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Articulo de referencia

Pentomino

Los 12 pentominós pueden formar 18 figuras diferentes, de las cuales 6 (los pentominós quirales) son simétricas. Un pentominó (o 5-omino ) es un poliomino de orden 5; es decir, ...

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Los 12 pentominós pueden formar 18 figuras diferentes, de las cuales 6 (los pentominós quirales) son simétricas.

Un pentominó (o 5-omino ) es un poliomino de orden 5; es decir, un polígono plano formado por 5 cuadrados iguales unidos por sus aristas. El término deriva de la palabra griega para " 5 " y " dominó ". Si no se consideran las rotaciones ni las reflexiones como figuras distintas, existen 12 pentominós libres diferentes . Si se consideran las reflexiones como figuras distintas, existen 18 pentominós unilaterales . Si también se consideran las rotaciones como figuras distintas, existen 63 pentominós fijos .

Los rompecabezas y juegos de teselado de pentominós son populares en las matemáticas recreativas . [ 1 ] Por lo general, los videojuegos como las imitaciones de Tetris y Rampart consideran que los reflejos en un espejo son distintos y, por lo tanto, utilizan el conjunto completo de 18 pentominós de una sola cara. (Tetris utiliza figuras de 4 cuadrados llamadas tetrominos ).

Cada uno de los doce pentominós satisface el criterio de Conway ; por lo tanto, cada pentominó es capaz de teselar el plano . [ 2 ] Cada pentominó quiral puede teselar el plano sin ser reflejado. [ 3 ]

Historia

Comparación de los sistemas de nomenclatura para las 12 posibles figuras de pentominós. La primera convención de nomenclatura es la utilizada en este artículo. El segundo método es el de Conway.

El primer rompecabezas que contenía un conjunto completo de pentominós apareció en el libro de Henry Dudeney, The Canterbury Puzzles , publicado en 1907. [ 4 ] Los primeros recubrimientos de rectángulos con un conjunto completo de pentominós aparecieron en el Problemist Fairy Chess Supplement en 1935, y se exploraron más problemas de recubrimiento en el PFCS y su sucesor, el Fairy Chess Review . [ 5 ] [ 6 ] : 127

Los pentominós fueron definidos formalmente por el profesor estadounidense Solomon W. Golomb a partir de 1953 y posteriormente en su libro de 1965 , Polyominoes: Puzzles, Patterns, Problems, and Packings . [ 1 ] [ 7 ] Fueron presentados al público general por Martin Gardner en su columna Mathematical Games de octubre de 1965 en Scientific American . Golomb acuñó el término "pentominó" del griego antiguo πέντε / pénte , "cinco", y el -ominó de dominó , interpretando de forma fantasiosa la "d-" de "dominó" como si fuera una forma del prefijo griego "di-" (dos). Golomb nombró los 12 pentominós libres con letras del alfabeto latino a las que se asemejan, utilizando la mnemotecnia FILiPiNo junto con el final del alfabeto (TUVWXYZ). [ 8 ] : 23

John Horton Conway propuso un sistema de etiquetado alternativo para los pentominós, utilizando O en lugar de I, Q en lugar de L, R en lugar de F y S en lugar de N. El parecido con las letras es más forzado, especialmente en el caso del pentominó O, pero este sistema tiene la ventaja de utilizar 12 letras consecutivas del alfabeto. Se utiliza por convención al hablar del Juego de la Vida de Conway , donde, por ejemplo, se habla del pentominó R en lugar del pentominó F.

Simetría

  • F, L, N, P e Y pueden orientarse de 8 maneras: 4 por rotación y 4 más para la imagen especular. Su grupo de simetría consiste únicamente en la aplicación identidad .
  • Las figuras T y U pueden orientarse de cuatro maneras mediante rotación. Tienen un eje de reflexión alineado con las líneas de la cuadrícula. Su grupo de simetría tiene dos elementos: la identidad y la reflexión respecto de una línea paralela a los lados de los cuadrados.
  • V y W también pueden orientarse de cuatro maneras mediante rotación. Tienen un eje de simetría de reflexión a 45° con respecto a las líneas de la cuadrícula. Su grupo de simetría tiene dos elementos: la identidad y una reflexión diagonal.
  • El eje Z puede orientarse de cuatro maneras: dos mediante rotación y dos más para su imagen especular. Posee simetría puntual, también conocida como simetría rotacional de orden 2. Su grupo de simetría tiene dos elementos: la identidad y la rotación de 180°.
  • Puedo orientarme de dos maneras mediante rotación. Posee dos ejes de simetría de reflexión, ambos alineados con las líneas de la cuadrícula. Su grupo de simetría tiene cuatro elementos: la identidad, dos reflexiones y la rotación de 180°. Es el grupo diedral de orden 2, también conocido como el grupo de Klein de cuatro dimensiones .
  • El eje X solo puede orientarse de una manera. Posee cuatro ejes de simetría de reflexión, alineados con las líneas de la cuadrícula y las diagonales, y simetría rotacional de orden 4. Su grupo de simetría, el grupo diedral de orden 4, tiene ocho elementos.

Los pentominós F, L, N, P, Y y Z son quirales ; al añadir sus reflexiones (F′, J, N′, Q, Y′, S), el número de pentominós de una sola cara asciende a 18. Si también se consideran rotaciones distintas, los pentominós de la primera categoría cuentan ocho veces, los de las tres categorías siguientes (T, U, V, W, Z) cuatro veces, I dos veces y X solo una vez. Esto da como resultado 5 × 8 + 5 × 4 + 2 + 1 = 63 pentominós fijos .

Se ilustran las ocho orientaciones posibles de los pentominós F, L, N, P e Y, y las cuatro orientaciones posibles de los pentominós T, U, V, W y Z:

En general, para las figuras 2D existen dos categorías más:

  • Ser orientable en 2 formas mediante una rotación de 90°, con dos ejes de simetría de reflexión, ambos alineados con las diagonales. Este tipo de simetría requiere al menos un heptomino .
  • Ser orientable en 2 direcciones, que son imágenes especulares una de la otra, por ejemplo una esvástica . Este tipo de simetría requiere al menos un octominó .

Juegos

Rompecabezas de mosaico (2D)

Ejemplos de teselaciones

Un rompecabezas de pentominós estándar consiste en cubrir una caja rectangular con los pentominós, sin superponerlos ni dejar huecos. Cada uno de los 12 pentominós tiene un área de 5 unidades cuadradas, por lo que la caja debe tener un área de 60 unidades cuadradas. Los tamaños posibles son 6×10, 5×12, 4×15 y 3×20.

El caso 6×10 fue resuelto por primera vez en 1960 por el matrimonio formado por Colin Brian Haselgrove y Jenifer Haselgrove . [ 9 ] Hay exactamente 2339 soluciones, excluyendo las variaciones triviales obtenidas mediante rotación y reflexión del rectángulo completo, pero incluyendo la rotación y reflexión de un subconjunto de pentominós (lo que a veces proporciona una solución adicional de forma sencilla). La caja 5×12 tiene 1010 soluciones, la caja 4×15 tiene 368 soluciones y la caja 3×20 tiene solo 2 soluciones (una se muestra en la figura y la otra se puede obtener a partir de la solución mostrada rotando, en su conjunto, el bloque formado por los pentominós L, N, F, T, W, Y y Z).

Un rompecabezas algo más sencillo (y simétrico), el rectángulo de 8×8 con un agujero de 2×2 en el centro, fue resuelto por Dana Scott ya en 1958. [ 10 ] Existen 65 soluciones. El algoritmo de Scott fue una de las primeras aplicaciones de un programa informático de retroceso . Variaciones de este rompecabezas permiten colocar los cuatro agujeros en cualquier posición. Uno de los enlaces externos utiliza esta regla.

Se han descrito algoritmos eficientes para resolver este tipo de problemas, por ejemplo, por Donald Knuth . [ 11 ] Al ejecutarse en hardware moderno , estos rompecabezas de pentominós ahora se pueden resolver en cuestión de segundos.

Patrones irresolubles

La mayoría de estos patrones son resolubles, con la excepción de colocar cada par de agujeros cerca de dos esquinas del tablero de tal manera que ambas esquinas solo puedan ser ocupadas por un pentominó P, o forzar un pentominó T o U en una esquina de tal forma que se cree otro agujero.

El conjunto de pentominós es el único conjunto de poliominós libres que se puede empaquetar dentro de un rectángulo, con la excepción de los conjuntos triviales de monominós y dominós , cada uno de los cuales consta de un solo rectángulo.

Cada pentominó se puede dividir en nueve pentominós, como se muestra.

Rompecabezas de rellenar cajas (3D)

Ejemplos de soluciones a rompecabezas de pentacube de las dimensiones indicadas, dibujadas capa por capa.

Un pentacubio es un policubo de cinco cubos. De los 29 pentacubios de una sola cara, exactamente doce son planos (de una sola capa) y corresponden a los doce pentominós extruidos a una profundidad de un cuadrado.

Un rompecabezas de pentacube o pentominó 3D consiste en llenar una caja tridimensional con los 12 pentacubos planos, es decir, cubrirla sin superponerlos ni dejar huecos. Dado que cada pentacube tiene un volumen de 5 unidades, la caja debe tener un volumen de 60 unidades. Los tamaños posibles son 2×3×10 (12 soluciones), 2×5×6 (264 soluciones) y 3×4×5 (3940 soluciones). [ 12 ]

Como alternativa, también se podrían considerar combinaciones de cinco cubos que sean tridimensionales, es decir, aquellas que incluyan más que las 12 combinaciones de cubos planos de una sola capa. Sin embargo, además de los 12 pentacubos planos formados al extruir los pentominós, hay 6 conjuntos de pares quirales y 5 piezas adicionales, lo que da un total de 29 piezas de pentacubo potenciales , lo que da un total de 145 cubos (=29×5); como 145 solo caben en una caja de 29×5×1, no se pueden formar incluyendo los pentominós no planos.

Juegos de mesa comerciales

Existen juegos de mesa de habilidad basados ​​enteramente en pentominós. Estos juegos suelen llamarse simplemente "Pentominós".

Uno de los juegos se juega en una cuadrícula de 8×8 por dos o tres jugadores. Los jugadores se turnan para colocar pentominós en el tablero de manera que no se superpongan con las fichas existentes y ninguna ficha se use más de una vez. El objetivo es ser el último jugador en colocar una ficha en el tablero. Esta versión de Pentominós se llama "Juego de Golomb". [ 13 ]

La versión para dos jugadores fue resuelta de forma débil en 1996 por Hilarie Orman. Se demostró que era una victoria para el primer jugador tras examinar alrededor de 22 mil millones de posiciones del tablero. [ 14 ]

Los pentominós y figuras similares también son la base de otros juegos de fichas, patrones y rompecabezas. Por ejemplo, el juego de mesa francés Blokus se juega con 4 conjuntos de poliominós de colores , cada uno compuesto por un pentominó (12), un tetrominó (5), un triominó (2), un dominó (1) y un monominó (1). Al igual que en el juego de pentominós , el objetivo es usar todas las fichas, y se otorga una bonificación si se coloca el monominó en el último movimiento. Gana el jugador con menos fichas restantes.

El juego de la Catedral también se basa en poliominós . [ 15 ]

Parker Brothers lanzó en 1966 un juego de mesa de pentominós multijugador llamado Universe. Su temática se basa en una escena eliminada de la película de 1968 2001: Una odisea del espacio, en la que un astronauta juega una partida de pentominós para dos jugadores contra la computadora HAL 9000 ( se conservó una escena con otro astronauta jugando al ajedrez ). La parte frontal de la caja del juego muestra escenas de la película, así como un lema que lo describe como el "juego del futuro". El juego incluye cuatro conjuntos de pentominós en rojo, amarillo, azul y blanco. El tablero tiene dos áreas de juego: un área base de 10x10 para dos jugadores con 25 casillas adicionales (dos filas más de 10 y una fila desplazada de cinco) en cada lado para más de dos jugadores.

El fabricante de juegos Lonpos ofrece varios juegos que utilizan los mismos pentominós, pero en diferentes tableros. Su juego 101 tiene un tablero de 5 x 11. Al cambiar la forma del tablero, se pueden jugar miles de rompecabezas, aunque solo una pequeña selección de estos está disponible en formato impreso.

Juegos de vídeo

Literatura

Los pentominós fueron un elemento destacado de una subtrama importante de la novela Imperial Earth de Arthur C. Clarke , publicada en 1975. Clarke también escribió un ensayo en el que describió el juego y cómo se aficionó a él. [ 16 ]

También aparecieron en Chasing Vermeer de Blue Balliett , que se publicó en 2003 e ilustró Brett Helquist , así como en sus secuelas, The Wright 3 y The Calder Game . [ 17 ]

En el crucigrama del New York Times del 27 de junio de 2012, la pista para una palabra de 11 letras en la casilla 37 horizontal era "Conjunto completo de 12 formas formadas por los cuadrados negros de este crucigrama". [ 18 ]

Véase también

Pedidos anteriores y siguientes

Otros

Notas

  1. ^ " Eric Harshbarger - Pentominós" .
  2. ↑ Rhoads, Glenn C. (2003). Planar Tilings and the Search for an Aperiodic Prototile . Tesis doctoral, Universidad de Rutgers.
  3. ↑ Gardner, Martin (agosto de 1975). "Más sobre el recubrimiento del plano: las posibilidades de los poliominós, polidiamantes y polihexágonos". Scientific American . 233 (2): 112– 115. doi : 10.1038/scientificamerican0775-112 .
  4. ↑ "El libro electrónico del Proyecto Gutenberg de Los rompecabezas de Canterbury, por Henry Ernest Dudeney" . www.gutenberg.org . Consultado el 26 de marzo de 2022 .
  5. ↑ "Problemas de disección en PFCS/FCR: Resumen de resultados en orden cronológico" . www.mayhematics.com . Consultado el 26 de marzo de 2022 .
  6. ↑ Gardner, Martin (1988). "13: Poliominós" . Hexaflexágonos y otras diversiones matemáticas . The University of Chicago Press. págs. 124–140 . ISBN  0-226-28254-6.
  7. ↑ "people.rit.edu - Introducción - poliominó y pentominó" .
  8. ↑ Golomb, Solomon W. ; Lushbaugh, Warren (1965). Poliominós . Nueva York: Charles Scribner's Sons. LCCN 64-24805 . 
  9. ↑ CB Haselgrove; Jenifer Haselgrove (octubre de 1960). "Un programa informático para pentominós" (PDF) . Eureka . 23 : 16–18 . Archivado del original (PDF) el 18 de mayo de 2024. Consultado el 2 de febrero de 2021 .
  10. ↑ Dana S. Scott (1958). "Programación de un rompecabezas combinatorio". Informe técnico n.° 1, Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Princeton.
  11. ↑ Donald E. Knuth. "Dancing links" . Incluye un resumen de los artículos de Scott y Fletcher.
  12. ↑ Barequet, Gill; Tal, Shahar (2010). «Resolución de rompecabezas reticulares generales». En Lee, Der-Tsai; Chen, Danny Z.; Ying, Shi (eds.). Fronteras en algoritmia . Lecture Notes in Computer Science. Vol. 6213. Berlín Heidelberg: Springer Science+Business Media . pp. 124–135 . doi : 10.1007/978-3-642-14553-7_14 . ISBN   978-3-642-14552-0.
  13. ↑ Pritchard (1982) , pág. 83.
  14. ↑ Hilarie K. Orman. Pentominós: Una victoria para el primer jugador (Pdf).
  15. ↑ "Preguntas frecuentes" .
  16. ↑ ¿ Podrías resolver los pentominós? por Arthur C. Clarke, Sunday Telegraph Magazine , 14 de septiembre de 1975; reimpreso en Clarke's Ascent to Orbit: A Scientific Autobiography , Nueva York: John Wiley & Sons, 1984. ISBN 047187910X
  17. ↑ Tras los pasos de Vermeer , de Blue Balliett, Scholastic Paperbacks, ISBN 0439372976
  18. ↑ Buckley, Mike (27 de junio de 2012). Shortz, Will (ed.). "El crucigrama" . New York Times . Consultado el 30 de julio de 2020 .

Referencias

  • Tras la pista de Vermeer , con información sobre el libro Tras la pista de Vermeer y un tablero de pentominós interactivo con función de arrastrar y soltar.
  • Pritchard, DB (1982). "El juego de Golomb". Juegos mentales . Penguin Books Ltd. págs. 83–85 . ISBN  0-14-00-5682-3.
  • Configuraciones y soluciones de pentominos. Una lista exhaustiva de soluciones a muchos de los problemas clásicos que muestra cómo se relaciona cada solución con las demás.
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