Anillo (matemáticas)

En la terminología de este artículo, un anillo se define como aquel que posee un elemento neutro multiplicativo, mientras que una estructura con la misma definición axiomática pero sin este requisito se denomina « rng » (IPA: / rʊŋ / ), omitiendo la «i». Por ejemplo, el conjunto de los números pares con los operadores + y ⋅ habituales es un rng, pero no un anillo. Como se explica en la sección «  Historia» más adelante, muchos autores utilizan el término «anillo» sin exigir un elemento neutro multiplicativo.

Aunque la suma de anillos es conmutativa , la multiplicación de anillos no tiene por qué serlo: ab no tiene por qué ser igual a ba . Los anillos que también satisfacen la conmutatividad para la multiplicación (como el anillo de los enteros) se denominan anillos conmutativos . Los libros de álgebra conmutativa o geometría algebraica suelen adoptar la convención de que «anillo» significa «anillo conmutativo» para simplificar la terminología.

En un anillo, no es necesario que existan inversos multiplicativos. Un anillo no nulo en el que cada elemento no nulo tiene un inverso multiplicativo se llama anillo de división y un anillo de división conmutativo se llama cuerpo .

El grupo aditivo de un anillo es el conjunto subyacente equipado únicamente con la operación de suma. Aunque la definición requiere que el grupo aditivo sea abeliano, esto puede inferirse de los demás axiomas de anillo. ^{[ 4 ]} La demostración utiliza el " 1 ", y no funciona en un rng. (Para un rng, omitir el axioma de conmutatividad de la suma hace que sea inferible a partir de los supuestos restantes del rng solo para elementos que son productos: ab + cd = cd + ab .)

Algunos autores utilizan el término "anillo" para referirse a estructuras en las que no se requiere que la multiplicación sea asociativa; véase la subsección de anillos no asociativos más adelante. ^{[ 5 ]} Para estos autores, toda álgebra es un "anillo".

Algunas propiedades básicas de un anillo se derivan inmediatamente de los axiomas:

• La identidad aditiva es única.
• El inverso aditivo de cada elemento es único.
• La identidad multiplicativa es única.
• Para cualquier elemento x en un anillo R , se tiene x 0 = 0 = 0 x (el cero es un elemento absorbente con respecto a la multiplicación) y (–1) x = – x .
• Si 0 = 1 en un anillo R (o más generalmente, 0 es un elemento unitario), entonces R tiene solo un elemento y se llama anillo cero .
• Si un anillo R contiene el anillo cero como subanillo, entonces R mismo es el anillo cero. ^{[ 6 ]}
• La fórmula binomial se cumple para cualquier x e y que satisfagan xy = yx .

Equipa el conjunto${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} =\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\right\}}$con las siguientes operaciones:

• La suma${\displaystyle {\overline {x}}+{\overline {y}}}$en​${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$es el resto cuando el entero x + y se divide por 4 (como x + y siempre es menor que 8 , este resto es x + y o x + y − 4 ). Por ejemplo,${\displaystyle {\overline {2}}+{\overline {3}}={\overline {1}}}$y${\displaystyle {\overline {3}}+{\overline {3}}={\overline {2}}.}$
• El producto${\displaystyle {\overline {x}}\cdot {\overline {y}}}$en​${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$es el resto cuando el entero xy se divide por 4. Por ejemplo,${\displaystyle {\overline {2}}\cdot {\overline {3}}={\overline {2}}}$y${\displaystyle {\overline {3}}\cdot {\overline {3}}={\overline {1}}.}$

Entonces​${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$⁠ es un anillo: cada axioma se deduce del axioma correspondiente para ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} .}$Si x es un número entero, el resto de x cuandose divide por 4 puede considerarse como un elemento de${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z},}$y este elemento se suele denotar por " x mod 4 " o${\displaystyle {\overline {x}},}$lo cual es consistente con la notación para 0, 1, 2, 3. El inverso aditivo de cualquier${\displaystyle {\overline {x}}}$en​${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$es​${\displaystyle -{\overline {x}}={\overline {-x}}.}$Por ejemplo,${\displaystyle -{\overline {3}}={\overline {-3}}={\overline {1}}.}$

El conjunto de matrices cuadradas de 2x2 con entradas en un cuerpo F es ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|\ a,b,c,d\in F\right\}.}$

Con las operaciones de suma de matrices y multiplicación de matrices ,${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)}$satisface los axiomas de anillo anteriores. El elemento${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$es la identidad multiplicativa del anillo. Si${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)}$y${\displaystyle B=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right),}$entonces${\displaystyle AB=\left({\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$mientras${\displaystyle BA=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}}\right);}$Este ejemplo demuestra que el anillo no es conmutativo.

De manera más general, para cualquier anillo R , conmutativo o no, y cualquier entero no negativo n , las matrices cuadradas n × n con entradas en R forman un anillo; véase Anillo de matrices .

El estudio de los anillos se originó a partir de la teoría de los anillos de polinomios y la teoría de los enteros algebraicos . ^{[ 11 ]} En 1871, Richard Dedekind definió el concepto de anillo de enteros de un cuerpo numérico. ^{[ 12 ]} En este contexto, introdujo los términos «ideal» (inspirado en la noción de número ideal de Ernst Kummer ) y «módulo», y estudió sus propiedades. Dedekind no utilizó el término «anillo» ni definió el concepto de anillo en un contexto general.

El término «Zahlring» (anillo de números) fue acuñado por David Hilbert en 1892 y publicado en 1897. ^{[ 13 ]} Según Harvey Cohn, Hilbert utilizó el término para un anillo que tenía la propiedad de «volver directamente» a un elemento de sí mismo (en el sentido de una equivalencia ). ^{[ 14 ]} Específicamente, en un anillo de enteros algebraicos, todas las potencias altas de un entero algebraico pueden escribirse como una combinación entera de un conjunto fijo de potencias menores, y por lo tanto las potencias «vuelven al origen». Por ejemplo, si a³ − 4a ⁺ 1 = 0, entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{3}&=4a-1,\\a^{4}&=4a^{2}-a,\\a^{5}&=-a^{2}+16a-4,\\a^{6}&=16a^{2}-8a+1,\\a^{7}&=-8a^{2}+65a-16,\\\vdots \ &\qquad \vdots \end{aligned}}}$

y así sucesivamente; en general, un ⁿ será una combinación lineal entera de 1 , a y a ² .

La primera definición axiomática de un anillo fue dada por Abraham Fraenkel en 1915, ^{[ 15 ] [ 16 ]} pero sus axiomas eran más estrictos que los de la definición moderna. Por ejemplo, requería que todo divisor distinto de cero tuviera un inverso multiplicativo . ^{[ 17 ]} En 1921, Emmy Noether dio una definición axiomática moderna de anillos conmutativos (con y sin 1) y desarrolló los fundamentos de la teoría de anillos conmutativos en su artículo Idealtheorie in Ringbereichen . ^{[ 18 ]}

Fraenkel aplicó el término "anillo" a estructuras con axiomas que incluían una identidad multiplicativa, ^{[ 19 ]} mientras que Noether lo aplicó a estructuras que no la incluían. ^{[ 18 ]}

La mayoría o todos los libros sobre álgebra ^{[ 20 ] [ 21 ]} hasta alrededor de 1960 seguían la convención de Noether de no requerir un 1 para un "anillo". A partir de la década de 1960, se hizo cada vez más común ver libros que incluyen la existencia de 1 en la definición de "anillo", especialmente en libros avanzados de autores notables como Artin, ^{[ 22 ]} Bourbaki, [ ^{23 ] Eisenbud} , ^{[ 24 ]} y Lang. ^{[ 3 ]} También hay libros publicados tan tarde como en 2022 que usan el término sin el requisito de un 1. ^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]} De igual manera, la Enciclopedia de Matemáticas no requiere elementos unitarios en los anillos. ^{[ 29 ]} En un artículo de investigación, los autores a menudo especifican qué definición de anillo usan al comienzo de ese artículo.

Gardner y Wiegandt afirman que, al tratar con varios objetos en la categoría de anillos (a diferencia de trabajar con un anillo fijo), si se requiere que todos los anillos tengan un 1 , entonces algunas consecuencias incluyen la falta de existencia de sumas directas infinitas de anillos, y que los sumandos directos propios de anillos no son subanillos. Concluyen que "en muchas, quizás la mayoría, de las ramas de la teoría de anillos el requisito de la existencia de un elemento unidad no es sensato y, por lo tanto, inaceptable". ^{[ 30 ]} Poonen presenta el contraargumento de que la noción natural para los anillos sería el producto directo en lugar de la suma directa. Sin embargo, su argumento principal es que los anillos sin una identidad multiplicativa no son totalmente asociativos, en el sentido de que no contienen el producto de ninguna secuencia finita de elementos de anillos, incluida la secuencia vacía. ^{[ c ] [ 31 ]}

Los autores que sigan cualquiera de las dos convenciones para el uso del término "anillo" pueden utilizar uno de los siguientes términos para referirse a objetos que cumplan con la otra convención:

• incluir un requisito para una identidad multiplicativa: "anillo unitario", "anillo unitario", "anillo con unidad", "anillo con identidad", "anillo con una unidad", ^{[ 32 ]} o "anillo con  1". ^{[ 33 ]}
• omitir un requisito para una identidad multiplicativa: "rng" ^{[ 34 ]} o "pseudo-anillo" ^{[ 35 ]} aunque este último puede ser confuso porque también tiene otros significados.

• El ejemplo prototípico es el anillo de números enteros con las dos operaciones de suma y multiplicación.
• Los números racionales, reales y complejos son anillos conmutativos de un tipo llamado cuerpos .
• Un álgebra asociativa unitaria sobre un anillo conmutativo R es también un anillo y un R -módulo . Algunos ejemplos:
  • El álgebra R [ X ] de polinomios con coeficientes en R .
  • El álgebra${\displaystyle R[[X_{1},\dots ,X_{n}]]}$de series de potencias formales con coeficientes en R.
  • El conjunto de todas las funciones continuas de valor real definidas en la recta real forma una matriz conmutativa .${\displaystyle \mathbb {R} }$-álgebra . Las operaciones sonsuma y multiplicación de funciones punto por punto .
  • Sea X un conjunto y R un anillo. Entonces, el conjunto de todas las funciones de X a R forma un anillo, que es conmutativo si R es conmutativo.
• El anillo de enteros cuadráticos , la clausura integral de ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$en una extensión cuadrática de${\displaystyle \mathbb {Q} .}$Es un subanillo del anillo de todos los enteros algebraicos .
• El anillo de los enteros profinitos${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }},}$el producto (infinito) de los anillos deenteros p - ádicos${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$sobre todos los números primos p .
• El anillo de Hecke , el anillo generado por los operadores de Hecke.
• Si S es un conjunto, entonces el conjunto potencia de S se convierte en un anillo si definimos la suma como la diferencia simétrica de conjuntos y la multiplicación como la intersección . Este es un ejemplo de un anillo booleano .

• Para cualquier anillo R y cualquier número natural n , el conjunto de todas las matrices cuadradas n × n con entradas en R forma un anillo cuyas operaciones son la suma y la multiplicación de matrices. Para n = 1 , este anillo de matrices es isomorfo a R. Para n > 1 (y R no es el anillo cero), este anillo de matrices no es conmutativo.
• Si G es un grupo abeliano , entonces los endomorfismos de G forman un anillo, el anillo de endomorfismos End( G ) de G. Las operaciones en este anillo son la suma y la composición de endomorfismos. De forma más general, si V es un módulo izquierdo sobre un anillo R , entonces el conjunto de todas las aplicaciones R -lineales forma un anillo, también llamado anillo de endomorfismos y denotado por EndR ( _V ) . 
• El anillo de endomorfismos de una curva elíptica . Es un anillo conmutativo si la curva elíptica está definida sobre un cuerpo de característica cero.
• Si G es un grupo y R es un anillo, el anillo de grupo de G sobre R es un módulo libre sobre R que tiene a G como base. La multiplicación se define mediante las reglas que establecen que los elementos de G conmutan con los elementos de R y se multiplican entre sí como lo hacen en el grupo G.
• El anillo de operadores diferenciales (según el contexto). De hecho, muchos anillos que aparecen en análisis son no conmutativos. Por ejemplo, la mayoría de las álgebras de Banach son no conmutativas.

• El conjunto de los números naturales${\displaystyle \mathbb {N} }$Con las operaciones habituales no es un anillo, ya que${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$Ni siquiera es un grupo (no todos los elementos son invertibles con respecto a la suma; por ejemplo, no hay ningún número natural que, sumado a 3 , dé como resultado 0 ). Existe una forma natural de ampliarlo a un anillo, incluyendo números negativos para producir el anillo de los enteros .${\displaystyle \mathbb {Z} .}$Los números naturales (incluido el 0 ) forman una estructura algebraica conocida como semianillo (que posee todos los axiomas de un anillo, excepto el de un inverso aditivo).
• Sea R el conjunto de todas las funciones continuas en la recta real que se anulan fuera de un intervalo acotado que depende de la función, con la suma como de costumbre pero con la multiplicación definida como convolución :$${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy.}$$Entonces R es un rng, pero no un anillo: la función delta de Dirac tiene la propiedad de una identidad multiplicativa, pero no es una función y por lo tanto no es un elemento de R. 

Para cada entero no negativo n , dada una secuencia${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$⁠ de n elementos de R , se puede definir el producto ⁠${\displaystyle \textstyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}}$⁠ recursivamente: sea P ₀ = 1 y sea P _m = P _{m −1} a _m para 1 ≤ m ≤ n .

Como caso especial, se pueden definir potencias enteras no negativas de un elemento a de un anillo: a ⁰ = 1 y a ⁿ = a ^{n −1} a para n ≥ 1 . Entonces a ^{m + n} = a ^m a ⁿ para todo m , n ≥ 0 .

Un divisor cero izquierdo de un anillo R es un elemento a en el anillo tal que existe un elemento b no nulo de R tal que ab = 0. [ ^{d ] Un} divisor cero derecho se define de manera similar.

Un elemento nilpotente es un elemento a tal que a ⁿ = 0 para algún n > 0. Un ejemplo de elemento nilpotente es una matriz nilpotente . Un elemento nilpotente en un anillo no nulo es necesariamente un divisor de cero.

Un idempotente${\displaystyle e}$es un elemento tal que e ² = e . Un ejemplo de un elemento idempotente es una proyección en álgebra lineal.

Una unidad es un elemento a que tiene un inverso multiplicativo ; en este caso, el inverso es único y se denota por a ^–1 . El conjunto de unidades de un anillo es un grupo bajo la multiplicación de anillos; este grupo se denota por R ^× o R * o U ( R ) . Por ejemplo, si R es el anillo de todas las matrices cuadradas de tamaño n sobre un cuerpo, entonces R ^× consiste en el conjunto de todas las matrices invertibles de tamaño n y se llama grupo lineal general .

Un subconjunto S de R se denomina subanillo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

• La suma y la multiplicación de R se restringen para dar operaciones S × S → S haciendo que S sea un anillo con la misma identidad multiplicativa que R. 
• 1 ∈ S ; y para todo x, y en S , los elementos xy , x + y , y −x están en S . 
• S puede equiparse con operaciones que lo convierten en un anillo, de modo que el mapa de inclusión S → R sea un homomorfismo de anillos.

Por ejemplo, el anillo${\displaystyle \mathbb {Z} }$El anillo de los números enteros es un subanillo del cuerpo de los números reales y también un subanillo del anillo de los polinomios .${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$( en ambos casos ,${\displaystyle \mathbb {Z} }$contiene 1  , que es la identidad multiplicativa de los anillos más grandes). Por otro lado, el subconjunto de enteros pares${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$⁠ no contiene el elemento identidad 1 y, por lo tanto, no califica como un subanillo de ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Z}$ ;} ⁠ uno podría llamar ⁠${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$un subrng, sin embargo .

Una intersección de subanillos es un subanillo. Dado un subconjunto E de R , el subanillo más pequeño de R que contiene a E es la intersección de todos los subanillos de R que contienen a E , y se llama el subanillo generado por E.  

Para un anillo R , el subanillo más pequeño de R se llama subanillo característico de R. Se puede generar mediante la suma de copias de 1 y −1 . Es posible que n · 1 = 1 + 1 + ... + 1 ( n veces) sea cero. Si n es el entero positivo más pequeño tal que esto ocurre, entonces n se llama el subanillo característico de R. En algunos anillos, n · 1 nunca es cero para ningún entero positivo n , y se dice que esos anillos tienen característica cero .  

Dado un anillo R , sea Z( R ) el conjunto de todos los elementos x en R tales que x conmuta con cada elemento en R : xy = yx para cualquier y en R. Entonces Z( R ) es un subanillo de R , llamado centro de R. De forma más general, dado un subconjunto X de R , sea S el conjunto de todos los elementos en R que conmutan con cada elemento en X. Entonces S es un subanillo de R , llamado centralizador (o conmutante) de X. El centro es el centralizador de todo el anillo R. Los elementos o subconjuntos del centro se denominan centrales en R ; cada uno de ellos genera un subanillo del centro.         

Sea R un anillo. Un ideal izquierdo de R es un subconjunto no vacío I de R tal que para cualesquiera x, y en I y r en R , los elementos x + y y rx están en I. Sea RI el R -espacio generado por I , es decir, el conjunto de sumas finitas.

${\displaystyle r_{1}x_{1}+\cdots +r_{n}x_{n}\quad {\textrm {such}}\;{\textrm {that}}\;r_{i}\in R\;{\textrm {and}}\;x_{i}\in I;}$

Entonces I es un ideal izquierdo si RI ⊆ I. De manera similar, un ideal derecho es un subconjunto I tal que IR ⊆ I. Un subconjunto I se denomina ideal bilateral o simplemente ideal si es a la vez un ideal izquierdo y un ideal derecho. Un ideal unilateral o bilateral es entonces un subgrupo aditivo de R. Si E es un subconjunto de R , entonces RE es un ideal izquierdo, llamado el ideal izquierdo generado por E ; es el ideal izquierdo más pequeño que contiene a E. De manera similar, se puede considerar el ideal derecho o el ideal bilateral generado por un subconjunto de R.

Si x pertenece a R , entonces Rx es un ideal izquierdo y xR es un ideal derecho; se les denomina ideal izquierdo principal e ideal derecho principal generados por x . El ideal principal RxR se escribe como ( x ) . Por ejemplo, el conjunto de todos los múltiplos positivos y negativos de 2 junto con 0 forman un ideal de los enteros, y este ideal es generado por el entero 2. De hecho, todo ideal del anillo de los enteros es principal. 

Un anillo es simple si es distinto de cero y no tiene ideales bilaterales propios distintos de cero. Un anillo simple conmutativo es precisamente un cuerpo.

Los anillos se estudian a menudo con condiciones especiales impuestas a sus ideales. Por ejemplo, un anillo en el que no existe una cadena infinita estrictamente creciente de ideales izquierdos se denomina anillo noetheriano izquierdo . Un anillo en el que no existe una cadena infinita estrictamente decreciente de ideales izquierdos se denomina anillo artiniano izquierdo . Resulta algo sorprendente que un anillo artiniano izquierdo sea noetheriano izquierdo ( teorema de Hopkins-Levitzki ). Sin embargo, los números enteros forman un anillo noetheriano que no es artiniano.

Para anillos conmutativos, los ideales generalizan la noción clásica de divisibilidad y descomposición de un entero en números primos en álgebra. Un ideal propio P de R se llama ideal primo si para cualesquiera elementos${\displaystyle x,y\in R}$tenemos eso${\displaystyle xy\in P}$implica que${\displaystyle x\in P}$o${\displaystyle y\in P.}$De forma equivalente, P es primo si para cualesquiera ideales I y J se cumple que IJ ⊆ P implica que I ⊆ P o J ⊆ P. Esta última formulación ilustra la idea de los ideales como generalizaciones de elementos.

Un homomorfismo de un anillo ( R , +, ⋅ ) a un anillo ( S , ‡, ∗) es una función f de R a S que preserva las operaciones de anillo; es decir, tal que, para todo a , b en R se cumplen las siguientes identidades: 

${\displaystyle {\begin{aligned}&f(a+b)=f(a)\ddagger f(b)\\&f(a\cdot b)=f(a)*f(b)\\&f(1_{R})=1_{S}\end{aligned}}}$

Si se trabaja con generadores de números aleatorios , entonces se omite la tercera condición.

Se dice que un homomorfismo de anillos f es un isomorfismo si existe un homomorfismo inverso a f (es decir, un homomorfismo de anillos que es una función inversa ), o equivalentemente si es biyectivo .

Ejemplos:

• La función que asigna a cada entero x su resto módulo 4 (un número en {0, 1, 2, 3} ) es un homomorfismo del anillo ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$al anillo cociente${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$( El término "anillo cociente" se define más adelante).
• Si u es un elemento unitario en un anillo R , entonces${\displaystyle R\to R,x\mapsto uxu^{-1}}$es un homomorfismo de anillos, llamado automorfismo interno de R.
• Sea R un anillo conmutativo de característica prima p . Entonces x ↦ x ^p es un endomorfismo de anillos de R llamado homomorfismo de Frobenius .
• El grupo de Galois de una extensión de cuerpo L / K es el conjunto de todos los automorfismos de L cuyas restricciones a K son la identidad.
• Para cualquier anillo R , existe un homomorfismo de anillos único .${\displaystyle \mathbb {Z} \to R}$, y existe un único homomorfismo de anillos .${\displaystyle R\to 0}$⁠ .
• Un homomorfismo de álgebra de un k -álgebra al álgebra de endomorfismos de un espacio vectorial sobre k se llama representación del álgebra .

Dado un homomorfismo de anillos f  : R → S , el conjunto de todos los elementos que f asigna a 0 se denomina núcleo de f . El núcleo es un ideal bilateral de R . La imagen de f , por otro lado, no siempre es un ideal, pero siempre es un subanillo de S .    

Dar un homomorfismo de anillos de un anillo conmutativo R a un anillo A con la imagen contenida en el centro de A es lo mismo que dar una estructura de un álgebra sobre R a A (lo que en particular da una estructura de un A -módulo). 

La noción de anillo cociente es análoga a la noción de grupo cociente . Dado un anillo ( R , +, ⋅ ) y un ideal bilátero I de ( R , +, ⋅ ) , consideremos I como un subgrupo de ( R , +) ; entonces el anillo cociente R / I es el conjunto de clases laterales de I junto con las operaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a+I)+(b+I)=(a+b)+I,\\&(a+I)(b+I)=(ab)+I.\end{aligned}}}$

para todo a , b en R. El anillo R / I también se llama anillo factor .

Al igual que con un grupo cociente, existe un homomorfismo canónico p  : R → R / I , dado por x ↦ x + I . Es sobreyectivo y satisface la siguiente propiedad universal:

• Si f  : R → S es un homomorfismo de anillos tal que f ( I ) = 0 , entonces existe un homomorfismo único${\displaystyle {\overline {f}}:R/I\to S}$de tal manera que${\displaystyle f={\overline {f}}\circ p.}$

Para cualquier homomorfismo de anillos f  : R → S , invocar la propiedad universal con I = ker f produce un homomorfismo${\displaystyle {\overline {f}}:R/\ker f\to S}$que da un isomorfismo de R / ker f a la imagen de f .

Sean R y S anillos. Entonces, el producto R × S puede equiparse con la siguiente estructura de anillo natural:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(r_{1},s_{1})+(r_{2},s_{2})=(r_{1}+r_{2},s_{1}+s_{2})\\&(r_{1},s_{1})\cdot (r_{2},s_{2})=(r_{1}\cdot r_{2},s_{1}\cdot s_{2})\end{aligned}}}$

para todo r ₁ , r ₂ en R y s ₁ , s ₂ en S . El anillo R × S con las operaciones de suma y multiplicación anteriores y la identidad multiplicativa (1, 1) se llama producto directo de R con S . La misma construcción también funciona para una familia arbitraria de anillos: si R _i son anillos indexados por un conjunto I , entonces  ${\textstyle \prod _{i\in I}R_{i}}$es un anillo con suma y multiplicación componente a componente.

Sea R un anillo conmutativo y${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1},\cdots ,{\mathfrak {a}}_{n}}$sean ideales tales que${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}+{\mathfrak {a}}_{j}=(1)}$siempre que i ≠ j . Entonces el teorema chino del resto dice que existe un isomorfismo de anillos canónico: $${\displaystyle R/{\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}{{\mathfrak {a}}_{i}}}\simeq \prod _{i=1}^{n}{R/{\mathfrak {a}}_{i}},\qquad x{\bmod {\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}{\mathfrak {a}}_{i}}}\mapsto (x{\bmod {\mathfrak {a}}}_{1},\ldots ,x{\bmod {\mathfrak {a}}}_{n}).}$$

Un producto directo "finito" también puede considerarse como una suma directa de ideales. ^{[ 36 ]} Es decir, sea${\displaystyle R_{i},1\leq i\leq n}$ser anillos,${\textstyle R_{i}\to R=\prod R_{i}}$las inclusiones con las imágenes${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$(En particular${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$son anillos, aunque no subanillos). Entonces${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$son ideales de R y $${\displaystyle R={\mathfrak {a}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {a}}_{n},\quad {\mathfrak {a}}_{i}{\mathfrak {a}}_{j}=0,i\neq j,\quad {\mathfrak {a}}_{i}^{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{i}}$$ como una suma directa de grupos abelianos (porque para los grupos abelianos los productos finitos son lo mismo que las sumas directas). Claramente, la suma directa de tales ideales también define un producto de anillos que es isomorfo a R. De forma equivalente, lo anterior se puede hacer a través de idempotentes centrales . Supongamos que R tiene la descomposición anterior. Entonces podemos escribir  $${\displaystyle 1=e_{1}+\cdots +e_{n},\quad e_{i}\in {\mathfrak {a}}_{i}.}$$ Por las condiciones en${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i},}$Se tiene que e _i son idempotentes centrales y e _i e _j = 0 , i ≠ j (ortogonales). Nuevamente, se puede invertir la construcción. Es decir, si se da una partición de 1 en idempotentes centrales ortogonales, entonces sea${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}=Re_{i},}$que son ideales de dos lados. Si cada e _i no es una suma de idempotentes centrales ortogonales, ^{[ e ]} entonces su suma directa es isomorfa a R . 

Una aplicación importante de un producto directo infinito es la construcción de un límite proyectivo de anillos (véase más adelante). Otra aplicación es un producto restringido de una familia de anillos (cf. anillo de adele ).

Dado un símbolo t (llamado variable) y un anillo conmutativo R , el conjunto de polinomios 

${\displaystyle R[t]=\left\{a_{n}t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\dots +a_{1}t+a_{0}\mid n\geq 0,a_{j}\in R\right\}}$

forma un anillo conmutativo con la suma y multiplicación usuales, que contiene a R como subanillo. Se le llama anillo de polinomios sobre R. De forma más general, el conjunto ${\displaystyle R\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]}$de todos los polinomios en variables${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$forma un anillo conmutativo, que contiene${\displaystyle R\left[t_{i}\right]}$como subanillos.

Si R es un dominio de integridad , entonces R [ t ] también lo es; su cuerpo de fracciones es el cuerpo de funciones racionales . Si R es un anillo noetheriano, entonces R [ t ] también lo es. Si R es un dominio de factorización única, entonces R [ t ] también lo es. Finalmente, R es un cuerpo si y solo si R [ t ] es un dominio de ideales principales.

Dejar${\displaystyle R\subseteq S}$sean anillos conmutativos. Dado un elemento x de S , se puede considerar el homomorfismo de anillos 

${\displaystyle R[t]\to S,\quad f\mapsto f(x)}$

(es decir, la sustitución ). Si S = R [ t ] y x = t , entonces f ( t ) = f . Debido a esto, el polinomio f también se suele denotar por f ( t ) . La imagen del mapa${\displaystyle f\mapsto f(x)}$⁠ se denota por R [ x ] ; es lo mismo que el subanillo de S generado por R y x . 

Ejemplo:${\displaystyle k\left[t^{2},t^{3}\right]}$denota la imagen del homomorfismo

${\displaystyle k[x,y]\to k[t],\,f\mapsto f\left(t^{2},t^{3}\right).}$

En otras palabras, es la subálgebra de k [ t ] generada por t ² y t ³ . 

Ejemplo: sea f un polinomio en una variable, es decir, un elemento en un anillo de polinomios R. Entonces f ( x + h ) es un elemento en R [ h ] y f ( x + h ) – f ( x ) es divisible por h en ese anillo. El resultado de sustituir cero por h en ( f ( x + h ) – f ( x )) / h es f' ( x ) , la derivada de f en x . 

La sustitución es un caso especial de la propiedad universal de un anillo de polinomios. La propiedad establece: dado un homomorfismo de anillos${\displaystyle \phi :R\to S}$y para un elemento x en S existe un homomorfismo de anillos único${\displaystyle {\overline {\phi }}:R[t]\to S}$de tal manera que${\displaystyle {\overline {\phi }}(t)=x}$y${\displaystyle {\overline {\phi }}}$restringe a ϕ . ^{[ 37 ]} Por ejemplo, al elegir una base, un álgebra simétrica satisface la propiedad universal y, por lo tanto, es un anillo de polinomios.

Para dar un ejemplo, sea S el anillo de todas las funciones de R a sí mismo; la suma y la multiplicación son las de funciones. Sea x la función identidad. Cada r en R define una función constante, dando lugar al homomorfismo R → S. La propiedad universal dice que esta aplicación se extiende de forma única a

${\displaystyle R[t]\to S,\quad f\mapsto {\overline {f}}}$

( t se asigna a x ) donde${\displaystyle {\overline {f}}}$es la función polinómica definida por f . La aplicación resultante es inyectiva si y solo si R es infinito.

Dado un polinomio mónico no constante f en R [ t ] , existe un anillo S que contiene a R tal que f es un producto de factores lineales en S [ t ] . ^{[ 38 ]}

Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado. El teorema de los ceros de Hilbert establece que existe una correspondencia biunívoca natural entre el conjunto de todos los ideales primos en${\displaystyle k\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]}$y el conjunto de subvariedades cerradas de k ⁿ . En particular, muchos problemas locales en geometría algebraica pueden abordarse mediante el estudio de los generadores de un ideal en un anillo de polinomios. (cf. Base de Gröbner ).

Existen otras construcciones relacionadas. Un anillo de serie de potencias formal${\displaystyle R[\![t]\!]}$Consiste en series de potencias formales

${\displaystyle \sum _{0}^{\infty }a_{i}t^{i},\quad a_{i}\in R}$

junto con multiplicación y suma que imitan las de las series convergentes. Contiene R [ t ] como un subanillo. Un anillo de series de potencias formales no tiene la propiedad universal de un anillo de polinomios; una serie puede no converger después de una sustitución. La ventaja importante de un anillo de series de potencias formales sobre un anillo de polinomios es que es local (de hecho, completo ).

Sea R un anillo (no necesariamente conmutativo). El conjunto de todas las matrices cuadradas de tamaño n con entradas en R forma un anillo con la suma elemento a elemento y la multiplicación de matrices usual. Se llama anillo de matrices y se denota por M _n ( R ) . Dado un R -módulo derecho U , el conjunto de todas las aplicaciones R -lineales de U en sí mismo forma un anillo con una suma que es de función y una multiplicación que es de composición de funciones ; se llama anillo de endomorfismos de U y se denota por End _R ( U ) .

Al igual que en el álgebra lineal, un anillo de matrices puede interpretarse canónicamente como un anillo de endomorfismos:${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq \operatorname {M} _{n}(R).}$Este es un caso especial del siguiente hecho: Si${\displaystyle f:\oplus _{1}^{n}U\to \oplus _{1}^{n}U}$es una aplicación R -lineal, entonces f puede escribirse como una matriz con entradas f _ij en S = End _R ( U ) , lo que resulta en el isomorfismo de anillos:

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(\oplus _{1}^{n}U)\to \operatorname {M} _{n}(S),\quad f\mapsto (f_{ij}).}$

Cualquier homomorfismo de anillos R → S induce M _n ( R ) → M _n ( S ) . ^{[ 39 ]}

El lema de Schur dice que si U es un R -módulo derecho simple , entonces End _R ( U ) es un anillo de división. ^{[ 40 ]} Si${\displaystyle U=\bigoplus _{i=1}^{r}U_{i}^{\oplus m_{i}}}$es una suma directa de m _i copias de módulos R simples${\displaystyle U_{i},}$entonces

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(U)\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(\operatorname {End} _{R}(U_{i})).}$

El teorema de Artin-Wedderburn establece que cualquier anillo semisimple (véase más abajo) tiene esta forma.

Un anillo R y el anillo matricial M _n ( R ) sobre él son Morita equivalentes : la categoría de módulos derechos de R es equivalente a la categoría de módulos derechos sobre M _n ( R ) . ^{[ 39 ]} En particular, los ideales bilaterales en R se corresponden biyectivamente con los ideales bilaterales en M _n ( R ) .

Sea R _i una sucesión de anillos tal que R _i es un subanillo de R _{i + 1} para todo i . Entonces la unión (o colímite filtrado ) de R _i es el anillo${\displaystyle \varinjlim R_{i}}$definido de la siguiente manera: es la unión disjunta de todos los R _i módulo la relación de equivalencia x ~ y si y solo si x = y en R _i para i suficientemente grande .

Ejemplos de colímites:

• Un anillo de polinomios en infinitas variables:${\displaystyle R[t_{1},t_{2},\cdots ]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}].}$
• El cierre algebraico de cuerpos finitos de la misma característica${\displaystyle {\overline {\mathbf {F} }}_{p}=\varinjlim \mathbf {F} _{p^{m}}.}$
• El cuerpo de funciones de una variedad algebraica sobre un cuerpo k es${\displaystyle \varinjlim k[U]}$donde el límite recorre todos los anillos de coordenadas k [ U ] de subconjuntos abiertos no vacíos U (de forma más concisa, es el tallo del haz de estructura en el punto genérico ).

Cualquier anillo es el colímite filtrado (unión) de sus subanillos finitamente generados .

Un límite proyectivo (o límite filtrado ) de anillos se define de la siguiente manera. Supongamos que tenemos una familia de anillos R _i , i que recorre los enteros positivos, digamos, y homomorfismos de anillos R _j → R _i , j ≥ i tales que R _i → R _i son todos los elementos identidad y R _k → R _j → R _i es R _k → R _i siempre que k ≥ j ≥ i . Entonces${\displaystyle \varprojlim R_{i}}$es el subanillo de${\displaystyle \textstyle \prod R_{i}}$que consiste en ( x _n ) tal que x _j se mapea a x _i bajo R _j → R _i , j ≥ i .

Para ver un ejemplo de límite proyectivo, consulte §  Completación .

La localización generaliza la construcción del campo de fracciones de un dominio integral a un anillo y módulos arbitrarios. Dado un anillo R (no necesariamente conmutativo) y un subconjunto S de R , existe un anillo${\displaystyle R[S^{-1}]}$junto con el homomorfismo de anillos${\displaystyle R\to R\left[S^{-1}\right]}$que "invierte" S ; es decir, el homomorfismo asigna elementos en S a elementos unitarios en${\displaystyle R\left[S^{-1}\right],}$y, además, cualquier homomorfismo de anillos de R que "invierte" S se factoriza de forma única a través de${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$^{[ 41 ]} El anillo${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$se denomina localización de R con respecto a S. Por ejemplo, si R es un anillo conmutativo y f es un elemento en R , entonces la localización${\displaystyle R\left[f^{-1}\right]}$consta de elementos de la forma${\displaystyle r/f^{n},\,r\in R,\,n\geq 0}$(para ser precisos,${\displaystyle R\left[f^{-1}\right]=R[t]/(tf-1).}$) ^{[ 42 ]}

La localización se aplica frecuentemente a un anillo conmutativo R con respecto al complemento de un ideal primo (o una unión de ideales primos) en R. En ese caso ${\displaystyle S=R-{\mathfrak {p}},}$uno escribe a menudo${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$para${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$es entonces un anillo local con el ideal máximo${\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}.}$Esta es la razón de la terminología "localización". El campo de fracciones de un dominio integral R es la localización de R en el ideal primo cero. Si${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$es un ideal primo de un anillo conmutativo R , entonces el cuerpo de fracciones de ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$es lo mismo que el campo residual del anillo local${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$y se denota por${\displaystyle k({\mathfrak {p}}).}$

Si M es un R -módulo izquierdo, entonces la localización de M con respecto a S viene dada por un cambio de anillos.${\displaystyle M\left[S^{-1}\right]=R\left[S^{-1}\right]\otimes _{R}M.}$

Las propiedades más importantes de la localización son las siguientes: cuando R es un anillo conmutativo y S un subconjunto multiplicativamente cerrado.

• ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto {\mathfrak {p}}\left[S^{-1}\right]}$es una biyección entre el conjunto de todos los ideales primos en R disjuntos de S y el conjunto de todos los ideales primos en${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$^{[ 43 ]}
• ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]=\varinjlim R\left[f^{-1}\right],}$f que recorre los elementos en S con un orden parcial dado por la divisibilidad. ^{[ 44 ]}
• La localización es exacta:$${\displaystyle 0\to M'\left[S^{-1}\right]\to M\left[S^{-1}\right]\to M''\left[S^{-1}\right]\to 0}$$es exacto sobre${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$cuando sea${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$es exacto sobre R. 
• Por el contrario, si${\displaystyle 0\to M'_{\mathfrak {m}}\to M_{\mathfrak {m}}\to M''_{\mathfrak {m}}\to 0}$es exacto para cualquier ideal máximo${\displaystyle {\mathfrak {m}},}$entonces${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$es exacto.
• Una observación: la localización no ayuda a demostrar la existencia global. Un ejemplo de ello es que si dos módulos son isomorfos en todos los ideales primos, no se deduce que sean isomorfos entre sí. (Una forma de explicar esto es que la localización permite ver un módulo como un haz sobre ideales primos, y un haz es inherentemente una noción local).

En teoría de categorías , una localización de una categoría equivale a convertir algunos morfismos en isomorfismos. Un elemento en un anillo conmutativo R puede pensarse como un endomorfismo de cualquier R -módulo. Por lo tanto, categóricamente, una localización de R con respecto a un subconjunto S de R es un functor de la categoría de R -módulos a sí misma que envía elementos de S vistos como endomorfismos a automorfismos y es universal con respecto a esta propiedad. (Por supuesto, R entonces se mapea a${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$y los módulos R se asignan a${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$-módulos.)

Sea R un anillo conmutativo y sea I un ideal de R. La completación de R en I es el límite proyectivo. ${\displaystyle {\hat {R}}=\varprojlim R/I^{n};}$Es un anillo conmutativo. Los homomorfismos canónicos de R a los cocientes${\displaystyle R/I^{n}}$inducir un homomorfismo${\displaystyle R\to {\hat {R}}.}$Este último homomorfismo es inyectivo si R es un dominio integral noetheriano e I es un ideal propio, o si R es un anillo local noetheriano con ideal maximal I , según el teorema de intersección de Krull . ^{[ 45 ]} La construcción es especialmente útil cuando I es un ideal maximal.

El ejemplo básico es la finalización de ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠ en el ideal principal ( p ) generado por un número primo p ; se le llama anillo de enteros p -ádicos y se denota ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$⁠ En este caso, la completación también puede construirse a partir del valor absoluto p -ádico en ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} .}$⁠ Elvalor absoluto p -ádico en ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$es un mapa${\displaystyle x\mapsto |x|}$desde​${\displaystyle \mathbb {Q} }$a​​${\displaystyle \mathbb {R} }$dado por${\displaystyle |n|_{p}=p^{-v_{p}(n)}}$dónde${\displaystyle v_{p}(n)}$denota el exponente de p en la factorización prima de un entero no nulo n en números primos (también ponemos${\displaystyle |0|_{p}=0}$y${\displaystyle |m/n|_{p}=|m|_{p}/|n|_{p}}$). Define una función de distancia en ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$y la finalización de${\displaystyle \mathbb {Q} }$⁠ como espacio métrico se denota por ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}.}$⁠ Se trata nuevamente de un campo, ya que las operaciones de campo se extienden hasta la finalización. El subanillo de ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$⁠ que consta de elementos x con | x | _p ≤ 1 es isomorfo a ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$⁠

De manera similar, el anillo formal de series de potencias R [{[ t ]}] es la completación de R [ t ] en ( t ) (véase también el lema de Hensel )

Un anillo completo tiene una estructura mucho más simple que un anillo conmutativo. Esto se debe al teorema de estructura de Cohen , que establece, en términos generales, que un anillo local completo tiende a parecerse a un anillo de serie de potencias formal o a un cociente del mismo. Por otro lado, la interacción entre la clausura integral y la completitud ha sido uno de los aspectos más importantes que distinguen la teoría moderna de anillos conmutativos de la clásica desarrollada por autores como Noether. Los ejemplos patológicos encontrados por Nagata llevaron a reexaminar el papel de los anillos noetherianos y motivaron, entre otras cosas, la definición de anillo excelente .

La forma más general de construir un anillo es especificando generadores y relaciones. Sea F un anillo libre (es decir, un álgebra libre sobre los enteros) con el conjunto X de símbolos; es decir, F consta de polinomios con coeficientes enteros en variables no conmutativas que son elementos de X. Un anillo libre satisface la propiedad universal: cualquier función del conjunto X a un anillo R se factoriza a través de F de modo que F → R es el único homomorfismo de anillos. Al igual que en el caso de los grupos, todo anillo puede representarse como un cociente de un anillo libre. ^{[ 46 ]}

Ahora, podemos imponer relaciones entre símbolos en X tomando un cociente. Explícitamente, si E es un subconjunto de F , entonces el anillo cociente de F por el ideal generado por E se llama anillo con generadores X y relaciones E. Si usáramos un anillo, digamos, A como anillo base en lugar de${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$⁠ entonces el anillo resultante estará sobre A . Por ejemplo, si${\displaystyle E=\{xy-yx\mid x,y\in X\},}$Entonces, el anillo resultante será el anillo de polinomios usual con coeficientes en A en variables que son elementos de X (También es lo mismo que el álgebra simétrica sobre A con símbolos X ).

En términos de teoría de categorías, la formación${\displaystyle S\mapsto {\text{the free ring generated by the set }}S}$es el functor adjunto izquierdo del functor olvidadizo de la categoría de anillos a Set (y a menudo se le llama functor de anillo libre).

Sean A y B álgebras sobre un anillo conmutativo R. Entonces, el producto tensorial de R -módulos es${\displaystyle A\otimes _{R}B}$es un álgebra R con multiplicación caracterizada por${\displaystyle (x\otimes u)(y\otimes v)=xy\otimes uv.}$

Un anillo no nulo sin divisores de cero no nulos se llama dominio . Un dominio conmutativo se llama dominio integral . Los dominios integrales más importantes son los dominios de ideales principales, o DIP, y los cuerpos. Un dominio de ideales principales es un dominio integral en el que cada ideal es principal. Una clase importante de dominios integrales que contienen un DIP es un dominio de factorización única (DFU), un dominio integral en el que cada elemento no unitario es un producto de elementos primos (un elemento es primo si genera un ideal primo ). La cuestión fundamental en la teoría algebraica de números es hasta qué punto el anillo de enteros (generalizados) en un cuerpo numérico , donde un "ideal" admite factorización prima, no es un DIP.

Entre los teoremas relativos a un dominio de ideales principales (DIP), el más importante es el teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio de ideales principales . El teorema puede ilustrarse mediante la siguiente aplicación al álgebra lineal. ^{[ 47 ]} Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo k y f  : V → V una aplicación lineal con polinomio mínimo q . Entonces, dado que k [ t ] es un dominio de factorización única, q se factoriza en potencias de polinomios irreducibles distintos (es decir, elementos primos): $${\displaystyle q=p_{1}^{e_{1}}\ldots p_{s}^{e_{s}}.}$$

Alquiler${\displaystyle t\cdot v=f(v),}$Hacemos V un k [ t ] -módulo. El teorema de estructura dice entonces que V es una suma directa de módulos cíclicos , cada uno de los cuales es isomorfo al módulo de la forma${\displaystyle k[t]/\left(p_{i}^{k_{j}}\right).}$Ahora bien, si${\displaystyle p_{i}(t)=t-\lambda _{i},}$Entonces, dicho módulo cíclico (para p _i ) tiene una base en la que la restricción de f está representada por una matriz de Jordan . Por lo tanto, si, digamos, k es algebraicamente cerrado, entonces todos los p _i son de la forma t – λ _i y la descomposición anterior corresponde a la forma canónica de Jordan de f .

En geometría algebraica, los UFD surgen debido a la suavidad. Más precisamente, un punto en una variedad (sobre un cuerpo perfecto) es suave si el anillo local en ese punto es un anillo local regular . Un anillo local regular es un UFD. ^{[ 48 ]}

A continuación se muestra una cadena de inclusiones de clases que describe la relación entre anillos, dominios y campos:

rngs ⊃ anillos ⊃ anillos conmutativos ⊃ dominios integrales ⊃ dominios integralmente cerrados ⊃ dominios MCD ⊃ dominios de factorización única ⊃ dominios de ideales principales ⊃ dominios euclidianos ⊃ cuerpos ⊃ cuerpos algebraicamente cerrados

Un anillo de división es un anillo tal que cada elemento no nulo es una unidad. Un anillo de división conmutativo es un cuerpo . Un ejemplo destacado de un anillo de división que no es un cuerpo es el anillo de cuaterniones . Cualquier centralizador en un anillo de división también es un anillo de división. En particular, el centro de un anillo de división es un cuerpo. Resultó que todo dominio finito (en particular, un anillo de división finito) es un cuerpo; en particular, conmutativo (el pequeño teorema de Wedderburn ).

Todo módulo sobre un anillo de división es un módulo libre (tiene una base); en consecuencia, gran parte del álgebra lineal se puede realizar sobre un anillo de división en lugar de sobre un cuerpo.

El estudio de las clases de conjugación ocupa un lugar destacado en la teoría clásica de los anillos de división; véase, por ejemplo, el teorema de Cartan-Brauer-Hua .

Un álgebra cíclica , introducida por LE Dickson , es una generalización de un álgebra de cuaterniones .

Un módulo semisimple es una suma directa de módulos simples. Un anillo semisimple es un anillo que es semisimple como módulo izquierdo (o módulo derecho) sobre sí mismo.

Para un cuerpo k , un álgebra k es central si su centro es k y es simple si es un anillo simple . Dado que el centro de un álgebra k simple es un cuerpo, cualquier álgebra k simple es un álgebra simple central sobre su centro. En esta sección, se supone que un álgebra simple central tiene dimensión finita. Además, generalmente fijamos el cuerpo base; por lo tanto, un álgebra se refiere a un álgebra k . El anillo de matrices de tamaño n sobre un anillo R se denotará por R _n .

El teorema de Skolem-Noether establece que cualquier automorfismo de un álgebra simple central es interno.

Se dice que dos álgebras simples centrales A y B son similares si existen enteros n y m tales que${\displaystyle A\otimes _{k}k_{n}\approx B\otimes _{k}k_{m}.}$^{[ 49 ]} Desde${\displaystyle k_{n}\otimes _{k}k_{m}\simeq k_{nm},}$La similitud es una relación de equivalencia. Las clases de similitud [ A ] con la multiplicación${\displaystyle [A][B]=\left[A\otimes _{k}B\right]}$forman un grupo abeliano llamado grupo de Brauer de k y se denota por Br( k ) . Según el teorema de Artin-Wedderburn , un álgebra simple central es el anillo de matrices de un anillo de división; por lo tanto, cada clase de similitud está representada por un único anillo de división.

Por ejemplo, Br( k ) es trivial si k es un cuerpo finito o un cuerpo algebraicamente cerrado (más generalmente un cuerpo cuasi-algebraicamente cerrado ; cf. el teorema de Tsen ).${\displaystyle \operatorname {Br} (\mathbb {R} )}$tiene orden 2 (un caso especial del teorema de Frobenius ). Finalmente, si k es un campo local no arquimediano (por ejemplo ,${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$) ,entonces${\displaystyle \operatorname {Br} (k)=\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$a través del mapa invariante .

Ahora bien, si F es una extensión de cuerpo de k , entonces la extensión base${\displaystyle -\otimes _{k}F}$induce Br( k ) → Br( F ) . Su núcleo se denota por Br( F / k ) . Consiste en [ A ] tal que${\displaystyle A\otimes _{k}F}$es un anillo de matrices sobre F (es decir, A es escindido por F ). Si la extensión es finita y de Galois, entonces Br( F / k ) es canónicamente isomorfo a${\displaystyle H^{2}\left(\operatorname {Gal} (F/k),k^{*}\right).}$^{[ 50 ]}

Las álgebras de Azumaya generalizan la noción de álgebras simples centrales a un anillo local conmutativo.

Si K es un cuerpo, una valuación v es un homomorfismo de grupo del grupo multiplicativo K ^∗ a un grupo abeliano totalmente ordenado G tal que, para cualesquiera f , g en K con f + g distinto de cero, v ( f + g ) ≥ min{ v ( f ), v ( g )}. El anillo de valuación de v es el subanillo de K que consta de cero y todos los f distintos de cero tales que v ( f ) ≥ 0 .

Ejemplos:

• El campo de la serie formal de Laurent${\displaystyle k(\!(t)\!)}$sobre un cuerpo k viene con la valuación v tal que v ( f ) es el grado más pequeño de un término no nulo en f ; el anillo de valuación de v es el anillo de series de potencias formales${\displaystyle k[\![t]\!].}$
• De forma más general, dado un cuerpo k y un grupo abeliano totalmente ordenado G , sea${\displaystyle k(\!(G)\!)}$Sea el conjunto de todas las funciones de G a k cuyos soportes (los conjuntos de puntos en los que las funciones no son cero) están bien ordenados . Es un cuerpo cuya multiplicación viene dada por la convolución :$${\displaystyle (f*g)(t)=\sum _{s\in G}f(s)g(t-s).}$$También incluye la valuación v tal que v ( f ) es el elemento mínimo en el soporte de f . El subanillo formado por elementos con soporte finito se denomina anillo de grupo de G (lo cual tiene sentido incluso si G no es conmutativo). Si G es el anillo de los enteros, entonces recuperamos el ejemplo anterior (identificando f con la serie cuyo n -ésimo coeficiente es f ( n ) ). 

A cualquier espacio topológico X se le puede asociar su anillo de cohomología integral.

${\displaystyle H^{*}(X,\mathbb {Z} )=\bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X,\mathbb {Z} ),}$

un anillo graduado . También existen grupos de homología.${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )}$de un espacio, y de hecho estos se definieron primero, como una herramienta útil para distinguir entre ciertos pares de espacios topológicos, como las esferas y los toros , para los cuales los métodos de la topología de conjuntos de puntos no son adecuados. Los grupos de cohomología se definieron más tarde en términos de grupos de homología de una manera que es aproximadamente análoga al dual de un espacio vectorial . Conocer cada grupo de homología integral individual es esencialmente lo mismo que conocer cada grupo de cohomología integral individual, debido al teorema del coeficiente universal . Sin embargo, la ventaja de los grupos de cohomología es que hay un producto natural , que es análogo a la observación de que se puede multiplicar puntualmente una forma k - multilineal y una forma l- multilineal para obtener una forma ( k + l )-multilineal.

La estructura de anillo en cohomología proporciona la base para las clases características de fibrados , la teoría de la intersección en variedades y variedades algebraicas , el cálculo de Schubert y mucho más.

A cada grupo se le asocia su anillo de Burnside, el cual utiliza un anillo para describir las diversas formas en que el grupo puede actuar sobre un conjunto finito. El grupo aditivo del anillo de Burnside es el grupo abeliano libre cuya base es el conjunto de acciones transitivas del grupo y cuya adición es la unión disjunta de la acción. Expresar una acción en términos de la base equivale a descomponerla en sus constituyentes transitivos. La multiplicación se expresa fácilmente en términos del anillo de representación : la multiplicación en el anillo de Burnside se forma escribiendo el producto tensorial de dos módulos de permutación como un módulo de permutación. La estructura del anillo permite una forma formal de restar una acción de otra. Dado que el anillo de Burnside está contenido como un subanillo de índice finito del anillo de representación, se puede pasar fácilmente de uno a otro extendiendo los coeficientes de enteros a racionales.

A cualquier anillo de grupo o álgebra de Hopf se le asocia su anillo de representación o "anillo de Green". El grupo aditivo del anillo de representación es el grupo abeliano libre cuya base son los módulos indescomponibles y cuya suma corresponde a la suma directa. Expresar un módulo en términos de la base equivale a encontrar una descomposición indescomponible del módulo. La multiplicación es el producto tensorial. Cuando el álgebra es semisimple, el anillo de representación es simplemente el anillo de caracteres de la teoría de caracteres , que es más o menos el grupo de Grothendieck con una estructura de anillo.

A toda variedad algebraica irreducible se le asocia su cuerpo de funciones . Los puntos de una variedad algebraica corresponden a anillos de valuación contenidos en el cuerpo de funciones y que contienen el anillo de coordenadas . El estudio de la geometría algebraica utiliza ampliamente el álgebra conmutativa para estudiar conceptos geométricos en términos de propiedades de la teoría de anillos. La geometría birracional estudia las aplicaciones entre los subanillos del cuerpo de funciones.

Cada complejo simplicial tiene un anillo de caras asociado, también llamado anillo de Stanley-Reisner . Este anillo refleja muchas de las propiedades combinatorias del complejo simplicial, por lo que resulta de particular interés en la combinatoria algebraica . En particular, la geometría algebraica del anillo de Stanley-Reisner se utilizó para caracterizar el número de caras en cada dimensión de los politopos simpliciales .

Un rng es lo mismo que un anillo, excepto que no se asume la existencia de una identidad multiplicativa. ^{[ 52 ]}

Un anillo no asociativo es una estructura algebraica que satisface todos los axiomas de anillo, excepto la propiedad asociativa y la existencia de un elemento neutro multiplicativo. Un ejemplo notable es un álgebra de Lie . Existe una teoría estructural para este tipo de álgebras que generaliza los resultados análogos para las álgebras de Lie y las álgebras asociativas.

Un semianillo (a veces llamado rig ) se obtiene debilitando la suposición de que ( R , +) es un grupo abeliano a la suposición de que ( R , +) es un monoide conmutativo, y agregando el axioma de que 0 ⋅ a = a ⋅ 0 = 0 para todo a en R (ya que ya no se deduce de los otros axiomas).

Ejemplos:

• los enteros no negativos${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}$con suma y multiplicación ordinarias;
• el semicírculo tropical .

Sea C una categoría con productos finitos . Sea pt un objeto terminal de C (un producto vacío). Un objeto anillo en C es un objeto R equipado con morfismos.${\displaystyle R\times R\;{\stackrel {a}{\to }}\,R}$(suma),${\displaystyle R\times R\;{\stackrel {m}{\to }}\,R}$(multiplicación),${\displaystyle \operatorname {pt} {\stackrel {0}{\to }}\,R}$(identidad aditiva),${\displaystyle R\;{\stackrel {i}{\to }}\,R}$(inverso aditivo) y${\displaystyle \operatorname {pt} {\stackrel {1}{\to }}\,R}$(identidad multiplicativa) que satisface los axiomas usuales de anillos. Equivalentemente, un objeto anillo es un objeto R equipado con una factorización de su functor de puntos.${\displaystyle h_{R}=\operatorname {Hom} (-,R):C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Sets} }$a través de la categoría de anillos:${\displaystyle C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Rings} {\stackrel {\textrm {forgetful}}{\longrightarrow }}\mathbf {Sets} .}$

En geometría algebraica, un esquema de anillos sobre un esquema base S es un objeto de anillo en la categoría de esquemas S. Un ejemplo es el esquema de anillos W _n sobre ⁠${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$⁠ , que para cualquier anillo conmutativo A devuelve el anillo W _n ( A ) de vectores de Witt p -isotípicosde longitud n sobre A . ^{[ 53 ]}

En topología algebraica , un espectro de anillo es un espectro X junto con una multiplicación${\displaystyle \mu :X\wedge X\to X}$y un mapa unitario S → X del espectro de la esfera S , de tal manera que los diagramas del axioma del anillo conmutan hasta la homotopía. En la práctica, es común definir un espectro de anillo como un objeto monoide en una buena categoría de espectros como la categoría de espectros simétricos .