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Simetría C

En física , la conjugación de carga es una transformación que intercambia todas las partículas con sus antipartículas correspondientes , cambiando así el signo de todas las carg...

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En física , la conjugación de carga es una transformación que intercambia todas las partículas con sus antipartículas correspondientes , cambiando así el signo de todas las cargas : no solo la carga eléctrica , sino también las cargas relevantes para otras fuerzas. El término simetría C es una abreviatura de la frase "simetría de conjugación de carga" y se utiliza en discusiones sobre la simetría de las leyes físicas bajo conjugación de carga. Otras simetrías discretas importantes son la simetría P (paridad) y la simetría T (inversión temporal).

Estas simetrías discretas, C, P y T, son simetrías de las ecuaciones que describen las fuerzas fundamentales conocidas de la naturaleza: el electromagnetismo , la gravedad , la interacción fuerte y la interacción débil . Verificar si una ecuación matemática dada modela correctamente la naturaleza requiere dar una interpretación física no solo a las simetrías continuas , como el movimiento en el tiempo, sino también a sus simetrías discretas , y luego determinar si la naturaleza se adhiere a estas simetrías. A diferencia de las simetrías continuas, la interpretación de las simetrías discretas es un poco más exigente intelectualmente y confusa. Una sorpresa temprana surgió en la década de 1950, cuando Chien Shiung Wu demostró que la interacción débil violaba la simetría P. Durante varias décadas, parecía que la simetría combinada CP se conservaba, hasta que se descubrieron interacciones que violaban CP . Ambos descubrimientos dieron lugar a premios Nobel .

La simetría C resulta particularmente problemática desde el punto de vista físico, ya que el universo está compuesto principalmente de materia , no de antimateria , mientras que la simetría C ingenua de las leyes físicas sugiere que debería haber cantidades iguales de ambas. Actualmente se cree que la violación de CP durante el universo primitivo puede explicar el exceso de materia, aunque el debate aún no está zanjado. Los primeros libros de texto de cosmología , anteriores a la década de 1970, sugerían habitualmente que quizás las galaxias distantes estaban compuestas enteramente de antimateria, manteniendo así un balance neto de cero en el universo.

Este artículo se centra en exponer y articular la simetría C de varias ecuaciones y sistemas teóricos importantes, incluyendo la ecuación de Dirac y la estructura de la teoría cuántica de campos . Las distintas partículas fundamentales pueden clasificarse según su comportamiento bajo conjugación de carga; esto se describe en el artículo sobre la paridad C.

Descripción general informal

La conjugación de carga se manifiesta como una simetría en tres contextos distintos pero estrechamente relacionados: una simetría de las soluciones (clásicas, no cuantizadas) de varias ecuaciones diferenciales notables, como la ecuación de Klein-Gordon y la ecuación de Dirac ; una simetría de los campos cuánticos correspondientes; y, en un contexto general, una simetría en la geometría (pseudo)riemanniana . En los tres casos, la simetría se revela finalmente como una simetría bajo conjugación compleja , aunque lo que se conjuga exactamente puede resultar a veces confuso, dependiendo de la notación, la elección de coordenadas y otros factores.

En los campos clásicos

La simetría de conjugación de carga se interpreta como la de la carga eléctrica , porque en los tres casos (clásico, cuántico y geométrico) se pueden construir corrientes de Noether que se asemejan a las de la electrodinámica clásica . Esto surge porque la electrodinámica misma, a través de las ecuaciones de Maxwell , puede interpretarse como una estructura en un fibrado U(1) , el llamado fibrado circular . Esto proporciona una interpretación geométrica del electromagnetismo: el potencial electromagnético .Aμ{\displaystyle A_{\mu }}Se interpreta como la conexión de gauge (la conexión de Ehresmann ) en el fibrado circular. Esta interpretación geométrica permite que (literalmente casi) cualquier cosa que posea una estructura con valores de números complejos se acople al campo electromagnético, siempre que este acoplamiento se realice de forma invariante de gauge . La simetría de gauge, en este contexto geométrico, es una afirmación de que, al moverse alrededor del círculo, el objeto acoplado también debe transformarse de forma circular, siguiendo el movimiento de manera correspondiente. Más formalmente, se dice que las ecuaciones deben ser invariantes de gauge ante un cambio de sistemas de coordenadas locales en el círculo. Para U(1), esto es simplemente la afirmación de que el sistema es invariante ante la multiplicación por un factor de fase.miiϕ(incógnita){\displaystyle e^{i\phi (x)}}que depende de la coordenada (espaciotemporal)incógnita.{\displaystyle x.} En este contexto geométrico, la conjugación de carga puede entenderse como la simetría discreta.z=(incógnita+iy)↦z¯=(incógnita−iy){\displaystyle z=(x+iy)\mapsto {\overline {z}}=(x-iy)}que realiza una conjugación compleja, que invierte el sentido de la dirección alrededor del círculo.

En teoría cuántica

En la teoría cuántica de campos , la conjugación de carga puede entenderse como el intercambio de partículas con antipartículas . Para comprender esta afirmación, es necesario tener un conocimiento mínimo de qué es la teoría cuántica de campos. En términos (muy) simplificados, es una técnica para realizar cálculos que permiten obtener soluciones para un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas mediante la teoría de perturbaciones . Un ingrediente clave de este proceso es el campo cuántico , uno para cada una de las ecuaciones diferenciales (libres, desacopladas) del sistema. Un campo cuántico se escribe convencionalmente como

ψ(incógnita)=∫d3pag∑σ,nortemi−ipag⋅incógnitaa(pag→,σ,norte)tú(pag→,σ,norte)+miipag⋅incógnitaa†(pag→,σ,norte)v(pag→,σ,norte){\displaystyle \psi (x)=\int d^{3}p\sum _{\sigma ,n}e^{-ip\cdot x}a\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)+e^{ip\cdot x}a^{\dagger }\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}

dóndepag→{\displaystyle {\vec {p}}}es el impulso,σ{\displaystyle \sigma }es una etiqueta de manipulación,norte{\displaystyle n}es una etiqueta auxiliar para otros estados en el sistema.a{\displaystyle a}ya†{\displaystyle a^{\dagger }}son operadores de creación y aniquilación ( operadores de escalera ) ytú,v{\displaystyle u,v}son soluciones a la ecuación diferencial (libre, no interactuante, desacoplada) en cuestión. El campo cuántico desempeña un papel central porque, en general, se desconoce cómo obtener soluciones exactas al sistema de problemas diferenciales acoplados. Sin embargo, mediante la teoría de perturbaciones, se pueden construir soluciones aproximadas como combinaciones de las soluciones de campo libre. Para realizar esta construcción, es necesario poder extraer y trabajar con cualquier solución de campo libre dada, a demanda, cuando se requiera. El campo cuántico proporciona precisamente esto: enumera todas las posibles soluciones de campo libre en un espacio vectorial de tal manera que cualquiera de ellas puede ser seleccionada en cualquier momento dado, mediante los operadores de creación y aniquilación.

Los operadores de creación y aniquilación obedecen las relaciones de conmutación canónicas , en el sentido de que un operador "deshace" lo que el otro "crea". Esto implica que cualquier solución dadatú(pag→,σ,norte){\displaystyle u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}debe ir acompañado de su "antisolución".v(pag→,σ,norte){\displaystyle v\left({\vec {p}},\sigma,n\right)}de modo que uno deshaga o cancele al otro. El emparejamiento debe realizarse de manera que se conserven todas las simetrías. Como generalmente se está interesado en la invariancia de Lorentz , el campo cuántico contiene una integral sobre todos los posibles sistemas de coordenadas de Lorentz, escrita arriba como una integral sobre todos los posibles momentos (es una integral sobre la fibra del fibrado de marcos ). El emparejamiento requiere que se détú(pag→){\displaystyle u\left({\vec {p}}\right)}está asociado con unv(pag→){\displaystyle v\left({\vec {p}}\right)}del momento y la energía opuestos. El campo cuántico es también una suma sobre todos los posibles estados de espín; el emparejamiento dual vuelve a hacer coincidir espines opuestos. De igual modo, para cualquier otro número cuántico, estos también se emparejan como opuestos. Existe una dificultad técnica al realizar este emparejamiento dual: es necesario describir qué significa para una solución dada.tú{\displaystyle u}ser "dual" a alguna otra soluciónv,{\displaystyle v,}y describirlo de tal manera que permanezca consistentemente dual al integrar sobre la fibra del haz de marcos, al integrar (sumar) sobre la fibra que describe el espín y al integrar (sumar) sobre cualquier otra fibra que aparezca en la teoría.

Cuando la fibra sobre la que se integra es la fibra U(1) del electromagnetismo, el emparejamiento dual es tal que la dirección (orientación) en la fibra se invierte. Cuando la fibra sobre la que se integra es la fibra SU(3) de la carga de color , el emparejamiento dual invierte nuevamente la orientación. Esto "simplemente funciona" para SU(3) porque tiene dos representaciones fundamentales duales.3{\displaystyle \mathbf {3} }y3¯{\displaystyle {\overline {\mathbf {3} }}}que pueden emparejarse de forma natural. Esta prescripción para un campo cuántico se generaliza naturalmente a cualquier situación en la que se puedan enumerar las simetrías continuas del sistema y definir duales de manera coherente y consistente. El emparejamiento vincula cargas opuestas en el sentido totalmente abstracto. En física, una carga se asocia con un generador de una simetría continua. Diferentes cargas se asocian con diferentes autoespacios de los invariantes de Casimir del álgebra envolvente universal para esas simetrías. Este es el caso tanto para la simetría de Lorentz de la variedad espaciotemporal subyacente , como para las simetrías de cualquier fibra en el fibrado situado sobre la variedad espaciotemporal. La dualidad reemplaza el generador de la simetría con el generador negativo. La conjugación de carga se asocia así con la reflexión a lo largo del fibrado lineal o fibrado determinante del espacio de simetrías.

Lo anterior es, pues, un esbozo de la idea general de un campo cuántico en la teoría cuántica de campos. La interpretación física es que las solucionestú(pag→,σ,norte){\displaystyle u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}corresponden a partículas y solucionesv(pag→,σ,norte){\displaystyle v\left({\vec {p}},\sigma,n\right)}Corresponden a antipartículas, por lo que la conjugación de carga es un emparejamiento de ambas. Este esquema también proporciona suficientes indicios para mostrar cómo podría ser la conjugación de carga en un contexto geométrico general. No existe ningún requisito forzoso para utilizar la teoría de perturbaciones, para construir campos cuánticos que actúen como intermediarios en una expansión perturbativa. La conjugación de carga puede definirse en un contexto general.

En geometría

Para variedades riemannianas y pseudoriemannianas generales , se dispone de un fibrado tangente , un fibrado cotangente y una métrica que los relaciona. Existen varias posibilidades interesantes para abordar esta situación. Una de ellas es que la estructura suave permite plantear ecuaciones diferenciales en la variedad; los espacios tangente y cotangente proporcionan la estructura suficiente para realizar cálculo en variedades . De especial interés es el laplaciano y, con un término constante, lo que equivale al operador de Klein-Gordon. Los fibrados cotangentes, por su construcción básica, son siempre variedades simplécticas . Las variedades simplécticas tienen coordenadas canónicas.incógnita,pag{\displaystyle x,p}interpretado como posición y momento, obedeciendo a relaciones de conmutación canónicas . Esto proporciona la infraestructura básica para extender la dualidad, y por lo tanto la conjugación de carga, a este contexto general.

Una segunda cosa interesante que se puede hacer es construir una estructura de espín . Quizás lo más notable de esto es que es una generalización muy reconocible a una(pag,q){\displaystyle (p,q)}Variedad pseudoriemanniana de dimensión del concepto físico convencional de espinores que residen en un espaciotiempo de Minkowski de dimensión (1,3) . La construcción pasa por un álgebra de Clifford complejizada para construir un fibrado de Clifford y una variedad de espín . Al final de esta construcción, se obtiene un sistema notablemente familiar si ya se está familiarizado con los espinores de Dirac y la ecuación de Dirac. Varias analogías se extienden a este caso general. Primero, los espinores son los espinores de Weyl , y se presentan en pares complejos conjugados. Son naturalmente anticonmutativos (esto se deduce del álgebra de Clifford), que es precisamente lo que se busca para establecer contacto con el principio de exclusión de Pauli . Otra analogía es la existencia de un elemento quiral , análogo a la matriz gamma.γ5{\displaystyle \gamma _{5}}que clasifica estos espinores en subespacios levógiros y dextrógiros. La complejización es un ingrediente clave y proporciona "electromagnetismo" en este contexto generalizado. El fibrado de espinores no se transforma "simplemente" bajo el grupo pseudoortogonal.SO(pag,q){\displaystyle SO(p,q)}, la generalización del grupo de LorentzSO(1,3){\displaystyle SO(1,3)}pero bajo un grupo más grande, el grupo de espín complejizadoSpaginortedo(pag,q).{\displaystyle \mathrm {Girar} ^{\mathbb {C} }(p,q).} Es más grande porque tiene una doble cubierta .SO(pag,q)×U(1).{\displaystyle SO(p,q)\times U(1).}

ElU(1){\displaystyle U(1)}La pieza se puede identificar con el electromagnetismo de varias maneras diferentes. Una forma es que los operadores de Dirac en la variedad de espín, cuando se elevan al cuadrado, contienen una piezaF=dA{\displaystyle F=dA}conA{\displaystyle A}derivado de esa parte de la conexión asociada con elU(1){\displaystyle U(1)}pieza. Esto es completamente análogo a lo que sucede cuando se eleva al cuadrado la ecuación de Dirac ordinaria en el espacio-tiempo de Minkowski ordinario. Una segunda pista es que estoU(1){\displaystyle U(1)}Esta pieza está asociada al haz determinante de la estructura de espín, uniendo efectivamente los espinores levógiros y dextrógiros mediante una conjugación compleja.

Lo que queda es trabajar a través de las simetrías discretas de la construcción anterior. Hay varias que parecen generalizar la simetría P y la simetría T. Identificar laspag{\displaystyle p}dimensiones con el tiempo y elq{\displaystyle q}dimensiones con espacio, se pueden invertir los vectores tangentes en elpag{\displaystyle p}subespacio dimensional para obtener inversión temporal y voltear la dirección delq{\displaystyle q}Las dimensiones corresponden a la paridad. La simetría C se puede identificar con la reflexión en el fibrado lineal. Para unir todo esto, finalmente se obtiene el concepto de transposición , ya que los elementos del álgebra de Clifford se pueden escribir en orden inverso (transpuesto). El resultado final es que no solo las ideas convencionales de la física sobre campos se extienden al contexto riemanniano general, sino también las ideas sobre simetrías discretas.

Hay dos maneras de reaccionar ante esto. Una es considerarlo una curiosidad interesante. La otra es comprender que, en dimensiones bajas (en el espaciotiempo de baja dimensión), existen muchos isomorfismos "accidentales" entre diversos grupos de Lie y otras estructuras variadas. Analizarlos en un contexto general permite desentrañar estas relaciones, revelando con mayor claridad "de dónde provienen las cosas".

Conjugación de carga para campos de Dirac

Las leyes del electromagnetismo (tanto clásico como cuántico ) son invariantes bajo el intercambio de cargas eléctricas con sus negativas. Para el caso de electrones y quarks , ambos campos fermiónicos de partículas fundamentales , las excitaciones de campo de una sola partícula se describen mediante la ecuación de Dirac.

(i∂/−qA/−metro)ψ=0{\displaystyle (i{\partial \!\!\!{\big /}}-q{A\!\!\!{\big /}}-m)\psi =0}

Se desea encontrar una solución de carga conjugada

(i∂/+qA/−metro)ψdo=0{\displaystyle (i{\partial \!\!\!{\big /}}+q{A\!\!\!{\big /}}-m)\psi ^{c}=0}

Unas pocas manipulaciones algebraicas son suficientes para obtener la segunda a partir de la primera. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] Las exposiciones estándar de la ecuación de Dirac demuestran un campo conjugadoψ¯=ψ†γ0,{\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0},}interpretado como un campo de antipartículas, que satisface la ecuación de Dirac transpuesta compleja

ψ¯(−i∂/−qA/−metro)=0{\displaystyle {\overline {\psi }}(-i{\partial \!\!\!{\big /}}-q{A\!\!\!{\big /}}-m)=0}

Nótese que algunos, pero no todos, los signos se han invertido. Al transponer esto de nuevo, se obtiene casi la forma deseada, siempre que se pueda encontrar una matriz de 4×4.do{\displaystyle C}que transpone las matrices gamma para insertar el cambio de signo requerido:

do−1γμdo=−γμT{\displaystyle C^{-1}\gamma _{\mu }C=-\gamma _{\mu }^{\textsf {T}}}

La solución conjugada de carga viene dada entonces por la involución.

ψ↦ψdo=ηdodoψ¯T{\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{c}=\eta _{c}\,C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}}

La matriz de 4×4do,{\displaystyle C,}La matriz de conjugación de carga, denominada matriz de conjugación de carga, tiene una forma explícita que se describe en el artículo sobre matrices gamma . Curiosamente, esta forma no es independiente de la representación, sino que depende de la representación matricial específica elegida para el grupo gamma (el subgrupo del álgebra de Clifford que captura las propiedades algebraicas de las matrices gamma ). Esta matriz depende de la representación debido a una interacción sutil que involucra la complejización del grupo de espín que describe la covarianza de Lorentz de partículas cargadas. El número complejoηdo{\displaystyle \eta _{c}}es un factor de fase arbitrario|ηdo|=1,{\displaystyle |\eta _ {c}|=1,}generalmente se considera queηdo=1.{\displaystyle \eta _{c}=1.}

conjugación de carga, quiralidad, helicidad

La interacción entre quiralidad y conjugación de carga es algo sutil y requiere explicación. Se suele decir que la conjugación de carga no altera la quiralidad de las partículas. Esto no ocurre con los campos ; la diferencia surge en la interpretación de las partículas según la "teoría de los agujeros", donde una antipartícula se interpreta como la ausencia de una partícula. Esto se explica más adelante.

Convencionalmente,γ5{\displaystyle \gamma _{5}}se utiliza como operador de quiralidad. Bajo conjugación de carga, se transforma como

doγ5do−1=γ5T{\displaystyle C\gamma _{5}C^{-1}=\gamma _{5}^{\textsf {T}}}

y si o noγ5T{\displaystyle \gamma _{5}^{\textsf {T}}}igualγ5{\displaystyle \gamma _{5}}depende de la representación elegida para las matrices gamma. En la base de Dirac y quiral, se tiene queγ5T=γ5{\displaystyle \gamma _{5}^{\textsf {T}}=\gamma _{5}}, mientrasγ5T=−γ5{\displaystyle \gamma _{5}^{\textsf {T}}=-\gamma _{5}}se obtiene en la base de Majorana. A continuación se muestra un ejemplo resuelto.

espinos de Weyl

Para el caso de campos espinoriales de Dirac sin masa, la quiralidad es igual a la helicidad para las soluciones de energía positiva (y menos la helicidad para las soluciones de energía negativa). [ 2 ] : §  2-4-3, página  87  y siguientes Esto se obtiene escribiendo la ecuación de Dirac sin masa como

i∂/ψ=0{\displaystyle i\partial \!\!\!{\big /}\psi =0}

Multiplicando porγ5γ0=−iγ1γ2γ3{\displaystyle \gamma ^{5}\gamma ^{0}=-i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}}uno obtiene

ϵijmetroσij∂metroψ=γ5∂tψ{\displaystyle {\epsilon _{ij}}^{m}\sigma ^{ij}\partial _{m}\psi =\gamma _{5}\partial _{t}\psi }

dóndeσμν=i[γμ,γν]/2{\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }=i\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]/2}es el operador de momento angular yϵijk{\displaystyle \epsilon _ {ijk}}es el tensor totalmente antisimétrico . Esto se puede expresar en una forma ligeramente más reconocible definiendo el operador de espín 3D.Σmetro≡ϵijmetroσij,{\displaystyle \Sigma ^{m}\equiv {\epsilon _{ij}}^{m}\sigma ^{ij},}tomando un estado de onda planaψ(incógnita)=mi−ik⋅incógnitaψ(k){\displaystyle \psi (x)=e^{-ik\cdot x}\psi (k)}, aplicando la restricción en la capa quek⋅k=0{\displaystyle k\cdot k=0}y normalizando el momento para que sea un vector unitario 3D:k^i=ki/k0{\displaystyle {\hat {k}}_{i}=k_{i}/k_{0}}escribir

(Σ⋅k^)ψ=γ5ψ .{\displaystyle \left(\Sigma \cdot {\hat {k}}\right)\psi =\gamma _{5}\psi ~.}

Al examinar lo anterior, se concluye que los autoestados del momento angular ( autoestados de helicidad ) corresponden a los autoestados del operador quiral . Esto permite dividir claramente el campo de Dirac sin masa en un par de espinores de Weyl.ψL{\displaystyle \psi _{\text{L}}}yψR,{\displaystyle \psi _{\text{R}},}Cada una satisface individualmente la ecuación de Weyl , pero con energía opuesta:

(−pag0+σ⋅pag→)ψR=0{\displaystyle \left(-p_{0}+\sigma \cdot {\vec {p}}\right)\psi _{\text{R}}=0}

y

(pag0+σ⋅pag→)ψL=0{\displaystyle \left(p_{0}+\sigma \cdot {\vec {p}}\right)\psi _{\text{L}}=0}

Nótese la libertad que se tiene para igualar la helicidad negativa con la energía negativa, y por lo tanto la antipartícula con la partícula de helicidad opuesta. Para ser claros, laσ{\displaystyle \sigma }Aquí están las matrices de Pauli ypagμ=i∂μ{\displaystyle p_{\mu }=i\partial _{\mu }}es el operador de momento.

Conjugación de carga en la base quiral

Tomando la representación de Weyl de las matrices gamma, se puede escribir un espinor de Dirac (ahora considerado masivo) como

ψ=(ψLψR){\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}\\\psi _{\text{R}}\end{pmatrix}}}

El campo dual (antipartícula) correspondiente es

ψ¯T=(ψ†γ0)T=(0II0)(ψL∗ψR∗)=(ψR∗ψL∗){\displaystyle {\overline {\psi }}^{\textsf {T}}=\left(\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\right)^{\textsf {T}}={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{*}\\\psi _{\text{R}}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}}

Los espinores conjugados de carga son

ψdo=(ψLdoψRdo)=ηdodoψ¯T=ηdo(−iσ200iσ2)(ψR∗ψL∗)=ηdo(−iσ2ψR∗iσ2ψL∗){\displaystyle \psi ^{c}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{c}\\\psi _{\text{R}}^{c}\end{pmatrix}}=\eta _{c}C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}}

donde, como antes,ηdo{\displaystyle \eta _{c}}es un factor de fase que puede tomarse comoηdo=1.{\displaystyle \eta _{c}=1.} Nótese que los estados izquierdo y derecho se intercambian. Esto se puede restaurar con una transformación de paridad. Bajo paridad , el espinor de Dirac se transforma como

ψ(t,incógnita→)↦ψpag(t,incógnita→)=γ0ψ(t,−incógnita→){\displaystyle \psi \left(t,{\vec {x}}\right)\mapsto \psi ^{p}\left(t,{\vec {x}}\right)=\gamma ^{0}\psi \left(t,-{\vec {x}}\right)}

Bajo carga combinada e paridad, entonces uno tiene

ψ(t,incógnita→)↦ψdopag(t,incógnita→)=(ψLdopag(t,incógnita→)ψRdopag(t,incógnita→))=ηdo(−iσ2ψL∗(t,−incógnita→)iσ2ψR∗(t,−incógnita→)){\displaystyle \psi \left(t,{\vec {x}}\right)\mapsto \psi ^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)\\\psi _{\text{R}}^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)\end{pmatrix}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\left(t,-{\vec {x}}\right)\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\left(t,-{\vec {x}}\right)\end{pmatrix}}}

Convencionalmente, uno tomaηdo=1{\displaystyle \eta _{c}=1}a nivel mundial. Véase, sin embargo, la nota a continuación.

condición de Majorana

La condición de Majorana impone una restricción entre el campo y su carga conjugada, a saber, que deben ser iguales:ψ=ψdo.{\displaystyle \psi =\psi ^{c}.}Esto se puede expresar mejor como el requisito de que el espinor de Majorana debe ser un autoestado de la involución de conjugación de carga.

Hacerlo requiere cierto cuidado notacional. En muchos textos que tratan sobre la conjugación de cargas, la involuciónψ↦ψdo{\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{c}}No se le da un nombre simbólico explícito cuando se aplica a soluciones de una sola partícula de la ecuación de Dirac. Esto contrasta con el caso en que se discute el campo cuantizado , donde un operador unitariodo{\displaystyle {\mathcal {C}}}se define (como se hace en una sección posterior, más abajo). Para la presente sección, llamemos a la involucióndo:ψ↦ψdo{\displaystyle {\mathsf {C}}:\psi \mapsto \psi ^{c}}de modo quedoψ=ψdo.{\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi ^{c}.}Si consideramos que se trata de un operador lineal, podemos analizar sus autoestados. La condición de Majorana destaca uno de ellos:doψ=ψ.{\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi .} Sin embargo, existen dos autoestados de este tipo:doψ(±)=±ψ(±).{\displaystyle {\mathsf {C}}\psi ^{(\pm )}=\pm \psi ^{(\pm )}.}Continuando en la base de Weyl, como se indicó anteriormente, estos autoestados son

ψ(+)=(ψLiσ2ψL∗){\displaystyle \psi ^{(+)}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}}

y

ψ(−)=(iσ2ψR∗ψR){\displaystyle \psi ^{(-)}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{R}}\end{pmatrix}}}

El espinor de Majorana se toma convencionalmente como el autoestado positivo, a saber:ψ(+).{\displaystyle \psi ^{(+)}.}El operador quiralγ5{\displaystyle \gamma _{5}}intercambia estos dos, en que

γ5do=−doγ5{\displaystyle \gamma _{5}{\mathsf {C}}=-{\mathsf {C}}\gamma _{5}}

Esto se verifica fácilmente mediante sustitución directa. Tenga en cuenta quedo{\displaystyle {\mathsf {C}}}¡No tiene una representación matricial de 4×4! Más precisamente, no existe una matriz compleja de 4×4 que pueda transformar un número complejo en su conjugado complejo; esta inversión requeriría una matriz real de 8×8. La interpretación física de la conjugación compleja como conjugación de carga se hace evidente al considerar la conjugación compleja de campos escalares, descrita en una sección posterior.

Los proyectores sobre los autoestados quirales se pueden escribir comoPAGL=(1−γ5)/2{\displaystyle P_{\text{L}}=\left(1-\gamma _{5}\right)/2}yPAGR=(1+γ5)/2,{\displaystyle P_{\text{R}}=\left(1+\gamma _{5}\right)/2,}y así lo anterior se traduce en

PAGLdo=doPAGR .{\displaystyle P_{\text{L}}{\mathsf {C}}={\mathsf {C}}P_{\text{R}}~.}

Esto demuestra directamente que la conjugación de carga, aplicada a soluciones de la ecuación de Dirac con valores de números complejos de una sola partícula, invierte la quiralidad de la solución. Los proyectores sobre los autoespacios de conjugación de carga sonPAG(+)=(1+do)PAGL{\displaystyle P^{(+)}=(1+{\mathsf {C}})P_{\text{L}}}yPAG(−)=(1−do)PAGR.{\displaystyle P^{(-)}=(1-{\mathsf {C}})P_{\text{R}}.}

Interpretación geométrica

El factor de fase ηdo {\displaystyle \ \eta _{c}\ }Se le puede dar una interpretación geométrica. Se ha observado que, para los espinores de Dirac masivos, el factor de fase "arbitrario" ηdo {\displaystyle \ \eta _{c}\ }puede depender tanto del momento como de la helicidad (pero no de la quiralidad). [ 4 ] Esto puede interpretarse como que esta fase puede variar a lo largo de la fibra del fibrado espinorial , dependiendo de la elección local de un sistema de coordenadas. Dicho de otro modo, un campo espinorial es una sección local del fibrado espinorial, y las transformaciones de Lorentz y las rotaciones corresponden a movimientos a lo largo de las fibras del fibrado de marco correspondiente (de nuevo, solo una elección de sistema de coordenadas local). Examinada de esta manera, esta libertad de fase adicional puede interpretarse como la fase que surge del campo electromagnético. Para los espinores de Majorana , la fase estaría restringida para no variar bajo transformaciones y rotaciones.

Conjugación de carga para campos cuantizados

Lo anterior describe la conjugación de carga solo para soluciones de una sola partícula. Cuando el campo de Dirac está cuantizado en segunda cuantización , como en la teoría cuántica de campos , los campos espinorial y electromagnético se describen mediante operadores. La involución de la conjugación de carga se manifiesta entonces como un operador unitario.do{\displaystyle {\mathcal {C}}}(en fuente caligráfica) actuando sobre los campos de partículas, expresados ​​como [ 5 ] [ 6 ]

  1. ψ↦ψdo=do ψ do†=ηdo do ψ¯T{\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{c}={\mathcal {C}}\ \psi \ {\mathcal {C}}^{\dagger }=\eta _{c}\ C\ {\overline {\psi }}^{\textsf {T}}}
  2. ψ¯↦ψ¯do=do ψ¯ do†=ηdo∗ ψT do−1{\displaystyle {\overline {\psi }}\mapsto {\overline {\psi }}^{c}={\mathcal {C}}\ {\overline {\psi }}\ {\mathcal {C}}^{\dagger }=\eta _{c}^{*}\ \psi ^{\textsf {T}}\ C^{-1}}
  3. Aμ↦Aμdo=do Aμ do†=−Aμ {\displaystyle A_{\mu }\mapsto A_{\mu }^{c}={\mathcal {C}}\ A_{\mu }\ {\mathcal {C}}^{\dagger }=-A_{\mu }\ }

donde lo no caligráfico do {\displaystyle \ C\ }es la misma matriz de 4×4 dada anteriormente.

Inversión de carga en la teoría electrodébil

La conjugación de carga no altera la quiralidad de las partículas. Un neutrino levógiro se transformaría, mediante conjugación de carga, en un antineutrino levógiro , que no interactúa en el Modelo Estándar. Esta propiedad es a lo que se refiere la "violación máxima" de la simetría C en la interacción débil.

Algunas extensiones postuladas del Modelo Estándar , como los modelos izquierda-derecha , restablecen esta simetría C.

Campos escalares

El campo de Dirac tiene un "oculto"U(1){\displaystyle U(1)}libertad de gauge, lo que le permite acoplarse directamente al campo electromagnético sin ninguna modificación adicional a la ecuación de Dirac o al campo mismo. [ a ] ​​Este no es el caso de los campos escalares , que deben ser explícitamente "complejizados" para acoplarse al electromagnetismo. Esto se hace "tensando" un factor adicional del plano complejo.do{\displaystyle \mathbb {C} }en el campo, o construyendo un producto cartesiano conU(1){\displaystyle U(1)}.

Una técnica muy convencional consiste simplemente en comenzar con dos campos escalares reales,ϕ{\displaystyle \phi }yχ{\displaystyle \chi }y crear una combinación lineal

ψ=dmiFϕ+iχ2{\displaystyle \psi \mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} {\phi +i\chi \over {\sqrt {2}}}}

La involución de conjugación de carga es entonces el mapeodo:i↦−i{\displaystyle {\mathsf {C}}:i\mapsto -i}puesto que esto es suficiente para invertir el signo del potencial electromagnético (ya que este número complejo se está utilizando para acoplarse a él). Para campos escalares reales, la conjugación de carga es simplemente la aplicación identidad:do:ϕ↦ϕ{\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto \phi }ydo:χ↦χ{\displaystyle {\mathsf {C}}:\chi \mapsto \chi }y así, para el campo complejizado, la conjugación de carga es simplementedo:ψ↦ψ∗.{\displaystyle {\mathsf {C}}:\psi \mapsto \psi ^{*}.}La flecha "mapsto"↦{\displaystyle \mapsto }es conveniente para rastrear "qué va dónde"; la notación antigua equivalente es simplemente escribirdoϕ=ϕ{\displaystyle {\mathsf {C}}\phi =\phi }ydoχ=χ{\displaystyle {\mathsf {C}}\chi =\chi }ydoψ=ψ∗.{\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi ^{*}.}

Lo anterior describe la construcción convencional de un campo escalar cargado. También es posible introducir estructuras algebraicas adicionales en los campos de otras maneras. En particular, se puede definir un campo "real" que se comporta comodo:ϕ↦−ϕ{\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto -\phi }. Como es real, no puede acoplarse al electromagnetismo por sí mismo, pero, cuando se complejiza, daría como resultado un campo cargado que se transforma comodo:ψ↦−ψ∗.{\displaystyle {\mathsf {C}}:\psi \mapsto -\psi ^{*}.} Debido a que la simetría C es una simetría discreta , uno tiene cierta libertad para jugar este tipo de juegos algebraicos en la búsqueda de una teoría que modele correctamente alguna realidad física dada.

En la literatura física, una transformación comodo:ϕ↦ϕdo=−ϕ{\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto \phi ^{c}=-\phi }podría escribirse sin ninguna explicación adicional. La interpretación matemática formal de esto es que el campoϕ{\displaystyle \phi }es un elemento deR×Z2{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {Z} _{2}}dóndeZ2={+1,−1}.{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\{+1,-1\}.}Por lo tanto, propiamente hablando, el campo debería escribirse comoϕ=(r,do){\displaystyle \phi =(r,c)}que se comporta bajo conjugación de carga comodo:(r,do)↦(r,−do).{\displaystyle {\mathsf {C}}:(r,c)\mapsto (r,-c).}Resulta muy tentador, aunque no del todo correcto formalmente, simplemente multiplicar estos términos y cambiar la posición del signo menos; esto suele funcionar sin problemas, pero no seguirlo correctamente provocará confusión.

Combinación de inversión de carga y paridad

Durante un tiempo se creyó que la simetría C podía combinarse con la transformación de inversión de paridad (véase simetría P ) para preservar una simetría CP combinada . Sin embargo, se han identificado violaciones de esta simetría en las interacciones débiles (en particular en los kaones y los mesones B ). En el Modelo Estándar, esta violación de CP se debe a una única fase en la matriz CKM . Si se combina CP con la inversión temporal ( simetría T ), se puede demostrar que la simetría CPT resultante se cumple universalmente utilizando únicamente los axiomas de Wightman .

En la configuración general

El análogo de la conjugación de carga puede definirse para matrices gamma de dimensiones superiores , con una construcción explícita para espinores de Weyl que se presenta en el artículo sobre matrices de Weyl-Brauer . Cabe señalar, sin embargo, que los espinores, tal como se definen abstractamente en la teoría de representación de las álgebras de Clifford, no son cuerpos; más bien, deben considerarse como existentes en un espaciotiempo de dimensión cero.

El análogo de la simetría T se deduce deγ1γ3{\displaystyle \gamma ^{1}\gamma ^{3}}como el operador de conjugación T para espinores de Dirac. Los espinores también tienen una simetría P inherente , obtenida al invertir la dirección de todos los vectores base del álgebra de Clifford a partir de la cual se construyen los espinores. La relación con las simetrías P y T para un campo fermiónico en una variedad espaciotemporal es algo sutil, pero puede caracterizarse aproximadamente de la siguiente manera. Cuando se construye un espinor mediante un álgebra de Clifford, la construcción requiere un espacio vectorial sobre el cual construir. Por convención, este espacio vectorial es el espacio tangente de la variedad espaciotemporal en un punto espaciotemporal fijo dado (una sola fibra en la variedad tangente ). Las operaciones P y T aplicadas a la variedad espaciotemporal pueden entenderse entonces como una inversión de las coordenadas del espacio tangente; por lo tanto, ambos están unidos. Invertir la paridad o la dirección del tiempo en uno también la invierte en el otro. Esta es una convención. Uno puede desvincularse si no propaga esta conexión.

Esto se hace tomando el espacio tangente como un espacio vectorial , extendiéndolo a un álgebra tensorial y luego usando un producto interno en el espacio vectorial para definir un álgebra de Clifford . Tratando cada una de estas álgebras como una fibra, se obtiene un fibrado llamado fibrado de Clifford . Bajo un cambio de base del espacio tangente, los elementos del álgebra de Clifford se transforman según el grupo de espín . Construir un fibrado principal con el grupo de espín como fibra da como resultado una estructura de espín .

Lo único que falta en los párrafos anteriores son los espinores mismos. Estos requieren la "complejización" de la variedad tangente: tensorializarla con el plano complejo. Una vez hecho esto, se pueden construir los espinores de Weyl . Estos tienen la forma

wj=12(mi2j−imi2j+1){\displaystyle w_{j}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}-ie_{2j+1}\right)}

donde elmij{\displaystyle e_{j}}son los vectores base para el espacio vectorialV=TpagMETRO{\displaystyle V=T_{p}M}, el espacio tangente en el puntopag∈METRO{\displaystyle p\in M}en la variedad espaciotemporalMETRO.{\displaystyle M.}Los espinores de Weyl, junto con sus conjugados complejos, abarcan el espacio tangente, en el sentido de que

V⊗do=W⊕W¯{\displaystyle V\otimes \mathbb {C} =W\oplus {\overline {W}}}

El álgebra alternada∧W{\displaystyle \wedge W}Se denomina espacio espinorial , es donde residen los espinores, así como los productos de espinores (es decir, objetos con valores de espín más altos, incluidos vectores y tensores).

Véase también

Notas

  1. ↑ Esta libertad se elimina explícitamente, se restringe en los espinores de Majorana .

Referencias

  1. ↑ Bjorken, James D. y Drell, Sidney D. (1964). Mecánica cuántica relativista . Nueva York, NY: McGraw-Hill. Capítulo 5.2, páginas 66-70.  
  2. 1 2 Itzykson, Claude y Zuber, Jean-Bernard (1980). Teoría cuántica de campos . Nueva York, NY: McGraw-Hill. capítulo 2-4, páginas 85 y siguientes.   
  3. ↑ Peskin, ME y Schroeder, DV (1997). Introducción a la teoría cuántica de campos . Addison Wesley. ISBN 0-201-50397-2.
  4. ↑ Itzykson y Zuber (1980) , § 2-4-2 Conjugación de carga , página 86, ecuación 2-100   
  5. ↑ Bjorken y Drell (1964) , capítulo 15 
  6. ↑ Itzykson y Zuber (1980) , § 3-4 
  • Sozzi, MS (2008). Simetrías discretas y violación de CP . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-929666-8.