Categoría de tensores modulares

Una categoría tensorial modular (o categoría de fusión modular ) es un tipo de categoría monoidal que desempeña un papel en las áreas de la teoría cuántica de campos topológica , la teoría de campos conformes y el álgebra cuántica . Las categorías tensoriales modulares fueron introducidas en 1989 por los físicos Greg Moore y Nathan Seiberg en el contexto de la teoría de campos conformes racional . ^{[ 1 ]} En el contexto de la teoría cuántica de campos , las categorías tensoriales modulares se utilizan para almacenar datos algebraicos para teorías de campos conformes racionales en el espaciotiempo bidimensional, ^{[ 1 ]} y teorías cuánticas de campos topológicas en el espaciotiempo tridimensional. ^{[ 2 ]} En el contexto de la física de la materia condensada , las categorías tensoriales modulares desempeñan un papel en la teoría algebraica de la información cuántica topológica , ya que se utilizan para almacenar los datos algebraicos que describen los aniones en las fases cuánticas topológicas de la materia . ^{[ 3 ]}

Matemáticamente, una categoría tensorial modular es una categoría de fusión trenzada rígida y semisimple ^{[ 4 ]} con un trenzado no degenerado, lo que garantiza una noción bien definida de invariancia topológica . Estas categorías surgen naturalmente en grupos cuánticos , teoría de la representación y topología de baja dimensión , donde se utilizan para construir invariantes de nudos y de tres variedades .

Descripción

El término «categoría tensorial modular» fue acuñado por Igor Frenkel en 1989. ^{[ 1 ]} La interpretación en términos de teoría de categorías fue introducida por Vladimir Turaev en 1992. Su definición, sin embargo, es ligeramente más general que la definición moderna, en el sentido de que no requiere que la categoría tenga cada objeto como suma directa de un número finito de objetos simples. ^{[ 4 ]} La palabra «modular» se refiere al hecho de que cada categoría tensorial modular tiene una representación de grupo modular asociada . La palabra «tensor» se refiere al hecho de que las categorías tensoriales modulares originalmente no se definieron como categorías abstractas , sino que se definieron en términos de una colección compatible de tensores .

Hay varias formas alternativas equivalentes de definir categorías tensoriales modulares. Una definición es la siguiente: una categoría tensorial modular es una categoría de fusión esférica trenzada con trenzado no degenerado. ^[⁵^] En presencia de un trenzado, el lema de torsión de Deligne establece que una estructura esférica es equivalente a una estructura de cinta , por lo que las categorías tensoriales modulares pueden definirse equivalentemente como categorías de fusión de cinta no degeneradas. ^[⁶^] El teorema de modularidad de Bruguières afirma que una categoría de fusión esférica trenzada tiene trenzado no degenerado si y solo si su matriz S modular es no degenerada (invertible). ^[⁷^] Por lo tanto, una categoría tensorial modular puede definirse equivalentemente como una categoría de fusión esférica trenzada con matriz S no degenerada. Las categorías tensoriales modulares también pueden definirse usando esqueletización .

Hay varios teoremas sobre categorías tensoriales modulares, como la existencia de la representación de grupo modular , el teorema de modularidad de Bruguières , la fórmula de Verlinde , el teorema de rango finito , el teorema de Schauenburg-Ng y el teorema de Müger .

Definición

Una categoría de tensores modulares ${\mathcal {C}}$ consta de los siguientes datos: ^{[ 5 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

A $\mathbb {C}$ - categoría lineal ${\mathcal {C}}$ . Es decir, una categoría ${\mathcal {C}}$ enriquecido sobre la categoría ${\bf {Vec}}_{\mathbb {C} }$ de espacios vectoriales complejos.
La estructura de una categoría monoide en ${\mathcal {C}}$ .
La estructura de una categoría rígida derecha en ${\mathcal {C}}$ .
La estructura de un trenzado en ${\mathcal {C}}$ .
Una estructura fundamental en ${\mathcal {C}}$ . Es decir, un isomorfismo natural monoidal $i:{\text{id}}_{\mathcal {C}}\to ({\text{id}}_{\mathcal {C}})^{**}$ .

Para formar una categoría tensorial modular, los datos deben satisfacer los siguientes axiomas:

Existe una equivalencia ${\mathcal {C}}\simeq {\bf {Vec}}_{\mathbb {C} }^{n}$ de $\mathbb {C}$ -categorías lineales para algún número natural $n\geq 1$ .
La estructura monoide ${\displaystyle \otimes$ es un $\mathbb {C}$ -functor lineal .
Existe un isomorfismo ${\text{End}}_{\mathcal {C}}({\bf {1}})\cong \mathbb {C}$ de espacios vectoriales, donde ${\bf {1}}$ es la unidad tensorial de ${\mathcal {C}}$ .
(Axioma esférico) Dado un objeto $A\in {\mathcal {C}}$ , los mapas de evaluación y coevaluación de su estructura rígida se denotan por ${\text{ev}}_{A}:A^{*}\otimes A\to {\bf {1}}$ y ${\text{coev}}_{A}:{\bf {1}}\to A\otimes A^{*}$ . Para todos los morfismos $f:A\to A$ , hay una igualdad de mapas

{\text{ev}}_{A^{*}}\circ (i_{A}\otimes {\text{id}}_{A^{*}})(f\otimes {\text{id}}_{A^{*}})\circ {\text{coev}}_{A}={\text{ev}}_{A^{*}}\circ ({\text{id}}_{A^{*}}\otimes f)({\text{id}}_{A}\otimes i_{A}^{-1})\circ {\text{coev}}_{A^{*}}.

5. (No degeneración) Sea

\beta

denota el trenzado en

{\mathcal {C}}

Para todos los objetos

A\in {\mathcal {C}}

, si

\beta _{B,A}\circ \beta _{A,B}={\text{id}}_{A\otimes B}

por cada

B\in {\mathcal {C}}

, entonces existe algún número natural

n\geq 0

de tal manera que

A\cong n\cdot {\bf {1}}

.

Estos axiomas están motivados físicamente de la siguiente manera: ^{[ 3 ]}^{[ 5 ]}

El $\mathbb {C}$ La estructura lineal refleja el hecho de que se supone que las categorías tensoriales modulares modelan fenómenos de la mecánica cuántica .
Se supone que la estructura monoide representa un proceso de fusión, mediante el cual dos objetos en ${\mathcal {C}}$ se reúnen para crear un nuevo objeto en ${\mathcal {C}}$ . En el contexto de los anyones , esto corresponde a mover dos anyones cerca uno del otro de manera que formen una excitación conjunta .
Se supone que la estructura de trenzado representa un proceso físico de trenzado, mediante el cual los objetos adyacentes pueden entrelazarse entre sí. En el contexto de los anyones, esto corresponde a mover un anyón alrededor del otro mediante ciertos operadores de cadena .
Se supone que los objetos duales en la estructura rígida representan antipartículas , con los mapas de evaluación y coevaluación correspondientes a operadores de creación y aniquilación de pares. En el contexto de los aniones, esto corresponde a la capacidad de crear y aniquilar pares de aniones con carga topológica opuesta .
La estructura fundamental y el axioma esférico codifican las condiciones de compatibilidad natural entre partículas y antipartículas que se esperan desde un punto de vista físico.
La equivalencia ${\mathcal {C}}\simeq {\bf {Vec}}_{\mathbb {C} }^{n}$ refleja una naturaleza más fina de la correspondencia entre objetos en categorías tensoriales modulares y fenómenos físicos. Aproximadamente, corresponde al hecho de que las cuasipartículas descritas por ${\mathcal {C}}$ tienen un número finito de tipos distintos ( sectores de superselección ) y cada cuasipartícula puede descomponerse mediante mediciones en cuasipartículas elementales (una especie de semisimplicidad física ). En el contexto de los aniones, esto corresponde al hecho de que las fases topológicas individuales de la materia solo pueden soportar un número finito de tipos de aniones y que la medición de la carga topológica puede proyectar cualquier excitación localizada en un anión elemental.

Relación con otras nociones

Existen varias nociones intermedias que pueden definirse utilizando únicamente un subconjunto de las estructuras y axiomas de una categoría tensorial modular. ^{[ 10 ]}

Una categoría con estructura (1) y axioma (1) de arriba se llama espacio vectorial 2 (Kapranov–Voevodsky) . A menudo, en lugar de definirse a través de una equivalencia abstracta ${\mathcal {C}}\simeq {\bf {Vec}}_{\mathbb {C} }^{n}$ , los espacios 2-vectoriales se definen de forma fragmentada. Es decir, un $\mathbb {C}$ -categoría lineal ${\mathcal {C}}$ es un espacio vectorial de 2 dimensiones si y solo si es abeliano , semisimple y tiene un número finito de clases de isomorfismo de objetos simples . ^{[ 10 ]}
Una categoría con estructuras (1) + (2) + (3) y que satisface los axiomas (1) + (2) + (3) se denomina categoría de fusión . ^{[ 10 ]}
Una categoría con todas las estructuras de una categoría tensorial modular que satisface todos los axiomas excepto la no degeneración (es decir, una categoría de fusión esférica trenzada) se denomina categoría premodular. ^{[ 10 ]}

Relación con la teoría cuántica de campos topológica

La relación entre las categorías tensoriales modulares y la teoría cuántica de campos topológica está codificada en la construcción de Reshetikhin-Turaev , introducida en 1991 por Vladimir Turaev y Nicolai Reshetikhin . ^{[ 4 ]}^{[ 11 ]} Esta construcción se introdujo para servir como una realización matemática de la propuesta de Edward Witten de definir invariantes de enlaces y 3-variedades utilizando la teoría cuántica de campos . La construcción de Reshetikhin-Turaev asigna a cada categoría tensorial modular una teoría cuántica de campos topológica (2+1)-dimensional . En una interpretación de la teoría, la construcción de Reshetikhin-Turaev induce una biyección entre teorías cuánticas de campos topológicas (2+1)-dimensionales anómalas extendidas una vez valoradas en la 2-categoría de $\mathbb {C}$ -categorías lineales y categorías multitensoriales modulares equipadas con una raíz cuadrada de la dimensión global en cada factor. Aquí, una categoría multitensorial modular se refiere a una categoría tensorial modular con la posibilidad de que ${\text{End}}_{\mathcal {C}}({\bf {1}})\not \simeq \mathbb {C}$ . ^{[ 2 ]}

Relación con la teoría de campos conformes racionales

La relación entre las categorías tensoriales modulares y la teoría de campos conformes racionales fue introducida por Greg Moore y Nathan Seiberg . Tras una serie de artículos que estudiaban las relaciones algebraicas entre los datos quirales básicos en las teorías de campos conformes racionales (campos primarios), ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} Moore y Seiberg descubrieron que la estructura en la que estos datos se ensamblan naturalmente es una categoría tensorial modular. ^{[ 1 ]} Estos datos se conocen ahora como los datos de Moore-Seiberg de una teoría de campos conformes racionales. Estos datos no son suficientes para especificar una teoría de campos conformes; en particular, se necesitan algunos datos no quirales para llegar a una teoría completa con funciones de correlación local. Estos datos adicionales necesarios fueron estudiados por Jürgen Fuchs, Ingo Runkel y Christoph Schweigert, y corresponden a los datos de un objeto de álgebra de Frobenius especial simétrico en la categoría tensorial modular de Moore-Seiberg. ^[¹⁴^]

La conexión entre la teoría de campos conformes racionales y las categorías tensoriales modulares también puede entenderse en el lenguaje de las álgebras de operadores de vértice . ^{[ 15 ]} Existe una teoría bien establecida que asocia a toda teoría de campos conformes un álgebra de operadores de vértice. ^{[ 16 ]} Cuando esta álgebra de operadores de vértice es racional y satisface ciertas condiciones algebraicas, su categoría de representaciones está naturalmente equipada con la estructura de una categoría tensorial modular. ^{[ 15 ]}

Construcciones de categorías tensoriales modulares

Existen diversas construcciones de categorías tensoriales modulares en la literatura matemática y física. ^{[ 17 ]}^{[ 10 ]}

De grupos finitos

Una construcción proviene de la teoría de grupos finitos . ^{[ 10 ]} Esta construcción asigna a cada grupo finito $G$ una categoría de tensores modulares ${\mathcal {D}}(G)$ denominado doble cuántico de $G$ . Esta categoría se define como el centro de Drinfeld de la categoría de representaciones (complejas) de $G$ . Eso es, ${\mathcal {D}}(G)={\mathcal {Z}}({\textrm {Rep}}_{G})$ Alternativamente, ${\mathcal {D}}(G)$ puede definirse como el centro de Drinfeld de la categoría de $G$ - espacios vectoriales graduados (complejos) . Es decir, ${\mathcal {D}}(G)={\mathcal {Z}}({\textrm {Vec}}_{G})$ Es un hecho no trivial que estas dos definiciones son equivalentes, lo que se conoce como una equivalencia categórica de Morita entre $\mathrm {Rep} _{G}$ y $\mathrm {Vec} _{G}$ En este contexto, dos categorías monoidales se denominan equivalentes de Morita si existe una equivalencia de categorías monoidales trenzadas entre sus centros de Drinfeld.

Existe una construcción más general que surge de la torsión de la relación de asociatividad mediante un 3-cociclo en la cohomología de grupos. $H^{3}(G,U(1))$ , dónde $U(1)$ es el grupo circular . ^{[ 10 ]} Más precisamente, dado cualquier 3-cocadena $\alpha \in Z^{3}(G,U(1))$ Existe una categoría de fusión esférica asociada. ${\text{Vec}}_{G}^{\alpha }$ que se define de forma idéntica a la categoría de $G$ -espacios vectoriales graduados $\mathrm {Vec} _{G}$ excepto que su relación de asociatividad está retorcida por $\alpha$ . Las cocadenas que difieren por un colímite producen categorías de fusión esférica equivalentes, por lo que la categoría de fusión esférica ${\text{Vec}}_{G}^{\alpha }$ está bien definido hasta la equivalencia en clases de cohomología en $H^{3}(G,U(1))$ Tomando el centro Drinfeld ${\mathcal {Z}}({\text{Vec}}_{G}^{\alpha })$ da como resultado una categoría tensorial modular que está determinada por un grupo finito. $G$ y una clase de cohomología $[\alpha ]\in H^{3}(G,U(1))$ . ^{[ 10 ]}

En el nivel de la teoría cuántica de campos topológica , la categoría tensorial modular de la teoría de grupos ${\mathcal {D}}(G)$ corresponde a la teoría de gauge discreta con grupo de gauge finito $G$ , ^{[ 18 ]} también llamada teoría de Dijkgraaf-Witten, que lleva el nombre de Robbert Dijkgraaf y Edward Witten . ^{[ 19 ]} El 3-cociclo $[\alpha ]\in H^{3}(G,U(1))$ corresponde a una elección de acción de Dijkgraaf-Witten en el lagrangiano . En el nivel de orden topológico , ${\mathcal {D}}(G)$ corresponde a los aniones en el modelo doble cuántico de Kitaev con grupo de entrada $G$ . ^{[ 18 ]}

De los grupos cuánticos

Asociado a cada grupo de Lie compacto , simple y simplemente conectado. $G$ con álgebra de Lie asociada ${\mathfrak {g}}$ y cada entero positivo $k\geq 1$ , existe un grupo cuántico asociado ${\mathcal {U}}_{q}({\mathfrak {g}})$ dónde $q$ es una cierta raíz de unidad asociada a $k$ mediante la fórmula $q=e^{\pi i/D(k+{\check {h}})}$ dónde ${\check {h}}$ es el número de Coxeter dual de ${\mathfrak {g}}$ y $D$ es el mayor valor absoluto de una entrada fuera de la diagonal de la matriz de Cartan de ${\mathfrak {g}}$ . ^{[ 20 ]} A partir de este grupo cuántico es posible definir una categoría llamada ${\mathcal {C}}({\mathfrak {g}},k)$ , que se define realizando un cierto procedimiento de semi-simplificación en la categoría de representaciones de ${\mathcal {U}}_{q}({\mathfrak {g}})$ . ^{[ 8 ]}^{[ 20 ]} Para opciones de ${\mathfrak {g}}$ , $k$ No mentir es cierto que hay familias excepcionales, la categoría ${\mathcal {C}}({\mathfrak {g}},k)$ es modular y se denomina categoría modular del grupo cuántico de ${\mathfrak {g}}$ en el nivel $k$ . ^{[ 20 ]}

En el nivel de la teoría cuántica de campos topológica, las categorías modulares de grupos cuánticos corresponden a la teoría de Chern-Simons . ^{[ 21 ]} Las teorías de Chern-Simons se especifican mediante un grupo de Lie simple y compacto. $G$ , que corresponde al grupo de calibre de la teoría, y un nivel entero $k\geq 1$ que especifica una constante de acoplamiento en la acción de Chern-Simons. La categoría tensorial modular correspondiente a la $(G,k)$ La teoría de Chern-Simons bajo la construcción de Reshetikhin-Turaev es ${\mathcal {C}}({\mathfrak {g}},k)$ . ^{[ 21 ]} Fue sobre los fundamentos físicos de la teoría de Chern-Simons que Edward Witten teorizó que todo grupo de Lie compacto y simple y nivel entero debería estar asociado a invariantes de enlaces y 3-variedades, y es utilizando la construcción de Reshetikhin-Turaev asociada a ${\mathcal {C}}({\mathfrak {g}},k)$ que el programa de Witten se completó. ^{[ 11 ]}^{[ 22 ]}

A partir de álgebras de Hopf débiles

Existe una construcción de categorías tensoriales modulares que proviene de la teoría de las álgebras de Hopf débiles . ^{[ 10 ]} Estas construcciones juegan con el tema general de la dualidad de Tannaka-Krein . Se puede demostrar que la categoría de representación de cada álgebra de Hopf débil de dimensión finita es una $\mathbb {C}$ -categoría monoidal lineal, que es equivalente a una $\mathbb {C}$ -categoría lineal a ${\textrm {Vec}}_{\mathbb {C} }^{n}$ . Es un teorema de Takahiro Hayashi que afirma que lo contrario también es cierto: cada $\mathbb {C}$ -categoría monoidal lineal, que es equivalente a una $\mathbb {C}$ -categoría lineal a ${\textrm {Vec}}_{\mathbb {C} }^{n}$ es equivalente a la categoría de representación de alguna álgebra de Hopf débil. ^{[ 23 ]} Agregar más estructuras a las álgebras de Hopf débiles corresponde a agregar más estructuras a la categoría de representación. Por ejemplo, agregar una estructura cuasitriangular al álgebra de Hopf débil corresponde a agregar un trenzado a la categoría de representación. ^{[ 24 ]} En su trabajo original, Reshetikhin-Turaev introdujo la noción de un álgebra de Hopf modular, que tiene suficientes estructuras y axiomas como para que su categoría de representación sea una categoría modular. ^{[ 11 ]} En el contexto de las álgebras de Hopf, es común trabajar con la construcción doble cuántica que se define tomando como entrada un álgebra de Hopf débil. $H$ y generando el álgebra de Hopf duplicada $H\otimes H^{*}$ que pueden equiparse naturalmente con una estructura cuasi-triangular, ^{[ 24 ]} y cuya categoría de representación a menudo será una categoría tensorial modular. Este tipo de álgebras de Hopf modulares se denominan «duplicadas». A nivel de orden topológico , las categorías de representación de las álgebras de Hopf duplicadas corresponden a aniones en el modelo cuántico doble generalizado de Kitaev . ^{[ 25 ]}

De subfactores

Existen relaciones entre categorías tensoriales modulares y subfactores introducidas y desarrolladas a finales de la década de 1990 y principios de la de 2000 por Adrian Ocneanu, Michael Müger y otros autores. ^{[ 26 ]}^{[ 27 ]}^{[ 28 ]} Estas construcciones suelen funcionar construyendo primero una categoría de fusión esférica y luego tomando su centro de Drinfeld , que es modular según el teorema de Müger . Existen diversas construcciones relevantes, dependiendo del tipo de subfactor y de los axiomas que debe satisfacer. Por ejemplo, en el caso de un tipo ${\rm {II}}_{1}$ subfactor $N\subset M$ con índice finito y profundidad finita, la categoría de fusión esférica asociada se define tomando al considerar la subcategoría de $N$ - $N$ bimódulos generados por $M$ , visto como un $N$ - $N$ bimódulo. ^{[ 26 ]} En el caso de tipo separable ${\rm {III}}_{1}$ factores $M$ , existe una categoría de fusión esférica asociada ${\textrm {End}}(M)$ cuyos objetos son $*$ -automorfismos de $M$ y cuyos morfismos son mapas entrelazados. Cualquier subfactor de índice finito $N\subset M$ da lugar naturalmente a la estructura de un álgebra de Frobenius en ${\textrm {End}}(M)$ y de hecho existe una biyección entre subfactores de índice finito de $M$ y álgebras de Frobenius en ${\textrm {End}}(M)$ . ^{[ 27 ]}

Utilizando la construcción de Reshetikhin-Turaev, a todas estas construcciones de categorías tensoriales modulares se les pueden asignar teorías cuánticas de campos topológicas . En el caso de tipo ${\rm {II}}_{1}$ subfactores $N\subset M$ Con índice finito y profundidad finita, existe un enfoque alternativo debido a Ocneanu que construye directamente la teoría de campo relevante. ^{[ 26 ]}

Véase también

Referencias

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