Círculo

Desde los albores de las civilizaciones más antiguas conocidas —como los asirios y los antiguos egipcios, los habitantes del valle del Indo y del río Amarillo en China, y las civilizaciones occidentales de la antigua Grecia y Roma durante la Antigüedad clásica—, el círculo se ha utilizado, directa o indirectamente, en las artes visuales para transmitir el mensaje del artista y expresar ciertas ideas. Sin embargo, las diferencias en la cosmovisión (creencias y cultura) influyeron notablemente en la percepción de los artistas. Mientras que algunos enfatizaban el perímetro del círculo para demostrar su manifestación democrática, otros se centraban en su centro para simbolizar el concepto de unidad cósmica. En las doctrinas místicas, el círculo simboliza principalmente la naturaleza infinita y cíclica de la existencia, mientras que en las tradiciones religiosas representa los cuerpos celestes y los espíritus divinos.

El círculo simboliza muchos conceptos sagrados y espirituales, incluyendo la unidad, el infinito, la totalidad, el universo, la divinidad, el equilibrio, la estabilidad y la perfección, entre otros. Estos conceptos se han transmitido en culturas de todo el mundo mediante el uso de símbolos, por ejemplo, una brújula, un halo, la vesica piscis y sus derivados (pez, ojo, aureola, mandorla, etc.), el ouroboros, la rueda del Dharma , un arcoíris, mandalas, rosetones, etc. ^{[ 10 ]} Los círculos mágicos forman parte de algunas tradiciones del esoterismo occidental .

La razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro es π (pi), una constante irracional aproximadamente igual a 3,141592654. La razón entre la circunferencia de un círculo y su radio es 2π . ^{[ a ]} Por lo tanto , la circunferencia C se relaciona con el radio r y el diámetro d mediante: $${\displaystyle C=2\pi r=\pi d.}$$

Como demostró Arquímedes en su Medición de un círculo , el área encerrada por un círculo es igual a la de un triángulo cuya base tiene la longitud de la circunferencia del círculo y cuya altura es igual al radio del círculo, ^{[ 11 ]} que resulta ser π multiplicado por el radio al cuadrado: $${\displaystyle \mathrm {Área} =\pi r^{2}.}$$

De forma equivalente, denotando el diámetro por d , $${\displaystyle \mathrm {Área} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0.7854d^{2},}$$ es decir, aproximadamente el 79% del cuadrado circunscrito (cuyo lado tiene una longitud d ).

El círculo es la curva plana que encierra el área máxima para una longitud de arco dada. Esto relaciona el círculo con un problema del cálculo de variaciones, concretamente la desigualdad isoperimétrica .

Si un círculo de radio r está centrado en el vértice de un ángulo , y ese ángulo intercepta un arco del círculo con una longitud de arco s , entonces la medida en radianes 𝜃 del ángulo es la razón entre la longitud del arco y el radio: $${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}.}$$

Se dice que un arco circular subtiende el ángulo, conocido como ángulo central , situado en el centro del círculo. Un radián es la medida del ángulo central subtendido por un arco circular cuya longitud es igual a su radio. El ángulo subtendido por un círculo completo en su centro es un ángulo completo , que mide 2π radianes , 360 grados o una vuelta .

Utilizando radianes, la fórmula para la longitud de arco s de un arco circular de radio r que subtiende un ángulo central de medida 𝜃 es $${\displaystyle s=\theta r,}$$

y la fórmula para el área A de un sector circular de radio r y con ángulo central de medida 𝜃 es $${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\theta r^{2}.}$$

En el caso especial 𝜃 = 2 π , estas fórmulas dan como resultado la circunferencia de un círculo completo y el área de un disco completo, respectivamente.

La recta tangente _que pasa por un punto P en la circunferencia es perpendicular al diámetro que pasa por P. Si P = ( x₁ , y₁ ) y la circunferencia tiene centro ( a , b ) y radio _{r, entonces la recta tangente es perpendicular a la recta que va de (a, b) a (x₁, y₁} ) , por lo que tiene _la forma ( _x₁ - a ) x + ₍ y₁ - b ) y ₌ c . Al evaluar en _{(x₁, y₁} ) se _determina el valor de c , y el resultado es que la ecuación de la tangente es $${\displaystyle (x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1},}$$ o $${\displaystyle (x_{1}-a)(xa)+(y_{1}-b)(yb)=r^{2}.}$$

Si y ₁ ≠ b , entonces la pendiente de esta línea es $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}.}$$

Esto también se puede encontrar utilizando la diferenciación implícita .

Cuando el centro del círculo está en el origen, entonces la ecuación de la recta tangente se convierte en: $${\displaystyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2},}$$ y su pendiente es $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}.}$$

• Dos cuerdas se encuentran a la misma distancia del centro de un círculo si y solo si tienen la misma longitud.
• La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de un círculo; afirmaciones equivalentes que se derivan de la unicidad de la mediatriz son:
  • Una línea perpendicular trazada desde el centro de un círculo biseca la cuerda.
  • El segmento de recta que pasa por el centro y biseca una cuerda es perpendicular a la cuerda.
• Si un ángulo central y un ángulo inscrito de un círculo están subtendidos por la misma cuerda y en el mismo lado de la cuerda, entonces el ángulo central es el doble del ángulo inscrito.
• Si dos ángulos están inscritos en la misma cuerda y en el mismo lado de la cuerda, entonces son iguales.
• Si dos ángulos están inscritos en la misma cuerda y en lados opuestos de la misma, entonces son suplementarios .
  • En un cuadrilátero cíclico , el ángulo exterior es igual al ángulo interior opuesto.
• Un ángulo inscrito subtendido por un diámetro es un ángulo recto (véase el teorema de Tales ).
• El diámetro es la cuerda más larga del círculo.
  • Entre todos los círculos que tienen en común una cuerda AB, el círculo con radio mínimo es aquel con diámetro AB.
• Si la intersección de dos cuerdas cualesquiera divide una cuerda en longitudes a y b y divide la otra cuerda en longitudes c y d , entonces ab = cd .
• Si la intersección de ^{dos cuerdas perpendiculares cualesquiera} divide una cuerda en longitudes a y b y divide la otra cuerda en longitudes c y d , entonces a² ⁺ b² + ^c² + ^d² es igual al cuadrado del diámetro. [ ^{13 ]}
• La suma de los cuadrados de las longitudes de dos cuerdas cualesquiera que se intersecan en ángulo recto en un punto dado es la misma que la de otras dos cuerdas perpendiculares que se intersecan en el mismo punto y viene dada por 8 r ² − 4 p ² , donde r es el radio del círculo y p es la distancia desde el centro hasta el punto de intersección. ^{[ 14 ]}
• La distancia desde un punto de la circunferencia a una cuerda dada, multiplicada por el diámetro de la circunferencia, es igual al producto de las distancias desde el punto a los extremos de la cuerda. ^{[ 15 ] : p.71}

• Una línea trazada perpendicularmente a un radio que pasa por el extremo de dicho radio y que se encuentra sobre la circunferencia es una tangente a la circunferencia.
• Una línea perpendicular trazada a una tangente que pasa por el punto de contacto con un círculo pasa por el centro del círculo.
• Siempre se pueden trazar dos tangentes a un círculo desde cualquier punto fuera del círculo, y estas tangentes tienen la misma longitud.
• Si una tangente en A y una tangente en B se intersecan en el punto exterior P , entonces, denotando el centro como O , los ángulos ∠ BOA y ∠ BPA son suplementarios.
• Si AD es tangente al círculo en A y si AQ es una cuerda del círculo, entonces ∠ DAQ = ⁠ 1 / 2 ⁠ arc( AQ ) .

• El teorema de la cuerda establece que si dos cuerdas, CD y EB , se intersecan en A , entonces AC × AD = AB × AE .
• Si dos secantes, AE y AD , también cortan el círculo en B y C respectivamente, entonces AC × AD = AB × AE (corolario del teorema de la cuerda).
• Una tangente puede considerarse un caso límite de una secante cuyos extremos coinciden. Si una tangente desde un punto exterior A interseca la circunferencia en F y una secante desde el punto exterior A interseca la circunferencia en C y D respectivamente, entonces AF² = AC ^× AD (teorema de la tangente-secante) .
• El ángulo entre una cuerda y la tangente en uno de sus extremos es igual a la mitad del ángulo subtendido en el centro del círculo, en el lado opuesto de la cuerda (ángulo tangente-cuerda).
• Si el ángulo subtendido por la cuerda en el centro es de 90 ° , entonces ℓ = r √2 , donde ℓ es la longitud de la cuerda y r es el radio del círculo.
• Si dos secantes están inscritas en el círculo como se muestra a la derecha, entonces la medida del ángulo A es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos encerrados (${\displaystyle {\overset {\frown }{DE}}}$y${\displaystyle {\overset {\frown }{BC}}}$). Eso es,${\displaystyle 2\angle {CAB}=\angle {DOE}-\angle {BOC}}$donde O es el centro del círculo (teorema de la secante-secante).

Un ángulo inscrito (por ejemplo, los ángulos azul y verde de la figura) es exactamente la mitad del ángulo central correspondiente (rojo). Por lo tanto, todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco (rosa) son iguales. Los ángulos inscritos en el arco (marrón) son suplementarios. En particular, todo ángulo inscrito que subtiende un diámetro es un ángulo recto (ya que el ángulo central es de 180°).

La sagita (también conocida como versina ) es un segmento de línea trazado perpendicularmente a una cuerda, entre el punto medio de esa cuerda y el arco del círculo.

Dada la longitud y de una cuerda y la longitud x de la sagita, se puede utilizar el teorema de Pitágoras para calcular el radio del único círculo que se ajustará a las dos líneas: $${\displaystyle r={\frac {y^{2}}{8x}}+{\frac {x}{2}}.}$$

Otra demostración de este resultado, que se basa únicamente en dos propiedades de cuerdas dadas anteriormente, es la siguiente. Dada una cuerda de longitud y y con una sagita de longitud x , como la sagita interseca el punto medio de la cuerda, sabemos que es parte de un diámetro del círculo. Como el diámetro es el doble del radio, la parte "faltante" del diámetro tiene una longitud de ( 2r - x ). Usando el hecho de que una parte de una cuerda multiplicada por la otra es igual al mismo producto tomado a lo largo de una cuerda que interseca la primera cuerda, encontramos que ( 2r - x ) x = ( y / 2) ^² . Despejando r , encontramos el resultado requerido.

• Construye el punto medio M del diámetro.
• Construye el círculo con centro M que pase por uno de los extremos del diámetro (también pasará por el otro extremo).

• Nombra los puntos P , Q y R ,
• Construye la mediatriz del segmento PQ .
• Construye la mediatriz del segmento PR .
• Etiqueta el punto de intersección de estas dos mediatrices como M. (Se encuentran porque los puntos no son colineales ).
• Construye el círculo con centro M que pase por uno de los puntos P , Q o R (también pasará por los otros dos puntos).

Una propiedad estrechamente relacionada de los círculos involucra la geometría de la razón antagónica de puntos en el plano complejo. Si A , B y C son como se indicó anteriormente, entonces el círculo de Apolonio para estos tres puntos es el conjunto de puntos P para los cuales el valor absoluto de la razón antagónica es igual a uno: $${\displaystyle {\bigl |}[A,B;C,P]{\bigr |}=1.}$$

Dicho de otra manera, P es un punto en el círculo de Apolonio si y solo si la razón antagónica [ A , B ; C , P ] está en el círculo unitario en el plano complejo.

Si C es el punto medio del segmento AB , entonces el conjunto de puntos P que satisfacen la condición de Apolonio $${\displaystyle {\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}}$$ No es un círculo, sino una línea.

Así, si A , B y C son puntos distintos en el plano, el conjunto de puntos P que satisface la ecuación anterior se denomina «círculo generalizado». Puede ser un círculo perfecto o una recta. En este sentido, una recta es un círculo generalizado de radio infinito.

Definiendo un círculo como el conjunto de puntos con una distancia fija de un punto, diferentes formas pueden considerarse círculos bajo diferentes definiciones de distancia. En la norma p , la distancia está determinada por $${\displaystyle \left\|x\right\|_{p}=\left(\left|x_{1}\right|^{p}+\left|x_{2}\right|^{p}+\dotsb +\left|x_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}.}$$ En geometría euclidiana, p = 2, lo que da como resultado la expresión familiar $${\displaystyle \left\|x\right\|_{2}={\sqrt {\left|x_{1}\right|^{2}+\left|x_{2}\right|^{2}+\dotsb +\left|x_{n}\right|^{2}}}.}$$

En geometría de taxi , p = 1. Los círculos de taxi son cuadrados con lados orientados en un ángulo de 45° con respecto a los ejes de coordenadas. Mientras que cada lado tendría longitud${\displaystyle {\sqrt {2}}r}$utilizando una métrica euclidiana , donde r es el radio del círculo, su longitud en geometría de taxi es 2 r . Por lo tanto, la circunferencia de un círculo es 8 r . Por lo tanto, el valor de un análogo geométrico a${\displaystyle \pi }$es 4 en esta geometría. La fórmula para el círculo unitario en la geometría del taxi es${\displaystyle |x|+|y|=1}$en coordenadas cartesianas y $${\displaystyle r={\frac {1}{\left|\sin \theta \right|+\left|\cos \theta \right|}}}$$ en coordenadas polares.

Un círculo de radio 1 (utilizando esta distancia) es el entorno de von Neumann de su centro.

Un círculo de radio r para la distancia de Chebyshev ( métrica L _∞ ) en un plano es también un cuadrado de lado 2r paralelo a los ejes de coordenadas, por lo que la distancia de Chebyshev planar puede considerarse equivalente, mediante rotación y escalado, a la distancia de taxi planar. Sin embargo, esta equivalencia entre las métricas L ₁ y L _∞ no se generaliza a dimensiones superiores.

El círculo es la hiperesfera unidimensional (la 1-esfera).

En topología , un círculo no se limita al concepto geométrico, sino a todos sus homeomorfismos . Dos círculos topológicos son equivalentes si uno puede transformarse en el otro mediante una deformación de R³ sobre ^sí mismo (conocida como isotopía ambiental ). ^{[ 24 ]}

Un círculo orientado es un círculo ordinario con una orientación representada por un valor binario adjunto, que es o${\displaystyle 1}$o${\displaystyle -1}$. La única excepción es un círculo de radio cero, que tiene una orientación igual a${\displaystyle 0}$. Un punto es equivalente a un círculo orientado de radio cero. Si un círculo orientado tiene una orientación igual a${\displaystyle 1}$, entonces se dice que el círculo está orientado en sentido antihorario ; si tiene una orientación igual a${\displaystyle -1}$entonces está orientado en el sentido de las agujas del reloj . El radio (con signo) de un círculo orientado se define como el radio${\displaystyle r}$del círculo subyacente no orientado multiplicado por la orientación. Se asume una orientación circular en la medida de ángulos con signo .