Transformada discreta de Fourier

El uso de la definición estándar de la DFT omite el intervalo de muestreo (o distancia de muestreo).${\displaystyle \Delta t}$en los casos en que el índice corresponde al tiempo a través de${\displaystyle n\Delta t=t}$.

Para relacionar los coeficientes DFT con la transformada de Fourier continua de los datos muestreados, el intervalo de muestreo se puede incluir explícitamente como

${\displaystyle {\tilde {X}}_{k}=\Delta t\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}}$

La mayoría de las bibliotecas de software calculan los coeficientes DFT sin escalar.${\displaystyle X_{k}}$, incluyendo sus correspondientes implementaciones de FFT . Por lo tanto, los coeficientes escalados se pueden obtener como${\displaystyle {\tilde {X}}_{k}=\Delta t\cdot X_{k}}$.

La transformada inversa correspondiente queda entonces de la siguiente manera:

${\displaystyle x_{n}=\Delta f\sum _{k=0}^{N-1}{\tilde {X}}_{k}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}}$

Dónde${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\Delta tN}}}$.

Utilizando la transformada discreta de Fourier inversa, tal como está implementada en la mayoría de las bibliotecas de software, esto se puede escribir de forma equivalente como:

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{\Delta t}}\operatorname {IDFT} ({\tilde {X}})}$

Al aplicar la DFT a datos físicos, el intervalo de muestreo${\displaystyle \Delta t}$(o equivalentemente${\displaystyle \Delta f}$El intervalo de muestreo es una parte esencial de la definición de la señal. Incluirlo garantiza una correcta interpretación de la amplitud, la energía y la frecuencia, especialmente al combinar o comparar datos de diferentes fuentes.

La DFT puede considerarse como la transformación de una secuencia finita de muestras igualmente espaciadas de una función en una secuencia de igual longitud de muestras igualmente espaciadas de la transformada discreta de Fourier en tiempo (DTFT), que es una función de valor complejo de la frecuencia. El intervalo en el que se muestrea la DTFT es el recíproco de la duración de la secuencia de entrada. ^{[ A ] [ 5 ]} Una DFT inversa (IDFT) es una serie de Fourier , que utiliza las muestras de la DTFT como coeficientes de sinusoides complejos en las frecuencias correspondientes de la DTFT. Tiene los mismos valores de muestra que la secuencia de entrada original. Por lo tanto, se dice que la DFT es una representación en el dominio de la frecuencia de la secuencia de entrada original. Si la secuencia original abarca todos los valores no nulos de una función, su DTFT es continua (y periódica), y la DFT proporciona muestras discretas de un ciclo. Si la secuencia original es un ciclo de una función periódica , la DFT proporciona todos los valores no nulos de un ciclo de la DTFT.

La ecuación 1 puede interpretarse o derivarse de diversas maneras, por ejemplo:

La DFT es una transformada lineal, es decir, si${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{x_{n}\})_{k}=X_{k}}$y${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{y_{n}\})_{k}=Y_{k}}$, entonces para cualquier número complejo${\displaystyle a,b}$:

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{ax_{n}+by_{n}\})_{k}=aX_{k}+bY_{k}}$

Invertir el tiempo (es decir, reemplazar${\displaystyle n}$por${\displaystyle N-n}$) ^{[ C ]} en${\displaystyle x_{n}}$corresponde a invertir la frecuencia (es decir,${\displaystyle k}$por${\displaystyle N-k}$). ^{[ 6 ] : p.421} Matemáticamente, si${\displaystyle \{x_{n}\}}$representa el vector x entonces

si${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{x_{n}\})_{k}=X_{k}}$

entonces${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{x_{N-n}\})_{k}=X_{N-k}}$

Si${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{x_{n}\})_{k}=X_{k}}$entonces${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{x_{n}^{*}\})_{k}=X_{N-k}^{*}}$. ^{[ 6 ] : pág. 423}

Esta tabla muestra algunas operaciones matemáticas en${\displaystyle x_{n}}$en el dominio del tiempo y los efectos correspondientes en su DFT${\displaystyle X_{k}}$en el dominio de la frecuencia.

Los vectores${\displaystyle u_{k}=\left[\left.e^{{\frac {i2\pi }{N}}kn}\;\right|\;n=0,1,\ldots ,N-1\right]^{\mathsf {T}}}$, para${\displaystyle k=0,1,\ldots ,N-1}$, forman una base ortogonal sobre el conjunto de vectores complejos N- dimensionales:

${\displaystyle u_{k}^{\mathsf {T}}u_{k'}^{*}=\sum _{n=0}^{N-1}\left(e^{{\frac {i2\pi }{N}}kn}\right)\left(e^{{\frac {i2\pi }{N}}(-k')n}\right)=\sum _{n=0}^{N-1}e^{{\frac {i2\pi }{N}}(k-k')n}=N~\delta _{kk'}}$

dónde${\displaystyle \delta _{kk'}}$es la delta de Kronecker . (En el último paso, la suma es trivial si${\displaystyle k=k'}$donde es 1 + 1 + ⋯ = N , y en caso contrario es una serie geométrica que se puede sumar explícitamente para obtener cero.) Esta condición de ortogonalidad se puede utilizar para derivar la fórmula de la IDFT a partir de la definición de la DFT, y es equivalente a la propiedad de unitariedad que se muestra a continuación.

Si${\displaystyle X_{k}}$y${\displaystyle Y_{k}}$son las DFT de${\displaystyle x_{n}}$y${\displaystyle y_{n}}$respectivamente, entonces el teorema de Parseval establece:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}x_{n}y_{n}^{*}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}Y_{k}^{*}}$

donde el asterisco denota conjugación compleja . ^{[ 7 ]} El teorema de Plancherel es un caso especial del teorema de Parseval y establece:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}|x_{n}|^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X_{k}|^{2}.}$

Estos teoremas también son equivalentes a la condición unitaria que se presenta a continuación.

La periodicidad se puede demostrar directamente a partir de la definición:

${\displaystyle X_{k+N}\ \triangleq \ \sum _{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-{\frac {i2\pi }{N}}(k+N)n}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-{\frac {i2\pi }{N}}kn}\underbrace {e^{-i2\pi n}} _{1}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-{\frac {i2\pi }{N}}kn}=X_{k}.}$

De manera similar, se puede demostrar que la fórmula IDFT conduce a una extensión periódica de${\displaystyle x_{n}}$.

Multiplicando${\displaystyle x_{n}}$mediante una fase lineal${\displaystyle e^{{\frac {i2\pi }{N}}nm}}$para algún entero m corresponde a un desplazamiento circular de la salida${\displaystyle X_{k}}$:${\displaystyle X_{k}}$es reemplazado por${\displaystyle X_{k-m}}$, donde el subíndice se interpreta módulo N (es decir, periódicamente). ^{[ 7 ]} De manera similar, un desplazamiento circular de la entrada${\displaystyle x_{n}}$corresponde a multiplicar la salida${\displaystyle X_{k}}$por una fase lineal . Matemáticamente, si${\displaystyle \{x_{n}\}}$representa el vector x entonces

si${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{x_{n}\})_{k}=X_{k}}$

entonces${\displaystyle {\mathcal {F}}\left(\left\{x_{n}\cdot e^{{\frac {i2\pi }{N}}nm}\right\}\right)_{k}=X_{k-m}}$

y${\displaystyle {\mathcal {F}}\left(\left\{x_{n-m}\right\}\right)_{k}=X_{k}\cdot e^{-{\frac {i2\pi }{N}}km}}$

El teorema de convolución para la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) indica que la convolución de dos secuencias se puede obtener como la transformada inversa del producto de las transformadas individuales. Una simplificación importante ocurre cuando una de las secuencias es N-periódica, denotada aquí por${\displaystyle y_{_{N}},}$porque${\displaystyle \scriptstyle {\text{DTFT}}\displaystyle \{y_{_{N}}\}}$es distinto de cero solo en frecuencias discretas (véase DTFT §  Datos periódicos ), y por lo tanto también lo es su producto con la función continua.${\displaystyle \scriptstyle {\text{DTFT}}\displaystyle \{x\}.}$Eso conlleva una simplificación considerable de la transformada inversa.

${\displaystyle x*y_{_{N}}\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{x\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y_{_{N}}\}\right]\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{x_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y_{_{N}}\}\right],}$

dónde${\displaystyle x_{_{N}}}$es una suma periódica de la${\displaystyle x}$secuencia :${\displaystyle (x_{_{N}})_{n}\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }x_{(n-mN)}.}$

Habitualmente, las sumas de DFT y DFT inversa se toman sobre el dominio${\displaystyle [0,N-1]}$. Definiendo esas DFT como${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$, el resultado es :

${\displaystyle (x*y_{_{N}})_{n}\triangleq \sum _{\ell =-\infty }^{\infty }x_{\ell }\cdot (y_{_{N}})_{n-\ell }=\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}} _{\rm {DFT^{-1}}}\left\{X\cdot Y\right\}_{n}.}$

En la práctica, el${\displaystyle x}$La secuencia suele tener una longitud N o menor, y${\displaystyle y_{_{N}}}$es una extensión periódica de longitud N${\displaystyle y}$-secuencia, que también puede expresarse como una función circular :

${\displaystyle (y_{_{N}})_{n}=\sum _{p=-\infty }^{\infty }y_{(n-pN)}=y_{(n\operatorname {mod} N)},\quad n\in \mathbb {Z} .}$

Entonces la convolución se puede escribir como :

lo que da lugar a la interpretación como una convolución circular de${\displaystyle x}$y${\displaystyle y.}$^{[ 8 ] [ 9 ]} Se utiliza a menudo para calcular eficientemente su convolución lineal. (véaseConvolución circular,Algoritmos de convolución rápidosySuperposición-guardado)

De manera similar, la correlación cruzada de${\displaystyle x}$y${\displaystyle y_{_{N}}}$viene dado por :

${\displaystyle (x\star y_{_{N}})_{n}\triangleq \sum _{\ell =-\infty }^{\infty }x_{\ell }^{*}\cdot (y_{_{N}})_{n+\ell }={\mathcal {F}}^{-1}\left\{X^{*}\cdot Y\right\}_{n}.}$

Como se ha visto anteriormente, la transformada discreta de Fourier posee la propiedad fundamental de transformar la convolución en un producto componente a componente. Surge entonces la pregunta de si es la única con esta capacidad. Se ha demostrado ^{[ 10 ] [ 11 ]} que cualquier transformada lineal que convierta la convolución en un producto punto a punto es la DFT salvo una permutación de coeficientes. Dado que el número de permutaciones de n elementos es igual a n!, existen exactamente n! transformaciones lineales e invertibles con la misma propiedad fundamental que la DFT respecto a la convolución.

También se puede demostrar que :

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{\mathbf {x\cdot y} \right\}_{k}\ \triangleq \sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cdot y_{n}\cdot e^{-i{\frac {2\pi }{N}}kn}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{N}}(\mathbf {X*Y_{N}} )_{k},}$que es la convolución circular de${\displaystyle \mathbf {X} }$y${\displaystyle \mathbf {Y} }$.

El polinomio de interpolación trigonométrica

${\displaystyle p(t)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{N}}\left[{\begin{alignedat}{3}X_{0}+X_{1}e^{i2\pi t}+\cdots &+X_{{\frac {N}{2}}-1}e^{i2\pi {\big (}\!{\frac {N}{2}}-1\!{\big )}t}&\\&+X_{\frac {N}{2}}\cos(N\pi t)&\\&+X_{{\frac {N}{2}}+1}e^{-i2\pi {\big (}\!{\frac {N}{2}}-1\!{\big )}t}&+\cdots +X_{N-1}e^{-i2\pi t}\end{alignedat}}\right]&N{\text{ even}}\\\displaystyle {\frac {1}{N}}\left[{\begin{alignedat}{3}X_{0}+X_{1}e^{i2\pi t}+\cdots &+X_{\frac {N-1}{2}}e^{i2\pi {\frac {N-1}{2}}t}&\\&+X_{\frac {N+1}{2}}e^{-i2\pi {\frac {N-1}{2}}t}&+\cdots +X_{N-1}e^{-i2\pi t}\end{alignedat}}\right]&N{\text{ odd}}\end{cases}}}$

donde los coeficientes X _k vienen dados por la DFT de x _n anterior, satisface la propiedad de interpolación${\displaystyle p(n/N)=x_{n}}$para${\displaystyle n=0,\ldots ,N-1}$.

Para N par , observe que el componente de Nyquist${\textstyle {\frac {X_{N/2}}{N}}\cos(N\pi t)}$se maneja de manera especial.

Esta interpolación no es única : el aliasing implica que se podría agregar N a cualquiera de las frecuencias sinusoidales complejas (por ejemplo, cambiando${\displaystyle e^{-it}}$a${\displaystyle e^{i(N-1)t}}$) sin cambiar la propiedad de interpolación, pero dando diferentes valores entre los${\displaystyle x_{n}}$puntos. La elección anterior, sin embargo, es típica porque tiene dos propiedades útiles. Primero, consiste en sinusoides cuyas frecuencias tienen las magnitudes más pequeñas posibles: la interpolación está limitada en banda . Segundo, si la ${\displaystyle x_{n}}$son números reales, entonces${\displaystyle p(t)}$También es real.

Por el contrario, el polinomio de interpolación trigonométrica más obvio es aquel en el que las frecuencias van de 0 a${\displaystyle N-1}$(en lugar de aproximadamente${\displaystyle -N/2}$a${\displaystyle +N/2}$como se indicó anteriormente), similar a la fórmula DFT inversa. Esta interpolación no minimiza la pendiente y, por lo general, no es de valor real para valores reales.${\displaystyle x_{n}}$; su uso es un error común.

Otra forma de ver la DFT es observar que en la discusión anterior, la DFT se puede expresar como la matriz DFT , una matriz de Vandermonde , introducida por Sylvester en 1867,

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\omega _{N}^{0\cdot 0}&\omega _{N}^{0\cdot 1}&\cdots &\omega _{N}^{0\cdot (N-1)}\\\omega _{N}^{1\cdot 0}&\omega _{N}^{1\cdot 1}&\cdots &\omega _{N}^{1\cdot (N-1)}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\omega _{N}^{(N-1)\cdot 0}&\omega _{N}^{(N-1)\cdot 1}&\cdots &\omega _{N}^{(N-1)\cdot (N-1)}\\\end{bmatrix}}}$

dónde${\displaystyle \omega _{N}=e^{-i2\pi /N}}$es una raíz N- ésima primitiva de la unidad .

Por ejemplo, en el caso de cuando${\displaystyle N=2}$,${\displaystyle \omega _{N}=e^{-i\pi }=-1}$, y

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\\\end{bmatrix}},}$

(que es una matriz de Hadamard ) o cuando ${\displaystyle N=4}$como en la transformada discreta de Fourier §  Ejemplo anterior,${\displaystyle \omega _{N}=e^{-i\pi /2}=-i}$, y

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-i&-1&i\\1&-1&1&-1\\1&i&-1&-i\\\end{bmatrix}}.}$

La transformada inversa viene dada entonces por la inversa de la matriz anterior,

${\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}={\frac {1}{N}}\mathbf {F} ^{*}}$

Con constantes de normalización unitarias${\textstyle 1/{\sqrt {N}}}$, la DFT se convierte en una transformación unitaria , definida por una matriz unitaria:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} &={\frac {1}{\sqrt {N}}}\mathbf {F} \\\mathbf {U} ^{-1}&=\mathbf {U} ^{*}\\\left|\det(\mathbf {U} )\right|&=1\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle \det()}$es la función determinante . El determinante es el producto de los valores propios, que siempre son${\displaystyle \pm 1}$o${\displaystyle \pm i}$como se describe a continuación. En un espacio vectorial real, una transformación unitaria puede considerarse simplemente como una rotación rígida del sistema de coordenadas, y todas las propiedades de una rotación rígida se pueden encontrar en la DFT unitaria.

La ortogonalidad de la DFT se expresa ahora como una condición de ortonormalidad (que surge en muchas áreas de las matemáticas como se describe en raíz de la unidad ):

${\displaystyle \sum _{m=0}^{N-1}U_{km}U_{mn}^{*}=\delta _{kn}}$

Si X se define como la DFT unitaria del vector x , entonces

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}U_{kn}x_{n}}$

y el teorema de Parseval se expresa como

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}x_{n}y_{n}^{*}=\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}Y_{k}^{*}}$

Si consideramos la DFT como una simple transformación de coordenadas que especifica las componentes de un vector en un nuevo sistema de coordenadas, entonces lo anterior es simplemente la afirmación de que el producto escalar de dos vectores se conserva bajo una transformación DFT unitaria. Para el caso especial${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {y} }$, esto implica que la longitud de un vector también se conserva; esto es simplemente el teorema de Plancherel ,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}|x_{n}|^{2}=\sum _{k=0}^{N-1}|X_{k}|^{2}}$

Una consecuencia del teorema de convolución circular es que la matriz DFT F diagonaliza cualquier matriz circulante .

Una propiedad útil de la DFT es que la DFT inversa se puede expresar fácilmente en términos de la DFT (directa) mediante varios "trucos" bien conocidos. (Por ejemplo, en los cálculos, suele ser conveniente implementar solo una transformada rápida de Fourier correspondiente a una dirección de transformación y luego obtener la otra dirección a partir de la primera).

Primero, podemos calcular la DFT inversa invirtiendo todas las entradas excepto una: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}(\{x_{n}\})={\frac {1}{N}}{\mathcal {F}}(\{x_{N-n}\})}$

(Como es habitual, los subíndices se interpretan módulo N ; por lo tanto, para${\displaystyle n=0}$, tenemos${\displaystyle x_{N-0}=x_{0}}$.)

En segundo lugar, también se pueden conjugar las entradas y las salidas:

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}(\mathbf {x} )={\frac {1}{N}}{\mathcal {F}}\left(\mathbf {x} ^{*}\right)^{*}}$

En tercer lugar, una variante de este truco de conjugación, que a veces es preferible porque no requiere ninguna modificación de los valores de los datos, implica intercambiar las partes real e imaginaria (lo que se puede hacer en una computadora simplemente modificando punteros ). Definir${\textstyle \operatorname {swap} (x_{n})}$como${\displaystyle x_{n}}$con sus partes reales e imaginarias intercambiadas, es decir, si${\displaystyle x_{n}=a+bi}$entonces${\textstyle \operatorname {swap} (x_{n})}$es${\displaystyle b+ai}$. De forma equivalente,${\textstyle \operatorname {swap} (x_{n})}$igual${\displaystyle ix_{n}^{*}}$. Entonces

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}(\mathbf {x} )={\frac {1}{N}}\operatorname {swap} ({\mathcal {F}}(\operatorname {swap} (\mathbf {x} )))}$

Es decir, la transformada inversa es la misma que la transformada directa, con las partes real e imaginaria intercambiadas tanto para la entrada como para la salida, salvo una normalización. ^{[ 12 ]}

El truco de conjugación también se puede utilizar para definir una nueva transformación, estrechamente relacionada con la DFT, que es involutiva , es decir, que es su propia inversa. En particular,${\displaystyle T(\mathbf {x} )={\mathcal {F}}\left(\mathbf {x} ^{*}\right)/{\sqrt {N}}}$es claramente su propio inverso:${\displaystyle T(T(\mathbf {x} ))=\mathbf {x} }$. Una transformación involutiva estrechamente relacionada (por un factor de${\textstyle {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}}$) es${\displaystyle H(\mathbf {x} )={\mathcal {F}}\left((1+i)\mathbf {x} ^{*}\right)/{\sqrt {2N}}}$, ya que el${\displaystyle (1+i)}$factores en${\displaystyle H(H(\mathbf {x} ))}$cancelar el 2. Para entradas reales${\displaystyle \mathbf {x} }$, la parte real de${\displaystyle H(\mathbf {x} )}$no es otra que la transformada discreta de Hartley , que también es involutiva.

Los autovalores de la matriz DFT son simples y bien conocidos, mientras que los autovectores son complejos, no únicos y son objeto de investigación continua. Se proporcionan fórmulas explícitas con un alto grado de teoría de números . ^{[ 13 ]}

Consideremos la forma unitaria${\displaystyle \mathbf {U} }$definido anteriormente para la DFT de longitud N , donde

${\displaystyle \mathbf {U} _{m,n}={\frac {1}{\sqrt {N}}}\omega _{N}^{(m-1)(n-1)}={\frac {1}{\sqrt {N}}}e^{-{\frac {i2\pi }{N}}(m-1)(n-1)}.}$

Esta matriz satisface la ecuación polinómica matricial :

${\displaystyle \mathbf {U} ^{4}=\mathbf {I} .}$

Esto se puede observar en las propiedades inversas anteriores: operando${\displaystyle \mathbf {U} }$dos veces da los datos originales en orden inverso, por lo que opera${\displaystyle \mathbf {U} }$cuatro veces devuelve los datos originales y es, por lo tanto, la matriz identidad . Esto significa que los valores propios${\displaystyle \lambda }$Satisfacer la ecuación:

${\displaystyle \lambda ^{4}=1.}$

Por lo tanto, los valores propios de${\displaystyle \mathbf {U} }$son las cuartas raíces de la unidad :${\displaystyle \lambda }$es +1, −1, + i , o − i .

Dado que solo hay cuatro valores propios distintos para esto${\displaystyle N\times N}$En una matriz, existe cierta multiplicidad . La multiplicidad indica el número de autovectores linealmente independientes que corresponden a cada autovalor. (Hay N autovectores independientes; una matriz unitaria nunca es defectuosa ).

El problema de su multiplicidad fue resuelto por McClellan y Parks (1972), aunque posteriormente se demostró que era equivalente a un problema resuelto por Gauss (Dickinson y Steiglitz, 1982). La multiplicidad depende del valor de N módulo 4 y viene dada por la siguiente tabla:

Dicho de otro modo, el polinomio característico de${\displaystyle \mathbf {U} }$es:

${\displaystyle \det(\lambda I-\mathbf {U} )=(\lambda -1)^{\left\lfloor {\tfrac {N+4}{4}}\right\rfloor }(\lambda +1)^{\left\lfloor {\tfrac {N+2}{4}}\right\rfloor }(\lambda +i)^{\left\lfloor {\tfrac {N+1}{4}}\right\rfloor }(\lambda -i)^{\left\lfloor {\tfrac {N-1}{4}}\right\rfloor }.}$

No se conoce una fórmula analítica simple para los autovectores generales. Además, los autovectores no son únicos, ya que cualquier combinación lineal de autovectores para el mismo autovalor también es un autovector para ese autovalor. Varios investigadores han propuesto diferentes opciones de autovectores, seleccionados para satisfacer propiedades útiles como la ortogonalidad y para tener formas "simples" (por ejemplo, McClellan y Parks, 1972; Dickinson y Steiglitz, 1982; Grünbaum, 1982; Candan et al. , 2000; Hanna et al. , 2004; Gurevich y Hadani, 2008). ^{[ 14 ]}

Un método para construir autovectores DFT para un autovalor${\displaystyle \lambda }$se basa en la combinación lineal de operadores: ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\lambda }={\frac {1}{4}}\left(\mathbf {I} +\lambda ^{-1}\mathbf {U} +\lambda ^{-2}\mathbf {U} ^{2}+\lambda ^{-3}\mathbf {U} ^{3}\right)}$

Para un vector arbitrario${\displaystyle \mathbf {v} }$, vector${\displaystyle \mathbf {u} (\lambda )={\mathcal {P}}_{\lambda }\mathbf {v} }$Satisface:

${\displaystyle {\textbf {U}}\mathbf {u} (\lambda )=\lambda \mathbf {u} (\lambda )}$

Por lo tanto, vector${\displaystyle \mathbf {u} (\lambda )}$es, en efecto, el vector propio de la matriz DFT${\displaystyle \mathbf {U} }$Operadores${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\lambda }}$proyectar vectores en subespacios que sean ortogonales para cada valor de${\displaystyle \lambda }$. ^{[ 16 ]} Es decir, para dos autovectores,${\displaystyle \mathbf {u} (\lambda )={\mathcal {P}}_{\lambda }\mathbf {v} }$y${\displaystyle \mathbf {u} '(\lambda ')={\mathcal {P}}_{\lambda '}\mathbf {v} '}$tenemos:

${\displaystyle \mathbf {u} ^{\dagger }(\lambda )\mathbf {u} '(\lambda ')=\delta _{\lambda \lambda '}\mathbf {u} ^{\dagger }(\lambda )\mathbf {v} '}$

Sin embargo, en general, el método del operador de proyección no produce autovectores ortogonales dentro de un subespacio. ^{[ 17 ]} El operador${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\lambda }}$puede verse como una matriz, cuyas columnas son vectores propios de${\displaystyle \mathbf {U} }$, pero no son ortogonales. Cuando un conjunto de vectores${\displaystyle \{\mathbf {v} _{n}\}_{n=1,\dots ,N_{\lambda }}}$, abarcando${\displaystyle N_{\lambda }}$espacio -dimensional (donde${\displaystyle N_{\lambda }}$es la multiplicidad del valor propio${\displaystyle \lambda }$) se elige para generar el conjunto de autovectores${\displaystyle \{\mathbf {u} _{n}(\lambda )={\mathcal {P}}_{\lambda }\mathbf {v} _{n}\}_{n=1,\dots ,N_{\lambda }}}$al valor propio${\displaystyle \lambda }$, la ortogonalidad mutua de${\displaystyle \mathbf {u} _{n}(\lambda )}$No está garantizado. Sin embargo, el conjunto ortogonal se puede obtener aplicando además el algoritmo de ortogonalización al conjunto.${\displaystyle \{\mathbf {u} _{n}(\lambda )\}_{n=1,\dots ,N_{\lambda }}}$, por ejemplo, el proceso de Gram-Schmidt . ^{[ 18 ]}

Un método directo para obtener los autovectores de la DFT consiste en discretizar una autofunción de la transformada continua de Fourier , de la cual la más conocida es la función gaussiana . Dado que la suma periódica de la función implica discretizar su espectro de frecuencias, y la discretización implica la suma periódica del espectro, la función gaussiana discretizada y sumada periódicamente produce un autovector de la transformada discreta:

• ${\displaystyle F(m)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }\exp \left(-{\frac {\pi \cdot (m+N\cdot k)^{2}}{N}}\right).}$

La expresión en forma cerrada para la serie se puede expresar mediante funciones theta de Jacobi como

• ${\displaystyle F(m)={\frac {1}{\sqrt {N}}}\vartheta _{3}\left({\frac {\pi m}{N}},\exp \left(-{\frac {\pi }{N}}\right)\right).}$

Se encontraron varios otros autovectores analíticos simples de forma cerrada para un período especial N de DFT (Casper-Yakimov, 2024): ^{[ 19 ]}

Para un período de DFT N = 2 L + 1 = 4 K + 1, donde K es un número entero, el siguiente es un vector propio de DFT:

• ${\displaystyle F(m)=\prod _{s=K+1}^{L}\left[\cos \left({\frac {2\pi }{N}}m\right)-\cos \left({\frac {2\pi }{N}}s\right)\right]}$

Para un período de DFT N = 2 L = 4 K , donde K es un número entero, los siguientes son los vectores propios de DFT:

• ${\displaystyle F(m)=\sin \left({\frac {2\pi }{N}}m\right)\prod _{s=K+1}^{L-1}\left[\cos \left({\frac {2\pi }{N}}m\right)-\cos \left({\frac {2\pi }{N}}s\right)\right]}$
• ${\displaystyle F(m)=\cos \left({\frac {\pi }{N}}m\right)\prod _{s=K+1}^{3K-1}\sin \left({\frac {\pi (s-m)}{N}}\right)}$

Para un período de DFT N = 4 K - 1, donde K es un número entero, los siguientes son los autovectores de DFT:

• ${\displaystyle F(m)=\sin \left({\frac {2\pi }{N}}m\right)\prod _{s=K+1}^{3K-2}\sin \left({\frac {\pi (s-m)}{N}}\right)}$
• ${\displaystyle F(m)=\left(\cos \left({\frac {2\pi }{N}}m\right)-\cos \left({\frac {2\pi }{N}}K\right)\pm \sin \left({\frac {2\pi }{N}}K\right)\right)\prod _{s=K+1}^{3K-2}\sin \left({\frac {\pi (s-m)}{N}}\right)}$

La elección de los autovectores de la matriz DFT se ha vuelto importante en los últimos años para definir un análogo discreto de la transformada fraccionaria de Fourier : la matriz DFT se puede llevar a potencias fraccionarias exponenciando los autovalores. ^{[ 20 ]} Para la transformada continua de Fourier , las autofunciones ortogonales naturales son las funciones de Hermite , por lo que se han empleado varios análogos discretos de estas como autovectores de la DFT, como los polinomios de Kravchuk . ^{[ 14 ]} Sin embargo, la "mejor" elección de autovectores para definir una transformada discreta fraccionaria de Fourier sigue siendo una cuestión abierta. Se hicieron intentos para realizar la transformada fraccionaria de Fourier utilizando la matriz de Vandermonde confluente . ^{[ 21 ]}

• Si${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{N-1}}$son números reales , como suele ocurrir en las aplicaciones prácticas, entonces la DFT${\displaystyle X_{0},\ldots ,X_{N-1}}$es incluso simétrico :

${\displaystyle x_{n}\in \mathbb {R} \quad \forall n\in \{0,\ldots ,N-1\}\implies X_{k}=X_{-k\mod N}^{*}\quad \forall k\in \{0,\ldots ,N-1\}}$, dónde${\displaystyle X^{*}\,}$denota conjugación compleja .

De ello se deduce que incluso para${\displaystyle N}$${\displaystyle X_{0}}$y${\displaystyle X_{N/2}}$son de valor real, y el resto de la DFT está completamente especificado por solo${\displaystyle N/2-1}$números complejos.

• Si${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{N-1}}$son números puramente imaginarios, entonces la DFT${\displaystyle X_{0},\ldots ,X_{N-1}}$es impar simétrico :

${\displaystyle x_{n}\in i\mathbb {R} \quad \forall n\in \{0,\ldots ,N-1\}\implies X_{k}=-X_{-k\mod N}^{*}\quad \forall k\in \{0,\ldots ,N-1\}}$, dónde${\displaystyle X^{*}\,}$denota conjugación compleja .

Para los datos de entrada${\displaystyle x_{n_{1},n_{2},\dots ,n_{d}}}$Al estar compuestas por números reales , las salidas de la DFT tienen una simetría conjugada similar al caso unidimensional anterior: