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Articulo de referencia

Pentomino

The 12 pentominoes can form 18 different shapes, with 6 of them (the chiral pentominoes) being mirrored. A pentomino (or 5-omino ) is a polyomino of order 5; that is, a polygon ...

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The 12 pentominoes can form 18 different shapes, with 6 of them (the chiral pentominoes) being mirrored.

A pentomino (or 5-omino) is a polyomino of order 5; that is, a polygon in the plane made of 5 equal-sized squares connected edge to edge. The term is derived from the Greek word for '5' and "domino". When rotations and reflections are not considered to be distinct shapes, there are 12 different free pentominoes. When reflections are considered distinct, there are 18 one-sided pentominoes. When rotations are also considered distinct, there are 63 fixed pentominoes.

Pentomino tiling puzzles and games are popular in recreational mathematics.[1] Usually, video games such as Tetris imitations and Rampart consider mirror reflections to be distinct, and thus use the full set of 18 one-sided pentominoes. (Tetris itself uses 4-square shapes called tetrominos.)

Each of the twelve pentominoes satisfies the Conway criterion; hence, every pentomino is capable of tiling the plane.[2] Each chiral pentomino can tile the plane without being reflected.[3]

History

Comparison of labeling schemes for the 12 possible pentomino shapes. The first naming convention is the one used in this article. The second method is Conway's.

The earliest puzzle containing a complete set of pentominoes appeared in Henry Dudeney's book The Canterbury Puzzles, published in 1907.[4] The earliest tilings of rectangles with a complete set of pentominoes appeared in the Problemist Fairy Chess Supplement in 1935, and further tiling problems were explored in the PFCS, and its successor, the Fairy Chess Review.[5][6]:127

Los pentominós fueron definidos formalmente por el profesor estadounidense Solomon W. Golomb a partir de 1953 y posteriormente en su libro de 1965 , Polyominoes: Puzzles, Patterns, Problems, and Packings . [ 1 ] [ 7 ] Fueron presentados al público general por Martin Gardner en su columna Mathematical Games de octubre de 1965 en Scientific American . Golomb acuñó el término "pentominó" del griego antiguo πέντε / pénte , "cinco", y el -ominó de dominó , interpretando de forma fantasiosa la "d-" de "dominó" como si fuera una forma del prefijo griego "di-" (dos). Golomb nombró los 12 pentominós libres con letras del alfabeto latino a las que se asemejan, utilizando la mnemotecnia FILiPiNo junto con el final del alfabeto (TUVWXYZ). [ 8 ] : 23 El maestro artesano japonés Saburo Oguro también popularizó un juego de pentominós de madera basado en los símbolos del zodíaco chino , lo que llevó a la proliferación a gran escala de rompecabezas de poliominós. [ 9 ]

John Horton Conway propuso un sistema de etiquetado alternativo para los pentominós, utilizando O en lugar de I, Q en lugar de L, R en lugar de F y S en lugar de N. El parecido con las letras es más forzado, especialmente en el caso del pentominó O, pero este sistema tiene la ventaja de utilizar 12 letras consecutivas del alfabeto. Se utiliza por convención al hablar del Juego de la Vida de Conway , donde, por ejemplo, se habla del pentominó R en lugar del pentominó F.

Simetría

  • F, L, N, P e Y pueden orientarse de 8 maneras: 4 por rotación y 4 más para la imagen especular. Su grupo de simetría consiste únicamente en la aplicación identidad .
  • Las figuras T y U pueden orientarse de cuatro maneras mediante rotación. Tienen un eje de reflexión alineado con las líneas de la cuadrícula. Su grupo de simetría tiene dos elementos: la identidad y la reflexión respecto de una línea paralela a los lados de los cuadrados.
  • V y W también pueden orientarse de cuatro maneras mediante rotación. Tienen un eje de simetría de reflexión a 45° con respecto a las líneas de la cuadrícula. Su grupo de simetría tiene dos elementos: la identidad y una reflexión diagonal.
  • El eje Z puede orientarse de cuatro maneras: dos mediante rotación y dos más para su imagen especular. Posee simetría puntual, también conocida como simetría rotacional de orden 2. Su grupo de simetría tiene dos elementos: la identidad y la rotación de 180°.
  • I can be oriented in 2 ways by rotation. It has two axes of reflection symmetry, both aligned with the gridlines. Its symmetry group has four elements, the identity, two reflections and the 180° rotation. It is the dihedral group of order 2, also known as the Klein four-group.
  • X can be oriented in only one way. It has four axes of reflection symmetry, aligned with the gridlines and the diagonals, and rotational symmetry of order 4. Its symmetry group, the dihedral group of order 4, has eight elements.

The F, L, N, P, Y, and Z pentominoes are chiral; adding their reflections (F′, J, N′, Q, Y′, S) brings the number of one-sided pentominoes to 18. If rotations are also considered distinct, then the pentominoes from the first category count eightfold, the ones from the next three categories (T, U, V, W, Z) count fourfold, I counts twice, and X counts only once. This results in 5×8 + 5×4 + 2 + 1 = 63 fixed pentominoes.

The eight possible orientations of the F, L, N, P, and Y pentominoes, and the four possible orientations of the T, U, V, W, and Z pentominoes are illustrated:

For 2D figures in general there are two more categories:

  • Being orientable in 2 ways by a rotation of 90°, with two axes of reflection symmetry, both aligned with the diagonals. This type of symmetry requires at least a heptomino.
  • Being orientable in 2 ways, which are each other's mirror images, for example a swastika. This type of symmetry requires at least an octomino.

Games

Tiling puzzle (2D)

Example tilings

A standard pentomino puzzle is to tile a rectangular box with the pentominoes, i.e. cover it without overlap and without gaps. Each of the 12 pentominoes has an area of 5 unit squares, so the box must have an area of 60 units. Possible sizes are 6×10, 5×12, 4×15 and 3×20.

The 6×10 case was first solved in 1960 by married couple Colin Brian Haselgrove and Jenifer Haselgrove.[10] There are exactly 2,339 solutions, excluding trivial variations obtained by rotation and reflection of the whole rectangle but including rotation and reflection of a subset of pentominoes (which sometimes provides an additional solution in a simple way). The 5×12 box has 1010 solutions, the 4×15 box has 368 solutions, and the 3×20 box has just 2 solutions (one is shown in the figure, and the other one can be obtained from the solution shown by rotating, as a whole, the block consisting of the L, N, F, T, W, Y, and Z pentominoes).

Un rompecabezas algo más sencillo (y simétrico), el rectángulo de 8×8 con un agujero de 2×2 en el centro, fue resuelto por Dana Scott ya en 1958. [ 11 ] Existen 65 soluciones. El algoritmo de Scott fue una de las primeras aplicaciones de un programa informático de retroceso . Variaciones de este rompecabezas permiten colocar los cuatro agujeros en cualquier posición. Uno de los enlaces externos utiliza esta regla.

Se han descrito algoritmos eficientes para resolver este tipo de problemas, por ejemplo, por Donald Knuth . [ 12 ] Al ejecutarse en hardware moderno , estos rompecabezas de pentominós ahora se pueden resolver en cuestión de segundos.

Patrones irresolubles

La mayoría de estos patrones son resolubles, con la excepción de colocar cada par de agujeros cerca de dos esquinas del tablero de tal manera que ambas esquinas solo puedan ser ocupadas por un pentominó P, o forzar un pentominó T o U en una esquina de tal forma que se cree otro agujero.

El conjunto de pentominós es el único conjunto de poliominós libres que se puede empaquetar dentro de un rectángulo, con la excepción de los conjuntos triviales de monominós y dominós , cada uno de los cuales consta de un solo rectángulo.

Cada pentominó se puede dividir en nueve pentominós, como se muestra.

Rompecabezas de rellenar cajas (3D)

Ejemplos de soluciones a rompecabezas de pentacube de las dimensiones indicadas, dibujadas capa por capa.

Un pentacubio es un policubo de cinco cubos. De los 29 pentacubios de una sola cara, exactamente doce son planos (de una sola capa) y corresponden a los doce pentominós extruidos a una profundidad de un cuadrado.

Un rompecabezas de pentacube o pentominó 3D consiste en llenar una caja tridimensional con los 12 pentacubes planos, es decir, cubrirla sin superponerlos ni dejar huecos. Dado que cada pentacube tiene un volumen de 5 unidades, la caja debe tener un volumen de 60 unidades. Los tamaños posibles son 2×3×10 (12 soluciones), 2×5×6 (264 soluciones) y 3×4×5 (3940 soluciones). [ 13 ]

Como alternativa, también se podrían considerar combinaciones de cinco cubos que sean tridimensionales, es decir, aquellas que incluyan más que las 12 combinaciones de cubos planos de una sola capa. Sin embargo, además de los 12 pentacubos planos formados al extruir los pentominós, hay 6 conjuntos de pares quirales y 5 piezas adicionales, lo que da un total de 29 piezas de pentacubo potenciales , lo que da un total de 145 cubos (=29×5); como 145 solo caben en una caja de 29×5×1, no se pueden formar incluyendo los pentominós no planos.

Juegos de mesa comerciales

Existen juegos de mesa de habilidad basados ​​enteramente en pentominós. Estos juegos suelen llamarse simplemente "Pentominós".

Uno de los juegos se juega en una cuadrícula de 8×8 entre dos o tres jugadores. Los jugadores se turnan para colocar pentominós en el tablero de manera que no se superpongan con las fichas existentes y ninguna ficha se use más de una vez. El objetivo es ser el último jugador en colocar una ficha en el tablero. Esta versión de Pentominós se llama "Juego de Golomb". [ 14 ]

La versión para dos jugadores fue resuelta de forma débil en 1996 por Hilarie Orman. Se demostró que era una victoria para el primer jugador tras examinar alrededor de 22 mil millones de posiciones del tablero. [ 15 ]

Los pentominós y figuras similares también son la base de otros juegos de fichas, patrones y rompecabezas. Por ejemplo, el juego de mesa francés Blokus se juega con 4 conjuntos de poliominós de colores , cada uno compuesto por un pentominó (12), un tetrominó (5), un triominó (2), un dominó (1) y un monominó (1). Al igual que en el juego de pentominós , el objetivo es usar todas las fichas, y se otorga una bonificación si se coloca el monominó en el último movimiento. Gana el jugador con menos fichas restantes.

El juego de la Catedral también se basa en poliominós . [ 16 ]

Parker Brothers lanzó en 1966 un juego de mesa de pentominós multijugador llamado Universe. Su temática se basa en una escena eliminada de la película de 1968 2001: Una odisea del espacio, en la que un astronauta juega una partida de pentominós para dos jugadores contra la computadora HAL 9000 ( se conservó una escena con otro astronauta jugando al ajedrez ). La parte frontal de la caja del juego muestra escenas de la película, así como un lema que lo describe como el "juego del futuro". El juego incluye cuatro conjuntos de pentominós en rojo, amarillo, azul y blanco. El tablero tiene dos áreas de juego: un área base de 10x10 para dos jugadores con 25 casillas adicionales (dos filas más de 10 y una fila desplazada de cinco) en cada lado para más de dos jugadores.

El fabricante de juegos Lonpos ofrece varios juegos que utilizan los mismos pentominós, pero en diferentes tableros. Su juego 101 tiene un tablero de 5 x 11. Al cambiar la forma del tablero, se pueden jugar miles de rompecabezas, aunque solo una pequeña selección de estos está disponible en formato impreso.

Juegos de vídeo

Literatura

Los pentominós fueron un elemento destacado de una subtrama importante de la novela Imperial Earth de Arthur C. Clarke , publicada en 1975. Clarke también escribió un ensayo en el que describió el juego y cómo se aficionó a él. [ 17 ]

También aparecieron en Chasing Vermeer de Blue Balliett , que se publicó en 2003 e ilustró Brett Helquist , así como en sus secuelas, The Wright 3 y The Calder Game . [ 18 ]

En el crucigrama del New York Times del 27 de junio de 2012, la pista para una palabra de 11 letras en la casilla 37 horizontal era "Conjunto completo de 12 formas formadas por los cuadrados negros de este crucigrama". [ 19 ]

Véase también

Pedidos anteriores y siguientes

Otros

Notas

  1. ^ " Eric Harshbarger - Pentominós" .
  2. ↑ Rhoads, Glenn C. (2003). Planar Tilings and the Search for an Aperiodic Prototile . Tesis doctoral, Universidad de Rutgers.
  3. ↑ Gardner, Martin (agosto de 1975). "Más sobre el recubrimiento del plano: las posibilidades de los poliominós, polidiamantes y polihexágonos". Scientific American . 233 (2): 112– 115. doi : 10.1038/scientificamerican0775-112 .
  4. ↑ "El libro electrónico del Proyecto Gutenberg de Los rompecabezas de Canterbury, por Henry Ernest Dudeney" . www.gutenberg.org . Consultado el 26 de marzo de 2022 .
  5. ↑ "Problemas de disección en PFCS/FCR: Resumen de resultados en orden cronológico" . www.mayhematics.com . Consultado el 26 de marzo de 2022 .
  6. ↑ Gardner, Martin (1988). "13: Poliominós" . Hexaflexágonos y otras diversiones matemáticas . The University of Chicago Press. págs. 124–140 . ISBN  0-226-28254-6.
  7. ↑ "people.rit.edu - Introducción - poliominó y pentominó" .
  8. ↑ Golomb, Solomon W. ; Lushbaugh, Warren (1965). Poliominós . Nueva York: Charles Scribner's Sons. LCCN 64-24805 . 
  9. ↑ "Poliominós/Polidiamantes" . El mundo de las teselaciones de David Bailey. 4 de diciembre de 2020. Consultado el 15 de julio de 2026 .
  10. ↑ CB Haselgrove; Jenifer Haselgrove (octubre de 1960). "Un programa informático para pentominós" (PDF) . Eureka . 23 : 16–18 . Archivado del original (PDF) el 18 de mayo de 2024. Consultado el 2 de febrero de 2021 .
  11. ↑ Dana S. Scott (1958). "Programación de un rompecabezas combinatorio". Informe técnico n.° 1, Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Princeton.
  12. ↑ Donald E. Knuth. "Dancing links" . Incluye un resumen de los artículos de Scott y Fletcher.
  13. ↑ Barequet, Gill; Tal, Shahar (2010). «Resolución de rompecabezas reticulares generales». En Lee, Der-Tsai; Chen, Danny Z.; Ying, Shi (eds.). Fronteras en algoritmia . Lecture Notes in Computer Science. Vol. 6213. Berlín Heidelberg: Springer Science+Business Media . pp. 124–135 . doi : 10.1007/978-3-642-14553-7_14 . ISBN   978-3-642-14552-0.
  14. ↑ Pritchard (1982) , pág. 83.
  15. ↑ Hilarie K. Orman. Pentominós: Una victoria para el primer jugador (Pdf).
  16. ↑ "Preguntas frecuentes" .
  17. ↑ ¿ Podrías resolver los pentominós? por Arthur C. Clarke, Sunday Telegraph Magazine , 14 de septiembre de 1975; reimpreso en Clarke's Ascent to Orbit: A Scientific Autobiography , Nueva York: John Wiley & Sons, 1984. ISBN 047187910X
  18. ↑ Tras los pasos de Vermeer , de Blue Balliett, Scholastic Paperbacks, ISBN 0439372976
  19. ↑ Buckley, Mike (27 de junio de 2012). Shortz, Will (ed.). "El crucigrama" . New York Times . Consultado el 30 de julio de 2020 .

Referencias

  • Tras la pista de Vermeer , con información sobre el libro Tras la pista de Vermeer y un tablero de pentominós interactivo con función de arrastrar y soltar.
  • Pritchard, DB (1982). "El juego de Golomb". Juegos mentales . Penguin Books Ltd. págs. 83–85 . ISBN  0-14-00-5682-3.
  • Configuraciones y soluciones de pentominos. Una lista exhaustiva de soluciones a muchos de los problemas clásicos que muestra cómo se relaciona cada solución con las demás.