Conjunto de Mandelbrot

La cardioide principal es el continente del período 1. ^{[ 35 ]} Es la región de parámetros${\displaystyle c}$para el cual el mapa${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$tiene un punto fijo atractor . ^{[ 36 ]} El conjunto comprende todos los parámetros de la forma${\displaystyle c(\mu ):={\frac {\mu }{2}}\left(1-{\frac {\mu }{2}}\right)}$dónde${\displaystyle \mu }$se encuentra dentro del disco de la unidad abierta . ^{[ 37 ]}

Unido a la izquierda del cardioide principal en el punto${\displaystyle c=-3/4}$, el bulbo de período 2 es visible. ^{[ 37 ]} Esta región consta de valores de${\displaystyle c}$para qué${\displaystyle f_{c}}$tiene un ciclo atractor de período 2. Es el círculo lleno de radio 1/4 centrado en −1. ^{[ 37 ]}

De forma más general, para cada entero positivo${\displaystyle q>2}$, hay${\displaystyle \phi (q)}$bulbos circulares tangentes al cardioide principal llamados bulbos de período q (donde${\displaystyle \phi }$denota la función phi de Euler ), que consta de parámetros${\displaystyle c}$para qué${\displaystyle f_{c}}$tiene un ciclo atractivo de período${\displaystyle q}$. Más específicamente, para cada primitivo${\displaystyle q}$raíz cuadrada de la unidad${\displaystyle r=e^{2\pi i{\frac {p}{q}}}}$(dónde${\displaystyle 0<{\frac {p}{q}}<1}$), hay una bombilla de período q llamada${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$bulbo, que es tangente a la cardioide principal en el parámetro${\displaystyle c_{\frac {p}{q}}:=c(r)={\frac {r}{2}}\left(1-{\frac {r}{2}}\right),}$y que contiene parámetros con${\displaystyle q}$-ciclos que tienen número de rotación combinatoria${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$. ^{[ 38 ]} El${\displaystyle q}$Los componentes periódicos de Fatou que contienen el ciclo de atracción se encuentran en el${\displaystyle \alpha }$-punto fijo . Si estos están etiquetados en sentido contrario a las agujas del reloj como${\displaystyle U_{0},\dots ,U_{q-1}}$, luego componente${\displaystyle U_{j}}$está mapeado por${\displaystyle f_{c}}$al componente${\displaystyle U_{j+p\,(\operatorname {mod} q)}}$. ^{[ 37 ]}

Bombillas que son componentes internos del conjunto de Mandelbrot en el que se encuentran los mapas${\displaystyle f_{c}}$Las que tienen un ciclo periódico atractivo se denominan componentes hiperbólicas . ^{[ 39 ]}

Se conjetura que estas son las únicas regiones interiores de${\displaystyle M}$y que son densos en${\displaystyle M}$Este problema, conocido como densidad de hiperbolicidad , es uno de los problemas abiertos más importantes en dinámica compleja . ^{[ 40 ]} Los componentes hipotéticos no hiperbólicos del conjunto de Mandelbrot se denominan a menudo componentes "extraños" o fantasma. ^{[ 41 ] [ 42 ]} Para polinomios cuadráticos reales, esta cuestión fue demostrada en la década de 1990 de forma independiente por Lyubich y por Graczyk y Świątek. (Nótese que los componentes hiperbólicos que intersecan el eje real corresponden exactamente a ventanas periódicas en el diagrama de Feigenbaum . Por lo tanto, este resultado afirma que tales ventanas existen cerca de cada parámetro en el diagrama).

No todos los componentes hiperbólicos se pueden alcanzar mediante una secuencia de bifurcaciones directas desde la cardioide principal del conjunto de Mandelbrot. Dicho componente se puede alcanzar mediante una secuencia de bifurcaciones directas desde la cardioide principal de una copia pequeña de Mandelbrot (véase más abajo).

Cada uno de los componentes hiperbólicos tiene un centro , que es un punto c tal que el dominio interno de Fatou para${\displaystyle f_{c}(z)}$tiene un ciclo superatractivo, es decir, que la atracción es infinita. Esto significa que el ciclo contiene el punto crítico 0, de modo que 0 vuelve a sí mismo después de algunas iteraciones. Por lo tanto,${\displaystyle f_{c}^{n}(0)=0}$para algún n . Si llamamos a este polinomio${\displaystyle Q^{n}(c)}$(haciéndolo depender de c en lugar de z ), tenemos que${\displaystyle Q^{n+1}(c)=Q^{n}(c)^{2}+c}$y que el grado de${\displaystyle Q^{n}(c)}$es${\displaystyle 2^{n-1}}$Por lo tanto, es posible construir los centros de las componentes hiperbólicas resolviendo sucesivamente las ecuaciones.${\displaystyle Q^{n}(c)=0,n=1,2,3,...}$. El número de centros nuevos producidos en cada paso viene dado por Sloane (secuencia A000740 en el OEIS ) .

Se conjetura que el conjunto de Mandelbrot es localmente conexo . Esta conjetura se conoce como MLC (por Mandelbrot localmente conexo ). Según el trabajo de Adrien Douady y John H. Hubbard , esta conjetura daría lugar a un modelo abstracto simple de "disco comprimido" del conjunto de Mandelbrot. En particular, implicaría la importante conjetura de hiperbolicidad mencionada anteriormente. ^{[ 43 ]}

El trabajo de Jean-Christophe Yoccoz estableció la conectividad local del conjunto de Mandelbrot en todos los parámetros finitamente renormalizables ; es decir, en términos generales, aquellos contenidos solo en un número finito de copias pequeñas de Mandelbrot. ^{[ 44 ]} Desde entonces, se ha demostrado la conectividad local en muchos otros puntos de${\displaystyle M}$, pero la conjetura completa aún está abierta.

El conjunto de Mandelbrot es autosimilar bajo magnificación en los vecindarios de los puntos de Misiurewicz . También se conjetura que es autosimilar alrededor de los puntos de Feigenbaum generalizados (por ejemplo, −1,401155 o −0,1528  +  1,0397 i ), en el sentido de converger a un conjunto límite. ^{[ 45 ] [ 46 ]} El conjunto de Mandelbrot en general es cuasi-autosimilar, ya que se pueden encontrar versiones pequeñas y ligeramente diferentes de sí mismo a escalas arbitrariamente pequeñas. Estas copias del conjunto de Mandelbrot son todas ligeramente diferentes, principalmente debido a los delgados hilos que las conectan al cuerpo principal del conjunto. ^{[ 47 ]}

La dimensión de Hausdorff del límite del conjunto de Mandelbrot es igual a 2, según un resultado de Mitsuhiro Shishikura . ^{[ 48 ]} El hecho de que sea mayor en un número entero que su dimensión topológica, que es 1, refleja la naturaleza fractal extrema del límite del conjunto de Mandelbrot. En términos generales, el resultado de Shishikura afirma que el límite del conjunto de Mandelbrot es tan "ondulado" que localmente llena el espacio con la misma eficiencia que una región plana bidimensional. Las curvas con dimensión de Hausdorff 2, a pesar de ser (topológicamente) unidimensionales, a menudo pueden tener un área distinta de cero (más formalmente, una medida de Lebesgue plana distinta de cero ). Si esto ocurre también en el límite del conjunto de Mandelbrot es un problema sin resolver.

Se ha demostrado que el conjunto generalizado de Mandelbrot en espacios de números hipercomplejos de dimensiones superiores (es decir, cuando la potencia${\displaystyle \alpha }$de la variable iterada${\displaystyle z}$tiende a infinito) es convergente a la unidad (${\displaystyle \alpha }$−1)-esfera. ^{[ 49 ]}

En el modelo de computación real de Blum-Shub-Smale , el conjunto de Mandelbrot no es computable, pero su complemento sí lo es . Muchos objetos simples (por ejemplo, el grafo de exponenciación) tampoco son computables en este modelo. Actualmente, se desconoce si el conjunto de Mandelbrot es computable en modelos de computación real basados ​​en análisis computable , que se corresponden más con la noción intuitiva de "representar gráficamente el conjunto mediante un ordenador". Hertling ha demostrado que el conjunto de Mandelbrot es computable en este modelo si la conjetura de hiperbolicidad es cierta. ^{[ 50 ]}

Como consecuencia de la definición del conjunto de Mandelbrot, existe una estrecha correspondencia entre la geometría del conjunto de Mandelbrot en un punto dado y la estructura del conjunto de Julia correspondiente . Por ejemplo, un valor de c pertenece al conjunto de Mandelbrot si y solo si el conjunto de Julia correspondiente es conexo. Por lo tanto, el conjunto de Mandelbrot puede considerarse como una aplicación de los conjuntos de Julia conexos. ^{[ 51 ]}

Este principio se aprovecha en prácticamente todos los resultados profundos sobre el conjunto de Mandelbrot. Por ejemplo, Shishikura demostró que, para un conjunto denso de parámetros en la frontera del conjunto de Mandelbrot, el conjunto de Julia tiene dimensión de Hausdorff dos, y luego transfiere esta información al plano de parámetros. ^{[ 48 ]} De manera similar, Yoccoz primero demostró la conectividad local de los conjuntos de Julia, antes de establecerla para el conjunto de Mandelbrot en los parámetros correspondientes. ^{[ 44 ]}

En el conjunto de Mandelbrot existen experimentos fascinantes que conducen a la aparición del número${\displaystyle \pi }$. Para un parámetro${\displaystyle c=-{\tfrac {3}{4}}+i\varepsilon }$con${\displaystyle \varepsilon >0}$, verificando que${\displaystyle c}$no está en el conjunto de Mandelbrot significa iterar la secuencia${\displaystyle z\mapsto z^{2}+c}$comenzando con${\displaystyle z=0}$hasta que la secuencia abandone el disco alrededor${\displaystyle 0}$de cualquier radio${\displaystyle R>2}$Esto está motivado por la cuestión (aún abierta) de si la línea vertical en la parte real${\displaystyle -3/4}$interseca el conjunto de Mandelbrot en puntos alejados de la línea real. Resulta que el número necesario de iteraciones, multiplicado por${\displaystyle \varepsilon }$, converge a pi. Por ejemplo, para${\displaystyle \varepsilon }$= 0,0000001 y${\displaystyle R=2}$, el número de iteraciones es 31415928 y el producto es 3,1415928. ^{[ 53 ]} Este experimento fue realizado de forma independiente por muchas personas a principios de la década de 1990, si no antes; por ejemplo, por David Boll.

También se han realizado observaciones análogas en los parámetros${\displaystyle c=-5/4}$y${\displaystyle c=1/4}$(con una modificación necesaria en este último caso). En 2001, Aaron Klebanoff publicó una prueba (no conceptual) de este fenómeno en${\displaystyle c=1/4}$^{[ 54 ]}

En 2023, Paul Siewert desarrolló, en su tesis de licenciatura, una prueba conceptual también para el valor${\displaystyle c=1/4}$, explicando por qué aparece el número pi (geométricamente como la mitad de la circunferencia del círculo unitario). ^{[ 55 ]}

En 2025, los tres estudiantes de secundaria Thies Brockmöller, Oscar Scherz y Nedim Srkalovic extendieron la teoría y la prueba conceptual a todos los infinitos puntos de bifurcación en el conjunto de Mandelbrot. ^{[ 56 ]}

El conjunto de Mandelbrot presenta una forma cardioide fundamental adornada con numerosos bulbos directamente unidos a ella. ^{[ 57 ]} Para comprender la disposición de estos bulbos, es necesario examinar detalladamente el límite del conjunto de Mandelbrot. Al ampliar secciones específicas con una perspectiva geométrica, emerge información precisa y deducible sobre la ubicación dentro del límite y el comportamiento dinámico correspondiente para los parámetros extraídos de los bulbos asociados. ^{[ 58 ]}

La iteración del polinomio cuadrático${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$, dónde${\displaystyle c}$ es un parámetro extraído de uno de los bulbos unidos al cardioide principal dentro del conjunto de Mandelbrot, da lugar a mapas que presentan ciclos atractores de un período específico.${\displaystyle q}$ y un número de rotación${\displaystyle p/q}$. En este contexto, el ciclo de atracción de  exhibe un movimiento de rotación alrededor de un punto fijo central, completando un promedio de${\displaystyle p/q}$ revoluciones en cada iteración. ^{[ 58 ] [ 59 ]}

Los bulbos dentro del conjunto de Mandelbrot se distinguen tanto por sus ciclos de atracción como por las características geométricas de su estructura. Cada bulbo se caracteriza por una antena unida a él, que emana de un punto de unión y muestra un cierto número de radios que indican su período. Por ejemplo, el${\displaystyle 2/5}$El bulbo se identifica por su ciclo de atracción con un número de rotación de${\displaystyle 2/5}$Su distintiva estructura en forma de antena comprende un punto de unión del cual emanan cinco radios. Entre estos radios, el radio principal está unido directamente a la${\displaystyle 2/5}$bombilla, y el radio no principal 'más pequeño' está posicionado aproximadamente${\displaystyle 2/5}$de un giro en sentido contrario a las agujas del reloj desde el radio principal, lo que proporciona una identificación distintiva como un${\displaystyle 2/5}$-bulbo. ^{[ 60 ]} Esto plantea la pregunta: ¿cómo se discierne cuál de estos radios es el 'más pequeño'? ^{[ 57 ] [ 60 ]} En la teoría de rayos externos desarrollada por Douady y Hubbard , ^{[ 61 ]} hay precisamente dos rayos externos que aterrizan en el punto raíz de un componente hiperbólico satélite del conjunto de Mandelbrot. Cada uno de estos rayos posee un ángulo externo que se duplica bajo el mapa de duplicación de ángulos${\displaystyle \theta \mapsto }$${\displaystyle 2\theta }$Según este teorema, cuando dos rayos convergen en el mismo punto, ningún otro rayo puede intersecarse entre ellos. Por lo tanto, el «tamaño» de esta región se mide determinando la longitud del arco entre los dos ángulos. ^{[ 58 ]}

Si el punto raíz de la cardioide principal es la cúspide en${\displaystyle c=1/4}$, entonces el cardioide principal es el${\displaystyle 0/1}$-bulbo. El punto de raíz de cualquier otro bulbo es simplemente el punto donde este bulbo se une al cardioide principal. Esto plantea la pregunta: ¿cuál es el bulbo más grande entre los puntos de raíz del${\displaystyle 0/1}$y${\displaystyle 1/2}$-bombillas? Claramente es la${\displaystyle 1/3}$-bombilla. Y tenga en cuenta que${\displaystyle 1/3}$se obtiene a partir de las dos fracciones anteriores mediante la suma de Farey , es decir, sumando los numeradores y sumando los denominadores.

${\displaystyle {\frac {0}{1}}}$${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle =}$${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$

De manera similar, el bulbo más grande entre el${\displaystyle 1/3}$y${\displaystyle 1/2}$-bombillas es el${\displaystyle 2/5}$-bombilla, nuevamente proporcionada por la adición de Farey.

${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle =}$${\displaystyle {\frac {2}{5}}}$

El bulbo más grande entre el${\displaystyle 2/5}$y${\displaystyle 1/2}$-la bombilla es la${\displaystyle 3/7}$-bombilla, mientras que la bombilla más grande entre la${\displaystyle 2/5}$y${\displaystyle 1/3}$-bombillas es el${\displaystyle 3/8}$-bulbo, y así sucesivamente. ^{[ 58 ] [ 62 ]} La disposición de los bulbos dentro del conjunto de Mandelbrot sigue un patrón notable regido por el árbol de Farey , una estructura que abarca todos los racionales entre${\displaystyle 0}$y${\displaystyle 1}$. Este ordenamiento posiciona los bulbos a lo largo del límite de la cardioide principal precisamente de acuerdo con los números racionales en el intervalo unitario . ^{[ 60 ]}

Comenzando con el${\displaystyle 1/3}$bulbo en la parte superior y progresando hacia el${\displaystyle 1/2}$círculo, la secuencia se despliega sistemáticamente: el bulbo más grande entre${\displaystyle 1/2}$y${\displaystyle 1/3}$es${\displaystyle 2/5}$, entre${\displaystyle 1/3}$y${\displaystyle 2/5}$es${\displaystyle 3/8}$y así sucesivamente. ^{[ 63 ]} Curiosamente, los denominadores de los períodos de los bulbos circulares en escalas secuenciales en el conjunto de Mandelbrot se ajustan a la secuencia numérica de Fibonacci , la secuencia que se obtiene sumando los dos términos anteriores: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... ^{[ 64 ] [ 65 ]}

La secuencia de Fibonacci se manifiesta en el número de brazos espirales en un punto único del conjunto de Mandelbrot, reflejado tanto en la parte superior como en la inferior. Esta ubicación distintiva exige el mayor número de iteraciones para  obtener una representación fractal detallada, con detalles intrincados que se repiten al hacer zoom. ^{[ 66 ]}

El límite del conjunto de Mandelbrot muestra detalles más intrincados cuanto más se observa o se amplía la imagen. A continuación se muestra un ejemplo de una secuencia de imágenes con zoom a un valor c seleccionado . El área mostrada se conoce como el "valle del caballito de mar", que es una región del conjunto de Mandelbrot centrada en el punto −0,75  +  0,1 i . ^{[ 67 ]}

La ampliación de la última imagen con respecto a la primera es de aproximadamente ^10¹⁰ a 1. En relación con un monitor de ordenador ordinario , representa una sección de un conjunto de Mandelbrot con un diámetro de 4 millones de kilómetros.

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  Inicio. Conjunto de Mandelbrot con entorno de color continuo.
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  Espacio entre la "cabeza" y el "cuerpo", también llamado "valle del caballito de mar" ^{[ 68 ].}
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  Espirales dobles a la izquierda, "caballitos de mar" a la derecha.
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  "Caballito de mar" al revés

El "cuerpo" del caballito de mar está compuesto por 25 "radios" que consisten en dos grupos de 12 "radios" ^{[ 69 ]} cada uno y un "radio" que se conecta al cardioide principal. Estos dos grupos pueden atribuirse mediante una metamorfosis a los dos "dedos" de la "mano superior" del conjunto de Mandelbrot; por lo tanto, el número de "radios" aumenta de un "caballito de mar" al siguiente en 2; el "centro" es un punto de Misiurewicz . Entre la "parte superior del cuerpo" y la "cola", hay una copia distorsionada del conjunto de Mandelbrot, llamada "satélite".

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  El extremo central de la "cola de caballito de mar" es también un punto de Misiurewicz .
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  Parte de la "cola": existe un único camino formado por las estructuras delgadas que la atraviesan por completo. Este camino en zigzag pasa por los "nodos" de los objetos grandes con 25 "radios" en el borde interior y exterior de la "cola"; por lo tanto, el conjunto de Mandelbrot es un conjunto simplemente conexo , lo que significa que no hay islas ni caminos circulares alrededor de un agujero.
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  Satélite. Las dos "colas de caballito de mar" (también llamadas estructuras dendríticas ) ^{[ 70 ]} son ​​el comienzo de una serie de coronas concéntricas con el satélite en el centro.
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  Cada una de estas coronas consta de "colas de caballito de mar" similares; su número aumenta con potencias de 2, un fenómeno típico en el entorno de los satélites. La trayectoria única hacia el centro espiral lleva al satélite desde el surco de la cardioide hasta la parte superior de la "antena" en la "cabeza".
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  "Antena" del satélite. Hay varios satélites de segundo orden.
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  El "valle del caballito de mar" ^{[ 68 ]} del satélite. Todas las estructuras del inicio reaparecen.
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  Espirales dobles y "caballitos de mar": a diferencia de la segunda imagen del principio, tienen apéndices que consisten en estructuras como "colas de caballito de mar"; esto demuestra la típica vinculación de n + 1 estructuras diferentes en el entorno de satélites del orden n , aquí para el caso más simple n = 1.
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  Espirales dobles con satélites de segundo orden, de forma análoga a los "caballitos de mar"; las espirales dobles pueden interpretarse como una metamorfosis de la "antena".
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  En la parte exterior de los apéndices, se pueden reconocer islas de estructuras; tienen una forma similar a los conjuntos de Julia J _c ; la más grande de ellas se puede encontrar en el centro del "doble gancho" en el lado derecho.
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  Parte del "doble gancho"
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  Islas
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  Un detalle de una isla
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  Detalle de la espiral

Las islas en el antepenúltimo paso parecen constar de infinitas partes, como es el caso del conjunto de Julia correspondiente.${\displaystyle J_{c}}$Están conectadas por estructuras diminutas, de modo que el conjunto representa un conjunto simplemente conexo. Las estructuras diminutas se encuentran en un satélite en el centro que es demasiado pequeño para ser reconocido a esta magnificación. El valor de${\displaystyle c}$para el correspondiente${\displaystyle J_{c}}$no es el centro de la imagen pero, en relación con el cuerpo principal del conjunto de Mandelbrot, tiene la misma posición que el centro de esta imagen en relación con el satélite que se muestra en el paso 6.

Si bien el conjunto de Mandelbrot se suele representar mostrando detalles de los límites externos, también se puede revelar la estructura dentro del conjunto acotado. ^{[ 71 ] [ 72 ] [ 73 ]} Por ejemplo, al calcular si un valor c dado está acotado o no, mientras permanece acotado, el valor máximo que alcanza este número se puede comparar con el valor c en esa ubicación. Si se utiliza el método de suma de cuadrados , el número calculado sería max:(real^2 + imaginaria^2) − c:(real^2 + imaginaria^2). La magnitud de este cálculo se puede representar como un valor en un gradiente.

Esto produce resultados como los siguientes: gradientes con bordes y contornos definidos a medida que se aproximan a los límites. Las animaciones sirven para resaltar los límites del gradiente.

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  Estructura de gradiente animada dentro del conjunto de Mandelbrot
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  Estructura de gradiente animada dentro del conjunto de Mandelbrot, detalle
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  Representación de iteraciones progresivas desde 285 hasta aproximadamente 200.000 con gradientes acotados correspondientes animados.
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  Miniatura para gradiente en iteraciones progresivas

Los conjuntos multibrot son conjuntos acotados que se encuentran en el plano complejo para los miembros de la familia general de recurrencias polinómicas univariadas mónicas.

${\displaystyle z\mapsto z^{d}+c}$. ^{[ 74 ]}

Para un entero d , estos conjuntos son lugares de conectividad para los conjuntos de Julia construidos a partir de la misma fórmula. También se ha estudiado el lugar de conectividad cúbica completa; aquí se considera la recursión de dos parámetros.${\displaystyle z\mapsto z^{3}+3kz+c}$, cuyos dos puntos críticos son las raíces cuadradas complejas del parámetro k . Un parámetro está en el lugar de conectividad cúbica si ambos puntos críticos son estables. ^{[ 75 ]} Para familias generales de funciones holomorfas , el límite del conjunto de Mandelbrot se generaliza al lugar de bifurcación .

El conjunto Multibrot se obtiene variando el valor del exponente d . El artículo tiene un video que muestra el desarrollo desde d = 0 hasta 7, en cuyo punto hay 6, es decir${\displaystyle (d-1)}$lóbulos alrededor del perímetro . En general, cuando d es un entero positivo, la región central en cada uno de estos conjuntos es siempre una epicicloide de${\displaystyle (d-1)}$cúspides. Un desarrollo similar con exponentes integrales negativos da como resultado${\displaystyle (1-d)}$hendiduras en el interior de un anillo, donde la región central principal del conjunto es una hipocicloide de${\displaystyle (1-d)}$cúspides.

No existe una extensión perfecta del conjunto de Mandelbrot a 3D, porque no hay un análogo 3D de los números complejos sobre el cual iterar. Existe una extensión de los números complejos a 4 dimensiones, los cuaterniones , que crea una extensión perfecta del conjunto de Mandelbrot y los conjuntos de Julia a 4 dimensiones. ^{[ 76 ]} Estos pueden ser seccionados transversalmente o proyectados en una estructura 3D. El conjunto de Mandelbrot de cuaterniones (de 4 dimensiones) es simplemente un sólido de revolución del conjunto de Mandelbrot bidimensional (en el plano jk), y por lo tanto no es interesante de observar. ^{[ 76 ]} Tomando una sección transversal tridimensional en${\displaystyle d=0\ (q=a+bi+cj+dk)}$da como resultado una revolución sólida del conjunto de Mandelbrot bidimensional alrededor del eje real.

El fractal tricornio , también llamado conjunto de Mandelbar , es el lugar de conectividad de la familia antiholomórfica .${\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}^{2}+c}$. ^{[ 77 ] [ 78 ]} Milnor lo encontró en su estudio de las secciones de parámetros de los polinomios cúbicos reales . No es localmente conexo. ^{[ 77 ]} Esta propiedad es heredada por el lugar de conexidad de los polinomios cúbicos reales.

Otra generalización no analítica es el fractal del Barco Ardiente , que se obtiene iterando lo siguiente:

${\displaystyle z\mapsto (|\Re \left(z\right)|+i|\Im \left(z\right)|)^{2}+c}$.

Aquí está el código que implementa el algoritmo anterior en Python : ^{[ 84 ]}

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt# Configuración de parámetros (estos valores se pueden cambiar) x_domain , y_domain = np.linspace ( -2 , 2 , 500 ), np.linspace ( -2 , 2 , 500 ) bound = 2 max_iterations = 50 # cualquier valor entero positivo colormap = " nipy_spectral" # establecer a cualquier mapa de colores válido de matplotlibfunc = lambda z , p , c : z ** p + c# Calculando una matriz 2D para representar el conjunto de Mandelbrot iteration_array = [] para y en y_domain : fila = [] para x en x_domain : z = 0 p = 2 c = complex ( x , y ) para iteration_number en range ( max_iterations ) : si abs ( z ) > = bound : fila.append ( iteration_number ) break else : try : z = func ( z , p , c ) except ( ValueError , ZeroDivisionError ) : z = c else : fila.append ( 0 )iteración_array.append ( fila )​​# Representación gráfica de los datos ax = plt.axes ( ) ax.set_aspect ( " equal " ) graph = ax.pcolormesh ( x_domain , y_domain , iteration_array , cmap = colormap ) plt.colorbar ( graph ) plt.xlabel ( " Eje real " ) plt.ylabel ( " Eje imaginario " ) plt.show ( )

El valor de la powervariable se puede modificar para generar una imagen del conjunto multibrot equivalente (${\displaystyle z=z^{\text{power}}+c}$). Por ejemplo, al configurar p = 2se produce la imagen asociada.