Pi

El símbolo que usan los matemáticos para representar la razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro es la letra griega minúscula π , a veces escrita como pi . ^{[ 1 ]} En inglés, π se pronuncia como "pie" ( / p aɪ / PY ). ^{[ 2 ]} En matemáticas, la letra minúscula π se distingue de su contraparte mayúscula y ampliada Π , que denota un producto de una secuencia , de forma análoga a como Σ denota sumatoria .

La elección del símbolo π se analiza en la sección §  Adopción del símbolo π .

π se define comúnmente como la razón entre la circunferencia C de un círculo y su diámetro d : $${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}.}$$ En geometría euclidiana , la razón${\textstyle {\frac {C}{d}}}$es constante, independientemente del tamaño del círculo. Por ejemplo, si un círculo tiene el doble de diámetro que otro, también tendrá el doble de circunferencia, conservando la proporción.${\textstyle {\frac {C}{d}}}$. ^{[ 3 ]}

Aquí, la circunferencia de un círculo es la longitud del arco alrededor del perímetro del círculo, una cantidad que se puede definir formalmente usando límites , un concepto del cálculo . ^{[ 4 ]} Por ejemplo, se puede calcular directamente la longitud del arco de la mitad superior del círculo unitario, dada en coordenadas cartesianas por la ecuación ${\textstyle x^{2}+y^{2}=1}$, como la integral : ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \pi =\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$$

Una integral como esta fue propuesta como definición de π por Karl Weierstrass , quien la definió directamente como una integral en 1841. ^{[ a ]}

La integración ya no se usa comúnmente en una primera definición analítica porque, como explica Remmert 2012 , el cálculo diferencial suele preceder al cálculo integral en el currículo universitario, por lo que es deseable tener una definición de π que no dependa de este último. Una de estas definiciones, debida a Richard Baltzer ^{[ 7 ]} y popularizada por Edmund Landau , ^{[ 8 ]} es la siguiente: π es el doble del número positivo más pequeño en el que la función coseno es igual a 0. ^{[ 3 ] [ 5 ] [ 9 ]} π también es el número positivo más pequeño en el que la función seno es igual a cero, y la diferencia entre ceros consecutivos de la función seno. El coseno y el seno pueden definirse independientemente de la geometría como una serie de potencias , ^{[ 10 ]} o como la solución de una ecuación diferencial . ^{[ 9 ]}

De manera similar, π puede definirse utilizando propiedades de la exponencial compleja , exp z , de una variable compleja z . Al igual que el coseno, la exponencial compleja puede definirse de varias maneras. El conjunto de números complejos para los cuales exp z es igual a uno es entonces una progresión aritmética (imaginaria) de la forma: $${\displaystyle \{\dots ,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,\dots \}=\{2\pi ki\mid k\in \mathbb {Z} \}}$$ y existe un único número real positivo π con esta propiedad. ^{[ 5 ] [ 11 ]}

π es un número irracional , lo que significa que no puede escribirse como la razón de dos enteros . Fracciones como 22/7 y 355/113 se utilizan comúnmente para aproximar π , pero ninguna fracción común ( razón de números enteros) puede ser su valor exacto. ^[ 12 ^] Debido a que π es irracional, tiene un número infinito de dígitos en su representación decimal y no se estabiliza en un patrón de dígitos que se repita infinitamente. Existen varias demostraciones de que π es irracional ; generalmente son demostraciones por contradicción y ^requieren cálculo . El grado en que π puede aproximarse mediante números racionales (llamado medida de irracionalidad ) no se conoce con precisión; las estimaciones han establecido que la medida de irracionalidad es mayor o al menos igual a la medida de e, pero menor que la medida de los números de Liouville . ^{[ 13 ]}

Problema sin resolver en matemáticas

Es${\displaystyle \pi }$¿ Un número normal ?

Más problemas sin resolver en matemáticas

Los dígitos de π no presentan ningún patrón aparente y han superado pruebas de aleatoriedad estadística , incluidas pruebas de normalidad ; un número de longitud infinita se denomina normal cuando todas las secuencias posibles de dígitos (de cualquier longitud dada) aparecen con la misma frecuencia. La conjetura de que π es normal no ha sido probada ni refutada. ^{[ 14 ]}

Desde la llegada de las computadoras, se ha dispuesto de un gran número de dígitos de π para realizar análisis estadísticos. Yasumasa Kanada realizó análisis estadísticos detallados de los dígitos decimales de π y los encontró consistentes con la normalidad; por ejemplo, las frecuencias de los diez dígitos del 0 al 9 se sometieron a pruebas de significancia estadística y no se encontró evidencia de un patrón. ^{[ 15 ]} Cualquier secuencia aleatoria de dígitos contiene subsecuencias arbitrariamente largas que parecen no aleatorias, según el teorema del mono infinito . Por lo tanto, debido a que la secuencia de dígitos de π pasa las pruebas estadísticas de aleatoriedad, contiene algunas secuencias de dígitos que pueden parecer no aleatorias, como una secuencia de seis 9 consecutivos que comienza en el lugar decimal 762 de la representación decimal de π . ^{[ 16 ]}

Además de ser irracional, π también es un número trascendental , lo que significa que no es la solución de ninguna ecuación polinómica no constante con coeficientes racionales , como${\textstyle {\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{3}}{6}}+x=0}$. ^{[ 17 ] [ b ]} Esto se deduce del llamado teorema de Lindemann-Weierstrass , que también establece la trascendencia de la constante e . ^{[ 17 ]}

La trascendencia de π tiene dos consecuencias importantes: Primero, π no puede expresarse utilizando ninguna combinación finita de números racionales y raíces cuadradas o raíces enésimas ( como${\displaystyle {\sqrt[{3}]{31}}}$o${\displaystyle {\sqrt {10}}}$En segundo lugar, dado que ningún número trascendental puede construirse con regla y compás , no es posible « cuadrar el círculo ». En otras palabras, es imposible construir, utilizando únicamente regla y compás, un cuadrado cuya área sea exactamente igual al área de un círculo dado. ^{[ 18 ]} Cuadrar un círculo fue uno de los problemas geométricos importantes de la antigüedad clásica . ^{[ 19 ]} Algunos matemáticos aficionados en la época moderna han intentado cuadrar el círculo y afirmar haberlo logrado , a pesar de que es matemáticamente imposible. ^{[ 20 ]} 

Un problema aún sin resolver es la cuestión de si los números π y e son algebraicamente independientes ("relativamente trascendentales"). Esto se resolvería mediante la conjetura de Schanuel ^{[ 21 ]} , una generalización del teorema de Lindemann-Weierstrass que aún no ha sido demostrada. ^{[ 22 ]} 

Como número irracional, π no puede representarse como una fracción común . Sin embargo, al igual que cualquier número, π puede representarse mediante una serie infinita de fracciones anidadas, denominada fracción continua simple :

$${\displaystyle \pi =3+\textstyle {\cfrac {1}{7+\textstyle {\cfrac {1}{15+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{292+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$$

Truncar la fracción continua en cualquier punto produce una aproximación racional para π ; las primeras cuatro de estas son 3 , ⁠ 22 / 7 ⁠ , ⁠ 333 / 106 ⁠ y ⁠ 355 / 113 ⁠ . Estos números se encuentran entre las aproximaciones históricas más conocidas y ampliamente utilizadas de la constante. Cada aproximación generada de esta manera es una mejor aproximación racional; es decir, cada una está más cerca de π que cualquier otra fracción con el mismo denominador o uno menor . ^{[ 23 ]} Debido a que π es trascendental, por definición no es algebraica y por lo tanto no puede ser una irracional cuadrática . Por consiguiente, π no puede tener una fracción continua periódica . Aunque la fracción continua simple para π (con numeradores todos 1, como se muestra arriba) tampoco exhibe ningún otro patrón obvio, ^{[ 24 ] [ 25 ]} varias fracciones continuas no simples sí lo hacen, como por ejemplo: ^{[ 26 ] [ c ]}

Algunas aproximaciones de pi incluyen:

• Enteros : 3
• Fracciones : Las fracciones aproximadas incluyen (en orden de precisión creciente) ⁠ 22 / 7 ⁠ , ⁠ 333 / 106 ⁠ , ⁠ 355 / 113 ⁠ , ⁠ 52163 / 16604 ⁠ , ⁠ 103993 / 33102 ⁠ , ⁠ 104348 / 33215 ⁠ , y ⁠ 245850922 / 78256779 ⁠ . ^{[ 23 ]} (La lista contiene términos seleccionados de OEIS : A063674 y OEIS : A063673 .)  
• Dígitos : Los primeros 50 dígitos decimales son 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510... ^{[ 27 ]} (ver OEIS : A000796  )

Dígitos en otros sistemas numéricos

• Los primeros 48 dígitos binarios ( base 2) (llamados bits ) son 11.0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011... (ver OEIS : A004601  )
• Los primeros 36 dígitos en ternario (base 3) son 10.010 211 012 222 010 211 002 111 110 221 222 220... (ver OEIS : A004602  )
• Los primeros 20 dígitos en hexadecimal (base 16) son 3.243F 6A88 85A3 08D3 1319... ^{[ 28 ]} (ver OEIS : A062964  )
• Los primeros cinco dígitos sexagesimales (base 60) son 3;8,29,44,0,47 ^{[ 29 ]} (ver OEIS : A060707  )

Cualquier número complejo , digamos z , puede expresarse usando un par de números reales . En el sistema de coordenadas polares , un número ( radio o r ) se usa para representar la distancia de z desde el origen del plano complejo , y el otro (ángulo o φ ) la rotación en sentido antihorario desde la línea real positiva: ^{[ 30 ]}

$${\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi ),}$$

donde i es la unidad imaginaria que satisface${\displaystyle i^{2}=-1}$La frecuente aparición de π en el análisis complejo puede relacionarse con el comportamiento de la función exponencial de una variable compleja, descrita por la fórmula de Euler : ^{[ 31 ]}

$${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,}$$

donde la constante e es la base del logaritmo natural . Esta fórmula establece una correspondencia entre potencias imaginarias de e y puntos en el círculo unitario centrado en el origen del plano complejo. Estableciendo${\displaystyle \varphi =\pi }$en la fórmula de Euler da como resultado la identidad de Euler , celebrada en matemáticas debido a que contiene cinco constantes matemáticas importantes: ^{[ 31 ] [ 32 ]}

$${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$$

Hay n números complejos diferentes z que satisfacen ⁠${\displaystyle z^{n}=1}$⁠ , y estas se denominan las " raíces n -ésimas" ^{[ 33 ]} y se dan mediante la fórmula:

$${\displaystyle e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1).}$$

El primer algoritmo registrado para calcular rigurosamente el valor de π fue un enfoque geométrico que utilizaba polígonos , ideado alrededor del 250  a. C. por el matemático griego Arquímedes , implementando el método de agotamiento . ^{[ 37 ]} Este algoritmo poligonal dominó durante más de 1000 años, y como resultado, a veces se hace referencia a π como la constante de Arquímedes. ^{[ 38 ]} Arquímedes calculó los límites superior e inferior de π dibujando un hexágono regular dentro y fuera de un círculo, y duplicando sucesivamente el número de lados hasta llegar a un polígono regular de 96 lados. Al calcular los perímetros de estos polígonos, demostró que ⁠ 223 / 71 ⁠ < π < ⁠ 22 / 7 ⁠ (es decir, 3,1408 < π < 3,1429 ). ^{[ 39 ]} El límite superior de Arquímedes de ⁠ 22 / 7 ⁠ puede haber llevado a la creencia popular generalizada de que π es igual a ⁠ 22 / 7 ⁠ . ^{[ 40 ]} Alrededor del año 150 d. C., el científico grecorromano Ptolomeo , en su Almagesto , dio un valor para π de 3,1416, que pudo haber obtenido de Arquímedes o de Apolonio de Perga . ^{[ 41 ] [ 42 ]} 

En la antigua China , los valores de π incluían 3,1547 (alrededor del año 1  d.C.),${\displaystyle {\sqrt {10}}}$(100 d .  C., aproximadamente 3,1623) y 142/45 (siglo III, aproximadamente 3,1556). ^{[ 43 ]} Alrededor del año 265 d. C., el matemático de Cao Wei, Liu Hui, creó un algoritmo iterativo basado en polígonos , con el cual construyó un polígono de 3072 lados para aproximar π como 3,1416. ^{[ 44 ] [ 45 ]} Posteriormente, Liu inventó un método más rápido para calcular π y obtuvo un valor de 3,14 con un polígono de 96 lados, aprovechando el hecho de que las diferencias en el área de polígonos sucesivos forman una serie geométrica con un factor de 4. ^{[ 44 ]} Alrededor del año 480 d. C., Zu Chongzhi calculó que    ${\displaystyle 3.1415926<\pi <3.1415927}$y sugirió las aproximaciones${\textstyle \pi \approx {\frac {355}{113}}=3.14159292035\ldots }$y${\textstyle \pi \approx {\frac {22}{7}}=3.142857142857\ldots }$, a los que denominó milü ('relación cercana') y yuelü ('relación aproximada') respectivamente, iterando con el algoritmo de Liu Hui hasta un polígono de 12.288 lados. Con un valor correcto para sus siete primeros dígitos decimales, el resultado de Zu siguió siendo la aproximación más precisa de π durante los siguientes 800 años. ^{[ 46 ]}

El astrónomo indio Aryabhata utilizó un valor de 3,1416 en su Āryabhaṭīya (499  d. C.). ^{[ 47 ]} Alrededor de 1220, Fibonacci calculó 3,1418 utilizando un método poligonal ideado independientemente de Arquímedes. ^{[ 48 ]} El autor italiano Dante aparentemente empleó el valor${\textstyle 3+{\frac {\sqrt {2}}{10}}\approx 3.14142}$. ^{[ 48 ]}

El astrónomo persa Jamshīd al-Kāshī produjo nueve dígitos sexagesimales , aproximadamente el equivalente a 16 dígitos decimales, en 1424, utilizando un polígono con${\textstyle 3\times 2^{28}}$lados, ^{[ 49 ]} que se mantuvo como récord mundial durante unos 180 años. ^{[ 50 ]} El matemático francés François Viète en 1579 logró nueve dígitos con un polígono de${\textstyle 3\times 2^{17}}$lados. ^{[ 50 ]} El matemático flamenco Adriaan van Roomen llegó a 15 decimales en 1593. ^{[ 50 ]} En 1596, el matemático holandés Ludolph van Ceulen llegó a 20 dígitos, un récord que luego aumentó a 35 dígitos (como resultado, π fue llamado el "número ludolphiano" en Alemania hasta principios del siglo XX). ^{[ 51 ]} El científico holandés Willebrord Snellius llegó a 34 dígitos en 1621, ^{[ 52 ]} y el astrónomo austriaco Christoph Grienberger llegó a 38 dígitos en 1630 usando 10 ⁴⁰ lados. ^{[ 53 ]} Christiaan Huygens pudo llegar a 10 decimales en 1654 usando un método ligeramente diferente equivalente a la extrapolación de Richardson . ^{[ 54 ]}

El cálculo de π fue revolucionado por el desarrollo de técnicas de series infinitas en los siglos XVI y XVII. Una serie infinita es la suma de los términos de una secuencia infinita . Las series infinitas permitieron a los matemáticos calcular π con mucha mayor precisión que Arquímedes y otros que utilizaron técnicas geométricas. ^{[ 55 ]} Aunque las series infinitas fueron explotadas para π de manera más notable por matemáticos europeos como James Gregory y Gottfried Wilhelm Leibniz , el enfoque también apareció en la escuela de Kerala en algún momento del siglo XIV o XV. ^{[ 56 ] [ 57 ]} Alrededor de 1500, una serie infinita que podía usarse para calcular π , escrita en forma de verso sánscrito , fue presentada en Tantrasamgraha por Nilakantha Somayaji . ^{[ 56 ]} Las series se presentan sin demostración, pero las demostraciones se presentan en la obra posterior Yuktibhāṣā , publicada alrededor de 1530. Se describen varias series infinitas, incluidas series para el seno (que Nilakantha atribuye a Madhava de Sangamagrama ), el coseno y la arcotangente que ahora a veces se denominan series de Madhava . La serie para la arcotangente a veces se llama serie de Gregory o serie de Gregory-Leibniz. ^{[ 56 ]} Madhava usó series infinitas para estimar π a 11 dígitos alrededor de 1400. ^{[ 58 ] [ 59 ] [ 60 ]}

En 1593, François Viète publicó lo que ahora se conoce como la fórmula de Viète , un producto infinito (en lugar de una suma infinita , que es la que se usa más comúnmente en los cálculos de π ): ^{[ 61 ]}

$${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }$$

En 1655, John Wallis publicó lo que ahora se conoce como el producto de Wallis , también un producto infinito: ^{[ 62 ]}

$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdots }$$

En la década de 1660, el científico inglés Isaac Newton y el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz descubrieron el cálculo , lo que condujo al desarrollo de muchas series infinitas para aproximar π . El propio Newton utilizó una serie de arcoseno para calcular una aproximación de π de 15 dígitos en 1665 o 1666, escribiendo: «Me avergüenza decirles a cuántas cifras llegué con estos cálculos, pues no tenía nada más que hacer en ese momento». ^{[ 63 ]}

En 1671, James Gregory , e independientemente Leibniz en 1673, descubrieron la expansión en serie de Taylor para la arcotangente : ^{[ 56 ] [ 64 ] [ 65 ]}

$${\displaystyle \arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots }$$

Esta serie, a veces llamada serie Gregory-Leibniz , es igual a${\textstyle {\frac {\pi }{4}}}$cuando se evalúa con${\displaystyle z=1}$⁠ . ^{[ 65 ]} Pero para ⁠${\displaystyle {1}}$⁠ , converge de forma impracticamente lenta (es decir, se aproxima a la respuesta muy gradualmente), tomando aproximadamente diez veces más términos para calcular cada dígito adicional. ^{[ 66 ]}

En 1699, el matemático inglés Abraham Sharp utilizó la serie Gregory-Leibniz para${\textstyle z={\frac {1}{\sqrt {3}}}}$para calcular π con 71 dígitos, rompiendo el récord anterior de 39 dígitos, que se estableció con un algoritmo poligonal. ^{[ 67 ]}

En 1706, John Machin utilizó la serie de Gregory-Leibniz para producir un algoritmo que convergía mucho más rápido: ^{[ 68 ] [ 69 ] [ 70 ]}

$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}.}$$

Machin alcanzó los 100 dígitos de π con esta fórmula. ^{[ 71 ]} Otros matemáticos crearon variantes, ahora conocidas como fórmulas tipo Machin , que se utilizaron para establecer varios récords sucesivos en el cálculo de dígitos de π . ^{[ 72 ] [ 71 ]}

Isaac Newton aceleró la convergencia de la serie de Gregory-Leibniz en 1684 (en una obra inédita; otros descubrieron el resultado de forma independiente): ^{[ 73 ]}

Leonhard Euler popularizó esta serie en su libro de texto de cálculo diferencial de 1755, y más tarde la utilizó con fórmulas similares a las de Machin, incluyendo${\textstyle {\tfrac {\pi }{4}}=5\arctan {\tfrac {1}{7}}+2\arctan {\tfrac {3}{79}},}$con la que calculó 20 dígitos de π en una hora. ^{[ 74 ]}

En 1844, Zacharias Dase estableció un récord al emplear una fórmula similar a la de Machin para calcular mentalmente 200 decimales de π a petición del matemático alemán Carl Friedrich Gauss . ^{[ 75 ]} Las fórmulas similares a las de Machin siguieron siendo el método más conocido para calcular π hasta bien entrada la era de las computadoras, y se utilizaron para establecer récords durante 250 años, culminando en una aproximación de 620 dígitos en 1946 por Daniel Ferguson , la mejor aproximación lograda sin la ayuda de una calculadora. ^{[ 76 ]} 

En 1853, el matemático británico William Shanks calculó π con 607 dígitos, pero cometió un error en el dígito 528, lo que provocó que todos los dígitos subsiguientes fueran incorrectos. Aunque calculó 100 dígitos adicionales en 1873, llegando a un total de 707, su error anterior también hizo que todos los nuevos dígitos fueran incorrectos. ^{[ 77 ]}

No todos los avances matemáticos relacionados con π tenían como objetivo aumentar la precisión de las aproximaciones. Cuando Euler resolvió el problema de Basilea en 1735, hallando el valor exacto de la suma de los cuadrados recíprocos, estableció una conexión entre π y los números primos que posteriormente contribuyó al desarrollo y estudio de la función zeta de Riemann : ^{[ 83 ]}

$${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots }$$

El científico suizo Johann Heinrich Lambert demostró en 1768 que π es irracional , lo que significa que no es igual al cociente de dos enteros cualesquiera. ^{[ 12 ]} La demostración de Lambert explotó una representación de fracción continua de la función tangente. ^{[ 84 ]} El matemático francés Adrien-Marie Legendre demostró en 1794 que π² también es irracional. En 1882, el matemático alemán Ferdinand von Lindemann demostró que π es trascendental , ^{[ 85 ] confirmando una conjetura hecha} tanto por Legendre como por Euler. ^{[ 86 ] [ 87 ] [ d ]}

El primer uso conocido de la letra griega π para representar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro fue realizado por el matemático galés William Jones en 1706.

Leonhard Euler popularizó el uso de la letra griega π en las obras que publicó en 1736 y 1748.

El primer uso registrado del símbolo π en geometría circular se encuentra en Clavis Mathematicae de Oughtred (1648), ^{[ 88 ] [ 89 ]} donde las letras griegas π y δ se combinaron en la fracción ⁠${\displaystyle {\tfrac {\pi }{\delta }}}$para denotar las razones semiperímetro a semidiámetro y perímetro a diámetro, es decir, lo que actualmente se denota como π . ^{[ 1 ] [ 90 ] [ 91 ] [ 92 ]} (Antes de eso, los matemáticos a veces usaban letras como c o p en su lugar. ^{[ 89 ]} ) Barrow también usó la misma notación, ^{[ 93 ]} mientras que Gregory en su lugar usó${\textstyle {\frac {\pi }{\rho }}}$para representar 6.28... . ^{[ 94 ] [ 91 ]}

El primer uso conocido de la letra griega π sola para representar la razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro fue por el matemático galés William Jones en su obra de 1706 Synopsis Palmariorum Matheseos ; o, una nueva introducción a las matemáticas . ^{[ 68 ] [ 95 ]} La letra griega aparece en la página  243 en la frase "${\textstyle {\tfrac {1}{2}}}$Periferia ( π )", calculada para un círculo con radio uno. Sin embargo, Jones escribe que sus ecuaciones para π provienen de la "pluma ingeniosa del Sr. John Machin ", lo que lleva a especular que Machin pudo haber empleado la letra griega antes que Jones. ^{[ 89 ]} La notación de Jones no fue adoptada inmediatamente por otros matemáticos, y la notación fraccionaria todavía se usaba hasta 1767. ^{[ 90 ] [ 96 ]}

Euler comenzó a usar la forma de una sola letra a partir de su Ensayo de 1727 Explicando las propiedades del aire , aunque usó π = 6,28... , la relación entre la periferia y el radio, en este y en algunos escritos posteriores. ^{[ 97 ]} Euler usó por primera vez π = 3,14... en su obra Mechanica de 1736 , ^{[ 98 ]} y continuó en su obra ampliamente leída de 1748 Introductio in analysin infinitorum (escribió: "por razones de brevedad escribiremos este número como π ; así, π es igual a la mitad de la circunferencia de un círculo de radio 1 "). ^{[ 99 ]} Debido a que Euler mantuvo una intensa correspondencia con otros matemáticos en Europa, el uso de la letra griega se extendió rápidamente, y la práctica fue adoptada universalmente a partir de entonces en el mundo occidental , ^{[ 89 ]} aunque la definición aún variaba entre 3,14... y 6,28... hasta 1761. ^{[ 100 ]}

Para la mayoría de los cálculos numéricos que involucran π , un puñado de dígitos proporciona suficiente precisión. Según Jörg Arndt y Christoph Haenel, treinta y nueve dígitos son suficientes para realizar la mayoría de los cálculos cosmológicos , porque esa es la precisión necesaria para calcular la circunferencia del universo observable con una precisión de un átomo. Teniendo en cuenta los dígitos adicionales necesarios para compensar los errores de redondeo computacional , Arndt concluye que unos pocos cientos de dígitos serían suficientes para cualquier aplicación científica. A pesar de esto, la gente ha trabajado arduamente para calcular π con miles y millones de dígitos. ^{[ 101 ]} Este esfuerzo puede atribuirse en parte a la compulsión humana por batir récords, y tales logros con π a menudo son noticia en todo el mundo. ^{[ 102 ]} También tienen beneficios prácticos, como probar supercomputadoras , probar algoritmos de análisis numérico (incluidos algoritmos de multiplicación de alta precisión ) y, dentro de las matemáticas puras, proporcionar datos para evaluar la aleatoriedad de los dígitos de π . ^{[ 103 ] [ 104 ]} 

El desarrollo de las computadoras a mediados del siglo XX revolucionó nuevamente la búsqueda de dígitos de π . Los matemáticos John Wrench y Levi Smith alcanzaron 1120 dígitos en 1949 utilizando una calculadora de escritorio. ^{[ 105 ]} Utilizando una serie infinita de tangente inversa (arctan), un equipo liderado por George Reitwiesner y John von Neumann logró ese mismo año 2037 dígitos con un cálculo que requirió 70 horas de tiempo de computadora en la computadora ENIAC . ^{[ 106 ] [ 107 ]} El récord, siempre basado en una serie de arctan, fue batido repetidamente (3089 dígitos en 1955, ^{[ 108 ]} 7480 dígitos en 1957; 10 000 dígitos en 1958; 100 000 dígitos en 1961) hasta que se alcanzó 1 millón de dígitos en 1973. ^{[ 106 ]}

Dos avances adicionales alrededor de 1980 aceleraron nuevamente la capacidad de calcular π . Primero, el descubrimiento de nuevos algoritmos iterativos para calcular π , que eran mucho más rápidos que la serie infinita; y segundo, la invención de algoritmos de multiplicación rápidos que podían multiplicar números grandes muy rápidamente. ^{[ 109 ]} Dichos algoritmos son particularmente importantes en los cálculos modernos de π porque la mayor parte del tiempo de la computadora se dedica a la multiplicación. ^{[ 110 ]} Incluyen el algoritmo de Karatsuba , la multiplicación de Toom-Cook y los métodos basados ​​en la transformada de Fourier . ^{[ 111 ]}

Los algoritmos iterativos fueron publicados independientemente entre 1975 y 1976 por el físico Eugene Salamin y el científico Richard Brent . ^{[ 112 ]} Estos evitan depender de series infinitas. Un algoritmo iterativo repite un cálculo específico, utilizando cada iteración las salidas de los pasos anteriores como entradas, y produce un resultado en cada paso que converge al valor deseado. El enfoque fue inventado más de 160 años antes por Carl Friedrich Gauss , en lo que ahora se denomina método de la media aritmético-geométrica (método AGM) o algoritmo de Gauss-Legendre . ^{[ 112 ]} En la versión modificada por Salamin y Brent, también se le conoce como algoritmo de Brent-Salamin.

Los algoritmos iterativos se utilizaron ampliamente después de 1980 porque son más rápidos que los algoritmos de series infinitas: mientras que las series infinitas suelen aumentar el número de dígitos correctos de forma aditiva en términos sucesivos, los algoritmos iterativos generalmente multiplican el número de dígitos correctos en cada paso. Por ejemplo, el algoritmo de Brent-Salamin duplica el número de dígitos en cada iteración. En 1984, los hermanos John y Peter Borwein crearon un algoritmo iterativo que cuadruplica el número de dígitos en cada paso; y en 1987, uno que lo quintuplica en cada paso. ^{[ 113 ]} El matemático japonés Yasumasa Kanada utilizó métodos iterativos para establecer varios récords en el cálculo de π entre 1995 y 2002. ^{[ 114 ]} Esta rápida convergencia tiene un precio: los algoritmos iterativos requieren mucha más memoria que las series infinitas. ^{[ 114 ]}

Las calculadoras modernas de π no utilizan exclusivamente algoritmos iterativos. En las décadas de 1980 y 1990 se descubrieron nuevas series infinitas que son tan rápidas como los algoritmos iterativos, pero más simples y con menor consumo de memoria. ^{[ 114 ]} Los algoritmos iterativos rápidos se anticiparon en 1914, cuando el matemático indio Srinivasa Ramanujan publicó docenas de nuevas fórmulas innovadoras para π , notables por su elegancia, profundidad matemática y rápida convergencia. ^{[ 115 ]} Una de sus fórmulas, basada en ecuaciones modulares , es

$${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{k!^{4}396^{4k}}}.}$$

Esta serie converge mucho más rápidamente que la mayoría de las series de arcotangente, incluida la fórmula de Machin. ^{[ 116 ]} Bill Gosper fue el primero en usarla para avances en el cálculo de π , estableciendo un récord de 17  millones de dígitos en 1985. ^{[ 117 ]} Las fórmulas de Ramanujan anticiparon los algoritmos modernos desarrollados por los hermanos Borwein ( Jonathan y Peter ) y los hermanos Chudnovsky . ^{[ 118 ]} La fórmula de Chudnovsky desarrollada en 1987 es

Produce aproximadamente 14 dígitos de π por término ^{[ 119 ]} y se ha utilizado para varios cálculos de π que han batido récords , incluido el primero en superar los mil  millones (10 ⁹ ) de dígitos en 1989 por los hermanos Chudnovsky, 10  billones (10 ¹³ ) de dígitos en 2011 por Alexander Yee y Shigeru Kondo, ^{[ 120 ]} y 100  billones de dígitos por Emma Haruka Iwao en 2022. ^{[ 121 ] [ 122 ]} Para fórmulas similares, véase también la serie Ramanujan–Sato .

En 2006, el matemático Simon Plouffe utilizó el algoritmo de relación entera PSLQ ^{[ 123 ]} para generar varias fórmulas nuevas para π , conforme a la siguiente plantilla:

$${\displaystyle \pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right),}$$

donde q es e ^π (constante de Gelfond), k es un número impar , y a , b , c son ciertos números racionales que Plouffe calculó. ^{[ 124 ]}

Aguja de Buffon . Las agujas a y b se obtienen aleatoriamente.

Se colocan puntos al azar sobre un cuadrado y se inscribe un círculo en su interior.

Los métodos de Monte Carlo , que evalúan los resultados de múltiples ensayos aleatorios, pueden utilizarse para crear aproximaciones de π . ^{[ 125 ]} La aguja de Buffon es una de esas técnicas: si se deja caer una aguja de longitud ℓ n veces sobre una superficie en la que se dibujan líneas paralelas separadas por t unidades, y si x de esas veces se detiene cruzando una línea ( x > 0 ), entonces se puede aproximar π basándose en los recuentos: ^{[ 126 ]}

$${\displaystyle \pi \approx {\frac {2n\ell }{xt}}.}$$

Otro método de Monte Carlo para calcular π consiste en dibujar un círculo inscrito en un cuadrado y colocar puntos aleatoriamente dentro del cuadrado. La proporción de puntos dentro del círculo con respecto al número total de puntos será aproximadamente igual a π /4 . ^{[ 127 ]}

Otra forma de calcular π usando probabilidad es comenzar con un paseo aleatorio , generado por una secuencia de lanzamientos de moneda (justos): variables aleatorias independientes X _k tales que X _k ∈ {−1,1} con probabilidades iguales. El paseo aleatorio asociado es

$${\displaystyle W_{n}=\sum _{k=1}^{n}X_{k}}$$

de modo que, para cada n , W _n se extrae de una distribución binomial desplazada y escalada . A medida que n varía, W _n define un proceso estocástico (discreto) . Entonces π se puede calcular mediante ^{[ 128 ].}

$${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {2n}{E[|W_{n}|]^{2}}}.}$$

Este método de Monte Carlo es independiente de cualquier relación con los círculos y es una consecuencia del teorema del límite central , que se analiza más adelante .

Estos métodos de Monte Carlo para aproximar π son muy lentos en comparación con otros métodos y no proporcionan información sobre el número exacto de dígitos obtenidos. Por lo tanto, nunca se utilizan para aproximar π cuando se requiere velocidad o precisión. ^{[ 129 ]}

En 1995 se descubrieron dos algoritmos que abrieron nuevas vías de investigación sobre π . Se les llama algoritmos de grifo porque, como el agua que gotea de un grifo , producen dígitos individuales de π que no se reutilizan después de ser calculados. ^{[ 130 ] [ 131 ]} Esto contrasta con las series infinitas o los algoritmos iterativos, que retienen y utilizan todos los dígitos intermedios hasta que se obtiene el resultado final. ^{[ 130 ]}

Los matemáticos Stan Wagon y Stanley Rabinowitz crearon un algoritmo de espiga simple en 1995. ^{[ 131 ] [ 132 ] [ 133 ]} Su velocidad es comparable a la de los algoritmos de arcotangente, pero no tan rápida como la de los algoritmos iterativos. ^{[ 132 ]}

Otro algoritmo de spigot, el algoritmo de extracción de dígitos BBP , fue descubierto en 1995 por Simon Plouffe: ^{[ 134 ] [ 135 ]}

Esta fórmula, a diferencia de otras anteriores, puede producir cualquier dígito hexadecimal individual de π sin calcular todos los dígitos precedentes. ^{[ 134 ]} Los dígitos binarios individuales pueden extraerse de dígitos hexadecimales individuales, y los dígitos octales pueden extraerse de uno o dos dígitos hexadecimales. Una aplicación importante de los algoritmos de extracción de dígitos es validar nuevos récords de cálculos de π : después de que se declara un nuevo récord, el resultado decimal se convierte a hexadecimal, y luego se utiliza un algoritmo de extracción de dígitos para calcular varios dígitos hexadecimales seleccionados aleatoriamente cerca del final; si coinciden, esto proporciona una medida de confianza de que todo el cálculo es correcto. ^{[ 120 ]}

Entre 1998 y 2000, el proyecto de computación distribuida PiHex utilizó la fórmula de Bellard (una modificación del algoritmo BBP) para calcular el bit cuatrillonésimo (10¹⁵ ⁾ de π , que resultó ser 0. ^{[ 136 ]} En septiembre de 2010, un empleado de Yahoo utilizó la aplicación Hadoop de la compañía en mil computadoras durante un período de 23 días para calcular 256 bits de π en el bit dos cuatrillonésimo (2× ^10¹⁵ ), que también resulta ser cero. ^{[ 137 ]}

En 2022, Plouffe encontró un algoritmo de base 10 para calcular los dígitos de π . ^{[ 138 ]}

π aparece en fórmulas para áreas y volúmenes de figuras geométricas basadas en círculos, como elipses , esferas , conos y toros . ^{[ 139 ]} A continuación se muestran algunas de las fórmulas más comunes que involucran π . ^{[ 140 ]}

• La circunferencia de un círculo con ^radio r es 2πr . ^[ 141 ^]
• El área de un círculo con radio r es πr² ^.
• El área de una elipse con semieje mayor a y semieje menor b es πab . ^{[ 142 ]}
• El volumen de una esfera con radio r es ⁠ 4 / 3 ⁠ πr ³ .
• El área de la superficie de una esfera con radio r es 4 πr ² .

Algunas de las fórmulas anteriores son casos especiales del volumen de la bola n- dimensional y el área de la superficie de su límite, la esfera ( n -1)-dimensional , que se muestra a continuación .

Además de los círculos, existen otras curvas de anchura constante . Según el teorema de Barbier , toda curva de anchura constante tiene un perímetro igual a π veces su anchura. El triángulo de Reuleaux (formado por la intersección de tres círculos cuyos radios son los lados de un triángulo equilátero ) tiene la menor área posible para su anchura, mientras que el círculo tiene la mayor. También existen curvas algebraicas suaves y pares no circulares de anchura constante. ^{[ 143 ]}

Las integrales definidas que describen la circunferencia, el área o el volumen de figuras generadas por círculos suelen tener valores que involucran π . Por ejemplo, una integral que especifica la mitad del área de un círculo de radio uno viene dada por: ^{[ 144 ]}

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$$

En esa integral, la función${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$representa la altura sobre el${\displaystyle x}$-eje de un semicírculo (la raíz cuadrada es una consecuencia del teorema de Pitágoras ), y la integral calcula el área bajo el semicírculo. La existencia de tales integrales hace que π sea un período algebraico . ^{[ 145 ]}

Las funciones trigonométricas se basan en ángulos , y los matemáticos generalmente utilizan el radián como unidad de medida. π juega un papel importante en los ángulos medidos en radianes, que se definen de manera que un círculo completo abarca un ángulo de 2π radianes  . La medida del ángulo de 180° es igual a π  radianes, y 1° = π /180 radianes . ^{[ 146 ]}

Las funciones trigonométricas comunes tienen períodos que son múltiplos de π ; por ejemplo, el seno y el coseno tienen un período de 2π , por lo que para cualquier ángulo θ y cualquier entero k , ^{[ 147 ]}$${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right){\text{ and }}\cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right).}$$

Muchas de las apariciones de π en las fórmulas matemáticas y científicas tienen que ver con su estrecha relación con la geometría. Sin embargo, π también aparece en muchas situaciones naturales que aparentemente no tienen nada que ver con la geometría.

En muchas aplicaciones, desempeña un papel destacado como valor propio . Por ejemplo, una cuerda vibrante idealizada puede modelarse como la gráfica de una función f en el intervalo unitario [ 0, 1 ] , con extremos fijos f (0) = f (1) = 0. Los modos de vibración de la cuerda son soluciones de la ecuación diferencial .${\displaystyle f''(x)+\lambda f(x)=0}$, o​${\displaystyle f''(t)=-\lambda f(x)}$Por lo tanto, λ es un valor propio del operador de segunda derivada .${\displaystyle f\mapsto f''}$⁠ , y está restringido por la teoría de Sturm-Liouville a tomar solo ciertos valores específicos. Debe ser positivo, ya que el operador es definido negativo , por lo que es conveniente escribir λ = ν ² , donde ν > 0 se llama número de onda . Entonces f ( x ) = sin( π x ) satisface las condiciones de contorno y la ecuación diferencial con ν = π . ^{[ 148 ]}

El valor π es, de hecho, el menor de dichos valores del número de onda, y está asociado con el modo fundamental de vibración de la cuerda. Una forma de demostrar esto es estimando la energía , que satisface la desigualdad de Wirtinger : ^{[ 149 ]} para una función${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {C} }$Con f (0) = f (1) = 0 y f , f ′ ambas integrables al cuadrado , tenemos:

$${\displaystyle \pi ^{2}\int _{0}^{1}|f(x)|^{2}\,dx\leq \int _{0}^{1}|f'(x)|^{2}\,dx,}$$

con igualdad precisamente cuando f es un múltiplo de sin( π x ) . Aquí π aparece como una constante óptima en la desigualdad de Wirtinger, y se deduce que es el número de onda más pequeño, utilizando la caracterización variacional del valor propio. Como consecuencia, π es el valor singular más pequeño del operador de derivada en el espacio de funciones en [ 0, 1 ] que se anula en ambos extremos (el espacio de Sobolev${\displaystyle H_{0}^{1}[0,1]}$).

El número π aparece en problemas de valores propios similares en el análisis de dimensiones superiores. Como se mencionó anteriormente , se puede caracterizar a través de su papel como la mejor constante en la desigualdad isoperimétrica : el área A encerrada por una curva de Jordan plana de perímetro P satisface la desigualdad

$${\displaystyle 4\pi A\leq P^{2},}$$

y la igualdad se logra claramente para el círculo, ya que en ese ^caso A = πr² y P = ^2πr . ^{[ 151} ]

En última instancia, como consecuencia de la desigualdad isoperimétrica, π aparece en la constante óptima para la desigualdad crítica de Sobolev en n dimensiones, lo que caracteriza el papel de π también en muchos fenómenos físicos, por ejemplo, los de la teoría del potencial clásico . ^{[ 152 ] [ 153 ] [ 154 ]} En dos dimensiones, la desigualdad crítica de Sobolev es

$${\displaystyle 2\pi \|f\|_{2}\leq \|\nabla f\|_{1}}$$

para f una función suave con soporte compacto en R ² ,${\displaystyle \nabla f}$es el gradiente de f y${\displaystyle \|f\|_{2}}$y${\displaystyle \|\nabla f\|_{1}}$^Se hace referencia respectivamente a las normas L2 y ^{L1 . La desigualdad} de Sobolev es equivalente a la desigualdad isoperimétrica (en cualquier dimensión), con las mismas constantes óptimas.

La desigualdad de Wirtinger también se generaliza a desigualdades de Poincaré de dimensiones superiores que proporcionan las mejores constantes para la energía de Dirichlet de una membrana n- dimensional. Específicamente, π es la mayor constante tal que

$${\displaystyle \pi \leq {\frac {\left(\int _{G}|\nabla u|^{2}\right)^{1/2}}{\left(\int _{G}|u|^{2}\right)^{1/2}}}}$$

para todos los subconjuntos convexos G de R ⁿ de diámetro 1 y funciones de cuadrado integrable u en G de media cero. ^{[ 155 ]} Así como la desigualdad de Wirtinger es la forma variacional del problema de valores propios de Dirichlet en una dimensión, la desigualdad de Poincaré es la forma variacional del problema de valores propios de Neumann , en cualquier dimensión.

La constante π también aparece como un parámetro espectral crítico en la transformada de Fourier . Esta es la transformada integral que transforma una función integrable de valor complejo f en la recta real en la función definida como:

$${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx.}$$

Aunque existen varias convenciones diferentes para la transformada de Fourier y su inversa, cualquier convención de este tipo debe incluir π en algún punto . Sin embargo, la definición anterior es la más canónica, ya que proporciona el único operador unitario en ^{L² que} también es ^un homomorfismo algebraico de L¹ a L∞ ^{. [ 156} ]

El principio de incertidumbre de Heisenberg también contiene el número π . El principio de incertidumbre proporciona un límite inferior preciso sobre la medida en que es posible localizar una función tanto en el espacio como en la frecuencia: con nuestras convenciones para la transformada de Fourier,

La consecuencia física, respecto a la incertidumbre en las observaciones simultáneas de posición y momento de un sistema mecánico cuántico , se analiza más adelante . La aparición de π en las fórmulas del análisis de Fourier es, en última instancia, una consecuencia del teorema de Stone-von Neumann , que afirma la unicidad de la representación de Schrödinger del grupo de Heisenberg . ^{[ 157 ]}

Los campos de la probabilidad y la estadística utilizan frecuentemente la distribución normal como un modelo simple para fenómenos complejos; por ejemplo, los científicos generalmente asumen que el error de observación en los experimentos sigue una distribución normal. ^{[ 158 ]} La función gaussiana , que es la función de densidad de probabilidad de la distribución normal con media μ y desviación estándar σ , contiene naturalmente π : ^{[ 159 ]}

$${\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}.}$$

El factor de${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$hace que el área bajo la gráfica de f sea igual a uno, como se requiere para una distribución de probabilidad. Esto se deduce de un cambio de variables en la integral gaussiana : ^{[ 159 ]}

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-u^{2}}\,du={\sqrt {\pi }},}$$

lo que dice que el área bajo la curva de campana básica en la figura es igual a la raíz cuadrada de π .

El teorema del límite central explica el papel fundamental de las distribuciones normales, y por ende de π , en la probabilidad y la estadística. Este teorema está conectado en última instancia con la caracterización espectral de π como el autovalor asociado al principio de incertidumbre de Heisenberg, y con el hecho de que la igualdad se cumple en el principio de incertidumbre solo para la función gaussiana. ^{[ 160 ]} De forma equivalente, π es la única constante que hace que la distribución normal gaussiana e ^{− πx 2} sea igual a su propia transformada de Fourier. ^{[ 161 ]} De hecho, según Howe (1980) , todo el proceso de establecer los teoremas fundamentales del análisis de Fourier se reduce a la integral gaussiana. ^{[ 157 ]}

La constante π aparece en la fórmula de Gauss-Bonnet que relaciona la geometría diferencial de las superficies con su topología . Específicamente, si una superficie compacta Σ tiene curvatura de Gauss K , entonces

$${\displaystyle \int _{\Sigma }K\,dA=2\pi \chi (\Sigma ),}$$

donde χ (Σ) es la característica de Euler , que es un número entero. ^{[ 162 ]} Un ejemplo es el área de la superficie de una esfera S de curvatura 1 (de modo que su radio de curvatura , que coincide con su radio, también es 1). La característica de Euler de una esfera se puede calcular a partir de sus grupos de homología y se encuentra que es igual a dos. Por lo tanto, tenemos

$${\displaystyle A(S)=\int _{S}1\,dA=2\pi \cdot 2=4\pi ,}$$

reproduciendo la fórmula para el área de la superficie de una esfera de radio 1.

La constante aparece en muchas otras fórmulas integrales en topología, en particular, aquellas que involucran clases características a través del homomorfismo de Chern-Weil . ^{[ 163 ]}

Una de las herramientas clave en el análisis complejo es la integración de contorno de una función sobre una curva de Jordan γ orientada positivamente ( rectificable ) . Una forma de la fórmula integral de Cauchy establece que si un punto z ₀ está en el interior de γ , entonces ^{[ 164 ]}

$${\displaystyle \oint _{\gamma }{\frac {dz}{z-z_{0}}}=2\pi i.}$$

Aunque la curva γ no es un círculo y, por lo tanto, no tiene ninguna conexión obvia con la constante π , una demostración estándar de este resultado utiliza el teorema de Morera , que implica que la integral es invariante bajo homotopía de la curva, de modo que puede deformarse a un círculo y luego integrarse explícitamente en coordenadas polares. De forma más general, es cierto que si una curva cerrada rectificable γ no contiene z ₀ , entonces la integral anterior es 2 πi veces el número de vueltas de la curva.

La forma general de la fórmula integral de Cauchy establece la relación entre los valores de una función analítica compleja f ( z ) en la curva de Jordan γ y el valor de f ( z ) en cualquier punto interior z ₀ de γ : ^{[ 165 ]}

$${\displaystyle \oint _{\gamma }{f(z) \over z-z_{0}}\,dz=2\pi if(z_{0}),}$$

siempre que f ( z ) sea analítica en la región encerrada por γ y se extienda continuamente a γ . La fórmula integral de Cauchy es un caso especial del teorema de los residuos , que establece que si g ( z ) es una función meromorfa en la región encerrada por γ y es continua en un entorno de γ , entonces

$${\displaystyle \oint _{\gamma }g(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (g,a_{k}),}$$

donde la suma es de los residuos en los polos de g ( z ) .

La constante π es omnipresente en el cálculo vectorial y la teoría del potencial , por ejemplo en la ley de Coulomb , ^{[ 166 ]} la ley de Gauss , las ecuaciones de Maxwell e incluso las ecuaciones de campo de Einstein . ^{[ 167 ] [ 168 ]} Quizás el ejemplo más simple de esto sea el potencial newtoniano bidimensional , que representa el potencial de una fuente puntual en el origen, cuyo campo asociado tiene un flujo unitario hacia afuera a través de cualquier superficie cerrada lisa y orientada que encierre la fuente:

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\log |\mathbf {x} |.}$$

El factor de${\displaystyle 1/(2\pi )}$es necesario asegurar que${\displaystyle \Phi }$es la solución fundamental de la ecuación de Poisson en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$: ^{[ 169 ]}

$${\displaystyle \Delta \Phi =\delta ,}$$

dónde${\displaystyle \delta }$es la función delta de Dirac .

En dimensiones superiores, los factores de π están presentes debido a una normalización por el volumen n -dimensional de la esfera unitaria n . Por ejemplo, en tres dimensiones, el potencial newtoniano es: ^{[ 169 ]}

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )=-{\frac {1}{4\pi |\mathbf {x} |}},}$$

que tiene el volumen bidimensional (es decir, el área) de la esfera unitaria de 2 dimensiones en el denominador.

En la geometría diferencial de curvas , la curvatura total de una curva plana suave es la cantidad que gira en sentido antihorario, en radianes, desde el inicio hasta el final, calculada como la integral de la curvatura con signo con respecto a la longitud del arco:

$${\displaystyle \int _{a}^{b}k(s)\,ds.}$$

Para una curva cerrada, esta cantidad es igual a 2πN , donde N es el número de vueltas o índice de la curva. N es el número de vueltas alrededor del origen del hodógrafo de la curva parametrizada por la longitud de arco, una nueva curva que se encuentra sobre el círculo unitario y que se describe mediante el vector tangente normalizado en cada punto de la curva original. De forma equivalente, N es el grado de la transformación que asigna a cada punto de la curva su correspondiente punto en el hodógrafo, análoga a la transformación de Gauss para superficies.

The factorial function ${\displaystyle n!}$ is the product of all of the positive integers through n. The gamma function extends the concept of factorial (normally defined only for non-negative integers) to all complex numbers, except the negative real integers, with the identity ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$. When the gamma function is evaluated at half-integers, the result is naturally expressed in terms of π. For example, ${\displaystyle \Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}={\sqrt {\pi }}}$ and ${\textstyle \Gamma {\bigl (}{\tfrac {5}{2}}{\bigr )}={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}}$.^[170]

The gamma function is defined by its Weierstrass product development:^[171]

$${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{z/n}}{1+z/n}},}$$

where γ is the Euler–Mascheroni constant. Evaluated at ⁠${\displaystyle z={\tfrac {1}{2}}}$⁠ and squared, the equation ⁠${\displaystyle \textstyle \gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}=\pi }$⁠ reduces to the Wallis product formula. The gamma function is also connected to the Riemann zeta function and identities for the functional determinant, in which the constant πplays an important role.

The gamma function is used to calculate the volume V_n(r) of the n-dimensional ball of radius r in Euclidean n-dimensional space, and the surface area S_n−1(r) of its boundary, the (n−1)-dimensional sphere:^[172]

$${\displaystyle V_{n}(r)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}+1{\bigr )}}}r^{n},}$$

$${\displaystyle S_{n-1}(r)={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+1{\bigr )}}}r^{n-1}.}$$

Further, it follows from the functional equation that

$${\displaystyle 2\pi r={\frac {S_{n+1}(r)}{V_{n}(r)}}.}$$

The gamma function can be used to create a simple approximation to the factorial function n! for large n: ${\textstyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$, which is known as Stirling's approximation.^[173] Equivalently,

$${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {e^{2n}n!^{2}}{2n^{2n+1}}}.}$$

As a geometrical application of Stirling's approximation, let Δ_n denote the standard simplex in n-dimensional Euclidean space, and (n + 1)Δ_n denote the simplex having all of its sides scaled up by a factor of n + 1. Then

$${\displaystyle \operatorname {Vol} ((n+1)\Delta _{n})={\frac {(n+1)^{n}}{n!}}\sim {\frac {e^{n+1}}{\sqrt {2\pi n}}}.}$$

Ehrhart's volume conjecture predicts that this is the (optimal) upper bound on the volume of a convex body containing only one integer lattice point.^[174]

The Riemann zeta functionζ(s) is used in many areas of mathematics. When evaluated at s = 2 it can be written as

$${\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots .}$$

Finding a simple solution for this infinite series was a famous problem in mathematics called the Basel problem. Leonhard Euler solved it in 1735 when he showed it was equal to π²/6.^[83] Euler's result leads to the number-theoretic result that the probability of two random numbers being relatively prime (that is, having no shared factors) is equal to 6/π².^[175] This probability is based on the observation that the probability that any number is divisible by a prime p is 1/p (for example, every 7th integer is divisible by 7). Hence the probability that two numbers are both divisible by this prime is 1/p², and the probability that at least one of them is not is 1 − 1/p². For distinct primes, these divisibility events are mutually independent; so the probability that two numbers are relatively prime is given by a product over all primes:^[176]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)&=\left(\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-2}}}\right)^{-1}\\[4pt]&={\frac {1}{1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }}\\[4pt]&={\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\approx 61\%.\end{aligned}}}$$

This probability can be used in conjunction with a random number generator to approximate π using a Monte Carlo approach.^[177]

La solución al problema de Basilea implica que la cantidad geométrica derivada π está profundamente conectada con la distribución de los números primos. Este es un caso especial de la conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa , que afirma la igualdad de productos infinitos similares de cantidades aritméticas , localizadas en cada primo p , y una cantidad geométrica : el recíproco del volumen de un cierto espacio localmente simétrico . En el caso del problema de Basilea, se trata de la 3-variedad hiperbólica SL ₂ ( R ) / SL ₂ ( Z ) . ^{[ 178 ]}

La función zeta también satisface la ecuación funcional de Riemann, que involucra a π así como a la función gamma:

$${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s).}$$

Además, la derivada de la función zeta satisface

$${\displaystyle \exp(-\zeta '(0))={\sqrt {2\pi }}.}$$

Una consecuencia es que π puede obtenerse a partir del determinante funcional del oscilador armónico . Este determinante funcional puede calcularse mediante un desarrollo en serie de productos y es equivalente a la fórmula del producto de Wallis. ^{[ 179 ]} El cálculo puede reformularse en mecánica cuántica , específicamente en el enfoque variacional del espectro del átomo de hidrógeno . ^{[ 180 ]}

La constante π también aparece de forma natural en las series de Fourier de funciones periódicas . Las funciones periódicas son funciones definidas en el grupo T = R / Z de las partes fraccionarias de los números reales. La descomposición de Fourier muestra que una función compleja f definida en T puede escribirse como una superposición lineal infinita de caracteres unitarios de T. Es decir, homomorfismos de grupo continuos de T al grupo circular U (1) de los números complejos de módulo unitario.

Es un teorema que cada carácter de T es una de las exponenciales complejas.${\displaystyle e_{n}(x)=e^{2\pi inx}}$. Among these, there is a unique character, up to complex conjugation, that is a group isomorphism from T onto the multiplicative group of complex numbers of absolute value one.^[182] A definition of the constant, due to Nicolas Bourbaki, takes π to be half the magnitude of the derivative of this isomorphism.^[183]

Equivalently, using the Haar measure on the circle group, the other characters have derivatives whose magnitudes are positive integral multiples of 2π. Thus π is the unique positive number such that the group T, equipped with its Haar measure, is Pontrjagin dual to the lattice of integral multiples of 2π.^[183][184] This is a version of the one-dimensional Poisson summation formula.

In Fourier analysis, the appearance of π rather than 2π often signals the passage from ordinary characters to projective representations. The basic exponential ${\displaystyle e^{\pi ix}}$ is not a character of the group T, since it changes sign after one turn of the circle; instead, it defines a representation of the double cover of T. This is the simplest example of a projective representation, and the same phenomenon recurs more broadly in harmonic analysis. Spinors, for example, represent rotations only after passing to a double cover, and metaplectic representations similarly arise from a double cover of SL(2,R). The same ideas also connect Fourier analysis with arithmetic, since theta functions and modular forms of half-integral weight are naturally governed by these metaplectic and Heisenberg-theoretic constructions.

The constant π is connected in a deep way with the theory of modular forms and theta functions. For example, the Chudnovsky algorithm involves in an essential way the j-invariant of an elliptic curve.

Modular forms are holomorphic functions in the upper half plane characterized by their transformation properties under the modular group${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ (or its various subgroups), a lattice in the group ⁠${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$⁠. An example is the Jacobi theta function

$${\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2\pi inz\ +\ \pi in^{2}\tau },}$$

which is a kind of modular form called a Jacobi form.^[185] This is sometimes written in terms of the nome${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$.

The constant π is the unique constant making the Jacobi theta function an automorphic form, meaning that it transforms in a specific way. Certain identities hold for all automorphic forms. An example is

$${\displaystyle \theta (z+\tau ,\tau )=e^{-\pi i\tau -2\pi iz}\theta (z,\tau ),}$$

which implies that θ transforms as a representation under the discrete Heisenberg group. General modular forms and other theta functions also involve π, once again because of the Stone–von Neumann theorem.^[185]

The Cauchy distribution

$${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {1}{x^{2}+1}}}$$

is a probability density function. The total probability is equal to one, owing to the integral:

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx=\pi .}$$

The Shannon entropy of the Cauchy distribution is equal to ln(4π), which also involves π.

The Cauchy distribution plays an important role in potential theory because it is the simplest Furstenberg measure, the classical Poisson kernel associated with a Brownian motion in a half-plane.^[186]Conjugate harmonic functions and hence the Hilbert transform are associated with the asymptotics of the Poisson kernel. The Hilbert transform H is the integral transform given by the Cauchy principal value of the singular integral

$${\displaystyle Hf(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)\,dx}{x-t}}.}$$

The constant π is the unique (positive) normalizing factor such that H defines a linear complex structure on the Hilbert space of square-integrable real-valued functions on the real line.^[187] The Hilbert transform, like the Fourier transform, can be characterized purely in terms of its transformation properties on the Hilbert space L²(R): up to a normalization factor, it is the unique bounded linear operator that commutes with positive dilations and anti-commutes with all reflections of the real line.^[188] The constant π is the unique normalizing factor that makes this transformation unitary.

An occurrence of π in the fractal called the Mandelbrot set was discovered by David Boll in 1991. He examined the behaviour of the Mandelbrot set near the "neck" at (−0.75, 0). When the number of iterations until divergence for the point (−0.75, ε) is multiplied by ε, the result approaches π as ε approaches zero. The point (0.25 + ε, 0) at the cusp of the large "valley" on the right side of the Mandelbrot set behaves similarly: the number of iterations until divergence multiplied by the square root of ε tends to π.^[189]

Although not a physical constant, π appears routinely in equations describing physical phenomena, often because of π's relationship to the circle and to spherical coordinate systems. A simple formula from the field of classical mechanics gives the approximate period T of a simple pendulum of length L, swinging with a small amplitude (g is the earth's gravitational acceleration):^[190]

$${\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}.}$$

One of the key formulae of quantum mechanics is Heisenberg's uncertainty principle, which shows that the uncertainty in the measurement of a particle's position (Δx) and momentum (Δp) cannot both be arbitrarily small at the same time (where h is the Planck constant):^[191]

$${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}.}$$

The fact that π is approximately equal to 3 plays a role in the relatively long lifetime of orthopositronium. The inverse lifetime to lowest order in the fine-structure constantα is^[192]

$${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=2{\frac {\pi ^{2}-9}{9\pi }}m_{\text{e}}\alpha ^{6},}$$

where m_e is the mass of the electron.

π is present in some structural engineering formulae, such as the buckling formula derived by Euler, which gives the maximum axial load F that a long, slender column of length L, modulus of elasticityE, and area moment of inertiaI can carry without buckling:^[193]

$${\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{L^{2}}}.}$$

The field of fluid dynamics contains π in Stokes' law, which approximates the frictional forceF exerted on small, spherical objects of radius R, moving with velocity v in a fluid with dynamic viscosityη:^[194]

$${\displaystyle F=6\pi \eta Rv.}$$

In electromagnetics, the vacuum permeability constant μ₀ appears in Maxwell's equations, which describe the properties of electric and magnetic fields and electromagnetic radiation. Before 20 May 2019, it was defined as exactly

La pifilología es la práctica de memorizar grandes cantidades de dígitos de π , ^{[ 195 ]} y los récords mundiales son mantenidos por Guinness World Records . El récord de memorización de dígitos de π , certificado por Guinness World Records, es de 70 000 dígitos, recitados en India por Rajveer Meena en 9 horas y 27 minutos el 21 de marzo de 2015. ^{[ 196 ]} En 2006, Akira Haraguchi , un ingeniero japonés jubilado, afirmó haber recitado 100 000 decimales, pero la afirmación no fue verificada por Guinness World Records. ^{[ 197 ]}

Una técnica común consiste en memorizar una historia o poema en el que la longitud de las palabras representa los dígitos de π : la primera palabra tiene tres letras, la segunda una, la tercera cuatro, la cuarta una, la quinta cinco, y así sucesivamente. Estas ayudas para la memorización se denominan mnemotecnias . Un ejemplo temprano de mnemotecnia para pi, ideada originalmente por el científico inglés James Jeans , es "How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics" (Cómo me apetece una copa, alcohólica por supuesto, después de las pesadas conferencias sobre mecánica cuántica). ^{[ 195 ]} Cuando se utiliza un poema, a veces se le denomina piem . ^{[ 198 ]} Se han compuesto poemas para memorizar π en varios idiomas además del inglés. ^{[ 195 ]} Los memorizadores de π que baten récords normalmente no recurren a poemas, sino que utilizan métodos como recordar patrones numéricos y el método de los loci . ^{[ 199 ]}

Algunos autores han utilizado los dígitos de π para establecer una nueva forma de escritura restringida , donde la longitud de las palabras debe representar los dígitos de π . La Cadenza Cadaeica contiene los primeros 3835 dígitos de π de esta manera, ^{[ 200 ]} y el libro completo Not a Wake contiene 10 000 palabras, cada una de las cuales representa un dígito de π . ^{[ 201 ]}

Quizás debido a la simplicidad de su definición y su presencia omnipresente en fórmulas, π ha sido representado en la cultura popular más que otros constructos matemáticos. ^{[ 205 ]}

In the Palais de la Découverte (a science museum in Paris) there is a circular room known as the pi room. On its wall are inscribed 707 digits of π. The digits are large wooden characters attached to the dome-like ceiling. The digits were based on an 1873 calculation by English mathematician William Shanks, which included an error beginning at the 528th digit. The error was detected in 1946 and corrected in 1949.^[206]