teoría de la homotopía

En teoría de homotopía y topología algebraica, la palabra "espacio" denota un espacio topológico . Para evitar patologías , rara vez se trabaja con espacios arbitrarios; en cambio, se requiere que los espacios cumplan restricciones adicionales, como ser espacios de Hausdorff débiles generados de forma compacta o complejos CW .

En la misma línea que lo anterior, un " mapa " es una función continua, posiblemente con algunas restricciones adicionales.

A menudo, se trabaja con un espacio con un punto definido , es decir, un espacio con un punto base. Una aplicación con punto definido es aquella que conserva los puntos base; es decir, asigna el punto base del dominio al del codominio. En cambio, una aplicación libre no necesita conservar los puntos base.

El producto cartesiano de dos espacios con puntos${\displaystyle X,Y}$no son naturalmente puntiagudos. Un sustituto es el producto triturado${\displaystyle X\wedge Y}$que se caracteriza por la relación adjunta

${\displaystyle \operatorname {Mapa} (X\wedge Y,Z)=\operatorname {Mapa} (X,\operatorname {Mapa} (Y,Z))}$,

es decir, un producto smash es un análogo de un producto tensorial en álgebra abstracta (véase adjunción tensorial-hom ). Explícitamente,${\displaystyle X\wedge Y}$es el cociente de${\displaystyle X\times Y}$por la suma de cuña${\displaystyle X\vee Y}$.

Sea I el intervalo unitario${\displaystyle [0,1]}$Un mapa

${\displaystyle h:X\times I\to Y}$

se denomina homotopía del mapa${\displaystyle h_{0}}$al mapa${\displaystyle h_{1}}$, dónde${\displaystyle h_{t}(x)=h(x,t)}$Intuitivamente, podemos pensar en${\displaystyle h}$como un camino desde el mapa${\displaystyle h_{0}}$al mapa${\displaystyle h_{1}}$De hecho, se puede demostrar que una homotopía es una relación de equivalencia . Cuando X e Y son espacios con puntos, las aplicaciones${\displaystyle h_{t}}$son necesarios para preservar el punto base y la homotopía${\displaystyle h}$Se denomina homotopía basada . Una homotopía basada es lo mismo que un mapa (basado).${\displaystyle X\wedge I_{+}\to Y}$dónde${\displaystyle I_{+}}$es${\displaystyle I}$junto con un punto base disjunto. ^{[ 1 ]}

Dado un espacio con punto X y un número entero${\displaystyle n\geq 0}$, dejar${\displaystyle \pi _{n}X=[S^{n},X]}$sean las clases de homotopía de mapas basados${\displaystyle S^{n}\to X}$desde una n -esfera (puntiaguda)${\displaystyle S^{n}}$a X. Resulta que,

• para${\displaystyle n\geq 1}$,${\displaystyle \pi _{n}X}$son grupos llamados grupos de homotopía ; en particular,${\displaystyle \pi _{1}X}$se denomina el grupo fundamental de X ,
• para${\displaystyle n\geq 2}$,${\displaystyle \pi _{n}X}$son grupos abelianos según el argumento de Eckmann-Hilton ,
• ${\displaystyle \pi _{0}X}$puede identificarse con el conjunto de componentes conectados por ruta en${\displaystyle X}$.

Cada grupo es el grupo fundamental de algún espacio. ^{[ 2 ]}

Un mapa${\displaystyle f}$Se denomina equivalencia homotópica si existe otro mapa.${\displaystyle g}$de tal manera que${\displaystyle f\circ g}$y${\displaystyle g\circ f}$son ambos homotópicos a las identidades. Se dice que dos espacios son homotópicamente equivalentes si existe una equivalencia homotópica entre ellos. Una clase de equivalencia homotópica de espacios se denomina entonces tipo homotópico . Existe una noción más débil: un mapa${\displaystyle f:X\to Y}$Se dice que es una equivalencia homotópica débil si${\displaystyle f_{*}:\pi _{n}(X)\to \pi _{n}(Y)}$es un isomorfismo para cada${\displaystyle n\geq 0}$y cada elección de un punto base. Una equivalencia homotópica es una equivalencia homotópica débil, pero lo contrario no tiene por qué ser cierto.

A través de la adjunción

${\displaystyle \operatorname {Map} (X\times I,Y)=\operatorname {Map} (X,\operatorname {Map} (I,Y)),\,\,h\mapsto (x\mapsto h(x,\cdot ))}$,

una homotopía${\displaystyle h:X\times I\to Y}$a veces se considera un mapa${\displaystyle X\to Y^{I}=\operatorname {Map} (I,Y)}$.

Un complejo CW es un espacio que tiene un sistema de filtración.${\displaystyle X\supset \cdots \supset X^{n}\supset X^{n-1}\supset \cdots \supset X^{0}}$cuya unión es${\displaystyle X}$y de tal manera que:

1. ${\displaystyle X^{0}}$es un espacio discreto, llamado el conjunto de 0-celdas (vértices) en${\displaystyle X}$.
2. Cada${\displaystyle X^{n}}$se obtiene al unir varios n discos, n celdas, a${\displaystyle X^{n-1}}$a través de mapas${\displaystyle S^{n-1}\to X^{n-1}}$; es decir, el límite de un n-disco se identifica con la imagen de${\displaystyle S^{n-1}}$en${\displaystyle X^{n-1}}$.
3. Un subconjunto${\displaystyle U}$está abierto si y solo si${\displaystyle U\cap X^{n}}$está abierto para cada${\displaystyle n}$.

Por ejemplo, una esfera${\displaystyle S^{n}}$tiene dos celdas: una celda 0 y una${\displaystyle n}$-célula, ya que${\displaystyle S^{n}}$se puede obtener colapsando el límite${\displaystyle S^{n-1}}$del n -disco a un punto. En general, toda variedad tiene el tipo de homotopía de un complejo CW (porque una variedad es una retracción de vecindad absoluta ). ^{[ 3 ]} Más explícitamente, la teoría de Morse implica que una variedad compacta tiene el tipo de homotopía de un complejo CW finito. ^{[ 4 ]}

Sorprendentemente, el teorema de Whitehead afirma que, para los complejos CW, una equivalencia de homotopía débil y una equivalencia de homotopía son lo mismo.

Otro resultado importante es el teorema de aproximación. Primero, la categoría de homotopía de espacios es la categoría donde un objeto es un espacio pero un morfismo es la clase de homotopía de una aplicación. Luego

Explícitamente, el functor de aproximación anterior puede definirse como la composición del functor de cadena singular.${\displaystyle S_{*}}$seguido del functor de realización geométrica; véase §  Conjunto simplicial .

El teorema anterior justifica la costumbre común de trabajar solo con complejos CW. Por ejemplo, dado un espacio${\displaystyle X}$, uno puede simplemente definir la homología de${\displaystyle X}$a la homología de la aproximación CW de${\displaystyle X}$(La estructura celular de un complejo CW determina la homología natural, la homología celular , que puede considerarse la homología del complejo).

Dependiendo del espacio, a veces se pueden encontrar mejores teoremas de aproximación; por ejemplo, la aproximación simplicial o la aproximación suave .

Un mapa${\displaystyle f:A\to X}$Se denomina cofibración si se da:

1. Un mapa${\displaystyle h_{0}:X\to Z}$, y
2. Una homotopía${\displaystyle g_{t}:A\to Z}$

de tal manera que${\displaystyle h_{0}\circ f=g_{0}}$, existe una homotopía${\displaystyle h_{t}:X\to Z}$que se extiende${\displaystyle h_{0}}$y tal que${\displaystyle h_{t}\circ f=g_{t}}$. Un ejemplo es una retracción de deformación de vecindario ; es decir,${\displaystyle X}$contiene un vecindario de cilindro de mapeo de un subespacio cerrado${\displaystyle A}$y${\displaystyle f}$la inclusión (por ejemplo, un vecindario tubular de una subvariedad cerrada). ^{[ 8 ]} De hecho, una cofibración puede caracterizarse como un par de retracción de deformación de vecindario. ^{[ 9 ]} Otro ejemplo básico es un par CW.${\displaystyle (X,A)}$; muchos trabajan a menudo solo con complejos CW y la noción de una cofibración suele estar implícita.

Una fibración en el sentido de Hurewicz es la noción dual de una cofibración: es decir, un mapa${\displaystyle p:X\to B}$es una fibración si dado (1) un mapa${\displaystyle h_{0}:Z\to X}$y (2) una homotopía${\displaystyle g_{t}:Z\to B}$de tal manera que${\displaystyle p\circ h_{0}=g_{0}}$, existe una homotopía${\displaystyle h_{t}:Z\to X}$que se extiende${\displaystyle h_{0}}$y tal que${\displaystyle p\circ h_{t}=g_{t}}$.

Mientras que una cofibración se caracteriza por la existencia de una retracción, una fibración se caracteriza por la existencia de una sección llamada elevación de caminos, como sigue. Sea${\displaystyle p':Np\to B^{I}}$ser el retroceso de un mapa${\displaystyle p:E\to B}$a lo largo de${\displaystyle \chi \mapsto \chi (1):B^{I}\to B}$, llamado el espacio de ruta de mapeo de${\displaystyle p}$. ^{[ 10 ]} Visualización${\displaystyle p'}$como una homotopía${\displaystyle Np\times I\to B}$(véase §  Homotopía ), si${\displaystyle p}$es una fibración, entonces${\displaystyle p'}$da una homotopía ^{[ 11 ]}

${\displaystyle s:Np\to E^{I}}$

de tal manera que${\displaystyle s(e,\chi )(0)=e,\,(p^{I}\circ s)(e,\chi )=\chi }$dónde${\displaystyle p^{I}:E^{I}\to B^{I}}$es dado por${\displaystyle p}$. ^{[ 12 ]} Esto${\displaystyle s}$se denomina elevación de trayectoria asociada a${\displaystyle p}$Por el contrario, si hay un camino que se eleva${\displaystyle s}$, entonces${\displaystyle p}$es una fibración ya que se obtiene una homotopía requerida mediante${\displaystyle s}$.

Un ejemplo básico de fibración es un mapa de cobertura, ya que viene con un levantamiento de ruta único. Si${\displaystyle E}$es un fibrado G principal sobre un espacio paracompacto, es decir, un espacio con una acción de grupo (topológica) libre y transitiva de un grupo ( topológico ), entonces la proyección map${\displaystyle p:E\to X}$es una fibración, porque una fibración de Hurewicz se puede comprobar localmente en un espacio paracompacto. ^{[ 13 ]}

Si bien una cofibración es inyectiva con imagen cerrada, ^{[ 14 ]} una fibración no tiene por qué ser sobreyectiva.

También existen versiones basadas de una cofibración y una fibración (es decir, se requiere que los mapas estén basados). ^{[ 15 ]}

Un par de mapas${\displaystyle i:A\to X}$y${\displaystyle p:E\to B}$Se dice que satisface la propiedad de elevación ^{[ 16 ]} si para cada diagrama cuadrado conmutativo

Hay un mapa${\displaystyle \lambda }$Eso hace que el diagrama anterior siga siendo válido. (La noción tiene su origen en la teoría de las categorías de modelos ).

Dejar${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ser una clase de mapas. Entonces un mapa${\displaystyle p:E\to B}$Se dice que satisface la propiedad de elevación correcta o la RLP si${\displaystyle p}$satisface la propiedad de elevación anterior para cada${\displaystyle i}$en${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$. De manera similar, un mapa${\displaystyle i:A\to X}$Se dice que satisface la propiedad de elevación izquierda o la LLP si satisface la propiedad de elevación para cada${\displaystyle p}$en${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$.

Por ejemplo, una fibración de Hurewicz es exactamente un mapa.${\displaystyle p:E\to B}$que satisface el RLP para las inclusiones${\displaystyle i_{0}:A\to A\times I}$Una fibración de Serre es una aplicación que satisface el RLP para las inclusiones.${\displaystyle i:S^{n-1}\to D^{n}}$dónde${\displaystyle S^{-1}}$es el conjunto vacío. Una fibración de Hurewicz es una fibración de Serre y lo contrario se cumple para los complejos CW. ^{[ 17 ]}

Por otro lado, una cofibración es precisamente un mapa que satisface el LLP para mapas de evaluación.${\displaystyle p:B^{I}\to B}$en${\displaystyle 0}$.

En la categoría de espacios con punto, hay dos funtores importantes: el funtor de bucle${\displaystyle \Omega }$y el functor de suspensión (reducido)${\displaystyle \Sigma }$, que están en la relación adjunta . Precisamente, se definen como ^{[ 18 ].}

• ${\displaystyle \Omega X=\operatorname {Map} (S^{1},X)}$, y
• ${\displaystyle \Sigma X=X\wedge S^{1}}$.

Debido a la relación adjunta entre un producto smash y un espacio de mapeo, tenemos:

${\displaystyle \operatorname {Map} (\Sigma X,Y)=\operatorname {Map} (X,\Omega Y).}$

Estos functores se utilizan para construir secuencias de fibras y secuencias de cofibras . Es decir, si${\displaystyle f:X\to Y}$es un mapa, la secuencia de fibras generada por${\displaystyle f}$es la secuencia exacta ^{[ 19 ]}

${\displaystyle \cdots \to \Omega ^{2}Ff\to \Omega ^{2}X\to \Omega ^{2}Y\to \Omega Ff\to \Omega X\to \Omega Y\to Ff\to X\to Y}$

dónde${\displaystyle Ff}$es la fibra homotópica de${\displaystyle f}$; es decir, una fibra obtenida después de reemplazar${\displaystyle f}$mediante una fibración (basada). La secuencia de cofibración generada por${\displaystyle f}$es${\displaystyle X\to Y\to Cf\to \Sigma X\to \cdots ,}$dónde${\displaystyle Cf}$es la cofibra homotópica de${\displaystyle f}$Construida como una fibra homotópica (utilizando un cociente en lugar de una fibra).

Los functores${\displaystyle \Omega ,\Sigma }$restringir a la categoría de complejos CW en el siguiente sentido débil: un teorema de Milnor dice que si${\displaystyle X}$Si tiene el tipo de homotopía de un complejo CW, entonces también lo tiene su espacio de bucles.${\displaystyle \Omega X}$. ^{[ 20 ]}

Dado un grupo topológico G , el espacio de clasificación para los G -fibrados principales ("los" salvo equivalencia) es un espacio${\displaystyle BG}$de tal manera que, para cada espacio X ,

${\displaystyle [X,BG]=}${ fibrado G principal en X } / ~${\displaystyle ,\,\,[f]\mapsto [f^{*}EG]}$

dónde

• El lado izquierdo es el conjunto de clases de homotopía de mapas.${\displaystyle X\to BG}$,
• ~ se refiere al isomorfismo de haces, y
• = se obtiene al retirar el haz distinguido${\displaystyle EG}$en${\displaystyle BG}$(llamado haz universal) a lo largo de un mapa${\displaystyle X\to BG}$.

El teorema de representabilidad de Brown garantiza la existencia de espacios de clasificación.

La idea de que un espacio clasificador clasifica los haces principales se puede llevar más allá. Por ejemplo, se podría intentar clasificar las clases de cohomología: dado un grupo abeliano A (como${\displaystyle \mathbb {Z} }$),

${\displaystyle [X,K(A,n)]=\operatorname {H} ^{n}(X;A)}$

dónde${\displaystyle K(A,n)}$es el espacio de Eilenberg-MacLane . La ecuación anterior conduce a la noción de una teoría de cohomología generalizada; es decir, un functor contravariante de la categoría de espacios a la categoría de grupos abelianos que satisface los axiomas que generalizan la teoría de cohomología ordinaria. Resulta que dicho functor puede no ser representable por un espacio, pero siempre puede representarse por una secuencia de espacios (puntuados) con mapas de estructura llamados espectro. En otras palabras, dar una teoría de cohomología generalizada es dar un espectro. Una K-teoría es un ejemplo de una teoría de cohomología generalizada.

Un ejemplo básico de espectro es un espectro esférico :${\displaystyle S^{0}\to S^{1}\to S^{2}\to \cdots }$

En primer lugar, tenemos:

${\displaystyle \pi _{k}S^{n}=0}$para${\displaystyle k<n}$.

Esto se puede ver mediante el teorema de aproximación suave o simplicial . De hecho, dado un${\displaystyle f:S^{k}\to S^{n}}$,${\displaystyle f}$es homotópico a una aplicación que no es sobreyectiva (todas las aplicaciones involucradas son sobreyectivas). Pero una esfera a la que se le ha quitado un punto es contraíble.

Dejar${\displaystyle p:\mathbb {R} \to S^{1}}$ser la cubierta universal; explícitamente,${\displaystyle p(t)=e^{2\pi it}}$. Luego, tomando la secuencia exacta larga de grupos de homotopía , obtenemos

${\displaystyle *=\pi _{1}\mathbb {R} \to \pi _{1}S^{1}\to \pi _{0}F\to \pi _{0}S^{1}=*}$

donde F es una fibra. Por lo tanto,${\displaystyle \pi _{1}S^{1}\simeq \pi _{0}F=\mathbb {Z} }$Dado que F es una red, utilizando el fibrado de Hopf .${\displaystyle S^{1}\to S^{3}\to S^{2}}$Mediante un cálculo similar, también obtenemos:

${\displaystyle \pi _{2}S^{2}=\mathbb {Z} .}$

Alternativamente, también podemos utilizar el teorema de Hurewicz para realizar los cálculos.

Existe un homomorfismo llamado J-homomorfismo.

${\displaystyle \pi _{k}SO(n)\to \pi _{n+k}S^{n}.}$

Un conjunto simplicial es una generalización abstracta de un complejo simplicial y puede funcionar como un "espacio" en cierto sentido. A pesar de su nombre, no es un conjunto, sino una secuencia de conjuntos junto con ciertas relaciones (cara y degeneración) entre ellos.

Por ejemplo, dado un espacio${\displaystyle X}$, para cada entero${\displaystyle n\geq 0}$, dejar${\displaystyle S_{n}X}$sea ​​el conjunto de todos los mapas del n -símplex a${\displaystyle X}$. Luego la secuencia${\displaystyle S_{n}X}$de conjuntos es un conjunto simplicial. ^{[ 23 ]} Cada conjunto simplicial${\displaystyle K=\{K_{n}\}_{n\geq 0}}$tiene un complejo de cadena asociado naturalmente y la homología de ese complejo de cadena es la homología de${\displaystyle K}$. La singular homología de${\displaystyle X}$es precisamente la homología del conjunto simplicial${\displaystyle S_{*}X}$. Además, la realización geométrica${\displaystyle |\cdot |}$de un conjunto simplicial es un complejo CW y la composición${\displaystyle X\mapsto |S_{*}X|}$es precisamente el functor de aproximación CW.

Otro ejemplo importante es una categoría o, más precisamente, el nervio de una categoría , que es un conjunto simplicial. De hecho, un conjunto simplicial es el nervio de alguna categoría si y solo si satisface las condiciones de Segal (un teorema de Grothendieck). Cada categoría está completamente determinada por su nervio. De esta manera, una categoría puede verse como un tipo especial de conjunto simplicial, y esta observación se utiliza para generalizar una categoría. Es decir, un${\displaystyle \infty }$-categoría o una${\displaystyle \infty }$-groupoid se define como tipos particulares de conjuntos simpliciales.

Dado que los conjuntos simpliciales son una especie de espacios abstractos (si no espacios topológicos), es posible desarrollar la teoría de homotopía sobre ellos, que se denomina teoría de homotopía simplicial . ^{[ 23 ]}