Instanton

El coeficiente dx ¹ ⊗σ ₃ de un instantón BPST en la sección (x ¹ ,x ² ) de R ⁴ donde σ ₃ es la tercera matriz de Pauli (arriba a la izquierda). El coeficiente dx ² ⊗σ ₃ (arriba a la derecha). Estos coeficientes determinan la restricción del instantón BPST A con g=2,ρ=1,z=0 a esta sección. La intensidad de campo correspondiente centrada alrededor de z=0 (abajo a la izquierda). Una representación visual de la intensidad de campo de un instantón BPST con centro z en la compactificación S ⁴ de R ⁴ (abajo a la derecha). El instantón BPST es una solución clásica de instantón a las ecuaciones de Yang-Mills en R ⁴ .

Un instantón (o pseudopartícula ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} ) es un concepto que aparece en la física teórica y matemática . Un instantón es una solución clásica a las ecuaciones de movimiento con una acción finita y no nula , ya sea en mecánica cuántica o en teoría cuántica de campos . Más precisamente, es una solución a las ecuaciones de movimiento de la teoría clásica de campos en un espaciotiempo euclidiano . ^[⁴^]

En dichas teorías cuánticas, las soluciones a las ecuaciones de movimiento pueden considerarse puntos críticos de la acción . Los puntos críticos de la acción pueden ser máximos locales , mínimos locales o puntos de silla . Los instantones son importantes en la teoría cuántica de campos porque:

aparecen en la integral de trayectoria como las correcciones cuánticas principales al comportamiento clásico de un sistema, y
Se pueden utilizar para estudiar el comportamiento de tunelización en diversos sistemas, como la teoría de Yang-Mills .

En dinámica , las familias de instantones permiten relacionar entre sí los instantones, es decir, los diferentes puntos críticos de la ecuación de movimiento. En física, los instantones son particularmente importantes porque se cree que la condensación de instantones (y anti-instantones inducidos por ruido) explica la fase caótica inducida por ruido conocida como criticidad autoorganizada .

Matemáticas

Matemáticamente, un instantón de Yang-Mills es una conexión autodual o anti-autodual en un fibrado principal sobre una variedad riemanniana de cuatro dimensiones que desempeña el papel de espacio-tiempo físico en la teoría de gauge no abeliana . Los instantones son soluciones topológicamente no triviales de las ecuaciones de Yang-Mills que minimizan absolutamente el funcional de energía dentro de su tipo topológico. ^[⁵^] Las primeras de estas soluciones se descubrieron en el caso del espacio euclidiano de cuatro dimensiones compactificado a la esfera de cuatro dimensiones , y resultaron estar localizadas en el espacio-tiempo, lo que dio origen a los nombres de pseudopartícula e instantón .

Los instantones de Yang-Mills se han construido explícitamente en muchos casos mediante la teoría de twistores , que los relaciona con haces vectoriales algebraicos en superficies algebraicas , y a través de la construcción ADHM , o reducción hiperkähler (véase variedad hiperkähler ), un procedimiento de teoría de invariantes geométricos. El trabajo pionero de Simon Donaldson , por el que posteriormente recibió la Medalla Fields , utilizó el espacio de módulos de instantones sobre una variedad diferenciable de cuatro dimensiones dada como un nuevo invariante de la variedad que depende de su estructura diferenciable y lo aplicó a la construcción de variedades de cuatro dimensiones homeomorfas pero no difeomorfas . Muchos métodos desarrollados en el estudio de instantones también se han aplicado a monopolos . Esto se debe a que los monopolos magnéticos surgen como soluciones de una reducción dimensional de las ecuaciones de Yang-Mills. ^{[ 6 ]}

Mecánica cuántica

Un instantón puede utilizarse para calcular la probabilidad de transición de una partícula cuántica que atraviesa por efecto túnel una barrera de potencial. Un ejemplo de sistema con efecto instantón es una partícula en un potencial de doble pozo . A diferencia de una partícula clásica, existe una probabilidad no nula de que atraviese una región de energía potencial superior a su propia energía. ^{[ 4 ]}

Motivación para considerar los instantones

Consideremos la mecánica cuántica del movimiento de una sola partícula dentro del potencial de doble pozo. $V(x)={1 \over 4}(x^{2}-1)^{2}.$ La energía potencial toma su valor mínimo en $x=\pm 1$ y estos se denominan mínimos clásicos porque la partícula tiende a situarse en uno de ellos en la mecánica clásica. En la mecánica clásica existen dos estados de energía más bajos.

En mecánica cuántica, resolvemos la ecuación de Schrödinger.

$-{\hbar ^{2} \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\psi (x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x),$

para identificar los autoestados de energía. Si hacemos esto, encontraremos solo el único estado de energía más baja en lugar de dos estados. La función de onda del estado fundamental se localiza en ambos mínimos clásicos. $x=\pm 1$ en lugar de solo uno de ellos debido a la interferencia cuántica o al efecto túnel cuántico.

Los instantones son la herramienta para comprender por qué sucede esto dentro de la aproximación semiclasica de la formulación de la integral de trayectoria en tiempo euclidiano. Primero lo veremos utilizando la aproximación WKB, que calcula aproximadamente la función de onda, y luego introduciremos los instantones utilizando la formulación de la integral de trayectoria.

aproximación WKB

Una forma de calcular esta probabilidad es mediante la aproximación semiclasica WKB , que requiere el valor de $\hbar$ ser pequeño. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para la partícula es:

${\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {2m(V(x)-E)}{\hbar ^{2}}}\psi .$

Si el potencial fuera constante, la solución sería una onda plana, salvo un factor de proporcionalidad.

$\psi =\exp(-\mathrm {i} kx)\,$

con

$k={\frac {\sqrt {2m(EV)}}{\hbar }}.$

Esto significa que si la energía de la partícula es menor que la energía potencial, se obtiene una función exponencialmente decreciente. La amplitud de tunelización asociada es proporcional a

$e^{-{\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{b}{\sqrt {2m(V(x)-E)}}\,dx},$

donde a y b son el punto inicial y final de la trayectoria del túnel.

Interpretación de la integral de trayectoria mediante instantones

Alternativamente, el uso de integrales de trayectoria permite una interpretación de instantones y se puede obtener el mismo resultado con este enfoque. En la formulación de integrales de trayectoria, la amplitud de transición se puede expresar como

$K(a,b;t)=\langle x=a|e^{-{\frac {i\mathbb {H} t}{\hbar }}}|x=b\rangle =\int d[x(t)]e^{\frac {iS[x(t)]}{\hbar }}.$

Siguiendo el proceso de rotación de Wick (continuación analítica) al espaciotiempo euclidiano ( $it\rightarrow \tau$ ), uno obtiene

$K_{E}(a,b;\tau )=\langle x=a|e^{-{\frac {\mathbb {H} \tau }{\hbar }}}|x=b\rangle =\int d[x(\tau )]e^{-{\frac {S_{E}[x(\tau )]}{\hbar }}},$

con la acción euclidiana

$S_{E}=\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}\left({\frac {1}{2}}m\left({\frac {dx}{d\tau }}\right)^{2}+V(x)\right)d\tau .$

La energía potencial cambia de signo $V(x)\rightarrow -V(x)$ bajo la rotación de Wick y los mínimos se transforman en máximos, por lo tanto $V(x)$ Presenta dos "colinas" de máxima energía.

Consideremos ahora el mínimo local de la acción euclidiana. $S_{E}$ con el potencial de doble pozo $V(x)={1 \over 4}(x^{2}-1)^{2}$ y establecimos $m=1$ solo por simplicidad de cálculo. Ya que queremos saber cómo los dos estados de energía clásicamente más bajos $x=\pm 1$ están conectados, establezcamos $a=-1$ y $b=1$ . Para $a=-1$ y $b=1$ , podemos reescribir la acción euclidiana como

${\begin{aligned}S_{E}&=\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {1 \over 2}\left({dx \over d\tau }-{\sqrt {2V(x)}}\right)^{2}+{\sqrt {2}}\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {dx \over d\tau }{\sqrt {V(x)}}\\&=\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {1 \over 2}\left({dx \over d\tau }-{\sqrt {2V(x)}}\right)^{2}+\int _{-1}^{1}dx{1 \over {\sqrt {2}}}(1-x^{2}).\\&\geq {2{\sqrt {2}} \over 3}.\end{aligned}}$

La desigualdad anterior se satura con la solución de ${dx \over d\tau }={\sqrt {2V(x)}}$ con la condición $x(\tau _{a})=-1$ y $x(\tau _{b})=1$ . Tales soluciones existen, y la solución adopta la forma simple cuando $\tau _{a}=-\infty$ y $\tau _{b}=\infty$ La fórmula explícita para la solución instantónica viene dada por

$x(\tau )=\tanh \left({1 \over {\sqrt {2}}}(\tau -\tau _{0})\right).$

Aquí $\tau _{0}$ es una constante arbitraria. Dado que esta solución salta de un vacío clásico a otro $x=-1$ a otro vacío clásico $x=1$ instantáneamente alrededor $\tau =\tau _{0}$ , se le llama instantón.

Fórmula explícita para el potencial de doble pozo

La fórmula explícita para las autoenergías de la ecuación de Schrödinger con potencial de doble pozo ha sido dada por Müller-Kirsten ^{[ 7 ]} con derivación tanto por un método de perturbación (más condiciones de contorno) aplicado a la ecuación de Schrödinger, como por derivación explícita a partir de la integral de trayectoria (y WKB). El resultado es el siguiente. Definiendo los parámetros de la ecuación de Schrödinger y el potencial por las ecuaciones

${\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,$

y

$V(z)=-{\frac {1}{4}}z^{2}h^{4}+{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;\;c^{2}>0,\;h^{4}>0,$

los valores propios para $q_{0}=1,3,5,...$ Se ha descubierto que son:

${\begin{aligned}E_{\pm }(q_{0},h^{2})=&-{\frac {h^{8}}{2^{5}c^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}q_{0}h^{2}-{\frac {c^{2}(3q_{0}^{2}+1)}{2h^{4}}}-{\frac {{\sqrt {2}}c^{4}q_{0}}{8h^{10}}}(17q_{0}^{2}+19)+O({\frac {1}{h^{16}}})\\&\mp {\frac {2^{q_{0}+1}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{{\sqrt {\pi }}2^{q_{0}/4}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6{\sqrt {2}}c^{2}}.\end{aligned}}$

Claramente estos autovalores son asintóticamente ( $h^{2}\rightarrow \infty$ ) degeneran como se esperaba como consecuencia de la parte armónica del potencial.

Resultados

Los resultados obtenidos a partir de la integral de trayectoria euclidiana matemáticamente bien definida pueden ser rotados de Wick hacia atrás y dar los mismos resultados físicos que se obtendrían mediante un tratamiento apropiado de la integral de trayectoria minkowskiana (potencialmente divergente). Como se puede ver en este ejemplo, el cálculo de la probabilidad de transición para que la partícula atraviese por efecto túnel una región clásicamente prohibida ( $V(x)$ ) con la integral de trayectoria minkowskiana corresponde al cálculo de la probabilidad de transición para atravesar por efecto túnel una región clásicamente permitida (con potencial $-V(X)$ ) en la integral de trayectoria euclidiana (en términos gráficos , en la representación euclidiana , esta transición corresponde a una partícula que rueda desde una colina de un potencial de doble pozo invertido hasta la otra colina). Esta solución clásica de las ecuaciones de movimiento euclidianas se denomina a menudo "solución de kink" y es un ejemplo de instantón . En este ejemplo, los dos "vacua" (es decir, estados fundamentales) del potencial de doble pozo se convierten en colinas en la versión euclidiana del problema.

Así, la solución del campo instantón de la teoría de campos (1 + 1) dimensional (euclidiana, es decir, con tiempo imaginario) –primera descripción cuántica cuantizada– permite interpretarla como un efecto túnel entre los dos vacíos (estados fundamentales ; los estados superiores requieren instantones periódicos) del sistema minkowskiano físico (espacio unidimensional + tiempo real). En el caso del potencial de doble pozo escrito

$V(\phi )={\frac {m^{4}}{2g^{2}}}\left(1-{\frac {g^{2}\phi ^{2}}{m^{2}}}\right)^{2}$

el instantón, es decir, solución de

${\frac {d^{2}\phi }{d\tau ^{2}}}=V'(\phi ),$

(es decir, con energía) $E_{cl}=0$ ), es

$\phi _{c}(\tau )={\frac {m}{g}}\tanh \left[m(\tau -\tau _{0})\right],$

dónde $\tau =it$ es el tiempo euclidiano.

Nótese que una teoría de perturbación ingenua centrada únicamente en uno de esos dos vacíos (de la descripción minkowskiana) jamás mostraría este efecto de tunelización no perturbativo , lo que cambia drásticamente la imagen de la estructura del vacío de este sistema cuántico. De hecho, la teoría de perturbación ingenua debe complementarse con condiciones de contorno, y estas proporcionan el efecto no perturbativo, como se evidencia en la fórmula explícita anterior y en cálculos análogos para otros potenciales, como un potencial coseno (véase la función de Mathieu ) u otros potenciales periódicos (véase, por ejemplo, la función de Lamé y la función de onda esferoidal ), independientemente de si se utiliza la ecuación de Schrödinger o la integral de trayectoria . ^{[ 8 ]}

Por lo tanto, el enfoque perturbativo puede no describir completamente la estructura del vacío de un sistema físico. Esto puede tener consecuencias importantes, por ejemplo, en la teoría de los "axiones", donde los efectos no triviales del vacío de la QCD (como los instantones ) alteran explícitamente la simetría de Peccei-Quinn y transforman los bosones de Nambu-Goldstone sin masa en bosones pseudo-Nambu-Goldstone masivos .

Instantones periódicos

En la teoría de campos unidimensional o mecánica cuántica, se define como "instantón" una configuración de campo que es solución de la ecuación de movimiento clásica (tipo Newton) con tiempo euclidiano y acción euclidiana finita. En el contexto de la teoría de solitones , la solución correspondiente se conoce como kink . Debido a su analogía con el comportamiento de las partículas clásicas, dichas configuraciones o soluciones, así como otras, se conocen colectivamente como pseudopartículas o configuraciones pseudoclásicas. La solución "instantón" (kink) va acompañada de otra solución conocida como "antiinstantón" (anti-kink), y el instantón y el antiinstantón se distinguen por "cargas topológicas" +1 y −1 respectivamente, pero tienen la misma acción euclidiana.

Los "instantones periódicos" son una generalización de los instantones. ^{[ 9 ]} En forma explícita, se pueden expresar en términos de funciones elípticas jacobianas , que son funciones periódicas (generalizaciones efectivas de funciones trigonométricas). En el límite de un período infinito, estos instantones periódicos —conocidos frecuentemente como "rebotes", "burbujas " o similares— se reducen a instantones.

La estabilidad de estas configuraciones pseudoclásicas puede investigarse expandiendo el lagrangiano que define la teoría alrededor de la configuración de la pseudopartícula y luego investigando la ecuación de pequeñas fluctuaciones a su alrededor. Para todas las versiones de potenciales cuárticos (doble pozo, doble pozo invertido) y potenciales periódicos (Mathieu), se descubrió que estas ecuaciones son ecuaciones de Lamé, véase la función de Lamé . ^{[ 10 ]} Los autovalores de estas ecuaciones son conocidos y permiten, en caso de inestabilidad, el cálculo de las tasas de decaimiento mediante la evaluación de la integral de trayectoria. ^{[ 9 ]}

Instantones en la teoría de la velocidad de reacción

En el contexto de la teoría de la velocidad de reacción, los instantones periódicos se utilizan para calcular la velocidad de tunelización de átomos en reacciones químicas. El progreso de una reacción química puede describirse como el movimiento de una pseudopartícula en una superficie de energía potencial (SEP) de alta dimensión. La constante de velocidad térmica $k$ entonces se puede relacionar con la parte imaginaria de la energía libre. $F$ por ^{[ 11 ]}

$k(\beta )=-{\frac {2}{\hbar }}{\text{Im}}\mathrm {F} ={\frac {2}{\beta \hbar }}{\text{Im}}\ {\text{ln}}(Z_{k})\approx {\frac {2}{\hbar \beta }}{\frac {{\text{Im}}Z_{k}}{{\text{Re}}Z_{k}}},\ \ {\text{Re}}Z_{k}\gg {\text{Im}}Z_{k}$

por lo cual $Z_{k}$ es la función de partición canónica, que se calcula tomando la traza del operador de Boltzmann en la representación de posición.

$Z_{k}={\text{Tr}}(e^{-\beta {\hat {H}}})=\int d\mathbf {x} \left\langle \mathbf {x} \left|e^{-\beta {\hat {H}}}\right|\mathbf {x} \right\rangle$

Utilizando una rotación de Wick e identificando el tiempo euclidiano con $\hbar \beta =1/(k_{b}T)$ , se obtiene una representación integral de trayectoria para la función de partición en coordenadas ponderadas por masa: ^{[ 12 ]}

$Z_{k}=\oint {\mathcal {D}}\mathbf {x} (\tau )e^{-S_{E}[\mathbf {x} (\tau )]/\hbar },\ \ \ S_{E}=\int _{0}^{\beta \hbar }\left({\frac {\dot {\mathbf {x} }}{2}}^{2}+V(\mathbf {x} (\tau ))\right)d\tau$

La integral de trayectoria se aproxima entonces mediante una integración de descenso más pronunciado, que toma en cuenta solo las contribuciones de las soluciones clásicas y las fluctuaciones cuadráticas a su alrededor. Esto produce la expresión de la constante de velocidad en coordenadas ponderadas por la masa.

$k(\beta )={\frac {2}{\beta \hbar }}\left({\frac {{\text{det}}\left[-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau ^{2}}}+\mathbf {V} ''(x_{\text{RS}}(\tau ))\right]}{{\text{det}}\left[-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau ^{2}}}+\mathbf {V} ''(x_{\text{Inst}}(\tau ))\right]}}\right)^{\frac {1}{2}}{\exp \left({\frac {-S_{E}[x_{\text{inst}}(\tau )+S_{E}[x_{\text{RS}}(\tau )]}{\hbar }}\right)}$

dónde $\mathbf {x} _{\text{Inst}}$ es un instantón periódico y $\mathbf {x} _{\text{RS}}$ es la solución trivial de la pseudopartícula en reposo que representa la configuración del estado reactivo.

Fórmula de doble pozo invertido

En cuanto al potencial de doble pozo, se pueden derivar los autovalores para el potencial de doble pozo invertido. En este caso, sin embargo, los autovalores son complejos. Definiendo los parámetros mediante las ecuaciones

${\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)={\frac {1}{4}}h^{4}z^{2}-{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},$

Los autovalores dados por Müller-Kirsten son, para $q_{0}=1,3,5,...,$

$E={\frac {1}{2}}q_{0}h^{2}-{\frac {3c^{2}}{4h^{4}}}(q_{0}^{2}+1)-{\frac {q_{0}c^{4}}{h^{10}}}(4q_{0}^{2}+29)+O({\frac {1}{h^{16}}})\pm i{\frac {2^{q_{0}}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{(2\pi )^{1/2}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6c^{2}}.$

La parte imaginaria de esta expresión coincide con el conocido resultado de Bender y Wu. ^{[ 13 ]} En su notación $\hbar =1,q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon .$

Teoría cuántica de campos

Al estudiar la teoría cuántica de campos (TCC), la estructura de vacío de una teoría puede llamar la atención sobre los instantones. Tal como lo ilustra un sistema cuántico de doble pozo, un vacío ingenuo puede no ser el verdadero vacío de una teoría de campos. Es más, el verdadero vacío de una teoría de campos puede ser una superposición de varios sectores topológicamente no equivalentes, denominados " vacíos topológicos ".

Un ejemplo ilustrativo y bien comprendido de un instantón y su interpretación se puede encontrar en el contexto de una teoría cuántica de campos (TQC) con un grupo de gauge no abeliano , ^{[ nota 2 ]} una teoría de Yang-Mills . Para una teoría de Yang-Mills, estos sectores no equivalentes pueden clasificarse (en un gauge apropiado) mediante el tercer grupo de homotopía de SU(2) (cuya variedad de grupo es la 3-esfera). $S^{3}$ ). Un cierto vacío topológico (un "sector" del vacío verdadero) se etiqueta mediante una transformación inalterada , el índice de Pontryagin . Como tercer grupo de homotopía de $S^{3}$ se ha encontrado que es el conjunto de enteros ,

\pi _{3}

(S^{3})=

\mathbb {Z} \,

Hay infinitos vacíos topológicamente no equivalentes, denotados por $|N\rangle$ , dónde $N$ es su índice de Pontryagin correspondiente. Un instantón es una configuración de campo que satisface las ecuaciones clásicas de movimiento en el espaciotiempo euclidiano, que se interpreta como un efecto túnel entre estos diferentes vacíos topológicos. Se etiqueta nuevamente con un número entero, su índice de Pontryagin, $Q$ . Se puede imaginar un instantón con índice $Q$ para cuantificar el efecto túnel entre vacíos topológicos $|N\rangle$ y $|N+Q\rangle$ Si Q = 1, la configuración se denomina instantón BPST en honor a sus descubridores Alexander Belavin , Alexander Polyakov , Albert S. Schwarz y Yu. S. Tyupkin . El verdadero vacío de la teoría se etiqueta con un "ángulo" theta y es una superposición de los sectores topológicos:

$|\theta \rangle =\sum _{N=-\infty }^{N=+\infty }e^{i\theta N}|N\rangle .$

Gerard 't Hooft fue el primero en realizar el cálculo teórico de campos de los efectos del instantón BPST en una teoría acoplada a fermiones enArchivado el 2 de abril de 2015 en Wayback Machine . Demostró que los modos cero de la ecuación de Dirac en el fondo de instantones conducen a una interacción multifermónica no perturbativa en la acción efectiva de baja energía.

Teoría de Yang-Mills

La acción clásica de Yang-Mills sobre un fibrado principal con grupo estructural G , base M , conexión A y curvatura (tensor de campo de Yang-Mills) F es

$S_{YM}=\int _{M}\left|F\right|^{2}d\mathrm {vol} _{M},$

dónde $d\mathrm {vol} _{M}$ es el formulario de volumen en $M$ . Si el producto interno en ${\mathfrak {g}}$ , el álgebra de Lie de $G$ en el cual $F$ toma valores, se da mediante el formulario de Killing en ${\mathfrak {g}}$ , entonces esto puede denotarse como $\int _{M}\mathrm {Tr} (F\wedge *F)$ , desde

$F\wedge *F=\langle F,F\rangle d\mathrm {vol} _{M}.$

Por ejemplo, en el caso del grupo de calibre U(1) , F será el tensor del campo electromagnético . Del principio de acción estacionaria se derivan las ecuaciones de Yang-Mills. Son las siguientes:

$\mathrm {d} F=0,\quad \mathrm {d} {*F}=0.$

La primera de ellas es una identidad, porque d F = d ²A = 0, pero la segunda es una ecuación diferencial parcial de segundo orden para la conexión A , y si el vector de corriente de Minkowski no se anula, el cero del lado derecho de la segunda ecuación se reemplaza por $\mathbf {J}$ . Pero observe cuán similares son estas ecuaciones; difieren en una estrella de Hodge . Por lo tanto, una solución a la ecuación de primer orden (no lineal) más simple

${*F}=\pm F\,$

es automáticamente también una solución de la ecuación de Yang-Mills. Esta simplificación se produce en 4 variedades con : $s=1$ de modo que $*^{2}=+1$ en 2-formas. Estas soluciones suelen existir, aunque su carácter preciso depende de la dimensión y la topología del espacio base M, el fibrado principal P y el grupo de calibre G.

En las teorías nobelianas de Yang-Mills, $DF=0$ y $D*F=0$ donde D es la derivada covariante exterior . Además, la identidad de Bianchi

$DF=dF+A\wedge F-F\wedge A=d(dA+A\wedge A)+A\wedge (dA+A\wedge A)-(dA+A\wedge A)\wedge A=0$

está satisfecho.

En la teoría cuántica de campos , un instantón es una configuración de campo topológicamente no trivial en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones (considerado como la rotación de Wick del espaciotiempo de Minkowski ). Específicamente, se refiere a un campo de gauge de Yang-Mills A que se aproxima al gauge puro en el infinito espacial . Esto significa que la intensidad del campo

$\mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A}$

se desvanece en el infinito. El nombre instantón deriva del hecho de que estos campos están localizados en el espacio y en el tiempo (euclidiano), es decir, en un instante específico.

El caso de los instantones en el espacio bidimensional puede ser más fácil de visualizar porque admite el caso más simple del grupo de gauge , a saber, U(1), que es un grupo abeliano . En este caso, el campo A puede visualizarse simplemente como un campo vectorial . Un instantón es una configuración donde, por ejemplo, las flechas apuntan lejos de un punto central (es decir, un estado de "erizo"). En cuatro dimensiones euclidianas , $\mathbb {R} ^{4}$ Los instantones abelianos son imposibles.

La configuración de campo de un instantón es muy diferente a la del vacío . Por ello, los instantones no pueden estudiarse mediante diagramas de Feynman , que solo incluyen efectos perturbativos . Los instantones son fundamentalmente no perturbativos .

La energía de Yang-Mills viene dada por

${\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]$

donde ∗ es el dual de Hodge . Si insistimos en que las soluciones de las ecuaciones de Yang-Mills tienen energía finita , entonces la curvatura de la solución en el infinito (tomada como límite ) tiene que ser cero. Esto significa que el invariante de Chern-Simons puede definirse en el límite del espacio tridimensional. Esto es equivalente, mediante el teorema de Stokes , a tomar la integral.

$\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ].$

Este es un invariante de homotopía y nos indica a qué clase de homotopía pertenece el instantón.

Dado que la integral de un integrando no negativo siempre es no negativa,

$0\leq {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [(*\mathbf {F} +e^{-i\theta }\mathbf {F} )\wedge (\mathbf {F} +e^{i\theta }*\mathbf {F} )]=\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} +\cos \theta \mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]$

para todo θ real. Entonces, esto significa

${\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]\geq {\frac {1}{2}}\left|\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]\right|.$

Si este límite está saturado, entonces la solución es un estado BPS . Para tales estados, o bien ∗ F = F o bien ∗ F = − F dependiendo del signo del invariante de homotopía .

En el Modelo Estándar se espera que los instantones estén presentes tanto en el sector electrodébil como en el sector cromodinámico, sin embargo, su existencia aún no ha sido confirmada experimentalmente. ^{[ 14 ]} Los efectos de los instantones son importantes para comprender la formación de condensados en el vacío de la cromodinámica cuántica (QCD) y para explicar la masa de la llamada 'partícula eta prima', un bosón de Goldstone ^{[ nota 3 ]} que ha adquirido masa a través de la anomalía de corriente axial de QCD. Nótese que a veces también hay un solitón correspondiente en una teoría con una dimensión espacial adicional. Investigaciones recientes sobre instantones los vinculan con temas como las D-branas y los agujeros negros y, por supuesto, la estructura del vacío de QCD. Por ejemplo, en las teorías de cuerdas orientadas, una brana Dp es un instantón de teoría de gauge en la teoría de gauge U ( N ) de volumen de mundo ( p + 5)-dimensional en una pila de N D( p + 4)-branas.

Varios números de dimensiones

Los instantones desempeñan un papel fundamental en la dinámica no perturbativa de las teorías de gauge. El tipo de excitación física que produce un instantón depende del número de dimensiones del espaciotiempo, pero, sorprendentemente, el formalismo para tratar con estos instantones es relativamente independiente de las dimensiones.

En las teorías de gauge de 4 dimensiones, como se describió en la sección anterior, los instantones son fibrados de gauge con una clase característica de cuatro formas no trivial . Si la simetría de gauge es un grupo unitario o un grupo unitario especial, entonces esta clase característica es la segunda clase de Chern , que se anula en el caso del grupo de gauge U(1). Si la simetría de gauge es un grupo ortogonal, entonces esta clase es la primera clase de Pontrjagin .

En las teorías de gauge tridimensionales con campos de Higgs , los monopolos de 't Hooft-Polyakov desempeñan el papel de instantones. En su artículo de 1977, Confinamiento de quarks y topología de grupos de gauge , Alexander Polyakov demostró que los efectos de instantones en la electrodinámica cuántica tridimensional acoplada a un campo escalar conducen a una masa para el fotón .

En las teorías de gauge abelianas bidimensionales, los instantones de la hoja de mundo son vórtices magnéticos . Son responsables de muchos efectos no perturbativos en la teoría de cuerdas, desempeñando un papel central en la simetría especular .

En la mecánica cuántica unidimensional , los instantones describen el efecto túnel , que es invisible en la teoría de perturbaciones.

Teorías de gauge supersimétricas en 4D

Las teorías de gauge supersimétricas suelen obedecer a teoremas de no renormalización , que restringen los tipos de correcciones cuánticas permitidas. Muchos de estos teoremas solo se aplican a correcciones calculables en la teoría de perturbaciones , por lo que los instantones, que no se observan en dicha teoría, proporcionan las únicas correcciones a estas cantidades.

Las técnicas de teoría de campos para el cálculo de instantones en teorías supersimétricas fueron estudiadas exhaustivamente en la década de 1980 por diversos autores. Dado que la supersimetría garantiza la cancelación de los modos no nulos fermiónicos y bosónicos en el fondo de instantones, el cálculo de 't Hooft del punto de silla del instantón se reduce a una integración sobre los modos nulos.

En las teorías de gauge supersimétricas N = 1, los instantones pueden modificar el superpotencial , a veces eliminando todos los vacíos. En 1984, Ian Affleck , Michael Dine y Nathan Seiberg calcularon las correcciones de instantones al superpotencial en su artículo " Ruptura dinámica de la supersimetría en QCD supersimétrica" . Más precisamente, solo pudieron realizar el cálculo cuando la teoría contiene un sabor menos de materia quiral que el número de colores en el grupo de gauge unitario especial, porque en presencia de menos sabores una simetría de gauge no abeliana no rota conduce a una divergencia infrarroja y en el caso de más sabores la contribución es igual a cero. Para esta elección especial de materia quiral, los valores esperados del vacío de los campos escalares de materia pueden elegirse para romper completamente la simetría de gauge en el acoplamiento débil, lo que permite proceder con un cálculo fiable del punto de silla semiclasico. Para entonces, al considerar las perturbaciones mediante diversos términos de masa, pudieron calcular el superpotencial en presencia de un número arbitrario de colores y sabores, válido incluso cuando la teoría ya no está débilmente acoplada.

En las teorías de gauge supersimétricas N = 2, el superpotencial no recibe correcciones cuánticas. Sin embargo, la corrección a la métrica del espacio de módulos de los vacuas proveniente de instantones se calculó en una serie de artículos. Primero, Nathan Seiberg calculó la corrección de un instantón en Supersymmetry and Nonperturbative beta Functions . El conjunto completo de correcciones para la teoría de Yang-Mills SU(2) fue calculado por Nathan Seiberg y Edward Witten en " Electric-magnetous duality, monopole condensation, and confinement in N=2 supersymmetric Yang–Mills theory ", creando así un tema que hoy se conoce como teoría de Seiberg-Witten . Extendieron su cálculo a teorías de gauge SU(2) con materia fundamental en Monopoles, duality and chiral symmetry breaking in N=2 supersymmetric QCD . Estos resultados se extendieron posteriormente a diversos grupos de gauge y contenidos de materia, y en la mayoría de los casos también se obtuvo la derivación directa de la teoría de gauge. Para las teorías de gauge con grupo de gauge U(N), la geometría de Seiberg-Witten se ha derivado de la teoría de gauge utilizando funciones de partición de Nekrasov en 2003 por Nikita Nekrasov y Andrei Okounkov e independientemente por Hiraku Nakajima y Kota Yoshioka .

En las teorías de gauge supersimétricas N = 4, los instantones no conducen a correcciones cuánticas para la métrica en el espacio de módulos de los vacíos.

Soluciones explícitas en R ⁴

Un ansatz proporcionado por Corrigan y Fairlie ofrece una solución a las ecuaciones duales de Yang-Mills anti-auto con grupo de calibre SU(2) a partir de cualquier función armónica en $\mathbb {R} ^{4}$ . ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]} El ansatz proporciona expresiones explícitas para el campo de gauge y puede utilizarse para construir soluciones con un número de instantones arbitrariamente grande.

Definición de la antisimetría ${\mathfrak {su}}(2)$ objetos con valor $\sigma _{\mu \nu }$ como $\sigma _{ij}=\epsilon _{ijk}T_{k}\,,\sigma _{i4}=-\sigma _{4i}=T_{i},$ donde los índices griegos van de 1 a 4, los índices latinos van de 1 a 3 y $T_{i}$ es una base de ${\mathfrak {su}}(2)$ satisfactorio $[T_{i},T_{j}]=-\epsilon _{ijk}T_{k}$ . Entonces $A_{\mu }=\sigma _{\mu \nu }{\frac {\partial _{\nu }\rho }{\rho }}=\sigma _{\mu \nu }\partial _{\nu }\log(\rho )$ es una solución siempre y cuando ${\displaystyle \rho$ es armónico.

En cuatro dimensiones, la solución fundamental de la ecuación de Laplace es $|x-y|^{-2}$ para cualquier fijo $y$ Superposición $N+1$ de estos da $N$ -soluciones de solitones de la forma $\rho (x)=\sum _{p=0}^{N}{\frac {\lambda _{p}}{|x-x_{p}|^{2}}}.$ Todas las soluciones de instantones número 1 o 2 son de esta forma, pero para instantones mayores hay soluciones que no son de esta forma.

Véase también

Fluido de instantones : aproximación de integral de trayectoria no perturbativa
Caloron – Instante de temperatura finita
Sidney Coleman – Físico estadounidense (1937–2007)
Método de Holstein-Herring : método numérico en química cuántica.
Instantón gravitacional : variedad riemanniana completa de cuatro dimensiones que satisface las ecuaciones de Einstein en el vacío.
Teoría semiclasica del estado de transición – Teoría de la velocidad de reacción química
Ecuaciones de Yang-Mills : ecuaciones diferenciales parciales cuyas soluciones son instantones.
Teoría de gauge (matemáticas) : estudio de los haces vectoriales, los haces principales y los haces fibrados.

Referencias y notas

Notas

↑ Debido a que esta proyección es conforme , las curvas se intersecan ortogonalmente (en los puntos amarillos) como en 4D. Todas las curvas son círculos: las curvas que se intersecan en <0,0,0,1> tienen radio infinito (= línea recta).
↑ Véase también: Teoría de gauge no abeliana
↑ Véase también: Bosón pseudo-Goldstone

Citas

↑ Instantones en teorías de gauge. Editado por Mikhail A. Shifman. World Scientific, 1994.
↑ Interacciones entre partículas cargadas en un campo magnético. Por Hrachya Nersisyan, Christian Toepffer, Günter Zwicknagel. Springer, 19 de abril de 2007. Pág. 23
↑ Comportamiento de orden superior de la teoría de perturbaciones. Editado por JC Le Guillou y J. Zinn-Justin. Elsevier, 2 de diciembre de 2012. Pág. 170.
1 2 Vaĭnshteĭn, AI; Zakharov, Valentín I.; Novikov, Viktor A.; Shifman, Mikhail A. (30 de abril de 1982). «ABC de los instantenes» . Física soviética Uspekhi . 25 (4): 195. doi : 10.1070/PU1982v025n04ABEH004533 . ISSN 0038-5670 .
↑ «Instantónico de Yang-Mills en nLab» . ncatlab.org . Consultado el 11 de abril de 2023 .
↑ Véase, por ejemplo, el artículo de Nigel Hitchin titulado "Ecuaciones de autodualidad en la superficie de Riemann".
↑ HJW Müller-Kirsten, Introducción a la mecánica cuántica: ecuación de Schrödinger e integral de trayectoria , 2.ª ed. (World Scientific, 2012), ISBN 978-981-4397-73-5; fórmula (18.175b), pág. 525.
↑ HJW Müller-Kirsten, Introducción a la mecánica cuántica: ecuación de Schrödinger e integral de trayectoria , 2.ª ed., World Scientific, 2012, ISBN 978-981-4397-73-5.
1 2 Harald JW Müller-Kirsten, Introducción a la mecánica cuántica: ecuación de Schrödinger e integral de trayectoria , 2.ª ed., World Scientific (Singapur, 2012).
↑ Liang, Jiu-Qing; Müller-Kirsten, HJW; Tchrakian, DH (1992). "Solitones, rebotes y esferones en un círculo". Physics Letters B . 282 ( 1– 2). Elsevier BV: 105– 110. Bibcode : 1992PhLB..282..105L . doi : 10.1016/0370-2693(92)90486-n . ISSN 0370-2693 .
↑ Zaverkin, Viktor; Kästner, Johannes (2020). «Teoría de Instanton para calcular las tasas de tunelización y los desdoblamientos de tunelización». Tunelización en moléculas: efectos cuánticos nucleares desde la bioquímica hasta la química física . Londres: Royal Society of Chemistry. págs. 245-260. doi : 10.1039/9781839160370 . ISBN 978-1-83916-037-0.
↑ Kästner, Johannes (2014). "Teoría y simulación del efecto túnel atómico en reacciones químicas" . WIREs Comput. Mol. Sci . 4 (2): 158– 168. doi : 10.1002/wcms.1165 .
↑ Bender, Carl M.; Wu, Tai Tsun (1973-03-15). "Oscilador anarmónico. II. Un estudio de la teoría de perturbaciones de gran orden". Physical Review D . 7 (6). American Physical Society (APS): 1620– 1636. Bibcode : 1973PhRvD...7.1620B . doi : 10.1103/physrevd.7.1620 . ISSN 0556-2821 .
↑ Amoroso, Simone; Kar, Deepak; Schott, Matthias (2021). "Cómo descubrir instantones QCD en el LHC" . The European Physical Journal C. 81 ( 7): 624. arXiv : 2012.09120 . Bibcode : 2021EPJC...81..624A . doi : 10.1140/epjc/s10052-021-09412-1 . S2CID 229220708 .
↑ Corrigan, E.; Fairlie, DB (marzo de 1977). "Teoría de campos escalares y soluciones exactas para una teoría de gauge SU(2) clásica". Physics Letters B. 67 ( 1): 69–71 . Bibcode : 1977PhLB...67...69C . doi : 10.1016/0370-2693(77)90808-5 .
↑ Dunajski, Maciej (2010). Solitones, instantones y twistores . Oxford: Oxford University Press. pág. 123. ISBN 9780198570639.

General

Instantones en teorías de gauge , una recopilación de artículos sobre instantones, editada por Mikhail A. Shifman , doi : 10.1142/2281
Solitones e instantones , R. Rajaraman (Ámsterdam: North Holland, 1987), ISBN 0-444-87047-4
Los usos de los instantones , por Sidney Coleman en Proc. Int. School of Subnuclear Physics , (Erice, 1977); y en Aspects of Symmetry, pág. 265, Sidney Coleman, Cambridge University Press, 1985, ISBN 0-521-31827-0y en Instantones en Teorías de Gauge
Solitones, instantones y twistores . M. Dunajski, Oxford University Press. ISBN 978-0-19-857063-9.
La geometría de las variedades de cuatro dimensiones , SK Donaldson, PB Kronheimer, Oxford University Press, 1990, ISBN 0-19-853553-8.

Enlaces externos

Definición de instantón en el diccionario Wikcionario

[14] Debido a que esta proyección es conforme , las curvas se intersecan ortogonalmente (en los puntos amarillos) como en 4D. Todas las curvas son círculos: las curvas que se intersecan en <0,0,0,1> tienen radio infinito (= línea recta).

[15] Véase también: Teoría de gauge no abeliana

[17] Véase también: Bosón pseudo-Goldstone

[1] Instantones en teorías de gauge. Editado por Mikhail A. Shifman. World Scientific, 1994.

[2] Interacciones entre partículas cargadas en un campo magnético. Por Hrachya Nersisyan, Christian Toepffer, Günter Zwicknagel. Springer, 19 de abril de 2007. Pág. 23

[3] Comportamiento de orden superior de la teoría de perturbaciones. Editado por JC Le Guillou y J. Zinn-Justin. Elsevier, 2 de diciembre de 2012. Pág. 170.

[:0-4] 1 2 Vaĭnshteĭn, AI; Zakharov, Valentín I.; Novikov, Viktor A.; Shifman, Mikhail A. (30 de abril de 1982). «ABC de los instantenes» . Física soviética Uspekhi . 25 (4): 195. doi : 10.1070/PU1982v025n04ABEH004533 . ISSN 0038-5670 .

[5] «Instantónico de Yang-Mills en nLab» . ncatlab.org . Consultado el 11 de abril de 2023 .

[6] Véase, por ejemplo, el artículo de Nigel Hitchin titulado "Ecuaciones de autodualidad en la superficie de Riemann".

[7] HJW Müller-Kirsten, Introducción a la mecánica cuántica: ecuación de Schrödinger e integral de trayectoria , 2.ª ed. (World Scientific, 2012), ISBN 978-981-4397-73-5; fórmula (18.175b), pág. 525.

[8] HJW Müller-Kirsten, Introducción a la mecánica cuántica: ecuación de Schrödinger e integral de trayectoria , 2.ª ed., World Scientific, 2012, ISBN 978-981-4397-73-5.

[Harald_J.W._Müller-Kirsten_2012-9] 1 2 Harald JW Müller-Kirsten, Introducción a la mecánica cuántica: ecuación de Schrödinger e integral de trayectoria , 2.ª ed., World Scientific (Singapur, 2012).

[10] Liang, Jiu-Qing; Müller-Kirsten, HJW; Tchrakian, DH (1992). "Solitones, rebotes y esferones en un círculo". Physics Letters B . 282 ( 1– 2). Elsevier BV: 105– 110. Bibcode : 1992PhLB..282..105L . doi : 10.1016/0370-2693(92)90486-n . ISSN 0370-2693 .

[:inst_chapter-11] Zaverkin, Viktor; Kästner, Johannes (2020). «Teoría de Instanton para calcular las tasas de tunelización y los desdoblamientos de tunelización». Tunelización en moléculas: efectos cuánticos nucleares desde la bioquímica hasta la química física . Londres: Royal Society of Chemistry. págs. 245-260. doi : 10.1039/9781839160370 . ISBN 978-1-83916-037-0.

[:inst_review-12] Kästner, Johannes (2014). "Teoría y simulación del efecto túnel atómico en reacciones químicas" . WIREs Comput. Mol. Sci . 4 (2): 158– 168. doi : 10.1002/wcms.1165 .

[13] Bender, Carl M.; Wu, Tai Tsun (1973-03-15). "Oscilador anarmónico. II. Un estudio de la teoría de perturbaciones de gran orden". Physical Review D . 7 (6). American Physical Society (APS): 1620– 1636. Bibcode : 1973PhRvD...7.1620B . doi : 10.1103/physrevd.7.1620 . ISSN 0556-2821 .

[16] Amoroso, Simone; Kar, Deepak; Schott, Matthias (2021). "Cómo descubrir instantones QCD en el LHC" . The European Physical Journal C. 81 ( 7): 624. arXiv : 2012.09120 . Bibcode : 2021EPJC...81..624A . doi : 10.1140/epjc/s10052-021-09412-1 . S2CID 229220708 .

[18] Corrigan, E.; Fairlie, DB (marzo de 1977). "Teoría de campos escalares y soluciones exactas para una teoría de gauge SU(2) clásica". Physics Letters B. 67 ( 1): 69–71 . Bibcode : 1977PhLB...67...69C . doi : 10.1016/0370-2693(77)90808-5 .

[dunajski-19] Dunajski, Maciej (2010). Solitones, instantones y twistores . Oxford: Oxford University Press. pág. 123. ISBN 9780198570639.

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