Elipse

En matemáticas , una elipse es una curva plana que rodea dos puntos focales , de modo que para todos los puntos de la curva, la suma de las dos distancias a los puntos focales es una constante. Generaliza un círculo , que es el tipo especial de elipse en el que los dos puntos focales son iguales. La elongación de una elipse se mide por su excentricidad , un número que va desde (el caso límite de un círculo) hasta (el caso límite de elongación infinita, ya no una elipse sino una parábola ). ${\displaystyle e}$${\displaystyle e=0}$${\displaystyle e=1}$

Una elipse tiene una solución algebraica simple para su área, pero para su perímetro (también conocido como circunferencia ) se requiere integración para obtener una solución exacta.

Analíticamente , la ecuación de una elipse estándar centrada en el origen con ancho y alto es: ${\displaystyle 2a}$${\displaystyle 2b}$$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$$

Suponiendo que los focos son para . La ecuación paramétrica estándar es: ${\displaystyle a\geq b}$${\displaystyle (\pm c,0)}$${\textstyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$$${\displaystyle (x,y)=(a\cos(t),b\sin(t))\quad {\text{for}}\quad 0\leq t\leq 2\pi .}$$

Las elipses son el tipo cerrado de sección cónica : una curva plana que traza la intersección de un cono con un plano (ver figura). Las elipses tienen muchas similitudes con las otras dos formas de secciones cónicas, las parábolas y las hipérbolas , ambas abiertas e ilimitadas . Una sección transversal en ángulo de un cilindro circular recto también es una elipse.

Una elipse también puede definirse en términos de un foco y una línea exterior a la elipse llamada directriz: para todos los puntos de la elipse, la relación entre la distancia al foco y la distancia a la directriz es constante. Esta relación constante es la excentricidad mencionada anteriormente: $${\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.}$$

Las elipses son comunes en física , astronomía e ingeniería . Por ejemplo, la órbita de cada planeta del Sistema Solar es aproximadamente una elipse con el Sol en un punto focal (más precisamente, el foco es el baricentro del par Sol-planeta). Lo mismo es cierto para las lunas que orbitan planetas y todos los demás sistemas de dos cuerpos astronómicos. Las formas de los planetas y las estrellas a menudo se describen bien mediante elipsoides . Un círculo visto desde un ángulo lateral parece una elipse: es decir, la elipse es la imagen de un círculo bajo una proyección paralela o en perspectiva . La elipse es también la figura de Lissajous más simple formada cuando los movimientos horizontales y verticales son sinusoides con la misma frecuencia: un efecto similar conduce a la polarización elíptica de la luz en óptica .

El nombre, ἔλλειψις ( élleipsis , "omisión"), fue dado por Apolonio de Perge en sus Cónicas .

Una elipse se puede definir geométricamente como un conjunto o lugar geométrico de puntos en el plano euclidiano:

El punto medio del segmento de línea que une los focos se llama centro de la elipse. La línea que pasa por los focos se llama eje mayor y la línea perpendicular a ella que pasa por el centro se llama eje menor .${\displaystyle C}$El eje mayor corta la elipse en dos vértices que tienen una distancia al centro de . La distancia de los focos al centro se llama distancia focal o excentricidad lineal. El cociente es la excentricidad . ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle c}$${\displaystyle e={\tfrac {c}{a}}}$

El caso produce un círculo y se incluye como un tipo especial de elipse. ${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$

La ecuación se puede ver de otra manera (ver figura): ${\displaystyle \left|PF_{2}\right|+\left|PF_{1}\right|=2a}$

${\displaystyle c_{2}}$se llama directriz circular (relacionada con el foco ) de la elipse. ^{[1] [2]} Esta propiedad no debe confundirse con la definición de una elipse que utiliza una línea directriz a continuación. ${\displaystyle F_{2}}$

Utilizando las esferas de Dandelin , se puede demostrar que cualquier sección de un cono con un plano es una elipse, asumiendo que el plano no contiene el vértice y tiene una pendiente menor que la de las líneas del cono.

La forma estándar de una elipse en coordenadas cartesianas supone que el origen es el centro de la elipse, el eje x es el eje mayor y:

Para un punto arbitrario la distancia al foco es y al otro foco . Por lo tanto el punto está en la elipse siempre que: ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (c,0)}$${\textstyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}$${\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$${\displaystyle (x,\,y)}$$${\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a\ .}$$

Eliminando los radicales mediante cuadrados adecuados y utilizando (ver diagrama) se obtiene la ecuación estándar de la elipse: ^[3] o, resuelto para y : ${\displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2}}$ $${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$$$${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=\pm {\sqrt {\left(a^{2}-x^{2}\right)\left(1-e^{2}\right)}}.}$$

Los parámetros de ancho y altura se denominan semiejes mayor y semieje menor . Los puntos superior e inferior son los covértices . Las distancias desde un punto de la elipse hasta los focos izquierdo y derecho son y . ${\displaystyle a,\;b}$${\displaystyle V_{3}=(0,\,b),\;V_{4}=(0,\,-b)}$${\displaystyle (x,\,y)}$${\displaystyle a+ex}$${\displaystyle a-ex}$

De la ecuación se deduce que la elipse es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas y, por tanto, con respecto al origen.

A lo largo de este artículo, los ejes semimayor y semimenor se denotan como y , respectivamente, es decir${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a\geq b>0\ .}$

En principio, la ecuación de la elipse canónica puede tener (y por lo tanto la elipse sería más alta que ancha). Esta forma se puede convertir a la forma estándar transponiendo los nombres de las variables y y los nombres de los parámetros y${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$${\displaystyle a<b}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b.}$

Esta es la distancia desde el centro a un foco: . ${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$

La excentricidad se puede expresar como: $${\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}},}$$

suponiendo que una elipse con ejes iguales ( ) tiene excentricidad cero y es un círculo. ${\displaystyle a>b.}$${\displaystyle a=b}$

La longitud de la cuerda que pasa por un foco, perpendicular al eje mayor, se llama lado recto . La mitad de esta longitud es el semilado recto . Un cálculo muestra: ^[4]${\displaystyle \ell }$ $${\displaystyle \ell ={\frac {b^{2}}{a}}=a\left(1-e^{2}\right).}$$

El semilato recto es igual al radio de curvatura en los vértices (ver sección curvatura). ${\displaystyle \ell }$

Una línea arbitraria interseca una elipse en 0, 1 o 2 puntos, llamados respectivamente línea exterior , tangente y secante . A través de cualquier punto de una elipse existe una única tangente. La tangente en un punto de la elipse tiene la ecuación de coordenadas: ${\displaystyle g}$${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$$${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}y=1.}$$

Una ecuación paramétrica vectorial de la tangente es: $${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s\left({\begin{array}{r}-y_{1}a^{2}\\x_{1}b^{2}\end{array}}\right),\quad s\in \mathbb {R} .}$$

Demostración: Sea un punto de una elipse y sea la ecuación de cualquier recta que contenga . Insertando la ecuación de la recta en la ecuación de la elipse y respetando se obtiene: Existen entonces casos: ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$${\textstyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$${\textstyle {\frac {x_{1}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}^{2}}{b^{2}}}=1}$$${\displaystyle {\frac {\left(x_{1}+su\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y_{1}+sv\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ \quad \Longrightarrow \quad 2s\left({\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}v}{b^{2}}}\right)+s^{2}\left({\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)=0\ .}$$

1. ${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v=0.}$Entonces la recta y la elipse tienen solo un punto en común, y es una tangente. La dirección de la tangente tiene un vector perpendicular , por lo que la recta tangente tiene ecuación para algún . Como está sobre la tangente y la elipse, se obtiene .${\displaystyle g}$${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {x_{1}}{a^{2}}}&{\frac {y_{1}}{b^{2}}}\end{pmatrix}}}$${\textstyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\tfrac {y_{1}}{b^{2}}}y=k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$${\displaystyle k=1}$
2. ${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v\neq 0.}$Entonces la línea tiene un segundo punto en común con la elipse y es secante.${\displaystyle g}$

Utilizando (1) se encuentra que es un vector tangente en el punto , lo que prueba la ecuación vectorial. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}-y_{1}a^{2}&x_{1}b^{2}\end{pmatrix}}}$${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$

Si y son dos puntos de la elipse tales que , entonces los puntos se encuentran en dos diámetros conjugados (ver más abajo). (Si , la elipse es un círculo y "conjugado" significa "ortogonal"). ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$${\displaystyle (u,v)}$${\textstyle {\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}v}{b^{2}}}=0}$${\displaystyle a=b}$

Si la elipse estándar se desplaza para tener centro , su ecuación es ${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$$${\displaystyle {\frac {\left(x-x_{\circ }\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y-y_{\circ }\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ .}$$

Los ejes siguen siendo paralelos a los ejes x e y .

En geometría analítica , la elipse se define como una cuádrica : el conjunto de puntos del plano cartesiano que, en casos no degenerados, satisfacen la ecuación implícita ^{[5] [6]} siempre que${\displaystyle (x,\,y)}$ $${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$$${\displaystyle B^{2}-4AC<0.}$

Para distinguir los casos degenerados del caso no degenerado, sea ∆ el determinante $${\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}A&{\frac {1}{2}}B&{\frac {1}{2}}D\\{\frac {1}{2}}B&C&{\frac {1}{2}}E\\{\frac {1}{2}}D&{\frac {1}{2}}E&F\end{vmatrix}}=ACF+{\tfrac {1}{4}}BDE-{\tfrac {1}{4}}(AE^{2}+CD^{2}+FB^{2}).}$$

Entonces la elipse es una elipse real no degenerada si y sólo si C∆ < 0. Si C∆ > 0, tenemos una elipse imaginaria, y si ∆ = 0, tenemos una elipse puntual. ^{[7] : 63}

Los coeficientes de la ecuación general se pueden obtener a partir de los semiejes mayor y menor conocidos , las coordenadas del centro y el ángulo de rotación (el ángulo desde el eje horizontal positivo hasta el eje mayor de la elipse) utilizando las fórmulas: ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta &B&=2\left(b^{2}-a^{2}\right)\sin \theta \cos \theta \\[1ex]C&=a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta &D&=-2Ax_{\circ }-By_{\circ }\\[1ex]E&=-Bx_{\circ }-2Cy_{\circ }&F&=Ax_{\circ }^{2}+Bx_{\circ }y_{\circ }+Cy_{\circ }^{2}-a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}$$

Estas expresiones pueden derivarse de la ecuación canónica mediante una transformación euclidiana de las coordenadas : $${\displaystyle {\frac {X^{2}}{a^{2}}}+{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}=1}$$${\displaystyle (X,\,Y)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}X&=\left(x-x_{\circ }\right)\cos \theta +\left(y-y_{\circ }\right)\sin \theta ,\\Y&=-\left(x-x_{\circ }\right)\sin \theta +\left(y-y_{\circ }\right)\cos \theta .\end{aligned}}}$$

Por el contrario, los parámetros de forma canónica se pueden obtener a partir de los coeficientes de forma general mediante las ecuaciones: ^[3]

$${\displaystyle {\begin{aligned}a,b&={\frac {-{\sqrt {2{\big (}AE^{2}+CD^{2}-BDE+(B^{2}-4AC)F{\big )}{\big (}(A+C)\pm {\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}{\big )}}}}{B^{2}-4AC}},\\x_{\circ }&={\frac {2CD-BE}{B^{2}-4AC}},\\[5mu]y_{\circ }&={\frac {2AE-BD}{B^{2}-4AC}},\\[5mu]\theta &={\tfrac {1}{2}}\operatorname {atan2} (-B,\,C-A),\end{aligned}}}$$

donde atan2 es la función arcotangente de 2 argumentos.

Utilizando funciones trigonométricas , una representación paramétrica de la elipse estándar es: ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$$${\displaystyle (x,\,y)=(a\cos t,\,b\sin t),\ 0\leq t<2\pi \,.}$$

El parámetro t (llamado anomalía excéntrica en astronomía) no es el ángulo con el eje x , sino que tiene un significado geométrico debido a Philippe de La Hire (ver § Dibujar elipses más abajo). ^[8]${\displaystyle (x(t),y(t))}$

Con la sustitución y las fórmulas trigonométricas se obtiene ${\textstyle u=\tan \left({\frac {t}{2}}\right)}$$${\displaystyle \cos t={\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\ ,\quad \sin t={\frac {2u}{1+u^{2}}}}$$

y la ecuación paramétrica racional de una elipse $${\displaystyle {\begin{cases}x(u)=a\,{\dfrac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\\[10mu]y(u)=b\,{\dfrac {2u}{1+u^{2}}}\\[10mu]-\infty <u<\infty \end{cases}}}$$

que cubre cualquier punto de la elipse excepto el vértice izquierdo . ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$${\displaystyle (-a,\,0)}$

Para esta fórmula se representa el cuarto superior derecho de la elipse que se mueve en sentido antihorario con un aumento del vértice izquierdo. El límite${\displaystyle u\in [0,\,1],}$${\displaystyle u.}$${\textstyle \lim _{u\to \pm \infty }(x(u),\,y(u))=(-a,\,0)\;.}$

Alternativamente, si se considera que el parámetro es un punto en la línea proyectiva real , entonces la parametrización racional correspondiente es ${\displaystyle [u:v]}$ ${\textstyle \mathbf {P} (\mathbf {R} )}$$${\displaystyle [u:v]\mapsto \left(a{\frac {v^{2}-u^{2}}{v^{2}+u^{2}}},b{\frac {2uv}{v^{2}+u^{2}}}\right).}$$

Entonces${\textstyle [1:0]\mapsto (-a,\,0).}$

Las representaciones racionales de secciones cónicas se utilizan comúnmente en el diseño asistido por computadora (ver curva de Bézier ).

Una representación paramétrica, que utiliza la pendiente de la tangente en un punto de la elipse, se puede obtener a partir de la derivada de la representación estándar : ${\displaystyle m}$${\displaystyle {\vec {x}}(t)=(a\cos t,\,b\sin t)^{\mathsf {T}}}$$${\displaystyle {\vec {x}}'(t)=(-a\sin t,\,b\cos t)^{\mathsf {T}}\quad \rightarrow \quad m=-{\frac {b}{a}}\cot t\quad \rightarrow \quad \cot t=-{\frac {ma}{b}}.}$$

Con ayuda de fórmulas trigonométricas se obtiene: $${\displaystyle \cos t={\frac {\cot t}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {-ma}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\ ,\quad \quad \sin t={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {b}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}.}$$

Reemplazando y de la representación estándar se obtiene: ${\displaystyle \cos t}$${\displaystyle \sin t}$$${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)=\left(-{\frac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}},\;{\frac {b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\right),\,m\in \mathbb {R} .}$$

Aquí se muestra la pendiente de la tangente en el punto correspondiente de la elipse, que es la mitad superior e inferior de la elipse. Los vértices que tienen tangentes verticales no están cubiertos por la representación. ${\displaystyle m}$${\displaystyle {\vec {c}}_{+}}$${\displaystyle {\vec {c}}_{-}}$${\displaystyle (\pm a,\,0)}$

La ecuación de la tangente en el punto tiene la forma . La incógnita aún se puede determinar introduciendo las coordenadas del punto de la elipse correspondiente : ${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$${\displaystyle y=mx+n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$$${\displaystyle y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}\,.}$$

Esta descripción de las tangentes de una elipse es una herramienta esencial para la determinación de la ortóptica de una elipse. El artículo sobre la ortóptica contiene otra demostración, sin cálculo diferencial ni fórmulas trigonométricas.

Otra definición de elipse utiliza transformaciones afines :

Cualquier elipse es una imagen afín del círculo unitario con ecuación .${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

Representación paramétrica

Una transformación afín del plano euclidiano tiene la forma , donde es una matriz regular (con determinante distinto de cero ) y es un vector arbitrario. Si son los vectores columna de la matriz , el círculo unitario , , se proyecta sobre la elipse: ${\displaystyle {\vec {x}}\mapsto {\vec {f}}\!_{0}+A{\vec {x}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0}}$${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (\cos(t),\sin(t))}$${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }$$${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}\!_{0}+{\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\,.}$$

Aquí está el centro y son las direcciones de dos diámetros conjugados , en general no perpendiculares. ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0}}$${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1},\;{\vec {f}}\!_{2}}$

Vértices

Los cuatro vértices de la elipse son , para un parámetro definido por: ${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}\left(t_{0}\pm {\tfrac {\pi }{2}}\right),\;{\vec {p}}\left(t_{0}+\pi \right)}$${\displaystyle t=t_{0}}$$${\displaystyle \cot(2t_{0})={\frac {{\vec {f}}\!_{1}^{\,2}-{\vec {f}}\!_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}}}.}$$

(Si , entonces .) Esto se deduce de la siguiente manera. El vector tangente en el punto es: ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}=0}$${\displaystyle t_{0}=0}$${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$$${\displaystyle {\vec {p}}\,'(t)=-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\ .}$$

En un parámetro de vértice , la tangente es perpendicular a los ejes mayor/menor, por lo que: ${\displaystyle t=t_{0}}$$${\displaystyle 0={\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}\!_{0}\right)=\left(-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\right)\cdot \left({\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\right).}$$

Al expandir y aplicar las identidades se obtiene la ecuación para${\displaystyle \;\cos ^{2}t-\sin ^{2}t=\cos 2t,\ \ 2\sin t\cos t=\sin 2t\;}$${\displaystyle t=t_{0}\;.}$

Área

Del teorema de Apolonio (ver abajo) se obtiene:
El área de una elipse es ${\displaystyle \;{\vec {x}}={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t\;}$$${\displaystyle A=\pi \left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|.}$$

Semiejes

Con las abreviaturas, los enunciados del teorema de Apolonio se pueden escribir como: Resolviendo este sistema no lineal para se obtienen los semiejes: ${\displaystyle \;M={\vec {f}}_{1}^{2}+{\vec {f}}_{2}^{2},\ N=\left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|}$$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=M,\quad ab=N\ .}$$${\displaystyle a,b}$$${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}+{\sqrt {M-2N}})\\[1ex]b&={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}-{\sqrt {M-2N}})\,.\end{aligned}}}$$

Representación implícita

Resolviendo la representación paramétrica para mediante la regla de Cramer y utilizando , se obtiene la representación implícita ${\displaystyle \;\cos t,\sin t\;}$${\displaystyle \;\cos ^{2}t+\sin ^{2}t-1=0\;}$$${\displaystyle \det {\left({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}}+\det {\left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0}\right)^{2}}-\det {\left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}}=0.}$$

Por el contrario: si la ecuación

${\displaystyle x^{2}+2cxy+d^{2}y^{2}-e^{2}=0\ ,}$con${\displaystyle \;d^{2}-c^{2}>0\;,}$

de una elipse centrada en el origen, entonces los dos vectores apuntan a dos puntos conjugados y son aplicables las herramientas desarrolladas anteriormente. $${\displaystyle {\vec {f}}_{1}={e \choose 0},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {e}{\sqrt {d^{2}-c^{2}}}}{-c \choose 1}}$$

Ejemplo : Para la elipse con ecuación los vectores son ${\displaystyle \;x^{2}+2xy+3y^{2}-1=0\;}$$${\displaystyle {\vec {f}}_{1}={1 \choose 0},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{-1 \choose 1}.}$$

Elipse estándar rotada

Para ello se obtiene una representación paramétrica de la elipse estándar rotada por un ángulo : ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={0 \choose 0},\;{\vec {f}}_{1}=a{\cos \theta \choose \sin \theta },\;{\vec {f}}_{2}=b{-\sin \theta \choose \;\cos \theta }}$${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{\theta }(t)=a\cos \theta \cos t-b\sin \theta \sin t\,,\\y&=y_{\theta }(t)=a\sin \theta \cos t+b\cos \theta \sin t\,.\end{aligned}}}$$

Elipse en el espacio

La definición de elipse en esta sección da una representación paramétrica de una elipse arbitraria, incluso en el espacio, si se permiten vectores en el espacio. ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$

En coordenadas polares , con el origen en el centro de la elipse y con la coordenada angular medida desde el eje mayor, la ecuación de la elipse es ^{[7] : 75} donde es la excentricidad, no el número de Euler. ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle r(\theta )={\frac {ab}{\sqrt {(b\cos \theta )^{2}+(a\sin \theta )^{2}}}}={\frac {b}{\sqrt {1-(e\cos \theta )^{2}}}}}$$${\displaystyle e}$

Si en cambio utilizamos coordenadas polares con el origen en un foco, con la coordenada angular todavía medida desde el eje mayor, la ecuación de la elipse es ${\displaystyle \theta =0}$$${\displaystyle r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1\pm e\cos \theta }}}$$

donde el signo en el denominador es negativo si la dirección de referencia apunta hacia el centro (como se ilustra a la derecha), y positivo si esa dirección apunta lejos del centro. ${\displaystyle \theta =0}$

El ángulo se denomina anomalía verdadera del punto. El numerador es el semilato recto . ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \ell =a(1-e^{2})}$

Cada una de las dos rectas paralelas al eje menor, y a una distancia de éste, se llama directriz de la elipse (ver diagrama). ${\textstyle d={\frac {a^{2}}{c}}={\frac {a}{e}}}$

Para un punto arbitrario de la elipse, el cociente de la distancia a un foco y a la directriz correspondiente (ver diagrama) es igual a la excentricidad:${\displaystyle P}$$${\displaystyle {\frac {\left|PF_{1}\right|}{\left|Pl_{1}\right|}}={\frac {\left|PF_{2}\right|}{\left|Pl_{2}\right|}}=e={\frac {c}{a}}\ .}$$

La prueba del par se deriva del hecho de que y satisfacen la ecuación ${\displaystyle F_{1},l_{1}}$${\textstyle \left|PF_{1}\right|^{2}=(x-c)^{2}+y^{2},\ \left|Pl_{1}\right|^{2}=\left(x-{\tfrac {a^{2}}{c}}\right)^{2}}$${\displaystyle y^{2}=b^{2}-{\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}}$$${\displaystyle \left|PF_{1}\right|^{2}-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}\left|Pl_{1}\right|^{2}=0\,.}$$

El segundo caso se prueba análogamente.

La inversa también es cierta y se puede utilizar para definir una elipse (de manera similar a la definición de una parábola):

Para cualquier punto (foco), cualquier recta (directriz) que no pase por , y cualquier número real con la elipse como lugar geométrico de los puntos para los cuales el cociente de las distancias al punto y a la recta es :${\displaystyle F}$${\displaystyle l}$${\displaystyle F}$${\displaystyle e}$${\displaystyle 0<e<1,}$${\displaystyle e,}$$${\displaystyle E=\left\{P\ \left|\ {\frac {|PF|}{|Pl|}}=e\right.\right\}.}$$

La extensión a , que es la excentricidad de un círculo, no está permitida en este contexto en el plano euclidiano. Sin embargo, se puede considerar que la directriz de un círculo es la línea en el infinito en el plano proyectivo . ${\displaystyle e=0}$

(La elección da como resultado una parábola y, si , una hipérbola). ${\displaystyle e=1}$${\displaystyle e>1}$

Prueba

Sea , y supongamos que es un punto de la curva. La directriz tiene ecuación . Con , la relación produce las ecuaciones ${\displaystyle F=(f,\,0),\ e>0}$${\displaystyle (0,\,0)}$${\displaystyle l}$${\displaystyle x=-{\tfrac {f}{e}}}$${\displaystyle P=(x,\,y)}$${\displaystyle |PF|^{2}=e^{2}|Pl|^{2}}$

${\displaystyle (x-f)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(x+{\frac {f}{e}}\right)^{2}=(ex+f)^{2}}$y${\displaystyle x^{2}\left(e^{2}-1\right)+2xf(1+e)-y^{2}=0.}$

La sustitución produce ${\displaystyle p=f(1+e)}$$${\displaystyle x^{2}\left(e^{2}-1\right)+2px-y^{2}=0.}$$

Esta es la ecuación de una elipse ( ), o de una parábola ( ), o de una hipérbola ( ). Todas estas cónicas no degeneradas tienen en común el origen como vértice (ver diagrama). ${\displaystyle e<1}$${\displaystyle e=1}$${\displaystyle e>1}$

Si , introduzca nuevos parámetros de modo que , y entonces la ecuación anterior se convierte en ${\displaystyle e<1}$${\displaystyle a,\,b}$${\displaystyle 1-e^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},{\text{ and }}\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}}$$${\displaystyle {\frac {(x-a)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,,}$$

que es la ecuación de una elipse con centro , eje x como eje mayor y semieje mayor/menor . ${\displaystyle (a,\,0)}$${\displaystyle a,\,b}$

Construcción de una directriz

Debido a que el punto de la directriz (ver diagrama) y el foco son inversos con respecto a la inversión del círculo en el círculo (en el diagrama verde), se puede construir como se muestra en el diagrama. La directriz es la perpendicular al eje principal en el punto . ${\displaystyle c\cdot {\tfrac {a^{2}}{c}}=a^{2}}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle l_{1}}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle l_{1}}$${\displaystyle L_{1}}$

Elipse general

Si el foco es y la directriz , se obtiene la ecuación ${\displaystyle F=\left(f_{1},\,f_{2}\right)}$${\displaystyle ux+vy+w=0}$$${\displaystyle \left(x-f_{1}\right)^{2}+\left(y-f_{2}\right)^{2}=e^{2}{\frac {\left(ux+vy+w\right)^{2}}{u^{2}+v^{2}}}\ .}$$

(El lado derecho de la ecuación utiliza la forma normal de Hesse de una línea para calcular la distancia ). ${\displaystyle |Pl|}$

Una elipse posee la siguiente propiedad:

La normal en un punto biseca el ángulo entre las líneas .${\displaystyle P}$${\displaystyle {\overline {PF_{1}}},\,{\overline {PF_{2}}}}$

Prueba

Como la línea tangente es perpendicular a la normal, una afirmación equivalente es que la tangente es la bisectriz del ángulo externo de las líneas a los focos (ver diagrama). Sea el punto en la línea con distancia al foco , donde es el semieje mayor de la elipse. Sea línea la bisectriz del ángulo externo de las líneas y Tome cualquier otro punto en Por la desigualdad del triángulo y el teorema de la bisectriz del ángulo , por lo tanto debe estar fuera de la elipse. Como esto es cierto para cada elección de solo interseca la elipse en el único punto, también debe ser la línea tangente. ${\displaystyle L}$${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$${\displaystyle 2a}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle w}$${\displaystyle {\overline {PF_{1}}}}$${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}.}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle w.}$${\displaystyle 2a=\left|LF_{2}\right|<{}}$${\displaystyle \left|QF_{2}\right|+\left|QL\right|={}}$${\displaystyle \left|QF_{2}\right|+\left|QF_{1}\right|,}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q,}$ ${\displaystyle w}$${\displaystyle P}$

Solicitud

Los rayos de un foco se reflejan en la elipse hacia el segundo foco. Esta propiedad tiene aplicaciones ópticas y acústicas similares a la propiedad de reflexión de una parábola (véase la galería de susurros ).

Además, debido a la propiedad de reflexión de foco a foco de las elipses, si se permite que los rayos continúen propagándose, los rayos reflejados eventualmente se alinearán estrechamente con el eje mayor.

Un círculo tiene la siguiente propiedad:

Los puntos medios de las cuerdas paralelas se encuentran en un diámetro.

Una transformación afín conserva el paralelismo y los puntos medios de los segmentos de línea, por lo que esta propiedad es válida para cualquier elipse. (Tenga en cuenta que las cuerdas paralelas y el diámetro ya no son ortogonales).

Definición

Dos diámetros de una elipse son conjugados si los puntos medios de las cuerdas paralelas a se encuentran en${\displaystyle d_{1},\,d_{2}}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle d_{2}\ .}$

Del diagrama se desprende lo siguiente:

Dos diámetros de una elipse son conjugados siempre que las tangentes en y sean paralelas a .${\displaystyle {\overline {P_{1}Q_{1}}},\,{\overline {P_{2}Q_{2}}}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle Q_{1}}$${\displaystyle {\overline {P_{2}Q_{2}}}}$

Los diámetros conjugados en una elipse generalizan los diámetros ortogonales en un círculo.

En la ecuación paramétrica para una elipse general dada anteriormente, $${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}\!_{0}+{\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t,}$$

cualquier par de puntos pertenece a un diámetro, y el par pertenece a su diámetro conjugado. ${\displaystyle {\vec {p}}(t),\ {\vec {p}}(t+\pi )}$${\displaystyle {\vec {p}}\left(t+{\tfrac {\pi }{2}}\right),\ {\vec {p}}\left(t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$

Para la representación paramétrica común de la elipse con ecuación se obtiene: Los puntos ${\displaystyle (a\cos t,b\sin t)}$${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

${\displaystyle (x_{1},y_{1})=(\pm a\cos t,\pm b\sin t)\quad }$(signos: (+,+) o (−,−) )

${\displaystyle (x_{2},y_{2})=({\color {red}{\mp }}a\sin t,\pm b\cos t)\quad }$(signos: (−,+) o (+,−) )

son conjugados y

${\displaystyle {\frac {x_{1}x_{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}y_{2}}{b^{2}}}=0\ .}$

En el caso de un círculo la última ecuación colapsa a${\displaystyle x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\ .}$

Para una elipse con semiejes se cumple lo siguiente: ^{[9] [10]}${\displaystyle a,\,b}$

Sean y sean mitades de dos diámetros conjugados (ver diagrama) entonces ${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$

1. ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}^{2}=a^{2}+b^{2}}$.
2. El triángulo de lados (ver diagrama) tiene un área constante , que también se puede expresar como . es la altura del punto y el ángulo entre los medios diámetros. Por lo tanto, el área de la elipse (ver sección propiedades métricas) se puede escribir como .${\displaystyle O,P_{1},P_{2}}$${\displaystyle c_{1},\,c_{2}}$${\textstyle A_{\Delta }={\frac {1}{2}}ab}$${\displaystyle A_{\Delta }={\tfrac {1}{2}}c_{2}d_{1}={\tfrac {1}{2}}c_{1}c_{2}\sin \alpha }$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A_{el}=\pi ab=\pi c_{2}d_{1}=\pi c_{1}c_{2}\sin \alpha }$
3. El paralelogramo de tangentes adyacentes a los diámetros conjugados dados tiene la${\displaystyle {\text{Area}}_{12}=4ab\ .}$

Prueba

Sea la elipse en forma canónica con ecuación paramétrica $${\displaystyle {\vec {p}}(t)=(a\cos t,\,b\sin t).}$$

Los dos puntos están en diámetros conjugados (ver sección anterior). A partir de fórmulas trigonométricas se obtiene y ${\textstyle {\vec {c}}_{1}={\vec {p}}(t),\ {\vec {c}}_{2}={\vec {p}}\left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)}$${\displaystyle {\vec {c}}_{2}=(-a\sin t,\,b\cos t)^{\mathsf {T}}}$$${\displaystyle \left|{\vec {c}}_{1}\right|^{2}+\left|{\vec {c}}_{2}\right|^{2}=\cdots =a^{2}+b^{2}\,.}$$

El área del triángulo generado por es ${\displaystyle {\vec {c}}_{1},\,{\vec {c}}_{2}}$$${\displaystyle A_{\Delta }={\tfrac {1}{2}}\det \left({\vec {c}}_{1},\,{\vec {c}}_{2}\right)=\cdots ={\tfrac {1}{2}}ab}$$

y del diagrama se puede ver que el área del paralelogramo es 8 veces la de . Por lo tanto ${\displaystyle A_{\Delta }}$$${\displaystyle {\text{Area}}_{12}=4ab\,.}$$

Para la elipse, los puntos de intersección de las tangentes ortogonales se encuentran en el círculo . ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}}$

Este círculo se llama círculo ortóptico o director de la elipse (que no debe confundirse con la directriz circular definida anteriormente).

Las elipses aparecen en geometría descriptiva como imágenes (proyección paralela o central) de círculos. Existen varias herramientas para dibujar una elipse. Las computadoras proporcionan el método más rápido y preciso para dibujar una elipse. Sin embargo, existen herramientas técnicas ( elipsógrafos ) para dibujar una elipse sin una computadora. El principio era conocido por el matemático del siglo V Proclo , y la herramienta ahora conocida como traba elíptica fue inventada por Leonardo da Vinci . ^[11]

Si no se dispone de un elipsógrafo, se puede dibujar una elipse utilizando una aproximación de los cuatro círculos osculadores en los vértices.

Para cualquier método descrito a continuación, es necesario conocer los ejes y semiejes (o equivalentemente: los focos y el semieje mayor). Si esta presunción no se cumple, se deben conocer al menos dos diámetros conjugados. Con la ayuda de la construcción de Rytz se pueden recuperar los ejes y semiejes.

La siguiente construcción de puntos individuales de una elipse se debe a de La Hire . ^[12] Se basa en la representación paramétrica estándar de una elipse: ${\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}$

1. Dibuja los dos círculos centrados en el centro de la elipse con los radios y los ejes de la elipse.${\displaystyle a,b}$
2. Dibuje una línea a través del centro , que interseca los dos círculos en los puntos y , respectivamente.${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$
3. Dibuje una línea que pase por ella paralela al eje menor y una línea que pase por ella paralela al eje mayor. Estas líneas se encuentran en un punto de la elipse (vea el diagrama).${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$
4. Repita los pasos (2) y (3) con diferentes líneas a través del centro.

• 
  El método de La Hire
• 
  Animación del método

La caracterización de una elipse como el lugar geométrico de los puntos de modo que la suma de las distancias a los focos sea constante conduce a un método para dibujar una elipse utilizando dos chinchetas , un trozo de cuerda y un lápiz. En este método, se clavan las chinchetas en el papel en dos puntos, que se convierten en los focos de la elipse. Se ata una cuerda en cada extremo a las dos chinchetas; su longitud después de atarla es de . La punta del lápiz traza una elipse si se mueve mientras se mantiene la cuerda tensa. Utilizando dos clavijas y una cuerda, los jardineros utilizan este procedimiento para delinear un macizo de flores elíptico, por lo que se llama la elipse del jardinero . El arquitecto bizantino Antemio de Tralles ( c.  600 ) describió cómo se podía utilizar este método para construir un reflector elíptico, ^[13] y fue elaborado en un tratado del siglo IX ahora perdido por Al-Ḥasan ibn Mūsā . ^[14]${\displaystyle 2a}$

Un método similar para dibujar elipses confocales con una cuerda cerrada se debe al obispo irlandés Charles Graves .

Los dos métodos siguientes se basan en la representación paramétrica (véase § Representación paramétrica estándar , más arriba): $${\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}$$

Esta representación se puede modelar técnicamente mediante dos métodos sencillos. En ambos casos se deben conocer el centro, los ejes y los semiejes .${\displaystyle a,\,b}$

Método 1

El primer método comienza con

una tira de papel de longitud .${\displaystyle a+b}$

El punto en el que se encuentran los semiejes está marcado con . Si la tira se desliza con ambos extremos sobre los ejes de la elipse deseada, entonces el punto traza la elipse. Para la prueba se muestra que el punto tiene la representación paramétrica , donde parámetro es el ángulo de la pendiente de la tira de papel. ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}$${\displaystyle t}$

Una realización técnica del movimiento de la tira de papel se puede lograr mediante un par de Tusi (ver animación). El dispositivo es capaz de dibujar cualquier elipse con una suma fija , que es el radio del círculo grande. Esta restricción puede ser una desventaja en la vida real. Más flexible es el segundo método de la tira de papel. ${\displaystyle a+b}$

• 
  Construcción de una elipse: método de tiras de papel 1
• 
  Elipses con pareja de Tusi. Dos ejemplos: rojo y cian.

Una variación del método de la tira de papel 1 utiliza la observación de que el punto medio de la tira de papel se mueve en el círculo con centro (de la elipse) y radio . Por lo tanto, la tira de papel se puede cortar en un punto en mitades, conectarlas nuevamente mediante una junta en y el extremo deslizante fijado en el centro (ver diagrama). Después de esta operación, el movimiento de la mitad inalterada de la tira de papel no cambia. ^[15] Esta variación requiere solo una zapata deslizante. ${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\tfrac {a+b}{2}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle K}$${\displaystyle M}$

• 
  Variación del método de la tira de papel 1
• 
  Animación de la variación del método de la tira de papel 1

Método 2

El segundo método comienza con

una tira de papel de longitud .${\displaystyle a}$

Se marca el punto que divide la tira en dos subtiras de longitud y . La tira se coloca sobre los ejes como se describe en el diagrama. Luego, el extremo libre de la tira traza una elipse, mientras que la tira se mueve. Para la prueba, se reconoce que el punto de trazado puede describirse paramétricamente por , donde parámetro es el ángulo de pendiente de la tira de papel. ${\displaystyle b}$${\displaystyle a-b}$${\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}$${\displaystyle t}$

Este método es la base de varias elipsografías (ver sección a continuación).

De manera similar a la variación del método de tira de papel 1, se puede establecer una variación del método de tira de papel 2 (ver diagrama) cortando la parte entre los ejes en mitades.

• 
  Trama elíptica (principio)
• 
  Elipsógrafo de Benjamin Bramer
• 
  Variación del método de la tira de papel 2

La mayoría de los instrumentos de dibujo elipsográfico se basan en el método de la segunda tira de papel.

De las propiedades métricas que se muestran a continuación, se obtiene:

• El radio de curvatura en los vértices es:${\displaystyle V_{1},\,V_{2}}$${\displaystyle {\tfrac {b^{2}}{a}}}$
• El radio de curvatura en los covértices es:${\displaystyle V_{3},\,V_{4}}$${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{b}}\ .}$

El diagrama muestra una forma sencilla de encontrar los centros de curvatura en el vértice y el covértice , respectivamente: ${\displaystyle C_{1}=\left(a-{\tfrac {b^{2}}{a}},0\right),\,C_{3}=\left(0,b-{\tfrac {a^{2}}{b}}\right)}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{3}}$

1. Marca el punto auxiliar y dibuja el segmento de línea.${\displaystyle H=(a,\,b)}$${\displaystyle V_{1}V_{3}\ ,}$
2. dibuja la línea a través de , que es perpendicular a la línea${\displaystyle H}$${\displaystyle V_{1}V_{3}\ ,}$
3. Los puntos de intersección de esta línea con los ejes son los centros de los círculos osculadores.

(Prueba: cálculo simple.)

Los centros de los vértices restantes se encuentran por simetría.

Con ayuda de una curva francesa se dibuja una curva que tiene un contacto suave con los círculos osculadores .

El siguiente método para construir puntos individuales de una elipse se basa en la generación de Steiner de una sección cónica :

Dados dos lápices de líneas en dos puntos (todas las líneas que contienen y , respectivamente) y una aplicación proyectiva pero no perspectiva de sobre , entonces los puntos de intersección de las líneas correspondientes forman una sección cónica proyectiva no degenerada.${\displaystyle B(U),\,B(V)}$${\displaystyle U,\,V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle B(U)}$${\displaystyle B(V)}$

Para la generación de puntos de la elipse se utilizan los lápices en los vértices . Sea un covértice superior de la elipse y . ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$${\displaystyle V_{1},\,V_{2}}$${\displaystyle P=(0,\,b)}$${\displaystyle A=(-a,\,2b),\,B=(a,\,2b)}$

${\displaystyle P}$es el centro del rectángulo . El lado del rectángulo se divide en n segmentos de línea iguales y esta división se proyecta paralela a la diagonal como dirección sobre el segmento de línea y se asigna la división como se muestra en el diagrama. La proyección paralela junto con la inversión de la orientación es parte de la proyección proyectiva entre los lápices en y necesarios. Los puntos de intersección de dos líneas relacionadas cualesquiera y son puntos de la elipse definida de forma única. Con la ayuda de los puntos se pueden determinar los puntos del segundo cuarto de la elipse. Análogamente se obtienen los puntos de la mitad inferior de la elipse. ${\displaystyle V_{1},\,V_{2},\,B,\,A}$${\displaystyle {\overline {AB}}}$${\displaystyle AV_{2}}$${\displaystyle {\overline {V_{1}B}}}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle V_{1}B_{i}}$${\displaystyle V_{2}A_{i}}$${\displaystyle C_{1},\,\dotsc }$

La generación de Steiner también se puede definir para hipérbolas y parábolas. A veces se la denomina método del paralelogramo porque se pueden utilizar otros puntos en lugar de los vértices, que comienzan con un paralelogramo en lugar de un rectángulo.

La elipse es un caso especial de hipotrocoide cuando , como se muestra en la imagen adyacente. El caso especial de un círculo en movimiento con radio dentro de un círculo con radio se denomina par de Tusi . ${\displaystyle R=2r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle R=2r}$

Un círculo con ecuación está determinado únicamente por tres puntos que no están en una línea. Una forma sencilla de determinar los parámetros es utilizar el teorema del ángulo inscrito para círculos: ${\displaystyle \left(x-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y-y_{\circ }\right)^{2}=r^{2}}$${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right),\;\left(x_{2},\,y_{2}\right),\;\left(x_{3},\,y_{3}\right)}$${\displaystyle x_{\circ },y_{\circ },r}$

Para cuatro puntos (ver diagrama) la siguiente afirmación es verdadera:${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right),\ i=1,\,2,\,3,\,4,\,}$

Los cuatro puntos están en un círculo si y sólo si los ángulos en y son iguales.${\displaystyle P_{3}}$${\displaystyle P_{4}}$

Generalmente los ángulos inscritos se miden en grados o radianes θ , pero en este caso es más conveniente la siguiente medida:

Para medir el ángulo entre dos rectas con ecuaciones se utiliza el cociente:${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2},\ m_{1}\neq m_{2},}$$${\displaystyle {\frac {1+m_{1}m_{2}}{m_{2}-m_{1}}}=\cot \theta \ .}$$

Para cuatro puntos no más de tres de ellos en una recta, tenemos lo siguiente (ver diagrama): ${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right),\ i=1,\,2,\,3,\,4,\,}$

Los cuatro puntos están en un círculo si y solo si los ángulos en y son iguales. En términos de la medición de ángulos anterior, esto significa:${\displaystyle P_{3}}$${\displaystyle P_{4}}$$${\displaystyle {\frac {(x_{4}-x_{1})(x_{4}-x_{2})+(y_{4}-y_{1})(y_{4}-y_{2})}{(y_{4}-y_{1})(x_{4}-x_{2})-(y_{4}-y_{2})(x_{4}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}$$

Al principio, la medida solo está disponible para cuerdas no paralelas al eje y, pero la fórmula final funciona para cualquier cuerda.

Como consecuencia, se obtiene una ecuación para el círculo determinado por tres puntos no colineales :${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right)}$$${\displaystyle {\frac {({\color {red}x}-x_{1})({\color {red}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {red}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}$$

Por ejemplo, para la ecuación de tres puntos es: ${\displaystyle P_{1}=(2,\,0),\;P_{2}=(0,\,1),\;P_{3}=(0,\,0)}$

${\displaystyle {\frac {(x-2)x+y(y-1)}{yx-(y-1)(x-2)}}=0}$, que se puede reorganizar para${\displaystyle (x-1)^{2}+\left(y-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}={\tfrac {5}{4}}\ .}$

Utilizando vectores, productos escalares y determinantes esta fórmula se puede organizar más claramente, quedando : ${\displaystyle {\vec {x}}=(x,\,y)}$$${\displaystyle {\frac {\left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1}\right)\cdot \left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1},{\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}}={\frac {\left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1}\right)\cdot \left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}}.}$$

El centro del círculo satisface: ${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&{\dfrac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\\[2ex]{\dfrac {x_{1}-x_{3}}{y_{1}-y_{3}}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{\circ }\\[1ex]y_{\circ }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{2(x_{1}-x_{2})}}\\[2ex]{\dfrac {y_{1}^{2}-y_{3}^{2}+x_{1}^{2}-x_{3}^{2}}{2(y_{1}-y_{3})}}\end{bmatrix}}.}$$

El radio es la distancia entre cualquiera de los tres puntos y el centro. $${\displaystyle r={\sqrt {\left(x_{1}-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{\circ }\right)^{2}}}={\sqrt {\left(x_{2}-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{\circ }\right)^{2}}}={\sqrt {\left(x_{3}-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y_{3}-y_{\circ }\right)^{2}}}.}$$

En esta sección se considera la familia de elipses definidas por ecuaciones con una excentricidad fija . Es conveniente utilizar el parámetro: ${\displaystyle {\tfrac {\left(x-x_{\circ }\right)^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {\left(y-y_{\circ }\right)^{2}}{b^{2}}}=1}$${\displaystyle e}$$${\displaystyle {\color {blue}q}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}={\frac {1}{1-e^{2}}},}$$

y escribir la ecuación de la elipse como: $${\displaystyle \left(x-x_{\circ }\right)^{2}+{\color {blue}q}\,\left(y-y_{\circ }\right)^{2}=a^{2},}$$

donde q es fijo y varía con los números reales. (Estas elipses tienen sus ejes paralelos a los ejes de coordenadas: si , el eje mayor es paralelo al eje x ; si , es paralelo al eje y ). ${\displaystyle x_{\circ },\,y_{\circ },\,a}$${\displaystyle q<1}$${\displaystyle q>1}$

Al igual que un círculo, una elipse está determinada por tres puntos que no están en una línea.

Para esta familia de elipses, se introduce la siguiente medida angular q-análoga , que no es una función de la medida angular habitual θ : ^{[16] [17]}

Para medir un ángulo entre dos rectas con ecuaciones se utiliza el cociente:${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2},\ m_{1}\neq m_{2}}$$${\displaystyle {\frac {1+{\color {blue}q}\;m_{1}m_{2}}{m_{2}-m_{1}}}\ .}$$

Dados cuatro puntos , no hay tres de ellos en una línea (ver diagrama).${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right),\ i=1,\,2,\,3,\,4}$

Los cuatro puntos están en una elipse con ecuación si y solo si los ángulos en y son iguales en el sentido de la medida anterior, es decir, si${\displaystyle (x-x_{\circ })^{2}+{\color {blue}q}\,(y-y_{\circ })^{2}=a^{2}}$${\displaystyle P_{3}}$${\displaystyle P_{4}}$$${\displaystyle {\frac {(x_{4}-x_{1})(x_{4}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{4}-y_{1})(y_{4}-y_{2})}{(y_{4}-y_{1})(x_{4}-x_{2})-(y_{4}-y_{2})(x_{4}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}\ .}$$

En un principio, la medida solo está disponible para cuerdas que no son paralelas al eje y. Pero la fórmula final funciona para cualquier cuerda. La demostración se obtiene a partir de un cálculo sencillo. Para la dirección de la demostración, dado que los puntos están en una elipse, se puede suponer que el centro de la elipse es el origen.

En consecuencia, se obtiene una ecuación para la elipse determinada por tres puntos no colineales :${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right)}$$${\displaystyle {\frac {({\color {red}x}-x_{1})({\color {red}x}-x_{2})+{\color {blue}q}\;({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {red}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}\ .}$$

Por ejemplo, para y se obtiene la forma de tres puntos ${\displaystyle P_{1}=(2,\,0),\;P_{2}=(0,\,1),\;P_{3}=(0,\,0)}$${\displaystyle q=4}$

${\displaystyle {\frac {(x-2)x+4y(y-1)}{yx-(y-1)(x-2)}}=0}$y después de la conversión${\displaystyle {\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {\left(y-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}{\frac {1}{2}}}=1.}$

De manera análoga al caso del círculo, la ecuación se puede escribir más claramente utilizando vectores: $${\displaystyle {\frac {\left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1}\right)*\left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1},{\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}}={\frac {\left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1}\right)*\left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}},}$$

¿Dónde está el producto escalar modificado?${\displaystyle *}$ ${\displaystyle {\vec {u}}*{\vec {v}}=u_{x}v_{x}+{\color {blue}q}\,u_{y}v_{y}.}$

Cualquier elipse puede describirse en un sistema de coordenadas adecuado mediante una ecuación . La ecuación de la tangente en un punto de la elipse es Si se permite que el punto sea un punto arbitrario diferente del origen, entonces ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$${\displaystyle P_{1}=\left(x_{1},\,y_{1}\right)}$${\displaystyle {\tfrac {x_{1}x}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}y}{b^{2}}}=1.}$${\displaystyle P_{1}=\left(x_{1},\,y_{1}\right)}$

El punto se asigna a la línea , no al centro de la elipse.${\displaystyle P_{1}=\left(x_{1},\,y_{1}\right)\neq (0,\,0)}$${\displaystyle {\tfrac {x_{1}x}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}y}{b^{2}}}=1}$

Esta relación entre puntos y líneas es una biyección .

Los mapas de funciones inversas

• línea sobre el punto y${\displaystyle y=mx+d,\ d\neq 0}$${\displaystyle \left(-{\tfrac {ma^{2}}{d}},\,{\tfrac {b^{2}}{d}}\right)}$
• línea sobre el punto${\displaystyle x=c,\ c\neq 0}$${\displaystyle \left({\tfrac {a^{2}}{c}},\,0\right).}$

Esta relación entre puntos y líneas generadas por una cónica se denomina relación polo-polar o polaridad . El polo es el punto y el polar la línea.

Mediante el cálculo se pueden confirmar las siguientes propiedades de la relación polo-polar de la elipse:

• Para un punto (polo) de la elipse, la polar es la tangente en ese punto (ver diagrama: ).${\displaystyle P_{1},\,p_{1}}$
• Para un polo fuera de la elipse, los puntos de intersección de su polar con la elipse son los puntos de tangencia de las dos tangentes que pasan (ver diagrama: ).${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle P_{2},\,p_{2}}$
• Para un punto dentro de la elipse, el polar no tiene ningún punto en común con la elipse (ver diagrama: ).${\displaystyle F_{1},\,l_{1}}$

1. El punto de intersección de dos polares es el polo de la línea que pasa por sus polos.
2. Los focos y , respectivamente, y las directrices y , respectivamente, pertenecen a pares de polos y polares. Como son pares polares pares con respecto al círculo , las directrices se pueden construir con compás y regla (véase Geometría inversa ).${\displaystyle (c,\,0)}$${\displaystyle (-c,\,0)}$${\displaystyle x={\tfrac {a^{2}}{c}}}$${\displaystyle x=-{\tfrac {a^{2}}{c}}}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}$

También existen relaciones polo-polares para hipérbolas y parábolas.

Todas las propiedades métricas que se indican a continuación se refieren a una elipse con ecuación

a excepción de la sección sobre el área encerrada por una elipse inclinada, donde se dará la forma generalizada de la ecuación ( 1 ).

El área encerrada por una elipse es: ${\displaystyle A_{\text{ellipse}}}$

donde y son las longitudes de los semiejes mayor y semieje menor, respectivamente. La fórmula del área es intuitiva: comience con un círculo de radio (por lo que su área es ) y estírelo por un factor para hacer una elipse. Esto escala el área por el mismo factor: ^[18] Sin embargo, usar el mismo enfoque para la circunferencia sería falaz: compare las integrales y . También es fácil demostrar rigurosamente la fórmula del área usando la integración de la siguiente manera. La ecuación ( 1 ) se puede reescribir como Para esta curva es la mitad superior de la elipse. Entonces, el doble de la integral de sobre el intervalo será el área de la elipse: ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \pi ab}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \pi b^{2}}$${\displaystyle a/b}$${\displaystyle \pi b^{2}(a/b)=\pi ab.}$ ${\textstyle \int f(x)\,dx}$${\textstyle \int {\sqrt {1+f'^{2}(x)}}\,dx}$${\textstyle y(x)=b{\sqrt {1-x^{2}/a^{2}}}.}$${\displaystyle x\in [-a,a],}$${\displaystyle y(x)}$${\displaystyle [-a,a]}$$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{ellipse}}&=\int _{-a}^{a}2b{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\,dx\\&={\frac {b}{a}}\int _{-a}^{a}2{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx.\end{aligned}}}$$

La segunda integral es el área de un círculo de radio que es, Entonces ${\displaystyle a,}$${\displaystyle \pi a^{2}.}$$${\displaystyle A_{\text{ellipse}}={\frac {b}{a}}\pi a^{2}=\pi ab.}$$

Una elipse definida implícitamente por tiene área${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1}$${\displaystyle 2\pi /{\sqrt {4AC-B^{2}}}.}$

El área también se puede expresar en términos de excentricidad y la longitud del semieje mayor como (obtenido al resolver el aplanamiento y luego calcular el semieje menor). ${\displaystyle a^{2}\pi {\sqrt {1-e^{2}}}}$

Hasta ahora hemos tratado con elipses erectas , cuyos ejes mayor y menor son paralelos a los ejes y . Sin embargo, algunas aplicaciones requieren elipses inclinadas . En la óptica de haces de partículas cargadas, por ejemplo, el área encerrada de una elipse erecta o inclinada es una propiedad importante del haz, su emitancia . En este caso, todavía se aplica una fórmula simple, a saber: ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

donde , son los puntos de corte y , son los valores máximos. Se deduce directamente del teorema de Apolonio. ${\displaystyle y_{\text{int}}}$${\displaystyle x_{\text{int}}}$${\displaystyle x_{\text{max}}}$${\displaystyle y_{\text{max}}}$

La circunferencia de una elipse es: ${\displaystyle C}$$${\displaystyle C\,=\,4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta \,=\,4a\,E(e)}$$

donde nuevamente es la longitud del semieje mayor, es la excentricidad, y la función es la integral elíptica completa de segundo tipo , que en general no es una función elemental . ${\displaystyle a}$${\textstyle e={\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}}$${\displaystyle E}$$${\displaystyle E(e)\,=\,\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta }$$

La circunferencia de la elipse se puede evaluar en términos del uso de la media aritmético-geométrica de Gauss ; ^[19] este es un método iterativo que converge cuadráticamente (ver aquí para más detalles). ${\displaystyle E(e)}$

La serie infinita exacta es: donde es el factorial doble (extendido a números enteros impares negativos de la forma habitual, dando y ). $${\displaystyle {\begin{aligned}C&=2\pi a\left[{1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}e^{2}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {e^{4}}{3}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}{\frac {e^{6}}{5}}-\cdots }\right]\\&=2\pi a\left[1-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {e^{2n}}{2n-1}}\right]\\&=-2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {e^{2n}}{2n-1}},\end{aligned}}}$$${\displaystyle n!!}$${\displaystyle (-1)!!=1}$${\displaystyle (-3)!!=-1}$

Esta serie converge, pero al expandirla en términos de James Ivory , ^[20] Bessel ^[21] y Kummer ^[22] derivaron una expresión que converge mucho más rápidamente. Se escribe de manera más concisa en términos del coeficiente binomial con : Los coeficientes son ligeramente más pequeños (por un factor de ), pero también son numéricamente mucho más pequeños que excepto en y . Para excentricidades menores a 0,5 ( ), el error está en los límites del punto flotante de doble precisión después del término. ^[23]${\displaystyle h=(a-b)^{2}/(a+b)^{2},}$ ${\displaystyle n=1/2}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {C}{\pi (a+b)}}&=\sum _{n=0}^{\infty }{{\frac {1}{2}} \choose n}^{2}h^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-3)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}h^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-3)!!}{2^{n}n!}}\right)^{2}h^{n}\\&=1+{\frac {h}{4}}+{\frac {h^{2}}{64}}+{\frac {h^{3}}{256}}+{\frac {25\,h^{4}}{16384}}+{\frac {49\,h^{5}}{65536}}+{\frac {441\,h^{6}}{2^{20}}}+{\frac {1089\,h^{7}}{2^{22}}}+\cdots .\end{aligned}}}$$${\displaystyle 2n-1}$${\displaystyle h}$${\displaystyle e}$${\displaystyle h=e=0}$${\displaystyle h=e=1}$${\displaystyle h<0.005}$${\displaystyle h^{4}}$

Srinivasa Ramanujan dio dos aproximaciones cercanas para la circunferencia en el §16 de "Ecuaciones modulares y aproximaciones a "; ^[24] son ​​y donde tiene el mismo significado que el anterior. Los errores en estas aproximaciones, que se obtuvieron empíricamente, son del orden de y respectivamente. ${\displaystyle \pi }$$${\displaystyle C\approx \pi {\biggl [}3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}{\biggr ]}=\pi {\biggl [}3(a+b)-{\sqrt {3(a+b)^{2}+4ab}}{\biggr ]}}$$$${\displaystyle C\approx \pi \left(a+b\right)\left(1+{\frac {3h}{10+{\sqrt {4-3h}}}}\right),}$$${\displaystyle h}$${\displaystyle h^{3}}$${\displaystyle h^{5},}$

De manera más general, la longitud del arco de una porción de la circunferencia, en función del ángulo subtendido (o las coordenadas x de dos puntos cualesquiera en la mitad superior de la elipse), está dada por una integral elíptica incompleta . La mitad superior de una elipse está parametrizada por $${\displaystyle y=b\ {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\ }}~.}$$

Entonces la longitud del arco desde hasta es: ${\displaystyle s}$${\displaystyle \ x_{1}\ }$${\displaystyle \ x_{2}\ }$$${\displaystyle s=-b\int _{\arccos {\frac {x_{1}}{a}}}^{\arccos {\frac {x_{2}}{a}}}{\sqrt {\ 1+\left({\tfrac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\ \sin ^{2}z~}}\;dz~.}$$

Esto es equivalente a $${\displaystyle s=b\ \left[\;E\left(z\;{\Biggl |}\;1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)\;\right]_{z\ =\ \arccos {\frac {x_{2}}{a}}}^{\arccos {\frac {x_{1}}{a}}}}$$

donde es la integral elíptica incompleta de segundo tipo con parámetro${\displaystyle E(z\mid m)}$${\displaystyle m=k^{2}.}$

Algunos límites inferiores y superiores de la circunferencia de la elipse canónica son ^[25 ]${\displaystyle \ x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}=1\ }$${\displaystyle \ a\geq b\ }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}2\pi b&\leq C\leq 2\pi a\ ,\\\pi (a+b)&\leq C\leq 4(a+b)\ ,\\4{\sqrt {a^{2}+b^{2}\ }}&\leq C\leq {\sqrt {2\ }}\pi {\sqrt {a^{2}+b^{2}\ }}~.\end{aligned}}}$$

Aquí el límite superior es la circunferencia de un círculo concéntrico circunscrito que pasa por los puntos finales del eje mayor de la elipse, y el límite inferior es el perímetro de un rombo inscrito con vértices en los puntos finales de los ejes mayor y menor. ${\displaystyle \ 2\pi a\ }$ ${\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

La curvatura viene dada por:

${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{a^{2}b^{2}}}\left({\frac {x^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y^{2}}{b^{4}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}\ ,}$

y el radio de curvatura , ρ = 1/κ, en el punto : El radio de curvatura de una elipse, en función del ángulo θ desde el centro, es: donde e es la excentricidad. ${\displaystyle (x,y)}$$${\displaystyle \rho =a^{2}b^{2}\left({\frac {x^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y^{2}}{b^{4}}}\right)^{\frac {3}{2}}={\frac {1}{a^{4}b^{4}}}{\sqrt {\left(a^{4}y^{2}+b^{4}x^{2}\right)^{3}}}\ .}$$$${\displaystyle R(\theta )={\frac {a^{2}}{b}}{\biggl (}{\frac {1-e^{2}(2-e^{2})(\cos \theta )^{2})}{1-e^{2}(\cos \theta )^{2}}}{\biggr )}^{3/2}\,,}$$

Radio de curvatura en los dos vértices y los centros de curvatura: ${\displaystyle (\pm a,0)}$$${\displaystyle \rho _{0}={\frac {b^{2}}{a}}=p\ ,\qquad \left(\pm {\frac {c^{2}}{a}}\,{\bigg |}\,0\right)\ .}$$

Radio de curvatura en los dos covértices y los centros de curvatura: El lugar geométrico de todos los centros de curvatura se denomina evoluta . En el caso de una elipse, la evoluta es un astroide . ${\displaystyle (0,\pm b)}$$${\displaystyle \rho _{1}={\frac {a^{2}}{b}}\ ,\qquad \left(0\,{\bigg |}\,\pm {\frac {c^{2}}{b}}\right)\ .}$$

Las elipses aparecen en la geometría triangular como

1. Elipse de Steiner : elipse que pasa por los vértices del triángulo con centro en el baricentro,
2. inelipses : elipses que tocan los lados de un triángulo. Casos especiales son la inelipse de Steiner y la inelipse de Mandart .

Las elipses aparecen como secciones planas de las siguientes cuádricas :

• Elipsoide
• Cono elíptico
• Cilindro elíptico
• Hiperboloide de una lámina
• Hiperboloide de dos láminas

• 
  Elipsoide
• 
  Cono elíptico
• 
  Cilindro elíptico
• 
  Hiperboloide de una lámina
• 
  Hiperboloide de dos láminas

Si la superficie del agua se altera en un foco de un tanque de agua elíptico, las ondas circulares de esa perturbación, después de reflejarse en las paredes, convergen simultáneamente en un único punto: el segundo foco . Esto es consecuencia de que la longitud total del recorrido es la misma a lo largo de cualquier trayectoria de rebote en la pared entre los dos focos.

Similarly, if a light source is placed at one focus of an elliptic mirror, all light rays on the plane of the ellipse are reflected to the second focus. Since no other smooth curve has such a property, it can be used as an alternative definition of an ellipse. (In the special case of a circle with a source at its center all light would be reflected back to the center.) If the ellipse is rotated along its major axis to produce an ellipsoidal mirror (specifically, a prolate spheroid), this property holds for all rays out of the source. Alternatively, a cylindrical mirror with elliptical cross-section can be used to focus light from a linear fluorescent lamp along a line of the paper; such mirrors are used in some document scanners.

Sound waves are reflected in a similar way, so in a large elliptical room a person standing at one focus can hear a person standing at the other focus remarkably well. The effect is even more evident under a vaulted roof shaped as a section of a prolate spheroid. Such a room is called a whisper chamber. The same effect can be demonstrated with two reflectors shaped like the end caps of such a spheroid, placed facing each other at the proper distance. Examples are the National Statuary Hall at the United States Capitol (where John Quincy Adams is said to have used this property for eavesdropping on political matters); the Mormon Tabernacle at Temple Square in Salt Lake City, Utah; at an exhibit on sound at the Museum of Science and Industry in Chicago; in front of the University of Illinois at Urbana–Champaign Foellinger Auditorium; and also at a side chamber of the Palace of Charles V, in the Alhambra.

In the 17th century, Johannes Kepler discovered that the orbits along which the planets travel around the Sun are ellipses with the Sun [approximately] at one focus, in his first law of planetary motion. Later, Isaac Newton explained this as a corollary of his law of universal gravitation.

More generally, in the gravitational two-body problem, if the two bodies are bound to each other (that is, the total energy is negative), their orbits are similar ellipses with the common barycenter being one of the foci of each ellipse. The other focus of either ellipse has no known physical significance. The orbit of either body in the reference frame of the other is also an ellipse, with the other body at the same focus.

Keplerian elliptical orbits are the result of any radially directed attraction force whose strength is inversely proportional to the square of the distance. Thus, in principle, the motion of two oppositely charged particles in empty space would also be an ellipse. (However, this conclusion ignores losses due to electromagnetic radiation and quantum effects, which become significant when the particles are moving at high speed.)

For elliptical orbits, useful relations involving the eccentricity ${\displaystyle e}$ are: $${\displaystyle {\begin{aligned}e&={\frac {r_{a}-r_{p}}{r_{a}+r_{p}}}={\frac {r_{a}-r_{p}}{2a}}\\r_{a}&=(1+e)a\\r_{p}&=(1-e)a\end{aligned}}}$$

where

• ${\displaystyle r_{a}}$ is the radius at apoapsis, i.e., the farthest distance of the orbit to the barycenter of the system, which is a focus of the ellipse
• ${\displaystyle r_{p}}$ is the radius at periapsis, the closest distance
• ${\displaystyle a}$ is the length of the semi-major axis

Also, in terms of ${\displaystyle r_{a}}$ and ${\displaystyle r_{p}}$, the semi-major axis ${\displaystyle a}$ is their arithmetic mean, the semi-minor axis ${\displaystyle b}$ is their geometric mean, and the semi-latus rectum ${\displaystyle \ell }$ is their harmonic mean. In other words, $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {r_{a}+r_{p}}{2}}\\[2pt]b&={\sqrt {r_{a}r_{p}}}\\[2pt]\ell &={\frac {2}{{\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{p}}}}}={\frac {2r_{a}r_{p}}{r_{a}+r_{p}}}.\end{aligned}}}$$

The general solution for a harmonic oscillator in two or more dimensions is also an ellipse. Such is the case, for instance, of a long pendulum that is free to move in two dimensions; of a mass attached to a fixed point by a perfectly elastic spring; or of any object that moves under influence of an attractive force that is directly proportional to its distance from a fixed attractor. Unlike Keplerian orbits, however, these "harmonic orbits" have the center of attraction at the geometric center of the ellipse, and have fairly simple equations of motion.

In electronics, the relative phase of two sinusoidal signals can be compared by feeding them to the vertical and horizontal inputs of an oscilloscope. If the Lissajous figure display is an ellipse, rather than a straight line, the two signals are out of phase.

Two non-circular gears with the same elliptical outline, each pivoting around one focus and positioned at the proper angle, turn smoothly while maintaining contact at all times. Alternatively, they can be connected by a link chain or timing belt, or in the case of a bicycle the main chainring may be elliptical, or an ovoid similar to an ellipse in form. Such elliptical gears may be used in mechanical equipment to produce variable angular speed or torque from a constant rotation of the driving axle, or in the case of a bicycle to allow a varying crank rotation speed with inversely varying mechanical advantage.

Elliptical bicycle gears make it easier for the chain to slide off the cog when changing gears.^[26]

An example gear application would be a device that winds thread onto a conical bobbin on a spinning machine. The bobbin would need to wind faster when the thread is near the apex than when it is near the base.^[27]

• In a material that is optically anisotropic (birefringent), the refractive index depends on the direction of the light. The dependency can be described by an index ellipsoid. (If the material is optically isotropic, this ellipsoid is a sphere.)
• In lamp-pumped solid-state lasers, elliptical cylinder-shaped reflectors have been used to direct light from the pump lamp (coaxial with one ellipse focal axis) to the active medium rod (coaxial with the second focal axis).^[28]
• In laser-plasma produced EUV light sources used in microchip lithography, EUV light is generated by plasma positioned in the primary focus of an ellipsoid mirror and is collected in the secondary focus at the input of the lithography machine.^[29]

In statistics, a bivariate random vector ${\displaystyle (X,Y)}$ is jointly elliptically distributed if its iso-density contours—loci of equal values of the density function—are ellipses. The concept extends to an arbitrary number of elements of the random vector, in which case in general the iso-density contours are ellipsoids. A special case is the multivariate normal distribution. The elliptical distributions are important in finance because if rates of return on assets are jointly elliptically distributed then all portfolios can be characterized completely by their mean and variance—that is, any two portfolios with identical mean and variance of portfolio return have identical distributions of portfolio return.^[30][31]

Drawing an ellipse as a graphics primitive is common in standard display libraries, such as the MacIntosh QuickDraw API, and Direct2D on Windows. Jack Bresenham at IBM is most famous for the invention of 2D drawing primitives, including line and circle drawing, using only fast integer operations such as addition and branch on carry bit. M. L. V. Pitteway extended Bresenham's algorithm for lines to conics in 1967.^[32] Another efficient generalization to draw ellipses was invented in 1984 by Jerry Van Aken.^[33]

In 1970 Danny Cohen presented at the "Computer Graphics 1970" conference in England a linear algorithm for drawing ellipses and circles. In 1971, L. B. Smith published similar algorithms for all conic sections and proved them to have good properties.^[34] These algorithms need only a few multiplications and additions to calculate each vector.

It is beneficial to use a parametric formulation in computer graphics because the density of points is greatest where there is the most curvature. Thus, the change in slope between each successive point is small, reducing the apparent "jaggedness" of the approximation.

Drawing with Bézier paths

Composite Bézier curves may also be used to draw an ellipse to sufficient accuracy, since any ellipse may be construed as an affine transformation of a circle. The spline methods used to draw a circle may be used to draw an ellipse, since the constituent Bézier curves behave appropriately under such transformations.

It is sometimes useful to find the minimum bounding ellipse on a set of points. The ellipsoid method is quite useful for solving this problem.

• Besant, W.H. (1907). "Chapter III. The Ellipse". Conic Sections. London: George Bell and Sons. p. 50.
• Coxeter, H.S.M. (1969). Introduction to Geometry (2nd ed.). New York: Wiley. pp. 115–9.
• Meserve, Bruce E. (1983) [1959], Fundamental Concepts of Geometry, Dover Publications, ISBN 978-0-486-63415-9
• Miller, Charles D.; Lial, Margaret L.; Schneider, David I. (1990). Fundamentals of College Algebra (3rd ed.). Scott Foresman/Little. p. 381. ISBN 978-0-673-38638-0.
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042

• Quotations related to Ellipse at Wikiquote
• Media related to Ellipses at Wikimedia Commons
• ellipse at PlanetMath.
• Weisstein, Eric W. "Ellipse". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Ellipse as special case of hypotrochoid". MathWorld.
• Apollonius' Derivation of the Ellipse at Convergence
• The Shape and History of The Ellipse in Washington, D.C. by Clark Kimberling
• Ellipse circumference calculator
• Collection of animated ellipse demonstrations
• Ivanov, AB (2001) [1994], "Elipse", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Trasmallo según Frans van Schooten
• "¿Por qué no existe una ecuación para el perímetro de una elipse?" en YouTube por Matt Parker