Matemáticas del plegado de papel

La disciplina del origami o plegado de papel ha recibido una cantidad considerable de estudio matemático . Los campos de interés incluyen la capacidad de aplanamiento de un modelo de papel dado (si el modelo se puede aplanar sin dañarlo) y el uso de pliegues de papel para resolver ecuaciones matemáticas hasta de tercer orden. ^{[ 1 ]}

El origami computacional es una rama reciente de la informática que se ocupa del estudio de algoritmos para resolver problemas de plegado de papel. Este campo ha crecido significativamente desde su inicio en la década de 1990 con el algoritmo TreeMaker de Robert Lang , que ayudaba en el plegado preciso de bases. ^{[ 2 ]} Los resultados del origami computacional abordan el diseño o la plegabilidad del origami. ^{[ 3 ]} En los problemas de diseño de origami, el objetivo es diseñar un objeto que pueda plegarse a partir de papel dada una configuración objetivo específica. En los problemas de plegabilidad del origami, el objetivo es plegar algo utilizando los pliegues de una configuración inicial. Los resultados en los problemas de diseño de origami han sido más accesibles que en los problemas de plegabilidad del origami. ^{[ 3 ]}

En 1893, el funcionario indio T. Sundara Row publicó Ejercicios geométricos en plegado de papel, donde utilizaba esta técnica para demostrar construcciones geométricas. Esta obra se inspiró en el uso del origami en los jardines de infancia . Row demostró una trisección aproximada de ángulos e insinuó que la construcción de una raíz cúbica era imposible. ^{[ 4 ]}

En 1922, Harry Houdini publicó "Houdini's Paper Magic", que describía técnicas de origami que se basaban informalmente en enfoques matemáticos que posteriormente se formalizaron. ^{[ 5 ]}

En 1936, Margharita P. Beloch demostró que el uso del « pliegue de Beloch », utilizado posteriormente en el sexto de los axiomas de Huzita-Hatori , permitía resolver la ecuación cúbica general mediante origami. ^{[ 1 ]}

En 1949, el libro de RC Yeates, "Métodos geométricos", describió tres construcciones permitidas que corresponden al primero, segundo y quinto de los axiomas de Huzita-Hatori. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

El sistema de instrucción mediante diagramas de Yoshizawa-Randlett se introdujo en 1961. ^{[ 8 ]}

En 1980 se informó de una construcción que permitía trisecar un ángulo. Las trisecciones son imposibles según las reglas euclidianas. ^{[ 9 ]}

También en 1980, Kōryō Miura y Masamori Sakamaki demostraron una novedosa técnica de plegado de mapas en la que los pliegues se realizan siguiendo un patrón de paralelogramo preestablecido, lo que permite que el mapa sea expandible sin pliegues en ángulo recto como en el método convencional. Su patrón permite que las líneas de pliegue sean interdependientes, y por lo tanto el mapa se puede desplegar en un solo movimiento tirando de sus extremos opuestos, y de igual manera se puede plegar empujando los dos extremos juntos. No se requieren series de movimientos excesivamente complicadas, y el Miura-ori plegado se puede empaquetar en una forma muy compacta. ^{[ 10 ]} En 1985, Miura informó sobre un método de empaquetado y despliegue de grandes membranas en el espacio exterior, ^{[ 11 ]} y ya en 2012 esta técnica se había aplicado a paneles solares en naves espaciales . ^{[ 12 ] [ 13 ]}

En 1986, Messer informó de una construcción mediante la cual se podía duplicar el cubo , lo cual es imposible con las construcciones euclidianas. ^{[ 14 ]}

La primera formulación completa de los siete axiomas del origami, escrita por el plegador y matemático francés Jacques Justin en 1986, pasó desapercibida hasta que los seis primeros fueron redescubiertos por Humiaki Huzita en 1989. ^{[ 15 ]} La primera Reunión Internacional de Ciencia y Tecnología del Origami (ahora conocida como la Conferencia Internacional sobre Origami en Ciencia, Matemáticas y Educación) se celebró en 1989 en Ferrara, Italia. En esta reunión, Scimemi presentó una construcción para el heptágono regular . ^{[ 16 ]}

Alrededor de 1990, Robert J. Lang y otros intentaron por primera vez escribir código informático que resolviera problemas de origami. ^{[ 17 ]}

En 1996, Marshall Bern y Barry Hayes demostraron que el problema de asignar un patrón de pliegues de montaña y valle para producir una estructura de origami plana a partir de una hoja de papel plana es NP-completo . ^{[ 18 ]}

En 1999, un teorema de Haga proporcionó construcciones utilizadas para dividir el lado de un cuadrado en fracciones racionales. ^{[ 19 ] [ 20 ]}

En 2002, Sarah-Marie Belcastro y Tom Hull introdujeron en el origami teórico el lenguaje de las transformaciones afines , con una extensión de${\displaystyle R}$² a${\displaystyle R}$³ solo en el caso de construcción de un solo vértice. ^{[ 21 ]}

En 2002, Alperin resolvió el problema de óptica esférica de Alhazen . ^{[ 22 ]} En el mismo artículo, Alperin mostró una construcción para un heptágono regular. ^{[ 22 ]} En 2004, se demostró algorítmicamente el patrón de plegado para un heptágono regular. ^{[ 23 ]} Alperin utilizó bisecciones y trisecciones en 2005 para la misma construcción. ^{[ 24 ]}

En 2005, se aplicaron principios y conceptos del origami matemático y computacional para resolver Countdown , un juego popularizado en la televisión británica en el que los concursantes usaban una lista de números fuente para construir una expresión aritmética lo más cercana posible al número objetivo. ^{[ 25 ]}

En 2009, Alperin y Lang extendieron el origami teórico a ecuaciones racionales de grado arbitrario, con el concepto de pliegues múltiples. ^{[ 26 ] [ 27 ]} Este trabajo fue una extensión formal de la demostración inédita de Lang de 2004 sobre la quintisección de ángulos. ^{[ 27 ] [ 28 ]}

Como resultado del estudio del origami mediante la aplicación de principios geométricos, métodos como el teorema de Haga han permitido a los plegadores de papel doblar con precisión el lado de un cuadrado en tercios, quintos, séptimos y novenos. Otros teoremas y métodos han permitido a los plegadores de papel obtener otras formas a partir de un cuadrado, como triángulos equiláteros , pentágonos , hexágonos y rectángulos especiales como el rectángulo áureo y el rectángulo plateado . Se han desarrollado métodos para doblar la mayoría de los polígonos regulares hasta el 19-gono regular inclusive. ^{[ 33 ]} Un n -gono regular se puede construir mediante plegado de papel si y solo si n es un producto de primos de Pierpont distintos , potencias de dos y potencias de tres .

Los teoremas de Haga

El lado de un cuadrado se puede dividir en una fracción racional arbitraria de diversas maneras. Los teoremas de Haga indican que se puede utilizar un conjunto particular de construcciones para tales divisiones. ^{[ 19 ] [ 20 ]} Sorprendentemente, se necesitan pocos pliegues para generar fracciones impares grandes. Por ejemplo, 1/5 se puede generar con tres pliegues; primero se divide un lado por la mitad, luego se utiliza el teorema de Haga dos veces para producir primero 2/3 y luego 1/5 .

El diagrama adjunto muestra el primer teorema de Haga:

${\displaystyle BQ={\frac {2AP}{1+AP}}.}$

La función que transforma la longitud AP en QC es autoinversa . Sea x una función AP, entonces varias otras longitudes también son funciones racionales de x . Por ejemplo:

Duplicar el cubo

El problema clásico de duplicar el cubo se puede resolver usando origami. Esta construcción se debe a Peter Messer: ^{[ 35 ]} Un cuadrado de papel se dobla primero en tres tiras iguales como se muestra en el diagrama. Luego, el borde inferior se coloca de manera que el punto de la esquina P esté en el borde superior y la marca de pliegue en el borde coincida con la otra marca de pliegue Q. La longitud PB será entonces la raíz cúbica de 2 veces la longitud de AP. ^{[ 14 ]}

El borde con la marca del pliegue se considera una regla marcada, algo que no está permitido en las construcciones con compás y regla . Utilizar una regla marcada de esta manera se denomina construcción neusis en geometría.

Trisecar un ángulo

La trisección de ángulos es otro de los problemas clásicos que no se pueden resolver con un compás y una regla sin marcar, pero sí con origami. ^{[ 36 ]} Esta construcción, que se informó en 1980, se debe a Hisashi Abe. ^{[ 35 ] [ 9 ]} El ángulo CAB se triseca haciendo dos pliegues: PP', paralelo a la base, y QQ', a medio camino entre ambos. Luego, el punto P se pliega para que quede sobre la línea AC y, al mismo tiempo, el punto A se coloca sobre la línea QQ' en A'. El ángulo A'AB es un tercio del ángulo CAB original. Esto se debe a que PAQ, A'AQ y A'AR son tres triángulos congruentes . Alinear los dos puntos sobre las dos líneas es otra construcción de neusis, como en la solución para duplicar el cubo. ^{[ 37 ] [ 9 ]}

El problema del origami rígido , que trata los pliegues como bisagras que unen dos superficies planas y rígidas, como una lámina de metal , tiene gran importancia práctica. Por ejemplo, el pliegue de mapa de Miura es un pliegue rígido que se ha utilizado para desplegar grandes conjuntos de paneles solares para satélites espaciales.

El problema del plegado de servilletas consiste en determinar si un cuadrado o un rectángulo de papel se puede doblar de manera que el perímetro de la figura plana sea mayor que el del cuadrado original.

La colocación de un punto en un pliegue curvo del patrón puede requerir la solución de integrales elípticas. El origami curvo permite que el papel forme superficies desarrollables que no son planas. ^{[ 38 ]} El origami de plegado húmedo es una técnica desarrollada por Yoshizawa que permite que los pliegues curvos creen una gama aún mayor de formas de mayor complejidad.

Se ha determinado el número máximo de veces que se puede doblar un material incompresible. Con cada pliegue, se pierde una cierta cantidad de papel debido a un posible doblado. La función de pérdida para doblar papel por la mitad en una sola dirección se definió como:${\displaystyle L={\tfrac {\pi t}{6}}(2^{n}+4)(2^{n}-1)}$donde L es la longitud mínima del papel (u otro material), t es el grosor del material y n es el número de pliegues posibles. ^{[ 39 ]} Las distancias L y t deben expresarse en las mismas unidades, como pulgadas. Este resultado fue obtenido por Britney Gallivan, una estudiante de secundaria de California , en diciembre de 2001. En enero de 2002, dobló un trozo de papel higiénico de 4000 pies de largo (1200 m) doce veces en la misma dirección, desmintiendo un mito muy extendido de que el papel no se puede doblar por la mitad más de ocho veces. ^{[ 40 ] [ 41 ]} 

El problema del plegado y corte plantea qué figuras se pueden obtener doblando una hoja de papel y realizando un único corte recto y completo. La solución, conocida como el teorema del plegado y corte, establece que se puede obtener cualquier figura con lados rectos.

Un problema práctico es cómo plegar un mapa de manera que pueda manipularse con el mínimo esfuerzo o movimientos. El pliegue de Miura es una solución a este problema, y ​​se han propuesto varias otras. ^{[ 42 ]}

El origami computacional es una rama de la informática que se ocupa del estudio de algoritmos para resolver problemas de plegado de papel. A principios de la década de 1990, los origamistas participaron en una serie de concursos de origami llamados Bug Wars, en los que los artistas intentaban superar a sus compañeros añadiendo complejidad a sus insectos de origami. La mayoría de los participantes pertenecían a los Origami Detectives, un grupo de aclamados artistas japoneses. ^{[ 43 ]} Robert Lang , científico investigador de la Universidad de Stanford y del Instituto Tecnológico de California , también participó en el concurso. El concurso ayudó a impulsar un interés colectivo en el desarrollo de modelos y herramientas universales para facilitar el diseño y la capacidad de plegado del origami. ^{[ 43 ]}

Software y herramientas

Existen diversas herramientas de software para el diseño de origami. Los usuarios especifican la forma o funcionalidad deseada, y el software construye el patrón de plegado y/o el modelo 2D o 3D del resultado. Investigadores del Instituto Tecnológico de Massachusetts ( MIT) , Georgia Tech , la Universidad de California en Irvine , la Universidad de Tsukuba y la Universidad de Tokio han desarrollado y publicado herramientas de origami computacional de acceso público. TreeMaker, ReferenceFinder, OrigamiDraw y Origamizer se encuentran entre las herramientas utilizadas en el diseño de origami. ^{[ 50 ]}

Existen otras soluciones de software asociadas con la construcción de modelos de origami computacional utilizando materiales distintos al papel, como Cadnano en el origami de ADN . ^{[ 51 ]}

• Flexágono
• El método de Lill
• Plegado de mapas
• Problema al doblar servilletas
• Secuencia regular de plegado de papel (por ejemplo, la curva del dragón )

• Demaine, Erik D. , "Plegado y desplegado" , tesis doctoral, Departamento de Ciencias de la Computación, Universidad de Waterloo, 2001.
• Friedman, Michael (2018). Una historia del plegado en matemáticas: matematizando los márgenes . Science Networks. Historical Studies. Vol.  59. Birkhäuser. doi : 10.1007/978-3-319-72487-4 . ISBN 978-3-319-72486-7.
• Geretschlager, Robert (1995). "Construcciones euclidianas y la geometría del origami". Mathematics Magazine . 68 (5): 357– 371. doi : 10.2307/2690924 . JSTOR 2690924 . 
• Haga, Kazuo (2008). Fonacier, Josefina C; Isoda, Masami (eds.). Origamics: Mathematical Explorations Through Paper Folding . University of Tsukuba, Japan: World Scientific Publishing. ISBN 978-981-283-490-4.
• Lang, Robert J. (2003). Secretos del diseño de origami: Métodos matemáticos para un arte ancestral . AK Peters. ISBN 978-1-56881-194-9.
• Dureisseix, David , "Plegado de polígonos óptimos a partir de cuadrados" , Mathematics Magazine 79(4): 272–280, 2006. doi : 10.2307/27642951
• Dureisseix, David , "Una visión general de los mecanismos y patrones del origami" , International Journal of Space Structures 27(1): 1–14, 2012. doi : 10.1260/0266-3511.27.1.1

• Tom Hull . "Página de matemáticas del origami" .
• Geometría del plegado de papel en cut-the-knot
• Dividir un segmento en partes iguales mediante plegado de papel en cut-the-not
• Introducción a los axiomas del origami
• Introducción a la estadística con origami por Mario Cigada