Cálculo fraccionario

La forma clásica del cálculo fraccionario viene dada por la integral de Riemann-Liouville , que es esencialmente lo que se ha descrito anteriormente. La teoría de la integración fraccionaria para funciones periódicas (que incluye, por lo tanto, la "condición de contorno" de repetición después de un período) viene dada por la integral de Weyl . Se define en series de Fourier y requiere que el coeficiente constante de Fourier sea cero (por lo tanto, se aplica a funciones en el círculo unitario cuyas integrales se evalúan a cero). La integral de Riemann-Liouville existe en dos formas, superior e inferior. Considerando el intervalo [ a , b ] , las integrales se definen como $${\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{a}}{_{t}^{-\alpha }}Df(t)&=\sideset {_{a}}{_{t}^{\alpha }}If(t)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \\\sideset {_{t}}{_{b}^{-\alpha }}Df(t)&=\sideset {_{t}}{_{b}^{\alpha }}If(t)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{t}^{b}\left(\tau -t\right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \end{aligned}}}$$

Donde la primera es válida para t > a y la segunda es válida para t < b . ^{[ 11 ]}

Se ha sugerido ^{[ 12 ]} que la integral en el eje real positivo (es decir,${\displaystyle a=0}$) se denominaría más apropiadamente integral de Abel-Riemann, sobre la base de la historia de su descubrimiento y uso, y en la misma línea la integral sobre toda la recta real se denominaría integral de Liouville-Weyl.

Por el contrario, la derivada de Grünwald-Letnikov comienza con la derivada en lugar de la integral.

La integral fraccionaria de Hadamard fue introducida por Jacques Hadamard ^{[ 13 ]} y está dada por la siguiente fórmula: $${\displaystyle \sideset {_{a}}{_{t}^{-\alpha }}{\mathbf {D} }f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(\log {\frac {t}{\tau }}\right)^{\alpha -1}f(\tau ){\frac {d\tau }{\tau }},\qquad t>a\,.}$$

La integral fraccionaria de Atangana-Baleanu de una función continua se define como: $${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {A}}a}^{\operatorname {AB} }}{_{t}^{\alpha }}If(t)={\frac {1-\alpha }{\operatorname {AB} (\alpha )}}f(t)+{\frac {\alpha }{\operatorname {AB} (\alpha )\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau }$$

La derivada correspondiente se calcula utilizando la regla de Lagrange para operadores diferenciales. Para hallar la derivada de orden α , se calcula la derivada de orden n de la integral de orden ( n − α ) , donde n es el entero más pequeño mayor que α (es decir, n = ⌈ α ⌉ ). La derivada e integral fraccionaria de Riemann-Liouville tiene múltiples aplicaciones, como en el caso de soluciones a la ecuación en el caso de sistemas múltiples como los sistemas tokamak y parámetros fraccionarios de orden variable. ^{[ 15 ] [ 16 ]} De forma similar a las definiciones para la integral de Riemann-Liouville, la derivada tiene variantes superior e inferior. ^{[ 17 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{a}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{a}}{_{t}^{-(n-\alpha )}}Df(t)\\&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{a}}{_{t}^{n-\alpha }}If(t)\\\sideset {_{t}}{_{b}^{\alpha }}Df(t)&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{t}}{_{b}^{-(n-\alpha )}}Df(t)\\&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{t}}{_{b}^{n-\alpha }}Si(t)\end{aligned}}}$$

Otra opción para calcular derivadas fraccionarias es la derivada fraccionaria de Caputo . Fue introducida por Michele Caputo en su artículo de 1967. ^{[ 18 ]} A diferencia de la derivada fraccionaria de Riemann-Liouville, al resolver ecuaciones diferenciales utilizando la definición de Caputo, no es necesario definir las condiciones iniciales de orden fraccionario. La definición de Caputo se ilustra de la siguiente manera, donde nuevamente n = ⌈ α ⌉ : $${\displaystyle \sideset {^{C}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\alpha )}}\int _{0}^{t}{\frac {f^{(n)}(\tau )}{\left(t-\tau \right)^{\alpha +1-n}}}\,d\tau .}$$

Existe la derivada fraccionaria de Caputo definida como: $${\displaystyle D^{\nu }f(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\nu )}}\int _{0}^{t}(tu)^{(n-\nu -1)}f^{(n)}(u)\,du\qquad (n-1)<\nu <n}$$ que tiene la ventaja de que es cero cuando f ( t ) es constante y su transformada de Laplace se expresa mediante los valores iniciales de la función y su derivada. Además, existe la derivada fraccionaria de Caputo de orden distribuido definida como $${\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{a}^{b}}{^{n}u}Df(t)&=\int _{a}^{b}\phi (\nu )\left[D^{(\nu )}f(t)\right]\,d\nu \\&=\int _{a}^{b}\left[{\frac {\phi (\nu )}{\Gamma (1-\nu )}}\int _{0}^{t}\left(tu\right)^{-\nu }f'(u)\,du\right]\,d\nu \end{aligned}}}$$

donde ϕ ( ν ) es una función de peso que se utiliza para representar matemáticamente la presencia de múltiples formalismos de memoria.

En un artículo de 2015, M. Caputo y M. Fabrizio presentaron una definición de derivada fraccionaria con un núcleo no singular, para una función${\displaystyle f(t)}$de${\displaystyle C^{1}}$dado por: $${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {C}}a}^{\text{CF}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f'(\tau )\ e^{\left(-\alpha {\frac {t-\tau }{1-\alpha }}\right)}\ d\tau ,}$$

dónde${\displaystyle a<0,\alpha \in (0,1]}$. ^{[ 19 ]}

En 2016, Atangana y Baleanu propusieron operadores diferenciales basados ​​en la función generalizada de Mittag-Leffler.${\displaystyle E_{\alpha }}$El objetivo era introducir operadores diferenciales fraccionarios con núcleo no singular no local. Sus operadores diferenciales fraccionarios se dan a continuación en el sentido de Riemann-Liouville y en el sentido de Caputo, respectivamente. Para una función${\displaystyle f(t)}$de${\displaystyle C^{1}}$dado por ^{[ 20 ] [ 21 ]}$${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {AB}}a}^{\text{ABC}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {\operatorname {AB} (\alpha )}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f'(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {(t-\tau )^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)d\tau ,}$$

Si la función es continua, la derivada de Atangana-Baleanu en el sentido de Riemann-Liouville viene dada por: $${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {AB}}a}^{\text{ABC}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {\operatorname {AB} (\alpha )}{1-\alpha }}{\frac {d}{dt}}\int _{a}^{t}f(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {(t-\tau )^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)d\tau ,}$$

El núcleo utilizado en la derivada fraccionaria de Atangana-Baleanu tiene algunas propiedades de una función de distribución acumulativa. Por ejemplo, para todo${\displaystyle \alpha \in (0,1]}$, la función${\displaystyle E_{\alpha }}$es creciente en la recta real, converge a${\displaystyle 0}$en${\displaystyle -\infty }$, y${\displaystyle E_{\alpha }(0)=1}$Por lo tanto , tenemos que la función${\displaystyle x\mapsto 1-E_{\alpha }(-x^{\alpha })}$es la función de distribución acumulativa de una medida de probabilidad sobre los números reales positivos. Por lo tanto, la distribución queda definida, y cualquiera de sus múltiplos se denomina distribución de Mittag-Leffler de orden${\displaystyle \alpha }$También es bien sabido que todas estas distribuciones de probabilidad son absolutamente continuas . En particular, la función de Mittag-Leffler tiene un caso particular.${\displaystyle E_{1}}$, que es la función exponencial, la distribución de Mittag-Leffler de orden${\displaystyle 1}$es, por lo tanto, una distribución exponencial . Sin embargo, para${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$Las distribuciones de Mittag-Leffler tienen colas pesadas . Su transformada de Laplace viene dada por: $${\displaystyle \mathbb {E} (e^{-\lambda X_{\alpha }})={\frac {1}{1+\lambda ^{\alpha }}},}$$

Esto implica directamente que, para${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$, la esperanza es infinita. Además, estas distribuciones son distribuciones geométricamente estables .

La derivada de Riesz se define como $${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial \left|x\right|^{\alpha }}}\right\}(k)=-\left|k\right|^{\alpha }{\mathcal {F}}\{u\}(k),}$$

dónde${\displaystyle {\mathcal {F}}}$denota la transformada de Fourier . ^{[ 22 ] [ 23 ]}

La derivada fraccionaria conforme de una función${\displaystyle f}$del orden${\displaystyle \alpha }$es dado por$${\displaystyle T_{\alpha }(f)(t)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {f\left(t+\epsilon t^{1-\alpha }\right)-f(t)}{\epsilon }}}$$A diferencia de otras definiciones de la derivada fraccionaria, la derivada fraccionaria conforme obedece la regla del producto y del cociente y tiene análogos al teorema de Rolle y al teorema del valor medio . ^{[ 24 ] [ 25 ]} Sin embargo, esta derivada fraccionaria produce resultados significativamente diferentes en comparación con la derivada fraccionaria de Riemann-Liouville y Caputo. En 2020, Feng Gao y Chunmei Chi definieron la derivada fraccionaria conforme de tipo Caputo mejorada, que se aproxima más al comportamiento de la derivada fraccionaria de Caputo: ^{[ 25 ]}$${\displaystyle _{a}^{C}{\widetilde {T}}_{\alpha }(f)(t)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\left[(1-\alpha )(f(t)-f(a))+\alpha {\frac {f\left(t+\epsilon (ta)^{1-\alpha }\right)-f(t)}{\epsilon }}\right]}$$dónde${\displaystyle a}$y${\displaystyle t}$son números reales y${\displaystyle a<t}$. También definieron la derivada fraccionaria conforme de tipo Riemann-Liouville mejorada para aproximar de manera similar la derivada fraccionaria de Riemann-Liouville: ^{[ 25 ]}

$${\displaystyle _{a}^{RL}{\widetilde {T}}_{\alpha }(f)(t)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\left[(1-\alpha )f(t)+\alpha {\frac {f\left(t+\epsilon (ta)^{1-\alpha }\right)-f(t)}{\epsilon }}\right]}$$dónde${\displaystyle a}$y${\displaystyle t}$son números reales y${\displaystyle a<t}$. Ambas derivadas fraccionarias conformes mejoradas tienen análogos al teorema de Rolle y al teorema del extremo interior . ^{[ 26 ]}

Las derivadas fraccionarias clásicas incluyen:

• Derivada de Grünwald-Letnikov ^{[ 27 ] [ 28 ]}
• Derivado de Sonin-Letnikov ^{[ 28 ]}
• Derivado de Liouville ^{[ 27 ]}
• Derivado de Caputo ^{[ 27 ]}
• Derivado de Hadamard ^{[ 27 ] [ 29 ]}
• Derivado de Marchaud ^{[ 27 ]}
• Derivado de Riesz ^{[ 28 ]}
• Derivado de Miller-Ross ^{[ 27 ]}
• Derivado de Weyl ^{[ 30 ] [ 31 ] [ 27 ]}
• Derivado de Erdélyi-Kober ^{[ 27 ]}
• ${\displaystyle F^{\alpha }}$-derivado ^{[ 32 ]}

Entre los nuevos derivados fraccionarios se incluyen:

• Derivado de Coimbra ^{[ 27 ]}
• Derivado de Katugampola ^{[ 33 ]}
• Derivado de Hilfer ^{[ 27 ]}
• Derivado de Davidson ^{[ 27 ]}
• Derivado de Chen ^{[ 27 ]}
• Derivado de Caputo-Fabrizio ^{[ 20 ] [ 34 ]}
• Derivado de Atangana-Baleanu ^{[ 20 ] [ 21 ]}

Las nuevas derivadas fraccionarias con núcleos no singulares, a saber, las derivadas de Caputo-Fabrizio y Atangana-Baleanu, son objeto de controversia en la literatura de matemáticas aplicadas. ^{[ 35 ] [ 36 ]} Se critica la validez y las aplicaciones de estas derivadas, argumentando que son simples realizaciones de derivadas enteras o de derivadas fraccionarias estándar de Caputo, o incompatibles con el teorema fundamental del cálculo fraccionario. ^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]}

Por otro lado, trabajos posteriores han argumentado que la afirmación de que las derivadas fraccionarias con núcleos continuos (no singulares) son demasiado restrictivas es consecuencia de inicializar ecuaciones diferenciales fraccionarias utilizando valores de un solo instante en lugar de historiales pasados. Dado que la memoria es una propiedad intrínseca de los modelos fraccionarios, dicha inicialización es física y matemáticamente inconsistente. Cuando el pasado del modelo se trata correctamente, las supuestas incompatibilidades de los núcleos no singulares ya no surgen. El artículo concluye que las limitaciones atribuidas a operadores como las derivadas de Caputo-Fabrizio y Atangana-Baleanu provienen de supuestos de modelado, no de los operadores en sí. ^{[ 40 ]}

En entornos aplicados, los operadores fraccionarios con núcleos no singulares han demostrado su utilidad en el modelado de sistemas físicos complejos. Por ejemplo, un estudio sobre difusión anómala en celdas electrolíticas encontró que los modelos que incorporan derivadas basadas en la función de Mittag-Leffler, una clase de núcleos no singulares, proporcionaron un ajuste superior a los datos experimentales de espectroscopia de impedancia en comparación con los modelos que utilizan la derivada singular clásica de Caputo. Este resultado destaca el valor práctico de estos operadores para capturar efectos de memoria y transporte anómalo en materiales del mundo real. ^{[ 41 ]} Basado en el estudio de 2017 de Tateishi, Ribeiro y Lenzi, los operadores fraccionarios con núcleos no singulares proporcionan mecanismos distintos para modelar la difusión anómala. El operador Atangana-Baleanu-Caputo (ABC), con su núcleo de Mittag-Leffler, produce una transición de la dinámica usual a la subdifusiva, coincidiendo con los patrones observados en sistemas complejos como las células biológicas. En contraste, el operador Caputo-Fabrizio (CF), con un núcleo exponencial, conduce a una transición diferente de difusión a un estado estacionario confinado, que es matemáticamente equivalente a un proceso de difusión con reinicio estocástico. ^{[ 42 ]}

Para responder a las críticas sobre la definición matemática de su operador, Caputo y Fabrizio han argumentado que cuando su derivada se define correctamente sobre un intervalo [a,t) que tiene en cuenta la prehistoria del sistema, puede representarse en una forma equivalente que incluye un núcleo singular y es capaz de modelar comportamientos materiales complejos como la viscoplasticidad. ^{[ 43 ]}

La derivada fraccionaria de Atangana-Baleanu en el sentido de Caputo (ABC) es estructuralmente diferente de la derivada fraccionaria clásica de Caputo. En particular, el operador ABC puede escribirse como una convolución de la derivada de Caputo con un núcleo de Mittag-Leffler no trivial, lo que demuestra que no se trata de un simple reescalamiento del operador de Caputo.

Para ${\displaystyle 0<\alpha <1}$y${\displaystyle f(0)=0}$, la transformada de Laplace de la derivada de Caputo es ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{{}^{C}D^{\alpha }f(t)\}(s)=s^{\alpha }F(s),}$ dónde${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)}$La derivada ABC satisface ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{{}^{ABC}D^{\alpha }f(t)\}(s)={\frac {1}{1-\alpha }}{\frac {s^{\alpha }}{s^{\alpha }+\lambda }}F(s),\qquad \lambda ={\frac {\alpha }{1-\alpha }}.}$

Por eso, ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{{}^{ABC}D^{\alpha }f(t)\}(s)={\frac {1}{1-\alpha }}{\frac {1}{s^{\alpha }+\lambda }}{\mathcal {L}}\{{}^{C}D^{\alpha }f(t)\}(s).}$

Por inversión, la derivada ABC admite la forma de convolución. ${\displaystyle {}^{ABC}D^{\alpha }f(t)=\int _{0}^{t}k(t-\tau )\,{}^{C}D^{\alpha }f(\tau )\,d\tau ,}$ con kernel ${\displaystyle k(t)={\frac {1}{1-\alpha }}\,t^{\alpha -1}E_{\alpha {,}\alpha }(-\lambda t^{\alpha }),}$ dónde${\displaystyle E_{\alpha {,}\beta }}$denota la función de Mittag-Leffler de dos parámetros.

Dado que el núcleo no es una distribución delta de Dirac, el operador ABC no es un múltiplo escalar del operador de Caputo.

Para${\displaystyle 0<\alpha <1}$y${\displaystyle \mu \in \mathbb {C} }$, la derivada fraccionaria de Caputo se define por

$${\displaystyle {}_{0}^{C}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}\int _{0}^{t}(t-\tau )^{-\alpha }f'(\tau )\,d\tau .}$$

La función de Mittag-Leffler de un parámetro

$${\displaystyle E_{\alpha }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (\alpha k+1)}},\qquad z\in \mathbb {C} ,}$$

satisface la ecuación de autofunción

$${\displaystyle {}_{0}^{C}D_{t}^{\alpha }E_{\alpha }(\mu t^{\alpha })=\mu \,E_{\alpha }(\mu t^{\alpha }).}$$

Con la elección${\displaystyle B(\alpha )=1}$Para la constante de normalización, la derivada de Atangana-Baleanu en el sentido de Caputo (derivada ABC) se define por

$${\displaystyle {}_{0}^{ABC}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{0}^{t}E_{\alpha }\!{\bigl (}-\lambda (t-\tau )^{\alpha }{\bigr )}f'(\tau )\,d\tau ,\qquad \lambda ={\frac {\alpha }{1-\alpha }},\quad 0<\alpha <1.}$$

Su transformada de Laplace es

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{}_{0}^{ABC}D_{t}^{\alpha }f(t)\right](s)={\frac {1}{1-\alpha }}{\frac {s^{\alpha }}{s^{\alpha }+\lambda }}{\bigl (}sF(s)-f(0){\bigr )},}$$

dónde${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)}$.

Aplicar este operador a${\displaystyle f(t)=E_{\alpha }(\mu t^{\alpha })}$da

$${\displaystyle F(s)={\frac {s^{\alpha -1}}{s^{\alpha }-\mu }},\qquad f(0)=1,}$$

y por lo tanto

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{}_{0}^{ABC}D_{t}^{\alpha }E_{\alpha }(\mu t^{\alpha })\right](s)={\frac {1}{1-\alpha }}{\frac {s^{\alpha }}{s^{\alpha }+\lambda }}\left({\frac {s^{\alpha }}{s^{\alpha }-\mu }}-1\right)={\frac {1}{1-\alpha }}{\frac {\mu s^{\alpha }}{(s^{\alpha }-\mu )(s^{\alpha }+\lambda )}}.}$$

Descomposición en fracciones parciales en la variable${\displaystyle s^{\alpha }}$rendimientos

$${\displaystyle {\frac {s^{\alpha }}{(s^{\alpha }-\mu )(s^{\alpha }+\lambda )}}={\frac {\mu }{\mu +\lambda }}{\frac {1}{s^{\alpha }-\mu }}+{\frac {\lambda }{\mu +\lambda }}{\frac {1}{s^{\alpha }+\lambda }}.}$$

Por eso,

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{}_{0}^{ABC}D_{t}^{\alpha }E_{\alpha }(\mu t^{\alpha })\right](s)={\frac {\mu }{1-\alpha }}\left({\frac {\mu }{\mu +\lambda }}{\frac {1}{s^{\alpha }-\mu }}+{\frac {\lambda }{\mu +\lambda }}{\frac {1}{s^{\alpha }+\lambda }}\right).}$$

Utilizando la identidad de la transformada inversa de Laplace

$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s^{\alpha }-a}}\right\}=t^{\alpha -1}E_{\alpha ,\alpha }(at^{\alpha }),}$$

donde la función de Mittag-Leffler de dos parámetros se define por

$${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (\alpha k+\beta )}},}$$

se obtiene la expresión exacta en el dominio del tiempo

$${\displaystyle {}_{0}^{ABC}D_{t}^{\alpha }E_{\alpha }(\mu t^{\alpha })={\frac {\mu }{1-\alpha }}\left({\frac {\mu }{\mu +\lambda }}\,t^{\alpha -1}E_{\alpha ,\alpha }(\mu t^{\alpha })+{\frac {\lambda }{\mu +\lambda }}\,t^{\alpha -1}E_{\alpha ,\alpha }(-\lambda t^{\alpha })\right).}$$

La expresión resultante no es proporcional a${\displaystyle E_{\alpha }(\mu t^{\alpha })}$Por lo tanto, a diferencia de la derivada de Caputo, la derivada ABC no admite la función de Mittag-Leffler de un parámetro como una autofunción.

En consecuencia, salvo en los casos límite${\displaystyle \alpha \to 0}$o${\displaystyle \alpha \to 1}$, la derivada ABC no puede expresarse como un múltiplo escalar (dependiendo únicamente de${\displaystyle \alpha }$) de la derivada de Caputo.

El${\displaystyle a}$-ésima derivada de una función${\displaystyle f}$en un punto${\displaystyle x}$es una propiedad local solo cuando${\displaystyle a}$es un número entero; este no es el caso para las derivadas de potencias no enteras. En otras palabras, una derivada fraccionaria no entera de${\displaystyle f}$en${\displaystyle x=c}$depende de todos los valores de${\displaystyle f}$, incluso aquellos que están lejos de${\displaystyle c}$Por lo tanto , se espera que la operación de derivada fraccionaria involucre algún tipo de condiciones de contorno , que incluyan información sobre la función más allá. ^{[ 58 ]}

La derivada fraccionaria de una función de orden${\displaystyle a}$Actualmente se define a menudo mediante las transformadas integrales de Fourier o Mellin . ^{[ 59 ]}

El operador Erdélyi-Kober es un operador integral introducido por Arthur Erdélyi (1940). ^{[ 60 ]} y Hermann Kober (1940) ^{[ 61 ]} y está dado por $${\displaystyle {\frac {x^{-\nu -\alpha +1}}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(t-x\right)^{\alpha -1}t^{-\alpha -\nu }f(t)\,dt\,,}$$

que generaliza la integral fraccionaria de Riemann-Liouville y la integral de Weyl.

Como describen Wheatcraft y Meerschaert (2008), ^{[ 63 ]} se necesita una ecuación de conservación fraccionaria de la masa para modelar el flujo de fluidos cuando el volumen de control no es lo suficientemente grande en comparación con la escala de heterogeneidad y cuando el flujo dentro del volumen de control no es lineal. En el artículo de referencia, la ecuación de conservación fraccionaria de la masa para el flujo de fluidos es: $${\displaystyle -\rho \left(\nabla ^{\alpha }\cdot {\vec {u}}\right)=\Gamma (\alpha +1)\Delta x^{1-\alpha }\rho \left(\beta _{s}+\phi \beta _{w}\right){\frac {\partial p}{\partial t}}}$$

Al estudiar el comportamiento redox de un sustrato en solución, se aplica un voltaje en la superficie de un electrodo para forzar la transferencia de electrones entre el electrodo y el sustrato. La transferencia de electrones resultante se mide como una corriente. La corriente depende de la concentración de sustrato en la superficie del electrodo. A medida que se consume el sustrato, se difunde sustrato fresco hacia el electrodo, según lo descrito por las leyes de difusión de Fick . Al aplicar la transformada de Laplace a la segunda ley de Fick, se obtiene una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden (aquí en forma adimensional): $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}C(x,s)=sC(x,s)}$$

cuya solución C ( x , s ) contiene una dependencia de potencia de un medio con respecto a s . Al derivar C ( x , s ) y luego aplicar la transformada inversa de Laplace, se obtiene la siguiente relación: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}C(x,t)={\frac {d^{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}}{dt^{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}}}C(x,t)}$$

que relaciona la concentración de sustrato en la superficie del electrodo con la corriente. ^{[ 64 ]} Esta relación se aplica en la cinética electroquímica para dilucidar el comportamiento mecanicista. Por ejemplo, se ha utilizado para estudiar la velocidad de dimerización de sustratos durante la reducción electroquímica. ^{[ 65 ]}

En 2013-2014, Atangana et al. describieron algunos problemas de flujo de agua subterránea utilizando el concepto de derivada de orden fraccionario. ^{[ 66 ] [ 67 ]} En estos trabajos, la ley clásica de Darcy se generaliza al considerar el flujo de agua como una función de una derivada de orden no entero de la carga piezométrica. Esta ley generalizada y la ley de conservación de la masa se utilizan para derivar una nueva ecuación para el flujo de agua subterránea.

Se ha demostrado que esta ecuación es útil para modelar el flujo de contaminantes en medios porosos heterogéneos. ^{[ 68 ] [ 69 ] [ 70 ]}

Atangana y Kilicman extendieron la ecuación de dispersión de advección fraccionaria a una ecuación de orden variable. En su trabajo, la ecuación de dispersión hidrodinámica se generalizó utilizando el concepto de derivada de orden variacional . La ecuación modificada se resolvió numéricamente mediante el método de Crank-Nicolson . La estabilidad y la convergencia en las simulaciones numéricas demostraron que la ecuación modificada es más fiable para predecir el movimiento de la contaminación en acuíferos deformables que las ecuaciones con derivadas fraccionarias y enteras constantes. ^{[ 71 ]}

Los procesos de difusión anómalos en medios complejos pueden caracterizarse adecuadamente mediante modelos de ecuaciones de difusión de orden fraccional. ^{[ 72 ] [ 73 ]} El término de la derivada temporal corresponde a la disminución de la cola pesada a largo plazo y la derivada espacial a la no localidad de la difusión. La ecuación gobernante de difusión fraccional espacio-temporal puede escribirse como $${\displaystyle {\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial t^{\alpha }}}=-K(-\Delta )^{\beta }u.}$$

Una extensión simple de la derivada fraccionaria es la derivada fraccionaria de orden variable, donde α y β se transforman en α ( x , t ) y β ( x , t ) . Sus aplicaciones en el modelado de difusión anómala se pueden encontrar en las referencias ^{[ 71 ] [ 74 ] [ 75 ].}

Las derivadas fraccionarias se utilizan para modelar la amortiguación viscoelástica en ciertos tipos de materiales como los polímeros. ^{[ 12 ]}

La generalización de los controladores PID para utilizar órdenes fraccionarios puede aumentar su grado de libertad. La nueva ecuación que relaciona la variable de control u ( t ) en términos de un valor de error medido e ( t ) se puede escribir como $${\displaystyle u(t)=K_{\mathrm {p} }e(t)+K_{\mathrm {i} }D_{t}^{-\alpha }e(t)+K_{\mathrm {d} }D_{t}^{\beta }e(t)}$$

donde α y β son órdenes fraccionarios positivos y K _p , K _i , y K _d , todos no negativos, denotan los coeficientes para los términos proporcionales , integrales y derivativos , respectivamente (a veces denotados P , I , y D ). ^{[ 76 ]}

La propagación de ondas acústicas en medios complejos, como el tejido biológico, suele implicar una atenuación que obedece a una ley de potencias de frecuencia. Este tipo de fenómeno puede describirse mediante una ecuación de onda causal que incorpora derivadas temporales fraccionarias: $${\displaystyle \nabla ^{2}u-{\dfrac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+\tau _{\sigma }^{\alpha }{\dfrac {\partial ^{\alpha }}{\partial t^{\alpha }}}\nabla ^{2}u-{\dfrac {\tau _{\epsilon }^{\beta }}{c_{0}^{2}}}{\dfrac {\partial ^{\beta +2}u}{\partial t^{\beta +2}}}=0\,.}$$

Véase también Holm y Näsholm (2011) ^{[ 77 ]} y las referencias allí citadas. Estos modelos están vinculados a la hipótesis comúnmente reconocida de que los fenómenos de relajación múltiple dan lugar a la atenuación medida en medios complejos. Esta relación se describe con más detalle en Näsholm y Holm (2011b) ^{[ 78 ]} y en el artículo de revisión ^{[ 79 ]} , así como en el artículo sobre atenuación acústica . Véase Holm y Nasholm (2013) ^{[ 80 ] para un artículo que compara ecuaciones de onda fraccionarias que modelan la atenuación de ley de potencias. Este libro sobre atenuación de ley de potencias también trata el tema con mayor detalle [ 81 ]} .

Pandey y Holm dieron un significado físico a las ecuaciones diferenciales fraccionarias al derivarlas de principios físicos e interpretar el orden fraccionario en términos de los parámetros de los medios acústicos, por ejemplo, en sedimentos marinos granulares no consolidados saturados de fluidos. ^{[ 82 ]} Curiosamente, Pandey y Holm derivaron la ley de Lomnitz en sismología y la ley de Nutting en reología no newtoniana utilizando el marco del cálculo fraccionario. ^{[ 83 ]} La ley de Nutting se utilizó para modelar la propagación de ondas en sedimentos marinos mediante derivadas fraccionarias. ^{[ 82 ]}

La ecuación de Schrödinger fraccionaria , una ecuación fundamental de la mecánica cuántica fraccionaria , tiene la siguiente forma: ^{[ 84 ] [ 85 ]}$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D_{\alpha }\left(-\hbar ^{2}\Delta \right)^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)\,.}$$

donde la solución de la ecuación es la función de onda ψ ( r , t ) – la amplitud de probabilidad cuántica para que la partícula tenga un vector de posición r dado en cualquier instante t dado , y ħ es la constante de Planck reducida . La función de energía potencial V ( r , t ) depende del sistema.

Más,${\textstyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial \mathbf {r} ^{2}}}}$es el operador de Laplace , y D _α es una constante de escala con dimensión física [ D _α ] = J ^{1 − α} ·m ^α ·s ^{− α} = kg ^{1 − α} ·m ^{2 − α} ·s ^{α − 2} , (en α = 2 ,${\textstyle D_{2}={\frac {1}{2m}}}$para una partícula de masa m ), y el operador (− ħ ² Δ) ^{α /2} es la derivada de Riesz cuántica fraccionaria tridimensional definida por $${\displaystyle (-\hbar ^{2}\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3}}}\int d^{3}pe^{{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }|\mathbf {p} |^{\alpha }\varphi (\mathbf {p} ,t)\,.}$$

El índice α en la ecuación fraccionaria de Schrödinger es el índice de Lévy, 1 < α ≤ 2 .

• Sistema de orden fraccional
• Transformada fraccional de Fourier
• Función de Prabhakar