\displaystyle S_{n}R^{n}={\frac {dV_{n+1}R^{n+1}}{dR}}={(n+1)V_{n+1}R^{n}}.}$

De forma equivalente, representando la unidad${\displaystyle n}$-bola como unión de concéntricos${\displaystyle (n-1)}$-capas esféricas ,​

${\displaystyle V_{n+1}=\int _{0}^{1}S_{n}r^{n}\,dr={\frac {1}{n+1}}S_{n}.}$

También podemos representar la unidad${\displaystyle (n+2)}$⁠ -esfera como unión de productos de un círculo ( ⁠${\displaystyle 1}$-esfera ) con una${\displaystyle n}$-esfera . Entonces${\displaystyle S_{n+2}=2\pi V_{n+1}}$⁠ . Dado que ⁠${\displaystyle S_{1}=2\pi V_{0}}$⁠ , la ecuación

${\displaystyle S_{n+1}=2\pi V_{n}}$

Se aplica a todos${\displaystyle n}$⁠ . Junto con los casos base ⁠${\displaystyle S_{0}=2}$,​​${\displaystyle V_{1}=2}$A partir de lo anterior, estas recurrencias se pueden utilizar para calcular el área de la superficie de cualquier esfera o el volumen de cualquier bola.

El elemento de longitud de arco es$${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+\sum _{k=1}^{n-1}r^{2}\left(\prod _{m=1}^{k-1}\sin ^{2}\left(\varphi _{m}\right)\right)d\varphi _{k}^{2}}$$Para expresar el elemento de volumen de ⁠${\displaystyle n}$Espacio euclidiano de -dimensiones en términos de coordenadas esféricas, sea${\displaystyle s_{k}=\sin \varphi _{k}}$y​​${\displaystyle c_{k}=\cos \varphi _ {k}}$Para mayor brevedad, observemos que la matriz jacobiana de la transformación es:

${\displaystyle J_{n}={\begin{pmatrix}c_{1}&-rs_{1}&0&0&\cdots &0\\s_{1}c_{2}&rc_{1}c_{2}&-rs_{1}s_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\&&&&&0\\s_{1}\cdots s_{n-2}c_{n-1}&\cdots &\cdots &&&-rs_{1}\cdots s_{n-2}s_{n-1}\\s_{1}\cdots s_{n-2}s_{n-1}&rc_{1}\cdots s_{n-1}&\cdots &&&{\phantom {-}}rs_{1}\cdots s_{n-2}c_{n-1}\end{pmatrix}}.}$

El determinante de esta matriz se puede calcular por inducción. Cuando${\displaystyle n=2}$⁠ , un cálculo sencillo muestra que el determinante es ⁠${\displaystyle r}$⁠ . Para tamaños más grandes ⁠${\displaystyle n}$⁠ , observe que ⁠${\displaystyle J_{n}}$⁠ se puede construir a partir de ⁠${\displaystyle J_{n-1}}$⁠ como sigue. Excepto en la columna ⁠${\displaystyle n}$, filas​${\displaystyle n-1}$y​​${\displaystyle n}$de​​${\displaystyle J_{n}}$son lo mismo que la fila${\displaystyle n-1}$de​​${\displaystyle J_{n-1}}$⁠ , pero multiplicado por un factor adicional de ⁠${\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}$en fila​${\displaystyle n-1}$y un factor adicional de${\displaystyle \sin \varphi _ {n-1}}$en fila​${\displaystyle n}$. En la columna${\displaystyle n}$, filas​${\displaystyle n-1}$y​​${\displaystyle n}$de​​${\displaystyle J_{n}}$son lo mismo que la columna${\displaystyle n-1}$de fila​${\displaystyle n-1}$de​​${\displaystyle J_{n-1}}$⁠ , pero multiplicado por factores adicionales de ⁠${\displaystyle \sin \varphi _ {n-1}}$en fila​${\displaystyle n-1}$y​​${\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}$en fila​${\displaystyle n}$⁠ , respectivamente. El determinante de ⁠${\displaystyle J_{n}}$⁠ se puede calcular mediante la expansión de Laplace en la columna final. Por la descripción recursiva de ⁠${\displaystyle J_{n}}$⁠ , la submatriz formada al eliminar la entrada en ⁠${\displaystyle (n-1,n)}$y su fila y columna son casi iguales${\displaystyle J_{n-1}}$⁠ , excepto que su última fila se multiplica por ⁠${\displaystyle \sin \varphi _ {n-1}}$⁠ . De manera similar, la submatriz formada al eliminar la entrada en ⁠${\displaystyle (n,n)}$y su fila y columna son casi iguales${\displaystyle J_{n-1}}$⁠ , excepto que su última fila se multiplica por ⁠${\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}$⁠ . Por lo tanto, el determinante de ⁠${\displaystyle J_{n}}$es​

${\displaystyle {\begin{aligned}|J_{n}|&=(-1)^{(n-1)+n}(-rs_{1}\dotsm s_{n-2}s_{n-1})(s_{n-1}|J_{n-1}|)\\&\qquad {}+(-1)^{n+n}(rs_{1}\dotsm s_{n-2}c_{n-1})(c_{n-1}|J_{n-1}|)\\&=(rs_{1}\dotsm s_{n-2}|J_{n-1}|(s_{n-1}^{2}+c_{n-1}^{2})\\&=(rs_{1}\dotsm s_{n-2})|J_{n-1}|.\end{aligned}}}$

La inducción proporciona entonces una expresión analítica para el elemento de volumen en coordenadas esféricas.

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{n}V&=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial \left(r,\varphi _{j}\right)}}\right|dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}\\&=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.\end{aligned}}}$

La fórmula para el volumen del ⁠${\displaystyle n}$-ball se puede derivar de esto mediante integración.

De manera similar, el elemento de área superficial del ⁠${\displaystyle (n-1)}$-esfera de radio${\displaystyle R}$⁠ , que generaliza el elemento de área del ⁠${\displaystyle 2}$-esfera , está dada por

${\displaystyle d_{S^{n-1}}V=R^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.}$

La elección natural de una base ortogonal sobre las coordenadas angulares es un producto de polinomios ultraesféricos ,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int _{0}^{\pi }\sin ^{nj-1}\left(\varphi _{j}\right)C_{s}^{\left({\frac {nj-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)C_{s'}^{\left({\frac {nj-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)\,d\varphi _{j}\\[6pt]&={\frac {2^{3-n+j}\pi \Gamma (s+nj-1)}{s!(2s+nj-1)\Gamma ^{2}\left({\frac {nj-1}{2}}\right)}}\delta _{s,s'}\end{aligned}}}$

para​${\displaystyle j=1,2,\ldots ,n-2}$⁠ , y el ⁠${\displaystyle e^{es\varphi _ {j}}}$para el ángulo${\displaystyle j=n-1}$⁠ en concordancia con los armónicos esféricos .

El sistema de coordenadas esféricas estándar surge de escribir ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$como el producto${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n-1}}$Estos dos factores pueden relacionarse utilizando coordenadas polares. Para cada punto${\displaystyle \mathbf {x} }$de​${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, las coordenadas cartesianas estándar

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},z_{1},\dots ,z_{n-1})=(y_{1},\mathbf {z} )}$

puede transformarse en un sistema de coordenadas polares-cartesianas mixto:

${\displaystyle \mathbf {x} =(r\sin \theta ,(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).}$

Esto dice que los puntos en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Se puede expresar tomando el rayo que parte del origen y pasa por${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}=\mathbf {z} /\lVert \mathbf {z} \rVert \in S^{n-2}}$girándolo hacia${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$por${\displaystyle \theta =\arcsin y_{1}/r}$y viajar una distancia${\displaystyle r=\lVert \mathbf {x} \rVert }$a lo largo del rayo. Repitiendo esta descomposición se llega finalmente al sistema de coordenadas esféricas estándar.

Los sistemas de coordenadas poliesféricas surgen de una generalización de esta construcción. ^{[ 4 ]} El espacio ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠ se divide como el producto de dos espacios euclidianos de menor dimensión, pero ninguno de los espacios tiene por qué ser una línea. Específicamente, supongamos que ⁠${\displaystyle p}$y​​${\displaystyle q}$son enteros positivos tales que${\displaystyle n=p+q}$⁠ . Entonces ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}}$⁠ . Utilizando esta descomposición, un punto ⁠${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$⁠ puede escribirse como

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},\dots ,y_{p},z_{1},\dots ,z_{q})=(\mathbf {y} ,\mathbf {z} ).}$

Esto se puede transformar en un sistema de coordenadas polares-cartesianas mixto escribiendo:

${\displaystyle \mathbf {x} =((r\sin \theta ){\hat {\mathbf {y} }},(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).}$

Aquí${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$y${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$son los vectores unitarios asociados a ⁠${\displaystyle \mathbf {y} }$y​​${\displaystyle \mathbf {z} }$⁠ . Esto expresa ⁠${\displaystyle \mathbf {x} }$en términos de${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}\in S^{p-1}}$,​​${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}\in S^{q-1}}$,​​${\displaystyle r\geq 0}$y un ángulo${\displaystyle \theta }$⁠ . Se puede demostrar que el dominio de ⁠${\displaystyle \theta }$es​​${\displaystyle [0,2\pi )}$si​​${\displaystyle p=q=1}$,​​${\displaystyle [0,\pi ]}$⁠ si exactamente uno de ⁠${\displaystyle p}$y​​${\displaystyle q}$es​​${\displaystyle 1}$y​​${\displaystyle [0,\pi /2]}$⁠ si ninguno de los dos ⁠${\displaystyle p}$ni​​${\displaystyle q}$son​​${\displaystyle 1}$⁠ . La transformación inversa es

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=\lVert \mathbf {x} \rVert ,\\\theta &=\arcsin {\frac {\lVert \mathbf {y} \rVert }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}=\arccos {\frac {\lVert \mathbf {z} \rVert }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}=\arctan {\frac {\lVert \mathbf {y} \rVert }{\lVert \mathbf {z} \rVert }}.\end{aligned}}}$

Estas divisiones pueden repetirse siempre que uno de los factores involucrados tenga dimensión dos o mayor. Un sistema de coordenadas poliesféricas es el resultado de repetir estas divisiones hasta que no queden coordenadas cartesianas. Las divisiones posteriores a la primera no requieren una coordenada radial porque los dominios de${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$y${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$son esferas, por lo que las coordenadas de un sistema de coordenadas poliesféricas son un radio no negativo y${\displaystyle n-1}$ángulos . Los posibles sistemas de coordenadas polisféricas corresponden a árboles binarios con${\displaystyle n}$hojas . Cada nodo que no es una hoja en el árbol corresponde a una división y determina una coordenada angular. Por ejemplo, la raíz del árbol representa${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠ , y sus hijos inmediatos representan la primera división en ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$y​​${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$⁠ . Los nodos hoja corresponden a coordenadas cartesianas para ⁠${\displaystyle S^{n-1}}$Las fórmulas para convertir de coordenadas poliesféricas a coordenadas cartesianas se pueden determinar encontrando los caminos desde la raíz hasta los nodos hoja. Estas fórmulas son productos con un factor por cada rama tomada por el camino. Para un nodo cuya coordenada angular correspondiente es${\displaystyle \theta _{i}}$⁠ , tomar la rama izquierda introduce un factor de ⁠${\displaystyle \sin \theta _{i}}$y tomar la rama derecha introduce un factor de${\displaystyle \cos \theta _{i}}$La transformación inversa , de coordenadas poliesféricas a coordenadas cartesianas, se determina agrupando nodos. Cada par de nodos que tienen un nodo padre común puede convertirse de un sistema de coordenadas polares-cartesianas mixto a un sistema de coordenadas cartesianas utilizando las fórmulas de división mencionadas anteriormente.

Las coordenadas poliesféricas también tienen una interpretación en términos del grupo ortogonal especial . Una división${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}}$determina un subgrupo

${\displaystyle \operatorname {SO} _{p}(\mathbb {R} )\times \operatorname {SO} _{q}(\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {SO} _{n}(\mathbb {R} ).}$

Este es el subgrupo que deja cada uno de los dos factores.${\displaystyle S^{p-1}\times S^{q-1}\subseteq S^{n-1}}$fijo. Elegir un conjunto de representantes de clases laterales para el cociente es lo mismo que elegir ángulos representativos para este paso de la descomposición en coordenadas poliesféricas.

En coordenadas poliesféricas, la medida de volumen en ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y la medida del área en${\displaystyle S^{n-1}}$⁠ son productos. Hay un factor para cada ángulo y la medida de volumen en ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$También tiene un factor para la coordenada radial. La medida del área tiene la forma:

${\displaystyle dA_{n-1}=\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i},}$

donde los factores${\displaystyle F_{i}}$⁠ están determinados por el árbol. De manera similar, la medida de volumen es

${\displaystyle dV_{n}=r^{n-1}\,dr\,\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i}.}$

Supongamos que tenemos un nodo del árbol que corresponde a la descomposición ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n_{1}+n_{2}}=\mathbb {R} ^{n_{1}}\times \mathbb {R} ^{n_{2}}}$y que tiene coordenadas angulares${\displaystyle \theta }$⁠ . El factor correspondiente ⁠${\displaystyle F}$Depende de los valores de${\displaystyle n_{1}}$y​​${\displaystyle n_{2}}$Cuando la medida del área se normaliza de modo que el área de la esfera sea${\displaystyle 1}$Estos factores son los siguientes. Si${\displaystyle n_{1}=n_{2}=1}$, entonces

${\displaystyle F(\theta )={\frac {d\theta }{2\pi }}.}$

Si​${\displaystyle n_{1}>1}$y​​${\displaystyle n_{2}=1}$, y si${\displaystyle \mathrm {B} }$⁠ denota la función beta , entonces

${\displaystyle F(\theta )={\frac {\sin ^{n_{1}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {1}{2}})}}\,d\theta .}$

Si​${\displaystyle n_{1}=1}$y​​${\displaystyle n_{2}>1}$, entonces

${\displaystyle F(\theta )={\frac {\cos ^{n_{2}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {1}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}$

Finalmente, si ambos${\displaystyle n_{1}}$y​​${\displaystyle n_{2}}$son mayores que uno, entonces

${\displaystyle F(\theta )={\frac {(\sin ^{n_{1}-1}\theta )(\cos ^{n_{2}-1}\theta )}{{\frac {1}{2}}\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}$

Véase también: Distribución de Von Mises-Fisher §  La distribución hiperesférica uniforme .

Para generar puntos aleatorios distribuidos uniformemente en la unidad${\displaystyle (n-1)}$-esfera (es decir, la superficie de la unidad )${\displaystyle n}$-bola ), Marsaglia (1972) proporciona el siguiente algoritmo.

Generar un ⁠${\displaystyle n}$Vector de -dimensiones de desviaciones normales (basta con usar${\displaystyle N(0,1)}$⁠ , aunque de hecho la elección de la varianza es arbitraria), ⁠${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$Ahora calcula el "radio" de este punto:

${\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

El vector${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}\mathbf {x} }$Se distribuye uniformemente sobre la superficie de la unidad .${\displaystyle n}$-pelota .

Una alternativa propuesta por Marsaglia consiste en seleccionar un punto de forma aleatoria y uniforme .${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$en el cubo unitario n mediante el muestreo de cada uno${\displaystyle x_{i}}$independientemente de la distribución uniforme sobre${\displaystyle (-1,1)}$, computación​${\displaystyle r}$como se indicó anteriormente, y rechazando el punto y remuestreando si${\displaystyle r\geq 1}$⁠ (es decir, si el punto no está en el ⁠${\displaystyle n}$-bola ), y cuando se obtiene un punto en la bola, se escala a la superficie esférica por el factor${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}}$; luego otra vez${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}\mathbf {x} }$Se distribuye uniformemente sobre la superficie de la unidad .${\displaystyle n}$-bola . Este método se vuelve muy ineficiente para dimensiones superiores, ya que una fracción infinitesimalmente pequeña del cubo unitario está contenida en la esfera. En diez dimensiones, menos del 2% del cubo está lleno por la esfera, por lo que normalmente se necesitarán más de 50 intentos. En setenta dimensiones, menos del${\displaystyle 10^{-24}}$del cubo está lleno, lo que significa que normalmente se necesitarán un billón de cuatrillones de ensayos, mucho más de lo que una computadora podría realizar.

Con un punto seleccionado uniformemente al azar de la superficie de la unidad${\displaystyle (n-1)}$-esfera (por ejemplo, utilizando el algoritmo de Marsaglia), solo se necesita un radio para obtener un punto uniformemente aleatorio dentro de la unidad .${\displaystyle n}$-bola . Si${\displaystyle u}$es un número generado uniformemente al azar del intervalo${\displaystyle [0,1]}$y​​${\displaystyle \mathbf {x} }$es un punto seleccionado uniformemente al azar de la unidad${\displaystyle (n-1)}$-esfera , entonces${\displaystyle u^{1/n}\mathbf {x} }$está distribuido uniformemente dentro de la unidad${\displaystyle n}$-pelota .

Alternativamente, se pueden muestrear puntos de forma uniforme dentro de la unidad .${\displaystyle n}$-bola mediante una reducción de la unidad${\displaystyle (n+1)}$-esfera . En particular, si${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+2})}$es un punto seleccionado uniformemente de la unidad${\displaystyle (n+1)}$-esfera , entonces${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$está distribuido uniformemente dentro de la unidad${\displaystyle n}$-bola (es decir, descartando simplemente dos coordenadas). ^{[ 5 ]}

Si​${\displaystyle n}$⁠ es suficientemente grande, la mayor parte del volumen del ⁠${\displaystyle n}$La esfera estará contenida en la región muy cercana a su superficie, por lo que un punto seleccionado de ese volumen probablemente también estará cerca de la superficie. Este es uno de los fenómenos que dan lugar a la llamada maldición de la dimensionalidad , que surge en algunas aplicaciones numéricas y de otro tipo.

Dejemos​${\displaystyle y=x_{1}^{2}}$⁠ sea el cuadrado de la primera coordenada de un punto muestreado uniformemente al azar de la ⁠${\displaystyle (n-1)}$-esfera , entonces su función de densidad de probabilidad , para${\displaystyle y\in [0,1]}$, es

$${\displaystyle \rho (y)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}{{\sqrt {\pi }}\;\Gamma {\bigl (}{\frac {n-1}{2}}{\bigr )}}}(1-y)^{(n-3)/2}y^{-1/2}.}$$

Dejar${\displaystyle z=y/N}$sea ​​la versión escalada apropiadamente, entonces en el${\displaystyle N\to \infty }$límite, la función de densidad de probabilidad de${\displaystyle z}$converge a${\displaystyle (2\pi ze^{z})^{-1/2}}$. A esto se le llama a veces distribución de Porter-Thomas. ^{[ 6 ]}